Metode Numerik

PENS-ITS 1

Integrasi Numerik

Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

Metode Numerik

PENS-ITS 2

Topik

• Integral Reimann• Trapezoida• Simpson 1/3• Simpson 3/8• Kuadratur Gauss 2 titik• Kuadratur Gauss 3 titik

Metode Numerik

PENS-ITS 3

INTEGRASI NUMERIK

• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

Metode Numerik

PENS-ITS 4

INTEGRASI NUMERIK• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

• Fungsi yang rumit misal :

dxex

x x5.02

0

23

sin5.01)1cos(2

∫ +++

Cxxxdxx

Cxdxx

Cbaadxbax

Cbaadxbax

Ca

edxe

Cnaxdxax

axax

nn

+−=

+=

++=+

++−=+

+=

++

=

∫

∫

∫∫

∫

∫+

||ln||ln

||ln1

)sin(1)cos(

)cos(1)sin(

1

1

Metode Numerik

PENS-ITS 5

INTEGRASI NUMERIK

• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan.

• digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

• Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

Metode Numerik

PENS-ITS 6

Dasar Pengintegralan NumerikØ Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

)(...)()(

)()(

1100

0

nn

i

n

ii

b

a

xfcxfcxfc

xfcdxxf

+++=

≈ ∑∫=

x0 x1 xnxn-1x

f(x)

Metode Numerik

PENS-ITS 70

2

4

6

8

10

12

3 5 7 9 11 13 15

• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

Dasar Pengintegralan Numerik

Metode Numerik

PENS-ITS 8

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dxxfdxxfIb

a n

b

a ∫∫ ≅= )()(

Ø Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

nn

1n1n10n xaxaxaaxf ++++= −

−L)(

Dasar Pengintegralan Numerik

Metode Numerik

PENS-ITS 9

Ø fn (x) bisa fungsi linearØ fn (x) bisa fungsi kuadrat

Metode Numerik

PENS-ITS 10

Ø fn (x) bisa juga fungsi kubik atau polinomial yang lebih tinggi

Metode Numerik

PENS-ITS 11

Ø Polinomial dapat didasarkan pada data

Metode Numerik

PENS-ITS 12

INTEGRASI NUMERIK

• Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan :

• L = ( )∫b

adxxf

Metode Numerik

PENS-ITS 13

Metode Integral Reimann

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

Metode Numerik

PENS-ITS 14

Metode Integral Reimann

• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x • Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x

= [a,b]• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi

panjang dimana )(. xifxiLi ∆=

Metode Numerik

PENS-ITS 15

Metode Integral Reimann

• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

• Dimana • Didapat

( ) ( ) ( ) ( )

( ) i

n

ii

n

n

xxf

xxfxxfxxfxxfLLLLL

∆=

∆++∆+∆+∆=++++=

∑=0

3221100

210

.....

( ) ( )∑∫=

=n

ii

b

axfhdxxf

0

hxxxx n =∆==∆=∆=∆ ...210

Metode Numerik

PENS-ITS 16

Contoh

• Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1]

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

x**2

∫1

0

2 dxxL =

Metode Numerik

PENS-ITS 17

Contoh• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

• Secara kalkulus :

• Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333• = 0,052

( )( )( ) 385,085,31.0

00.181.064.049.036.025.016.009.004.001.001.0

)(.10

0

==++++++++++=

= ∑=i

ixfhL

.....3333,0|31 1

03

1

0

2 === ∫ xdxxL

Metode Numerik

PENS-ITS 18

Algoritma Metode Integral Reimann

• Definisikan fungsi f(x)• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi• Tentukan jumlah pembagi area N• Hitung h=(b-a)/N• Hitung

∑=

=N

iixfhL

0)(.

