integrali i pacaktuar
DESCRIPTION
sgsgTRANSCRIPT
![Page 1: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/1.jpg)
Integrali i pacaktuar
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: (1) Le të jetë f funksion i përkufizuar në njëinterval .I Funksioni i derivueshëm F quhet funksion primitiv i funksionit f
nëse ).)(()(' IxxfxF (2) Nëse F është funksion primitiv i funksionit f në intervalin ,I atëherë çdofunksion tjetër primitiv i funksionit f në I ka formën ( ) ( ) .x F x C ku Cështë një konstantë e çfarëdoshme.(3) Bashkësia e të gjitha funksioneve primitive të funksionit f në intervalin ,I
quhet integral i pacaktuar i funksionit f dhe shënohet .)( dxxf Pra
dxxf )( .)( CxF
Funksioni f quhet funksion nënintegral, kurse shprehja dxxf )( quhet shprehjenënintegrale.
)4( Janë të vërteta barazimet :
1 ( ) ( ) .dF x dx F x C
'
2 ( ) ( ).f x dx f x
3 ( ) ( ) .d f x dx f x dx
4 ( ) ( ) .cf x dx c f x dx
5 ( ) ( ) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx
Tabela e integraleve. Duke pasur parasysh tabelën e derivateve të funksioneveelementare, në vazhdim po e japim tabelën e integraleve të pacaktuar të disafunksioneve elementare.
).1(1
11
C
xdxx
.||ln2 Cxx
dx
.3 Cedxe xx
).11(ln
4 aaCa
adxa
xx
.cossin5 Cxxdx
![Page 2: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/2.jpg)
136
.sincos6 Cxxdx
.cos
72
Ctgxx
dx
.sin
82
Cctgxx
dx
.sin1
92
Cxacx
dx
.cos1
102
Cxacx
dx
.1
112
Cactgxx
dx
.1
112
Cacctgxx
dx
.|1|ln1
12 2
2Cxx
x
dx
.|1|ln1
13 2
2Cxx
x
dx
Integralet e mëposhtme mund të sillen në integrale tabelore, provoni!
2.1.1. 2 12 .x x dx
x Rezultati:
32 ln .
3
xx x C
2.1.2. 2 .xdx Rezultati: 2 .x C
2.1.3. 3 .x dx Rezultati:4
.4
xC
2.1.4. 3( 4 ) .t dt Rezultati: 4 .t C
2.1.5. .xdx Rezultati:2
.3
x x C
2.1.6.3.
dx
x Rezultati:2
1.
2C
x
2.1.7.5
4.
dx
x Rezultati:4
1.C
x
2.1.8. 3 .xdx Rezultati: 1 33.
7x C
![Page 3: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/3.jpg)
137
2.1.9.3
.dx
x Rezultati: Cx 34
43
.
2.1.10. xx
dx. Rezultati:
2.C
x
2.1.11. .x x x dx Rezultati: 8 158.
15x C
2.1.12. 3 2(5 4 3 5) .x x x dx Rezultati: 4 3 25 4 35 .
4 3 2x x x x C
2.1.13.4 7 26 8 5 2
.x x x
dxx
Rezultati:4 33 16
5 2ln .2 7
x x xx x C
2.1.14.3
4
10 3.
xdx
x
Rezultati:
3
110ln .x C
x
2.1.15.3
2.
xdx
x
Rezultati:
2
1.
xC
x
2.1.16.2
3
( 1).
xdx
x
Rezultati:
2
2 1ln .
2x C
x x
2.1.17.2
2
( 1)( 3).
3
x xdx
x
Rezultati:
2 1ln .
6 3
x xx C
x
2.1.18.34
1 1.dx
x x
Rezultati: 42 4 .x x C
2.1.19.3( 1)
.x
dxx
Rezultati:
23 6 ln .
3
x xx x x C
2.1.20.
dxx
xxx3
)1)((. Rezultati: Cxx 67613
76
136
.
2.1.21. 4 32
1.x x x x dx
x Rezultati:
53 2 7 32 3 1
.5 3 7
xx x C
x
2.1.22.2
11 .x xdx
x Rezultati:
2
4
4( 7).
7
xC
x
2.1.23. .b
ax dxx
Rezultati: 21
ln .2
ax b x C
2.1.24.1
.x
x
edx
e
Rezultati: .xx e C
2.1.25.2
1 .x
x ee dx
x
Rezultati:
1.xe C
x
![Page 4: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/4.jpg)
138
2.1.26.3
1 .x
x aa dx
x
Rezultati:
2.
ln
xaC
a x
2.1.27. 3(3 ) .x xe dx Rezultati: 33.
ln3
xxe C
2.1.28.2
cos2.
cos sin
xdx
x x Rezultati: .ctgx tgx C
2.1.29. 2 .ctg xdx Rezultati: .ctgx x C
2.1.30.2 2
.sin cos
dx
x x Rezultati: .tgx ctgx C
2.1.31.2
2
3 2.
cos
ctg xdx
x
Rezultati: 3 2 .tgx ctgx C
2.1.32.
13 2
2
3.
x xdx
x
Rezultati: .
322
2
Cxx
x
2.1.33.31 21
3 32 2 .x x x dx
Rezultati:17 19 10
316 6 36 72 122 .
17 19 5x x x x C
2.1.34.31 1
2 2 .a x dx
Rezultati: .
52
23
2 2
522
1
2
3
2
3
Cxxaaxxa
2.1.35. 2cos .xdx Rezultati:sin 2
.2 4
x xC
2.1.36. 2 2(cos sin ) .x x dx Rezultati:sin 2
.2
xC
2.1.37. sin cos .x xdx Rezultati:cos2
.4
xC
2.1.38. 2cos 3 .xdx Rezultati:sin 6
.2 12
x xC
2.1.39.1
2(1 cos ) .x dx Rezultati: 2 2 cos .2
xC
2.2. Integrimi me metodën e zëvendësimit
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Le të jetë )(uF funksion primitiv i funksionit)(uf dhe )(xu funksion i derivueshëm. Nëse ekziston funksioni i përbërë
![Page 5: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/5.jpg)
139
( ( )),F x atëherë ))(( xF është funksion primitiv i funksionit '( ( )) ( ),f x x d.m.th.
'( ( )) ( ) ( ( )) .f x x dx F x C
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.2.1. Njehsoni .sin
dx
xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
2cos
2tg2
2cos
2sin2sin 2 xx
dxxx
dx
x
dx
e pastaj zëvendësojmë ,
2cos22 2
dtx
dxt
xtg kemi
2
ln | | ln tg ( ).sin 22 tg cos
2 2
dx dx d xt C C x k
x xx t
2.2.2. Njehsoni .cos
dx
xZgjidhje: Sipas detyrës 2.2.1, kemi
ln tg .cos 2 4 2
sin2
dx dx xC x k
xx
2.2.3. Njehsoni2
.3 2 5
dx
x x Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën
2 222
1 1 1,
2 53 2 5 3 3 31 1 5 1 143 3 3 9 3 3 9
dx dx dx dx
x x x x x x
e pastaj zëvendësojmë ,314
314
31
dtdxtx kemi
Ctt
dt
t
dt
xx
dx
arctg14
1114
9314
31
914
914
314
31
523 22
2
![Page 6: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/6.jpg)
140
13
1 1 3 13arctg arctg .
