integral definida ycálculo de primitivas. - ulpgc.es · teniendo en cuenta que el área de un...

Capıtulo 5

Integral definiday Calculo de primitivas.

5.1. La estimacion de un area. Sumas de Riemann.

5.1.1. Significado geometrico de la integral

Con la integral definida se pretende calcular el area de una region del planolimitada por una curva cualquiera.

Nota. Es una costumbre muy extendida resaltar las areas marcandolas conmultiples lıneas paralelas. Mucha gente traza estas lıneas de manera oblicua.Sin embargo, esta manera de trazar las lıneas no conduce a ningun resultadopractico. Si queremos que el rayado nos de luz y podamos visualizar algunaspropiedades, este rayado habra de hacerse con lıneas verticales u horizon-tales. Ası, entre cada dos lıneas podemos imaginar un estrecho rectangulo.Lo que es fundamental en el calculo integral.

En particular:

1. Si la funcion f es positiva sobre el intervalo cerrado�a, b

. La integral

definida de la funcion f sobre dicho intervalo representa el area de laregion limitada por la curva, el eje OX y las perpendiculares por lospuntos a y b.

329

330CAPITULO 5. INTEGRAL DEFINIDA. CALCULO DE PRIMITIVAS

�x

�y

a b

y = f(x)

Figura 5.1:C b

a

f(x) dx = area bajo la curva.

2. Si la funcion f es negativa sobre el intervalo cerrado�a, b

. La integral

definida de la funcion f sobre dicho intervalo representa el area de laregion limitada por la curva, el eje OX, y las perpendiculares por lospuntos a y b, pero con signo negativo.

�x

�y

a b

y = f(x)

Figura 5.2:C b

a

f(x) dx = − area sobre la curva.

3. Si la funcion toma valores positivos y negativos sobre el intervalo cer-rado

�a, b

. Entonces, la integral definida de la funcion f sobre dicho

intervalo representa la suma de las areas de las regiones comprendidasentre la funcion, el eje de las x, y las perpendiculares por a y b, peroasignandole a cada una de ellas el signo + o − segun que este porencima o por debajo del eje x. Por lo que en tal caso la integral no nosda una medida del area.

�x

�y

a b

y = f(x)

Figura 5.3:C b

a

f(x) dx = area 1 - area 2 + area 3.

5.1. LA ESTIMACION DE UN AREA. SUMAS DE RIEMANN. 331

Calculo de integrales mediante areas

Lo normal sera calcular areas a partir del concepto de integral. No obstante,en ocasiones, el significado grafico de la integral nos permitira calcular al-gunas integrales mediante areas.

Ejemplo 5.1. Hallar graficamente la siguiente integral:C 4

1(x− 2) dx

Solucion. Representamos la funcion y = x − 2 y hallamos las areas corres-pondientes.

�x

�y

1 4��

Figura 5.4:

A1 =1 · 12

=12

A2 =2 · 22

= 2

La integral vendra definida como la suma arit-metica de las areas correspondientes, asignado sig-no negativo a las areas situadas por debajo del ejehorizontal y positivo a las situadas por encima. Esdecir:C 4

1(x− 2) dx = −A1 + A2 = −1

2+ 2 =

32

Ejemplo 5.2. Hallar graficamenteC 5

−5

�25− x2 dx

Solucion. Representamos la funcion y =√

25− x2 y hallamos las areascorrespondientes. Para ello eliminamos la raız cuadrada.

y =�

25− x2 (⇒ y > 0) → y2 = 25− x2 → x2 + y2 = 25

Luego se trata de la semicircunferencia superior de radio 5 y centro el origende coordenadas.

�x

�y

−5 5

Figura 5.5:

A =π r2

2=

25π

2La integral vendra definida como el area delsemicırculo. Es decir:C 5

−5

�25− x2 dx =

25π

2

Ejemplo 5.3. Calcular graficamenteC 2π

0sen x dx

Solucion. Representamos la funcion y = sen x y hallamos las areas corres-pondientes. Al ser la funcion simetrica respecto del eje horizontal resultanlas areas iguales y por tanto se compensan, dando una integral nula. Enefecto.


�x

�y

Figura 5.6:

C 2π

0sen x dx = A−A = 0

El metodo exhaustivo o de llenado para el calculo de areas

Este metodo era utilizado por los griegos para el calculo de areas planas yconsiste en lo siguiente: Para calcular el area de una region plana irregularse sigue el siguiente proceso:(a) Para el calculo aproximado del area. Se rellena la region lo mas posiblede polıgonos (triangulos, cuadrilateros, rectangulos, trapecios, etc.) y luegose toma como valor aproximado del area de la region la suma de las areasde todos estos polıgonos.

