integrais definidas, indefinidas e suas...
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5 INTEGRAIS DEFINIDAS, INDEFINIDAS E SUAS APLICAÇÕES
O conceito de integral tem suas origens no Método da Exaustão, tendo Arquimedes como um de seus grandes desenvolvedores. A motivação deste método foi o cálculo de áreas e volumes de figuras e sólidos com fronteiras curvas.
Todo polígono tem um número associado denominado Área. A área de um retângulo, por exemplo, é definida como sendo o produto da medida da sua base pela da sua altura. Já a área do triângulo é determinada pela metade do produto da medida da sua base pela da altura relativa à base. Como todo polígono pode sempre ser decomposto em triângulos, sua área é a soma das áreas desses triângulos.
2
.hbA = hb
hbA .
2
..2 == ∑=
=3
1 2i
ii hbA
Já o círculo é um pouco mais complexo. Os gregos resolveram o problema de determinar sua área de uma maneira muito natural. Primeiro eles aproximaram essa área, inscrevendo no círculo um quadrado. Depois melhoraram a aproximação, passo a passo, dobrando e redobrando o número de lados, isto é inscrevendo um octógono regular depois um hexadecágono regular (polígono com 16 lados), e assim por diante. As áreas dos polígonos inscritos aproximam-se da área exata do círculo com uma precisão cada vez melhor.
Essa idéia leva à fórmula familiar para a área A de um círculo em termos de seu raio r:
²rA π=
Mas, para conseguir essa exatidão, considera-se que o círculo tenha inscrito nele um polígono regular com um número grande de lados. O qual é subdividido em triângulos isósceles com vértice no centro do círculo. A soma das áreas desses triângulos resulta numa aproximação da área do círculo.
Este é o Método da Exaustão, cujo nome fornece uma boa descrição desse processo, porque a área do círculo é exaurida pelas áreas dos polígonos inscritos.
5.1 O Problema da Área
Seja )(xfy = uma função não-negativa definida num intervalo fechado bxa ≤≤ . Calcular a área da região sob o gráfico de f, acima do eixo das
abscissas e entre as retas verticais ax = e bx = .
Sendo ],[ ba , como definido, um intervalo fechado e a função f contínua nesse intervalo, para cada ponto c pertencente ao intervalo ],[ ba , devemos ter
)()(lim cfxfcx
=→
Para determinar a área da região hachurada abaixo da curva, pode-se utilizar o método da exaustão como segue:
Método da exaustão para o problema da área sob a curva- Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais; - Em cada subintervalo construir o retângulo mais alto que fica inteiramente sob o gráfico;- Anote a soma nS das áreas desses retângulos. Essa soma aproxima a área sob o gráfico e a aproximação é melhorada tomando-se valores cada vez maiores de n;- Calcule a área exata sob o gráfico achando o valor limite ao qual tendem as somas aproximadas nS quando n tende ao infinito
nn
AA+∞→
= lim
Exemplo: Usando o método da exaustão vamos calcular a área A sob a curva ²xy = no intervalo [0, 1].
É fácil perceber que 0 < A < 1, pois A está contida num quadrado de lado
Para aproximar melhor a área A, dividimos a região sob a curva em 4 faixas, utilizando para isto as retas
verticais 4
1=x , 2
1=x e 4
3=x .
Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura da faixa e altura igual ao lado direito da faixa. As alturas desses retângulos são os valores da função
²)( xxf = nos extremos direitos dos subintervalos:
1,
4
3
4
3,
2
1,
2
1,
4
1,
4
1,0 e .
Chamando de R1 a soma das áreas desses retângulos, temos:
Como a área A é menor que R1
podemos afirmar que Podemos também aproximar A usando os retângulos menores, cujas alturas são os valores de f nos extremos esquerdos dos
Sendo assim, Podemos repetir esse procedimento para um número maior de
Com 8 faixas, obtemos as somas:
A
3984375,03 ≈R para os retângulos maiores.
2734375,04 ≈R para os retângulos menores.
Assim, melhoramos nossa aproximação da área A sob a curva para:
3984375,02734375,0 << A
Para obter melhores estimativas, basta aumentar o número de faixas.
A tabela ao lado mostra os resultados parao cálculo da área A usando n retângulos.
Observe que com 1000 retângulos obtivemos um bom estreitamento da desigualdade.
Uma estimativa adequada é obtida fazendo-se a média aritmética dos valores desse intervalo.
Portanto, 3
13333335,0 ≈≈A .
Há outra forma de comprovar que a soma das áreas dos retângulos é aproximadamente 1/3 : utilizando o limite da soma dos n retângulos, quando n tende ao infinito no sentido positivo. Veja:
Rn é a soma dos n retângulos superiores. Cada retângulo tem largura igual a 1/n e alturas determinadas pela função ²)( xxf = nos pontos 1/n , 2/n , 3/n , ...,
n/n. Isto é, as alturas são: 2222
,...,3
,2
,1
n
n
nnn.
Assim: 2222
1...
312111
++
+
+
=
n
n
nnnnnnnR
n
Fatorando temos: ( )²...²3²2²1.²
1.
1n
nnR
n++++=
Como a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é ( )( )
6
121²...²3²2²1
++=++++ nnnn
Obtemos: ( )( )
6
121
³
1 ++= nnn
nR
n
Ou seja: ( )( )
²6
121
n
nnR
n
++=
n Área10 0,2850000 < A < 0,385000050 0,3234000 < A < 0,3434000100 0,3283500 < A < 0,33835001000
0,3328335 < A < 0,3338335
Calculando o limite de Rn quando n tende ao infinito, temos:
( )( )3
12.1.
