integrali curvilinei - esercizi svolti
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ESERCIZI
Calcolare l’integrale doppio
xe d xd yA
y
dove A è un insieme così composto
A x y R x y x y , : , ,2 2 20 0 1
x d x e d y x e x d xyx
x
0
1
0
11
0
12
2
( )
Applico la sostituzione
1 2 2 x t
t e dt tdt e tdtt
e t e dt e et t t t( )
1
2
1
21
1
20
1 2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Calcolare l’integrale doppio
22 2
a rc s iny
x yd xd y
T
Dove T è un insieme così definito
T x y R x y x y x y , : , , ,2 2 2 2 20 1 4
Passaggio a coordinate polari
y s inx c o s
2 a rc s in s in d dD
( )
Dove D è un insieme così definito
D , : ,0 2 1 2
2 22 2 4
21
2
3
8
2
0
2 2
1
2 2 2
1
2
0
2
d d
Calcolare l’integrale doppio:
ydxdy
a
x y R x a y ax x
S
dove S è il semicerchio di diametro e con il centro nel punto C
S =
a
20
0 02 2
, .
, : ,
Passaggio alle coordinate polari:
x
y adxdy d d
d d
R a
d d d
d
U
aa
) dove U è:
U = ,
=
a Pongo: cos =
3
cos
sen cos
(sen
: cos ,
sensen
cos sen
coscos
02
0
0 02
3
3
2
2
2
00
23
00
2
3
0
2
t, - sen d = dt , d = -dt
sen .
t = -a
t =a
12 3
1
0 34
0
13
a dt3
3 12sen
sen
Calcolare l’integrale doppio:dxdy
a xS 2 dove S è il cerchio di raggio a tangente agli assi delle coordinate
e situato nel primo quadrante.
S = x y R x a a ax x y a ax x
dxdy
a x
dx
a xdy
a ax x a ax x
a xdx
ax x
a xdx
x a x
a xdx x x
a ax x
a ax xa a
a ax x
a ax x
a a
aa
, : ,
2 2 2
2
2
0
2
0
2
2
2
2 2
0
2 2
0
2
0
2
0
2
0 2 2 2
2 2
2 2
22
2
2
22
2
4
3
8
3
2
2
2
2
a a2 .
Calcolare l’integrale doppio:
dxdy
xT x y x x y x
T 10 1 2
con , : ,
1
1 1
12 1
1
1 4 2
1
20
1 2
0
1
2 2
xdx dy
x x
xdx x
ttdt t
t
tdt
x
x
Pongo t , 2tdt = dx.
t - t= 2 - t = -2
t+ 2
t+ 2 t +
- log t - 2 arctg t = -1
2+ 1+ 2 - log 2 -
2=
5 -
2- log 2
2
4
0
13
0
1 4
0
1 2
0
1
0
1
2
0
1
0
1
Calcolare l’integrale doppio:
x y dxdy T x y R x y yT
con , : ,2 2 21 4 0
Sciolgo il modulo:
Dove: T
T
Passaggio alle coordinate polari:
x = cos
y = sendxdy = d d
sen - cos d d cos - sen d d
Dove: D ,
T
1
2
1
1
y x dxdy x y dxdy
x y x y y y x
x y x y y x y
T
D D
2
11 2
1 4 0
1 4 0
1 24
2 2
2 2
, : , ,
, : , ,
: ,
D , 2,0 4
sen - cos + - sen =
+ cos
2
2 2
1
2
3
:
cos
cos sen sen
1
3 3
7
3
2 2 2
2
7
3
2 2 2
1
2
40
4
1
2
4 4
3
1
2
04
d d d d
2
14
32
.