14 14 14 14
xx
C C
2.2.4. Njehsoni2.
3 5
dx
x xZgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën
1009
1035
1
535
153 2
22
x
dx
xx
dx
xx
dx
e pastaj zëvendësojmë ,103
103
103
dtdxtx kemi
132
19100
103
51
1009
1009
103
51
53 222
2 t
dt
t
dt
t
dt
xx
dx
101 12 1 1 1 1 6 103ln ln ln .
103 2 1 3 3 101 13
xt xC C C
t xx
.
2.2.5. Njehsoni2
.1 3
dx
x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
31
313
1
31
313
1
31 222
xx
dx
xx
dx
xx
dx
22
61
36133
1
31
361
613
1
x
dx
x
dx
e pastaj zëvendësojmë1 13 13
,6 6 6
x t dx dt kemi:
2 2 2
131 1 63 31 3 13 1 13 13
36 6 36 6
dtdx dx
x xx t
![Page 7: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/7.jpg)
141
2
1 13 6 1 1 6 1arcsin arcsin .
63 13 3 3 131
dt xt C C
t
2.2.6. Njehsoni2
.2 3 1
dx
x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
21
169
432
1
21
232
1
132 22
2
x
dx
xx
dx
xx
dx
161
432
12
x
dx
e pastaj zëvendësojmë3 1 1
,4 4 4
x t dx dt kemi:
Cttt
dt
t
dt
xx
dx
1ln2
1
12
1
161
161
41
2
1
132
2
22
2
.1)34(34ln2
1 2 Cxx
2.2.7. Njehsoni2
.4 4 5
dx
x x
Zgjidhje:Integralin e dhënë e transformojmë në formën
1212
1
544 22
x
dx
xx
dx
e pastaj zëvendësojmë1
,2
x t dx dt kemi
2 2
2 2
1 1 1 1 5ln 1 ln .
2 2 2 2 44 4 5 1
dx dtt t x x x C
x x t
2.2.8. Njehsoni 2 2 .a x dxZgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x a t dx a tdt kemi :
2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 2sin cos cos
2 2
ta x dx a a a t tdt a tdt a dt
![Page 8: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/8.jpg)
142
2 1sin 2 .
2 2
at t C
Meqenëse sin arcsin ,x
x a t ta
atëherë
2 22 2
2
2sin 2 2sin cos 2 sin arcsin 1 2 1 .
x x x x xt t t a x
a a a a a
Rrjedhimisht2 2
2 2 2 22
1 1 2sin 2 arcsin
2 2 2 2
a a x xa x dx t t C a x C
a a
22 2arcsin .
2 2
a x xa x C
a
2.2.9. Njehsoni 21 4 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në këtë formë:
dxxdxxx 22 )2(541
e pastaj zëvendësojmë dtdxtx 552 dhe zbatojmë rezultatin egjetur në detyrën 2.2.8, kemi
dttdxxdxxx 222 15)2(541
21 25arcsin ( 2) 1 4 .
2 5
xx x x C
D e t u r a m e r e z u l t a t e
2.2.10.2
.1
dx
x x Rezultati: .3
12arctg
3
2C
x
2.2.11.2
.7 12
dx
x x Rezultati:4
ln .3
xC
x
2.2.12.2
.1
dx
x x Rezultati: 21
ln 1 .2
x x x C
2.2.13.2
.5 4
dx
x x Rezultati:
1 5 2arcsin .
25
xC
2.3. Integrimi në pjesë
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Integrimi me pjesë bëhet sipas kësaj formule:.udv u v vdu
![Page 9: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/9.jpg)
143
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.3.1. Njehsoni 2 ln .x xdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë,
32( ln ) ,
3
dx xu x dv x dx du v
x
kemi
2 3 2 3 31 1 1 1ln ln ln .
3 3 3 9x xdx x x x dx x x x C
2.3.2. Njehsoni 2 .xxe dxZgjidhje: Integrojmë me pjesë 2 21
( )2
x xu x dv e dx du dx v e
dhe
kemi
2 2 2 21 1 1(2 1) .
2 2 4x x x xxe dx xe e dx e x C
2.3.3. Njehsoni .x arctgxdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë
2
2( ) ,
1 2
dx xu arctgx dv xdx du v
x
kemi
dxx
xarctgx
xxarctgxdx 2
22
121
2
2 1.
2 2
x xarctgx C
2.3.4. Njehsoni sin .xe xdxZgjidhje: Integrojmë me pjesë ( sin ) ( cos ),x xu e dv xdx du e dx v x kemi
sin cos cos .x x xe xdx e x e xdx Përsëri integrojmë me pjesë ( cos ) ( sin ),x xu e dv xdx du e dx v x kemi
xexexdxexexdxe xxxxx sincoscoscossin xdxex sin
1sin (sin cos ) .
2x xe xdx e x x C
2.3.5. Njehsoni .ln
2 dxx
x
Zgjidhje: Integrojmë me pjesë2
1ln ,
dx dxu x dv du v
x x x
kemi:
![Page 10: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/10.jpg)
144
.1lnln1lnln 2
2 Cxx
xdxx
x
x
x
dx
xx
xdx
x
x
2.3.6. Njehsoni .22 dxax
Zgjidhje: Vejmë 2 2
2 2,
xdxu x a dv dx du v x
x a
kemi:
dx
ax
aaxaxxdx
ax
xaxxdxax
22
22222
22
22222
22
2
22
2222 )(
ax
dxadx
ax
axaxx
2 2 2 2 2
2 2.
dxx x a x a dx a
x a
Meqenëse 2 2
2 2ln ,
dxx x a C
x a
atëherë
dxax 22 dxaxaxx 2222 Caxxa 222 ln
dxax 22 22
21
axx 2
2 2ln .2
ax x a C
2.3.7. Njehsoni 2 3 2 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
dxxdxxx
41
23
232
2
e pastaj zëvendësojmë3
,2 2 2
t dtx dx kem
22 23 1 1
3 2 12 4 4
x x dx x dx t dt
2 21 1 11 ln 1 .
4 2 2t t t t C
.2323281
23)32(41 22 Cxxxxxx
2.3.8. Njehsoni .22 dxax
Zgjidhje:Vejmë 2 2
2 2,
xdxu x a dv dx du v x
x a
kemi:
![Page 11: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/11.jpg)
145
dx
ax
aaxaxxdx
ax
xaxxdxax
22
22222
22
22222
22
2
22
2222 )(
ax
dxadx
ax
axaxx
2 2 2 2 2
2 2.
dxx x a x a dx a
x a
Meqenëse 2 2
2 2ln ,
dxx x a C
x a
atëherë
dxax 22 dxaxaxx 2222 Caxxa 222 ln
dxax 22 22
21
axx Caxxa
222
ln2
.
