insa toulouse 1a mecanique du point fascicule complet

8/9/2019 INSA Toulouse 1A Mecanique Du Point Fascicule Complet

1/56

ere

nd


2/56

ere

eme

me

nd

1/4 3/4

3/4


3/56


4/56

re


5/56

F = m.a

F = m.a


6/56

F = m.a

eme

x,y,z

x(t)y(t)z(t)

=

x(t)y(t)z(t)

t


7/56

C

eme

me

eme


8/56


9/56

3

M

M

v

v = x. ex + y. ey + z. ez v =

xyz

ex ey ez

v

||v||

||v|| =

x2 + y2 + z2

x

y

z

u

v

u.v v

u

v

u.v = ||u| || |v|| cosu, v

u.v = v.u

u.(v + w) = u.v + u. w

u = a. ex + b. ey + c. ez v = d. ex + e. ey + f. ez u.v = a.d + b.e + c.f

u

v =||

u| || |

v||

sinu, v uv||uv|| u v = v u u (v + w) = u v + u w

u =

abc

v =

def

u v =b.f c.ec.d a.f

a.e b.d


10/56


11/56

(O, t) O s

O = t.s

i, j, k


12/56

( ex, ey, ez) {[Ox), [Oy), [Oz)}

M

O

(x,y,z)

OM = x. ex + y. ey + z. ez OM =

xyz

e, e, ez ez e et e M O (, z)

OM = . e + z. ez OM = 0z

e

ez e, e OM

OM = . e

e e ex ey

er, e, e M O (r, , )

OM = r. er OM =

r00

e e

er e e ex ey ez

OM

t


13/56

OM = x. ex + y. ey + z. ez

M t M t t > t = OM OM d t t t t 0

d = lim(tt)0

OM OM

OM

d = d

OM = (dx.ex + x.dex) + (dy.ey + y.dey) + (dz.ez + z.dez)

d ex = 0, d ey = 0, d ez = 0,

d = dx.ex + dy.ey + dz.ez

v =ddt

v =dx

dt. ex +

dy

dt. ey +

dz

dt. ez v = x. ex + y. ey + z. ez v =

xyz

a = ddtv a =d2xdt2 . ex +

dxdt .

d exdt

+d2ydt2 . ey +

dydt .

d eydt

+

d2zdt2 . ez +

dzdt .

d ezdt

ex ey ez

a = d2

xdt2

. ex + d2

ydt2

. ey + d2

zdt2

. ez a = x. ex + y. ey + z. ez a = xyz

ddt

X

X

d2

dt2

X

X

v v = ddt (OM)


14/56

OM = . e + z. ez

e

e ex ey

e = cos . ex + sin . ey ex = cos . e sin . ee = sin . ex + cos . ey ey = sin . e + cos . e

d

OM =d = (d.e + .de) + (dz.ez + z.dez)

d ez = 0 d e = 0

e

d e

d e = d (cos . ex + sin . ey)

= [d (cos ) . ex + cos .dex] + [d (sin ) . ey + sin .dey]= d (cos ) . ex + d (sin ) . ey

= d. sin . ex + d. cos . ey= d. ( sin . ex + cos . ey)= d.e

d = d.e + .d.e + dz.ez d =

d

.ddz

v =ddt

v =d

dt. e + .

d

dt. e +

dz

dt. ez v = . e + .. e + z. ez v =

z

a =d

dtv

a =

d2

dt2. e +

d

dt.d edt

+

d

dt.d

dt. e + .

d

dt

d

dt. e

+

d2z

dt2. ez +

dz

dt.d ezdt

=

d2

dt2. e +

d

dt.d edt

+

d

dt.d

dt. e + .

d2

dt2. e + .

d

dt.d edt

+

d2z

dt2. ez +

dz

dt.d ezdt

=

d2

dt2. e +

d

dt.d

dt. e

+

d

dt.d

dt. e + .

d2

dt2. e + .