6
112
11
6
1lim
121
6
1lim
²6
121limlim ==
+
+=
+
+=++=
+∞→+∞→+∞→+∞→ nnn
n
n
n
n
nnR
nnnn
n
O mesmo pode ser mostrado para as somas dos n retângulos inferiores.Assim, a área A da região sob a curva é definida pelo limite da soma das áreas
dos retângulos aproximantes. O que nos leva a concluir que 3
1=A .
5.2 A Antiderivada
A antidiferenciação é a operação contrária da diferenciação. Por exemplo, dada xxxf 212)( 2 += e 54)( 23 ++= xxxF , temos que
xxxF 212)(' 2 += , então, dizemos que F(x) é antiderivada de xxxf 212)( 2 += . Concluímos que uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I, se )()(' xfxF = para todo x no intervalo I. Observe que se 174)( 23 −+= xxxG possui derivada xxxG 212)(' 2 += , então G(x) também é antiderivada de f (x), embora )()( xFxG ≠ . A única diferença entre F(x) e G(x) é o valor da constante, +5 e -17. Concluímos então que toda função do tipo CxxxH ++= 234)( é antiderivada de f. Antidiferenciação é o processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma função. O símbolo ∫ denota a antidiferenciação e escrevemos ∫ += CxFdxxf )()( , onde )()(' xfxF = e também podemos dizer dxxfxFd )())(( = . Usamos
dxxf )( dentro de ∫ para dizer que a função f (x) é a derivada com relação a x de alguma função. Às antiderivadas também chamaremos de integrais.
Encontraremos as antiderivadas utilizando algumas regras:
I) A integral da derivada de x é igual a x mais uma constante arbitrária C.
Cxdx +=∫ .
II) Se n for um número racional, ∫ ++
=+
Cn
xdxx
nn
1
1
, 1−≠n .
A afirmação acima diz que a derivada de Cn
xn
++
+
1
1
é nx . Confira o resultado.
Exemplo: =∫ dxx2
Exemplo: ∫∫ == − dxxdxx
22
1
Exemplo: ∫∫ == dxxdxx 3
13
III) A integral da constante a vezes a função é igual a constante a vezes a integral da função.
( ) ( )dxxfadxxaf∫ ∫= .
Ex: ==∫ ∫ dxxdxx 33 44
IV) A integral da soma é a soma das integrais.Se f1 e f2 forem definidas no mesmo intervalo, então
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ∫ +=+ dxxfdxxfdxxfxf 2121 ][ .
Ex: ( ) ∫ ∫∫∫ =−++=−+ dxdxxdxxdxxx 174174 2323
Atividades
1. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta.
a) ∫ + dxx )53(
b) ∫ +−+− dxxxxx )72985( 234
c) ∫ + dxx
xx )1
(
d) ∫+
dt
t
t
3
4
2 75
e) ∫ dxx43
f) ∫ dxx72
g) ∫ dxx3
1
h) ∫ dxt 5
3
i) ∫ duu 2
3
5
j) ∫ dxx3 210
k) ∫ dxx3
2
l) ∫ dyy
3
m) ∫ dttt 326
n) ∫ dxxx37
o) ∫ + dxxx )4( 23
p) ∫ − duuu )23( 35
q) ∫ − dyyyy )32( 23
r) ∫ − dxxx )5( 24
s) ∫ +− dttt )23( 2
t) ∫ −+− dtxxx )1634( 23
u) ∫ +−−+ dxxxxx )54648( 234
v) ∫ −+ dxxx )832( 32
x) ∫ + dxxx )1(
y) ∫ ++ dxcbxax )( 23
z) ∫ − dxxx )( 2
3
a1) ∫
− dx
xx
1
b1) ∫
++ dx
xx5
3223
c1) ∫
+− dx
xx 24
113
d1) ∫
−+dx
x
xx 442
e1) ∫
−+dy
y
yy 12 24
f1) ∫
+ dx
xx
3
3 1
g1) ∫
−dt
t
t3
3 127
Observe que quando calculamos uma integral, por exemplo: ∫ += Cxdxx 23 ,
onde C é qualquer valor real. Para cada valor de C obtemos uma curva diferente, neste caso deslocamos a curva 2)( xxf = em C unidades para cima e para baixo na direção do eixo y. No mesmo plano cartesiano faça um esboço dos gráficos de Cxxf += 2)( para }5,2,0,3{−=C
A equação Cxxf += 2)( representa uma família de curvas. Para obtermos a curva específica que passa pelo ponto (2, 6), fazemos:
24626 2 =⇒=−⇒+= CCC . A equação procurada então é 2)( 2 += xxf que esboçamos no gráfico acima.
Atividades
2. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), ache a sua equação.Lembrete: A inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x, y) é a derivada nesse ponto.
3. O ponto (3, 2) está numa curva em qualquer ponto (x, y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x – 3. Ache uma equação da curva.
4. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) de uma curva é x3 . Se o ponto (9, 4) está na curva, ache uma equação para ela.
5. Os pontos (-1, 3) e (0, 2) estão numa curva e em qualquer ponto (x, y) da
curva xdx
yd42
2
2
−= . Ache uma equação da curva.