A ≈ A1 + A2 + A3 + A4 + A5

(b) Para el calculo exacto del area se sigue el siguiente proceso:

1. Se idea un procedimiento de division en polıgonos que vaya aproxi-mando de manera sucesiva al area total buscada.

2. Por paso al lımite se llena la figura y se calcula el area exacta.

Por ejemplo, supongamos que queremos calcular el area del cırculo cono-ciendo la longitud de la circunferencia. Para ello ideamos el siguiente proce-dimiento:

1. Dividimos el cırculo en triangulos isosceles iguales, con vertice comunen el centro del cırculo. El proceso de “llenado” se obtiene aumentandoel numero de triangulos. El area del circulo sera aproximadamentela suma de las areas de los triangulos. El area de cada triangulo esT = 1

2bh donde b es la base y h la altura

2. Por paso al lımite obtenemos el area total del cırculo (la altura deltriangulo se transforma en el radio del cırculo y la suma de las basesen la longitud de la circunferencia.

��

��

��

��

T1

T2T3

T4

T8

T7T6

T5

C ≈ T1 + T2 + · · ·+ T8

≈ 12bh +

12bh + · · ·+ 1

2bh

≈ 12h�b1 + b2 + · · ·+ bn

�↓ ↓

C =12R()*+2πR = πR2


La dificultad de este procedimiento esta en idear, en cada caso, el procesode “llenado”, y principalmente en saber dar el “paso al lımite”.

Sumas de Riemann

Riemann utilizo el metodo exhaustivo, pero utilizando siempre rectangulos.El proceso de “llenado” consiste en estrechar al maximo los rectangulos.Se divide la region en rectangulos. En la practica dichos rectangulos seranhorizontales o verticales. Sin embargo, para el planteamiento teorico supon-dremos que dichos rectangulos son verticales. Los rectangulos no tienen porque tener la misma anchura. La altura del rectangulo puede ser cualquiervalor comprendido entre el valor mınimo y el maximo de la funcion en cadauno de los subintervalos. De esta manera el area de la region se puede apro-ximar, cuanto queramos, mediante la suma de las areas de los rectangulos.

�x

�y

a bx1 x2 x3

Figura 5.7: Area bajo la curva ≈ suma de las areas de los rectangulos.

Teniendo en cuenta que el area de un rectangulo se obtiene multiplican-do la base por la altura, tenemos las siguientes sumas, segun tomemos losrectangulos de altura mınima, intermedia o maxima.

�

�

a bx1x2 x3 ≤ �

�

a bx1x2 x3 ≈ �

�

a b ≤ �

�

a bx1x2 x3

m1(x1 − a) + m2(x2 − x1) + m3(x3 − x2) + m4(b − x3) ≤

≤ f(x∗1)(x1 − a) + f(x∗

2)(x2 − x1) + f(x∗3)(x3 − x2) + f(x∗

4)(b − x3) ≈C b

a

f(x) dx ≤

≤ M1(x1 − a) + M2(x2 − x1) + M3(x3 − x2) + M4(b − x3)

A la suma de las areas de los rectangulos se les llama sumas de Riemann. Ala primera de ellas se le llama suma inferior y a la ultima suma superior.En general, poniendo ∆xi = xi − xi−1, resulta:C b

af(x) dx ≈ f(x∗

1)∆x1 + f(x∗2)∆x2 + · · ·+ f(x∗

n)∆xn


La integral como el lımite de una suma

La integral puede interpretarse como el lımite de la suma de las areas de losinfinitos rectangulos infinitesimales. Es decir,C b

af(x) dx = lım

∆xi→0n→∞

�f(x∗

1)∆x1+f(x∗2)∆x2+· · ·+f(x∗

n)∆xn

�= lım

∆xi→0n→∞

n>i=1

f(x∗i )∆xi

que podemos expresar como:C b

af(x) dx = lım

∆xi→0n→∞

n>i=1

f(xi)∆xi

donde xi es un punto cualquiera del subintervalo correspondiente.

