interpolación forma de lagrange para interpolación polinomial dra. nélida beatriz brignole
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Interpolación
Forma de Lagrange para interpolación
polinomial
Dra. Nélida Beatriz Brignole
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Aproximación de Funciones
Interpolación
Cuadrados Mínimos
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 3Computación Científica
Ajuste de Datos
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 4Computación Científica
Cuadrados Mínimos
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 5Computación Científica
Interpolación
niyxp
xp
yxn
ii
ii
0)(
:que talposible mínimo grado de )( polinomioun es
datos los interpola que polinomioun
),(dato puntos1 de tablauna Dada
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 6Computación Científica
Teorema (existencia y unicidad)
niyxp
np
yyy
xxx
iin
n
n
n
0)(
:que tal sumo lo a grado de polinomio únicoun hay
,,,sarbitrario valorespara entonces
distintos, reales númerosson ,,, Si
10
10
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 7Computación Científica
Interpolación
Lagrange
Splines
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 8Computación Científica
Fórmula de Interpolación
nnnnnn
n
n
n
ii
nn
y
y
y
y
a
a
a
a
xxx
xxx
xxx
xxx
niyxp
xaxaxaaxp
2
1
0
2
1
0
2
2222
1211
0200
2210
1
1
1
1
0)(
...)(
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 9Computación Científica
Características
Matriz de coeficientes: Matriz de Vandermonde
Mal condicionada
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 10Computación Científica
Forma de Lagrange
0)(
1)(:nObservació
0)(
)()(
0
0
ji
ii
n
ijj ji
ji
n
kkkn
xl
xl
nixx
xxxl
xlyxp
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 11Computación Científica
Forma de Lagrange• polinomio de interpolación de grado n para una tabla
con (n+1) puntos (asumiendo abscisas xi distintas)
• n diferentes formas de construir este polinomio (s algoritmos). Una alternativa es Lagrange.
El polinomio de Lagrange se escribe como:
n
iiinn xyxyxyxyxp
01100 )()(...)()()(
Donde i(x) con 0 i n son polinomios de grado n con la propiedad:
ji
jix ijji 1
0)(
(1.a)
(1.b)Delta de Kronecker
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 12Computación Científica
Construcción del polinomio
La propiedad anterior asegura que se cumplan las condiciones de interpolación.
iii yx )( 0 i n
Derivemos la forma de los polinomios de Lagrange:• Para satisfacer (1.a) i(x) debe tomar la forma:
))...()()...(()( 110 niiii xxxxxxxxkx (2)
• Para satisfacer (1.b) debe ser:
))...()()...(()(1 110 niiiiiiiii xxxxxxxxkx
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 13Computación Científica
Construcción del polinomio
n
ik
kki
n
ik
kk
i
xx
xx
x
0
0
)(
)(
)(
Reemplazando (3) en (2):
))...()()...((
1
110 niiiiiii xxxxxxxx
k
(3)
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 14Computación Científica
Construcción del polinomio
Puede probarse que:
1)(0
n
ii x
Lo cual puede utilizarse como chequeo aritmético cuando calculamos a mano.
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 15Computación Científica
Representación para abscisas equidistantes
Suele haber tablas matemáticas en las que:
ihxxi 0
Se introduce una nueva variable s , que mide la distancia entre x y x0 en unidades de h:
i
Si tenemos en cuenta lo siguiente:
shxx 0
hkixx
hksxx
ki
k
)(
)(
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 16Computación Científica
Representación para abscisas equidistantes
n
ik
kn
ik
kki
n
ik
kk
i ki
ks
xx
xx
x0
0
0
)(
)(
)(
)(
)(
OBS: La representación es independiente de h
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 17Computación Científica
Existencia y unicidad del polinomio de interpolación
Teorema:
Si x0, x1,..., xn son números reales distintos, entonces para valores arbitrarios y0, y1,..., yn polinomio pn de grado n tal que:
iin yxp )( (0 i n)
Demostración:
a) UNICIDAD (por contradicción)
Supongamos que existen dos polinomios distintos pn(x) y qn(x).
Entonces, grado(pn(x)) n y
grado(qn(x)) n
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 18Computación Científica
Demostración
Si generamos el polinomio diferencia:
)()()( xqxpxd nnn
grado(dn(x)) n (*)
Como ambos polinomios interpolan a los mismos datos,
iin
iin
yxq
yxp
)(
)(0 i n
0)()()( iiininin yyxqxpxd
x0, x1,..., xn son (n+1) raíces del polinomio dn(x)
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 19Computación Científica
Demostración de unicidad
donde grado(dn(x)) = n +1 + grado(z(x)) (1)
ó bien
z(x) 0 (2)
Si se verifica (1)
Þ Como grado(z(x)) 0 grado(dn(x)) n+1 (**)
Si comparo (*) con (**) una contradicción
Y lo que ocurre es (2)
dn(x) = 0 pn(x) = qn(x) CQD
)())...()(()( 10 xzxxxxxxxd nn
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 20Computación Científica
Demostración de existencia
b) EXISTENCIA (por inducción sobre el grado del polinomio)• Base: n=0 (obvia)
(x0,y0) p0(x0) = cte (grado 0)
p0(x0) = y0 p0(x0) = y0 = cte• Hipótesis inductiva:
asumo que
pk-1(x) de grado a lo sumo (k-1) tal que
pk-1(xi)=yi 0 i k-1 qpq’
pk-1(x) , grado (pk-1(x)) k tal que
pk(x)=yi 0 i k-1
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Dra. Nélida Beatriz Brignole 21Computación Científica
Demostración de existencia
Construyo:
))...()(()()( 1101 kkk xxxxxxcxpxpObs: pk(x) interpola los datos (xi, yi) 0 i k-1
determinemos el coeficiente c de modo tal que pk(xk)= yk
Reemplazando queda:))...()(()()( 1101 kkkkkkkkk xxxxxxcxpyxp
))...()((
)(
110
1
kkkk
kkk
xxxxxx
xpyc
Como por hipótesis xk yj k j el polinomio es 0 c
CQD