integral triple
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I N TE G R A L E S T R I P L E S.
Dada una función f x, y, z en R3 ; donde Ω es un
paralelepípedo
rectangular definida por el producto cartesiano de 3 intervalos de R:
a, b c, d e, f / x a, b y c, d z e, f .
Dividimos al intervalo a, b , c, d y e, f en “n” particiones. Queda
Ω dividida en “n” paralelepípedos y cada uno tiene un volumen x y z . Definimos el producto:
I f x, y, z zyxSi consideramos I como la suma de todos los I :
n n n
I ∑ I ∑ ∑ ∑ fijk x, y, z xi y j zkk 1 j 1 i 1
Cuando se toma un número de particiones “n” muy grande entonces tendremos:I lim ∑ ∑ ∑ fijk x, y, z xi y
n k 1 j 1 i 1
f d b
I ∫ ∫ ∫ f x, y, z
xyz
Integrales Triples
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integral triple ∫∫∫x 2 2 y z
dV ,
Ejemplo Resolver dondeQ
1,2
2,3 3,1Solución:
3 2 4 3 2
∫ ∫ ∫ x 2 2 y z z x y ∫ ∫ x2 z 2 yz
zz x y2 1 3 2 1
3 2 7 ∫ ∫ x 2 2 y x y
2 2 1
23 x3
2xy 7
x
y
∫
3 2 2 1
3 7 7
∫ 2 y y
2 3 2 3
7
y y 2 7
y 3
2
2
21
9 21
14
9 143 2 3 2
356
I N TE G R A L E S T R I P L E S E N R E GI O N E S G E N E R A LE S.
Adoptaremos cuatro tipos de regiones elementales:Tipo 1: Superficies variables arriba y abajo
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De este tipo podemos encontrar en dos formas:a) zf1 x, y z f 2 x,
y
: x, y, z R3 / g x y g
x 1 2
a x b
b g 2 x f 2 x
, y ∫∫∫ f x, y, z dV
∫∫ f x, y, z z y
x
∫a g1 x f1 x ,
y
b)
f1 x, y z f 2 x,
y y
: x, y, z R3
/
h y x h
y 1 2
c y d
d h2 y f 2 x ,
y x
∫∫∫ f x, y, z dV
∫∫ f x, y, z z x
y
∫c h1 y f1 x ,
y
Tipo 2: Superficies variables a los costadosDe este tipo podemos encontrar en dos formas:c) zf1 x, z y f 2 x,
z
: x, y, z R3 / g x z g
x 1 2
a x b
b g 2 x f 2 x
, z ∫∫∫ f x, y, z dV
∫∫ f x, y, z y z
x
∫a g1 x f1 x ,
z
d)
f1 x, z y f 2 x,
z y
: x, y, z R3
/
h z x h
z 1 2
e z f
f h2 z f 2 x
, z x
∫∫∫ f x, y, z dV
∫∫ f x, y, z y x
z
∫e h1 z f1 x ,
z
Tipo 3: Superficies variables delante y atrás
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De este tipo podemos encontrar en dos formas:e) zf1 y, z x f 2
y, z
: x, y, z R3 / g z y g
z 1 2
e z f
f g 2 z f 2 y
, z ∫∫∫ f x, y, z dV
∫∫ f x, y, z x y
z
∫e g1 z f1 y ,
z
f)
f1 y, z x f 2 y, z
y
: x, y, z R3
/
h y z h
y 1 2
c y d
d h2 y f 2 y ,
z x
∫∫∫ f x, y, z dV
∫∫ f x, y, z x z
y
∫c h1 y f1 y ,
z
Tipo 4Cuando la región es tal que puede ser considerada como una región tipo 1,
tipo 2 o tipo 3 indistintamente. Es el único caso que permite hacer cambio en el ordende integración y generalmente se refiere a sólidos limitados por la intersección de dos superficies (sólidos cerrados)
Evaluar la integral triple de la función f x, y, z 2 xyz en la
región
Ejemplo
limitada por el cilindro z 1 1 x 2 y los planos z 0 , y
x y2
y 0
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Solución: Graficamos la región de integración:
Definimos la integral tomando la región de integración como tipo 1: 1 2 22 2 x 1 2
x 2 x 2 x y x xy1
x y
x
xyz 2 1 2
x
1 2
∫ ∫ ∫0 0 0
