INSTITUCIÓN EDUCATIVA CARLOS HOLGUÍN MALLARINO SEDE MIGUEL DE POMBO

FISICAMOVIMIENTOS PERIÓDICOS

• Movimiento Circular Uniforme•Movimientos vibratorios (Movimiento Armónico Simple)• Sistema MASA-RESORTE• Péndulo simple

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MOVIMIENTO PERIÓDICO

Es un movimiento que se repite a intervalos iguales de tiempo con las mismas características (Posición, Velocidad, aceleración).

Ejemplos:

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DIVISIÓN DEL MOVIMIENTO PERIÓDICO

Mov. Periódico

Mov. Circular Uniforme

Mov. Oscilatorio

Mov. Pendular

Mov. Vibratorio (M.A.S)

OndulatorioTransversal

OndulatorioLongitudinal 3

Hasta ahora los movimientos que hemos estudiado eran todos rectilíneos. El movimiento circular es más frecuente que el rectilíneo. Cualquier punto de un sólido en rotación, la Tierra, una rueda, un disco, todos ellos tienen un movimiento circular. Recordemos que el movimiento circular es el que tiene por trayectoria una circunferencia.

El movimiento circular puede estudiarse midiendo magnitudes lineales o magnitudes angulares. Tendremos así conceptos como espacio, desplazamiento lineal, velocidad lineal o bien ángulo, desplazamiento angular, velocidad angular.

¿Qué tipo de descripción puede hacerse de un movimiento circular?Si nos fijamos bien, cuando un objeto se mueve en forma circular, por un lado está moviéndose a lo largo de un arco de la circunferencia y por otro lado está recorriendo ángulos.Si el movimiento se describe respecto al arco descrito por el objeto, se habla de velocidad lineal o tangencial (v).Si el movimiento se describe respecto al ángulo descrito por el radio de la circunferencia descrita, que une el centro del objeto con el centro de la circunferencia, se habla de velocidad angular (ω)

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

DESPLAZAMIENTO LINEAL (S)Es la longitud de arco de circunferencia recorrida por un cuerpo con movimiento circular. Se expresa en unidades de longitud.

DESPLAZAMIENTO ANGULAR (θ)Es el ángulo que se recorre en el centro

Desplazamiento angular.- Es una distancia recorrida por una partícula en una trayectoria circular y se expresa frecuentemente en radianes (rad), grados () y revoluciones (rev); es conveniente expresar toda rotación en radianes. El radian (rad) es una unidad de medida angular, así como el metro es la unidad de medida lineal.

Se define al radián como el ángulo subtendido por el arco del círculo cuya longitud es igual al radio del mismo circulo.

Puesto que la circunferencia entera de un círculo es justo 2 veces el radio r, hay 2 radian en un circulo completo.1rev = 2 radian = 360Puesto que = 3.141 rad = 360 = 57.3 2

De las relaciones anteriores se deduce que el ángulo en radianes, en cualquier punto sobre la circunferencia de un circulo, esta dado por d, la longitud del arco entre los dos puntos, dividida por el radio r. En otras palabras,Angulo en radianes = longitud del arco

Radio

Algunas características que permiten describir mejor un movimiento circular son:

Periodo: Es el tiempo que un objeto en movimiento circular tarda en recorrer una vuelta completa, o realizar un giro completo, o también completar una revolución. Su unidad de medida usualmente es el segundo.Por ejemplo, el periodo de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 365 días. El periodo de la varilla del minutero en un reloj análogo es de 60 minutos o una hora.

Frecuencia: Representa la cantidad de vueltas que da un objeto con movimiento circular en una unidad de tiempo. Se mide en segundos elevado a menos uno. (Hertz)Por ejemplo, si se tiene un objeto que tiene un movimiento circular con una frecuencia de 4 s-1, entonces significa que realiza 4 giros completos en un segundo.

CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

PERIODO (T):

Tiempo empleado para un ciclo de movimiento. Unidades en el Sistema Internacional en Segundos (s).

FRECUENCIA (f):

Numero de ciclos u oscilaciones por unidad de tiempo. Unidades en el Sistema Internacional de Ciclos / s. = Hertz (Hz).

fT

1Relación entre T y f:

f = 1 / T

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Ejemplo 1:

Determine el periodo y la frecuencia para el segundero , el minutero y el

horario de un reloj.

Respuesta:

Ts= 60 s fs= 0.017 Hz Tm= 3600 s fm=2.8*10-4 Hz

TH= 43200 s fH=2.3*10-5 Hz

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Del estudio matemático de la circunferencia sabemos que existe una relación entre el arco de una circunferencia y el ángulo de apertura. De esta relación surge el concepto de radián.