Calcolare l’integrale doppio:
1
11 2 2 2
yx dxdy T x y x x x y x
T
dove , : ,
dxy
x dy y xy dx
x x x x x x dx
x xx
xdx
xx x x
x x
x xdx
x x
x x
x
x x
x
1
2
22
1
2
2 2 2 3
1
2
1
2
1
2 3
1
2
2
1
2
21
2 3
1
2 4
1
2
1
11
1 2 1 2
11 3
2 12 2
2 12
3 4
2
2
ln
ln ln
ln ln
2 3 27
32 2
7
3
15
41 2
2 2
1 2 1 2
2 317
121 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
3 35
122 1 2
2 1
21 2
2 1
21
1
2
1
2
1
2
1
2
ln ln ln ln
ln ln ln ln ln
ln ln ln ln .
x x xx
x xdx
x x
=
Calcolare l’integrale doppio:
dxdy
xT x y R x x x y x x
T 1
0 3 4 2 2 22 2 2 con , : ,
dx
xdy
x x
xdx
xxdx
x x x
x x
x x
1
2 6
1
8 28
1
8 8 1 15 8 4
0
3
4 2
2 2 2
0
3
0
3
2
0
3
2
2
dopo la divisione : =
ln ln .
Calcolare l’integrale doppio
x x dxdy yx
x yT
42
2 22 dove T è il dominio individuato dall' iperbole e dalle rette e
=
Pongo: t = 4 - x dt = -2xdx
x = 0 t = 4, x = 1 t = 3; I
Pongo: x = 2sent;
T
2
1
1
x x dxdy x x dxdy I I
I dx x x dy x x dx
x tdt
xtdt
t t
I dx x x dy x dx
T
x
4 4
4 2 4
22
2
3
16
32 3
4 2 4
2 21 2
10
12
0
22
0
1
4
3
3
4
3
4
21
22
0
2
2
1
2
2
;
.
dx = 2cost dt
x = 1 t = 6 x = 2 t = 2 I2
, ; sen cos
cos cos sen
.
4 4 4
8 4 1 2 41
22
4
33
4
3
16
33 3
2
6
2
2
6
2
6
2
6
2
1 2
t tdt
tdt t dt t t
I I I
Calcolare l’integrale doppio:
1 0 1 x y dxdy T x y y y x yT
con , : ,
dy x y dx xx
xy dy
y y y yydy
y y y y y y
y
y
y
y
0
1 2
0
1
2
0
1
2 2 3
0
1
12
3
2 2
2
3
3
4
2
5
1
6
119
60.
Calcolare l’integrale doppio:xdxdy
yT 2 dove T è il dominio in figura
I = I1
I
Ixdxdy
yxdx
dy
y
x y dx x x dx
xx x dx
xx
x
xdx
x
T
x
x
2
11
0
1
1
1
1
1
0
1
0
2
1
0
1
0
2
1
0 2
1
0
2 2
2 1 3
32
1
1
23
21
2 1
1
23
1
22
1
2
1
2
1
2 1
1
ln ln ln
ln ln
ln ln
ln ln
xdx
Ixdxdy
yxdx
dy
y
x y dx x x dx
xx
x
xdx
xdx
T x
x
1
0
20
1
1
1
1
1
0
1
0
1
2
0
1 2
0
1
0
1
1
23
1
22
1
2
1
4
1
22
1
23
1
4
2 2
2 3
23
2 3
1
22
1
2
3
2
9
6 2
2
ln ln ln ln .
ln ln
ln ln
1
22
4
3
2
9
26 2
7
44 2
9
23
43
2
3
2
2
0
1
1 2
ln ln ln ln .
ln .
xx x
I I I
Calcolare l’integrale4 2 2x y dxdy
T T: x y R
o x y x
, /
;
2
1 0
dx x y dyx
4 2 2
00
1
operando la sostituzione:y t dy x t 2 2sen cos
l’integrale diventa:
dx x t dt
t se y e t se y x
x dx t dt x t t t
4
0 01
2 6
44
3
1
2
1
3 3
3
2
2 2
0
6
0
1
2 2
0
6
0
13
0
1
0
6
cos
, arcsen . .
cos sen cos
essendo:
Calcolare l’integrale doppio
Iy
x ydxdy
T
1 2 2 Dove T è il semicerchio di raggio 1 e centro in (1,0) situato nel
semipiano positivo delle y.