Sugestão: faça dx
dy
dx
yd '2
2
= e obtenha uma equação envolvendo y’, x, e uma
constante arbitrária 1C . Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo y, x,
1C e 2C . Usando as condições, calcule 1C e 2C .
Antiderivadas de Funções Trigonométricas
As integrais abaixo são consequencias diretas das derivadas das funções trigonométricas conhecidas.
I) Função Seno.
Se f (x) = sen(x) então ∫ +−= Cxdxsenx cos .
II) Função Cosseno.
Se f (x) = cos(x) então ∫ += Csenxdxxcos .
III) Função Secante ao quadrado.
Se f (x) = )(sec2 x então ∫ += Ctgxdxx2sec .
IV) Função Cossecante ao quadrado..
Se f (x) = )(cos 2 xec então ∫ +−= Cgxdxx cotseccos 2 .
V) Função Secante vezes a tangente.
Se f (x) = )()sec( xtgx então ∫ += Cxdxtgxx secsec .
VI) Função Cossecante vezes cotangente.
Se f (x) = )(cot)(cos xgxc então ∫ +−= Cecxdxgxecx coscotcos .
Exemplo: ( )∫ =− dxxectgxx 2cos5sec3
Algumas identidades trigonométricas frequentemente usadas no cálculo de antiderivadas trigonométricas:
1cos =ecxsenx
1seccos =xx
1cot =gxtgx
)cos(
)()(
x
xsenxtg =
)(
)cos()(cot
xsen
xxg =
)cos(
1)sec(
xx =
)(
1)(cos
xsenxc =
1)(cos)( 22 =+ xxsen
xxtg 22 sec 1)( =+xxg 22 cosec 1)(cot =+
( ))2cos(12
1)(2 ttsen −=
)cos()()cos()()( absenbasenbasen ±=±)()()cos()cos()cos( bsenasenbaba =±
)cos()(2)2( xxsenxsen =)()(cos)2cos( 22 xsenxx −=
Exemplo: ∫ =−dx
senx
xsengx 23cot2
Exemplo: ( )∫ =++ dxxgxtg 4cot 22
Atividades
6. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta.
a) ( )∫ =− dttsent cos23
b) ( )∫ =− dxsenxx 4cos5
c) ∫ =dxx
senx2cos
d) ∫ =dxxsen
x2
cos
e) ( )∫ =+ dxxgxecx 2sec2cotcos4
f) ( )∫ =− dttgtttec sec5cos3 2
g) ( )∫ =− θθθ dtgg 22 3cot2
h) ∫ =− θθ
θθd
tg
cos
cos43 2
Regra da Cadeia para a Antidiferenciação
Para calcular a derivada de 102 )1(10
1)( xxf += aplicamos a regra da cadeia, e
obtemos: )2()1()'1()1(10
10)´( 92292 xxxxxf ⋅+=+⋅+= . Para calcular
∫ + dxxx )2()1( 92 , vemos que fazendo )1()( 2xxg += e que xxg 2)(' = , temos
∫ dxxgxg )(')( 9 . Ainda fazendo g(x) = u, temos )1( 2xu += e
dxx
duxdxdu =⇒=
22 . Fazendo as substituições temos:
∫ ∫ ++=+== CxCu
duux
duxu 102
1099 )1(
102)2( .
Resultado: Se g for uma função diferenciável e se n for um número racional,
Cn
xgdxxgxg
nn +
+=
+
∫ 1
)]([])('[)]([
1
, para 1−≠n .
Note que fizemos uma substituição, )1( 2xu += e, na prática, é utilizado o termo “integral por substituição”, ao invés de regra da cadeia para integrais.
Exemplo: Calcule dxx∫ +43 .
Fazendo ( ) dxx∫ + 2
1
43 , utilizamos a substituição 43 += xu
Exemplo: Calcule dxxx∫ + 832 )25( .
Exemplo: Calcule dxxx∫ )cos( 2 .
Exemplo: Calcule dxxx∫ +12 . Fazemos 22 )1(11 −=⇒−=⇒+= uxuxxu , e
prosseguimos os cálculos.
Atividades
7. Calcule a integral por substituição, ou seja, utilizando a regra da cadeia:
a) dxx
xsen∫b) dyy∫ −41
c) dxx∫ −3 43
d) dxx∫ −3 26
e) drr∫ +15
f) dxxx∫ +92
g) dxxx∫ − 243
h) ( ) dxxx∫ − 1032 1
i) ( ) dxxx∫ + 62 12
j) dxxx∫ −3 22 )49(5
k) dxx
x∫ + 32 )1(
l) dyy
y∫ − 54
3
)21(
m) dss
s∫ +13 2
n) ( ) dxxx∫ +− 3
42 44
o) dxxx∫ −53 54
p) dxxx∫ +2
q) dtt
t∫ +3
r) ( ) drr
r∫ − 71
2
s) ( ) dxxx∫ − 1223 2
t) dxxx∫ −232
u) ( ) dxxx∫ + 4
135 3
v) θθd∫ 4cos
x) dxx
sen∫ 3
1
y) dxsenxx∫ 326
z) dttt∫ 24cos2
1
a1) dxx∫ 5sec2
b1) θθdec∫ 2cos 2
c1) dyygyecy∫ 22 3cot3cos
d1) drrr∫ 322 sec
e1) ( ) dxsenxx∫ + 52cos
f1) ( ) dxx
senx∫ + 2cos1
4
g1) 23
11
x
dx
x∫ +
h1) 2
11
t
dt
t∫ −
i1) dxxsenx∫ +3 cos12
j1) dxxxsen∫ − 2cos22
k1) dttsent∫ 2cos
l1) θθθ dsen∫ cos3
m1) ( ) dxxgxtg∫ + 22cot2
n1) dx
xsen
x
∫4
14
1cos
2
1
o1) dxxsen
x∫ − 321
3cos
p1) dtt
t∫ 3sec2
q1) ( )
dxxx
xx∫ ++
+13
223
2
r1) ( ) dxxxxx∫ −−+ 422 241
s1) ( ) dsss∫ ++ 213
t1) ( )
( )dy
y
y∫
−
+
3
2
3
3
u1) ( ) dttt∫ + 33
12 12
v1) drr
r∫
+3 2
43
1
)2(
x1) dtt
t
tt
−
+∫ 2
22
3
11
y1) dx
x
x∫
+ 2
32
3
)4(
z1) dxx
x∫ − 2
3
21
a2) dxxsenxsen∫ )(cos
b2) dxxxtgx∫ )cos(secsec
Integral da Função Exponencial e Logarítmica
Função exponencial é toda a função cuja variável independente esteja no expoente, ou seja, uma função da forma xaxf =)( onde a > 0, 1≠a é uma função exponencial e o número real a é a base.
