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PRACTICA Nº1
CIFRAS SIGNIFICATIVAS, PROPAGACIÓN DE ERRORES Y
TRATAMIENTO ESTADÍSTICO DE RESULTADOS.
INTEGRANTES:
-Ríos Rivera, Edgar
-Gavino Jiménez, Paolo Jesús
-Ávila Bernal, Marcelo Alex
-Gonzales Flores, Gianmarco
-Gallardo Rea, Carlos
CURSO:
-Análisis Instrumental
DOCENTE:
-Mg. Ing. Salcedo Meza, Máximo
2015
PRÁCTICA DE LABORATORIO
Práctica N° 1: Cifras significativas, propagación de errores y tratamiento
estadístico de resultados
I. Objetivos.
a. Determinar las cifras significativas experimentales, propagación de errores y el
tratamiento estadístico de los resultados.
b. Adquirir habilidad en el uso y aplicación de las herramientas estadísticas de
naturaleza aleatoria.
II. Fundamentos teóricos
El concepto de cifra significativa: lo podemos definir como aquella que
aporta información no ambigua ni superflua acerca de una determinada medida
experimental, son cifras significativas de un número vienen determinadas por
su error. Son cifras que ocupan una posición igual o superior al orden o
posición de error.
Propagación de errores: Ocurre que al medir las distintas magnitudes
directas, no todas son medidas con el mismo número de cifras significativas.
En este caso, se tomará como criterio determinar el orden del error de la
magnitud indirecta como aquella del orden del menor número de cifras
significativas. Para ello se realizará el redondeo correspondiente.
Distribuciones de probabilidad: En los problemas siguientes utilizaremos la
distribución t y la distribución normal.
DISTRIBUCIÓN DE T DE STUDENT
Es una distribución de probabilidad que surge del problema
de estimarla media de una población normalmente distribuida cuando
el tamaño de la muestra es pequeño. Ésta es la base de la popular prueba t de
Student para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y
para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las
medias de dos poblaciones.
La distribución t es más ancha y más plana en el centro que la distribución
normal estándar como resultado de ello se tiene una mayor variabilidad en las
medias de muestra calculadas a partir de muestras más pequeñas. Sin
embargo, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución t se
aproxima a la distribución normal estándar.
Condiciones:
Se utiliza en muestras de 30 o menos elementos.
La desviación estándar de la población no se conoce
Diferencias:
La distribución t student es menor en la media y mas alta en los
extremos que una distribución normal.
Tiene proporcionalmente mayor parte de su área en los extremos que
la distribución normal.
Formula:
Tipos de población:
Infinita
Finita
Nivel de significación:
Grados de libertad:
Existe una distribución t para cada tamaño de la muestra, por lo que
“Existe una distribución para cada uno de los grados de libertad”.
Los grados de libertad son el número de valores elegidos libremente.
Dentro de una muestra para distribución t student los grados de libertad
se calculan de la siguiente manera:
GL=n – 1
Uso de la tabla de distribución t:
La tabla de distribución t es más compacta que z y muestra las áreas y
valores de t para unos cuantos porcentajes exclusivamente
(10%,5%,2% y 1%)
Una segunda diferencia de la tabla es que no se centra en la
probabilidad de que el parámetro de la población que está siendo
estimado caiga dentro del intervalo de confianza. Por el contrario, mide
la probabilidad de que ese parámetro no caiga dentro del intervalo de
confianza
Una tercera diferencia en el empleo de la tabla consiste en que hemos
de especificar los grados de libertad con que estamos trabajando.
DISTRIBUCIÓN DE NORMAL
Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas.
Su propio nombre indica su extendida utilización, justificada por la frecuencia o
normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a parecerse en su
comportamiento a esta distribución.
Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya
gráfica tiene forma de campana.
Variable aleatoria:
Es aquella que tiene resultados o valores que tienden a variar de observación
en observación debido a los factores relacionados con el azar. Y se divide a su
vez en dos:
Variable aleatoria discreta:
Si los valores que asume se pueden contar. Por ejemplo: número de
defectos de los zapatos, cantidad de cosechas perdidas, número de
terremotos, número de juegos perdidos.