d

dt.d edt

+

d2z

dt2. ez

d e = d.e

d e e e

e =

d e = d ( sin . ex + cos . ey)= [d (sin ) . ex sin .dex] + [d (cos ) . ey + cos .dey ]= d (sin ) . ex + d (cos ) . ey= d. cos . ex d. sin . ey= d. (cos . ex + sin . ey)= d.e


15/56

a =

d2

dt2. e +

d

dt.d

dt. e

+

d

dt.d

dt. e + .

d2

dt2. e .

d

dt

2. e

+

d2z

dt2. ez

=

d2

dt2 .

d

dt

2. e +

2

d

dt.d

dt+ .

d2

dt2

. e +

d2z

dt2. ez

a =

2

. e +

2 +

. e + z. ez a =

22 + z

M

rad.s1

[T]1

e e

ddt e = . e

ddt e = . e d

2

dt2 e = 2. e

e e

d

dte = e d

dte = e

e e


16/56

OM = r. er

er e e ex ey ez

er = sin cos . ex + sin sin . ey + cos . eze = cos cos . ex + cos sin . ey sin . eze = sin . ex + cos . ey

d

OM

d

d

d = dA.er + dB.e + dC. e dA dB dC

d

dA = d

r

dA = dr

dB = d

r

dB = r.d

dC = d

r

dC = r. sin .d

d = dr.er + r.d.e + r. sin .d. e

d

d

v =ddt

v = drdt

. er + r.ddt

. e + r. sin . ddt

. e v = r. er + r.. e + r. sin .. e v = rrr. sin .

a = ddtv

a =d

dt

r. er + r.. e + r. sin .. e

=

d

dt

(r. er) +d

dt r.. e+d

dt r. sin .. e=

r. er + r. er

+

r.. e + r.d

dt

. e

+ d

dt[r. sin ] .. e + r. sin .

d

dt

. e

=

r. er + r. er

+

r e + r

e + e

+

r. sin + r.. cos

. e + r. sin

. e + . e

=

r. er + r. er

+

r.. e + r.. e + r.. e

+

r. sin .. e + r.. cos . e + r. sin . e + r. sin .. e


17/56


18/56

x(t) y(t) z(t) M

M

MM

M

M

eT

eN eT

eT eN M

eB = eT eN

( eT, eN, eB)

OM

s M OM

d OM = d = ds. eT

d = dx2 + dy2 + dz2. eT ds d =dr2 + (r.d)2 + dz2. eT ds d = dr2 + (r.d)2 + (r sin .d)2. eT

ds

eT eT =d( OM)

ds

v =ds

dt. eT

eT

v = v. eT

C = limMM

MM =

dds

R = 1C =dsd

d ( eT) = limMM

eT(M) eT(M)

= d. eN =

dsR eN

d eTds =

eNR

a = ddt

v = d2s

dt2. eT +

dsdt .

ddt ( eT) d ( eT) =

dsR eN

ddt

( eT) = 1Rdsdt

eN

a =d2s

dt2. eT +

1

R

ds

dt

2. eN =

dv

dt. eT +

v2

R. eN

a = dvdt

. eT + v2

R. eN


19/56

{ex, ey}

ez

ex

e er

a = 0

v = Cte = v0

OM

C = 0

R =

||v|| = 0 = Cte

a = Cte = a0

v

OM

a.v > 0

a.v < 0

C = 0 R =


20/56

a

v

OM

C = 0

R =

R = Cte

ez ( e, e)

e

= Cte = 0

= Cte = 0 ddt

= 0

ddt

= Cte =

d2dt2

= 0

v =

0. e ||v|| = 0. = Cte

a = 02. e ||a|| = 0.