A integral de tal função é dada por Ca
adxa
xx +=∫ ln
, onde a
ea logln = , ou seja,
ln a é o logaritmo neperiano de a, que nada mais é que o logaritmo cuja base é o número de euler.
Exemplo: ∫∫ = dxdxx
x 2
33 1010 , fazendo a substituição
dxdu
dxdux
u =⇒=⇒=3
2
2
3
2
3, temos: Cdudu
uuu +⋅==∫ ∫ 10ln
10
3
210
3
2
3
210 .
Retornando a substituição, finalizamos: C
x
+⋅10ln
10
3
2 2
3
.
Quando a base da função exponencial é o número de euler e, temos a função exponencial natural xexf =)( . Utilizando a função acima, temos:
CeCe
Ce
edxe x
xxx +=+=+=∫ 1ln
.
Exemplo: =∫ dxex
2
3
, fazendo a substituição dxdu
dxdux
u =⇒=⇒=3
2
2
3
2
3,
temos: Ceduedue uuu +⋅==∫ ∫ 3
2
3
2
3
2. Retornando a substituição, finalizamos:
Cex
+⋅ 2
3
3
2.
Quando a base do logaritmo é o número de euler e temos aelog , que chamamos de lna. Tal função é conhecida como logarítmica natural ou logaritmo neperiano e obedece as mesmas regras de logaritmos. Se u for uma
função de x diferenciável, e uuf ln)( = , então duuu
dfuudu
df'
1'
1 =⇒= , aplicando
a antiderivada em ambos os lados da igualdade,
Cuufduuu
df +=⇒= ∫∫ ln)('1
.
Observação: Lembramos que o domínio da função logarítmica são os reais positivos excluindo o zero. Portanto, os valores considerados para as equações abaixo que estão nos logaritmos neperianos devem ser apenas as imagens reais e positivas. O sinal de valor absoluto que aparece nos livros de cálculo foi omitido.
Exemplo: Calcule ∫ +dx
x
x
13
2
.
Fazemos a seguinte substituição de variáveis: dxx
dudxxduxu =⇒=⇒+=
223
331 .
Então CxCuduux
du
u
xdx
x
x ++=+==⋅=+ ∫∫∫ )1ln(
3
1ln
3
11
3
1
313
2
2
3
2
.
Exemplo: Encontrar ∫ ++
dxx
x
1
22
Como 1
22
++
x
x é uma fração racional imprópria, pois temos duas raízes no
polinômio do numerador e uma raiz no polinômio do denominador (isso caracteriza a fração racional imprópria), dividimos o numerador pelo
denominador, 1
31
1
22
++−=
++
xx
x
x. Então:
∫∫ +++−=+
+−=++
Cxxxdxx
xdxx
x)1ln(3
2
1
1
31
1
2 22
.
Exemplo: Calcule ∫ dxx
xln
Faz-se a substituição: dxxdux
dxduxu =⇒=⇒= ln . Então temos:
∫ ∫∫ +=+=== CxCuuduxdux
udx
x
x2
12 )(ln
2
1
2
1ln.
A partir da integral do logaritmo neperiano, podemos obter a fórmula da integral de funções trigonométricas que não foram vistas até então:
I) Função tangente: dxx
senxdxtgx ∫∫ =
cos.
Fazendo a substituição de variáveis: dxsenx
dudxsenxduxu =
−⇒−=⇒= cos
temos:
∫ ∫∫ +−=+=−=−
⋅= CxCuu
du
senx
du
u
senxdx
x
senx)ln(cosln
)(cos, por propriedade
de logaritmo, fazemos
CxCx
CxCxxf +=+
=+=+−= − secln
cos
1ln)ln(cos)ln(cos)( 1 .
Exemplo: Calcule =∫ dxxtg3
II) Função Cotangente: dxsenx
xdxgx ∫∫ = cos
cot
Fazendo a substituição de variáveis: dxx
dudxxdusenxu =⇒=⇒=
coscos temos:
∫ ∫∫ +=+==⋅= CsenxCuu
du
x
du
u
xdx
senx
x)ln(ln
cos
coscos.