Variable aleatoria continua:
Si puede asumir cualquier valor dentro de un determinado intervalo. Por
ejemplo: peso de personas, altura de los pinos, duración de un
conversación telefónica.
La distribución de probabilidad:
Es una función que asigna a cada evento definido sobre la variable aleatoria
una probabilidad. La distribución de probabilidad describe el rango de valores
de la variable aleatoria así como la probabilidad de que el valor de la variable
aleatoria esté dentro de un subconjunto de dicho rango.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales,
la distribución de probabilidad está completamente especificada por la función
de distribución, cuyo valor en cada real x es la probabilidad de que la variable
aleatoria sea menor o igual que x.
En una distribución normal el 50% de las observaciones están por encima de la
media y el 50% restante por debajo de la misma. Análogamente, de toda el
área comprendida entre la curva y el eje de las abscisas el 50% está a la
derecha de la media y el otro 50% está a la izquierda de la misma. También
eso se refleja en la figura anterior
Distribuciones de probabilidad con variables continúas:
Donde Z es la variable tipificada, es decir, la variable en términos de
distribución normal estándar, ya no en términos de una distribución normal
específica.
X es cualquier valor especificado de la variable aleatoria continua.
Una vez que se ha realizado el proceso de transformación a una distribución
normal estándar, la media tendrá el valor 0 y la desviación típica 1, esto es
independientemente de los valores que originalmente se tengan, ello en razón
de que el numerador de la fórmula exige que se reste el valor exacto de la
media de la distribución.
III. Materiales, Reactivos y Equipos.
a. Clips, clavos, monedas balanza analítica
IV. Método operatorio
a. Pesar las muestras proporcionadas por el profesor.
b. Formula; W =x± ts
√n
c. Desarrollar los ejercicios de cifras significativas, incertidumbre con la cantidad
correcta de cifras significativas y método de mínimos cuadrados para calcular
la ecuación de la mejor recta. (del 1 al 13)
V. Cálculos y resultados
a. Presentar las respuestas para un L.C. al 92%
MONEDAS
PROMEDIO: ¿∑i
n
X i
n=52,523
MEDIA: M e=4,36+4,367
2=4,3635
VARIANZA: S2=∑ ¿¿¿2/ N-1 = 0,04681892
12−1=0,004256265
DESVIACIÓN ESTANDAR: σ=√S2=√0,004256265=0,065240058
MONEDA(0.10) PESO (Xi) (Xi - ) (Xi - )ᶺ21 4,237 -0,13991667 0,019576672 4,306 -0,07091667 0,005029173 4,343 -0,03391667 0,001150344 4,356 -0,02091667 0,000437515 4,358 -0,01891667 0,000357846 4,36 -0,01691667 0,000286177 4,367 -0,00991667 9,834E-058 4,421 0,04408333 0,001943349 4,438 0,06108333 0,00373117
10 4,443 0,06608333 0,0043670111 4,444 0,06708333 0,0045001712 4,45 0,07308333 0,00534117
SUMA 52,523 0,04681892PROMEDIO 4,376916667
%COEFICIENTE DE VARIACIÓN:
%C.V= σM e
x100=0,0652400584,3635
x100=1,50 %
∴La formula seriaW=x ±t s√n
W=4,3635±1,53640,065240058
√11=4,3635±0,030221936
CLAVOS
Interpolación para un límite de confianza de 92%
0,901,3634
0,92 T0,95 1,795
9
0.90−0.920.90−0.95
= 1.3634−T1.3634−1.7959
T=1,5364
CLAVOS PESO (Xi) (Xi - ) (Xi - )ᶺ2