5.1.2. Calculo de lımites utilizando el concepto de integral

Supongamos que utilizamos una particion regular del intervalo�0, 1

, es de-

cir, todos los subintervalos con la misma anchura, por ejemplo, dividiendoloen n partes iguales. Tendremos todos los rectangulos con la misma base,∆x = 1/n. Como altura de cada rectangulo podemos tomar la imagen delextremo derecho del subintervalo correspondiente. En este caso, la integralentre

�0, 1

de una funcion continua se puede expresar de la siguiente forma:


�x

�y

1n

2n

3n · · · 1

y = f(x)

Figura 5.8:C 1

0f(x) dx = lım

n→∞�f(

1n

)1n

+ f(2n

)1n

+ · · ·+ f(n

n)1n

�=

= lımn→∞

1n

�f(

1n

) + f(2n

) + · · ·+ f(n

n)�

=

= lımn→∞

1n

n>k=1

f(k

n)

Y viendo la igualdad de derecha a izquierda, tenemos:

lımn→∞

1n

�f(

1n

) + f(2n

) + · · ·+ f(n

n)�

= lımn→∞

1n

n>k=1

f(k

n) =

C 1

0f(x) dx

lo que nos permite calcular el lımite de algunas sumas a partir del conceptode integral.

Ejemplo 5.4. Calcular el siguiente lımite:

lımn→∞

� 11 + n2

+2

22 + n2+ · · ·+ n

n2 + n2

�Solucion. Sacamos factor comun la base de los rectangulos, 1/n, y el restolo expresamos en funcion de k/n.

lımn→∞

� 11 + n2

+2

22 + n2+ · · ·+ n

n2 + n2

�=

= lımn→∞

1n

�n

1 + n2+

2n

22 + n2+ · · ·+ n2

n2 + n2

�=

= lımn→∞

1n

�1/n

( 1n)2 + 1

+2/n

( 2n)2 + 1

+ + · · ·+ 1(n

n)2 + 1

�=

= lımn→∞

1n

n>k=1

k/n

( kn)2 + 1

=C 1

0

x

x2 + 1dx =

ln 22


lımn→∞

�n

n2 + 1+

n

n2 + 4+ · · ·+ n

n2 + n2

�


Solucion. Sacamos factor comun la base de los rectangulos, 1/n, y el restolo expresamos en funcion de k/n.

lımn→∞

�n

n2 + 1+

n

n2 + 4+ · · ·+ n

n2 + n2

�=

= lımn→∞

1n

�n2

n2 + 1+

n2

n2 + 4+ · · ·+ n2

n2 + n2

�=

= lımn→∞

1n

�1

1 + ( 1n)2

+1

1 + ( 2n)2

+ + · · ·+ 11 + (n

n)2

�=

= lımn→∞

1n

n>k=1

11 + ( k

n)2=C 1

0

11 + x2

dx =,arc tg x

-10

=π

4


lımn→∞

#n

(n + 1)2+

n

(n + 2)2+ · · ·+ n

(n + n)2

$Solucion. Sacamos factor comun la base de los rectangulos, 1/n, y el restolo expresamos en funcion de k/n.

lımn→∞

#n

(n + 1)2+

n

(n + 2)2+ · · ·+ n

(n + n)2

$=

= lımn→∞

1n

�n2

(n + 1)2+

n2

(n + 2)2+ · · ·+ n2

(n + n)2

�=

= lımn→∞

1n

#�n

n + 1

�2

+�

n

n + 2

�2

+ · · ·+�

n

n + n

�2$=

= lımn→∞

1n

S�1

1 + 1n

�2

+�

11 + 2

n

�2

+ · · ·+�

11 + n

n

�2T

=

= lımn→∞

1n

n>k=1

S1

1 + kn

T2

=C 1

0

� 11 + x

�2

dx =C 1

0

1(1 + x)2

dx =

=, −11 + x

-10

=−12

+ 1 =12


lımn→∞

� 1n + 1

+1

n + 2+ · · ·+ 1

n + n

�Solucion. Sacamos factor comun 1/n y el resto lo expresamos en funcion de


k/n.

lımn→∞

� 1n + 1

+1

n + 2+ · · ·+ 1

n + n

�=

= lımn→∞

1n

�n

n + 1+

n

n + 2+ · · ·+ n

n + n

�=

= lımn→∞

1n

�1

1 + 1n

+1

1 + 2n

+ · · ·+ 11 + n

n

�=

= lımn→∞

1n

n>k=1

11 + k

n

=C 1

0

11 + x

dx =,ln |1 + x|

-10

= ln 2


lımn→∞

n√

e + n√

e2 + · · ·+ n√

en

n

Solucion. Sacamos factor comun 1/n y el resto lo expresamos en funcion dek/n.

lımn→∞

n√

e + n√

e2 + · · ·+ n√

en

n= lım

n→∞1n

�e1/n + e2/n + · · ·+ en/n

�=

= lımn→∞

1n

n>k=1

ek/n =C 1

0ex dx =

,ex-10

= e− 1


lımn→∞

1n8

n>k=1

k7

Solucion. Sacamos factor comun 1/n y el resto lo expresamos en funcion dek/n. Tengase en cuenta que al ser k el ındice del sumatorio, todas las demasvariables son constantes y se pueden introducir en el sumatoria, incluida lapropia n.

