integration a

8/3/2019 Integration A

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THORIE DE LA MESURE ET DE LINTGRATION.THIERRY GALLAY

Transcrit par Tancrde LEPOINT

2009

UNIVERSIT JOSEPH FOURIER, GRENOBLE


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TABLE DES MATIRES

Avant-propos v

Biographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vIntroduction vii

1 Thorie gnrale de la mesure 11.1 Espaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Dfinition et exemples de mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Exemple : lensemble de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Compltion des mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Thorie gnrale de lintgration 92.1 Fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Dfinitions et gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Stabilit de la classe des fonctions mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Les fonctions tages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Dfinition de lintgrale dune fonction tage positive . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3 Intgration des fonctions mesurables positives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Dfinitions et thorme de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.2 Proprits de lintgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.3 Application : Mesures densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Fonctions intgrables valeurs dansR ou C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.1 Cas deR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.2 Cas deC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4.3 Thorme de la convergence domine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5.1 Comparaison avec lintgrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5.2 Intgrales dpendant dun paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.5.3 Application : la fonction dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Mesure de Lebesgue surRd 393.1 Mesures extrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 La mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3 Classes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4 Proprits de la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.5 Thorme de reprsentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

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4 Intgration sur les espaces produits 554.1 Produit despaces mesurables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 Thormes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Enoncs des thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.2 Discussions sur les thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.1 Intgration par parties dansR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4.2 Calcul de lintgrale de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.4.3 Mesure de la boule unit dansRd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4.4 Epigraphe dune fonction mesurable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Compltion des mesures produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5 Changements de variables dans Rd 695.1 La formule de changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.1 Coordonnes polaires dans le plan R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.2 Coordonnes sphriques dans lespace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2.3 Gnralisation Rd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Espaces Lp et Lp 796.1 Gnralits sur les espaces Lp et Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Inclusions des espaces Lp ou Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3 Thormes de densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.4 Le produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.4.1 Dfinition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.4.2 Rgularisation par convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Transformation de Fourier 957.1 Dfinition et proprits gnrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.2 Etablissement dun cadre fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.2.1 Lespace de Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 997.2.2 La transforme de Fourier dans L2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Formules de la transformation de Fourier surRd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4.1 A la rescousse des quations diffrentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.4.2 Lquation de la chaleur une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A Mesure de Hausdorff 105A.1 Complments sur les mesures extrieures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105A.2 Dfinition de la mesure de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.3 Proprits et dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109A.4 Exemples de mesures et de dimension de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

iv


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AVANT-PROPOS

Ce polycopi est le support du cours de Thorie de la mesure et de lintgration enseign luniversitJoseph Fourier de Grenoble en troisime anne de licence de mathmatiques fondamentales par Thierry

Gallay

1

. Il a t transcrit tout au long de lanne et ne saurait en aucun cas remplacer le cours.Ce document est trs proche du cours enseign, et except quelques infimes modifications (et lannexe),il retranscrit le cours tel quil a t donn tous les tudiants. En consquence de quoi, il nest pas un ap-profondissement du cours, au contraire des livres disponibles dans la bibliographie. Lannexe prsentela mesure de Hausdorff, ne une quinzaine danne aprs celle de Lebesgue, qui permet notamment lamesure dobjets de dimension infrieures, et na pas t traite en cours. Elle ncessite de connatre leschapitres 1 et 3.

Pour toute remarque, suggestion ou correction concernant ce document, merci de me contacter pour queje puisse modifier et corriger ce polycopi.

Tancrde Lepoint.

http ://www.kilomaths.com/ tanc/[email protected]

BIBLIOGRAPHIE SOMMAIRE

N. Bourbaki, lments de mathmatiques, livre VI : Intgration, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, 1952-1969.M. Briane et G. Pags, Thorie de lintgration, Vuibert, Paris, 2000.D. L. Cohn, Measure Theory, Birkhuser, Boston, 1980.

J. L. Doob, Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics 143, Springer, New-York, 1994.R. M. Dudley, /em Real analysis and probability, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 74,Cambridge University Press, 2002.P. R. Halmos, Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics 18, Springer, 1974.

E. H. Lieb et M. Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics14

, AMS, Providence, 1997.W. Rudin, Analyse relle et complexe, Masson, Paris, 1980.W. Rudin, Real and complex analysis (3me d.), McGraw-Hill, New York, 1987.D. W. Stroock, A concise introduction to the theory of integration (3me d.), Birkhuser, Boston, 1999.

J. Yeh, Real analysis. Theory of measure and integration (2me d.), World Scientific, Hackensack, 2006.

1. Thierry Gallay - http ://www-fourier.ujf-grenoble.fr/ gallay/ - [email protected]

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INTRODUCTION

Une thorie de lintgration est un procd qui associe toute fonction f (dans une certaine classe) unnombre I(f), appel intgrale de f et qui vrifie certaines proprits (linarit, positivit, ...).

Exemple (fondamental). On retrouve pour la premire fois lexemple suivant (actuellement connu commelintgrale de Riemann) dans le cours de Cauchy en 1820.Soit C0([a, b] ,R) lespace des fonctions continues sur un intervalle [a, b] valeurs dans R. Pour toutf C0([a, b] ,R), la limite suivante existe :

I(f) = limN+

b aN

N1i=0

f(a + ib a

N) (1)

La correspondance f I(f) est : linraire :

I(f1 + f2) = I(f1) + I(f2), f1, f2 C0([a, b] ,R)

I(f) = I(f), f C0

([a, b] ,R), R positive : Si f 0, alors I(f) 0. Dans ce cas, I(f) a une interprtation graphique (figure 1) : cestlaire sous le graphe de f.

a b

I(f)FIGURE 1 Interprtation graphique de lintgrale dune fonction positive

Remarque. Il nest pas ncessaire dutiliser une subdivision rgulire pour calculer I(f).Pour tout > 0, il existe > 0 tel que pour toute subdivision a = x0 < x1 < < xN = b de lintervalle[a, b] tel que maxi=1,...,N(xi xi1) et pour tous points i [xi1, xi], i = 1, . . . , N on a :I(f)

Ni=1

f(i)(xi xi1) (2)

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Mais pourquoi appelle-t-on cela lintgrale de Riemann? Riemann sest demand pour quelles classesde fonctions les procds (1) et (2) permettent de dfinir lintgrale. Est-il ncessaire de se limiter aux

fonctions continues ? Il a remarqu en 1854 que lon pouvait utiliser ces procds pour une certaineclasse de fonctions non continues. Les fonctions f: [a, b] R pour lesquelles on peut dfinir I(f) par(1) et (2) sont appeles des fonctions intgrables au sens de Riemann. Lintgrale I(f) est souvent note

I(f) =

ba

f(x)dx.

Limitations de lintgrale de Riemann. Toute fonction f: [a, b] R intgrable au sens de Riemann est borne.

En pratique, ce nest pas trs gnant, on peut gnraliser un peu le procd pour intgrer certainesfonctions non bornes.

Exemple.10

1x

dx peut tre dfinie comme lim0

1

1x

dx = 2

Soit f: [0, 1] R dfinie par f(x) = 1 si x Q0 sinon . Cest la fonction indicatrice des rationnels, et fnest pas intgrable au sens de Riemann. En effet, dans le procd (2) on peut choisir tous les i ration-nels (respectivement irrationnels) et on en dduit que I(f) vaudrait 1 (resp. 0)...Henri Lebesgue (mathmaticien franais du dbut du XXme sicle) a montr quune fonction bornef: [a, b] R est intgrable au sens de Riemann si et seulement si lensemble de ses points de discon-tinuit est ngligeable.Un ensemble A R est dit ngligeable si > 0, A peut tre recouvert par une union dnombrabledintervalles dont la somme des longueurs est .

Intgrales et primitives. Soit F C0([a, b] ,R). Si F est drivable sur ]a, b[ et si f = F, a-t-on ncessai-rement le thorme fondamental du calcul intgral

ba

f(x)dx = F(b) F(a) ? La rponse est non, ilny a aucune raison que f soit intgrable au sens de Riemann.

Limites simples. Soit fn : [a, b] R une suite de fonctions intgrables au sens de Riemann. On supposeque x [a, b] , limn+

fn(x) = f(x).

A-t-on queba

f(x)dx = limn+

ba

fn(x)dx ? Si il y a convergence uniforme, on sait que cela est vrai,

sinon un contre exemple est facile trouver. En fait, la question est mal pose : mme si lon supposeque |fn(x)| M, n N, x [a, b], la limite f nest en gnral pas intgrable au sens de Riemann.Remarque. Par contre, on peut montrer que, sous ces hypothses, la limite des intgrales est toujoursdfinie.

Remarque. Tout cet exemple fondamental se gnralise au cas des fonctions f: Rd R. Il faut remplacerles intervalles [a, b] par des pavs de la forme = [a1, b1] [ad, bd]

Une thorie de la mesure est un procd qui associe tout ensemble A (dans une certaine classe) unnombre positif(A), appel mesure de A, et qui vrifie certaines proprits (monotonie, additivit, ...).En dimension 1, la mesure correspond la longueur, laire en dimension 2 et au volume au dimension3, do la gnralisation.Intgration et mesure sont troitement lies. Si A Rd, on dfinit la fonction indicatrice de A par1A(x) =

1 si x A0 sinon

, 1A : Rd R.Si 1A est intgrable (pour un certain procd dintgration), on peut dfinir la mesure de A par (A) =1A(x)dx. On obtient ainsi une application qui vrifie les proprits suivantes :

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Introduction

monotonie : Si A B, alors (A) (B) (car 1A 1B). additivit : Si A

B = alors (A

B) = (A) + (B) (car 1A

B = 1A + 1B).

Remarque. Quels sont les sous-ensembles de Rd qui sont intgrables au sens de Riemann? On ditque A Rd est quarrable si 1A est intgrable au sens de Riemann. On peut montrer que A Rd estquarrable si et seulement si A est borne et si A est ngligeable.Attention! Un espace compact de Rd nest pas ncessairement quarrable.

Mais alors, peut-on dfinir une mesure sur tout sous-ensemble de Rd ? On cherche construire uneapplication : P(Rd) R qui vrifie : est additive est invariante par translation et rotation ([0, 1]d) = 1.Attention! Une telle mesure nexiste pas si d 3. Une dmonstration de ceci utilise laxiome du choix.Cest le paradoxe de Banach-Tarski (1923) : Il est possible de dcouper la boule unit de R3 en un nombre fini

de morceaux et de les rarranger (aprs translations et rotations) de faon obtenir deux copies de la boule unit.Moralit : On ne peut pas mesurer tous les sous-ensembles deRd. Il faut se restreindre une sous-familleM qui possde au moins les proprits suivantes : M Si A, B M, alors A B M et A B M Si A, B M alors A \ B MM est un anneau boolen. Par exemple, les ensembles quarrables forment un anneau.

