integral tri

Integral Trigonometri

1. 2. 3. 4. 5. 6.

[sunting] Integral dari fungsi-fungsi sederhana

[sunting] Fungsi rasionalArtikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi rasional

[sunting] Fungsi irrasionalArtikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi irrasional

[sunting] LogaritmaArtikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi logaritmik

[sunting] Fungsi eksponensialArtikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi eksponensial

[sunting] Fungsi trigonometriArtikel utama: Daftar integral dari fungsi trigonometri dan Daftar integral dari fungsi arc

[sunting] Fungsi hiperbolikArtikel utama untuk bagian ini adalah: Daftar integral dari fungsi hiperbolik

[sunting] Fungsi inversi hiperbolik

Integral TrigonometriIntegral Trigonometri merupakan hasil kebalikan dari turunan trigonometri. Sebelum kita mencoba mengingat rumus-rumus integral triogonometri maka sebaiknya kita ingat dulu turunan trigonometri. Turunan trigonometri bisa kita tuliskan sebagai berikut y = sin x maka y' = cos x y = cos x maka y' = - sin x y = tan x maka y' = sec2 x y = cot x maka y' = -csc2 x y = sec x maka y' = sec x tan x y = csc x maka y' = -csc x cot x Dengan demikian jika rumus-rumus ini kita balik akan menjadi

Rumus-rumus tersebut bisa dibuat lebih umum sebagai berikut

Untuk lebih jelasnya kita bisa membuktikan sebagai berikut misalkan : y = ax + b maka

Jadi :

Tiba saatnya sekarang kita membahas pelajaaran trigonometri yang digunakan pada persoalan integral dan turunan. Nah buat adik-adik pelajar SMA yang lagi duduk dikelas 3 ini sangat berguna sekali. Biasanya kita sulit menghafal jika ditanya : Integral dari sin ? Integral dari -cos ? Integral dari -sin ? dst. Turunan dari sin ? Turunan dari -cos ? Turunan dari -sin ? dst.

Nah, kalo pasa saat ujian biasannya penyakit tulalit kambuh, jadinya pertanyaan seperti diatas yang harusnya mudah jadi terasa susah atau agu-ragu untuk menjawabnya. Berikut triknya : Buatlah dan hafalkan susunan gambar berikut,

Turunan dan Integral Trigonometri Perhatikan gambar diatas :

panah ke bawah artinya turunan : turunan sin > cos, turunan cos > -sin, turunan -sin > cos, dan turunan -cos > sin panah ke atas artinya turunan : integral sin > -cos, integral -cos > -sin, integral -sin > cos, dan integral cos > sin

Integral Trigonometri

Ingat kembali sifat-sifat integral di materi Integral sebelumnya, lalu kita amati contoh soal integral trigonometri berikut ini :

Setelah paham dengan rumus dan sifat-sifat integral, syarat yang lain untuk bisa mengerjakan integral trigonometri yaitu harus ingat kembali rumus-rumus trigonometri,lho ya.. hayoooo hafal gak,neh..??? Coba perhatikan latihan soal dan pembahasan integral trigonometri berikut ini yuuuukk.

1.

= ..

untuk mengerjakan soal diatas, kita pakai rumus trigonomtri

sehingga

Maka :

2.

=

nah, yang ini pakai sehingga :

maka :

3.

=

ingat sehingga :

maka :

4. ingat :

= . ???

maka :

INTEGRATION OF TRIGONOMETRIC INTEGRALS

Recall the definitions of the trigonometric functions.

The following indefinite integrals involve all of these well-known trigonometric functions. Some of the following trigonometry identities may be needed.

A.) B.) C.) D.) E.) F.) G.) so that so that so that so that

It is assumed that you are familiar with the following rules of differentiation.

These lead directly to the following indefinite integrals.

o

1.) 2.)

o

o

3.)

o

4.) 5.)

o

o

6.)

The next four indefinite integrals result from trig identities and u-substitution.

o

7.)

o

8.) 9.)

o

o

10.)

We will assume knowledge of the following well-known, basic indefinite integral formulas :

, where

is a constant

, where

is a constant

Most of the following problems are average. A few are challenging. Many use the method of u-substitution. Make careful and precise use of the differential notation and and be careful when arithmetically and algebraically simplifying expressions.

o

PROBLEM 1 : Integrate

.

Click HERE to see a detailed solution to problem 1.

o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o

PROBLEM 13 : Integrate Click HERE to see a detailed solution to problem 13.

o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


Some of the following problems require the method of integration by parts.

That is,

.

o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


o


.


Integral Fungsi TrigonometriPosted on September 6, 2011 by suhartoyo

eknik Pengintegralan Substitusi Fungsi TrigonometriPengubahan Integran dalam Integral Trigonometri Integral dari fungsi trigonometri kadang tidak selalu bisa diselesaikan secara langsung menggunakan rumus integral trigonometri. Perlu melakukan pengubahan terlebih dahulu agar didapatkan bentuk yang bisa diintegralkan secara langsung. Pengubahan tersebut menggunakan rumus-rumus trigonometri. Berikut ini rumus-rumus fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam pengubahan integran fungsi trigonometri.

