integrale cu parametru - math.etti.tuiasi.romath.etti.tuiasi.ro/rosu/didactic/ms i_slides_integrale...
TRANSCRIPT
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
1 Integrale proprii cu parametru
2 Integrale improprii cu parametru
3 Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale proprii cu parametru
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Definitia 1.1
Daca f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R este o functie cu proprietateaca pentru orice y ∈ E, functia de variabila x
x 7→ f (x , y)
este integrabila pe intervalul [ a,b ], adica exista integrala
F (y) =
∫ b
af (x , y) dx (1.1)
atunci spunem ca am definit o integrala cu parametru (functiaF : E → R).
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Trecerea la limita sub semnul integralei
Teorema 1.1
Fie f : [ a,b ]× E → R, E ⊆ R si fie y0 ∈ R punct de acumulareal multimii E. Daca exista
limy→y0
f (x , y) = f0(x)
uniform ın raport cu x ∈ [ a,b ] atunci functia x 7→ f0(x) esteintegrabila pe [ a,b ] si∫ b
af0(x) dx =
∫ b
alim
y→y0f (x , y) dx = lim
y→y0
∫ b
af (x , y) dx . (1.2)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Ipoteza existentei limitei uniforme ın raport cu x este esentialaın enuntul Teoremei 1.1.
Exemplul 1.1
Pentru f : [ 0,1 ]× (0,+∞)→ R,
f (x , y) =xy2 e
− x2
y2 ,
are loc limy→0
∫ 1
0f (x , y) dx 6=
∫ 1
0limy→0
f (x , y) dx .
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Avem
F (y) =
∫ 1
0
xy2 e
− x2
y2 dx = −12
e− x2
y2∣∣∣x=1
x=0= −1
2
(e− 1
y2 − 1)
deci
limy→0
∫ 1
0f (x , y) dx = lim
y→0F (y) = −1
2limy→0
(e− 1
y2 − 1)
=12.
Pe de alta parte avem
limy→0
f (x , y) = limy→0
xy2 e
− x2
y2 = 0 deci∫ 1
0limy→0
f (x , y) dx = 0.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Sa observam ca limy→0
f (x , y) = 0 nu are loc ın mod uniform ın
raport cu x . Intr-adevar daca, prin reducere la absurd, ampresupune acest lucru atunci
∀ ε > 0 ∃ δε > 0 astfel ca 0 < y < δε ⇒ |f (x , y)| < ε, ∀ x ∈ [ 0,1 ].
Daca alegem ın particular x = y ∈ (0, δε) avem
f (x , y) =1y
e−1 → +∞, pentru y → 0,
contradictie.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Continuitatea integralei cu parametru
Teorema 1.2
Daca f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este continua atunci functiaF : [ c,d ]→ R data de (1.1) este continua pe intervalul[ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Derivabilitatea integralei cu parametru
Teorema 1.3
Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R continua astfel ıncat :(i) pentru orice y ∈ [ c,d ] exista integrala cu parametru
F (y) =
∫ b
af (x , y) dx ,
(ii) f este derivabila partial ın raport cu y si functia∂f∂y
este
continua pe [ a,b ]× [c,d ].Atunci F este derivabila si F ′ este continua pe [ c,d ] iar
F ′(y) =
∫ b
a
∂f∂y
(x , y)dx , ∀ y ∈ [ c,d ]. (1.3)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Exemplul 1.2
Sa calculam integrala
In(y) =
∫ 1
0
dx(x2 + y2)n , n ∈ N, y 6= 0.
Derivam integrala ın raport cu y si gasim astfel relatia
In+1(y) =−12ny
I ′n(y).
Deoarece I1(y) =1y
arctg1y
, rezulta ca
I2(y) = − 12y
I′1(y) =1
2y3
(arctg
1y
+y
y2 + 1
).
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Formula lui Leibniz de derivare a integralelor cuparametru
Teorema 1.4
Fie integrala cu parametru
F (y) =
∫ β(y)
α(y)f (x , y)dx , y ∈ [ c,d ] unde
(i) α, β : [ c,d ]→ [ a,b ] sunt functii derivabile,(ii) f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R este functie continua,
(iii) f este derivabila partial ın raport cu y si∂f∂y
este continua.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Atunci F este derivabila pe [ c,d ] si are loc formula lui Leibnizde derivare
F ′(y) =
∫ β(y)
α(y)
∂f∂y
(x , y) dx +f (β(y), y)·β ′(y)−f (α(y), y)·α ′(y).
(1.4)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrarea unei integrale cu parametru
Teorema 1.5
Fie f : [ a,b ]× [ c,d ]→ R o functie continua. Atunci are locformula
∫ d
c
(∫ b
af (x , y) dx
)dy =
∫ b
a
(∫ d
cf (x , y) dy
)dx . (1.5)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Exemplul 1.3
Sa calculam
I =
∫ 1
0
1ln x
(xb − xa) dx , x > 0, a > 0, b > 0.
Avem1
ln x(xb − xa) =
∫ b
axy dy , x ∈ [ 0,1 ].