2 = Cte

e = eN e = eT

= Cte = 0 ddt = 0

d2dt2

= = Cte

v =0.(t). e

a = 02(t). e + 0. e

= Cte = 0 ddt

= 0

d2dt2

= 0

= Cte

z = z(t) e, e

z = 0

= (t)

e, e


21/56

[Ox

),

[Oy

),

[Oz

)

{ex ey ez}

OO = a. ex + b. ey + c. ez

[Ox), [Oy), [Oz)

{ex ey ez}

OM = x. ex + y. ey + z

. ez

v(M/) M

v(M/) M

v(/)

M

a(M/) M

a(M/) M

a(/)

M

v(/) = v(O/) a(/) = a(O/) O

{ ex, ey, ez} { ex, ey, ez}

{ex, ey, ez}

{ex, ey , ez}

{ex, ey, ez}


22/56


23/56


24/56

a(/) a(M/)

ac

ddt

ex

= ddt

ey

= ddt

ez

= 0

O

(/) = 0

O

(/) = 0

v(M/) = ddt

OO

+ ddt

OM

a(M/) = d2

dt2 OO

+ d

2

dt2 OM

ddt

ex= 0

ddt

ey= 0

ddt

ez= 0

OO

ddt

OO

= d2

dt2

OO

= 0

(/) = Cte = . ez (/)

v(M/) = (/)

OM +d

dt OM

a(M/) = (/)

(/) OM

+

2(/)

d

dt

OM

+d2

dt2

OM

= (/)

(/) OM

+

2(/) v(M/)

+d2

dt2

OM

OM = A.t. ex (/) = . ez

a(M/) = . ez . ez A.t.ex+ 2. ez

ddt () A.t

ex+d2

dt2 A.texa(M/) = . ez A..t. ey+ 2. ez A. ex+ 0

a(M/) = A.2.t. ex + 2..A. ey


25/56

re

t

F

a = F /M


26/56

L C

p

m

v

p = m.v

m.Kg.s1 ([L][M][T]1)

i

p =i

pi =i

mi.vi

p = i

pi = Cte


27/56

A

mA

viA B mB

viB

vfA v

fB

p

Ec 12

mA.(viA)

2 + 12

mB.(viB)

2 = 12

mA.(vfA)

2 + 12

mB .(vfB)

2

mA.viA + mB .v

iB = mA.v

fA + mB.v

fB

1N = 1Kg.m.s1 [M][L][T]1

mB

mA

FBA = G.

mA.mB

r2eAB

r eAB

AB G = 6.67.1011 m3.Kg1.s2


28/56

qA qB r

FBA =

k.

qA.qB

r2

eAB

k 9.109 Kg.m3.A2.s4 eAB

AB

q v B E

F = q.

E+ v B

E

B

N


29/56

N/m2

Kg/m/s2

dS

P

dF = P. dS

S

P

F =S

P. dS

S

Pi = P(xi,yi,zi)

V

g = g.ez

F = .V.g.ez

F = k ( 0) .i ( 0)


30/56

f

v/v

v

fs

N

fc N fs > fc

Fv = ..v

Pa.s1

Kg.m1.s1

F =

dp

dt

F = m.a

F = ddtp = ddt (m.v) = dmdt .v + m. ddtv = dmdt .v + m.a

mA

mB

qA

qB

p = mA. vA + mB. vB

p = mA. vA + mB. vB = Cte

d

dt(mA vA + mB. vB) =

d

dt Cte

= 0ddt

(mA. vA) = ddt

(mB. vB)

mA. aA = mB. aBFBA = FAB

R

= 6R


31/56

F = m.a(M/) ( )F = m.

a(/) + ac + a(M/)

F = m.a(/) + m. ac + m.a(M/)

F = Fe + Fc + m.a(M/)F Fe Fc = m.a(M/)

F Fe Fc = m.a(M/)

F

a(M/) a

(M/

)

Fc

Fe

OM

F = m.a

OM

F

= OM (m.a)

OM F = OM m.d

dtv

OM F

=d

dt

OM (m.v)

d

dtOMm.v

OM F

=d

dt

OM (m.v)

m.v v

=0


32/56

OM F

=

d

dt

OM p

= OM F

O

L = OM p

O

ddt


33/56

L

OM

L

F = (t).OM

|| OM|| (t)

OM = . e v =ddt

. e + .ddt

. e i

Fi =d

dtL

OM

F =

d

dt OMm.vOM (t).