lımn→∞

1n8

n>k=1

k7 = lımn→∞

1n

1n7

n>k=1

k7 = lımn→∞

1n

n>k=1

#k

n

$7

=C 1

0x7 dx =

=,x8

8

-10

=18


lımn→∞

� 1n2

+2n2

+ · · ·+ n− 1n2

�


Solucion. Sacamos factor comun 1/n y el resto lo expresamos en funcion dek/n. Tengase en cuenta que la falta de un rectangulo infinitesimal no afectaal resultado.

lımn→∞

� 1n2

+2n2

+ · · ·+ n− 1n2

�= lım

n→∞1n

� 1n

+2n

+ · · ·+ n− 1n

�=

= lımn→∞

1n

�0 +

1n

+2n

+ · · ·+ n− 1n

�= lım

n→∞1n

n−1>k=0

k

n=C 1

0x dx =

=,x2

2

-10

=12

Intervalo de integracion distinto del�0, 1

En el calculo de lımites mediante integrales, el intervalo de integracion puedeser cualquiera. En efecto, si utilizamos una particion regular, la integral entre�a, b

de una funcion continua se puede expresar de la siguiente forma:

�x

�y

a x1x2 · · · b

y = f(x)

Figura 5.9:

Al dividir el intervalo�a, b

en n partes

iguales, la base de cada uno de los nrectangulos infinitesimales sera: ∆x =b− a

n, y por lo tanto las coordenadas de

los puntos x1, x2, . . . seran:

x1 = a +b− a

n, x2 = a + 2

b− a

n= a +

2n

(b− a), . . .

. . . xk = a + kb− a

n= a +

k

n(b− a) . . .

Y tomando f(xi) como altura de los rectangulos, resulta:C b

af(x) dx = lım

n→∞

#f(x1)

b− a

n+ f(x2)

b− a

n+ · · ·+ f(xn)

b− a

n

$=

= lımn→∞

b− a

n

f(x1) + f(x2) + · · ·+ f(xn)

!=

= lımn→∞

b− a

n

n>k=1

f(xk) = lımn→∞

b− a

n

n>k=1

f�a +

k

n(b− a)

�Y viendo la igualdad de derecha a izquierda, tenemos:

lımn→∞

b− a

n

n>k=1

f

#a +

k

n(b− a)

$=C b

af(x) dx


Si b− a es un numero entero, entonces podemos dividir el intervalo�a, b

en

(b− a)n partes iguales, con lo cual la base de los rectangulos infinitesimales

resultantes serıa ∆x =b− a

(b− a)n=

1n

. Con lo cual xk = a +k

n. Y resulta:

lımn→∞

1n

(b−a)n>k=1

f

#a +

k

n

$=C b

af(x) dx

La clave para determinar los lımites de integracion�a, b

, esta en conocer el

primer y el ultimo valor de f(x), es decir, f(a) y f(b). Mas que la formula,debe buscarse el proceso de integracion, utilizando un grafico auxiliar. Unasveces habra que pensar que solo la unidad se ha dividido en n partes y otrasque todo el intervalo de integracion se ha dividido en las n partes.

Ejemplo 5.11. Calcular lımn→∞

π

n

#sen

π

n+ sen

2π

n+ · · ·+ sen

(n− 1)πn

$Solucion. Podemos suponer que el intervalo

�0, π

lo hemos dividido en n

partes iguales. La base de los rectangulos infinitesimales sera ∆x = π/n, ylos puntos de la particion x1 = π/n, x2 = 2π/n, . . ., xn = nπ/n. Falta untermino, pero no afecta al resultado, ya que sen

nπ

n= sen π = 0.

0 πn

2πn

3πn · · · π

πn

πn

πn · · ·

de donde,

lımn→∞

π

n

#sen

π

n+ sen

2π

n+ · · ·+ sen

(n− 1)πn

$=

= lımn→∞

π

n

�sen

π

n+ sen

2π

n+ · · ·+ sen

nπ

n

�=C π

0sen x dx =

,− cos x

-π0

=

= − cos π + cos 0 = 1 + 1 = 2

Como regla practica para determinar los lımites de integracion y el corres-pondiente incremento de x puede utilizarse la siguiente: Una vez determina-do el valor de x = kπ

n , tenemos:

x =kπ

n

�� k = 0 → x = 0 ⇒ a = 0k = n → x = π ⇒ b = πk = 1 → x = π

n ⇒ ∆x = πn

Ejemplo 5.12. Calcular lımn→∞

n>k=1

1n

sen#

kπ

n

$


Solucion. Igual que en el ejemplo anterior, podemos suponer que el intervalo�0, π

lo hemos dividido en n partes iguales. La base de los rectangulos

infinitesimales sera ∆x = π/n, y los puntos de la particion x1 = π/n, x2 =2π/n, . . ., xn = nπ/n.