Metode Numerik

PENS-ITS 19

Metode Integrasi Trapezoida• Aproksimasi garis lurus (linier)

[ ])()(

)()()()(

10

1100i

1

0ii

b

a

xfxf2h

xfcxfcxfcdxxf

+=

+=≈ ∑∫=

x0 x1x

f(x)

L(x)

Metode Numerik

PENS-ITS 20

Aturan Komposisi Trapesium

[ ] [ ] [ ]

[ ])()()()()(

)()()()()()(

)()()()(

n1ni10

n1n2110

x

x

x

x

x

x

b

a

xfxf2x2fxf2xf2h

xfxf2hxfxf

2hxfxf

2h

dxxfdxxfdxxfdxxf n

1n

2

1

1

0

++++++=

++++++=

+++=

−

−

∫∫∫∫−

LL

L

LL

x0 x1x

f(x)

x2h h x3h h x4

nabh −

=

Metode Numerik

PENS-ITS 21

Metode Integrasi Trapezoida( ) ( )( )

( ) iiii

iiii

xffL

atau

xxfxfL

∆+=

∆+=

+

+

.21

.21

1

1

∑−

==

1

0

η

iiLL

( ) ( )nn

n

iii fffffhffhL +++++=+= −

−

=+∑ 1210

1

01 2...22

221

++= ∑

−

=n

n

ii fffhL

1

10 2

2

Metode Numerik

PENS-ITS 22

Algoritma Metode Integrasi Trapezoida

• Definisikan y=f(x)• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)• Tentukan jumlah pembagi n• Hitung h=(b-a)/n• Hitung

++= ∑

−

=n

n

ii fffhL

1

10 2

2

Metode Numerik

PENS-ITS 23

Aturan Simpson 1/3• Aproksimasi dengan fungsi parabola

[ ])()(4)(3

)()()()()(

210

221100

2

0

xfxfxfh

xfcxfcxfcxfcdxxf ii

i

b

a

++=

++=≈ ∑∫=

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

Metode Numerik

PENS-ITS 24

Aturan Komposisi Simpson

x0 x2x

f(x)

x4h h xn-2h xn

nabh −

=

…...

hx3x1 xn-1

Metode Numerik

PENS-ITS 25

Metode IntegrasiSimpson 1/3

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

• atau dapat dituliskan dengan:

• Disyaratkan jml pias (n) genap

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnn ffhffhffhffhffhffhL ++++++++++++= −−− 11243322110 23

23

...23

23

23

23

+++= ∑∑ n

genapii

ganjilii ffffhL

0 24

3

N = 0 – n

L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

Metode Numerik

PENS-ITS 26

Cara II (Buku Rinaldi Munir)

• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

02

20002

2002 !2)()(

!2)()()( f

hhxxf

hxfxf

hhxxxf

hxxfxp ∆

−++=∆

−+∆+=

Metode Numerik

PENS-ITS 27

Polinom Interpolasi Newton Gregory

Metode Numerik

PENS-ITS 28

Polinom Interpolasi Newton Gregory

Bentuk Umum

Metode Numerik

PENS-ITS 29

Cara II (Buku Rinaldi Munir hlm 285)• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h]

02

00

02

00

02

2

2

3

0

2

0

200

22

2

2

3

0

2

0

2

00

2200

2

02

2

0

322

3422

44

68

242

|462

!2)(

)(

fhfhxhfL

fhhfhxhfL

fh

hhhf

hhxhfL

fhx

hxf

hxxfL

dxfh

hxxfhxfL

xdxpdxxfL

hxx

h

hh

∆+∆+=

∆

−+∆+=

∆

−+∆+=

∆

−+∆+=

∆

−+∆+=

==

==

∫

∫∫

Metode Numerik

PENS-ITS 30

Cara II (Buku Rinaldi Munir hlm 286)

• Mengingat

• Maka selanjutnya

010 fff −=∆

)4(3

334

3

332

3222

)2(3

)(22

210

210

012010

012010

fffhL

fhfhfhL

fhfhfhhfhfxhfL

fffhffhxhfL

++=

++=

+−+−+=

+−+−+=

01201120102 2)()( ffffffffff +−=−−−=∆−∆=∆

Metode Numerik

PENS-ITS 31

Kaidah Simpson 1/3 (total)