OM

|| OM|| =0 car OM OM=0

=d

dt

. e m.

d

dt. e + .

d

dt. e

0 =d

dt

m. ddt

.( e e =0

) + m.2d

dt( e e)

Cte = m.2d

dt. ez

Ctem

= .. ddt

. ez

Cte

m= 2

dS

dt. ez

Cte

2m=

dS

dt

OM

Cte


34/56

m q

E B ez ez

x0 O

v0

v0 =qBm .x0


35/56

F = q

E+ v B

F = q [E. ez + (vx. ex + vy. ey + vz. ez) B. ez]F = q.E.ez q.vx.B ( ex ez) q.vy.B ( ey ez)F = q.E.ez + q.vx.B.ey q.vy.B.ex

OM

v

a

= = Cte

= 0

a =d2x

dt2. ex +

d2y

dt2. ey +

d2z

dt2. ez

F = dpdt

= m.a

q.E.ez + q.vx.B.ey q.vy.B.ex = m.

d2x

dt2. ex +

d2y

dt2. ey +

d2z

dt2. ez

q.vy.B = m.d2xdt2 ex q.vx.B = m.

d2ydt2 ey

q.E = m.d2zdt2 ez

z

x

y

d2z

dt2=

qE

m

dz

dt=

qE

m.t + C1

z(t) =qE

2m.t2 + C1.t + C2

t = 0

z(t = 0) = 0

vz(t = 0) = 0

C1 = 0

C2 = 0

z(t) =qE

2m.t2


36/56

x(t) y(t) z(t)

x(t) y(t)z(t) x(t) y(t) z(t) x(t) y(t) z(t)

r r r

sin

2

(1)

(2)

q.vy.B = m.d2xdt2

q.vx.B = m.d2ydt2

(1)

(2)

q.vy.B = m.dvxdt

q.vx.B = m.dvydt

(1)

(2)

vy = mq.B .dvxdt

q.vx.B = m.dvydt

(1)

(2)

dvydt = mq.B .d

2vxdt2

q.vx.B = m.dvydt

(1)

(2) = (1) dans (2)

dvydt = mq.B .d

2vxdt2

q.vx.B = m2q.B .d2vxdt2

vx vy

q.vy.B = m2q.B .d2vydt2

(1)

(2)

d2vydt2 +

q.Bm

2.vy = 0

d2vxdt2 +

q.Bm

2.vx = 0

= qBm vx(t) = Aei..t + Bei..t

vy(t) = Aei..t + Bei..t

A

B

A

B

ax(t) = A.i..ei..t B.i..ei..t

ay(t) = A.i..ei..tB.i..ei..t

A

B

A

B

vx(t=0) = 0 vy(t=0) = v0 t = 0 F(t=0) =

q. v0 B = q.v0.B. (ey ez) = q.v0.B.ex Fx(t=0) = q.v0.B Fy(t=0) = 0

ax(t=0) = q.v0.Bm ay(t=0) = 0

vx(t=0) = 0 A + B = 0vy(t=0) = v0 A + B = v0

ax(t=0) = q.v0.B

m A B = q.v0.B

i.m.