2.3.9. Njehsoni 2 2 .x x dx Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë në formën
dxxx 22 dxx
47
21
2
e pastaj zëvendësojmë1 7 7
,2 2 2
x t dx dt kemi
22 21 7 7
2 12 4 4
x x dx x dx t dt
1
21
47 2tt Ctt
1ln
21 2
2 21 7 2 1 2(2 1) 2 ln 2 .
4 8 7 7
xx x x x x C
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.3.10. arcsin .xdx Rezultati: 2arcsin 1 .x x x C
2.3.11. sin .x xdx Rezultati: sin cos .x x x C
2.3.12. cos3 .x xdx Rezultati:sin3 cos3
.3 9
x x xC
2.3.13. .x
xdx
e Rezultati:1
.x
xC
e
![Page 12: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/12.jpg)
146
2.3.14. 2 .xx dx Rezultati:2
ln 2 1.
2 ln 2x
xC
2.3.15. 2 3 .xx e dx Rezultati:3
2(9 6 2) .27
xex x C
2.3.16. 2( 2 5) .xx x e dx Rezultati: 2( 5) .xe x C
2.3.17. sin cos .x x xdx Rezultati:cos2 sin 2
.4 8
x x xC
2.3.18. cos .x xdx Rezultati: sin cos .x x x C
2.3.19. ( 1) .xx e dx Rezultati: .xxe C
2.3.20. 2( 2 3)cos .x x xdx Rezultati: 2( 1) sin 2( 1)cos .x x x x C
2.4. Integrimi i funksioneve racionale
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e: Funksioni i formës)()(
)(xq
xpxf ku qp,
janë polinome quhet funksion racional . Nga algjebra lineare dihet se çdo funksionracional mund të paraqitet si shumë e një polinomi dhe një funksioni dhe një numritë fundmë funksionesh elementare racionale. Prandaj duke zbatuar vetitë eintegralit të pacaktuar,integrali i funksionit racional paraqitet si shumë e integralittë një polinomi dhe një numri të fundmë integralesh të funksioneve elementareracionale. Të shtojmë se integralet e mëposhtme :
(1) .A
dxx a
(2) ( 2).( )k
Adx k
x a
(3) 22
( 4 0).Ax B
dx p qx px q
(4)
222
( 2 4 0).Ax B
dx k p qx px q
,
janë integralet e funksioneve elementare racionale .
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
![Page 13: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/13.jpg)
147
2.4.1. Njehsoni .
1 2x
dx
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2 xxx atëherë funksionin nënintegralmund ta shkruajmë në formën
BAxBABxBAxAx
B
x
A
x
)(11
1111
2
1( 0) ( 1) .
2A B A B A B
Rrjedhimisht
2
1 1 1 1 1ln(1 ) ln(1 ) ln .
1 2 1 2 1 2 2 1
dx dx dx xx x C C
x x x x
2.4.2. Njehsoni
.45
122 dx
xx
x
Zgjidhje: Meqenëse ),4)(1(452 xxxx atëherë
BBxAAxxx
B
x
A
xx
x
4124145
122
)14()2()4()(12 BABABAxBAx).3()1( BA
Rrjedhimisht3
2
2 1 ( 4)3 ln( 1) 3ln( 4) ln .
5 4 1 4 1
x dx dx xdx x x C C
x x x x x
2.4.3. Njehsoni 2 3
.5 4
xdx
x
Zgjidhje: Kemi:
dxx
dxx
xdx
x
x
54
157
251
5432
51
4532
1 7 1 7 42 2 ln .
45 5 5 5 55
dxdx x x C
x
2.4.4. Njehsoni3 22 7 4 2
.2 3
x x xdx
x
Zgjidhje: Kemi
![Page 14: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/14.jpg)
148
3 2 3 222 7 4 2 1 2 7 4 2 1 5
2 4 23 32 3 2 22 2
x x x x x xdx dx x x dx
x x x
2
35242
2
1 2
x
dxdxxdxdxx
Cxxxx
23
ln522
43
221 23
32 5 3
ln .3 2 2
xx x x C
2.4.5. Njehsoni2
3 4.
6
xdx
x x
Zgjidhje: Zerot e trinomit 62 xx janë 21 x dhe 2 3.x Prandaj
32)3)(2(43
643
2
x
B
x
A
xx
x
xx
x
3 4 ( 3) ( 2) 3 4 3 2x A x B x x Ax A Bx B 3 4 ( ) 3 2 3 3 2 4x A B x A B A B A B
.12423
3
BABA
BA
Prej nga rrjedh se
2
3 4 22ln 2 ln 3 .
6 2 3
x dxdx dx x x C
x x x x
.
2.4.6. Njehsoni2
5 7.
(2 4 6)
xdx
x x x
Zgjidhje: Integralin e dhënë e shkruajmë në formën:
dx
xxx
x
)642(75
2 2
1 5 7.
2 ( 2 3)
xdx
x x x
Meqenëse zerot e trinomit 0322 xx janë: ,1,3 21 xx 322 xx( 3)( 1).x x Prandaj
13)1)(3(
75
x
C
x
B
x
A
xxx
x
)3()1()1)(3(75 xCxxBxxxAx
CxCxBxBxAAxAxx 33275 222
![Page 15: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/15.jpg)
149
)3()32()(75 2 AxCBAxCBAx ( 0) ( 2 3 5) ( 3 7)A B C A B C A
7,
3A 3,C .
32
B
Prej nga2
5 7 7 1 2 1 3.
( 2 3 3 3 3 1
x
x x x x x x
Rrjedhimisht
13
332
37
21
)32(75
21
2 x
dx
x
dx
x
dxdx
xxx
x
1 7 2ln | | ln | 3 | 3ln | 1|
2 3 3x x x C
7 1 3ln | | ln | 3 | ln | 1|
6 3 2x x x C
7 26 7 33 6
9
( 3)ln ln 3 ln ( 1) ln .
( 1)
x xx x x C C
x
2.4.7. Njehsoni 1892 23
2
xxx
dxx.
Zgjidhje: 3 2 2 22 9 18 ( 2) 9( 2) ( 2)( 9) ( 2)( 3)( 3),x x x x x x x x x x x prandaj
332)3)(3)(2(
2
x
C
x
B
x
A
xxx
x
)3)(2()3)(2()3)(3(2 xxCxxBxxAx
.2
3,3rep
10
3,3rep
5
4,2rep
Cx
Bx
Ax
Rrjedhimisht3
123
31
103
21
54
1892 23
2
xxxxxx
x dhe
2
3 2
4 3 3ln 2 ln 3 ln 3 .
2 9 18 5 10 2
x dxx x x C
x x x
2.4.8. Njehsoni
2 2.