1 0,294 -0,0232 0,00053824
2 0,31 -0,0072 5,184E-05
3 0,311 -0,0062 3,844E-05
4 0,313 -0,0042 1,764E-05
5 0,317 -0,0002 4E-08
6 0,323 0,0058 3,364E-05
7 0,324 0,0068 4,624E-05
8 0,325 0,0078 6,084E-05
9 0,325 0,0078 6,084E-05
10 0,33 0,0128 0,00016384
SUMA 3,172 0,0010116
PROMEDIO 0,3172
PROMEDIO: ¿∑i
n
X i
n=0,3172
MEDIA: M e=0,317+0,323
2=0,32
VARIANZA: S2=∑ ¿¿¿2/ N-1 = 0,0010116
10−1=0,0001124
DESVIACIÓN ESTANDAR: σ=√S2=√0,0001124=0,010601886
%COEFICIENTE DE VARIACIÓN:
%C.V= σM e
x100=0,0106018860,32
x100=3,31 %
∴La formula seriaW=x ±t s√n
W=0,32±1,53640,010601886
√9=0,32±0,005429579217
CLIPS
Interpolación para un límite de confianza de 92%
0,901,3634
0,92 T0,95 1,795
9
0.90−0.920.90−0.95
= 1.3634−T1.3634−1.7959
T=1,5364
PROMEDIO: ¿∑i
n
X i
n=0,4099
MEDIA: M e=0,405+0,406
2=0,4055
VARIANZA: S2=∑ ¿¿¿2/ N-1 = 0,0064347
30−1=0,000221886206
CLIPS PESO (Xi) (Xi - ) (Xi - )ᶺ21 0,388 -0,0219 0,000479612 0,39 -0,0199 0,000396013 0,39 -0,0199 0,000396014 0,39 -0,0199 0,000396015 0,395 -0,0149 0,000222016 0,397 -0,0129 0,000166417 0,398 -0,0119 0,000141618 0,398 -0,0119 0,000141619 0,399 -0,0109 0,00011881
10 0,399 -0,0109 0,0001188111 0,399 -0,0109 0,0001188112 0,4 -0,0099 9,801E-0513 0,401 -0,0089 7,921E-0514 0,404 -0,0059 3,481E-0515 0,405 -0,0049 2,401E-0516 0,406 -0,0039 1,521E-0517 0,409 -0,0009 8,1E-0718 0,413 0,0031 9,61E-0619 0,42 0,0101 0,0001020120 0,422 0,0121 0,0001464121 0,422 0,0121 0,0001464122 0,423 0,0131 0,0001716123 0,424 0,0141 0,0001988124 0,426 0,0161 0,0002592125 0,426 0,0161 0,0002592126 0,427 0,0171 0,0002924127 0,428 0,0181 0,0003276128 0,43 0,0201 0,0004040129 0,432 0,0221 0,0004884130 0,436 0,0261 0,00068121
SUMA 12,297 0,0064347PROMEDIO 0,4099
DESVIACIÓN ESTANDAR: σ=√S2=√0,000221886206=0,014895845
%COEFICIENTE DE VARIACIÓN:
%C.V= σM e
x100=0,0002218862060,4055
x100=0,05 %
∴La formula seriaW=x ±t s√n
W=0,4055±1,53640,014895845
√29=0,4055±0,004249819101
b. Desarrollo de los ejercicios del 1 a 13
1. Redondee cada número a la cantidad de cifras significativas, incertidumbre que se indica.
SOLUCIÓN
a) 1,2367 a 4 c. s 1,237 (4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
b) 1, 2384 a 4 c. s 1,238 (4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
c) 0, 1352 a 3 c. s 0,135 (3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
d) 2,051 a 2 c. s 2,1 (2 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
e) 2, 0050 a 3 c. s 2, 00 (3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
f) 2, 0150 a 3 c. s 2, 02 (3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
g) 2, 00501 a 3 c. s 2, 01(3 CIFRAS SIGNIFICATIVAS)
Interpolación para un límite de confianza de 92%
0,901,3634
0,92 T0,95 1,795
9
0.90−0.920.90−0.95
= 1.3634−T1.3634−1.7959
T=1,5364
Respuesta: 1,237; 1,238; 0,135; 2,1; 2,00; 2,02; 2,01.
2. Escriba cada respuesta con la cantidad correcta de cifras significativas.
SOLUCIÓN
a) 1,021 + 2,69 = 3,711 3,71 (Redondeo en 3 C.S)b) 12,3 – 1,63 = 10,67 10,7 (Redondeo en 3 C.S)c) 4,34 x 9,2 = 39,928 40 (Redondeo en 2 C.S)d) 0,0602 / (2,113 x 104) = 2,84903 x 10-6 2,85x10-6 (Redondeo
en 3 C.S)
Respuesta: 3,71; 10,7; 40; 2,85 x 10-6.