Si on a une thorie de la mesure, on peut en dduire une thorie de lintgration.

Ide de la construction de lintgrale partir de la mesure (Henri Lebesgue, 1901).Soit f: Rd [0, 1]. Contrairement la thorie de lintgration de Riemann qui subdivise lespace dedpart de la fonction, ici on utilise une subdivision rgulire de lespace darrive de la fonction [0, 1].

On peut approcher f par une fonction tage de la forme

fN =

Ni=1

i

N1{x/ i1N i1N }.

Pour chaque N, on dfinit

fNd =

N

i=1i

N({x/ i 1

N< f(x)

i

N})

=Ni=1

1

N({x/f(x) > i 1

N})

En passant la limite quand N tend vers +, on trouve formellementfd =

10

({x/f(x) t})dt Intgrale de Riemann

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x


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CHAPITRE 1

THORIE GNRALE DE LA MESURE

1.1 ESPACES MESURABLES

Dfinition 1.1. Soit X un ensemble. On appelle tribu ou -algbre sur X une famille M de parties deX possdant les proprits suivantes :i) X M

ii) Si A M, alors A M (o A = X\ A est le complmentaire de A dans X)iii) Si An M, n N, alors

nN An M

Les lments de M sont appels les parties mesurables de X. On dit que (X, M) est un espace mesu-rable.

Remarque. Si au lieu de iii) on demande seulement

iii) Si A, B M, alors A B Mcest--dire la stabilit de M par intersection finie, alors on obtient un anneau boolen.

Consquences: M car X M Si An M, n N alors

nN An M (car

nN An

=nN A

n)

M est stable par intersection ou union finie. Si A et B sont mesurables, alors la diffrence non symtrique 1 A \ B = A B M

Evidemment, tout ensemble X possde des tribus, par exemple : M = {, X} la plus petite M = P(X) la plus grandePour construire des tribus "intressantes" sur X, on utilise souvent le rsultat suivant :

Lemme 1.2. Soit

{Mi

}i

I une famille quelconque de tribus sur X. Alors

M= iIMi est encore une tribusur X.

Dmonstration. La vrification est immdiate.

1. Dans ce cours, on utilise la diffrence non symtrique. On peut aussi dfinir la diffrence symtrique

A B = (A \B) (B \A) = (A B) (A B)

mais elle ne sera pas utilise ici.

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1.1. ESPACES MESURABLES

Dfinition 1.3. Soit F une famille de parties de X. On note

(F) = M tribu surX,MF

M

Alors, (F) est une tribu sur X appele tribu engendre par F. Cest la plus petite tribu sur X quicontient F.

Dfinition 1.4 (Rappel). Une topologie sur X est une famille T de parties de X telles que : T, X T Si O1, . . . , On T, alors

ni=1 Oi T

Si {Oi}iI est une famille quelconque dlments de T alorsiIOi T

Les lments de T sappellent les ouverts de X. On dit que (X, T) est un espace topologique.

Dfinition 1.5 (Tribu de Borel). Soit (X, T) un espace topologique. On appelle tribu de Borel sur Xla tribu engendre par les ouverts de X : M = (T).

Considrons plus en dtail le cas de la tribu de Borel sur R note B(R) B(R) contient tous les ouverts et tous les ferms de R B(R) contient les unions dnombrables de ferms (ensembles F) B(R) contient les intersections dnombrables douverts (ensembles G) ... et bien plus encore.On peut montrer que la tribu B(R) a la puissance du continu. En consquence, B(R) = P(R).

Proposition 1.6. La tribu B(R) est engendre par les intervalles ]a, +[ pour a R

Dmonstration. Soit M la tribu engendre par les intervalles ]a, +[ o a R. Par construction, M B(R).Dautre part, a R on a [a, +[ =

nN

a 1

n, +

M. Par complmentaire, ], a[ = [a, +[

M. Par intersection, si a < b, ]a, b[ = ], b[ ]a, +[ M.On sait que tout ouvert de R est une runion au plus dnombrable dintervalles de la forme ], a[,]a, b[, ]a, +[, donc M contient tous les ouverts de R et M B(R). Remarque. B(R) est engendr par les intervalles ]a, +[ , a Q. En effet, pour tout a R, il existe unesuite de rationnels (an)n

N dcroissant vers a et ]a, +

[ =

n=1 ]an, +[Exercice (Pavs dyadiques dans Rd). Dans Rd, on note k N, Pk lensemble des pavs de la forme

0, 2kd

+ n2k, n Zd. On note P =k=0

Pk.

a. Montrer que tout ouvert de Rd est une runion dnombrable de pavs dyadiques.

b. En dduire que la tribu de Borel B(Rd) est engendre par P.

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CHAPITRE 1. THORIE GNRALE DE LA MESURE

1.2 DFINITION ET EXEMPLES DE M ESURES

Dfinition 1.7. Soit (X, M) un espace mesurable.On appelle mesure positive sur X une application : M [0, +] vrifiant :

1. () = 0

2. Additivitdnombrable : si {An}nN est une famille dnombrable densembles mesurables deux deux disjoints alors

nN

An

=nN

(An)

On dit que (X, M, ) est un espace mesur.

Commentaires. On dira souvent "mesure" au lieu de "mesure positive" La condition () = 0 est ncessaire pour viter des situations triviales.

En effet, A M, on a A = A , donc (A) = (A) + nN ().Proposition 1.8 (proprits lmentaires dune mesure positive).

1. Monotonie : Si A, B M et A B, alors (A) (B)2. Sous-additivit: Si An M, n N alors

nN

An

nN

(An)

3. Si An M, n N et si An An+1, n N, alors

nN

An

= limn

(An)

4. Si An M, n N et si An An+1, n N, avec (A0) < alors

(nN

An) = limn(An)

Dmonstration. 1. On a B = A (B \ A), union disjointe dlments de M donc (B) = (A) + (B \A) (A).Si (A) 0. On dfinit

K =nN

An

Alors K est un compact non vide (car intersection dune suite dcroissante de compacts non vides). Ona K = . En effet, n N, K An et An ne contient aucun intervalle de longueur suprieure 2n. Onen dduit que K = K (o K est la frontire de K). De plus, on a

(K) = limn+(An) = 1

n=02nn 0

Si lon choisit les (n) tels quen=0 2

nn = 1, alors cest un Cantor maigre (de mesure nulle).Si lon choisit les (n) tels que

n=0 2

nn < 1, alors cest un Cantor gras (de mesure strictement posi-tive).Enfin, K est quipotent 2N (chaque point du Cantor est dfinit de manire unique avec une suite de 0et de 1 selon quil se trouve dans lintervalle de gauche ou de droite chaque nouveau dcoupage duCantor), et a donc la puissance du continu.

Remarque. K contient ncessairement des sous-ensembles non borliens, mme lorsque (K) = 0. Enparticulier, il existe des sous-ensembles densemble de mesure nulle qui ne sont pas mesurables !

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1.4. COMPLTION DES MESURES

1.4 COMPLTION DES MESURES

Dfinition 1.10. Soit (X, M, ) un espace mesur.1. On dit que A X est ngligeable (pour la mesure ) si A M et (A) = 0.2. On dit que la mesure est complte si tout sous-ensemble dun ensemble ngligeable est encore

ngligeable.

Remarque. On a vu quun Cantor de mesure nulle contenait des sous-ensembles non mesurables, doncnon ngligeables. On en dduit donc que la mesure de Lebesgue sur B(R) nest pas complte!

Proposition 1.11 (compltion des mesures). Soit (X, M, ) un espace mesur. Soit M lensemble detoutes les parties E de X telles quil existe A, B

Mavec A

E

B et (B

\A) = 0. On dfinit

alors (E) = (A). Ainsi, M est une tribu sur X et une mesure complte sur M qui prolonge .

Remarque. Si E M, et comme E E E, alors E M et (E) = (E).Dmonstration. Il faut vrifier que est bien dfinie.

Supposons que

A1 E B1, (B1 \ A1) = 0A2 E B2, (B2 \ A2) = 0 , Ai, Bi M, i = 1, 2. Alors A1 B2, donc

(A1) (B2) = (A2). En rptant largument dans lautre sens, on montre aussi que (A2) (A1), donc est bien dfinie.

Il faut vrifier que M est une tribu sur X.

X M

Si A E B, par passage au complmentaire on a B E A avec (=B

\A

A \ B) = (B \ A) = 0.On a donc E M = E M

Si An En Bn avec (Bn \ An) = 0 alorsnN

An A

nN

En E

nN

Bn B

.

Or B \ A =nN

Bn \ A nN

Bn \ An donc (B \ A) nN

(Bn \ An) = 0.

Ainsi, En M, n N =nN

En M

On en dduit que M est une tribu sur X. Il reste vrifier que est bien une mesure. Clairement, () = () = 0 car M. Par ailleurs,

si{

En}nN

est une famille disjointe dansM

, alors dans ltape prcdente les An le sont aussi et ona donc :

(nN

En) =

nN

An

=nN

(An) =nN

(En)

Dfinition 1.12. On appelle tribu de Lebesgue sur R, et on note L(R), la tribu qui complte la tribu deBorel B(R) pour la mesure de Lebesgue .On appelle encore mesure de Lebesgue la mesure complte : L(R) [0, +]

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CHAPITRE 1. THORIE GNRALE DE LA MESURE

Remarque. La tribu de Lebesgue nest pas quipotente R mais P(R). En effet, tout sous-ensembledun ensemble de Cantor de mesure nulle est mesurable pour la mesure de Lebesgue.

Question : A-t-on L(R) = P(R) ? La rponse est non.Exemple (dun ensemble non mesurable). Sur R on dfinit une relation dquivalence : x y x y Q. On note X = R/ le quotient de R par cette relation dquivalence. Pour tout x X, on choisit 2 unreprsentant ex [0, 1]. On note E = {ex | x X} [0, 1]. Alors E nest pas mesurable pour la mesurede Lebesgue (E / L(R)). Supposons en effet que E L(R). On a :

R =qQ

q + E(union disjointe)

Do(R) = + =

qQ(q + E) =

qQ(E) = (E) > 0

Dautre part,

qQ[0,1]q + E [0, 2] donc

([0, 2]) = 2

qQ[0,1](E) = +

On obtient une absurdit.

On a aussi un thorme dexistence de la mesure de Lebesgue sur Rd

Thorme 1.13 (Mesure de Lebesgue sur Rd). Il existe une unique mesure positive sur (Rd,

B(Rd)), note

, telle que pour tout pav P = [a1, b1] [a2, b2] [ad, bd] Rd, on ait :

(P) =di=1

(bi ai)

Comme prcdemment, on peut complter la tribu B(Rd) et tendre la mesure L(Rd). La mesure deLebesgue (sur B(Rd) ou L(Rd)) possde en outre les proprits suivantes :a) est invariante par translation et rotation

b) est rgulire, i.e. E Rd mesurable, on a (E) = sup {(K) | K compact, K E}. Cest la rgularit intrieure. (E) = inf

{(V)

|V ouvert, V

E

}. Cest la rgularit extrieure.

