institut national agronomique département du génie rural...
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Institut National AgronomiqueInstitut National AgronomiqueDDéépartement du Gpartement du Géénie Ruralnie RuralSection Hydraulique AgricoleSection Hydraulique Agricole
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tWQ
Débit d’écoulement Q ?
Volume W
Temps t
m3
ssm /3
Courant liquide de densité ρ
Section d’écoulement A
Vitesse d’écoulement VAVQ
QAVQm
x2m sm
3mKg x s
m 3 sKg /
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Ecoulement d’eau
Liquide Coloré
crVV crVV crVV
Avec : Avec : VVcrcr = Vitesse d= Vitesse d’é’écoulement critiquecoulement critique
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- Q : Débit d’écoulement (m3/s)- A : Section d’écoulement (m2)
VDRe
-V : Vitesse d’écoulement (m/s )- D : Diamètre de la section d’écoulement ( m )- ν : Viscosité cinématique du fluide ( m2/s )
12
1
smxmms -Re adimensionnel !
VDRe
VDRe AQV
AQDRe
- ρ : Densité massique du fluide (Kg/m3)- µ : Viscosité dynamique du fluide (Kg/m.s)
Section des conduites : Circulaire !
4
2DA
D
QRe4
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11 V ; ASection Vitesse
22 V ; ASection Vitesse
Q écoulementd' Débit
L’équation de continuité exprime le fait que le débit reste constant d’uneSection à une autre ( Ecoulement permanent ) :
steCVAVAQ 2211
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Plan de Référence
Charge totale
2Z1Z1
2
gP
2 gP
1
gV2
22
gV2
21
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L’équation de Bernoulli exprime que , tout le long d’un filet liquide en mouvement permanent , l’énergie totale du courant liquide reste constante .D’après le schéma , on peut donc écrire l’égalité suivante pour les 2 sections :
steCHg
Vg
PZg
Vg
PZ 22
222
2
211
1 Cette équation s’écrit donc dans le cas général :
steCHg
Vg
PZ 2
2
Equation de Bernoulli pour une fluide parfait
Avec : Z
gP
gV2
2
) L (position deHauteur
) L ( quepiézomètriHauteur
) L ( cinétiqueHauteur
gV
gPZ
2
2
) L ( taleHauteur to
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Section
Débit
Pression
Vitesse
Conclusion : PVA
PVA
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Plan de Référence
Charge totale
2Z1Z1
2
gP
2
gP
1gV2
22
gV2
2112h
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Contrairement au fluide parfait non visqueux , la charge totale pour un fluide réel visqueux diminue dans la direction de l’écoulement . Ceci est du à la nature visqueuse du fluide qui dissipe une partie de l’énergie: cette perte d’énergie est appelée ‘’Perte de charge ‘’ et notée hw .
L’équation de Bernoulli , pour un liquide réel , devient donc ( voir schéma ) :
12
222
2
211
1 22 whg
vg
PZg
vg
PZ
hw12 : Perte de charge totale entre les sections 1 et 2 .
sr hhh
sh rh Perte de charge primaire ou répartie
Perte de charge secondaire , locale ou singulière
Equation de Bernoulli pour une fluide réel
Avec :
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Causes écoulementd'section la de fluidedu
RugositéViscosité
● Les Pertes de charge réparties :
● Notion de Rugosité des Conduites
Contrairement à une surface lisse , une surface rugueuse implique un état de surface dont les irrégularités ont une action directe sur les forces de frottements .Une surface rugueuse peut être considérée comme étant constituée par une
série de protubérances élémentaires caractérisées par une hauteur , notées k , et appelées ‘’ Rugosité ‘’ :
kDk
Rugosités
Conduite
Afin de comparer la rugosité par rapport au diamètre de la conduite , on utilise le rapport :
Dk
Rugosité relative
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La perte de charge répartie se calcule par la formule de Darcy – Weisbach :
gV
DLhr 2
2
frottement det Coefficien λ ) m ( conduite la deLongueur
L
Plusieurs formules sont proposées pour le calcul de λ . Ces formules dépendent dutype de régime d’écoulement donc du nombre de Reynolds Re :
1.- En cas de régime laminaire : Re < 2000 :eR
64
2.- En cas de régime transitoire et turbulent : Re > 2000 :
Dans ce cas , plusieurs formules sont proposées dont les plus utilisées sont celle deColebrook - White et celle de Blasisus .
