integrale curbiliniimath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms i_slides_integrale...curbe integrala...

CurbeIntegrala curbilinie de speta I

Integrala curbilinie de speta IIIndependenta de drum a integralei curbilinii de speta II

Integrale curbilinii





1 Curbe

2 Integrala curbilinie de speta I

3 Integrala curbilinie de speta II

4 Independenta de drum a integralei curbilinii de speta II




Curbe




Fie γ o curba ın spatiu, definita prin ecuatiile parametrice:

(γ)

x = f (t)y = g(t)z = h(t), t ∈ [a,b ],

(1.1)

unde f ,g,h sunt functii continue pe [a,b ].




Curba γ se numeste ınchisa daca f (a) = f (b), g(a) = g(b),h(a) = h(b). Curba γ se numeste simpla daca nu are punctemultiple (nu se autointersecteaza – cu exceptia eventuala acapetelor), adica nu exista doua puncte distincte t ′, t ′′ ∈ [a,b ],a ≤ t ′ < t ′′ ≤ b, cu cel putin una din inegalitatile extreme stricte,astfel ıncat f (t ′) = f (t ′′), g(t ′) = g(t ′′), h(t ′) = h(t ′′).Curba γ se numeste neteda daca functiile f ,g,h sunt de clasaC1 pe [a,b ] (sunt functii continue cu derivate continue). Ocurba se numeste neteda pe portiuni, daca exista un numarfinit de subintervale ale intervalului [a,b ] determinate dea = t0 < t1 < . . . < tn = b astfel ca restrictia curbei la[ ti−1, ti ], ∀ i = 1, . . . ,n sa fie neteda.




A orienta o curba ınseamna a alege un sens de parcurs pe ea.O asemanea curba se numeste orientata. Unul dintre sensuriıl numim pozitiv, iar sensul contrar se numeste negativ. Deobicei orientam curba pozitiv ın sensul cresterii parametrului t .Daca curba γ este ınchisa si margineste un domeniu oarecare,vom spune ca parcurgem curba ın sens direct sau senstrigonometric daca prin deplasarea de-a lungul curbei domeniulmarginit este lasat la stanga.




Numim lungime a curbei γ, marginea superioara a multimiituturor lungimilor liniilor poligonale ınscrise ın γ. Daca lungimeaunei curbe este finita spunem ca respectiva curba esterectificabila.

Teorema 1.1

Daca γ definita de (1.1) este o curba neteda, atunci ea esterectificabila si lungimea ei este data de:

L(γ) =∫ b

a

√(f ′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2 dt . (1.2)




Expresia

ds =√(f ′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2 dt (1.3)

se numeste elementul de arc al curbei γ.

Exemplul 1.1Sa aratam ca lungimea cercului de raza a > 0 este L = 2πa.




Integrala curbilinie de speta I




Definitia 2.1

Fie γ o curba neteda definita de ecuatiile (1.1) si fieF : D ⊆ R3 → R o functie continua pe domeniul D ce continepe γ. Numim integrala curbilinie de speta I sau ın raport culungimea arcului ∫

γF (x , y , z)ds =

=

∫ b

aF (f (t),g(t),h(t))·

√(f ′(t))2 + (g′(t))2 + (h′(t))2 dt . (2.1)




Propozitia 2.1

i. Daca γ este o curba neteda si F1,F2 : D ⊆ R3 → R suntfunctii continue pe domeniul D ce contine pe γ iar α ∈ R, atunci∫γ[F1(x , y , z)+F2(x , y , z)]ds =

∫γ

F1(x , y , z)ds+∫γ

F2(x , y , z)ds;

∫γαF1(x , y , z)ds = α

∫γ

F1(x , y , z)ds.

ii. Fie γ = γ1 ∪ γ2, cu γ1, γ2 curbe netede si fie F : D ⊆ R3 → Ro functie continua pe domeniul D ce contine pe γ. Atunci∫

γF (x , y , z)ds =

∫γ1

F (x , y , z)ds +

∫γ2

F (x , y , z)ds.




Observatia 2.1Valoarea integralei curbilinii de speta I, (2.1), nu depinde dei. orientarea curbei γ.ii. parametrizarea aleasa pentru curba.