Definición: un radián es la apertura de un ángulo cuya longitud de arco mide exactamente lo mismo que el radio .Podemos preguntarnos ahora ¿cuántos grados tiene un radián?

Una vuelta entera de circunferencia equivale a 2πradianes por lo que planteando una sencilla regla de tres podemos deducir que:

Si un objeto tiene un movimiento cuya trayectoria es una circunferencia y su velocidad (lineal o angular) es constante entonces es lo que se conoce como movimiento circular uniforme (MCU).

Movimiento Circular Uniforme (MCU) Es un movimiento que se caracteriza por que la trayectoria descrita por el móvil es una circunferencia, y por que el ángulo descrito por unidad de tiempo es siempre el mismo

Para estudiar este movimiento podemos considerar dos aspectos:

Cuando un objeto está con movimiento circular uniforme la magnitud de su velocidad lineal es constante, pero la velocidad misma se está modificando instante a instante. La velocidad entre sus componentes no solo tiene a la magnitud, también tiene la dirección. Y es la dirección la que está cambiando

Se observa que en un instante tiene una velocidad v1 y en un instante posterior tiene una velocidad v2 y se aprecia claramente que las direcciones no son las mismas (las flechas apuntan hacia distintos lugares).Bueno, como ya se dijo más arriba, cuando cambia la velocidad hay un nuevo concepto que aparece: el de aceleración. La aceleración es una medida de cómo cambia la velocidad. Y aquí, en el ejemplo que se está describiendo con la figura anterior, lavelocidad está cambiando.

v1

v2

VELOCIDAD LINEAL O TANGENCIAL (v)Es aquella magnitud vectorial cuyo valor nos indica el arco recorrido por cada unidad de tiempo, también se puede afirmar que el valor de esta velocidad mide la rapidez con la cual se mueve el cuerpo a través de la circunferencia. Se representa mediante un vector cuya dirección es tangente a la circunferencia y su sentido coincide con la delmovimiento.

Unidades:m/s ; cm/s , etc.

VELOCIDAD TANGENCIAL O LINEALVELOCIDAD TANGENCIAL O LINEAL

La velocidad tangencial es la velocidad del móvil (distancia que recorre en el tiempo). Por lo tanto para distintos radios y a la misma velocidad angular, el móvil se desplaza a distintas velocidades tangenciales. A mayor radio y a la misma cantidad de vueltas por segundo, el móvil recorre una trayectoria mayor, porque el perímetro de esa circunferencia es mayor y por lo tanto la velocidad tangencial también es mayor. La velocidad tangencial se mide en unidades de espacio sobre unidades de tiempo, por ejemplo [m/s], [km / h], etc. Se calcula como la distancia recorrida en un período de tiempo.Por ejemplo si se recorre todo el perímetro de una circunferencia de radio 5 metros en 1 segundo, la velocidad tangencial es:

VELOCIDAD ANGULAR (ω)Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuál es el ángulo que puede recorrer un cuerpo en cada unidad de tiempo. Se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación

VELOCIDAD ANGULARVELOCIDAD ANGULARA la razón del cambio del desplazamiento angular al tiempo transcurrido se le denomina velocidad angular, y esta dada por, =

t = velocidad angular en rad/seg. = desplazamiento angular en rad.t = tiempo en segundos en que se efectuó el

desplazamiento angular.

El símbolo (omega) se usa para denotar la velocidad angular. Aunque se puede expresar en revoluciones por minuto (rev/ min, rpm.) o revoluciones por segundo (rev/s) en la mayor parte de los problemas físicos se hace necesario usar radianes por segundo (rad/s) para adaptarse a fórmulas más convenientes.

La velocidad angular también se puede determinar si sabemos el tiempo que tarda en dar una vuelta completa:

= 2 π/T

Sabemos que T = 1/Fentonces: = 2π F en

rad/seg.

ACELERACIÓN CENTRÍPETAACELERACIÓN CENTRÍPETA

En el movimiento circular uniforme, la magnitud de la velocidad de la partícula permanece constante, y por tanto la partícula no posee aceleración lineal. Pero la dirección del vector velocidad varía continuamente, la partícula posee aceleración centrípeta.