ay(t=0) = 0 A B = 0

A = v0/2.iB = v0/2.i

A = v0/2

B = v0

/2

vx = v0. sin(.t)vy = v0. cos(.t)

ax = v0.. cos(.t)ay = v0.. sin(.t)

x(t) = v0 cos(.t) + C y(t) =v0 sin(.t) + C

t = 0 x(t=0) = x0 y(t=0) = 0 C = x0 v0/ C = 0


37/56

x(t) =m.v0q.B

cos(

q.B

m.t) 1

+ x0

y(t) =m.v0q.B

sin(q.B

m.t)

z(t) =qE

2m.t2

= qBm R =m.v0q.B

X = x0 m.v0q.B , Y = 0

F = q

E+ v B

F = v B

d

F

||B|| = C

te

||v|| = v0

||F|| = q.v0.B = C

te

||F|| = Cte

||v|| = Cte

F v

F = OM F

L

L = ddt

t = 0

L = m.x0. e v0 ey = m.x0.v0. ez

ez F

ez

OM = . e + z. ez avec = R = Cte

v = R.d

dt. e +

dz

dtez avec

d

dt= = Cte

a = R.2. e + d2z

dt2ez

F = q. E+ v B = qE.ez + q.B.R..( e ez) = qE.ez q.B.R..e

F = m.a

qE.ez q.B.R..e = m.R.2. e + m. d2z

dt2ez

(1) ez qE = m.d2z

dt2

(2)

e q.B.R. = m.R.2

z(t) =qE

mt2 + C1.t + C2

=qB

m v0 = R. soit R =

m.v0

q.B )


38/56


39/56

M

OM F dt

d dW

F dt

dW = F . d

d = v.dt

v

dW = F .v.dt

AB

d = ||d||

dt

WAB = BA

F . d =B

A

||F||. cos F , d .d

WAB =tB

tA

F .v.dt =

tBtA

||F||.||v||. cos F , v .dt

[M].[L]2.[T]2

dWdt =

F .v

Fi i

Fi = m.ai

Fix. ex +j

Fjy . ey +k

Fkz . ez = m. (ax. ex + ay. ey + az. ez)

ay = az = 0 j

Fjy =k

Fkz = 0

ax

= 0


40/56

W = 0

cos

F , d

= 0

N

F = q

v B

dW = F .v.dt

F

F = FT. eT + FN. eN = m.aT. eT + m.aN. eN = md||v||dt . eT + m.

||v||2R . eN

v = ||v||. eT

dW = F .v.dtdW =

F .v.dtdW =

m

d||v||dt

. eT + m.||v||2

R. eN

.||v||. eT.dt

dW =

m.

d||v||dt

.||v||.dtdW =

m.||v||.d||v||

W =1

2m.||v||2 + Cte = p

2

2m+ Cte

Ec =

1

2m.v

2

tA tB

WAB = EBc EAc = 12 .m.

v2B v2A

grad

grad =

x. ex +

y. ey +

z. ez

grad =

. e +1

. e +

z

. ez

grad =

r. er +

1

r

. e +

1

r. sin

. e


41/56

x

y

z

z

r

f(x,y,z) = x2 + sin(5.y) 3.z

grad [f(x,y,z)] = 2.x.ex + 5. cos(5.y). ey 3. ez

f(,,z) = 6.2 + cos() ez

grad [f(,,z)] = 12..e sin()

. e ez. ez

f(r,,) = ln(r) 5. grad [f(r,,)] = 1r

. er 5.r

. e 5r. sin

. e

df = grad (f) . d.

d

f(x,y,z)

f(x,y,z)

f(x,y,z)

U

F

F = grad(U)

F

U

F = grad(U)

F . d = Fx.dx + Fy.dy + Fz.dz

Fxy

=Fyx

,Fyz

=Fzy

,Fzx

=Fxz

F

=(.F)

, .

(F)

z=

Fz

,Fz

=Fz

Fr

=(r.F)

r,

(F)

=

(sin .F)

, sin .