3. Empleando la cantidad correcta de cifras significativas, calcule la masa molar de:
a) Cloruro de Bario (BaCl2)
BaCl2 Ba (1) + Cl (2) 137,327g.mol-1(1) + 35,4527g.mol-1(2)
∴137,3270gmol
+70,8505gmol
=208,232gmol
b) C31H32O8N2
C31H32O8N2 C (31) + H (32) + O (8) + N (2)
12,011 (31) g/mol + 1,00794 (32) g/mol + 15,9994 (8) g/mol
+ 14,00674 (2) g/mol
∴372,3410gmol
+32,2541gmol
+127,9952gmol
+28,01348gmol
¿560,604 g/mol
PA: Ba = 137,327 g.mol-1 PA: H = 1,00794 g.mol-1
PA: Cl = 35,4527 g.mol-1 PA: O = 15,9994 g.mol-1
PA: C = 12,011 g.mol-1 PA: N = 14,00674 g.mol-1
4. Escriba cada resultado con la cantidad correcta de cifras significativas:
SOLUCIÓN
a) 1,0 + 2,1 + 3,4 + 5,8 = 12,3000 12,3 (3 C.S)
b) 106,9 - 31,4 = 75,5000 75,5 (3 C.S)
c) 107,868 - (2,113 x 102) + (5,623 x 103) = 5519,568 5520 (4 C.S)
d) (26,14 / 37,62) x 4,38 = 3,043413 3,04 (2 C.S)
e) (26,14 / 37,62 x 108) x (4,38 x 10-2) = 3,043413 x 10-10 3,04x10-10 (3 C.S)
f) (26,14 / 3,38) + 4,2 = 11,9337 11,9 (2 C.S)
Respuesta: 12,3; 75,5; 5520; 3,04; 3,04 x 10-10; 11,9.
5. Determine la incertidumbre absoluta y la incertidumbre relativa porcentual para cada cálculo. Exprese los resultados con una cantidad razonable de cifras significativas.
SOLUCIÓN:
Respuesta: 10,18 (± 0,07), 10,18 (± 0,7 %) ; 174 (± 2) , 174 (± 1 %) ; 0,147 (± 0,003) , 0,147 (± 2 %) ; 7,86 (± 0,01) , 7,86 (± 0,1 %) ; 2185,8 (± 0,8) , 2185,8 (± 0,04 %).
6. Para el cloruro de sodio.
a) Demuestre que la masa molar del cloruro de sodio es 58,4425 (± 0,0009)
g.mol-1.
SOLUCIÓN:
b) Para preparar una disolución de cloruro de sodio, se tomó una masa de 2,634 (± 0,002) g y se disolvió en un matraz aforado de 100,00 (± 0,08) mL. Exprese la molaridad de la disolución resultante y su incertidumbre con la cantidad correcta de cifras significativas.
PA (Na) = 22.989768 (± 0,000006) g.mol-1.
PA (Cl) = 35.4527 (± 0.0009) g.mol-1.
Respuesta: 0,4507 (± 0,0005) M ; 0,4507 (± 0,1 %) M.
7. Mediante el test Q, decida si el valor 216 debe descartarse del conjunto de resultados 192, 216, 202, 195, 204.
Respuesta: No debe descartarse.
8. Empleando el método de mínimos cuadrados se calculó la ecuación de la
mejor recta a partir de los puntos: (3,0 ; -3,87 x104), (10,0 ; -12,99 x 104), (20,0
; -25,93 x 104), (30,0 ; -38,89 x 104), (40,0 ; -51,96 x 104).
Los resultados son: m = -1,29872 x104, b = 256,695, σm = 13,190, σb = 323,57. Exprese la pendiente y la ordenada en el origen y sus incertidumbres con la cantidad correcta de cifras significativas.
Respuesta: y = [- 12987 (± 13) ] x + 257 (± 324)
9. Empleando el test Q, determine el número n más grande que podría conservarse en el conjunto 63, 65, 68, 72, n.
Respuesta: 88.
10. Aplique el método de mínimos cuadrados para calcular la ecuación de la mejor recta que pase por los puntos: (1 ; 3), (3 ; 2), (5 ; 0).