0 πn

2πn

3πn · · · π

πn

πn

πn · · ·

En consecuencia necesitamos sacar factor comun el incremento de x ∆x = πn ,

de donde,

lımn→∞

n>k=1

1n

sen#

kπ

n

$= lım

n→∞1n

n>k=1

sen#

kπ

n

$=

1π

lımn→∞

π

n

n>k=1

sen#

kπ

n

$=

=1π

C π

0sen x dx =

1π

,− cos x

-π0

=1π

(− cos π + cos 0) =1π

(1 + 1) =2π


lımn→∞

n√

e + n√

e2 + · · ·+ n√

e2n

n

Solucion. Podemos suponer que el intervalo�0, 2

lo hemos dividido en 2n

partes iguales. La base de los rectangulos infinitesimales sera ∆x = 1/n, ylos puntos de la particion x1 = 1/n, x2 = 2/n, . . ., xn = 2n/n = 2.

0 1n

2n

3n

nn · · · 2n

n

1 21n

1n

1n · · ·

En consecuencia, sacamos factor comun 1/n y el resto lo expresamos enfuncion de k/n.

lımn→∞

n√

e + n√

e2 + · · ·+ n√

e2n

n= lım

n→∞1n

�e1/n + e2/n + · · ·+ e2n/n

�=

= lımn→∞

1n

2n>k=1

ek/n =C 2

0ex dx =

,ex-20

= e2 − 1

5.1.3. Propiedades de la integral definida

a) Relativas al intervalo de integracion.

1. Si a < b no tiene sentido hablar del intervalo�b, a

. No obstante, se

admite por convenio que: Al intercambiar los lımites de integracion, laintegral cambia de signo.


�x

�y

a b

−→+ �x

�y

a b

←−−C a

bf(x) dx = −

C b

af(x) dx

2. Si los lımites de integracion coinciden, la integral vale cero.C a

af(x) dx = 0

3. La integral de una funcion siempre esta contenida entre dos valores:El rectangulo mınimo y el rectangulo maximo.

�xm

M�y

a bm(b− a) ≤

C b

af(x) dx ≤M(b− a) (5.1)

4. Cualquiera que sean los numeros a, b y c, se cumple que:

�x

�y

a bc�x

�y

a cbC b

af(x) dx =

C c

af(x) dx +

C b

cf(x) dx

siempre que la funcion sea integrable sobre dichos intervalos. Estapropiedad se cumple aunque el punto c no este situado entre a y b.

�+�−�

a b c

b) Relativas al integrando.

1. La integral de la suma es la suma de las integrales.C b

a

f(x) + g(x)

!dx =

C b

af(x) dx +

C b

ag(x) dx

2. Un factor constante puede sacarse fuera de la integral.C b

arf(x) dx = r

C b

af(x) dx

3. La integral de una funcion positiva, es positiva.

f(x) ≥ 0, x ∈�a, b

⇒

C b

af(x) dx ≥ 0


4. Si una funcion es menor que otra, entonces su integral tambien lo es.

f(x) ≤ g(x), x ∈�a, b

⇒

C b

af(x) dx ≤

C b

ag(x) dx

Ejemplo 5.14. Sabiendo queC 4

1f(t) dt = −5 y

C 2

12f(t) dt = −1

hallar:C 4

2f(t) dt

Solucion. C 2

12f(t) dt = 2

C 2

1f(t) dt = −1→

C 2

12f(t) dt =

−12C 4

1f(t) dt =

C 2

1f(t) dt +

C 4

2f(t) dt =

−12

+C 4

2f(t) dt = −5

luego C 4

2f(t) dt = −5 +

12

=−92

Ejemplo 5.15. Sabiendo que:C 4

1

�f(x)− g(x)

�dx = 10,

C 1

4

�f(x) + g(x)

�dx = 3

C 4

0g(x) dx = 5

CalcularC 1

0g(x) dx

Solucion.U 41

�f(x)− g(x)

�dx = 10U 1

4

�f(x) + g(x)