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♦ Formule de Colebrook – White :
eRDkLog 51,2
71,321
- Si λ = f ( k/D ) : Régime hydrauliquement rugueux :
kDLog
DkLog 71,32
71,321
- Si λ = f ( Re ) : Régime hydrauliquement lisse :
51,2251,221
e
e
RLogR
Log
On voit que λ dépend de la rugosité k et du nombre de Reynolds Re
♦ Formule de Blasius : 25,0316,0
eR
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DIAGRAMME DE MOODY
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- Autre formule de calcul de hr : Formule de Chézy :La formule de chézy est obtenue par transformation de la formule de Darzy-Weisbach :
LKQhr 2
2
Avec : K = Module de débit = f ( k , D ) [ L/s ou m3/s ]
Remarque : Pour calcul de la perte de charge totale hw , on peut tenir compte des pertes de charge singulières en ajoutant 10 % de l’expression précédente
rrrsr hhhhhh 1,11,0
Et donc : LKQh 2
2
1,1
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écoulementd'section la de physique nature la de brusqueon Modificati
Causes
conduite une dans vannede Présence
● Les Pertes de charge singulières :
... Etc
écoulementd'section la de brusquement Rétrecisse
) coude ( écoulementd'direction la de Changement écoulementd'section la de brusqueent Elargissem
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L’expression générale de la perte de charge singulière s’écrit :
gVh ss 2
2
Avec : ξs = Coefficient qui dépend de la nature de la déformation
1.- Elargissement brusque de la section :
d1 d2
2
22
21
2
2
1 11
dd
AA
eb
gV
dd
heb 21
21
2
22
21
4 ;
4
22
2
21
1dAdA
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- Cas particulier d’une sortie vers un réservoir :
1ors
Dans ce cas , la section A2 devient trop grande par rapport à A1 et le rapportA1/A2 tend vers zéro , ce qui donne :
gV
gVh sorors 22
22
RESERVOIR
V
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1.- Rétrécissement brusque de la section :
d1 d2
gV
h rbrb 2
22
0,140,240,41ξrb
0,70,50,1A1/A2avec
- Cas particulier d’une entrée à partir d’un réservoir :
RESERVOIRV g
Vh enen 2
2
avec 50,en
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Applications Particulières de l’Equation de Bernoulli
1.- Cas d’un Ecoulement à travers un Orifice : Formule de Torricelli
2
2
1 1
H
V
orifice
O O’Application de l’équation de Bernoulli entre les sections 1-1 et 2-2 par rapportà l’axe de référence O-O’ :
- Section 1-1 :* Z1 = H* P1 = Patm* V1 = 0
- Section 2-2 :* Z2 = 0* P2 = Patm* V2 = V
watmatm h
gV
gP
gP
H 2
002
Si nous négligeons les pertes de charge : hw = 0 :
gVH2
2
et donc : gHV 2 Formule de Torricelli
Problème : Déterminer le débit Q passantà travers l’orifice
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Si nous passons au débit d’écoulement à travers l’orifice :
VAQ ' avec A’ = Section contractée de l’ écoulement
gHAQ 2'
m = Coefficient de contraction de l’écoulement
gHmAgHAQ 22'
En posant mAA ' AAm '
avec
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Cas d’un Ecoulement à travers un tube de Venturi
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12
H
Référence
gP
1 gP
2
1V
2V
z1 z2
Q
Section rétrécie
Le débitmètre de Venturi est un appareil qui utilise l’équation de Bernoulli pour mesurer le débit Q dans les conduites , et ce à l’aide d’une simple mesure des pressions P1 et P2 .