(3 15 18)
xdx
x x
![Page 16: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/16.jpg)
150
Zgjidhje: Meqenëse
2222 )65(9
1
)65(9 xx
xdx
xx
xdx dhe meqenëse
zerot e trinomit 0652 xx janë 1 22, 3,x x atëherë
3)3(2)2()3()2( 2222
x
D
x
C
x
B
x
A
xx
x
)3()2()2()3)(2()3( 2222 xxDxCxxBxAx.5,3,5,2 DCBA
Prej nga
35
)3(3
25
)2(2
)65( 2222
xxxxxx
x
dhe
35
)3(3
25
)2(2
)65( 2222 x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xdx
Rrjedhimisht
2 2
1 1 2 35ln | 2 | 5ln | 3 | .
9 ( 5 6) 9 2 3
xdxx x C
x x x x
2.4.9. Njehsoni .
)52( 2 xxx
dx
Zgjidhje: Meqenëse trinomi ,0522 xx nuk ka zero reale, atëherë
52)52(1
22
xx
CBx
x
A
xxx
xCBxxxA )()52(1 2 2 1 1 2
1 ( ) (2 ) 5 , ,5 5 5
A B x A C x A A B C
5252
51
51
)52(1
22
xx
x
xxxx
2 2
1 1 1 2.
( 2 5) 5 2 5
x
x x x x x x
2 2
1 2ln .
( 2 5 5 2 5
dx xx dx
x x x x x
Meqenëse
5252
)22(21
522
222 xx
dx
xx
dxxdx
xx
x
atëherë
![Page 17: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/17.jpg)
151
52( 2 xxx
dx
5252)22(
21
ln51
22 xx
dx
xx
dxxx .
Tani nga se
52
)22(21
2 xx
dxx 21ln | 2 5 |
2x x C
2 2 2
1 2 1 1 1 1arctg
22 5 ( 1) 4 2 1 2 2 2
x tdx dx dt xt arctg
dx dtx x x t
rrjedh se
2 2
1 1 1ln .
( 2 5) 5 2 22 5
dx x xarctg C
x x x x x
2.4.10. Njehsoni4
.1
dx
x Zgjidhje: Meqë 4 2 2 21 ( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1),x x x x x x atëherë
4 2
1 1 1 1, , 0,
1 1 1 1 4 4 2
A B Cx DA B C D
x x x x
11
21
11
41
11
41
11
24
xxxx
4
1 1 1ln | 1| ln | 1|
1 4 4 2
dxx x arctgx C
x
44
1 1ln .
1 1 2
dx xarctgx C
x x
2.4.11. Njehsoni6 4 2
3 2 2
4 2.
( 1)
x x xdx
x x
Zgjidhje: Meqenëse
1)1()1(24
22223223
246
x
GFx
x
EDx
x
C
x
B
x
A
xx
xxx
)1()1()1(24 222222246 xCxxBxxAxxx323 )1)(()( xxGFxxEDx
456246 )2()()(24 xFDCAxGBxFCxxx ABxxCAxGEB 23 )2()2(
2, 0, 0, 2, 0, 1, 0.A B C D E F G Prej nga
1)1(2
2)1(
242223223
246
x
xdx
x
xdx
x
dxdx
xx
xxx
![Page 18: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/18.jpg)
152
2 22 2 2 2
1 1 1 1ln( 1) ln 1 .
1 2 ( 1)x C x C
x x x x
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.4.12.3 2
1.
6
xdx
x x x
Rezultati:
3
10
1 2
6 15
( 2)ln .
( 3)
xC
x x
2.4.13.3 2
3 5.
1
xdx
x x x
Rezultati:
1 1 4ln .
2 1 1
xC
x x
2.4.14.2
4 7.
6
xdx
x x
Rezultati: 3ln ( 2) ( 3) .x x C
2.4.15.2
.6 13
dx
x x Rezultati:1 3
.2 2
xarctg C
2.4.16.2
.5
dx
x x Rezultati:1
ln .5 5
xC
x
2.4.17.2
4.
( 1)( 1)
xdx
x x Rezultati:1 1 1
ln .4 1 2( 1)
xC
x x
2.4.18.2
.5 6
dx
x x Rezultati: ln( 3) ln( 2) .x x C
2.4.19.2
3
1.
xdx
x x
Rezultati:
1ln .x C
x
2.4.20.5 2
.dx
x x
Rezultati:2
2
1 1 ( 1) 1 2 1ln .
6 1 3 3
x xarctg C
x x x
2.4.21.3 2
2
3 5 7.
2
x x xdx
x
.
Rezultati: 2 21 3 13 ln( 2) .
2 2 2 2
xx x x arctg C
2.4.22.2 2
.( 1)
dx
x x Rezultati:2
2 2
1 1ln .
2 1 2( 1)
xC
x x
2.4.23.3
.8
dx
x Rezultati: 21 1 1 1
ln( 2) ln( 2 4) .12 24 4 3 3
xx x x arctg C
![Page 19: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/19.jpg)
153
2.4.24.2 2
1.
( 1)( 9)
xdx
x x
Rezultati:2
2
1 1 1 1ln .
16 9 8 24 2
x xarctgx arctg C
x
2.4.25.2
3
2.
1
xdx
x
Rezultati:
2 2 1ln( 1) .
3 3
xx arctg C
2.4.26.3
.1
dx
x Rezultati:2
2
1 ( 1) 1 2 1ln .
6 1 2 2
x xarctg C
x x
2.4.27.2 4
.( 1)
dx
x x Rezultati:1 1 1 1
ln .4 1 2
xarctgx C
x x
2.4.28.4 3
.( 1)
dx
x x Rezultati: 3 33
1ln | | ln | 1| .x x C
x
2.5. Integrimi i funksioneve irracionale
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e:
(1) Integralet e tipit , ,..., ( , ,..., , ),m r
n sR x x x dx m n r s
ku R është funksion
racional në lidhje me , ,..., .m r
n sx x x Këto integrale shndërrohen në integrale tëfunksioneve irracional me zëvendësimin ,ktx ku k është shumëfishi më i vogël ipërbashkët për .,..., sn
(2) Integralet e tipit , ,..., ( , ,..., , ),
m r
n sax b ax bR x dx m n r s
cx d cx d
ku R
është funksion racional në lidhje me , ,..., .
m r
n sax b ax bx
cx d cx d
Këto integrale
shndërrohen në integrale të funksioneve racionale me zëvendësimin ,ktdcx
bax
ku
k është shumëfishi më i vogël i përbashkët për .,..., sn
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.5.1. Njehsoni3
3.
xdx
x x x xZgjidhje: Zëvendësojmë ,6 56 dttdxtx kemi
![Page 20: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/20.jpg)
154
dx
xxxx
x3
3
Ct
t
tt
dt 1ln6
)1(6 .
1ln6
6
6
Cx
x
2.5.2. Njehsoni2
2 1.
xdx
x
Zgjidhje: Zëvendësojmë ,12 2 tdtdxtx kemi
dxx
x
2
12 2 2
2 2 2 2
44 .