(r.F)

r=

Fr

rot( F) = 0

rot grad(U) = 0

F(x,y,z) = (y + 2.z + ex)

Fx

. ex + xFy

. ey + 2.xFz

. ez

Fxy

= 1 Fyx

= 1 =>

Fyz

= 0 Fzy

= 0 =>

Fzx

= 2 Fxz

= 2 =>

F = grad(U)

U(x,y,z) = x. (y + 2.z) ex

F(r,,) = (3.r)Fr

. er + r. sin F

. e + cos F

. e

Fr

= 0

(r.F)

r= 2.r. sin =>

(r.F)

= 0

(r. sin .F)

= r cos cos =>

(r. sin .F)r

= sin cos

Fr

= 0 =>

U F = grad(U)


42/56

F = Fx(x,y,z). ex +Fy(x,y,z). ey + Fz(x,y,z). ez MA

xA, yA, zA MB xB, yB, zB

W

AB

=

MBMA

F . d =

MBMA

grad

U(x,y,z)

. d =

MBMA

dU(x,y,z) = U(xA,yA,zA) U(xB ,yB,zB)

MAMB

FG = Gm1.m2r2 . er

Ep

FG =

grad (Ep)

G m1.m2r2

. er = Epr

. er 1r

Ep

. e 1r. sin

Ep

. e

Gm1.m2

r2=

Epr

er

Ep =G.m1.m2

r+ Cte

P = m.g g = GMterre

R2terre. ez

Ep

P =

grad (Ep)

m.g.ez = Epx

. ex Epy

. ey Epz

. ez

m.g = Epz

ez

Ep = m.g.z + Cte

F = k.x.ex

U

F = grad (U)k.x.ex = U

x. ex U

y. ey +

U

z. ez

k.x =U

x ex

U(x) =1

2k.x2 + Cte

F = k q1.q2r2 . er

U(r) =k.q1.q2

r+ Cte

F

WAB = UA UB WAB = EBc EAc

WAB = UA UB = EBc EAcEAc + UA = E

Bc + UB

EM = Ec + U

EAM = EBM


43/56

m

k

x = 0

F = k.x.ex

U(x) = 1/2.k.x2

x = 0

P = m.g.ez

N = +m.g.ez

EM = Ec + U = Cte

1

2m.v2 +

1

2k.x2 = Cte

1

2m.x2 +

1

2k.x2 = Cte

d

dt

1

2m.x2 +

1

2k.x2

=

d

dt

Cte

m.x.x + k.x.x = 0

x + km

x = 0

x(t) = A. sin(.t + ) =

km A

t = 0 x = 0 v0

x(t) =v0

. sin(.t) v(t) = v0. cos(.t)

g = g. ey m m.g = 1

y(x) =1/2.k.x2

P = m.g.ey = ey

y(x)

d = dx.ex + dy.ey = dx.ex + k.x.dx.ey

dEc = dW

d

12

.m.(x2 + y20

)

= P . d + N . d=0

N . d

N d

x = 0

y2

m.x.d(x) = ey. (dx.ex + k.x.dx.ey)m.x.x.dt = k.x.dx

m.x + k.x = 0

x +k

m.x = 0

x(t) =v0

. sin(.t) v(t) = v0. cos(.t)

y2

y 0

x = 0

U(x,y)

U(x,y)


44/56

U(x)

dUdx

= 0

d2Udx2

> 0

U(x) dUdx = 0

d2Udx2 < 0

U(x)

U(x,y)


45/56


46/56

OM = x. ex + y.ey + z.ez

d = dx.ex + dy.ey + dz.ez

v = dxdt. ex +

dydt. ey +

dzdt. ez

a = d2xdt2

. ex +d2ydt2

. ey +d2zdt2

. ez


47/56

OM = .e + z.ez

d = d.e + .d.e + dz.ez

v =ddt. e + .

ddt.e +

dzdt. ez

a = 2 . e + 2 + . e + z. ez


48/56

OM = r.er

d = dr.er + r.d.e + r. sin .d. e

v = drdt.er + r.

ddt. e + r. sin .

ddt. e

a =r r2 r2 sin2 .er + 2r + r r2 sin cos .e +

2r cos + 2r sin + r sin . e


49/56

x(t)

er

.dx(t)

dt+ .x(t) = (t)

nd

.d2x(t)

dt2+ .

dx(t)dt

+ .x(t) = (t)