Exemplo: Calcule ∫ dxxg3cot
III) Função Secante: )ln(secsec tgxxdxx +=∫Multiplicamos e dividimos tal função por (secx + tgx).
∫∫∫ ++=
++= dx
tgxx
xtgxxdx
tgxx
tgxxxdxx
sec
secsec
sec
secsecsec
2
. Fazendo a substituição
dxxxtgx
dudxxxtgxdutgxxu =
+⇒+=⇒+=
22
secsecsecsecsec , temos:
∫∫ ++=+==+
⋅+CtgxxCudu
uxtgxx
du
u
xtgxx)ln(secln
1
secsec
secsec2
2
.
IV) Função Cossecante: Cgxcxdxcx +−=∫ )cotln(coscos
Multiplicamos e dividimos tal função por (coscx - cotgx), de forma análoga a função trigonométrica anterior.
Exemplo: Calcule ∫ xsen
dx
2
Atividades
8. Calcule o valor das integrais abaixo:
a) ∫ − x
dx
23
b) ∫ +107x
dx
c) dxx
x∫ +4
32
d) dxx
x∫ − 22
e) dxx
x∫ −15
33
2
f) dxxx
x∫ −−
)1(
12
g) dtsent
t∫ +21
cos
h) dtt
tsen∫ −13cos
3
i) dxxecxg∫ + )5cos5(cot
j) dxxxtg∫ + )2sec2(
k) dxx
xsen∫ −2cos
232
l) dxxsen
x∫
+3
33cos
m) dxx
x∫ −4
22
3
n) dyy
y∫ +−
23
45
o) ∫ xx
dx
ln
p) ∫ + )1( xx
dx
q) dxx
x∫
3ln2
r) dxxx
x∫ −
+)ln1(
)ln2( 2
s) dxxxx
x∫ +
+]ln)[(ln
1ln22
t) dxx
xxx∫ +
−+−1
25233
235
u) dxx
xtg∫
)(ln
v) dtt
tg∫ cot
x) ∫ − dxe x52
y) ∫ +dxe x 12
z) ∫+
dxe
ex
x21
a1) ∫ dxee xx 23
b1) ∫ −dx
e
ex
x
23
3
)21(
c1) ∫ dxex x322
d1) ∫ +dx
e
ex
x
3
2
e1) ∫ + xe
dx
1
f1) ∫ dxx23
g1) ∫ dxanx
h1) ∫ dtea tt
i1) ∫ ++ dxxxx )12(5 324
j1) ∫ dxx x3
102
k1) ∫ + dzza zz )1(lnln
l1) ∫ dyeyy eey 32
m1) ∫ dxx
x)ln(4
n1)( )
( ) dxxx
xx∫ ++
+224
2
123
13
Integral por partes
Se tivermos uma função do tipo )()()( xgxfxh ⋅= , a sua derivada é dada pela regra do produto para derivadas: )(')()()('))'()(()(' xgxfxgxfxgxfxh ⋅+⋅=⋅= , donde temos, isolando )()(' xgxf ⋅ : )(')())'()(()()(' xgxfxgxfxgxf ⋅−⋅=⋅ . Aplicando integral em ambos os membros:
dxxgxfxgxfdxxgxf ])(')())'()([()()(' ∫∫ ⋅−⋅=⋅ . Como a integral da soma é a
soma das integrais: ∫∫∫ =⋅−⋅=⋅ dxxgxfdxxgxfdxxgxf )(')())'()(()()('
∫∫ ⋅−⋅=⋅ dxxgxfxgxfdxxgxf )(')()()()()(' . Se fizer )(')( xfdvxfv =⇒= e
também )(')( xgduxgu =⇒= , e assim a fórmula fica da forma:
∫∫ ⋅−⋅=⋅ duvvudvu . Então para usar tal fórmula, basta identificar na integral
quem será u e quem será dv.
Exemplo: ∫ xdxx ln
Fazemos x
dxduxu =⇒= ln e também
2
2xvxdxdv =⇒= , logo
∫∫ ⋅−=x
dxxx
xxdxx
2ln
2ln
22
e então é só utilizarmos o método de substituição
conhecido.
Exemplo: ∫ dxex x23
Exemplo: ∫ xdxx cos
Exemplo: ∫ dxex x2
Exemplo:∫ senxdxex
Atividades
9. Calcule a integral por partes:
a) ∫ dxxe x3
b) ∫ xdxx 2cos
c) ∫ xtgxdxx sec
d) ∫ dxx x3
e) ∫ xdxln
f) ∫ dxx 2)(ln
g) ∫ xdxx 2sec
h) ∫ xdxx ln2
i) ( )∫ +dx
x
xex
21
j) ∫ xdxsenx 32
k) ∫ dxxsenx )ln(cos
l) ∫ dxxsen )(ln
m) ∫ xdxex cos
n) ∫ dxex x25
o) ∫ −dx
x
x2
3
1
p) ∫ dxe
xsenx
2
q) ∫ senxdxx2
r) ∫ −dx
e
ex
x
1
2
s) ∫ dxxcos
Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
Uma função racional é uma função da forma )(
)()(
xQ
xPxH = , onde P(x) e Q(x)
são polinômios. Quando o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, temos uma fração racional imprópria, então para realizar a integração, fazemos a divisão do numerador pelo denominador, até obter uma fração racional própria, ou seja, uma fração racional cujo grau do numerador é menor que o grau do numerador. É com frações racionais próprias que vamos
trabalhar. Por exemplo, em ∫ −++−
dxx
xxx
4
13102
24
efetuando a divisão temos:
∫ ∫ −−+− dx
x
xdxx
4
233)6(
22 . É com expressões como o integrando da segunda
parcela que vamos trabalhar. Preocuparemo-nos em escrever funções racionais próprias na forma de soma de frações parciais. Iniciamos fatorando o denominador em produto de fatores lineares e quadráticos. Então serão considerados os casos:
I) Em )(
)()(
xQ
xPxH = , os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é
repetido. Então a soma de frações parciais é dada por:
nn
n
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xP
+++
++
+= ...