( 1) ( 1)
t tdt dt
t t
Meqenëse
1)1(1)1()1()1()1( 2222
2
22
2
t
D
t
C
t
B
t
A
tt
t
t
t
)1()1()1()1()1()1( 22222 ttDtCttBtAt
.41
,41
,41
,41
DCBA
dxx
x
2
12
dtt
t22
2
)1(
4
14
1
)1(4
12 t
dt
t
dt4
14
1
)1(4
12
t
dt
t
dt
Ctt
tt
|1|ln1
1|1|ln
1
1
Ct
t
t
tC
t
t
t
t
1
1ln
1
2
1
1ln
1
222
2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1ln ln .
2 1 1 2 1 1 2 1 1
x x x xC
x xx x
2.5.3. Njehsoni3
3
1 1.
1 1
xdx
x
Zgjidhje: Zëvendësojmë ,31 23 dttdxtx kemi
dx
x
x3
3
11
11
dtt
ttdtt
t
t
13
1
13
322
Ctttt
|1|ln22
33 2
3
.)11ln(12)1(3
13 2333 2 Cxxx
x
![Page 21: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/21.jpg)
155
2.5.4. Njehsoni 37 4 .x x dxZgjidhje: Zëvendësojmë 3 24 3 ,x t dx t dt kemi
dxxx 3 47 dtttt 23 )4(37 CttCt
t )7(34
843 344
7
.4)12(3)3)(4(43 323 Cxxxxxx
2.5.5. Njehsoni2
1 1.
xdx
x x
Zgjidhje: Zëvendësojmë 22 2 2
1 1 2,
1 ( 1)
x tt x dx dt
x t t
kemi
332 2 2
2 2 2
1 1 2 12 ( 1) 2 2 .
( 1) 3 3
x t t xdx t t dt t dt C C
x x t x
2.5.6. Njehsoni4
3.
xdx
x xZgjidhje: Zëvendësojmë 12 1112 ,x t dx t dt kemi
dxxx
x 3
4
dt
tt
tdtt
tt
t
)1(1212 24
1411
64
3
dt
t
t
112
2
10
Ctarctgttttt
357912
3579
.121245
127
1234 1212412 512 74 3 Cxarctgxxxxx
2.5.7. Njehsoni3
.1 1
xdx
x x Zgjidhje: Zëvendësojmë 6 6 51 1 6 ,x t x t dx t dt kemi
113 xx
xdx
Ctttttt
dtttt
t
4567896
16
4567895
32
6
6 73 43 )1(76
)1(43
)1(32
xxx
.)1(23
)1(56
)1( 3 26 5 Cxxx
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.5.8.34
1 1.dx
x x
Rezultati: 42 4 .x x C
![Page 22: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/22.jpg)
156
2.5.9.3( 1)
.x
dxx
Rezultati: .ln63
32
Cxxxxx
2.5.10.3
( )(1 ).
x x xdx
x
Rezultati: .
76
136 67613 Cxx
2.5.11. 4 32
1.x x x x dx
x
Rezultati: .1
73
32
53723
5
Cx
xxx
2.5.12.2
11 .x xdx
x Rezultati: .
7
)7(44
2
Cx
x
2.5.13. .1 1
xdx
x Rezultati:2
(1 ) 1 1 .3
x x C
2.5.14. .( 1) 1
dx
x x Rezultati:1 1 2
ln .2 1 2
xC
x
2.5.15.1 1
.1
xdx
x x
Rezultati:1 1 1
ln .11 1
x x xarctg C
xx x
2.5.16.4
.dx
x x Rezultati: 4 42 4 4ln 1 .x x x C
Integrali i formës 2( , ) .R x ax bx c dx Njehsimi i integraleve të kësaj forme
bëhet me zëvendësimet e Eulerit:
( )a Nëse 0a merret zëvendësimi 2 .ax bx c t ax
( )b Nëse 0c merret zëvendësimi 2 .ax bx c xt c
( )c Nëse ))(( 212 xxxxacbxax merret zëvendësimi
21( )ax bx c x x t ose .)( 2
2 txxcbxax
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.5.17. Njehsoni2
.4 4
dx
x x x
Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi xtxx 442
![Page 23: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/23.jpg)
157
2 2 22
2
4 4 4 4 44 4 ,
2( 2) 2( 2) 2( 2)
t t t t tx x x dx dt
t t t
kemi
442 xxx
dx.
244
242
2
2 Cxxx
arctgct
arctgt
dt
2.5.18. Njehsoni2
.( 1) 1
dx
x x x
Zgjidhje:Meqenëse ,01c merret zëvendësimi 11 2 txxx2 2
22 2 2 2
1 2 1 2( 1)1 ,
1 1 ( 1)
t t t t tx x x dx
t t t
kemi
222 2 ( 1)
2 2( 1) 1
dx dtarctg t C
t tx x x
.111
22
Cx
xxarctg
2.5.19. Njehsoni2
.7 10
xdx
x x
Zgjidhje: Meqenëse ),2)(5(1072 xxxx merret zëvendësimi
1
3107
125
)5(107 22
2
22
t
txx
t
txtxxx
2 2
6,
( 1)
tdx
t
kemi
2
2 22
5 2 32 7
( 1) 17 10
xdx t tdt arctg t C
t tx x
.29142
)5)(2(352
7 2 Cxx
xx
x
xarctg
2.5.20. Njehsoni2
.2 3
dx
x x x
Zgjidhje: Meqenëse ,01a merret zëvendësimi xtxx 322
3 2 22
2
3 2 3 1 2 32 2 ,
2(1 ) 2(1 ) 2 (1 )
t t t t tx x x dx
t t t
kemi
2
2 2 22
1 ( 2 3) 2(1 ) 2(1 )
2 (1 ) ( 3)( 2 3)2 3
dx t t t tdt
t t t tx x x
![Page 24: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/24.jpg)
158
2
1 3 1 32 2 ln ln
3 2 3 3 3 3
dt t tC C
t t t
.332
332ln
3
12
2
Cxxx
xxx
2.5.21. Njehsoni .11
112
2
dxx
x
Zgjidhje: Meqenëse ,01a zëvendësojmë
t
txtxx
21
12
2
dt
t
tdx
t
tx 2
222
21
21
1 dhe kemi:
2 2 2 3 2
2 2 22
1 1 ( 2 1)( 1) 1 1 4 2 1
( 2 1) 2 2 ( 1)1 1
x t t t t t tdx dt t dt
t t t t tx
dtttt
t 22 )1(841
21
21
Ct
tt
t
1
4||ln2
21
21
.1222
)1ln(222
2 Cx
xxxxx
2.5.22. Njehsoni2
.3 2
dx
x x x
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(2(232 xxxx integrali i dhënë zgjidhet
me zëvendësimin )2()1)(2( xtxx
222
2
)1(2
112
t
tdtdx
t
tx
22
3 2 .1
tx x
t
Kemi:
2 2
2 2 2 22
2 ( 1)( 1)2 2 2
( 1) (2 1) 2 13 2
dx t t t dtdt arctg t C
t t tx x x
.2
12222 C
x
xarctgtarctg
2.5.23. Njehsoni2
2
1 1.