= 0

.dx(t)

dt+ .x(t) = 0

dx(t)dt

=

.x(t)

dx(t)x(t)

=

.dt

dx(t)x(t) = .dtln

x(t)

+ Cte =

.t + Cte

x(t) = e .t+Cte = A.e

.t

x(t) = A.e .t

(t)

(t) =n

Cten .tn

(t) = C

x(t) =C

(t) = C1.t + C2 x(t) =C1 .t +

C2(.C1)/()

(t)

(t) = ln(k.t)

(t) = cos(k.t)

.dx(t)dt + .x(t) = C1.t + C2

x(t) = A.e

.t + C1 .t +C2

(.C1)/()

A


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51/56

12m1.v

21 +

12m2.v

22 =

12m1.v

21 +

12m2.v

22

m1 v1 + m2 v2 = m1 v1 + m2 v2

= m1

/m2

(1)

(2)

12

m1.v21 +

12

m2.v22 =

12

m1.v21 +

12

m2.v22

m1.v1 + m2.v2 = m1.v1 + m2.v2

(1)

(2)

m1.

v21 v21

= m2.

v22 v22

m1. (v1 v1) = m2. (v2 v2)

(1)

(2)

. (v1 v1) . (v1 + v1) = (v2 v2) . (v2 + v2)

. (v1

v1

) = (v2

v2

)

(1) =

(2)

. (v1 v1) . (v1 + v1) = (v1 v1) . (v2 + v2)

. (v1

v1

) = (v2

v2

)

(1)

(2)

(v1 + v

1) = (v

2 + v2)

. (v1 v1) = (v2 v2)

(1) =

(2) =

v1 = v2 v1 + (v1 v1) + v2

v2 = v2 + [v1 (v2 + v2 v1)]

(1)

(2)

v1 + .v1 = 2v2 + v1 ( 1)

v2 + .v2 = v2 (1 ) + 2.v1

(1)

(2)

v1 =2v2+(1).v1

+1

v2 = 2v1+(1).v2+1

v1 =2v2 + ( 1).v1

+ 1v2 =

2v1+(1).v2+1

m1 = m2 = 1 v1 = v2 v

2 = v1

m1 >> m2

v1 = v1 v2 = 2v1 v2

m1


52/56

vi1

vi1t

vi1n

vi2

vi2t

vi2n

vf1

vf1t

vf1n

vf2

vf2t

vf2n

m1vi1 + m2v

i2 = m1v

f1 + m2v

f2 (1)

(2)

m1.vi1t + m2.v

i2t = m1.v

f1t + m2.v

f2t eT

m1.vi1n + m2.v

i2n = m1.v

f1n + m2.v

f2n eN

(3)

(4)

m1.vi1t = m1.v

f1t

m2.vi2t = m2.v

f2t

vf1t vf2t

(5)1

2m1.v

i12

+1

2m2.v

i22

=1

2m1.v

f1

2+

1

2m2.v

f2

2

vf1n vf2n

vi2 = 0 vi2n = 0 v

i2t = 0

vlk = vlkt.et + v

lkn.en k = 1, 2 l = i, f

(2)

(5)

m1.v

i1n + m2.v

i2n = m1.v

f1n + m2.v

f2n

12

m1.vi12

+ 12

m2.vi22

= 12

m1.vf1

2+ 1

2m2.v

f2

2

(2)

(5)

m1.v

i1n = m1.v

f1n + m2.v

f2n

12

m1.vi12

= 12

m1.vf1

2+ 1

2m2.v

f2

2

(2)

(5)

m1.

vi1n vf1n

= m2.vf2n

12m1.(vi1n2

+ vi1t2

=vf1t

2

vf1n

2

vf1t

2=vi1t

2

) = 12m2.(vf2n

2

+ vf2t

2=0

)

(2)

(5)

vf2n =

vi1n vf1n

vi1n2 vf1n2 = vf2n2


53/56

vi1n2 vf1n

2

= 2

vi1n vf1n2

vi1n2 vf1n

2= .vi1n

2+ .vf1n

2 2.vi1n.vf1nvf1n

2. ( + 1) 2.vi1n.vf1n + vi1n

2. ( 1) = 0

vf1n

= 42.vi1n2 4. ( + 1) vi1n2 ( 1)

= vi1n2

.