whg
Vg
PZg
Vg
PZ 22
222
2
211
1
Problème : Calculer Q
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Si nous négligeons les pertes de charge : hw = 0 :
HZg
Pg
PZZg
Vg
V
21
21
21
22
22
Comme l’équation de continuité nous permet d’écrire que :
21
212211 V
AAVVAVA
Et donc : HZAA
gVHZ
gV
AA
gV
2
1
22
22
2
2
1
22
2 1222
ZHg
AA
V
2
1
12
1
2
2
Et comme 22VAQ ZHg
AA
AQ
2
12
1
2
2
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Remarque
Dans la plupart des cas , le débitmètre de Venturi est placé horizontalement ce qui fait que Z1 = Z2 et donc : ∆Z = 0 et la formule précédente se simplifie :
Hg
AA
AQ
2
12
1
2
2
et si on introduisait les diamètres d1 et d2 des 2 sections : 4
2dA
Hg
dd
dQ
2
144
1
2
22
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Section d’écoulementAVQ
4
2dA VdQ
4
2
d
sm /3
VdRe
AQV
dQRe
4
dQRe
4
2000eR
40002000 eR
4000eR
Vitesse d’écoulement
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d1d2QQ
4
21
1dA
4
22
2dA
1
21
11 4VdVAQ
2
22
22 4VdVAQ
steCVAVAQ 2211
21
22
1
2
2
1
dd
AA
VV
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Section 1
Choisir : - 2 sections d’écoulement- - Un axe de référence
1
1
1
VPZ
Section 2
2
2
2
VPZ 12
222
2
211
1 22 whg
Vg
PZg
Vg
PZ
Perte de charge totalePerte de charge répartie Perte de charge singulière
gVh ss 2
2
g
VdLhr 2
2
Transformation
LKQhr 2
2
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eRDkLog 51,2
71,321
gV
dLhr 2
2
Coefficient de frottement
Régime laminaire : Re < 2000 :eR
64
Régime transitoire et turbulent : Re > 2000 :
Régime turbulent lisse : λ =f( Re ) :
kDLog 71,321
51,221
eRLog
Régime turbulent rugueux : λ =f( k ) :
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gVh ss 2
2
Coefficient de perte de charge singulière
gV
ddheb 2
12
1
2
22
21
Elargissement brusque d1
d2V1
Sortie vers un réservoir
gV
hsor 2
2
d2d1 V1Rétrécissement brusque
eb
gVh rbrb 2
21
0,140,7
0,240,5
0,410,1
ξrbA1/A2
Entrée à partir d’un réservoir
VRéservoir
V Réservoir
gV
hen 25,0
2
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Pertes de charge hwconnues
Calcul de la vitesse Vd’écoulement
Calcul du débit Qd’écoulement
gV
DL
2
2
AVQ
Section A et débit Qd’écoulement connus
Donc vitesse V d’écoulementconnue
AQV
Calcul de la pertede charge hw
gV
DL
2
2
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Q
RéférenceO O’
sm /10 x 1,13 2-6
ÉÉcriture de lcriture de l’é’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport quation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport àà OOOO’’ ::
h
gV
gPZ
gV
gPZ
22
222
2
211
1
Calcul : - Vitesse V- Débit Q
Z1=850m
Z2=700m
Section 1
Section 2
L=10 kms ; d=300 mm ; k=0,03 mm
P1=P2=Patm
V1=V2 (même diamètre)
21 ZZh
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hZZ 21
gV
dLhh r 2
2
212121 ZZg
dL
gh
dL
V
eRdkLog 51,271,3
21
Résolution par la Méthode des approximations successives
Fonction implicite
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eRdkLog 51,271,3
21
Choix initiale
1
1er calcul
2
2ème calcul
33ème calcul
Les 2 valeurs de λdeviennent EGALES