2. Ici, on se sert de laxiome du choix !

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CHAPITRE 2

THORIE GNRALE DELINTGRATION

Maintenant que lon a tudi la thorie gnrale de la mesure dans le chapitre 1, et en admettant lexis-tence et lunicit de la mesure de Lebesgue sur Rd, on va pouvoir dfinir, comme consquence, unethorie de lintgration. On construira donc une intgrale valeurs dans R ou C, puis on comparera

avec lintgrale de Riemann. Enfin, on donnera des thormes de continuit et drivabilit sur les int-grales dpendant dun paramtre avant dtudier la fonction dEuler.

2.1 FONCTIONS MESURABLES

2.1.1 Dfinitions et gnralits

Dfinition 2.1. Soit (X, M) et (Y,N) deux espaces mesurables. On dit quune application f : X Yest mesurable (pour les tribus M etN) si

f1(B) M, B N

Cela rappelle la notion de fonction continue dans les espaces topologiques.

Dfinition 2.2 (Rappel). Soit (X, T) et (Y, S) deux espaces topologiques. On dit quune applicationf : X Y est continue si

f1(B) T, B S

Les fonctions mesurables sont aux espaces mesurables ce que les fonctions continues sont aux espacestopologiques.

Remarques. 1. Si (X, M) est un espace mesurable, si Y est un ensemble quelconque et f : X Y,alors on peut toujours munir Y dune tribuNtelle que f soit mesurable.

Evidemment, on peut prendreN= {, Y} (et cest la plus petite tribu possible). Un meilleur choixest de poserN= B Y | f1(B) M. AlorsNest une tribu (exercice), et cest la plus grandetribu sur Y qui rende f mesurable.On dit queNest la tribu image de M par f.

2. Si X est un ensemble quelconque, si (Y,N) est un espace mesurable, et f : X Y, alors on peuttoujours munir X dune tribu M telle que f soit mesurable.Evidemment, on peut prendre M = P(X) (et cest la plus grande tribu possible). Un meilleurchoix est de poser M = f1(B) | B N. Alors M est une tribu (exercice), et cest la plus petitetribu sur X qui rende f mesurable.On dit que M est la tribu engendre par f.

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2.1. FONCTIONS MESURABLES

Le critre suivant est fort utile :

Lemme 2.3. Soient (X, M) et (Y,N) deux espaces mesurables, et f : X Y. On suppose queNest engendrepar une famille Fde parties de Y :N= (F).Alors f est mesurable si et seulement si f1(B) M, B F

Dmonstration. La condition est videmment ncessaire. Supposons donc que f1(B) M, B F, etconsidrons la tribu image de M par f :

N= B Y | f1(B) MAlors

Ncontient F, donc

Ncontient (F) = N, et en particulier, f est mesurable.

Cas particulier. Si X et Y sont deux espaces topologiques munis de leurs tribus borliennes, une appli-cation f : X Y mesurable est appele borlienne.Par le lemme, f : X Y est borlienne si et seulement si, pour tout ouvert V Y, f1(V) est borlien.En particulier, si f : X Y est continue, alors f est borlienne.Si Y = Rmuni de la tribu de Borel B(R), alors f : X Y est borlienne si et seulement si f1(]a, +[)est borlien pour tout a R.Exemple. Soit (X, M) un espace mesurable, et soit A X. On dfinit la fonction indicatrice de A par

1A : X Rx 1A(x) =

1 si x A0 sinon

alorsa R, (11A )(]a, +[) =

si a 1A si 0 a < 1X si a < 0

Ainsi, 1A est mesurable si et seulement si A est mesurable (A M).

2.1.2 Stabilit de la classe des fonctions mesurables

Lemme 2.4. Si f: (X1, M1) (X2, M2) et g : (X2, M2) (X3, M3) sont mesurables, alors g f :(X1, M1) (X3, M3) est mesurable.

Dmonstration. Evident car (g f)1(A) = f1(g1(A)), A X3.

Proposition 2.5. Soit (X, M) un espace mesurable, (Y, T) un espace topologique, f1, f2 : X R des applica-tions mesurables, et : R2 Y une application continue.Pour tout x X, on note h(x) = (f1(x), f2(x)). Alors h : X Y est mesurable.

On pourrait formuler cela comme : "Une combinaison continue de deux applications mesurables estmesurable".

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CHAPITRE 2. THORIE GNRALE DE LINTGRATION

Dmonstration. Notons F(x) = (f1(x), f2(x)) de sorte que F: X R2. Alors h = F. Comme estborlienne (car continue), il suffit de vrifier que F est mesurable.

Soient I1, I2 R deux intervalles, et soit R = I1 I2 R2. Alors F1(R) = f11 (I1) f12 (I2) M.Comme la tribu de Borel sur R2 est engendre par les rectangles de la forme ci-dessus, on a que F estmesurable.

Corollaire 2.6. Soient f, g : X R deux fonctions mesurables. Alors f + g, f g, min(f, g) et max(f, g) sontmesurables.

Dmonstration. Il suffit dappliquer la proposition avec Y = R et (x, y) = x + y, xy, min(x, y),max(x, y).

Corollaire 2.7. Si f: X R est mesurable, alors f+ = max(f, 0), f = max(f, 0), et |f| = f+ + f sontmesurables.

Corollaire 2.8. Si f: X R est mesurable, et si f(x) = 0, x X, alors g dfinie par g(x) = 1f(x)

est

mesurable.

Dmonstration. Soit Y = R \ {0} muni de la tribu borlienne, et soit : Y Y dfinie par (y) = 1y

.

Comme f: X Y est mesurable et est continue alors g = f: X Y (ou R) est mesurable.

Corollaire 2.9. 1. Une fonction f: X C est mesurable si et seulement si (f) : X R et (f) : X R sont mesurables.

2. Si f, g : X C sont mesurables, il en va de mme de f + g, f g et |f|3. Si f: X C est mesurable, il existe une fonction : X C mesurable telle que x, |(x)| = 1 et

f = |f|

Dmonstration (Dmonstration du 3). Soit A = {x X | f(x) = 0} = f1({0}) M. Soit Y = C \ {0}et (z) =

z

|z| , z Y. On pose : X C une application mesurable (comme composition de deuxfonctions mesurables) dfinie par

(x) =

1 si x Af(x)

|f(x)|si x /

A

La fonction ainsi dfinie convient.

Rappels sur R = R {,+}1. relation dordre : On munit R de la relation dordre sur R, complte de

a R, < a < +R est donc totalement ordonn.

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2.1. FONCTIONS MESURABLES

2. topologie : Les ouverts de R sont les unions dintervalles de la forme

[, a[ , ]a, b[ , ]b, +] , a, b RR est un espace topologique compact.

Remarque. R est homomorphe [1, 1]. Un homomorphisme est donn par f(x) = 2

arctan(x)

3. structure borlienne : la tribu de Borel sur R est engendre par les intervalles ]a, +] , a R

Attention! Les oprations algbriques du corps R ne stendent pas R.

Exemple. a + b nest pas dfini si a = + et b = (ou vice-versa)ab nest pas dfini si a = 0 et b = (ou vice versa)

Remarque. On peut tendre les oprations algbriques sur R+ = [0, +] en posant : a +

=

+ a =

si 0 a

a = a = 0 si a = 0 si 0 < a

Attention!a + b = a + c = b = c si 0 a < a b = a c = b = c si 0 < a <

Notation. (X, M) un espace mesurable, et {fn}n une suite de fonctions de X dans R. On note : (sup

nfn)(x) = sup

nfn(x)

(limsupn

fn)(x) = limn supkn

fk(x)

On dfinit de mme infn

fn et liminfn

fn

Proposition 2.10 (Stabilit des fonctions mesurables par limite ponctuelle). Soit (X, M) un espacemesurable et fn : X R une suite de fonction mesurables, alors

supn

fn, infn

fn, limsupn

fn, lim infn

fn : X R

sont mesurables.En particulier, si f(x) = limn fn(x) existe x X, alors f : X R est mesurable.Plus gnralement, lensemble {x X | limn fn(x) existe} est mesurable.

Dmonstration. Si g = supn fn, on a a R,g1(]a, +]) =

nNf1n (]a, +]) M

Ainsi, g est mesurable. Il en va de mme de infn fn = supn(fn). En consquence, lim supn

fn =

infn

supkn

fk est mesurable, et il en va de mme de lim infn

fn.

Pour montrer la dernire affirmation, on pose F = (lim infn

fn, limsupn

fn) et on remarque quex X | liminf

nfn(x) = lim sup

nfn(x)

= F1()

o =

(x, x) | x R R2 Cet ensemble est mesurable car est ferm et F est mesurable. 12


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2.2 LES FONCTIONS TAGES

2.2.1 Gnralits

Dfinition 2.11. Soit (X, M) un espace mesurable. On dit quune application mesurable f : X Rest tage si f ne prend quun nombre fini de valeurs.En notant 1, . . . , n les valeurs de f et Ai = f1(i) pour i = 1, . . . , n, on a donc

f =ni=1

i1Ai (2.1)

Exemple. La fonction indicatrice des rationnels 1Q est une fonction tage.

Lcriture (2.1) est unique aux renumrotations prs. Les 1, . . . , n sont deux deux distincts et lesA1, . . . , An sont deux deux disjoints. Si f prend la valeur 0, on peut omettre le terme correspondantdans la somme (2.1).Les fonctions (mesurables) tages sont exactement les combinaisons linaires finies de fonctions indi-catrices densembles mesurables. Si

f =

Nk=1

k1Bk

avec 1, . . . , N R non ncessairement distincts et B1, . . . , BN M non ncessairement disjoints, alorsf ne prend quun nombre fini de valeurs et possde donc aussi une criture canonique de la forme (2.1).

Proposition 2.12. Soit f : (X, M) [0, +] une fonction mesurable. Alors il existe une suite croissante defonctions (mesurables) tages qui converge ponctuellement vers f.

Dmonstration. Pour tout n N, on dfinit n : [0, +] [0, +[ par

n(t) =

2nE(2nt) si 0 t < nn si t n

o E(x) dsigne la partie entire de x.Il est clair que n est tage telle que 0 n(t) n+1(t), t [0, +]. On pose fn = n f, n N,alors fn est tage, n N, fn fn+1 et fn(x)

n f(x), x X.En effet, si f(x) = +, on a n, fn(x) = n. Dautre part, si f(x) < et n f(x) alors f(x) 2n fn(x) f(x).

2.2.2 Dfinition de lintgrale dune fonction tage positive

On suppose prsent que (X, M, ) est un espace mesur.