Deoarece functia (x , y) 7→ xy este continua pe [ 0,1 ]× [ a,b ],putem schimba ordinea de integrare,
I =
∫ 1
0
(∫ b
axy dy
)dx =
∫ b
a
(∫ 1
0xydx
)dy =
∫ b
a
(xy+1
y + 1
∣∣∣1x=0
)dy =
∫ b
a
dyy + 1
= ln(y + 1)∣∣∣ba = ln
b + 1a + 1
.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrale improprii cu parametru
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R si fie integrala cu parametru
F (y) =
∫ +∞
af (x , y) dx , y ∈ [ c,d ]. (2.1)
Integralai. converge simplu pe [ c,d ] daca
limb→+∞
∫ b
af (x , y) dx =
∫ +∞
af (x , y) dx ;
ii. converge uniform pe [ c,d ] daca limita este uniforma ınraport cu y .
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrala∫ +∞
af (x , y) dx este uniform convergenta pe [ c,d ]
daca pentru orice sir (bn)n∈N care are limita +∞, sirul de functii
(Fn)n∈N, Fn(y) =
∫ bn
af (x , y) dx
converge uniform la F pe [ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Criteriul lui Cauchy
Teorema 2.1
Integrala (2.1) este uniform convergenta daca si numai dacapentru orice ε > 0 exista b0(ε) > 0 astfel ca pentru oriceb′,b′′ > b0 si pentru orice y ∈ [ c,d ] are loc∫ b′′
b′f (x , y) dx < ε.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Criteriul de convergenta uniforma Weierstrass
Teorema 2.2
Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R. Admitem ca existag : [ a,+∞)→ R astfel ıncat
(i) | f (x , y) |≤ g(x), ∀ x ∈ [ a,+∞),
(ii)∫ +∞
ag(x) dx este convergenta.
Atunci∫ +∞
af (x , y) dx este uniform si absolut convergenta pe
[ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Continuitatea integralei improprii cu parametru
Teorema 2.3
Fie f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R o functie continua astfel ıncat∫ +∞
af (x , y) dx este uniform convergenta pe [ c,d ]. Atunci
functia
F (y) =
∫ +∞
af (x , y)dx
este continua pe [ c,d ].
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Derivabilitatea integralei improprii cu parametru
Teorema 2.4
Fie functia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R cu urmatoarele proprietati:
(i)∫ +∞
af (x , y) dx este convergenta
(ii) exista derivata partiala∂f∂y
si este continua pe
[ a,+∞)× [ c,d ]
(iii)∫ +∞
a
∂f∂y
(x , y) dx este uniform convergenta pe [ c,d ].
Atunci y 7→ F (y) =
∫ +∞
af (x , y) dx este derivabila pe [ c,d ]
F ′(y) =ddy
(∫ +∞
af (x , y) dx
)=
∫ +∞
a
∂f∂y
(x , y) dx , ∀ y ∈ [ c,d ].
(2.2)Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integrabilitatea unei integrale improprii cuparametru
Teorema 2.5
Fie functia f : [ a,+∞)× [ c,d ]→ R continua astfel ıncat
(i) integrala∫ +∞
af (x , y) dx este uniform convergenta pe
[ c,d ],
(ii) integrala∫ +∞
a
(∫ d
cf (x , y) dy
)dx este convergenta.
Atunci are loc∫ +∞
a
(∫ d
cf (x , y)dy
)dx =
∫ d
c
(∫ +∞
af (x , y) dx
)dy . (2.3)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Integralele lui Euler
Functia Gamma sau integrala lui Euler de al doilea tip
Γ(p) =
∫ +∞
0xp−1e−x dx (3.1)
Functia Beta sau integrala lui Euler de primul tip
B(p,q) =
∫ 1
0xp−1(1− x)q−1 dx . (3.2)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Propozitia 3.1
Au loc proprietatileIntegrala Γ(p) este convergenta pentru orice p > 0 sidivergenta pentru orice p ≤ 0.Integrala Γ(p) este uniform convergenta pe orice intervalcompact [ a,b ] ⊂ (0,+∞).Functia Γ(p) este continua pe (0,+∞).
Functia Γ(p) este infinit derivabila pe (0,+∞) si
Γ(n)(p) =
∫ +∞
0xp−1(ln x)ne−x dx , n ∈ N. (3.3)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Propozitia 3.2
B(p,q) este convergenta pentru orice p > 0, q > 0 sidivergenta ın celelalte situatii.
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
Propozitia 3.3
Au loc urmatoarele relatii:formula de recurenta pentru Γ
Γ(p + 1) = p Γ(p), p ∈ (0,+∞) (3.4)
Γ(1) = 1, Γ(n + 1) = n!, n ∈ N (3.5)
formulele de recurenta pentru B
B(p,q) =q − 1
p + q − 1B(p,q − 1), p > 0,q > 1 (3.6)
B(p,q) =p − 1
p + q − 1B(p − 1,q), p > 1,q > 0 (3.7)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
B(p,q) = B(q,p), p > 0,q > 0 (3.8)
B(p,q) =
∫ +∞
0
tp−1
(1 + t)p+q dt (3.9)
B(p,q) =Γ(p) · Γ(q)
Γ(p + q), p > 0,q > 0 (3.10)
B(
12,12
)=
∫ 1
0
1√x(1− x)
dx = π (3.11)
Γ
(12
)=√π,
∫ +∞
0e−x2
dx =
√π
2(integrala lui Gauss).
(3.12)
Integrale cu parametru
Integrale proprii cu parametruIntegrale improprii cu parametru
Integralele lui Euler
formula lui Gauss
Γ(p) = limn→∞
np · n!
p(p + 1)(p + 2) . . . (p + n)(3.13)
formula argumentelor complementare
B(p,1−p) = Γ(p) ·Γ(1−p) =p
sin(pπ), p ∈ (0,1) (3.14)
Integrale cu parametru