�dx = 3

�� U 41 f(x) dx− U 4

1 g(x) dx = 10U 14 f(x) dx +

U 14 g(x) dx = 3

��− U 1

4 f(x) dx +U 14 g(x) dx = 10U 1

4 f(x) dx +U 14 g(x) dx = 3

�� 2C 1

4g(x) dx = 13→

C 1

4g(x) dx =

132

de donde, C 1

0g(x) dx =

C 4

0g(x) dx +

C 1

4g(x) dx = 5 +

132

=232

Ejemplo 5.16. Establecer una relacion de desigualdad entre las siguientesparejas de integrales:C 1

0

√x dx

C 1

0x3dx

C 2

1

√x dx

C 2

1x3dx

Solucion. Si observamos las graficas de ambas funciones en los dos intervalosde referencia, resulta:

5.2. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO 343

�x

�y

√x

x3

0 1 2

0 ≤ x ≤ 1→ √x ≥ x3 ⇒

C 1

0

√x dx ≥

C 1

0x3 dx

1 ≤ x ≤ 2→ √x ≤ x3 ⇒

C 2

1

√x dx ≤

C 2

1x3 dx

5.2. El teorema fundamental del Calculo

La funcion integral o funcion area

Dada una funcion integrable en un intervalo cerrado [a, b], se define su fun-cion integral sobre dicho intervalo como el area bajo la curva desde el puntoa hasta un punto variable t ∈ [a, b] O bien, dado que es mas habitual hablar

�x

�y

a x t b

y = f(x)

F (t)

Figura 5.10:

F (t) =C t

af(x) dx

de F (x) en lugar de F (t), basta con intercambiar los papeles de ambas va-riables.

�x

�y

a t x b

y = f(x)

F (x)

Figura 5.11:

F (x) =C x

af(t) dt

Teorema fundamental del Calculo

Teorema 5.1. Si f es una funcion continua en el intervalo cerrado [a, b],entonces su funcion integral, F (x) =

U xa f(t) dt a ≤ x ≤ b, es continua en

[a, b] y derivable en (a, b), y su derivada F ′(x) = f(x).

f continua en [a, b]F (x) =

U xa f(t) dt

�F ′(x) = f(x)


Demostracion. Aplicando la definicion de derivada a la funcion F , resulta,

F ′(x) = lımh→0

F (x + h)− F (x)h

= lımh→0

U x+ha f(t) dt− U x

a f(t) dt

h=

= lımh→0

U xa f(t) dt +

U x+hx f(t) dt− U x

a f(t) dt

h=

= lımh→0

U x+hx f(t) dt

h= lım

h→0

f(x) · hh

= f(x)

En la demostracion se ha tenido en cuenta que, para h pequeno,C x+h

xf(t) dt ≈ f(x) · h

En efecto,

�x

�y

a t xx + h� b

y = f(x)

F (x)

h

f(x)

Figura 5.12:

La integralC x+h

xf(t) dt

representa el area del rectan-gulo infinitesimal de base h yaltura f(x).

De una manera mas formal, teniendo en cuenta la desigualdad (5.1), sepuede establecer de la siguiente forma:

mxh ≤C x+h

xf(t) dt ≤Mxh → mx ≤

U x+hx f(t) dt

h≤Mx

de donde, tomando lımite,

lımh→0

mx ≤ lımh→0

U x+hx f(t) dt

h≤ lım

h→0Mx

de donde,

f(x) ≤ lımh→0

U x+hx f(t) dt

h≤ f(x) ⇒ lım

h→0

U x+hx f(t) dt

h= f(x)

Lecturas del teorema fundamental del Calculo

Del Teorema fundamental del Calculo se pueden desprender las siguientesinterpretaciones:

1. Si la funcion f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b], entonces sufuncion integral F (x) =

U xa f(t) dt , es una primitiva de f(x).


2. Toda funcion continua sobre un intervalo cerrado, tiene una primitivasobre dicho intervalo.

3. La derivada de una integral, con lımite superior variable, respecto dedicho lımite superior, coincide con el valor del integrando en dicholımite superior.

d

dx

C x

af(t) dt = f(x)

4. La derivada del area coincide con el valor de la funcion en la frontera:

�x

�y

a x b

F (x) F ′(x)

��

πr2

2πr ��

� = a′(r)

Cırculo

V =43πr3

A = 4πr2

A = V ′(r)

Esfera

Figura 5.13:

Derivada de integrales

Ejemplo 5.17. Hallard

dt

C t

0

�x2 + 1 dx

Solucion. Aplicando directamente el teorema fundamental resulta,

d

dt

C t

0

�x2 + 1 dx =

�t2 + 1


dt

C 3

tsen2 x dx

Solucion. Para poder aplicar el teorema fundamental, el lımite variable,respecto del que se deriva, ha de ser el lımite superior de la integral, enconsecuencia habra que intercambiar los lımites,

d

dt

C 3

tsen2 x dx =

d

dt−C t

3sen2 x dx = − sen2 t

Derivada de integrales cuando el lımite superior es una funcion

Cuando la variable de integracion no coincide con la variable de derivacion,aplicamos el teorema de la derivada de la funcion compuesta

d

dx

C g(x)

af(t) dt =

8u = g(x)du = g′(x)dx

9=

d

dx

C u

af(t) dt =

=d

du

�C u

af(t) dt

�du

dx= f(u)

du

dx= f [g(x)] · g′(x)



dt

C t2

0cos x2 dx

Solucion.d

dt

C t2

0cos x2 dx = cos(t2)2 · 2t = 2t cos t4

Derivada de integrales cuando los dos lımites son funciones

Aplicando los resultados anteriores, resulta,

d

dx

C g(x)

h(x)f(t) dt =

d

dx

�C a

h(x)f(t) dt +

C g(x)

af(t) dt

�=

=d

dx

�−C h(x)

af(t) dt +

C g(x)

af(t) dt

�= −f [h(x)]h′(x) + f [g(x)]g′(x) =

= f [g(x)]g′(x)− f [h(x)]h′(x)

Es decir, C g(x)

h(x)f(t) dt = f [g(x)]g′(x)− f [h(x)]h′(x) (5.2)


dx

C x3

x2ln t dt

Solucion. Aplicando la formula (5.2) resulta,

d

dx

C x3

x2ln t dt = lnx3 · 3x2 − lnx2 · 2x = 9x2 lnx− 4x lnx =

�9x2 − 4x

�lnx


dx

C √x

1/xcos t2 dt x > 0

Solucion. Aplicando la formula (5.2) resulta,

d

dx

C √x

1/xcos t2 dt = cos(

√x)2 · 1

2√

x− cos

�1x

�2 · −1x2

=1

2√

xcos x+

1x2

cos1x2

Ejemplo 5.22. Hallar el lımite lımx→0+

U x2

0 sen√

t dt

x3

Solucion. La sustitucion directa da la indeterminacion 0/0 que se rompeaplicando la Regla de L’Hopital. En efecto,

lımx→0+

U x2

0 sen√

t dt

x3=,00

-= lım

x→0+

sen x · 2x

3x2= lım

x→0+

2x2

3x2=

23

Ejemplo 5.23. Hallar el lımite lımx→0

U x0 cos t2 dt

x



lımx→0

U x0 cos t2 dt

x=,00

-= lım

x→0

cos x2

1= 1

Ejemplo 5.24. Hallar el lımite lımx→0+

U sen x0

√tg t dtU tg x

0

√sen t dt


lımx→0+

U sen x0

√tg t dtU tg x

0

√sen t dt

= lımx→0+

�tg(sen x) cos x�sen(tg x)

1cos2 x

= lımx→0+

√tg x cos3 x√

tg x= 1

5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva

Teorema 5.2 (Regla de Barrow). Si f es una funcion continua en elintervalo cerrado [a, b] y G es una primitiva cualquiera de f , entonces:C b

af(x) dx = G(b)−G(a)

Demostracion. Sea f continua en [a, b] y G una primitiva cualquiera de f .Por ser f continua sobre [a, b], su funcion integral F (x) =

U xa f(t) dt sera una

primitiva de f . En consecuencia tendremos dos primitivas de una mismafuncion que, por tanto, se diferenciaran en una constante G(x) = F (x) + C,de donde,

G(b) = F (b) + CG(a) = F (a) + C

�G(b) =

U ba f(t) dt + C

G(a) = 0 + C = C

�G(b) =

C b

af(x) dx + G(a)

de donde, C b

af(t) dt = G(b)−G(a)⇒

C b

af(x) dx = G(b)−G(a)

Observaciones:

1. La importancia de esta regla es fundamental, ya que pone en relacionlas integrales con las derivadas. Sin embargo hay que advertir quesolamente es aplicable a funciones continuas definidas en intervaloscerrados.

2. Para hallar la integral definida de una funcion continua en un intervalocerrado seguiremos el siguiente proceso:

a) Se halla una primitiva cualquiera de la funcion, sin tener en cuen-ta la constante (la mas sencilla).


b) Se sustituyen en esta primitiva los lımites de integracion -el su-perior y el inferior- y se restan los resultados.C b

af(x) dx =

&Cf(x) dx

'b

a=,G(x)

-ba

= G(b)−G(a)

Ejemplo 5.25. CalcularC 1

0x2 dx

Solucion. Basta con encontrar una primitiva de x2 y evaluarla en los ex-tremos de integracion.C 1

0x2 dx =

8x3

3

91

0

=13− 0 =

13

Ejemplo 5.26. Hallar el area de la region bajo la grafica de y = sen x entre0 y π.