Ltotal =

• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap

)24(3

)4(3

...)4(3

)4(3

)(...)()()(

2

6,4,2

1

5,3,10

12432210

2

0

4

2 2n

n

n

ii

n

ii

nnn

x

x

x

x

xnb

a

ffffh

fffhfffhfffh

dxxfdxxfdxxfdxxfx

+++≈

+++++++++≈

+++=

∑∑

∫ ∫ ∫∫

−

=

−

=

−−

−

Metode Numerik

PENS-ITS 32

Contoh

• Hitung integral ∫1

0

32 dxx

Ltotal

Ltotal = 0.1/3*( f(0) + 2*f(1) + 2*f(2) + …+ 2*f(9) + f(10))

= 0.1/3*(0+0.002+0.16+0.54+0.128+0.25+0.432

+0.686+1.024+1.458+2)

= 0.333333 * 6.68

= 2.22666444

Metode Numerik

PENS-ITS 33

Aturan Simpson 3/8Ø Aproksimasi dengan fungsi kubik

[ ])()()()(

)()()()()()(

3210

33221100i

3

0ii

b

a

xfxf3xf3xf8h3

xfcxfcxfcxfcxfcdxxf

+++=

+++=≈ ∑∫=

x0 x1x

f(x)

x2h h

L(x)

x3h

Metode Numerik

PENS-ITS 34

Metode Integrasi Simpson 3/ 8

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

• atau dapat dituliskan dengan:

( ) ( ) ( )nnnn ffffhhffffhffffhL +++++++++++++= −−− 12365433210 3383...

8333

8333

83

N = 0 – n

L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

Metode Numerik

PENS-ITS 35

Latihan Soal

• Hitung Integral dengan menggunakan

– Integral Reimann– Integrasi Trapezoida– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8

dxex∫ +

1

0 11

Metode Numerik

PENS-ITS 36

Metode Integrasi Gauss

• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson) à berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan batasan :– h sama– Luas dihitung dari a sampai b

• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar.

Metode Numerik

PENS-ITS 37

Metode Integrasi Gauss• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

• Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=h/2=1 à menjadi metode trapezoida• Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut

sehingga error integrasinya minimum

( )

2)1(1

)1()1()1()1(2

)(1

1

=−−=

−+≈−+≈= ∫−

h

ffffhdxxfI

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI +≈= ∫−

Metode Numerik

PENS-ITS 38

Metode Integrasi Gauss

• Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 ? Karena ada 4 perubah yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan yang mengandung x1, x2,,c1 dan c2.

• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi linier.

• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

• f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3

Metode Numerik

PENS-ITS 39

Metode Integrasi Gauss

322

311

4411

41

1

33

222

211

3311

31

1

22

2211221

12

1

1

11

1

1

0)1(41)1(4

1|41)(

32)1(3

1)1(31|3

1)(

0)1(21)1(2

1|21)(

212)1(1|11)(

xcxcxdxxxxf

xcxcxdxxxxf

xcxcxdxxxxf

ccxdxxf

xx

xx

xx

xx

+==−−==→=

+==−−==→=

+==−−==→=

+==−−==→=

=−=

−

=−=

−

=−=

−

=−=

−

∫

∫

∫

∫

)()()( 2211

1

1

xfcxfcdxxfI +≈= ∫−

Metode Numerik

PENS-ITS 40

03

20

2

322

311

222

211

2211

21

=+

=+

=+=+

xcxc

xcxc

xcxccc

577350269.031

577350269.03

11

2

1

21

−=−

=

==

==

x

x

cc

)31()

31()(

1

1

−+== ∫

−

ffdxxfISehingga :

apabila dipecahkan menghasilkan

Sekarang sudah didapatkan 4 persamaan simultan sbb :

Metode Numerik

PENS-ITS 41

Metode Integrasi Gauss

• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan mengevaluasi nilai fungsi f di dan31=x

)31()