Dfinition 2.13. Soit f: (X, M, ) [0, +[ une fonction (mesurable) tage. On appelle intgralede f (pour la mesure positive ) la quantit

fd =

ni=1

i(Ai) [0,+]

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2.2. LES FONCTIONS TAGES

o f =

ni=1 i1Ai est lcriture canonique de f comme dans (2.1)

Lemme 2.14. Si 1, . . . , N [0, +[ et B1, . . . , Bn M, et si f =Nk=1

k1Bk , alors

fd =

Nk=1

k(Bk)

Dmonstration. On suppose 1, . . . , n, 1, . . . , N = 0.1er cas : Les B1, . . . , BN sont 2 2 disjoints. Dans ce cas l, les 1, . . . , N parcourent {1, . . . , n}, et on

a Ai = k/BkAi

Bk et Bk Ai k = i. Ainsi,

ni=1

i(Ai) =ni=1

i

k/BkAi

(Bk)

=

ni=1

k/BkAi

k(Bk)

=

Nk=1

k(Bk)

2e cas (cas gnral) : La -algbre engendre par les B1, . . . , BN est galement engendre par les en-sembles C1, . . . , C m deux deux disjoints. On dfinit

j =

k/BkCjk, j = 1, . . . , M

alors f =mj=1

j1Cj avec C1, . . . , C m deux deux disjoints. En outre,

Nk=1

k(Bk) =Nk=1

k

j/BkCj(Cj)

=

mj=1

(Cj) k/BkCj

k

=mj=1

j(Cj)

Notons E+ lensemble des fonctions (mesurables) tages sur X valeurs dans [0, +[. LapplicationI: E+ [0, +]

f fd possde les proprits suivantes :14


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i) Additivit :

(f + g)d = fd + gd, f, g E+ii) Homognit :

fd =

fd, f E+, R+

iii) Monotonie : Si f et g E+ et si f g, alorsfd

gd

En effet,

i) si f =

ni=1 i1Ai et g =

mj=1 j1Bj , alors f + g =

ni=1 i1Ai +

mj=1 j1Bj , et donc

(f + g)d =

lemme

ni=1

i(Ai) +mj=1

j(Bj)

=

fd +

gd

ii) Cest vident par dfinition de lintgrale.

iii) Suit de i) car gd =

fd +

(g f)d 0

fd

2.3 INTGRATION DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES.Dans toute la suite, (X, M, ) dsigne un espace mesur.

2.3.1 Dfinitions et thorme de convergence monotone

Dfinition 2.15. Soit f: X [0, +] une fonction mesurable. On appelle intgrale de f (sur X, pourla mesure ), la quantit :

fd = sup

hd | h E+, h f

[0, +]

Si E X est une partie mesurable, on note aussiE

fd =

f1Ed

Si f E+, on retrouve bien la dfinition prcdente de lintgrale.

Cette intgrale possde la proprit de la monotonie :

fd

gd si f g.

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2.3. INTGRATION DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES.

Thorme 2.16 (de la convergence monotone Beppo-Levi). Soit fn : X

[0, +

] une suite crois-

sante de fonctions mesurables positives, et soit f = limn fn la limite ponctuelle des fn. Alors, f est me-surable et

fd = limn

fnd

Dmonstration. Comme

fnd

fn+1d du fait de la croissance de (fn), la limite =

limn

fnd [0, +] existe. Soit f = limn fn, alors f est mesurable, et comme n, fn f, on

a fnd

fd, n =

fd

Par ailleurs, soit h E+ telle que h f et soit c ]0, 1[. On dfinit :An = {x X | fn(x) ch(x)}

alors An M (comme image inverse de [0, +] par fn ch mesurable), et dautre part An An+1 etnN An = X. Or,

fd

An

fnd

An

chd = c

An

hd

De plus, si h =mj=1 j1Bj , on a

An

hd =mj=1

j(Bj An)

Comme on a une somme finie, on peut passer la limite quand n tend vers + et on aAn

hd n

mj=1

j(Bj) =

hd

Ainsi, c

hd et ce c ]0, 1[, h E+ tel que h f. On prend dabord le sup sur c ]0, 1[, puis le

sup sur h E+, h f et on trouve

fd.

Remarques. 1) Si fn est une suite dcroissante de fonctions mesurables positives, et si

f0d < , alorson a

fd = limnfndo f = limn fn

Dmonstration. Appliquer le thorme de Beppo-Levi la suite gn = f0 fn. 2) On rappelle que si f: X [0, +] est mesurable, il existe une suite croissante fn fn+1, fn E+

telle que fn(x) n f(x), x X. Alors,

fd = limn

fnd

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Lintgrale des fonctions mesurables positives vrifie :

i)Additivit :

(f + g)d =

fd +

gd, f, g E+En effet, soient (fn) et (gn) deux suites croissantes dans E+ telles que fn

nf et gn

ng. Alors

fn + gn E+ et fn + gn n

f + g. Or, n,

(fn + gn)d =

fnd +

gnd, on obtient donc le

rsultat en passant la limite grce au thorme de convergence monotone.

ii) Monotonie : Si f g, alors fd

gd

Corollaire 2.17. Soit (fn) une suite de fonctions mesurables positives et soit f =

nNfn, f: X [0, +].

Alors f est mesurable et fd =

nN

fnd

Cest la proprit "dadditivit dnombrable".

Dmonstration. Soit FN =Nn=0 fn, alors (FN)N est une suite croissante de fonctions mesurables posi-

tives, et N N, on a FNd =

Nn=0

fnd

En prenant la limite quand N , et en utilisant le thorme de convergence monotone, on obtientle rsultat.

2.3.2 Proprits de lintgrale

Dfinition 2.18 (Terminologie). Dans un espace mesur (X, M, ), on dit quune proprit P(x)(x X) est vraie presque partout (ou -presque partout) si elle est vraie en dehors dun ensemble ngligeable.

Exemple. Si f, g : X R ou C sont mesurables, alors {x | f(x) = g(x)} M et doncf = g presque partout ({x | f(x) = g(x)}) = 0

Remarque. nest pas ncessairement complte dans lexemple prcdent.

Ainsi, si est complte ou si f, g sont mesurables, alorsf = g presque partout ({x X | f(x) = g(x)}) = 0

Proposition 2.19. Soit f: X [0, +] une fonction mesurable.1) a > 0, ({x X | f(x) a}) 1

a

fd.

2)

fd = 0 f = 0 presque partout.

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2.3. INTGRATION DES FONCTIONS MESURABLES POSITIVES.

3) Si fd < , alors f < presque partout.4) Si f et g : X [0, +] sont mesurables, alorsf = g presque partout =

fd =

gd

Dmonstration. 1) Soit A = {x X | f(x) a} = f1([a, +]) M. On a f a1A et ainsi,fd a(A)

2) Si f = 0 presque partout, alors si h E+ tel que h f, on a h = 0 presque partout. En utilisant la

dfinition de lintgrale dans E+, on en dduit que hd = 0 do fd = 0.Inversement, supposons que

fd = 0. Pour tout entier n N, on note

An =

x X | f(x) 1

n

Alors An est mesurable (image rciproque de

1n

, + par f), An An+1 et nN An ={x X | f(x) > 0}. Par ailleurs,

n N, (An) n

fd = 0 par 1)

Ainsi, on en dduit que ({x X | f(x) > 0}) = lim

n(An) = 0

3) Supposons que f(x) = +, x A avec A M et (A) > 0. Alors, n N, f n1A et doncfd n(A), n N

donc

fd = +.4) Supposons que f = g presque partout, et notons h+ = max(f, g) et h = min(f, g) (point par point)

alors h+ et h sont mesurables, h+ = h presque partout et h f, g h+. Or,

h+d =

hd +

(h+ h)d =0 avec 2)

=

hd

Par monotonie, fd =

gd =

h+d =

hd

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Lemme 2.20 (de Fatou - Corollaire du thorme de convergence monotone). Soit (fn)n, fn : X

[0, +] une suite de fonctions mesurables. Alors(lim infn

fn)d lim infn

fnd

Dmonstration. On rappelle que liminfn

fn = limk

(infnk

fn), et cest une limite croissante, donc par le

thorme de convergence monotone,(lim infn

fn)d = limk

(infnk

fn)d

Dautre part, si p k, on a infnk

fn fp, donc

(infkn

fn)d fpd

On passe linf sur p k, et on a (infkn

fn)d infpk

fpd

Ainsi, (lim infn

fn)d limk

infpk

fpd = lim inf

n

fnd

2.3.3 Application : Mesures densit

Soit (X, M, ) un espace mesur, et f: X [0, +] une fonction mesurable.On dfinit une application : M [0, +] par

(A) =

A

fd =

f1Ad

Alors, est une mesure sur (X, M) appele mesure de densit f par rapport .En effet, () = 0, et si (An)nN est une suite dlements de M deux deux disjoints, on a :

nN

An

=

f1S

n And

=

f

nN1And car les An sont 2 2 disjoints

= nN

f1And interversion somme/intgralelicite quand tout est positif

=nN

(An)

Remarque. Si A M vrifie que (A) = 0 alors (A) = 0. On dit que est absolument continue parrapport .

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2.4. FONCTIONS INTGRABLES VALEURS DANSR OUC

Exercice. Montrer que, si g : X

[0, +

] est mesurable, alors

gd =

gfd

Dmonstration (Solution). Soit g : X [0, +] mesurable. Si g = 1A o A M, on a

gd =

1Ad = (A) =

A

fd =

f1Ad =

f gd

Si g est une fonction tage positive, le rsultat est vrai par additivit et homognit positive delintgrale.

Cas gnral : il existe une suite croissante (gn)nN de fonctions tages positives convergeant simple-

ment vers g (proposition 2.12). Daprs ce qui prcde, on a pour tout n N,gnd =

gnfd

Le thorme de convergence monotone (2.16) entrane donc quegd = lim

n

gnd = lim

n

gnfd

Dautre part, la suite (gnf)n est croissante, positive et converge simplement vers f g donc toujours parle thorme de convergence monotone,

limn

gnfd =

f gd

Finalement, gd =

f gd

2.4 FONCTIONS INTGRABLES VALEURS DANS R OU C

Dans toute cette partie, (X, M, ) est un espace mesur quelconque.

2.4.1 Cas deR

Dfinition 2.21. Soit f: X

R une fonction mesurable. On dit que f est intgrable (ou sommable)

par rapport si |f| d <

Dans ce cas, on pose fd =

f+d

fd (2.2)

o f+ = max(f, 0) et f = max(f, 0).On note L1(X, M, ) lespace des fonctions intgrables sur X.

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Remarques. 1) Si f 0, on retrouve la dfinition prcdente.

2) Si |f| d < , alors comme f+, f |f|, on a aussi les intgrales de f+ et f qui sont finies, et ladfinition (2.2) fait sens.

