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INTEGRALES
1. INTEGRALES INDEFINIDAS
1.1. Primitiva. Una función F(x) es primitiva de f(x) si F'(x)=f(x). Se denota:
.
Ejemplo:
1.2. Integral indefinida: es el conjunto de todas las primitivas de una función.
Ejemplo: porque (puesto que la derivada
de una constante es cero).
1.3. Propiedades.
1.4. Integrales inmediatas.
PROPIEDAD EJEMPLOS
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1.5. Integrales cuasi inmediatas
TIPO EJEMPLOS
, n
2. INTEGRALES DEFINIDAS.
2.1. Regla de Barrow.
Dada una función continua en y F una primitiva de f, se define la integral definida
de entre los valores como:
Es el área limitada por .
2.2. Propiedades.
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Ejemplo 1. Hallar la integral definida
.
Ejemplo 2. Calcular el área del recinto limitado por la curva , el eje OX y las rectas
y
Observación
. Ejemplo 3. Calcular la integral definida:
3. CÁLCULO DE ÁREAS
3.1. Área delimitada por f(x) y el eje OX [y dos rectas verticales (x=k)].
- Esbozar la gráfica de .
- Límites de integración:
son los puntos de corte de con el eje
y/o
[los que indique el enunciado (rectas verticales)]
- Separar en trozos el área a calcular.
- Cada trozo deberá calcularse con el valor absoluto de ,
, (así, todas las
integrales serán positivas y se sumarán como áreas).
3.2. Área delimitada por dos funciones f(x) y g(x) [y rectas verticales (x=k)].
- Esbozar en los mismos ejes las gráficas de f(x) y g(x).
- Límites de integración:
son los puntos de corte de f(x) con g(x)
y/o
[los que indique el enunciado (rectas verticales)]
- Separar en trozos el área a calcular.
- Cada trozo deberá calcularse con el valor absoluto de (así, todas las
integrales serán positivas y se sumarán como áreas).
INTEGRAL DEFINIDA ÁREA
Para calcular áreas se utilizan integrales definidas, pero:
- Una integral definida puede ser positiva, negativa o nula. (No hay que hacer gráfica)
- El área de un recinto limitado es siempre estrictamente positiva. (Imprescindible hacer gráfica)
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EJERICICIO. Hallar las siguientes integrales indefinidas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
RECOPILACIÓN PAU INTEGRALES
1. Junio 2012
2. Septiembre 2012
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3. Septiembre 2012
4. Junio 2013.
5. Junio 2013.
6. Junio 2014
7. Junio 2014
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8. JUNIO 2015
9. SEPTIEMBRE 2015
10. SEPTIEMBRE 2015
11. JUNIO 2016
12. JUNIO 2016
13. SEPTIEMBRE 2016