ou très proches
… Calculs arrêtés …
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Application numérique :
30003,0
dk
300,010000
dL mZZ 15070085021
Calculs
)(2121 ZZg
dL
V
VdRe
014,02 020,01
eRdkLog 51,271,3
21
sm / 101,2
51058,5 x
014,0
sm / 514,2
51068,6 x
014,0
014,0
/sm 178,04
3
2
VdAVQ
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Données :
sm
Q
/10 x 1,1 mm 0,06 k m 500 Lmm 150 dL/s 30
26-
Calcul :- Perte de charge hw
231500101,1
15,0698,16 x
xVdR e
gV
dLhh r 2
2
m/s 698,1)15,0(14,3
030,04422
xx
dQ
AQV
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Utilisation de la formule de C-W :
eRdkLog 51,271,3
21
Essai 1 : λ1 = 0,0174Calcul 1 : λ = 0,0181
Essai 2 : λ2 = 0,0181Calcul 2 : λ = 0,0180
Essai 3 : λ3 = 0,0180Calcul 3 : λ= 0,0180
La valeur de λ converge donc vers 0,0180
23150051,2
15071,306,021x
Log
Données de l’exercice
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0180,0
gV
DLh
2
2
8,881,92)698,1(
15,05000180,0
2
x
xxh
m 8,8h
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Les paramètres d’écoulement intervenant dans les différentes équations de ladynamique des fluides sont :
conduite la de Llongueur la et d diamètre Le V écoulementd' vitesse La
fluide du massique densité La fluide du ecinématiqu viscosité La
k conduite la de rugosité La frottement de tcoefficien Le
On distingue 3 types de problèmes les plus souvent posés :
321
DemandéDonnéesTypeQ,,k,L,d, h,,k,L,d,
Q,h,,k,L,
hQd
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A B C D
H = 15 mO O’
Section 2
Section 1
0,0152503000CD
0,0202002500BC
0,0153002000AB
Coeff. λDiamètre d ( mm )Longueur L ( m )Conduite
000
2
1
22
11
V ; P ; V ; P ;
atm
atm
PZ
PHZ
Problème : Calculer le débit Q du systèmeProblème : Calculer le débit Q du système
L’équation de Bernoulli entre les sections 1 et 2 par rapport à OO’ :
hH
Q
h
gV
gPZ
gV
gPZ
22
222
2
211
1 h
gP
gPH atmatm 000
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A B C DQ
Bilan des pertes de charge : hw = hr + hs
1rh2rh 3rh
gV
dL
hr 2
21
1
111
gV
dL
hr 2
22
2
222
gV
dL
hr 2
23
3
333
enh rbh sorhebh
gV
h rbrb 2
22
gV
h enen 2
21
gV
h ebeb 2
22
gV
h sorsor 2
23
Pertes de charge réparties Pertes de charge singulières
V1 V2 V3
Entrée d’une conduite
Rétrécissement brusque
Sortie d’une conduite
Elargissement brusque
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gV
dLh r 2
21
1
111
22 6,12923 Qhr
23 3,3811 Qhr
De la même façon on trouve :
211
14dQ
AQV
gdQ
dL
gV
dLhr 2
162 4
12
2
1
11
21
1
111
21 1,1021 Qhr A.N
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gVh enen 2
21
gVh sorsor 2
23
5,0en 24
124
12
221 4
2165,0
25,0 Q
gdgdQ
gVhen
21,5 Qhen A.N
gVh rbrb 2
22
25,0rb2
42
242
2
222 2
21625,0
225,0 Q
gdgdQ
gVhrb
29,12 Qhrb A.N
gVh ebeb 2
22
2
23
221
dd
eb27,6 Qheb A.N
gdQ
ddheb 2
161 42
2
22
23
22
1sorgd
Qg
Vh sor 2
162
1 43
2
223
22,21 Qhsor A.N
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22,217,69,121,53,38116,129231,1021 QhH
29,17801 QH
smH
Q /,,,
302908817801
158817801
Revenons à l’équation de Bernoulli :
sQ /L 29
hH