Exprese su respuesta en la forma y = [m (± σm)]x + [b (± σb)], con la cantidad correcta de cifras significativas.
Respuesta: y = [ - 0,8 (± 0,1) ] x + 3,9 (± 0,5)
8.-
a) 9,23 (±0,03 )+4,21 (±0,02 )−3,26 (0,06 )=?
i .a=√ (0,03 )2+¿¿
i .r .%=0,07×10010,18
=0,6876227 %
b) 91,3 (±0,1 )× 40,3 (±0,2 )21,1 (±0,2 )
=?
i .r .%1=0,1×100
91,3=0,109529 %
i .r .%2=0,2×100
40,3=0,4962779 %
i .r .%3=0,2×100
21,1=0,9478673 %
i .r .%resultado=√ (i . r .%1)2+(i . r .%2 )2+(i .r .%3 )2=1,0755188
i .a=1,0755188×174,37867100
=1,8754754
⇒174 (±2 )
⇒174 (±1% )
c)[4,97(±0,05)−1,86(±0,01)]
21,1(±0,2)
i .anumerador=√(0,05 )2+(0,01 )2=0,0509901
i .r .%1=0,05×100
3,11=1,607717 %
i .r .%2=0,2×100
21,1=0,9478673 %
i .r .%resultado=√ (i . r .%1)2+(i . r .%2 )2=1,866335
i .a=1,866335×0,1473933100
=0,002750854
⇒0,147 (±0,003 )
⇒0,147 (±2 % )
d) 2,0164 (±0,0008 )+1,233 (±0.002 )+4,61 (±0,01 )=?
i .a=√ (0,0008 )2+(0,002 )2=0,0102293
i .r .%=0,0102293×1007,8594
=0,1301545 %
⇒7,86 (±0.01 )
⇒7,86 (±0,1 % )
e) [2,0164 (±0,0008) ]103+¿
2016,4 (±0,8 )+123,3 (±0,2 )+46,1 (±0,1 )=2185,8
i .a=√ (0,8 )2+(0,2 )2+(0,1)2=0,8306623
i .r .%=0,8306623×1002185,8
=0,0380026 %
9.
a)
PMNaCl=22,989768 (±0,000006 )+35,4527 (±0,0009 )=58,4425 (±0,009 )gmol2
i .a=√ (0,000006 )2+(0,0009 )2=0,00090002
b)
M=2,634 (±0,002 ) g
58,445 (±0,0009 )gmol−1×0,10000 (±0,00008 )L=0,4506994 (±? )M
i .r .%=√( 0,0022.634 )
2
+( 0,000958,445 )
2
+( 0,000080,10000 )
2
=0.1102968 %
⇒0,4507 (±0.0005 )M
⇒0,4507 (±0,1 % )M
10.
Q (90%) 0,94 0,76 0,64 0,56 0,51 0,47
N° abs 3 4 5 6 7 8
Q= desvioamplitud
SiQtabulado<Q calculado
El datodudoso puede ser descartado conunniveldeconfianza del90 %
192 ,195 ,202 ,204 ,216⇒Qcalculado=216−204216−192
=0,5
Como0,64>0,5⇒no debedescartarse
11.
y= [−12987 (±13)] x+257(±324)
12.
63,65,68,72 , n
Qcalculado=n−72n−63
=0,64
n=88
13.
σ m2 =σ y
2×nD
σ y2=∑ (d¿¿ i¿¿2)
n−2¿¿
σ b2=σ y
2×∑ (x¿¿ i¿¿2)D
¿¿
D=∑ (x¿¿ i¿¿2)×n−¿¿¿¿
(x¿¿ i)¿( y¿¿ i)¿(x¿¿ i)2 ¿ d i ¿) d i2
1 3 1 -0,1666 0,02775556
3 2 9 0,3334 0,11115556
5 0 25 -0,1666 0,02775556
∑ 9 5 35 0,1666668
σ y2=0,166666 8
3−2=0,1 66666 8
σ b=√ 0,166666 8×3524
=0,4930068
σ m=√ 0,166666 8×324
=0,1443376
m=−0,75
b=3,91666
⇒ y=[−0,8(±0,1)] x+3,9(±0,5)
D=35×3−92=24