Aplicatii ale integralei curbilinii de speta I

Daca ρ = ρ(x , y , z) > 0 este o functie continua ce reprezintadensitatea de masa a unui fir material γ. Atunci:

1. masa firului material γ este M =

∫γρ(x , y , z)ds.

2. coordonatele centrului de greutate G(xG, yG, zG) sunt

xG =1M

∫γ

x · ρ(x , y , z)ds,

yG =1M

∫γ

y · ρ(x , y , z)ds,

zG =1M

∫γ

z · ρ(x , y , z)ds.




3. momentele de inertie ale curbei γ ın raport cu un plan (α), odreapta (d) sau un punct P se exprima prin integrale de forma

I =∫γ

r2 · ρ(x , y , z)ds

unde r este distanta punctului curent (x , y , z) de pe curba laplanul (α), dreapta (d) si respectiv, la punctul P.

Ixoy =

∫γ

z2 ρ(x , y , z)ds (2.2)

Iox =

∫γ(y2 + z2) ρ(x , y , z)ds (2.3)

Io =

∫γ(x2 + y2 + z2) ρ(x , y , z)ds. (2.4)




Integrala curbilinie de speta II




Definitia 3.1

Fie γ = AB o curba neteda data de

(γ)

x = f (t)y = g(t)z = h(t), t ∈ [a,b ],

(3.1)

orientata de la A(t = a) la B(t = b). Fie P, Q, R : D ⊆ R3 → Rfunctii continue pe domeniul D ce contine curba γ. Numimintegrala curbilinie de speta II∫

γP(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz =

=

∫ b

a

[P · f ′(t) + Q · g′(t) + R · h′(t)

]dt . (3.2)




Propozitia 3.1

i. Daca γ este o curba neteda si Pi , Qi , Ri : D ⊆ R3 → R,i = 1,2 sunt functii continue pe domeniul D ce contine pe γ iarα ∈ R, atunci∫γ(P1+P2)dx+(Q1+Q2)dy+(R1+R2)dz =

∫γ

P1 dx+Q1 dy+R1 dz+∫γ

P2 dx+Q2 dy+R2 dz;

∫γ(αP1)dx +(αQ1)dy +(αR1)dz = α

∫γ

P1 dx +Q1 dy +R1 dz.




ii. Fie γ = γ1 ∪ γ2, cu γ1, γ2 curbe netede si fie functiile continueP, Q, R : D ⊆ R3 → R γ ⊂ D. Atunci∫

γP dx + Q dy + R dz =

∫γ1

P dx + Q dy + R dz +

∫γ2

P dx + Q dy + R dz.




Valoarea integralei curbilinii de speta II depinde de orientareacurbei γ. Mai precis∫

ABP dx + Q dy + R dz = −

∫BA

P dx + Q dy + R dz.

Daca curba γ este ınchisa si se alege un sens de parcurs pecurba (daca nu se precizeaza contrariul, se alege sensul directsau sensul trigonometric) integrala de speta II se noteaza∮

γP dx + Q dy + R dz.




Aplicatii ale integralei curbilinii de speta II

1. Aria unui domeniu plan D, marginit de o curba neteda,ınchisa, simpla γ este:

Aria(D) =12

∮γ

xdy − ydx . (3.3)




2. Lucrul mecanic L, al campului vectorial

−→F (−→r ) = P(x , y , z)

−→i + Q(x , y , z)

−→j + R(x , y , z)

−→k , (3.4)

de-a lungul curbei γ este:

L =

∫γ

−→F (−→r ) · d−→r =

∫γ

P dx + Q dy + R dz, (3.5)

−→r = x−→i + y

−→j + z

−→k , Daca curba este ınchisa, lucrul mecanic

se mai numeste circulatia campului−→F de-a lungul curbei γ:

C =∮γ

P dx + Q dy + R dz. (3.6)




Independenta de drum a integralei curbilinii de speta II




Definitia 4.1

Fie D ⊆ R3 un domeniu si fie P, Q, R : D → R functii continue

pe D. Integrala∫

P dx + Q dy + R dz se numeste

independenta de drum pe domeniul D daca pentru oriceA,B ∈ D si orice doua curbe simple γ1, γ2 din D care unescpunctele A si B, are loc relatia∫