1 1
xdx
x
![Page 25: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/25.jpg)
159
Zgjidhje: Meqenëse ),1)(1(1 2 xxx atëherë merret zëvendësimi
2222
2
22
)1(4
12
111
)1(1t
tdtdx
t
tx
t
txxtx
dhe kemi
2 22
2 2 2 222 2
2
21 4
1 1 ( 1)14
2 ( 1) ( 1)1 1 1 ( 1)1
tt
x ttdx dt dt
t t tx tt
Ctarctgtt
)1(21
11
4 2
.1
1
11
12
1
11
1
14
2
22
2C
x
xarctg
x
xx
x
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.5.24.2
.1
dx
x x x Rezultati:
2
2
1 1ln .
1 1
x x xC
x x x
2.5.25.2
.1
dx
x x
Rezultati: 2 2 21 1( 1 ) ln 1 .
4 2x x x x C
2.5.26.2 2
.( 1) 4
dx
x x
Rezultati:2 2
2 2
1 1 4 5ln .
2 5 1 4 5
x x xC
x x x
2.5.27.2
.1 2
dx
x x x Rezultati:
2
2
1 2 2 1ln .
1 2 2 1
x x xC
x x x
2.5.28.2
.4
dx
x x x Rezultati:
24.
2
x xC
x
![Page 26: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/26.jpg)
160
2.5.29.2
.3 5 8 4
dx
x x x
Rezultati: 319ln( 1) 12 13ln( 1) 5ln( 5) ,
39t arctg t t t C ku
25 8 4.
12
2
x xt
x
2.5.30.2
.1
dx
x x Rezultati:
2ln .
1 1
xC
x
2.5.31.2
.5 2
dx
x x Rezultati:
2
1ln .
5 5 5 2
xC
x
2.5.32.2
.( 2) 6 1
dx
x x x Rezultati: .
)2(8
5arcsin
7
1C
x
x
Integrimi i diferencialit binomial. Integrali i formës: dxbxax pnm )( ku
, ,m n p quhet integral i diferencialit binomial. Integralet e kësaj formereduktohet në integral të funksionit racional në këto raste :(1) Nëse ,p në këtë rast merret zëvendësimi stx ku s është emëruesi i
përbashkët për m dhe .n
(2) Nëse 1,
m
n
merret zëvendësimi sn tbxa ku s është emëruesi i .p
(3) Nëse 1,
mp
n
merret zëvendësimi
ns
n
a bxt
x
ku s është emëruesi i .p
2.5.33. Njehsoni 231 .x x dx
Zgjidhje: Meqenëse ,2p zëvendësojmë ,6 56 dttdxtx dhe kemi
82
5 332 2 2
6 31 6 4 18 21
( 1) 5 1
t dt tx x dx t t t arctg t C
t t
.211
3184
56 6
3
666 5 Cxarctg
x
xxxx
2.5.34. Njehsoni 5 2 2 / 3(1 ) .x x dxZgjidhje: Zëvendësojmë ,321 232 dttxdxtx kemi
dxxx 3/225 )1( 4 3 2 11 8 53 3 3 3( 1)
2 22 8 10t t dt t t t C
![Page 27: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/27.jpg)
161
.)1(103
)1(83
)1(223 3 523 823 112 Cxxx
2.5.35. Njehsoni2 3 23
.(1 )
dx
x x
Zgjidhje:Zëvendësojmë2
3 3
3 431 ,
( 1)
t dtx t dx
t
kemi
3 3
2 3 23
1.
(1 )
dx xdt C
xx x
2.5.36. Njehsoni3 41
.x
dxx
Zgjidhje:Meqenëse ,21
41
31
21
n
mnpm merret zëvendësimi
3 4 2 3 3( 1) 12 ( 1) ,x t dx t t dt kemi
3 3 33 46 3 7 4
3 2
1 ( 1) 1212 12 ( ) 3
( 1) 7
x t tdx dt t t dt t t C
tx
.1317
12 43 4
73 4 Cxx
2.5.37. Njehsoni
.1
322 xx
dx
Zgjidhje: Meqenëse1 1 1
2 ,2
m mp
n n
merret zëvendësimi
1
11
2
222
uxxux
32 2
,
( 1)
ududx
u
kemi:
3 32 22 23
2 2 23 3 3
2 2
22 22 2
1 1( 1)
11 111 11 1
udu udu
u udxx x dx
ux x u u uu u
2
2 1
du
u
u
2 2
2 2
1 1 1.
1
u x xdu u C C
u u xx
D e t y r a m e r e z u l t a t e
![Page 28: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/28.jpg)
162
2.5.38.3
3 2 2(1 2 ) .x x dx
Rezultati: Cx
x
2
2
21
121
.
2.5.37.44
.1
dx
x Rezultati: .1
21
11
11ln
41 4 4
4 4
4 4
Cxarctgx
x
2.5.38.4 2
.1
dx
x x Rezultati:
2 2
3
(2 1) 1.
3
x xC
x
2.5.39.3 5
.1
dx
x x
Rezultati:2
3 52
1 ( 1) 3 2 1ln , ku 1 .
10 1 5 3
t tarctg C t t
t t
2.5.40.2 3 5/ 3
.(2 )
dx
x x Rezultati:3
3 2 / 3
4 3.
(2 )
xC
x x
2.5.41.33 34
.1
dx
x x Rezultati:
23
432 1 .x C
2.5.42. 3 4 .x x dxRezultati: 2 3 21 1 2 1
( ) ln 1 .3 8 8
xx x x x x x C
2.5.43.23
.(1 )
xdx
x
Rezultati:5 11 1/ 6
1/ 66 621/ 3
6 34 18 21 .
5 1
xx x x arctgx C
x
2.5.44.3 2
.1
xdx
x Rezultati: 35 3 23
2 3 , ku 1 .5
t t t C t x
2.5.45.5
2.
1
x dx
x Rezultati:
53 22
, ku 1 .3 5
tt t C t x
2.5.46.3 3
.1
dx
x
Rezultati:32 3
2
1 1 1 2 1 1ln , ku .
