innehåll - Åbo akademiusers.abo.fi/tfredman/tdm/tdm_innehall.pdf · 2015-10-19 · innehåll 1...
TRANSCRIPT
Innehåll
1 Inledning 91.1 Nyttan med abstraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Abstrakt algebra 112.1 Bakgrundsbegrepp från talteorin . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Primtal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.3 Delare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.4 Aritmetikens fundamentalsats . . . . . . . . . . . . . . 222.1.5 Diofantiska ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Modulär aritmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.1 Ekvationslösning i modulär aritmetik . . . . . . . . . . 31
2.3 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Abelska grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.3.2 Delgrupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3.3 Ändliga grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.4 Cykliska grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3.5 Sidoklasser och Lagranges sats . . . . . . . . . . . . . . 482.3.6 Gruppisomorfier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.7 Ringar och kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Partialordningar och lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3 Kodning och kryptering 653.1 Kodning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Felrättande koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.2 Linjära koder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.1.3 Kodkonstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.2 Kryptering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5
6 INNEHÅLL
3.2.1 Potenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.2.2 RSA-kryptografi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.3 Appendix I: Vektorrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4 Appendix II: Dimensionssatsen . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Grafer 1014.1 Planära grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.1.1 Duala grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.2 Graffärgning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.2.1 Kromatiska polynom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.2.2 Berömda resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.3 Catalantal och binära träd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.3.1 Genererande funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.4 Cayleys sats: Antalet märkta träd . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5 Slumpvandring i planet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.5.1 Räkning av vandringar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1344.5.2 Beräkning av sannolikheter . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5.3 Uppskattning av summan . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5 Nätverk 1415.1 Sociala nätverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1415.2 Kommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.2.1 Att hitta bästa väg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.3 Flöden i nätverk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6 Matchning 1616.1 Komplett matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.2 Maximal matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1676.3 Stabil matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.3.1 Ett matchningsscenario . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1706.3.2 Stabila äktenskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
6.4 Matchning i allmänna grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1766.4.1 Maximal matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1776.4.2 Stabil matchning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7 Spelteori 1817.1 Centrala begrepp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.1.1 Enkla nollsummespel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
INNEHÅLL 7
7.1.2 Fångens dilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1857.2 Kombinatoriska spel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1867.3 Spelgrafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187