Integran Merupakan Perkalian Dua Fungsi Trigonometri Teknik substitusi yang dilakukan untuk bentuk fungsi trigonometri ini sama dengan teknik substitusi yang dibahas sebelumnya. Integran terdiri dari dua fungsi dimana salah satu fungsi merupakan turunan dari fungsi yang lainnya. Bentuk umum teknik substitusi untuk integral seperti ini adalah sebagai berikut. bukti(salah satu aja ya, yg lain sebagai latihan): Integran Berbentuk Untuk integran yang berbentuk diselesaikan dengan memisalkan peubah x sebagai berikut.Bentuk Integran Pemisalan x = a sin t x = a tan t x = a sec t

, integralnya dapat

Contoh Soal dan Jawabannya: ___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

___________________________________________________________

This entry was posted in INTEGRAL. Bookmark the permalink.

Asal Usul Teknik Substitusi IntegralPosted on September 6, 2011 by suhartoyo

Asal-Usul Teknik Substitusi IntegralDipublikasi pada 03/04/2011 oleh Opan

Your browser does not support iframes.

Beberapa soal integral fungsi tidak bisa diselesaikan dengan hanya menggunakan rumus dasar integral berikut.

Oleh karena itu, perlu metode/teknik untuk menyelesaikannya. Teknik yang digunakan tergantung pada jenis soalnya. Teknik pengintegralan yang akan dibahas di sini adalah teknik substitusi. Untuk teknik-teknik lainnya akan dijelaskan di tulisan berikutnya. Teknik substitusi berdasar pada turunan fungsi komposisi. Ingat kembali, bahwa turunan dari adalah . Dari bentuk tersebut, diperoleh

Kalau dimisalkan u=g(x) maka berlaku gunakan untuk mengganti bentuk pada baris terakhir di atas.

. Pemisalan ini kita

Bentuk terakhir ini sesuai dengan definisi integral. Pembahasan di atas merupakan dasar dari teknik substitusi untuk penyelesaian integral. Perhatikan bahwa fungsi yang penyelesaiannya menggunakan substitusi terdiri dari perkalian sebuah fungsi dengan turunannya. Bingung? Untuk lebih jelasnya, baca contoh penyelesaian integral fungsi dengan substitusi pada tulisan berikutnya.This entry was posted in INTEGRAL. Bookmark the permalink.

Integral ParsialPosted on September 6, 2011 by suhartoyo

Teknik Pengintegralan Integral ParsialTeknik integral parsial ini adalah salah satu dari teknik integral yang telah dibahas sebelumnya. Teknik integral parsial ini didasarkan pada pengintegralan turunan hasil kali dua fungsi. Coba perhatikan bagaimana rumus integral parsial diturunkan dari rumus turunan hasil kali dua fungsi sebagai berikut. Untuk menyelesaikan integral dengan integral parsial yang perlu diperhatikan adalah pemilihan U dan dV. Fungsi yang dimisalkan U adalah fungsi yang kalau diturunkan terus-

menerus menghasilkan 0(nol). Sedangkan fungsi yang dimisalkan dengan dV adalah fungsi yang dapat diintegralkan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan dua contoh di bawah ini. Contoh: ___________________________________________________________ Pada hasil akhir penyelesaian integral dengan teknik integral parsial tidak terdapat lagi bentuk integral. Kalau masih terdapat bentuk integral, maka harus diselesaikan terlebih dahulu. Mungkin saja penyelesaiannya menggunakan integral parsial lagi. Dengan demikian, dalam satu soal bisa saja penyelesaiannya menggunakan dua atau lebih integral parsial di dalamnya. Untuk merasakan bagaimana penyelesaian satu soal integral menggunakan beberapa kali integral parsial, coba selesaikan soal berikut.

Alternatif penyelesaian integral parsial bisa dengan menggunakan teknik Tanjalin. Berikut ini saya deskripsikan bagaimana pemakaian teknik ini. Tadi, kita ketahui bahwa bentuk integral yang akan diselesaikan adalah . Kita bagi dua bagian yaitu U dan dV, pilih U sebagai fungsi yang kalau diturunkan terus-menerus menghasilkan 0 dan dV sebagai fungsi yang bisa diintegralkan. Kemudian, sajikan dalam bentuk tabel seperti berikut.Tanda + U Turunkan Integralkan dV

tanda +/- selang- Terus turunkan U sampai Terus integralkan sampai sebaris dengan hasil turunan seling hasilnya 0 kesekian U sama dengan 0 baris terakhir 0 Integral kesekian dari dV

Langkah terakhir adalah mengalikan baris ke-1 di kolom U dengan baris ke-2 di kolom dV Tandanya +. Jumlahkan dengan hasil kali baris ke-2 kolom U dan baris ke-3 kolom dV, tandanya -. Dan seterusnya sampai baris terakhir. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Kita selesaikan soal

.

Tanda

Turunkan Integralkan

integral tri

Documents