6 ( 1) 3 3
t t t xarctg C t
t x
2.6. Integrimi i funksioneve trigonometrike
![Page 29: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/29.jpg)
163
D i s a t ë d h ë n a t e o r i k e:
(1) Integralet e tipit sin ,cos ,R x x dx ku R është funksion racional në lidhje
me xsin dhe cos .x Këto integrale shndërrohen në integrale të funksioneve
racionale me ndihmën e zëvendësimit ).(2
xx
tgt
Këto integrale mund të zgjidhen edhe me zëvendësime tjera në këto raste:( )a Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR merret zëvendësimi .cos tx ( )b Nëse ),cos,(sin)cos,(sin xxRxxR merret zëvendësimi .sin tx ( )c Nëse ),cos,(sin)cos,sin( xxRxxR merret zëvendësimi .sin tx
(2) Integralet e tipit sin cos .m nx xdx Këto integrale shndërrohen në integrale
të funksioneve racionale kështu:( )a Nëse m është numër tek ,merret zëvendësimi .cos tx ( )b Nëse n është numër tek , merret zëvendësimi .sin tx ( )c Nëse ,m n janë numra çift natyror, zbatohen formulat
.2
2cos1cos
22cos1
sin 22 xx
xx
( )d Nëse ,m n janë numra çift me shenja të kundërta, merret zëvendësimittgx ose .tctgx
(3) Integralet e tipit: dxnsmx sinsin
dxnsmx cossin
cos cos .mx nsdxKëto integrale zgjidhen duke zbatuar formulat:
xnmxnmnxmx )cos()cos(21
sinsin
xnmxnmnxmx )cos()cos(21
coscos
xnmxnmnxmx )sin()sin(21
cossin
D e t y r a t ë z g j i d h u r a
2.6.1. Njehsoni .3sin 4cos
dx
x x
![Page 30: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/30.jpg)
164
Zgjidhje: Zëvendësojmë2
2 2 2
2 1 2sin cos ,
2 1 1 1
x t t dtt tg x x dx
t t t
atëherë
2
22
2 2
2 11 11 2ln
36 4(1 )3sin 4cos 2 5 2121 1
dttdx dtt C
t tx x tt tt t
11 2 2ln .5 2
2
xtg
Cx
tg
2.6.2. Njehsoni 1 sin.
sin (1 cos )
xdx
x x
Zgjidhje: Zëvendësojmë2
2 2 2
2 1 2sin cos ,
2 1 1 1
x t t dtt tg x x dx
t t t
kemi
21 sin 1 1 12 ln | | 2
sin (1 cos ) 2 2 2
x tdx t dt t t C
x x t
.
.2
222
12
ln21 2 C
xtg
xtg
xtg
2.6.3. Njehsoni 1.
sin sin 2dx
x xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),b prandaj merret zëvendësimi
2
2sin cos 1 .
1
dtt x x t dx
t
Kemi:
Ct
t
ttt
dt
xx
dxdx
xx 1
1ln
2
1
2
1
)1(2
1
cossin2
1
2sinsin
1222
.sin1sin1
ln21
sin21
Cx
x
x
2.6.4. Njehsoni3
2
sin.
cos 1
xdx
x
Zgjidhje: Meqenëse3 3
2 2
( sin ) sin,
cos 1 cos 1
x x
x x
funksioni nënintegral është tek
sipas sin ,x prandaj zëvendësojmë cos sinx t xdx dt dhe kemi:3 2 2 2
2 2 2 2
sin sin 1 cos 1sin sin
cos 1 cos 1 1 cos 1
x x x tdx xdx xdx dt
x x x t
![Page 31: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/31.jpg)
165
.)(cos2cos21
21 2 CxarctgxCarctgttdt
t
2.6.5. Njehsoni3
2
cos.
4sin 1
xdx
x Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është tek sipas cos ,x zëvendësojmë
dtxdxtx cossin dhe kemi:
dttt
dtt
tdx
x
x
121
83
121
83
41
141
1sin4cos
2
2
2
3
1 3 2 1 1 3 2sin 1ln sin ln .
4 16 2 1 4 16 2sin 1
t xt C x C
t x
2.6.6. Njehsoni2 2
2 3.
sin 2cos
tgxdx
x x
Zgjidhje: Ky integral i takon tipit (1) ( ),c prandaj merret zëvendësimi tgx tdhe kemi:
22 2 2
2 3 2 3 3ln( 2) arctg
sin 2cos 2 2 2
tgx t tdx dt t C
x x t
2 3
ln( 2) arctg .2 2
tgxtg x C
2.6.7. Njehsoni2 2
.sin 4sin cos 5cos
dx
x x x x Zgjidhje: Meqenëse funksioni nënintegral është çift sipas xsin dhe cos ,x
zëvendësojmë22 2
1sin cos
11 1
u dutgx t x x dx
uu u
dhe
kemi
1)2(54cos5cossin4sin 2222 u
du
uu
du
xxxx
dx
.)2( Ctgxarctg
2.6.8. Njehsoni3
6
cos.
sin
xdx
xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),b prandaj merret zëvendësimi
sint x dhe kemi:3
6 2 6 26
cossin cos cos sin (1 sin ) (sin )
sin
xdx x x xdx x x d x
x
)(sinsin 6 xxd Cxxxxd 354 sin31
sin51
)(sinsin
![Page 32: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/32.jpg)
166
.sin5
1
sin3
153
Cxx
2.6.9. Njehsoni4
6
sin.
cos
xdx
xZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),d prandaj merret zëvendësimi tgx tdhe kemi:
dxx
xtgdxx
x2
46
4
cos
1
cos
sin 54 ( ) .
5
tg xtg xd tgx C
2.6.10. Njehsoni 4 2sin cos .x xdxZgjidhje: Ky integral i takon tipit (2) ( ),c prandaj duke zbatuar formulat
2 21 cos2 1 cos2sin cos ,
2 2
x xx x
kemi
xdxx 24 cossin2
21 cos2 1 cos2 1(1 cos 2 )(1 cos2 )
2 2 8
x xdx x x dx
2 2 21 1 1sin 2 (1 cos2 ) sin 2 sin 2 cos2
8 8 8x x dx xdx x xdx
)2(sin2sin161
4cos1161 2 xxddxx
.48
2sin64
4sin16
2
Cxxx
2.6.11. Njehsoni sin 4 cos2 .x xdxZgjidhje: Meqenëse
1sin 4 cos2 (sin 6 sin 2 ),
2x x x x atëherë
1 1sin 4 cos2 (sin 6 sin 2 ) sin 6 (6 )
2 12x xdx x x dx xd x
1 1 1sin 2 (2 ) cos6 cos2 .
4 12 4xd x x x C
2.6.12. Njehsoni cos cos2 cos5 .x x xdxZgjidhje: Meqenëse
1 1cos cos2 cos5 (cos( ) cos3 )cos5 (cos cos5 cos3 cos5 )
2 2x x x x x x x x x x
1((cos( 4 ) cos6 ) (cos( 2 ) cos8 ))
4x x x x
1(cos2 cos4 cos6 cos8 ),
4x x x x
atëherë
![Page 33: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/33.jpg)
167
xdxxx 5cos2coscos1
(cos2 cos4 cos6 cos8 )4
x x x x dx
.8sin321
6sin241
4sin161
2sin81
Cxxxx
5.6.13. Njehsoni .sin sin
dx
x a
Zgjidhje: Meqenëse ,22
coscos
axax
a atëherë
dx
ax
dx
sinsin
dxaxax
axax
a2
cos2
sin
22cos
cos21
sin1 2ln (cos 0 sin sin ).cos cos
2
x a
C a x ax aa
2.6.14. Njehsoni ( ) .tgxtg x a dxZgjidhje: Kemi
dxaxx
axxaxxdxaxtgtgx 1
)cos(cos)sin(sin)cos(cos
)(
Cax
xctgaxxdx
axx
a
)cos(
cosln
)cos(cos
cos
ku .0)cos(0cos axx
2.6.15. Njehsoni sin sin5 .x xdxZgjidhje: Kemi
.6sin121
4sin81
)6cos4(cos21
5sinsin Cxxdxxxxdxx
2.6.16. Njehsoni xdxx 5cos3cos .
Zgjidhje: Kemi
dxxxxxxdxx )]53cos()53[cos(21
5cos3cos
dxxxdxxx )8cos2(cos21
]8cos)2[cos(21
= .8sin161
2sin41
Cxx
![Page 34: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/34.jpg)
168
2.6.17. Njehsoni xx
dx
2sinsin.