31()(

1

1

−+=∫

−

ffdxxf

31−=x

Metode Numerik

PENS-ITS 42

Transformasi

• Range [a,b] à [-1,1] • x à u • f(x) à f(u) • dx à du

∫=b

ai dxxfL )( ∫

−

=1

1i du)u(fL

Metode Numerik

PENS-ITS 43

Transformasi

duabdx

uababx

aaubuabx

aabuxabuax

uabax

)(21

2)(

2)(

22

2))(1(2))(1(22

21

−=

−+

+=

+−+−=

+−+=−+=−

+=

−−

a bx

-1 1u

Metode Numerik

PENS-ITS 44

Transformasi

duu2

)ab(2

)ba(f)ab(21du)u(f

1

1

1

1∫∫−−

−

++

−=

∫∫ ==−

b

a

1

1i dx)x(fdu)u(fL

du)ab(21

2)ab(u

2)ab(fdu)u(f −

+

+−

=

Metode Numerik

PENS-ITS 45

Analisa

• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes.• Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu

menjadi

∫−

1

1

du)u(f

Metode Numerik

PENS-ITS 46

Algoritma

Integrasi Kuadratur Gaussdgn Pendekatan 2 titik

(1) Definisikan fungsi f(x)(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)(3) Hitung nilai konversi variabel :

(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:

(5) Hitung:

( ) )(21

21 abuabx ++−=

( ))ab(u)ab(f)ab(21du)u(f 2

121 ++−−=

+

−=3

1f3

1fL

Metode Numerik

PENS-ITS 47

Metode Numerik

PENS-ITS 48

Metode Gauss Legendre 3 Titik

• Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi berikut :

• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan

)()()()( 332211

1

1

xfcxfcxfcdxxfI ++≈= ∫−

543

2

)(;)(;)()(;)(;1)(

xxfxxfxxfxxfxxfxf===

===

95;

98;

95

321 === ccc

774596669.053

0774596669.053

3

2

1

==

=

−=−=

x

xx

Metode Numerik

PENS-ITS 49

Metode Gauss Legendre 3 Titik

( )

++

−=∫

− 53f

950f

98

53f

95du)u(f

1

1

Sehingga rumus luasannya menjadi :

Metode Numerik

PENS-ITS 50

Algoritma Metode Integrasi Gauss dengan Pendekatan 3 Titik

Metode Numerik

PENS-ITS 51

Metode Gauss n-Titik

Metode Numerik

PENS-ITS 52

Beberapa Penerapan Integrasi Numerik

• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

• Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Metode Numerik

PENS-ITS 53

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000

0 105

6

3

15

9

Metode Numerik

PENS-ITS 54

Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5.7322

15

1160 =

++= ∑

=iiyyyhL

5.7316

0

== ∑=i

iyhL

74243 160 =

+++= ∑∑

== genapii

ganjilii yyyyhL

Metode Numerik

PENS-ITS 55

Menghitung Luas dan VolumeBenda Putar

• Luas benda putar:

• Volume benda putar:

∫=b

ap dxxfL )(2π

[ ]∫=b

ap dxxfV 2)(π

Metode Numerik

PENS-ITS 56

Contoh :

• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian – bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu

dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, – bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

• Bagian I:

• Bagian II:

4 cm

6cm

7 cm

12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

satuan dalam cm

ππ 56)7)(4(2 ==IL ππ 196)7)(4( 2 ==IV

( ) ππ 288)12(122 ==IIL ( )( ) ππ 345612122 2 ==IIV

Metode Numerik

PENS-ITS 57

Contoh :

• Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

• Pada bagian II dan IV: dan • Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

ππ 10822

2)(4

150 =

++= ∑

=iiIVII yyyhLL

( ) ππ 5.118722

4

1

225

20 =

++== ∑

=iiIVII yyyhVV

IVII LL =IVII VV =

Metode Numerik

PENS-ITS 58

Contoh :• Luas permukaan dari botol adalah:

• Luas = 1758.4 cm2• Volume botol adalah:

• Volume = 18924.78 cm3

4.1758560

10828810856

==

+++=+++=

πππππ

IVIIIIII LLLLL

πππππ

60245.118734565.1187196

=+++=

+++= IVIIIIII VVVVV