)(
)(
22
2
11
1
Exemplo: ∫ −−−
xxx
dxx
2
)1(23
II) Em )(
)()(
xQ
xPxH = , os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são
repetido. Supondo que )( ii bxa + seja repetido p vezes, então:
ii
p
ii
p
p
ii
p
ii bxa
A
bxa
A
bxa
A
bxa
A
++
+++
++
+−
− 2
1
121
)(...
)()(
Exemplo: ∫ −−
32
3
)2(
)1(
xx
dxx
III) Em )(
)()(
xQ
xPxH = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum fator é
repetido. Os fatores quadráticos permanecem porque não é possível obter raízes reais para eles, então eles devem permanecer como uma equação do segundo grau. A fração parcial que possui polinômio de segundo grau no
denominador fica da forma: cbxax
BAx
+++
2 .
Exemplo: ∫ ∫ −+
+++=
++−−−
122)22)(1(
)32(22
2
x
C
xx
BAxdx
xxx
xx
IV) Em )(
)()(
xQ
xPxH = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum, ou alguns
dos fatores são repetidos. Se um fator quadrático de Q(x), que pode ser ( )cbxax ++2 repetido p vezes, então teremos a soma de p frações parciais da forma:
( ) ( ) cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA pp
pp +++
++++
++++
+− 212
22
2
11 ... .
Exemplo: ( )
( )∫ +−−
dxxxx
x22 54
2
Atividades
1. Calcule a integral:
a) ∫ −42x
dx
b) ∫ −+ 62
2
xx
dxx
c) dxx
x∫ −−
4
252
e) dxxxx
x∫ −−
−2
)24(23
f) ∫ −+−
dwww
w
472
1142
g) ∫ −−−−
dttt
tt
253
52692
2
h) ∫ −−−
dxxx
xx3
2
4
126
i) ∫ −++
dxx
xx
1
22
2
j) ∫ + 23 3xx
dx
k) ∫ −−+
dxxx
xx3
2 14
l) ∫ + 22 )1(xx
dx
m) ∫ −+−
dxxx
xx23
2 13
n) ∫ ++−−
dxxx
xx2
2
)1)(32(
73
o) ∫ ++ )1()2( 2 tt
dt
p) ∫ −+
dzz
z22 )4(
13
q) ∫ −+−+−
254
)5115(23
2
xxx
dxxx
r) ∫ +−++−−+
dxxxx
xxxx
35
1745323
234
s) ∫ −+−
dxxx
xx45
4
2
122
t) ∫ ++−−+++−
dxxxxx
xxx
441169
17523024234
23
u) ∫ +− 1816 24 xx
dx
v) ∫ + xx
dx32
x) ( )
∫ ++
)4(
42xx
dxx
z) ∫ −116 4x
dx
w) ( )
∫ −+−−−
842
4423
2
xxx
dxxx
a1) ( )
( )( )∫ ++++
112
12
2
tt
dttt
b1) ∫ +++
dwww
ww
4
41333
3
c1) ∫ −+−+
1
)(23
2
xxx
dxxx
d1) ∫ + 249 xx
dx
e1) ∫ ++ xxx
dx23
f1) ∫ +++
234 44
)3(
xxx
dxx
g1) ∫ +++−
xxx
dxxx35
2
2
)22(
h1) ∫ +−++
)32)(3(
)92(22
3
xxx
dxxx
i1) ∫ +−−+−
22
23
)52(
)10155(
zz
dzzzz
ji) ∫ + 3)1(t
dt
k1) ∫ −−+
127
)12(3
2
x
dxxx
l1) ∫ + 22
5
)1( x
x
e
dxe
m1) ∫ + 22 )94(
18
x
dx
n1) ∫ +++++
464
)232(23
2
xxx
dxxx
o1)
∫ ++++++
)3)(8(
)3224946(23
234
ww
dwwwww
A Integral Definida
Para que possamos compreender a integral definida, entenderemos primeiramente a soma de Riemann. Imagine uma função qualquer, por exemplo 210)( xxf −= . Para obtermos a área do gráfico de tal função com o eixo x no intervalo que vai de ¼ até 3, Riemann sugeriu o seguinte processo:
1) Observamos que f é definida no intervalo [ ¼ , 3], ou seja, todos os valores do intervalo tem valor real para a função dada, e portanto a função é contínua no intervalo. Podemos esboçar o gráfico para observar:
2) Dividimos o intervalo [ ¼ , 3] em n subintervalos. Para tal fazemos ax =0 e bxn = , e escolhemos qualquer um dos (n – 1) pontos intermediários entre ¼ e
3 de modo que nn xxxx <<<< −110 ... . Os pontos 0x , 1x , 2x , ..., 1−nx , nx não são necessariamente eqüidistantes. Podemos escolher por exemplo:
25,04
10 ==x , 11 =x , 5,1
2
3
2
112 ===x , 75,1
4
7
4
313 ===x , 25,2
4
9
4
124 ===x ,
35 =x . No gráfico temos:
3) O comprimento de cada subintervalo, será denotado por xiΔ , donde temos que 011 xxx −=Δ , 122 xxx −=Δ , ...., 1−−=Δ iii xxx . O conjunto desses subintervalos forma uma partição do intervalo que podemos chamar de partição
Δ. Para o exemplo, temos os valores de delta: 75,04
3
4
11011 ==−=−=Δ xxx ,
5,02
11
2
3122 ==−=−=Δ xxx , 25,0
4
1
2
3
4
7233 ==−=−=Δ xxx ,
5,02
1
4
2
4
7
4
9344 ===−=−=Δ xxx , 75,0
4
3
4
93455 ==−=−=Δ xxx . E assim, temos
que 75,24
11
4
13 ==−=Δ , que é o mesmo que obtemos fazendo
75,275,05,025,05,075,054321 =++++=Δ+Δ+Δ+Δ+Δ=Δ xxxxx . Ao comprimento de cada subintervalo calculado anteriormente chamamos norma e indicamos por |||| xiΔ .