Solucion. El area viene definida por la siguiente integral,

�x

�y

0 π

y = sen x

Figura 5.14:

A =C π

0sen x dx =

,− cos x

-π0

= − cos π + cos 0 =

= −(−1) + 1 = 1 + 1 = 2

Ejemplo 5.27. CalcularC √

3

1

dx

1 + x2

Solucion.C √3

1

dx

1 + x2=�arc tg x

√3

1= arc tg

√3− arc tg 1 =

π

3− π

4=

π

12

Integracion de funciones definidas a trozos

Ejemplo 5.28. Dada la funcion definida por f(x) =

�x2 si 0 ≤ x ≤ 1x si 1 ≤ x ≤ 2

calcularC 2

0f(x) dx.

Solucion. Descomponemos la integral con objeto de integrar por tramos,utilizando en cada tramo la funcion correspondiente.C 2

0f(x) dx =

C 1

0x2 dx +

C 2

1x dx =

8x3

3

91

0

+8x2

2

92

1

=13

+ 2− 12

=116


Ejemplo 5.29. Calcular la integralC 2

0|1− x| dx

Solucion. Separamos los dos casos del valor absoluto.

f(x) = |1− x| =�

1− x si 1− x ≥ 0−1 + x si 1− x < 0

=�

1− x si x ≤ 1x− 1 si x > 1

de donde,C 2

0|1− x| dx =

C 1

0(1− x) dx +

C 2

1(x− 1) dx =

8x− x2

2

91

0

+8x2

2− x

92

1

=

= 1− 12

+42− 2− 1

2+ 1 = 1

Ejemplo 5.30. Dada la funcion f(x) =

�� 1 si x ∈ [0, 1]−2 si x ∈ (1, 2]x si x ∈ (2, 3]

determinar F (x) =C x

0f(t) dt

Solucion. El valor de F (x) dependera del tramo en el que esta situada la x

0 1 2 31 −2 t

x ∈ [0, 1]⇒ F (x) =C x

0f(t) dt =

C x

01 dt =

�t x0

= x

x ∈ (1, 2]⇒ F (x) =C x

0f(t) dt =

C 1

01 dt +

C x

1−2 dt =

�t 10+�− 2t

x1

=

= 1− 2x + 2 = −2x + 3

x ∈ (2, 3]⇒ F (x) =C x

0f(t) dt =

C 1

01 dt +

C 2

1−2 dt +

C x

2t dt =

=�t 10+�− 2t

21+�t22

x2

= 1− 4 + 2 +x2

2− 4

2=

x2

2− 3

de donde, la funcion F vendra definida por:


�x

�y y = f(x)

�

��x

�y

y = F (x)

Figura 5.15:

F (x) =

��x si x ∈ [0, 1]−2x + 3 si x ∈ (1, 2]x2

2− 3 si x ∈ (2, 3]

B. Calculo de primitivas.

5.3. Integracion inmediata.

Definicion 5.1 (Primitiva). Una funcion F (x) se llama primitiva de otrafuncion f(x) si F ′(x) = f(x).

Proposicion 5.1. Si una funcion tiene una primitiva, entonces tiene in-finitas, que se diferencian entre sı en una constante.

Definicion 5.2 (Integral indefinida). Se llama integral indefinida de unafuncion f(x) al conjunto formado por todas sus primitivas, y se denota por:C

f(x) dx = F (x) + C

Ejemplo 5.31. HallarC �

x3 + 2x2 + 1�

dx

Solucion. Buscamos una primitiva del integrando, es decir una funcion talque al derivarla nos de el integrando. En consecuencia,C �

x3 + 2x2 + 1�

dx =x4

4+

2x3

3+ x + C

Nota. Como consecuencia del Teorema fundamental del Calculo se puedeafirmar que toda funcion continua tiene una primitiva. Pero eso no significaque esa primitiva se pueda expresar en terminos elementales. Por ejemplola integral

U sen xx dx solamente se puede calcular desarrollando en series

el senx, con lo cual obtenemos como resultado de la integral, un desarrolloen serie. Es decir, obtenemos el desarrollo en serie de la primitiva, pero noobtenemos la primitiva expresada en terminos elementales.

5.3.1. Propiedades de la integral indefinida

1. d (U

f(x) dx) = f(x) dx

integral definida ycálculo de primitivas. - ulpgc.es · teniendo en cuenta que el área de un...

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