Effettuo il passaggio a coordinate polari:
x
y sin
dxdy d d
cos
Isin
d dU
1 dove U , : , cos 0 2 0 2
Riduco rispetto all’asse
I sin d d sin d d
sin d d
d d d
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
22
0
2
2
0
2
0
1 1
11
1
1
21
2
02 2 1 2
2 21
21 2 1
cos cos
logcos
cos cos log cos sen
cos cos cos cos log cos cos
2
0
2
3 22
3
1
21 2 2 1 1
2
01
2
2
31
3
23
3
2
3
23
4
3
cos cos cos log cos log log .
Calcolare l’integrale doppio
ye
x ydxdy
x y
T
2 2
2 2
dove T è il quadrante di corona circolare definito da
T x y R x y r x y r , : ,2 2 2220 0 , 1
2
Passaggio alle coordinate polarix
y sin
dxdy d d
cos
sin e
d dU
2 dove U r r , : , 0 2 1 2
sin d e d er
re e
r
r
r r
cos/
.2
02
10
2
1
2
2 1
Calcolare l’integrale doppio:
I x y e dxdy dove T x y x y x yy x
T
2 4 2 2 1 2 , : ,
Cambiamento di coordinatex y u
x y v
f x y f x u v y u vy y v u y u v y
u v
x y v xu v
vu
v
D u v u v
dxdy j u v dudv dudv J u v
Iu v
: ;
, , , , ;
, : ,
, ; det ,
2
2 33 3
3 3
2
3
4 2 1 2
1
3
1
3
1
32
3
1
3
1
3
2
3
2 2
3
1
3
1
3
1
3
1
3 2
2
4
2
11
36
2
3
2
3
1
2
4
22
2
2
u ve dudv u e dudv
udu e dvu
e e e
e e
D
u v u v
D
v
v v*
.
Calcolare l’integralexydxdydzt
T
x y z R y
x y
z y x:
, , / ,
,
3
2
0 2
0
01
2
Integrazione per spilli:
ydy xdx dz
ydy x y x dx
y xy
y
0
12
00
2
0
22
0
2
1
2
essendo y x t 2 2 e xdx tdt con t x y t y 0 e e se x 0L’integrale diventa così:
1
2
1
6
1
6
2
7
8 2
21
20
0
25
2
0
27
2
0
2
ydy t dt y dy yy
Calcolare l’integralee dxdydzx y z
t
T: z y x R x y z
x y z x y
, , , / , ,
,
3 0 0 0
1
Integrazione per spilli:
e dx e dy e dz
e dx e e dy
e dx e e dy
e ye e dx
x y z
x y
o
x
x y x yx
x x yx
x x x y x
0
1
0
1
1
00
1
1
00
1
1
0 00
1
1
e xe e dx xe e e dxx x x x x1
0
12
0
1
11
23
1
22
e e
Calcolare l’integrale triplo
I z y dxdydzT
1 2 con T x y z R x y z , , : ,2 2 2 1 0 1
T è un dominio normale rispetto al piano xy. Le funzioni (x,y) e (x,y) sono due funzioni costanti.Risolvendo l’integrale triplo mediante il metodo delle spighe (riducendo rispetto al piano xy) otteniamo
I dxdy z y dzD
1 2
0
1
dove D è un dominio base
I yz
dxdy y dxdyD D
1
2
1
212
2
0
1
2
Riducendo rispetto all’asse delle y si ottiene
I y dxdyD
1 2 con D x y R x y y , : ,2 20 1 1 1
I dy y dx y dy x y dy yyy
y
1 1 1
31
1
31
1
3
4
32 2
01
1
1
0
1
1
12
1
1 3
1
12
2
Calcolare l’integrale triplo:
xy
zdxdydz z x y z
dz
zxydxdy
dz
zxdx ydy
dz
zxz x
dxdz
z
z x x
z
zdz
z
zdz
dz
z
z
T
D
z x
20 1
2 2
2 2 2 4 8
4
1
8
1
2
1
4 2
1
8 2
1
4
2 2 2
0
1
0
1
0
1
0
0
1 2 2
0
1 2 2 4
0
1
0
1
2
0
1 2
0
1
0
1
2 2
dove T = x, y, z : ,
24
2
1
82
1
4 22 4 2
1
8
3
2
1
4
1
22 4
3
2
1
8
3
2
3
8
7
8
3
2
0
1
0
12
0
1
zdz z
zz zln ln ln
ln ln ln .