4) Em cada partição xiΔ escolhemos um ponto qualquer iξ , tal que
iii xx <<− ξ1 . Para o exemplo, podemos tomar 2
11 =ξ , pois 1
2
1
4
1 << , o que
quer dizer que 110 xx <<ξ . Satisfazendo a condição iii xx <<− ξ1 , podemos
escolher 25,14
5
4
112 ===ξ , 75,1
4
7
4
313 ===ξ , 24 =ξ e 75,2
4
11
4
325 ===ξ .
Calculamos o valor da função em cada um dos pontos iξ , fazendo
2)(10)( iif ξξ −= . Então temos: 4
39
2
110
2
12
=
−=
f , 16
78
4
510
4
52
=
−=
f ,
16
156
4
710
4
72
=
−=
f , ( ) ( ) 62102 2 =−=f e 16
72
4
1110
4
112
=
−=
f .
5) Observamos que o produto xf ii Δ⋅)(ξ é a área do retângulo de base xiΔ e altura )( if ξ . Somando as áreas dos retângulos formados por cada uma das partições podemos aproximar a área formada entre o gráfico de 210)( xxf −= e o eixo x, no intervalo [ ¼ , 3]. Então =Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅ xfxfxfxfxf 5544332211 )()()()()( ξξξξξ
( ) 667,283
86
3
3218
4
3
16
72
2
16
4
1
16
156
2
1
16
78
4
3
4
39 ===
+
+
+
+
, que é a
área aproximada.
O somatório da área formada por cada partição, da forma
∑=
Δ⋅=Δ⋅++Δ⋅+Δ⋅n
i
iinn xfxfxfxf1
2211 )()(...)()( ξξξξ é denominada soma de
Riemann, por causa do matemático Georg Frederic Bernhard Riemann (1826 - 1866). O gráfico da função pode estar abaixo do eixo x, fazendo com que no somatório, a área de uma dada partição seja descontada e não somada, então não teríamos a área entre o gráfico e o eixo x, como podemos ver na figura abaixo:
No exemplo, )(,)(,)(,)(,)(,)( 1098543 ξξξξξξ ffffff são negativos gerando parcelas negativas. Por causa desses casos é que estamos interessados no
valor absoluto das parcelas e assim fazemos ∑=
Δ⋅n
i
ii xf1
)(ξ . Observe que
quanto maior o número de partições xiΔ , menor a norma dessas partições
|||| xiΔ , e mais o somatório ∑=
Δ⋅n
i
ii xf1
)(ξ se aproxima da área real entre o
gráfico e o eixo x. Então a área entre o gráfico e o eixo x no intervalo [a, b],
onde a função é definida pode ser aproximado por ∑=→Δ
Δ⋅n
i
iix
xfi 1
0||||max)(lim ξ .
Assim, consideramos que a norma da partição de maior comprimento tende a zero, logo o comprimento das demais partições também tenderá a zero, e os retângulos irão se ajustando entre o gráfico e o eixo x, de forma que o somatório de suas áreas seja uma boa aproximação da área entre o gráfico e o eixo x. O limite acima expressa a integral definida num intervalo.
Definição: Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a
integral definida de f de a até b, denotada por ( )∫b
adxxf , será dada por
( ) ∑∫=→Δ
Δ⋅=n
i
iix
b
axfdxxf
i 10||||max
)(lim ξ , se o limite existir.
Na notação de integral definida ( )∫b
adxxf , ( )xf é chamada de integrando, a
de limite inferior e b de limite superior. O símbolo ∫ , utilizado para a
integração é o mesmo utilizado para o cálculo da antiderivada. Seu formato é parecido com S, que lembra soma, pois a integral definida é o limite de uma soma. Para calcular a integral definida, temos que na verdade calcular o limite de uma soma, o que nem sempre torna-se viável de se fazer. Podemos calcular a integral definida através da antiderivada, por isso também o sinal ser usado em ambos os casos. O segundo teorema fundamental do cálculo define o cálculo da integral definida pela antiderivação ou pelo cálculo da integral indefinida da seguinte forma:
Segundo Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma função tal que )()(' xfxg = para todo x
em [a, b]. Então ( ) )()( agbgdttfb
a−=∫ .
Ou seja, basta calcular a antiderivada, e fazer o valor da antiderivada no extremo superior menos a antiderivada no extremo inferior. Dessa forma a antiderivada fica conhecida também como integral indefinida.