42 4 ( + 1) ( 1)= vi1n

2.

42 4 2 1= 4.vi1n

2

vf1n =2.vi1n

4.vi1n

2

2 ( + 1)=

2.vi1n |2.vi1n|2 ( + 1)

=2.vi1n 2.vi1n

2 ( + 1)=

1 + 1

.vi1n

vf1n = vi1n

vf1n = 1 + 1

.vi1n

vf2n =

vi1n +

1 1 +

vi1n

= vi1n

+

(1 )1 +

= vi1n

(1 + ) + (1 )

1 +

=

2

1 + vi1n

vf2n =2

1 +

vi1n

vf1n = 1 + 1

.vi1n

vf2n =2

1 + vi1n

vf1t = vi1t

vf2t = vi2t = 0

vf1 = vf1n. en + v

f1t.et =

1 + 1

.vi1n. en + vi1t.et

vf2 = vf2n. en + v

f2t.et =

2

1 + vi1n. en

{ ex, ey} en et ex ey

et = cos . ex + sin . ey

en = sin . ex cos . eyvi1t = v

i1 cos

vi1n = vi1 sin

vi2 = 0 v1xi = vi1

= Acos

H

2R

vf1 = vi1.

+ cos 2

1 +

ex + v

i1.

sin2

+ 1

ey

vf2 = vi1.

(1 cos2)

+ 1

ex vi1.

. sin2

+ 1

ey

m1 = m2 = 1 vf1 .v

f2

o

o

vf2y/vf2x = tan15

tan(15) = vi1.(

. sin 2+1 )

vi1.(1cos 2)

+1

= sin 21cos2 =

2. sin cos 2 sin2

= cos sin

= tan1 = tan 2

= 2 15

H = 2.R. cos() H = 2.R. cos2 15


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EM = Ec + Ep

EM = Ec,1 + Ep,1 + Ec,2 + Ep,2

EM =12

m1.v2(1,i) + 0 + 0 + 0

EM = Ec + Ep

EM = Ec,1 + Ep,1 + Ec,2 + Ep,2

EM =12

m1.v2(1,inter) + 0 +

12

m1.v2(2,inter) + 0

v(1,inter) =(1).v(1,i)

(+1)

v(2,inter) =2..v(1,i)(+1)

EM = Ec + Ep

EM = Ec,1 + Ep,1 + Ec,2 + Ep,2

EM =12

m1.v2(1,f) + 0 + 0 + m2.g.h

EM =12

m1.v2(1,inter) + 0 + 0 + m2.g.h

EM =12

m1.(1).v(1,i)

(+1)

2+ 0 + 0 + m2.g.h

EiM = E

f

f

12m1.v

2(1,i) =

12m1.

(1).v(1,i)

(+1)

2+ m2.g.h

h =.v2(1,i)2.g

1

1+1

2

pi = pf m1.v(1,i) = (m1 + m2).v(inter)

EM = Ec + Ep

EM = Ec,1 + Ep,1 + Ec,2 + Ep,2

EM =12m1.v

2(1,i) + 0 + 0 + 0

EM = Ec + Ep

EM =12

(m1 + m2).v2(inter) + 0

v(inter) =m1.v(1,i)(m1+m2)

EM = Ec + Ep

EM = 0 + (m1 + m2).g.h

12

(m1 + m2).v2(inter) = (m1 + m2).g.h

12

(m1 + m2).m1.v(1,i)(m1+m2)

2= (m1 + m2).g.h

h = 12g

m1.v(1,i)(m1+m2)

2


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insa toulouse 1a mecanique du point fascicule complet

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