Proposition 2.22.

a) L1(X, M, ) est un espace vectoriel sur R, et lapplication f

fd est linaire.

b)fd |f| d, f L1(X, M, )

c) Si f, g L1(X, M, ) et f g alors

fd

gd.

d) Si f, g L1(X, M, ) et si f = g presque partout, alors fd = gdDmonstration. a) Si f, g L1(X, M, ), alors f + g est mesurable et |f + g| |f| + |g| donc f + g

L1(X, M, ).En outre,

(f + g)+ (f + g) = f + g = f+ f + g+ gdonc

(f + g)+ + f + g = (f + g) + f+ + g+

Ainsi,

(f + g)+d + fd + gd = (f + g)d + f+d + g+dCe sont des intgrales finies donc

(f + g)d =

(f + g)+d

(f + g)d

=

f+d

fd

+

g+d

gd

=

fd +

gd

Dautre part, si f L1(X, M, ) et R, alors f est mesurable et |f| d < + donc f L1(X, M, ). si 0,

(f)d =

(f)+d +

(f)d

=

f+d

fd

=

fd

21


32/122


si 0,

(f)d = (f)+d + (f)d= ()

fd ()

f+d

=

fd

b) fd = f+d fd

f+d

+

fd |f| d

car |f| = f+ + fc) Comme pour les fonctions mesurables positives.

d) Si f = g presque partout, alors f+ = g+ presque partout et f = g presque partout, donc

fd =gd

2.4.2 Cas deC

Dfinition 2.23. Soit f: X C une fonction mesurable. On dit que f est intgrable (ou sommable)par rapport si |f| d <

o | | est le module.Dans ce cas, on pose

fd =

(f)d + i

(f)d (2.3)

On note L1C(X, M, ) lespace des fonctions intgrables sur X.

Remarques. 1) Si (f) = 0, on retrouve la dfinition prcdente.

2) Si |f| d < , alors comme |(f)| , |(f)| |f|, on a aussi les intgrales de (f) et (f) qui sontfinies, et la dfinition (2.3) fait sens.

Proposition 2.24.

a) L1C(X, M, ) est un espace vectoriel sur C, et lapplication f

fd est linaire.

b)fd |f| d, f L1C(X, M, )

22


33/122


c) Si f, g L1C(X, M, ) et si f = g presque partout, alors fd = gdDmonstration. (partielle)

a) Si f = f1 + if2 L1C(X, M, ) et = 1 + i2 C, on a :(f)d =

(f)d + i

(f)d

=

(1f1 2f2)d + i

(1f2 + 2f1)d

= 1

f1d + i

f2d

+ i2

f1d + i

f2d

= fd

b) Soit f L1C(X, M, ). Il existe 1 C avec || = 1 tel quefd = fd = fdSoit g = (f), alors |g| |f| |f|, doncfd

R

=

gd R

+i

(f)d

=0

= gd |g| d

|f| d

c) Comme avant.

2.4.3 Thorme de la convergence domine

Thorme 2.25 (de la convergence domine). Soit (X, M, ) un espace mesur, et fn : X C une suitede fonctions mesurables 2. On suppose que :

1) la limite f(x) = limn fn(x) existe x X.2) il existe g : X [0, +[ intgrable telle que |fn(x)| g(x) n N, x XAlors f: X C est intgrable, et on a :

fd = limn

fnd et lim

n

|fn f| d = 0

1. on peut prendre =

Rfd

Rfd

siR

fd = 0 , et = 1 sinon.

23
http://-/?-http://-/?-


34/122


Dmonstration. On sait que f est mesurable, et comme |f| g, il suit que f est intgrable. Etant donnque

|f

fn

| 2g, on peut appliquer le lemme de Fatou (2.20) la suite 2g

|f

fn

| 0.

2gd =

liminfn (2g |f fn|)d liminfn

2g |f fn| d

=linarit

liminfn

2gd

|f fn| d

=

2gd limsup

n

|f fn| d

On en dduit que limsupn

|f fn| d 0 donc lim

n

|f fn| d = 0

Comme

fnd

fd

|fn f| d

On conclut que limn

fnd = fd Variante du thorme de la convergence domine

Thorme 2.26. Soit fn : X C une suite de fonctions mesurables telle que :1) il existe f: X C mesurable telle que f(x) = limn fn(x) pour presque tout x X.2) il existe g : X [0, +[ intgrable telle que, pour chaque n N, on ait |fn(x)| g(x) pour presque tout

x X.Alors f est intgrable et

fd = limn

fnd et limn

|f fn| d = 0Dmonstration. Introduisons les ensemble mesurables suivants :

A =

x X | limn fn(x) existe (= f(x))

. On a (A) = 0

Bn = {x X | |fn(x)| g(x)} , n N. On a (Bn) = 0Soit E = A (nN Bn). Alors (E) = 0 car E = A nN Bn.On dfinit

fn = fn1E,

f = f1E,

g = g1E.

Alors le thorme de convergence domine sapplique aux fonctions fn, f et g. Commefnd = fnd et fd = fdon obtient la conclusion dsire.

Corollaire 2.27. Soit fn : X C une suite de fonctions intgrables telles quenN

|fn| d <

24


35/122


Alors la srie

nN fn(x) converge (absolument) pour presque tout x X vers une fonction f intgrable, et on

a fd = nN

fndDmonstration. Soit : X [0, +] la fonction dfinie par

(x) =nN

|fn(x)|

Alors, par le corollaire (2.17) du thorme de convergence monotoned =

nN

|fn|d <

Donc est intgrable, et on dduit quil existe E M tel que (E

) = 0 et quelon ait (x) < , x E.Ainsi, la srienN fn(x) converge absolument pour tout x de E, et on peut dfinirf(x) =

nN fn(x) si x E

0 si x / EEn applicant le thorme de convergence domine la suite (

Nn=0 fn)N, domine par 1E , on obtient

fd = limN

Nn=0

fnd = limN

Nn=0

fnd =

nN

fnd

2.5 APPLICATIONS

2.5.1 Comparaison avec lintgrale de Riemann

On suppose ici que (X, M, ) = (Rd, L(Rd), ) o L(Rd) est la tribu de Lebesgue et la mesure deLebesgue.

Dfinition 2.28. Si I1, I2, . . . , I d R sont des intervalles borns de R, on appelle pav de Rd lensemble

P = I1 I2 Id Rd

On note mes(P) = (I1) . . . (Id), o (Ii) est la longueur du segment Ii, la mesure du pav P. On dit quune fonction f: Rd C est en escalier si f est combinaison linaire finie de fonctions

indicatrices de pavs (en particulier, f est donc tage) :

f =

ni=1

i1Pi i C, Pi Rd pavs

Si f est en escalier, on dfinit : fdx =

ni=1

imes(Pi) C

Ici comme pour les fonctions tages, la dfinition de lintgrale ne dpend que de f et pas de sadcomposition en fonctions indicatrices de pavs.

25


36/122

2.5. APPLICATIONS

On dit quune fonction f: Rd C est intgrable au sens de Riemann sil existe deux suites (fn)n et(n)n de fonctions en escalier, n 0, telles que

|f fn| n n N et

ndx n 0

On dfinit alors fdx = lim

n

fndx (2.4)

Remarques. 1) La limite (2.4) existe, car (

fndx)n est une suite de Cauchy. En effet,

|fn fm| |fn f| + |f fm| n + Mdonc

fndx fmdx |fn fm| dx ndx + mdx n,m 02) La limite (2.4) ne dpend que de f et non des suites (fn) et (n). Supposons en effet lexistence de

deux suites de fonctions en escaliers (fn)n et (n)n telles quef fn n n N et ndx n 0

On a alors fn fm |fn f| + f fm n + mdonc

fndx fmdx

fn

fm

dx

ndx +

mdx n,m 0

3) La dfinition (2.4) concide avec la dfinition "habituelle" laide des sommes de Riemann.Considrons en effet le cas particulier o d = 1, et f: R R sur la figure suivante.

f+n

fn

f

fn dx est appele la somme de Darboux infrieure et

f+n dx est appele la somme de Darboux

suprieure. De plus, on a : n N fn f f+n . Ainsi, f est intgrable au sens de Riemann si

(f+n fn )dx n 0.Lien avec ci-dessus : f+n = fn + n et fn = fn n.Proposition 2.29. Soit f: Rd C une fonction intgrable au sens de Riemann. Alors f est mesurable pour latribu de Lebesgue L(Rd), f est intgrable pour la mesure de Lebesgue , et

fd

Lebesgue

=

fdx

Riemann

26


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Dmonstration. Soient (fn)n, (n)n deux suites de fonctions en escalier telles que

|f fn| n n N et ndx n 0

Quitte extraire une sous-suite, on peut supposer quendx 2

n n N

Notons que n E+(Rd, B(Rd)) est une fonction tage pour la tribu de Borel 3, etndx =

nd n N

Comme nN ndx < , alors on sait que

n=0 n(x) < pour presque tout x Rd, i.e x E o

E B(Rd) tel que (E) = 0.En particulier, x E, limn n(x) = 0 donc on en dduit que

x E, limn fn(x) = f(x)

On en dduit que f est mesurable pour la tribu de Lebesgue L(Rd). En effet, si lon suppose poursimplifier que f est valeurs relles 4 alors, a R

x Rd | f(x) > a = {x E | f(x) > a} B(Rd) car f1E est borlienne

x E | f(x) > a

E

L(Rd)

Par ailleurs, comme

|f

f0

| 0, f est une fonction borne et nulle en dehors dun ensemble born. Il

existe donc M > 0 et un pav P Rd tel que |f| M1P. f est donc intgrable pour la mesure .Quitte remplacer fn par (M fn)1P avec M =

z si |z| MM

z

|z| si |z| > M, on peut supposer que |fn|

M1P, n N (et on a toujours que |f fn| n).En appliquant le thorme de convergence domine, on trouve donc :

fd =convergence domine

limn

fnd = lim

n

fndx =

dfinition

fdx

Proposition 2.30. Une fonction f: Rd C est intgrable au sens de Riemann si et seulement si :a) f est borne, et nulle en dehors dun ensemble born, et,

b) lensemble des points de discontinuit de f est ngligeable (pour la mesure de Lebesgue sur L(Rd)).

Dmonstration. 1) Supposons que f est intgrable au sens de Riemann, et soient (fn)nN, (n)nN dessuites comme ci-dessus, telles que

ndx 2n n N

3. On verra dans la dmonstration quil est ncessaire de complter la tribu pour avoir une tribu de Lebesgue4. Le cas complexe tombe tout de suite en sparant parties relles et imaginaires.

27


38/122

2.5. APPLICATIONS

On sait dj que f est borne et nulle en dehors dun born.Pour tout n

N, on note An

Rd lensemble des points de discontinuit de fn ou n. An est une

union finie de pavs de mesure nulle donc (An) = 0, n N.Soit A =

nN An. On a encore (A)

nN (An) = 0.