γ1

P dx + Q dy + R dz =

∫γ2

P dx + Q dy + R dz. (4.1)




Propozitia 4.1

Fie D ⊆ R3 un domeniu si fie P, Q, R : D → R functii continuepe D. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

i. Integrala∫

P dx + Q dy + R dz este independenta de drum;

ii. pentru orice curba C simpla si ınchisa continuta ın D are loc:∮C

P dx + Q dy + R dz = 0. (4.2)




Definitia 4.2

Expresia P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz senumeste diferentiala totala exacta daca exista o functiediferentiabila F : D ⊆ R3 → R, astfel ıncat

dF (x , y , z) = P(x , y , z)dx +Q(x , y , z)dy +R(x , y , z)dz. (4.3)




Daca avem ın vedere formula diferentialei

dF (x , y , z) =∂F∂x

(x , y , z)dx +∂F∂y

(x , y , z)dy +∂F∂z

(x , y , z)dz

deducem ca relatia (4.3) revine la

∂F∂x

(x , y , z) = P(x , y , z),

∂F∂y

(x , y , z) = Q(x , y , z),

∂F∂z

(x , y , z) = R(x , y , z), ∀ (x , y , z) ∈ D.

(4.4)




Teorema 4.1

Fie P, Q, R : D → R functii continue pe domeniul D ⊆ R3.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Integrala∫

P dx + Q dy + R dz este independenta de

drum.(ii) Expresia P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz este

o diferentiala totala exacta.




In acest caz functia F este data de:

F (x , y , z) =

(x ,y ,z)∫(x0,y0,z0)

P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz,

(4.5)pentru orice (x , y , z) ∈ D, integrala fiind calculata pe oricecurba neteda cu extremitatile (x0, y0, z0), (x , y , z) din domeniulD, punctul (x0, y0, z0) fiind ales arbitrar.Integrala este:∫

AB

P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz =

= F (xB, yB, zB)− F (xA, yA, zA). (4.6)




Daca integrala este independenta de drum, atunci calculamprimitiva F (unic determinata pana la o constanta aditiva) prinintegrare ın (4.5) pe un drum convenabil ales. Daca alegemdrumul care uneste (x0, y0, z0) cu (x , y , z) prin segmente dedreapta paralele cu axele de coordonate, adica

[(x0, y0, z0), (x , y0, z0)]∪[(x , y0, z0), (x , y , z0)]∪[(x , y , z0), (x , y , z)],

din (4.5) deducem formula de calcul a primitivei F :

F (x , y , z) =

x∫x0

P(t , y0, z0)dt +

y∫y0

Q(x , t , z0)dt +

z∫z0

R(x , y , t)dt ,

(4.7)pentru orice (x , y , z) ∈ D, unde (x0, y0, z0) ∈ D este un punctarbitrar ales.




Teorema 4.2

Fie D ⊆ R3 un domeniu simplu conex si fie P, Q, R : D → Rfunctii continue cu derivatele partiale de ordinul ıntai continue.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Pdx + Qdy + Rdz este o diferentiala totala exacta.(ii) Au loc relatiile

∂P∂y

(x , y , z) =∂Q∂x

(x , y , z),

∂Q∂z

(x , y , z) =∂R∂y

(x , y , z),

∂R∂x

(x , y , z) =∂P∂z

(x , y , z),

(4.8)

pentru orice (x , y , z) ∈ D. Integrale curbilinii



Pentru a verifica independenta de drum si pentru a calculaintegrala

I =∫

AB

P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy + R(x , y , z)dz,

urmam etapele:1◦ stabilim daca functiile P,Q,R sunt de clasa C1 pe undomeniu simplu conex D ⊆ R3 si verificam egalitatile (4.8) ınorice punct din D,2◦ determinam primitiva F : D → R folosind formula (4.7) unde(x0, y0, z0) ∈ D este arbitrar ales,3◦ calculam valoarea integralei folosind formula (4.6)

I = F (B)− F (A) = F (xB, yB, zB)− F (xA, yA, zA).