∫ ∫
∫ ∫ 2xyz z y x
0 2 0 0 0 0
x2 xy 2
2x 2
2x 2 2
x3 ∫ 1 x ∫ 1 x
2
2 2 2 000
22 x3
x5 x7 x 4 x6 x8
∫ 2
4 x
8
12 6420 0
1
2
1
12 3 4 12
Ahora definimos la integral tomando la región de integración como tipo 2:
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21 z
21 z
21 z
1
∫0
x 1 1
xy 2 z x x z
∫0
∫0
∫ ∫ ∫ ∫0 0
x 3 zx z
2xyz y x z
0
0 0
21 z
1 14x ∫
z
x ∫ z1 z 2
x40 0 0
14 1 2 3
∫ z 2z 2 z 3 x
z
2 z
z
2 3 4 0 0
1
2
1
1
2 3 4 12Ahora definimos la integral tomando la región de integración como tipo 3:
2 11 y2
21 1 21z
2 2
∫2xyzx z y ∫ x2 yz 21z z
y
∫0
∫0
∫ y
y 0 0
21 1
y22
∫ ∫ yz21 z y2 z
y21 1
y22
∫ ∫2yz 2yz2 y3 zz
y0 0
1 1 y2
1 2yz3
y3 z2 2
∫ yz2
y
0
3 20 2
y2 2y
3y2 2
y2 2 y3 y1 1 1
y∫ 0
2 3 2 2 2 2 y3 y5 y7
∫ x0 3 2 4 24
2 y2
y4 y6 y8 6 8 24 192 0
1
1
1
1
1 3 2 3 12 12
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CA M B I O DE VAR I A B L E E N UNA I N TE G R A L T R I P LE .
Al igual que par las integrales dobles, se puede usar un cambio de variable en lasintegrales triples.
Para una función f : U R3 R :
∫∫∫ f x, y, z xyz ∫∫∫ f u, v,
wuvw T
Si u, v, w xu, v, w, yu, v, w, zu, v, w es una función uno
a uno y
R3 R3 , geométricamente transforma la región de integración D en otra región
J u, v, w
: se llama jacobiano de la transformación y es el valor
absoluto del determinante de la matriz diferencial de .C a m b io d e v a r i a b les u s u a l: C ilí n d r ic a s La función que define el cambio de variable para coordenadas polares
es:
r, , z r cos , r sen , z x, y, z cos sen
r cos0
0
J r, , z
0 r cos2 r sin 2
abs r sen
r0 1
Por lo tanto el cambio de variable usando coordenadas cilíndricas queda:
∫∫∫ f x, y, z xyz ∫∫∫ f r cos , r sen , z r rz T
z∫∫∫ zyx , donde W es
laEjemplo Calcular la integral triple
2 2x y
W
región de la esfera x 2 y 2 z 2 10 , donde z 2 .
∂x, y, z ∂r, , z
∂x, y, z ∂u, v,
∂x, y, z ∂u, v,
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Solución: El cambio de coordenadas más conveniente es el esférico.De acuerdo al cambio de variable transformamos la región de integración.
QT
r,
,z
Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamenteen la integral:
zzyx
z r z r
∫∫∫W
∫∫∫
r
x 2 y 2
T
2 6 10 r 2
∫ ∫
∫ z z r
0 0 2
210r2 6 z 2
∫ ∫
r
0 2 20
2 6
1
∫ ∫ 10 r 2 4r
2
0 0
62 r 3 1
∫ 6r
2 3 0
0 2
2 6 ∫ 4 6
C a m b io d e v a r i a b les u s u a l: E s f é r ic a s La función que define el cambio de variable para coordenadas polares es:
Integrales Triples
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, , cos sen , sen sen , cos x, y, z
cos sen
sen sen
cos sen 0
cos cos sen
cos sen
J , , x, y, z
sen
sen , , cos
cos 2 sen 2 sen cos 2 cos2 sen
cos sen cos2 sen 2 sen 2 sen 2 2 sen
Por lo tanto el cambio de variable usando coordenadas esféricas queda:
∫∫∫ f x, y, z xyz
∫∫∫ f cos sen , sen sen , cos 2 sen r
Evaluar la integral ∫∫∫ex y z V , donde Q es la esfera
unitaria
2 3 / 22 2
EjemploQ
Solución: El cambio de coordenadas más conveniente es el esférico.De acuerdo al cambiointegración.