Par ailleurs, soit B Rd lensemble des points o n(x) ne converge pas vers 0 quand n . Ona vu que (B) = 0.On prtend que f est continue en tout point x0 A B. En effet, comme x0 / A, les fonctions fnet n sont constantes dans un voisinage de taille n > 0 de x0. Ainsi, si |x x0| < n, on a :

|f(x) f(x0)| |f(x) fn(x)| + |fn(x) fn(x0)| =0 car fn constante

+ |fn(x0) f(x0)|

n(x) + n(x0) = 2n(x0) n 0

Donc f est continue en x0.

2) Soit f: Rd R vrifiant les conditions a) et b) ci-dessus (le cas complexe se traite de mme).On peut supposer que |f| M1P avec M > 0 et P Rd un pav. Pour tout n N, soit nla subdivision de P en 2nd pavs de mesures gales. On note An la frontire de tous ces pavs, etA =

nN An. On a encore (A) = 0.

On dfinit deux suites (f+n )n et (fn )n de fonctions en escalier par

f+n (x) =

0 si x / PM si x Ansupyp(f(y)) si x p

avec p nfn (x) =

0 si x / PM si x Aninfyp(f(y)) si x p

avec p nAlors

fn (x) f(x) f+n (x)

x

Rd,

n

N

Soit B Rd lensemble des points de discontinuit de f. On a (B) = 0 par hypothse. Soit x0 A B, on prtend que

f+n (x0) fn (x0) n 0Cest vident si x0 / P. Si x0 P, alors pour chaque n N, x0 p, p n avec n = diam(p)

n 0.Comme f est continue en x0, on a :

supyx0


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Dfinition 2.31. On dit que E

Rd est quarrable si 1E est intgrable-Riemann.

Par la proposition prcdente, E Rd est quarrable Eest born et (E) = 0.Par exemple un ensemble de Cantor K est quarrable (K) = 0 (car K = K).

Remarque sur les intgrales "semi-convergentes"

1) Soient X = N, M = P(N) et la mesure de comptage. Si f = (fn)n, f: N C, alors f est intgrablesi et seulement si

nN |fn| < , et, dans ce cas,

fd =

nN

fn.

Contre exemple : si fn =(1)nn + 1

, alors

nN |fn| = +, donc f nest pas intgrable. Mais

limN

Nn=0

fn = 1 12

+1

3 1

4+ = ln(2)

2) Soit X = [0, +[, M = B(X) et la mesure de Lebesgue. Si f: X R est dfinie par

f(x) =

sin x

xsi x > 0

1 sinon

alors f est continue 5 sur X (donc mesurable), et

0 |f

|d =

0

| sin x|x

dx = +

Ainsi, f nest pas intgrable au sens de Lebesgue. Cependant,

limn

n0

sin x

xdx =

2

Ces exemples montrent que le cadre de Lebesgue nest pas "aussi" gnral quon pourrait le croire.Les intgrales gnralises ny appartiennent pas.

2.5.2 Intgrales dpendant dun paramtre

Soit (X, M, ) un espace mesur, et soit (, d) un espace mtrique.

On considre une fonction f: X C(x, ) f(x, )

et on suppose que la fonction x f(x, ) est intgrable sur X (pour la mesure ).On peut donc dfinir la fonction F: C par

F() =

X

f(x, )dx X

f(x, )dx

5. Exercice classique. Voir le taux de variation de la fonction sinus en 0.

29


40/122

2.5. APPLICATIONS

Afin dharmoniser la notation des intgrales, on notera, pour une fonction g : X C, de faon quiva-lente gd = g(x)dx = g(x)dxOn veut tudier la continuit et la drivabilit de F.

Thorme 2.32 (Thorme de continuit). On suppose :

i) , la fonction x f(x, ) est intgrable sur Xii) Pour -presque tout x X, la fonction f(x, ) est continue sur

iii) Il existe g : X R+ intgrable telle que, , on ait

|f(x, )| g(x) pour -presque tout x X

Alors F: C dfinie par F() = X

f(x, )dx est continue sur .

Remarques. 1) Dans i) il suffit de demander que x f(x, ) soit mesurable, la condition iii) impliquantlintgrabilit.

2) Si dans ii) on suppose seulement que f(x, ) est continue en un point 0 , on obtient que Fest continue en 0.

Dmonstration. Lhypothse i) garantit que F: C est bien dfinie. Soit 0 , et soit (n)n1 unesuite dans telle que d(n, 0)

n 0.

Par ii)f(x, n)

n f(x, 0) pour -presque tout x XPar iii),

n N, |f(x, n)| g(x) pour -presque tout x XPar le thorme de converge domine, on conclut :

f(n) =

X

f(x, n)dx n

X

f(x, 0)dx = F(0)

Comme 0 et la suite (n)n taient arbitraires, on a le rsultat voulu.

On suppose dsormais que R est un intervalle dintrieur non vide pour parler de drivabilit.

Thorme 2.33 (Thorme de drivabilit). On suppose

i) Pour tout , la fonction x f(x, ) est intgrable sur Xii) Pour -presque tout x X, la fonction f(x, ) est drivable sur

iii) Il existe g : X R+ intgrable telle que pour -presque tout x X on ait f(x, ) g(x)

30


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Alors la fonction :C dfinie par F() = X f(x, )dx est drivable sur et

F() =X

f(x, )dx

Remarques. 1)

f(x, ) est dfinie presque partout en x, et l o elle nest pas dfinie, on lui met la

valeur 0.2) Si = [a, b], "drivable sur " signifie : drivable sur ]a, b[, drivable droite en a et drivable

gauche en b.3) Mme si on ne souhaite la drivabilit de F quen un point 0 , il faut quand mme supposer iii)

pour tout .Dmonstration. Soit 0 , et soit (n)n1 une suite dans telle que n = 0, n 1 et n n 0.Pour tout n N, on dfinit :

hn(x) =1

n 0 (f(x, n) f(x, 0)), x X

Par ii), il existe un ensemble A M, avec (A) = 0 tel que x A, f(x, ) est drivable. Donc,x A, hn(x)

n

f(x, 0). On dfinit

h(x) =

f(x, 0) si x A

0 si x / A

Par iii) il existe B M, B A avec (B

) = 0 tel que

x B, |hn(x)| sup

f(x, ) g(x) n N

Par le thorme de la convergence domine, on a donc

F(n) F(0)n 0 =

X

hn(x)dx n

X

h(x)dx

Comme la suite (n)n1 est arbitraire, on conclut que F est drivable en 0 et

F(0) =X

h(x)dx

2.5.3 Application : la fonction dEuler

Pour tout > 0, on dfinit

() =

0

x1exdx

Cest une intgrale dpendant dun paramtre, on va ainsi appliquer les thormes de la partie prc-dente.

31


42/122

2.5. APPLICATIONS

Proposition 2.34. Pour tout > 0, ()

]0, +

[ est bien dfini, et la fonction : ]0, +

[

]0, +

[ est

continue.

Remarque. Pour se ramener au cas gnral du cours, on peut choisir soit X = ]0, +[ , M = B(X) et la mesure de Lebesgue soit X = R, M = B(R) et la mesure de Lebesgue, et on prolonge toutes les fonctions que lon

considre par zro sur ], 0].Ces deux points de vue sont possibles et sont strictement quivalents. Nous choisirons le premier dansla suite.

Dmonstration. Pour tout > 0, la fonction x x1ex est continue sur X = ]0, +[, donc mesurable,et valeurs positives. On peut donc dfinir

() =0

x1exdx [0, +]

Cette quantit est-elle finie ou infinie?On va voir que cette quantit est finie. On utilise la linarit de lintgrale pour faire les calculs sur [0, 1]et sur ]1, +[.Par le thorme de convergence monotone,

1

x1exdx = limN

N1

x1exdx limN

0

x1ex1[1,N](x)

suite croissante de fonctions

dx

or N1

x1exdx =N1

(x1ex2 )e

x2 dx

Comme x x1e x2 est une fonction continue tendant vers 0 en +, elle est borne. Il existe uneconstante C telle que x ]1, [ , x1e x2 C. Ainsi,N

1

x1exdx N1

Cex2 dx

= C(2)

ex2x=Nx=1

= 2C(e 12 eN2 )

2C

On en dduit donc que 1

x1exdx <

Par le mme thorme que prcdemment,10

x1exdx = lim0

1

x1exdx

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or

1

x1exdx 1

x1dx

=1

[x]x=1x=

=1

(1 )

1

On en dduit donc que 10

x1exdx <

Finalement, par linarit de lintgrale 0

x1exdx <

(Si 0, lintgrale vaudrait +)On voudrait dominer uniformment par rapport , mais cest impossible vu les dominations obtenues.Pour montrer la continuit de , on fixe 0 < 0 < 1 < et on pose = [0, 1].Pour , la fonction x x1ex est intgrable sur ]0, +[ et pour tout x > 0, la fonction x1ex est continue (et mme C). , x ]0, +[, on a

0 x1ex g(x) =

C1ex2 si x 1

x01 si 0 < x < 1

g est intgrable sur ]0, +[.Par le thorme de continuit 2.32, la fonction est continue sur = [0, 1], et comme 0 et 1 taientarbitraires, est continue sur ]0, +[.

Proposition 2.35. C(]0, +[) et pour tout k entier naturel, on a

(k)() =

0

(ln x)kx1exdx > 0

Corollaire 2.36. : ]0, +[ ]0, +[ est strictement convexe.

Dmonstration. En effet,

() =0

(ln x)2x1ex >0

dx > 0

Remarque. Pour tout > 0, il existe une constante C > 0 telle que x |ln x| C x ]0, 1]x |ln x| C x 133


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2.5. APPLICATIONS

Dmonstration (Dmonstration de la proposition 2.35). Pour tout k N, on dfinit fk : ]0, +[2 R par

fk(x, ) = (ln x)kx1ex

fk est une fonction de classe C par rapport x et , et

fk(x, ) = fk+1(x, ) x, > 0

Lemme 2.37. Soit 0 < 0 < 1 < 1. Pour tout k N, il existe hk : ]0, +[ R+ intgrable telle que

sup01

|fk(x, )| hk(x) x > 0

Dmonstration (Dmonstration du lemme). Choisissons > 0 tel que k < 0. Soit [0, 1]. Si 0 < x 1, on a :(ln x)kx1ex (Cx)kx01 = Ck x

>0 0 k1

On a major par une fonction intgrable sur ]0, 1]. Si x 1, on a : (ln x)kx1ex (Cx)kx11ex = Ck x1+k1ex

On a major par une fonction intgrable sur ]1, +[.Il suffit donc de prendre

hk(x) = Ck

x0k11]0,1](x) + x1+k1ex1]1,+[(x)

Grce au lemme, on peut donc dfinir pour tout k N

Fk() =

0

fk(x, )dx, [0, 1]

En outre, pour tout [0, 1] on a f(x, ) = |fk+1(x, )| hk+1(x) hk+1 intgrable

Par le thorme de drivation 2.33, Fk est drivable sur [0, 1] et

Fk() = 0 fk(x, )dx =

0 fk+1(x, )dx = Fk+1()

Comme 0 et 1 taient arbitraires, ceci montre que Fk est de classe C1 sur ]0, +[ et Fk = Fk+1. CommeF0 = , on a le rsultat.