Calcolare l’integrale triplo:
y
xdxdydz x y x y z
y
xdxdy dz
y
xx y dxdy
dx
xy x y dy
y x y y
xdx
x x x x
xdx
T
D x y D
x
x
20 0 3
2 23
23
3
2 2 4
2
9 3
2
3
2
3
42
1
4
2 2
32 2
0
32 2
0
3
2 2 2 4
0
3
0
3
2 2 4 2 2
0
3
2 2
2
2
dove T = x, y, z : , ,
3 6 2 3
2
1
4
3
2
1
4
6 9
2
1
42 2 4
1
2
1
4 42
34 2
1
4
9
42 3 3 4 3 3 2 2
9
16
3
2
3
4
2 2 2
0
3
2 2
0
3 4 2
0
33 2
0
3
4 32
0
3
x x x
xdx
x
xdx
x x
xdx x x x
xdx
x xx x xln ln ln
31
4
2 3
2
3
16
3
2
1
4
2 3
2ln ln .
Idxdydz
x y zT x y z R x y z x y z
T
2 20 0 0 1 42 2 2
3 2 2 2 , , : , , ,
Passaggio a coordinate sferiche:x sin
y sin
z
cos
cos
cos
dxdydz sin d d d 2
Isin d d d
sin
sin
sind
U U
2
2 2 2 2 1
d d U R , , : , ,3 1 2 0 2 0 2
Isin
d dsin
dU
2 22 20
2
0
2
cos cos d =
2
per sostituzione t dt sin d cos ;
2 2 2
1
0 dt
t per sostituzione z
tdt dt
2
1
2;
2
2
2 1 2 2 1 2 20 9792
1 2
0
21 2
0
1 2
0dx
z
dz
zarc ztanh .
I xydxdydzT
T x y z R x y z x y z , , : , , ,2 0 0 0 1
sx y z y x z y x, : , 0 1 0 1
I dx xydxdz xdx ydy dz xdx ydy y x
dxxy x y xy x x x x x x x
dx
x x x x x x x x x x
sx
x y x x
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
3 2 2 2 3 2 2 2
0
1
0
1
3 2 2 2 2
1
3 2 2
1
01
3
1
2
1
2
1 3 3
3
1 2
2
1 2
2
3 3
3
2 1
2
1
62 2 6 6 3 3 3 3 6 6
1
63 3
1
6 5 2
3
4
1
01
120
0
1
4 2 3 2 2
0
1
4 2 3 4 3 2 3 2
0
1
2 4 3 35 2 4
dx
x x x x x x x xdx
x x x x x x x x x x dx
x x x x dx xx x x
Calcolare l’integrale triplo:
I x dxdydz dove T x y zx
y zT
22
2 2
41, , :
Poiché sia T che l’integrando sono simmetrici rispetto al piano yz, si può scrivere:
I I con I x dxdydz TT
2 1 12
1
1
dove è la parte di T contenuta nel semispazio delle x positive.
Riducendo rispetto al piano yz con il metodo di integrazione per spighe:
I dydz x dx con D y z y zD
y z
2 12
0
2 1
2 2
2 2
, :
Ix
dydz y z y z dydzy z
D D
23
28
31 1
3
0
2 1
2 2 2 2
2 2
Passo a coordinate polari:
y
zdydz d d U
I d d d d dU
cos
sen, : ,
.
0 1 0 2
16
31
16
31
32
61 1
32
151
32
15
23
2
0
22
32
0
12
32 2
0
1
25
2
0
1