de variable transformamos la región de
Q T,
,
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Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamenteen la integral:
x 2 y 2 z 2
3 / 2 3∫∫∫
Q
V e 2 sen
∫∫∫T
2 1
e
3
∫ ∫ ∫ e
2 sen 0 0 0
1
sen
32 e ∫ ∫
3
0 0
2
e 1
∫ ∫ sen
3
0 0
2
∫ e
1 cos
03
0
2e 1 2 ∫
3 0
4 e
13
A P L I C A C I O N E S V O L Ú M E N E S.
DE L A I N T E G R A L T R I P L E AL C Á L C U L O D E
Dada una función continua y positiva f x, y, z sobre una región R3
.Al integrar esta función, sobre la región Ω, obtendremos el hipervolumen debajo de la gráfica f x, y, z sobre Ω. Si la función f x, y, z 1 , entonces numéricamente elvalor de este hipervolumen sobre Ω es igual al volumen de la región de integración Ω.
∫∫∫ f x, y, z xyz ∫∫∫xyz V
Ejemplo Calcular el volumen del tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 3x 6 y 4z 12 0
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Solución: Graficamos la región de integración:
Definimos y resolvemos la integral:
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1 3 34 2 2
x 3 4 x 2
y
V ∫∫∫V
∫∫ ∫ z y
x 0 0
4 2 2 x1
z3 4 x 2 y y
x
3 3
∫ ∫0 0
0
14 2 2 x
3 x 2 y y
x∫ ∫ 3 3
4
0 0
12 2 x
4 3 y
3 xy
3 y 2
∫ x4 4 00
4 2 ∫ 3 2
1 x
3 x 2
1 x
3 2
1 x
x
02 4 2 4 2
3
4 3
2 ∫ 3 x x x
2 16 0
43 1 3
23x x x 4
0
16
4
Ejemplo Se hace un agujero de 1 cm de diámetro a través de una esfera de 2 cmde radio, simétrica a un diámetro de la esfera. Encontrar el volumen del sólido resultante
Integrales Triples
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Solución: Graficamos la región de integración:
Definimos las superficies que limitan la región:
Esfera: x 2 y 2 z 2 42 2Cilindro: x y
4
1
Debido a la naturaleza de la región resulta conveniente efectuar uncambio a variables cilíndricas:
Esfera: r 2 z 2 4Cilindro: r
2
1
Entonces determinamos los límites constantes de la región:1 z 2 44
z 2 4
z
152
Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamente en la integral:
Integrales Triples
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15 22 4 z2
∫∫∫V ∫ ∫
∫ r r z
0 15 22
2 15 4 z2 r 2 2
∫∫ z
0 15 2 122
12 2 4 z 2
1 ∫ ∫
z 2 8 0 0
15 2 15 z 3
2 ∫
z 0 8 6 15
2
15 2
5∫
4
0
5
15 2
Ejemplo Hallar el volumen de un sólido limitado por la hoja superior del cono
z 2 x 2 y 2 y por la esfera: x 2 y 2 z 2 9
Integrales Triples
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Solución: Graficamos la región de integración:
Debido a la naturaleza de la región resulta conveniente efectuar uncambio a variables esféricas:Esfera: 3
Cono superior: 4
3Cono inferior:
4Como es un cambio de variable conocido reemplazamos directamenteen la integral:
Integrales Triples
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32 4 3
V ∫∫∫V ∫ ∫ ∫ 2 sen
0 ú
0
4
33
sen
2 4 3
∫ ∫ 0
3 4
32 4
9 ∫ ∫ sen
4
2 3
9 ∫ cos
4
40
2
9 2 ∫ 18 2
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