Proposition 2.38.

( + 1) = () > 0

34


45/122


Dmonstration. Soit 0 < < M. En repassant aux intgrales de Riemann, on a

M

xexdx = xexx=Mx=

+ M

xexdx

= e MeM+ M

x1exdx

En prenant la limite 0, M , on trouve :

( + 1) =

0

xexdx = 0

x1exdx = ()

Il y aura un dveloppement ultrieur dans le cours pour traiter ceci plus rapidement, sans se rameneraux intgrales de Riemann.

Consquences: Valeurs particulires sur les entiers et demi-entiers Calculons la valeur de sur les entiers naturels non nuls.

(1) =0

exdx = 1, (2) = 1(1) = 1, (3) = 2(2) = 2, (4) = 3(3) = 6

Par rcurrence, on a donc(n + 1) = n! n N

Par ailleurs,

(1

2) =

0

1x

exdx

x=y2

=

0

1

yey

2

2ydy

= R ey2dy

= Cest lintgrale de Gauss. Ce calcul est justifi dans la partie 4.4.2, page 64.Il suffit ensuite dappliquer la formule de la proposition prcdente et

(3

2) =

1

2

, . . .

Comportement aux limites

Si 0, alors() =

( + 1)

1

Si

, alors

( + 1) =0

xexdx

x=+y=

( + y)e(+y)dy

= e

(1 +y

)eydy

y=z

= e

(1 +z

)ezdz

35


46/122

2.5. APPLICATIONS

Ainsi,( + 1) =

e()

o

() =

(1 +z

)ezdz

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5

FIGURE 2.1 La fonction dEuler

Proposition 2.39.

() n

2

Corollaire 2.40. On obtient la formule de Stirling

( + 1) 2e quand

Dmonstration (Dmonstration de la proposition 2.39). A z R fix, on a

1 +

z

ez

= exp

ln

1 +

z

zOn fait un dveloppement limit 6 de ln(1 + z

) quand tend vers linfini

ln

1 +

z

z =

z

12

z2

+ O

|z|3

32

z

6. Rappel : ln(1 + x) = x 1

2x2 + O(x3) quand x 0

36


47/122


Donc

1 + z

ez2

2

On veut appliquer le thorme de convergence domine pour calculer (). On a besoin du lemmesuivant pour la domination.

Lemme 2.41. On a la proprit suivante

ln(1 + x)

3x

4si x 1

x x2

4si |x| < 1

Dmonstration (Dmonstration du lemme). En effet, Si x 1, on a par concavit de t ln(1 + t)

ln(1 + x) ln(2)x 3x

4

0

1

2

3

0 1 2 3 4

FIGURE 2.2 Reprsentations de y = ln(1 + x) et y = (ln2)x

Si 0 x 1, on considre g(x) = x x2

4 ln(1 + x). On a g(0) = 0, et

x [0, 1] , g(x) = 1 x2

11 + x

=x(1 x)2(1 + x)

0

Ainsi, x [0, 1] , g(x) 0.N.B : g(1) = 34 ln 2 0 et on retrouve lingalit du premier cas.

Si 1 < x < 0, on aln(1 + x) = x x

2

2+

x3

3 x

4

4+

Cest une srie termes ngatifs, donc majore par les sommes partielles et

ln(1 + x) x x2

2 x x

2

4

37


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2.5. APPLICATIONS

Notons g(z, ) =

1 +

z

ez1[,+[(z). On obtient donc

() =

R

g(z, )dz

On sait dj que

g(z, ) e

z22 z RDautre part, Si z

g(z, ) = exp

ln

1 +

z

z

exp

3z

4

z

= exp14z exp

|z|

4

si 1

Si |z| ,

g(z, ) = exp

ln

1 +

z

z

exp

z

z2

4

z

= exp

z

2

4

Conclusion : Si 1,

g(z, ) h(z) = maxe |z|4 , e z24 Ainsi,

() =

R

g(z, )dz

R

ez2

2 dz =

2

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CHAPITRE 3

MESURE DE LEBESGUE SUR Rd

Dans le chapitre1, nous avons parl de la thorie abstraire de la mesure, et donn lexistence (et lunicit)de la mesure de Lebesgue, ce qui nous a permis de faire toute une thorie de lintgration (chapitre 2). Ilreste donc construire la mesure de Lebesgue, et cest le sujet de ce chapitre 3.

3.1 MESURES EXTRIEURES

Dfinition 3.1. Soit X un ensemble quelconque. On appelle mesure extrieure sur X une application : P(X) [0, +] telle que

i) () = 0

ii) est croissante :(A) (B) si A B

iii) est sous-additive : si {An}nN est une famille de parties de X, alors

nN

An

nN(An)

Les proprits dune mesure extrieure sont moins contraignantes que celles dune mesure. EN particu-lier, une mesure extrieure est dfinie sur toutes les parties de lensemble X alors que les mesures sontdfinies sur des tribus.Dans cette partie, nous allons voir comment partir dune mesure extrieure on construit une mesuresur une tribu qui dpend de . Et cest ainsi quon construira la mesure de Lebesgue.

Dfinition 3.2. Soit X un ensemble muni dune mesure extrieure . On dit quune partie B X est-rgulire si, pour toute partie A de X, on a

(A) = (A B) + (A B)On note M() lensemble des parties -rgulires de X.

Remarque. Lingalit (A) (A B) + (A B) provient trivialement de la sous-additivit de lamesure extrieure. Pour vrifier que B est -rgulire, cest lingalit inverse quil importe de vrifier.

Proposition 3.3. M() est une tribu sur X contenant toutes les parties B X telles que (B) = 0, et larestriction de M() est une mesure.

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3.1. MESURES EXTRIEURES

Dmonstration. On notera M = M() pour simplifier.

Soit B

X telle que (B) = 0. Alors, pour toute partie A de X,

(A B) (B) = 0 par croissanceDonc

(A) (A B) = (A B) + (A B) Il est clair que M et que B M si et seulement si B M. Pour montrer que M est une tribu,

il reste donc voir que M est stable par runion dnombrable. Commenons par ltablir pour unerunion finie. Soient B1, B2 M. Soit A une partie de X.Comme B1 M,

(A (B1 B2)) = (A (B1 B2) B1) + (A (B1 B2) B1)= (A B1) + (A B2 B1)

Donc, comme B1, B2 M,(A (B1 B2)) + (A (B1 B2))

= (A B1) + (A B1 B2) + (A B1 B2)= (A B1) + (A B1)= (A)

On en dduit que B1 B2 M.Pour terminer la preuve, considrons une famille {Bn}nN dlments de M deux deux disjoints 1.On veut montrer que

B =

nNBn M et (B) =

nN(Bn)

Notons En =nk=0 Bk. Pour toute partie A X et tout n N, on prtend que

(A En) =nk=0

(A Bk) (3.1)

Par rcurrence, (3.1) est vraie au rang n = 0 et si lon suppose la proprit vraie au rang n 1, on a(A En) = (A En Bn

=Bn

) + (A En Bn =En1

)

= (A Bn) + (A En1)En prenant la limite lorsque n tend vers +, et en se souvenant que En B, on trouve

limn

(A En) =k=0

(A Bk) (A B)

Par ailleurs, par sous-additivit,

(A B) = nN

(A Bn)nN

(A Bn)

1. Si {An}n est une famille dlments de M, on peut toujours crireSn

An =Sn

Bn, avec les lments Bn deux deuxdisjoints (cf. la dmonstration de la proposition 1.8 page 3).

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CHAPITRE 3. MESURE DE LEBESGUE SURRD

Ainsi, on a montr que

limn

(A En) = n=0

(A Bn) = (A B)

En particulier, si A = X,(B) =

nN

(Bn)

Enfin, comme M En B, on a pour tout n N et pour toute partie A X,(A) = (A En) + (A En) (A En) + (A B)

En prenant la limite quand n tend vers +, on obtient(A) (A B) + (A B)

donc B M. Passons enfin la construction de la mesure de Lebesgue, en dfinissant une mesure extrieure que lonrestreindra.

3.2 LA MESURE DE LEBESGUE

On suppose prsent que X = Rd.

Dfinition 3.4 (Rappel). Un pav P de Rd est un produit dintervalles borns

P = I1 I2 Id Ij R intervalle born

On note mes(P) = (I1) . . . (Id), o (Ij) est la longueur du segment Ij , la mesure du pav P.

Dfinition 3.5. Pour toute partie A de Rd , on dfinit

(A) = inf

iN

mes(Pi) | A iN

Pi, Pi pav ouvert de Rd

Linfimum est pris sur tous les recouvrements dnombrables de A par des pavs ouverts (videmment,il existe toujours de tels recouvrements).

Remarque. On obtient la mme dfinition si on travaille avec des pavs quelconques. En effet, si Qi Rd

est un pav quelconque et si > 0, il existe Pi un pav ouvert tel que Qi Pi et mes(Pi) mes(Qi) + 2i .

Thorme 3.6. On a les assertions suivantes

i) est une mesure extrieure sur Rd.

ii) La tribu M() contient la tribu de Borel B(Rd).iii) (P) = mes(P), pour tout pav P Rd.

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3.2. LA MESURE DE LEBESGUE

Dfinition 3.7. On appelle mesure de Lebesgue sur Rd la restriction, note , de la mesure extrieure

B(Rd) ou M().

Dmonstration. i) est une mesure extrieure.Il est clair que () = 0 et que est croissante. Montrons la sous-additivit : soit {An}nN unefamille de sous-ensembles de Rd. On peut supposer que (An) < , n N (sans quoi il ny arien montrer). Soit > 0. Pour tout n N, il existe une famille {Pni }iN de pavs ouverts tels que

An iN

Pni etiN

mes(Pni ) (An) +

2n

Alors

nNAn = nNiNPniet

nN

iN

mes(Pni ) nN

(An) +

2n

=nN

(An) + 2

Comme > 0 tait arbitraire, on conclut que

nN

An

nN

(An)

ii) M() est une tribu de Rd qui contient B(Rd).Soient j

{1, . . . , d

}et

R. On dfinit

Bj() = RR R ], +[j-me position

R R

Cest un demi-espace ouvert. La famille {Bj()}j{1,...,d},R engendre la tribu des borliens B(Rd).Il suffit donc de vrifier que

Bj() M() j {1, . . . , d} , R

Soit A une partie de Rd et soit > 0. Il existe des pavs ouverts {Pi}iN tels que A iN Pi et

iN mes(Pi) (A) + . Alors,

A

Bj()

iN (Pi Bj())o Pi Bj() est un pav ouvert comme intersection dun pav ouvert et dun demi-espace ouvert,et

A Bj() iN

Pi Bj()

o Pi Bj() est un pav quelconque. Or,

i N, mes(Pi) = mes(Pi Bj()) + mes(Pi Bj())

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Ainsi,

(A Bj()) + (A Bj()) iN

mes(Pi Bj()) +iN

mes(Pi Bj())

=iN

mes(Pi)

(A) +

Et comme tait arbitraire, on obtient

(A Bj()) + (A Bj()) (A)donc Bj() M().

iii) Pour tout pav P Rd, on a videmment

(P) mes(P)

Inversement, soit P Rd un pav ferm et soit {Pi}iN un recouvrement de P par des pavsouverts :

P iN

Pi

Par compacit de P, il existe un entier N N tel que P Ni=1 Pi. Par le lemme 3.8 ci-dessous, on ames(P)

Ni=0

mes(Pi) n=0

mes(Pi)

Ainsi,

(P) mes(P)Enfin, si P est un pav quelconque, on a

(P) mes(P) mes(P) (P)

Par ailleurs, P\P = P est une union finie de pavs fermsde mesure (mes) nulle, donc (P) = 0par sous-additivit. Ainsi,

(P) (P) + (P) = (P)

On conclut que(P) = (P) = (P) = mes(P)

On a besoin dintroduire le lemme suivant pour terminer la preuve, tant donn que la notion de mesure

de pavage na pas t dfinie.