Exemplul 4.1Constatand ın prealabil independenta de drum a urmatoarelorintegrale, sa se calculeze:

1. I =∫

AB

yz dx + xz dy + xy dz, A(1,−1,2), B(3,2,1),

2. I =∫

AB

yz

dx +xz

dy − xyz2 xy dz, A(−1,2,1), B(1,−2,3), pe o

curba ce nu intersecteaza planul z = 0.




Cazul plan∫P(x , y)dx + Q(x , y)dy , P, Q : D ⊆ R2 → R sunt functii

continue.

Teorema 4.3

Fie D ⊆ R2 un domeniu plan ın care functiile P, Q : D → R suntcontinue. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Integrala∫

P dx + Q dy este independenta de drum.

(ii) Expresia P(x , y)dx + Q(x , y)dy este o diferentiala totalaexacta adica exista o functie diferentiabila F : D → Rastfel ıncat

dF (x , y) =∂F∂x

(x , y)dx+∂F∂y

(x , y)dy = P(x , y)dx+Q(x , y)dy ,

(4.9)pentru orice (x , y) ∈ D.




Aceasta functie este data de:

F (x , y) =

(x ,y)∫(x0,y0)

P(x , y)dx + Q(x , y)dy (4.10)

integrala fiind calculata pe orice curba neteda cu extremitatile(x0, y0), (x , y) din domeniul D.




Daca∫

P dx + Q dy este independenta de drum atunci

∫AB

P(x , y)dx+Q(x , y)dy = F∣∣∣∣BA= F (xB, yB)−F (xA, yA) (4.11)

unde F este data de (4.10).Formula ce determina primitiva F :

F (x , y) =

x∫x0

P(t , y0)dt +

y∫y0

Q(x , t)dt , (x , y) ∈ D, (4.12)

unde (x0, y0) ∈ D este un punct arbitrar fixat. Functia F esteunic determinata pana la o constanta aditiva.




Teorema 4.4

Fie D ⊆ R2 un domeniu simplu conex ın care functiileP, Q : D → R sunt continue cu derivatele partiale de ordinulıntai continue. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) Expresia P(x , y , z)dx + Q(x , y , z)dy este o diferentialatotala exacta.

(ii) Are loc egalitatea

∂P∂y

(x , y) =∂Q∂x

(x , y), (4.13)

pentru orice (x , y) ∈ D.




Exemplul 4.2Sa se calculeze lucrul mecanic al unei forte elastice ındreptatecatre origine −→

F = −c−→r = −cx−→i − cy

−→j ,

c > 0, stiind ca punctul de aplicatie a fortei descrie, ın sensdirect, sfertul de elipsa

x2

a2 +y2

b2 = 1,

situat ın primul cadran, x ≥ 0, y ≥ 0.




Observatia 4.1Ipoteza ”D este domeniu simplu conex” din Teoremele 4.2 si4.4 este esentiala pentru ca relatiile (4.8) si, respectiv, (4.13) safie suficiente pentru totala exactitate a formelor diferentialeP dx + Q dy + R dz si respectiv, P dx + Q dy si prin urmarepentru independenta de drum a integralelor∫

P dx + Q dy + R dz si, respectiv,∫

P dx + Q dy .




Exemplul 4.3Daca

P(x , y) = − yx2 + y2 , Q(x , y) =

xx2 + y2 , (x , y) ∈ R2\{(0,0)}

atunci∂P∂y

(x , y) =∂Q∂x

(x , y) =y2 − x2

(x2 + y2)2 .

Si totusi ∫P(x , y)dx + Q(x , y)dy

nu este independenta de drum.




Daca integram pe conturul unui cerc cu centrul ın originex2 + y2 = 1, folosind parametrizarea

(γ)

{x = cos t ,y = sin t , t ∈ [0,2π ],

obtinem

∮γ

−yx2 + y2 dx +

xx2 + y2 dy =

2π∫0

(sin2 t + cos2 t)dt = 2π.

Daca integrala ar fi independenta de drum ar trebui ca∮γ

P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0,

ceea ce contrazice calculul precedent.Integrale curbilinii

integrale curbiliniimath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms i_slides_integrale...curbe integrala...

Documents