El valor de la aceleración centrípeta está dado por:

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U)

aC

v

ω

ωrV

rωr

vac

22

Tω

2

θ

r

ac = Aceleración centrípeta

V = Velocidad Lineal27

iωt

ACELERACIÓN ANGULAR (α)Es aquella magnitud vectorial que nos indica cuanto aumenta o disminuye la velocidad angular en cada unidad de tiempo.Se representa mediante un vector perpendicular al plano de rotación.

CASOS IMPORTANTES:

RECUERDEN:

Cada vez que hay un cambio de velocidad, ya sea que cambie su valor numérico (magnitud) o su dirección, hay una aceleración. En este caso la aceleración que hay se denomina aceleración centrípeta.Y la aceleración centrípeta (ac) se dirige hacia el centro de la circunferencia que forma la trayectoria del objeto que se mueve.

Nótese que la aceleración centrípeta y la velocidad lineal o tangencial son perpendiculares entre sí. Esto es debido a que la velocidad lineal o tangencial siempre tiene la dirección de una tangente a la circunferencia, y la dirección de la aceleración centrípeta coincide con un radio, y un radio siempre es perpendicular a la tangente queintercepta al radio en su extremo exterior.Y claro, si hay una aceleración… tiene que haber una fuerza. No puede existir una aceleración sin que no exista una fuerza que la provoque. En este caso, la fuerza que hay es la llamada fuerza centrípeta (Fc).Y como la fuerza que provoca la aceleración y la aceleración misma tienen igual dirección y sentido (lugar al que apunta la flecha con que representamos una fuerza), la fuerza centrípeta apunta hacia el centro de la circunferencia, igual que la aceleración centrípeta.

La Luna gira alrededor de la Tierra debido a la fuerza de carácter gravitacional que existe entre estos dos cuerpos celestes. Esa fuerza fue descubierta por Isaac Newton ypublicada el año 1687. Y como esa fuerza es la única que existe entonces esa es la responsable del movimiento que tiene la Luna alrededor de la Tierra. Es, por lo tanto,una fuerza centrípeta.

Tal vez se de cuenta que la fuerza gravitacional que explica el movimiento de la Luna respecto a la Tierra también afecta a la Tierra, y cabe la pregunta: ¿por qué es la Luna la que se mueve alrededor de la Tierra y no la Tierra alrededor de la Luna? Bueno, el asunto viene de la elección del Sistema de Referencia.Nosotros, al estar sobre la Tierra, tenemos como referencia a la Tierra misma y sin quenos lo propongamos, la Tierra la apreciamos como si estuviera en reposo y por ello vemos a la Luna moverse. Pero otro cuento sería si estuviéramos sobre la superficie de la Luna, ahí la Luna sería la referencia y respecto a ella sería la Tierra la que se movería circularmente alrededor de la Luna.

2

1,5

18. En una pista circular de juguete hay cuatro carros que se desplazan con rapidez constante. Todos los carros tardan el mismo tiempo en dar una vuelta completa a la pista. La magnitud de la aceleración de cualquiera de los carros en cualquier momento es:

A. igual a cero, porque la magnitud de su velocidad es constante.B. igual a cero, porque la magnitud de la fuerza neta sobre el carro es nula.C. diferente de cero, porque la magnitud de la velocidad angular no es constante.D. diferente de cero, porque la dirección de la velocidad no es constante

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

v2

an = r

v2

an = r

Un movimiento es circular uniforme si:

El móvil recorre arcos iguales en tiempos iguales, por tanto, la velocidad angular es constante

la trayectoria es circular

Se pueden describir magnitudes lineales y angulares

ESPACIO LINEAL O ARCO RECORRIDO s es la longitud recorrida por el móvil medida sobre la trayectoria

VELOCIDAD LINEAL v es un vector de módulo constante pero de dirección variable.

El vector velocidad es un vector tangente a la trayectoria que va

cambiando de dirección a medida que avanza el móvil, por esto el movimiento circular uniforme es un movimiento

acelerado .

ACELERACIÓN NORMAL an

Es la magnitud que informa del cambio de dirección del vector velocidad

LINEALES

v

v

v

v

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME I

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

VELOCIDAD ANGULAR es el cociente entre el ángulo girado por el radio y el tiempo invertido

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME II

ANGULARES

ESPACIO ANGULAR O ÁNGULO DESCRITO POR EL RADIO Se puede expresar en :

1rev = 360º = 2 rad

una circunferencia tiene 360º

una revolución es una vuelta completa a la circunferenciaun radián es el valor del ángulo cuyo arco coincide con el

radio

grados

revoluciones

radianes

s R

s R

= t

= tSe expresa en rad/s o en rpm

s = r v = r RELACIONES ENTRE MAGNITUDES LINEALES Y ANGULARES

OTRAS MAGNITUDES DEL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

PERIODO (T) es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta completa. Se mide en s