Lemme 3.8. Si P, P1, . . . , P N sont des pavs de Rd avec P Ni=1 Pi alors

mes(P) Ni=1

mes(Pi)

Dmonstration. On peut supposer sans perte de gnralit que les pavs P, P1, . . . , P N sont ferms.

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3.2. LA MESURE DE LEBESGUE

P1

P2

P3

PI1

I2

Q1 Q2 Q3 Q4

Q5 Q6 Q7 Q8

Q9 Q10 Q11 Q12

FIGURE 3.1 Reprsentation de lide de la dmonstration du lemme dans le cas gnral

Le cas N = 1 est clair. Si P = I1 I2 Id et Q = J1 J2 Jd, alors

P Q i {1, . . . , d} , Ii Ji

et dans ce cas,

mes(P) = (I1)

. . .

(Id) (J1)

. . .

(Jd) = mes(Q)

Considrons le cas gnral. Lide de la dmonstration est prsente sur la figure 3.1. Notons P =I1 I2 Id et Pi = Ii,1 Ii,2 Ii,d. Pour chaque j {1, . . . , d}, on subdivise lintervalle Ijde la faon suivante :

Ij =

aj1, aj2

aj2, aj3

ajnj , a

jnj+1

o {ajk}k{1,...,nj+1} est lensemble des extrmits des intervalles Ij Ii,j pour i parcourant 1, . . . , N .Notons

E =

k = (k1, . . . , kd) Nd | 1 k1 n1, . . . , 1 kd nd

Pour k E, on note Qk =

a1k1, a

1k1+1

a2k2 , a

2k2+1

adkd , a

dkd+1

. Avec ces notations, on a que

P = kE

Qk

et que

mes(P) =dj=1

(Ij) =dj=1

njkj=1

ajkj , ajkj+1

=kE

a1k1 , a1k1+1

. . . adkd , adkd+1 = kE

mes(Qk)

(3.2)

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Or,

kE

mes(Qk) Ni=1

k | QkPi

mes(Qk)

=(3.2) pour PiP

Ni=1

mes(Pi P)

ni=1

mes(Pi)

Nous y sommes ! Lexistence de la mesure de Lebesgue est maintenant un problme rsolu. Il reste donc prouver son unicit. Pour cela, dune manire analogue lintroduction dune mesure extrieure notion plus gnrale que la mesure sur une tribu on va introduire la notion de classes monotones

notion plus gnrale que la notion de tribu.

3.3 CLASSES MONOTONES

Dfinition 3.9. Un sous-ensembleN P(X) est appel une classe monotone si :1) X N2) Si A, B Net A B, alors B \ A N3) Si An Npour tout n N, et que An An+1, alors

nNAn N

Remarques. 1) Si A N, alors A = X\ A N2) Toute tribu est une classe monotone.

3) Une classe monotone est une tribu si et seulement si elle est stable par intersection finie, i.e. siA1, A2 N, alors A1 A2 N. En effet, la classe monotone devient ainsi une algbre, et donc unetribu par 3).

Comme dans le cas des tribus, toute intersection de classes monotones est encore une classe monotone.Si F est une famille de parties de X, on peut dfinir

N(F) =Nclasse monotone surX,NF

N

Alors,N(F) est une classe monotone sur X appele la classe monotone engendre par F. Cest la pluspetite classe monotone sur X qui contient F.On a toujoursN(F) (F) (car lensemble des classes monotones contient lensemble des tribus).

Lemme 3.10 (des classes monotones). Si F P(X) est une famille de partie de X stable par intersec-tions finies, alors

N(F) = (F)

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3.3. CLASSES MONOTONES

Remarque. Il suffit de montrer queN(F) est stable par intersections finies.

Dmonstration. Soit A F. NotonsN1 = {B N(F) | B A N(F)}

Par hypothse, N1 contient F. En outre, cest une classe monotone. En effet, X N1, puisque X A = A N(F) Si B1, B2 N1, avec B1 B2, alors B2 \ B1 N(F) et

(B2 \ B1) A = (B2 A) \ (B1 A) N(F)Ainsi, B2 \ B1 N1.

Si Bn N(F) n, avec Bn Bn+1, alors B =nN Bn N(F) et

B

A = nN(Bn A) N(F)Ainsi, B N1.

Ainsi, N1 contient N(F), mais comme on a linclusion inverse par dfinition de N1, on dduit queN1 = N(F).On a montr que si A F et B N(F) alors A B N(F).Soit maintenant B N(F). Notons

N2 = {A N(F) | A B N(F)}Par la premire tape, on a que N2 contient F. On vrifie comme prcdemment que N2 est une classemonotone, et on a doncN2 = N(F).Ainsi, si A, B N(F) alors A B N(F).

Corollaire 3.11. Soit (X, M) un espace mesurable muni de deux mesures et . Supposons quil existe unefamille F de parties de M telle que

i) F est stable par intersection finie, et (F) = Mii) (A) = (A) A F

On suppose en outre

a) soit que (X) = (X) < b) soit quil existe une famille {En}nN dlments de F, telle que En En+1,

nN En = X et (En) =

(En) < pour tout n N.Alors = (i.e. (A) = (A), A M).

Dmonstration. a) SoitN= {A M | (A) = (A)} M. Par hypothse, N F. Montrons que Nestune classe monotone.

1) X Npar lhypothse a).2) Si A, B Navec A B, alors

(B \ A) = finie

(B) (A) = (B) (A) = finie

(B \ A)

Ainsi, B \ A N.

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3) Si An Npour tout n N et que An An+1, alors

nN

An

= limn

(An) = limn

(An) = nN

An

Ainsi,nN An N.

On a bien montr queNest une classe monotone. Ainsi, par le lemme des classes monotones,

N N(F) = (F) = M N

DoncN= M.b) Pour tout n N, on restreint et En en posant :

A

M, n(A) = (A

En) et n(A) = (A

En)

Comme En F, on a n(A) = n(A) A F. En appliquant le rsultat de a), on trouve que

n(A) = n(A) A M

En prenant la limite quand n tend vers +, on trouve

(A) = limn

n(A) = limn

n(A) = (A)

et ce, pour tout A M.

Application (Unicit de la mesure de Lebesgue). On prend X = Rd,

M=

B(Rd), F la famille des pavs

ouverts et En = ]n, n[d. En appliquant le b) du corollaire ci-dessus, on voit quune mesure borliennesurRd finie sur les borns est entirement dtermine par ses valeurs sur les pavs ouverts. Ceci montredonc lunicit de la mesure de Lebesgue sur Rd.

3.4 PROPRITS DE LA MESURE DE LEBESGUE

On a montr lexistence dune unique mesure : B(Rd) [0, +] telle que (P) = mes(P) pour toutpav P de Rd. On sait aussi :

1) que se prolonge en une mesure sur L(Rd).Rappel : L(Rd) = (B(Rd), N) o N = A Rd | B B(Rd) avec A B et (B) = 0 est len-semble des parties ngligeables.

2) que se prolonge la tribu M() B(Rd).Rappel : (A) = inf

iN mes(Pi) | A

iN Pi, Pi pavs ouverts.

et

M() =

B Rd | (A) = (A B) + (A B) A Rd

.

On peut se demander si M() est beaucoup plus grande que la tribu B(Rd), et si elle a un lien avec latribu complte L(Rd).

Proposition 3.12. On a M() = L(Rd).

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3.4. PROPRITS DE LA MESURE DE LEBESGUE

Dmonstration. Linclusion L(Rd) M() est immdiate. En effet, on sait que M() B(Rd) et que

M()

N puisque si A

N, il existe B

B(Rd) tel que (B) = 0 et A

B, et alors (A) (B) =

(B) = 0 .Inversement, soit A M(). Comme

A =nN

A ]n, n[d

il suffit de vrifier que A]n, n[d est -rgulier et dans L(Rd) pour tout n N. On peut donc supposersans perte de gnralit que A P o P est un pav ouvert. Pour tout n 1, il existe une famille{Pni }iN de pavs ouverts contenus dans P telle que

A iN

Pni etiN

mes(Pni ) (A) +

1

n

NotonsBn =

iN

Pni et B =nN

Bn

Alors B B(Rd), on a A B P, et

(B) (Bn) (A) +1

nn 1

ce qui implique que (B) = (B) = (A). On applique le mme argument A = P \ A. On obtientainsi B B(Rd) avec A B P et ( B) = ( A). Posons B = P \ B P\ A = A. On a B B(Rd) et,comme A M(),

(P) = (P A) + (P A) = (A) + ( A)

donc(B) = (P) ( B) = (P) ( A) = (A)

Finalement, on a trouv deux borliens B et B tels que B A B et (B \ B) = (B) (B) = 0.Ainsi, A L(Rd).

Montrons maintenant que la mesure de Lebesgue est invariante par translation. Pour cela, si x Rd etA P(Rd), on notera x + A = {x + a | a A}.

Proposition 3.13. Soit M = B(Rd) ou L(Rd). La mesure de Lebesgue est invariante par translation, au senso pour tout A M et x Rd, on a x + A M et (x + A) = (A).

Dmonstration. Tout suit naturellement du fait que si P Rd est un pav, alors x + P est encore un pavet que mes(x + P) = mes(P). En particulier, la mesure extrieure

(A) = inf

iN

mes(Pi) | A iN

Pi, Pi pav ouvert de Rd

est invariante par translation. De ce fait, la tribu

M() =

B Rd | (A) = (A B) + (A B), A Rd

= L(Rd)

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est galement invariante par translation (car cette dernire commute avec les oprations ensemblistes).Dautre part, pour tout x

Rd, x +

B(Rd) = x + A | A B(Rd) est une tribu qui contient les

integration a

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