Exemplo: Encontre o valor de dxx∫3
1
2 e interprete o resultado
geometricamente.
As mesmas propriedades da antiderivada, ou seja, da integral indefinida são válidas para a integral definida. Então, abaixo verificamos abaixo algumas propriedades da integral definida que são diferentes que a da antiderivada:
I) Se a > b, então ∫∫ −=a
b
b
adxxfdxxf )()( se ∫
a
bdxxf )( existir.
Exemplo: Verifique que ∫∫ −=3
1
21
3
2 dxxdxx .
II) Se f(a) existe, então dxxfa
a∫ )( .
Exemplo: dxx∫1
1
2
III) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()( , onde a < c < b.
Exemplo: Verifique que ∫ ∫∫ +=2
1
3
2
223
1
2 dxxdxxdxx
IV) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então
∫∫∫ +=b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxf )()()( , não importando a ordem de a, b e c.
Exemplo: Verifique que ∫ ∫∫ +=2
1
3
2
223
1
2 dxxdxxdxx
V) Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se )()( xgxf ≥ para todo x em [a, b], então:
∫∫ ≥b
a
b
adxxgdxxf )()(
Exemplo: Comprove o resultado para 1)( 2 += xxf e para 2)( xxg = no intervalo [1, 3] e faça o gráfico das funções.
Atividades
1. Calcule o valor da integral definida usando os resultados:
32
1
2 =∫− dxx 2
32
1=∫− dxx 2
0=∫ dxsenx
π 0cos
0=∫ dxx
π
ππ
2
10
2 =∫ dxxsen
a) dxxx∫− +−2
1
2 )542(
b) dxx∫− −2
1
2 )8(
c) dxxx∫− +−2
1
2 )2
152(
d) dxxx∫− −−2
1
2 )143(
e) dxx∫−
+1
2
2)12(
f) dxxx∫− −+2
1
2 )2
1
3
15(
g) dxxx∫− +−2
1)32)(1(
h) dxxx∫−
−1
2)4(3
i) dxxsenx∫ ++π
0)1cos32(
j) dxx∫π
0
2cos3
k) dxx∫ +π
0
2)4(cos
l) dxsenx∫ −0 2)2(π
2. Calcule as integrais definidas abaixo:
a) dx∫5
24
b) dx∫−4
37
c) dx∫−2
25
d) dx∫−1
56
e) dx∫−
−
10
5
f) dx∫3
3
g) dxx∫7
32
h) dxx∫5
23
i) dxx∫4
0
2
j) dxx∫−1
2
3
k) dxx∫− +6
33
l) dxx∫− +1
2
3
2
)1(
m) dxxx∫− +−0
4
24 )168(
n) dxxx∫− +−4
1
24 )168(
o) dxsenx∫3
6
π
π
p) dxx∫−3
2
3
cosπ
π
q) dxx∫ −4
1)2(
r) dxx∫− +2
1
2 5
s) dxx
x∫− +
2
1 2
t) dxx
x∫− −
+2
5 3
5
u) dxxx∫− −2
2
3 )cos9cos4(π
π
v) dxxsen∫−22
33π
π
x) dxxxx∫ ++−4
2
123 )196(
y) dxxx∫− +1
1
3
1
3
4
)4(
z) dxxx∫ +2
0
32 12
w) dxxx∫ +3
01
a1) dxxxsen∫ ⋅2
0
3 cosπ
b1) dxxx∫ +−3
0
2 )143(
c1) dxxx∫ +−4
0
23 )1(
d1) dxxx∫ −6
3
2 )2(
e1) dxxx∫− −+3
1
2 )153(
f1) dxx
x∫
+2
1 2
2 1
g1) dyyy∫− −5
3
3 )4(
h1) dzz
z∫ +
1
0 32 )1(
i1) dxxx∫ +4
1)2(
j1) dxx∫ −10
115
k1) dttt∫ +5
0
2 1
l1) dwww∫− −0
2
243
m1) ∫− +3
1 3)2( y
dy
n1) dxxsen∫2
02
π
o1) dxx∫π
0 2
1cos
p1) dttt∫ +2
1
32 1
q1) dxx
x∫ −
3
1 32 )13(
r1) dyyy
yy∫ ++
+1
0 3 23
2
43
)2(
s1) dww
ww∫
−4
2 3
4
t1) dxw
w∫ +
15
0 43)1(
u1) dxxx∫ −5
4
2 4
v1) dxxx∫ ++3
01)2(
x1) dxxx∫− ++1
23)1(
y1) dxx
x∫ +
+1
0
3
1
1
z1) dxe∫1
0
2
w1) ∫2
1
e
x
dx
a2) ∫3
1
e
x
dx
b2) ∫e
dxx
x
1
ln
c2) ∫2
2)(ln
e
e xx
dx
d2) ∫−+3
0 2
dxee xx
e2) ∫ −2
0
4 2
dxxe x
f2) ∫ +2
1 ee
dxex
x
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, 2007.GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2001.HUGHES-HALLETT, D. [et al.]. Cálculo Aplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2005.STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.
Lista de SitesMatemática Essencial: Disponível emhttp://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm (acesso em março/2011).
e-Cálculo: Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/ (acesso em março/2011).
Cálculo A. Disponível em http://www.pucrs.br/famat/silveira/calculoa/modulo1.htm (acesso em fev/2011).