Zgjidhje: Zëvendësojmë sin cos ,x t xdx dt kemi
2 2 2 2 2
cos 1
sin sin 2 2sin cos 2sin (1 sin ) 2 (1 )
dx dx xdx dt
x x x x x x t t
Ct
t
t
11
ln21
21
.sin1sin1
ln21
sin21
Cx
x
x
2.6.18. Njehsoni3sin
.2 cos
xdx
xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë cosx t
sin ,xdx dt kemi:3 2 2 2sin sin sin (1 cos )sin 1 3
22 cos 2 cos 2 cos 2 2
xdx x x x x tdx dx dt t dt
x x x t t
2
212 3ln | 2 | cos 2cos 3ln(cos 2) .
2 2
tt t C x x x C
2.6.19. Njehsoni dxxx
tgx
22 cos2sin
32.
Zgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë tgx t
2
1,
cosdx dt
x kemi:
22
2 2 2
(2 3)2 3 3cos ln | 2 | .sin 2cos 2 2 2
dxtgxtgx xxdx tg x arctg C
x x tg x
2.6.20. Njehsoni sin 5 sin 3 .x xdxZgjidhje: Kemi
1 sin8 sin 2sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .
2 16 4
x xx xdx x x dx C
2.6.21. Njehsoni xdxx 24 cossin .
Zgjidhje:Kemi2
4 2 (1 cos2 ) 1 cos2sin cos
4 2
x xx xdx dx
21
sin 2 (1 cos2 )8
x x dx
xdxxxdx cos2sin161
2sin81 22
3sin 4 sin 2.
16 64 48
x x xC .
![Page 35: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/35.jpg)
169
2.6.22. Njehsoni sin 5 sin 3 .x xdxZgjidhje: Kemi
1 sin8 sin 2sin5 sin3 (cos2 cos8 ) .
2 16 4
x xx xdx x x dx C
2.6.23. Njehsoni3
6
cos.
sin
xdx
xZgjidhje: Integralin e dhënë e transformojmë e pastaj zëvendësojmë sin x t
cos ,xdx dt kemi:3
6 2 6 26
cossin cos cos sin (1 sin )cos
sin
xdx x xdx x x xdx
x
5 3
1 1... .
3sin 5sinC
x x
2.6.24. Njehsoni4
6
sin.
cos
xdx
xZgjidhje:Kemi
.5coscos
sin 5
24
6
4
Cxtg
x
dxxtgdx
x
x
D e t y r a m e r e z u l t a t e
2.6.25. .5 3cos
dx
x Rezultati:1
2 .2 2
xarctg tg C
2.6.26.
1 sin.
sin 1 cos
xdx
x x
Rezultati: 21 1
ln 2 .2 2 2 2 2
x x xtg tg tg C
2.6.27. .3 5cos
dx
x Rezultati: .2
2
22ln
41
Cx
tg
xtg
2.6.28.sin
.1 sin
xdx
x Rezultati:2
.1
2
x Cx
tg
2.6.29. 3sin .xdx Rezultati:3cos
cos .3
xx C
2.6.30. 4sin .xdx Rezultati:3 sin 2 sin 4
.8 4 32
x x xC
2.6.31. 3cos .xdx Rezultati: 31sin sin .
3x x C
![Page 36: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/36.jpg)
170
2.6.32. 5sin .xdx Rezultati: 3 52 1cos cos cos .
3 5x x x C
2.6.33. 2 3sin cos .x xdx Rezultati:3 5sin sin
.3 5
x xC
2.6.34. 2 2sin cos .x xdx Rezultati:sin 4
.8 32
x xC
2.6.35. .(2 cos )sin
dx
x x Rezultati:2
3
1 (1 cos )(2 cos )ln .
6 (1 cos )
x xC
x
2.6.36.2 2
.4cos 9sin
dx
x x Rezultati:1 2
ln .24 2
tgxC
tgx
2.6.37.4
sin cos.
1 sin
x xdx
x
Rezultati: 21
sin .2
arctg x C
2.6.38.2
2
cos.
sin 4sin cos
xdx
x x xRezultati:
1 1ln | sin | ln | sin 4cos | .
17 4 16
xx x x C
2.6.39.3
4
sin.
cos
xdx
x Rezultati:3
1 1.
3cos cosC
x x
2.6.40.2
4
cos.
sin
xdx
x Rezultati: 31.
3ctg x C
2.6.41. 3 .tg xdx Rezultati:2
ln | cos | .2
tg xx C
2.6.42. sin cos .2 2
x xdx Rezultati:
3 5cos 3cos .
5 6 6
x xC
2.6.43.2 3
sin cos .3 2
x xdx Rezultati:
3 5 3 13cos cos .
5 6 16 6
x xC
2.6.44. sin cos2 sin3 .x x xdx Rezultati:sin2 sin4 sin6
.8 16 24 4
x x x xC
2.6.45. cos( )cos( ) .ax b ax b dx Rezultati:sin 2 cos2
.4 2
ax bxC
a
2.6.46. sin sin 2 sin 3 .x x xdx Rezultati:1 1 1
cos6 cos4 cos2 .24 16 8
x x x C
2.6.47.2
cos.
sin 6sin 5
xdx
x x Rezultati:1 5 sin
ln .4 1 sin
xC
x
2.6.48.3
sin.
(1 cos )
xdx
x Rezultati:2
1.
2(1 cos )C
x
![Page 37: Integrali i Pacaktuar](https://reader030.vdocuments.site/reader030/viewer/2022033010/577cc59c1a28aba7119cd8ae/html5/thumbnails/37.jpg)
171
2.6.49. .(2 sin )(3 sin )
dx
x x
Rezultati:2 1 3 12 12 2 .
3 3 2 2 2
x xtg tg
arctg arctg C
2.6.50.1 sin cos
.1 sin cos
x xdx
x x
Rezultati: 22ln .
12
xtg
x Cx
tg
2.6.51.3sin 2cos
.2sin 3cos
x xdx
x x
Rezultati:
12 5ln | 2sin 3cos | .
13 13x x x C