FRECUENCIA ( )es el número de vueltas que efectúa el móvil en la unidad de tiempo. Se mide en Herzios (s -1)

Ambas se relacionan por:

Como una vuelta completa 2 se efectúa en un tiempo t=T

T = 1/T = 1/

2 =

T

2 =

T

2

2

= 2 = 2

SISTEMA MASA - RESORTE

Posición de equilibrio

Amplitud

AMPLITUD (A):La máxima separación del cuerpo oscilante con respecto a su posición de equilibrio.

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MOVIMIENTO OSCILATORIOEs un movimiento que realiza un cuerpo o partícula a uno y otro lado de su posición de equilibrio.

SISTEMA PÉNDULO

Posición de equilibrio

Amplitud

Movimiento Vibratorio (Movimiento Armónico Simple)

Es un movimiento vibratorio, producido por una fuerza variable que se origina cuando el cuerpo se separa de su posición de equilibrio.

El MAS tiene una trayectoria de línea recta, y tanto la fuerza como la aceleración son proporcionales al desplazamiento y siempre dirigidas hacia el centro (Punto de equilibrio)

Ej: Sistemas masa resorte, cuerdas de instrumentos musicales, laminas vibrantes.

52Posición de equilibrio

CINEMÁTICA DEL M.A.S.

X

V

a

t

t

t

t = 0 t = 4

t = 1 t = 3

t = 2

t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4

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Posición

)cos( tAx

Velocidad

)( tAsenV

Aceleración

xa 2

)cos(2 tAa

Relación entre el M.C.U y el M.A.S

M.C.U.

M.A.S.

R = AR

Proyección

Equilibrio

54El movimiento armónico simple se puede analizar a través de la

proyección de un movimiento circular

CIRCULO DE REFERENCIA

rθ

x

ECUACIONES CINEMÁTICAS DEL M.A.S

Posición X

r

xCos

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M.A.S EN EL EJE X

ar

it

)cos( tAxx

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La posición de una partícula está dada por la expresión

donde x es en metros y t es en segundos. Determine:

a) La frecuencia y el periodo del movimiento.

b) La amplitud del movimiento.

c) La posición de la partícula en t = 0,250 s.

Ejemplo 2:

)3cos(4 tx

Respuesta: a. T=2/3 s, f=3/2 Hz b. 4 m c. 2,83 m

Dinámica del M.A.S.

Sistema MASA-RESORTE

F

F

kxF 1. La fuerza recuperadora corresponde a la fuerza de un resorte:

maF 2. De la segunda ley de Newton:

kxma 3. Igualando 1 y 2:

xa 24. Y la aceleración, según el M.A.S:

57

Analizando la dinámica del sistema masa-resorte podemos determinar el periodo (T), así:

Dinámica del M.A.S.

Sistema MASA-RESORTE

m

m

k

5. La a se reemplaza en 3, obteniendo:

T

2

6. La velocidad angular ω, se puede expresar:

k

mT 2

7. Igualando 5 y 6, se obtiene:

58

Ejemplo 4:

Una masa de 2 kg se fija a un resorte de constante elástica k = 4 N/m y La

amplitud del movimiento es 2 cm .

Calcular:

a.¿Cuál es el periodo de oscilación del sistema?.

b.Determine la rapidez de la masa cuando la elongación del sistema es 1 cm.

Respuesta: a. 4,44 s b. 0,25 m/s59

Posición de equilibrio

)( senmgF

1. La fuerza recuperadora corresponde a la fuerza de una componente del peso:

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Movimiento PendularEs el movimiento lento de una masa suspendida de un hilo, a uno y otro lado de su posición de equilibrio, por la acción de la gravedad.

Dinámica del M.A.S.Sistema

PENDULO SIMPLE

)( senmgF 1. Del triangulo rectángulo formado por el péndulo:

Considerando una longitud suficientemente larga y un desplazamiento angular pequeño (θ<10º). El sistema del péndulo se aproxima a un M.A.S.

θ

A

X

L L

xsen

Siguiendo un procedimiento similar al del sistema masa-resorte, se llega a:

g

LT 2 61

Ejemplo 5:

Un péndulo simple de 50 cm de longitud, oscila con un periodo de 1,42 s.

¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad del sitio donde oscila?

Respuesta: 9,79 m/s2

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