MODULI FORMATIVI DALLA SCUOLA ALL’UNIVERSITA’ - SETT. 2019

INGEGNERIA + BIOLOGIA/MEDICINA =

INGEGNERIA BIOMEDICA: ESEMPI PRATICI

Prof. Agostino Accardo

Coordinatore CdL Magistrale in Ingegneria Clinica

Dipartimento di Ingegneria e Architettura

Università di Trieste

accardo@units.it

ESEMPIO PRATICO: ANALISI DELLA

VARIABILITA’ CARDIACA(HEART RATE VARIABILITY, HRV)

È fisiologica

Dipende dai sistemi simpatico e parasimpatico

È influenzata da molti fattori (fisiologici e

patologici):

varie forme dello scompenso cardiaco

sonno e OSAS (Sindrome apnee ostruttive del sonno)

età

ritmi ultradiani

trapianto, diabete, cirrosi epatica, ….

LA VARIABILITA’ CARDIACA:

HRV

LA VARIABILITA’ CARDIACA SI ESTRAE DALL’ECG:

Time [s]

HRV=SEQUENZA DURATE R-R

PER ESAMINARE L’HRV SERVE L’ANALISI

DEI SEGNALI

Insieme di metodologie che estraggono dai segnali

(come l’HRV) dei parametri che sintetizzano in

qualche modo l’informazione contenuta in essi

Cos’è un ‘segnale’?

Continuo/Analogico vs

Discreto/Digitale

Teorema del campionamento

Frequenza di campionamento

Tipi di segnali - Esempi

Un segnale a tempo continuo x(t) è definito in ogni istante di tempo.

Il segnale a tempo discreto x(n) si ottiene campionando x(t) cioè prendendo solo alcuni valori di x(t), uniformemente spaziati nel tempo.

In questo caso sono stati utilizzati 5 campioni per sec

Il segnale a tempo discreto y(n) si ottiene campionando y(t) cioè prendendo solo alcuni valori di y(t), uniformemente spaziati nel tempo.

E’ possibile decidere quanti campioni considerare come mostrano i 3 esempi.

L’intervallo temporale tra due campioni successivi si chiama intervallo o periododi campionamento TC

Campionamento di un segnale

Per essere enunciato e compreso il teorema del

campionamento necessita del concetto di ‘spettro’ e

della dualità rappresentativa di un segnale nei ‘domini’

del tempo e della frequenza…. e quindi del concetto di

‘onda’ e di frequenza….

Curve geometriche ma anche analitiche….

Retta: Y=A*x+B

Onda sinusoidale:

Va=Va*sin(2πt/T+φ)

Rappresentazione del segnale mediante serie di Fourier

con

Segnale (periodico) visto come somma di seni e coseni

Rappresentazione di un segnale nel dominio della

frequenza

Scomposizione di funzioni periodiche

• consideriamo un segnale con periodo 0.2 sec (freq. fondamentale 5 Hz) costituito da 3 armoniche:

)t202(sin6.0)t102cos(25.1)t52(sin)t(y

• si nota che l’andamento del segnale su un periodo descritto dal valore di y per tutti i valori reali 0 t < 0.2 viene riassunto da solo 3 valori, le ampiezza delle armoniche

Scomposizione di funzioni periodiche

• in generale qualsiasi segnale periodico, che presenti un numero limitato di discontinuità, è descrivibile mediante la somma di coseni e seni di frequenza multipla di una fondamentale (1/T)

• la serie (illimitata) dei coefficienti costituisce lo sviluppo in serie di Fourier del segnale periodico

• se le discontinuità sono tali che il segnale e le sue derivate siano limitati (salti, punti angolosi) i coefficienti della serie di Fourier convergono a 0 per frequenze -->

• questo permette di troncare lo sviluppo con un errore di approssimazione limitato

• vediamo un esempio: segnale ECG

Esempio - scomposizione di un ECG

• esempio di sintesi di un tracciato ECG da un numero crescente di armoniche: a) 4; b) 10; c) 30

• si noti come per riprodurre picchi stretti occorra un gran numero di armoniche

a) 4 armoniche b) 10 armoniche

c) 30 armoniche

Esempio - scomposizione di un ECG

• le prime 10 armoniche della sintesi di ECG vista preced.:k=0, componente continua; k=1, armonica fondamentale;k=2, .... , 10, armoniche superiori

con φ=arctg(an/bn) Fase dell’n-esima sinusoide della serie

Nella serie di Fourier, la parte tra [ ] si può riscrivere come:

𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2 ∗ sin2𝜋

𝑇𝑛𝑥 + 𝜑

𝑎𝑛2 + 𝑏𝑛

2 = Ampiezza dell’n-esima sinusoide della serie

Se metto in ascisse le frequenze crescenti 2π/T * n con

n=1,2,… e in ordinate le corrispondenti ampiezze (o le fasi)

ottengo lo SPETTRO delle ampiezze (fasi) del segnale f(x)

Segnale nel tempo e suo Spettro

Teorema del campionamento: fcamp > 2 * fmax segnale

Forme della serie di Fourier

• per ogni componente armonica si può indicare ampiezza e fase

0kk1k

kkk fk2f2;)tcos(Am)t(y

• o equivalentemente l’ampiezza della componente in fase, coseno, e della componente in quadratura, seno

])sin()cos([)(1

kkkkk tdtcmty

• o ancora i coefficienti complessi, ak, di esponenziali ad argomento immaginario positivo e negativo

ma;)coniugati(aa;1j

ea)t(y

0*kk

k

tjk

k

Calcolo dei coefficienti della serie di Fourier

• la forma in fase e quadratura permette di trovare la formula per il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier, nota la y(t) su di un periodo, sfruttando l’ortogonalità fra sinusoidi:

1k;dt)t(sin)t(yT

2d;dt)tcos()t(y

T

2c

)mediovalor(dt)t(yT

1m

T

0

kk

T

0

kk

T

0

Serie di Fourier - trasformata/anti-trasformata

• in conclusione, la rappresentazione degli ak (numeri complessi) in modulo e fase sull’asse delle pulsazioni per ogni k (opp. sull’asse delle frequenze per ogni fk) dà una rappresentazione discreta del contenuto in frequenza del segnale periodico ed il calcolo dei coefficienti rappresenta una trasformazione dal dominio del tempo a quello delle frequenze

dte)t(yT

1a tj

T

0

kk

k

tjk

kea)t(y

• analogamente, il calcolo dell’andamento di y(t) dai coefficienti costituisce la trasformazione inversa dal dominio delle frequenze a quello del tempo

Analisi in frequenza - segnale campionato

• il risultato del campionamento è quello di replicare Y() attorno ai multipli di C=2fC sommandoli

k

Ci

C )k(Y.tcos)iTt()t(yF

F

TCCt

Y()y(t)

Analisi in frequenza - segnale campionato

• da queste considerazioni discende l’enunciato del Th. del campionamento o di Shannon:“la frequenza di campionamento deve essere almeno doppia rispetto alla massima frequenza presente nella banda occupata dal segnale”, ovvero C > 2M

C 0 M

C 0 M

C/2

SI

NO

21

Analisi in frequenza - segnale campionato

• in altri termini, fissata la frequenza di campionamento, la massima frequenza presente, fM=M/2, deve essere minore della metà della frequenza di campionamento fN=fC/2=C /4

• in un segnale campionato, dunque, la metà della frequenza di campionamento, fN, ha il significato di massima frequenza rappresentabile e prende il nome di frequenza di Nyquist

• data la simmetria rispetto a 0 e la periodicità rispetto ad fC, si usa rappresentare il contenuto in frequenza di un segnale campionato da 0 ad fN,ovvero, in termini di frequenza normalizzata f/fC, da 0 a 0.5, ovvero, in termini di pulsazione normalizzata , da 0 a

0

= 2 /C = 2 f/fC = TC

22

Aliasing

• nei due spettri sono riportati le due situazioni nelle quali la condizione di Shannon viene o meno rispettata, evidenziando lo spettro del segnale campionato da 0 alla freq. di Nyquist

• nel secondo caso, le frequenze da N ad M non solo non sono rappresentate fedelmente ma vengono equivocate e ribaltate nel tratto da 2N-M a N.

0 0 NN

2N-M M

23

Aliasing: sinusoidi nel tempo

• consideriamo 3 sinusoidi a 1.2, 5.2 e 9.2 Hz tutte campionate a 4 Hz: tutte danno luogo allo stesso campionamento che viene ricostruito a 1.2 Hz

24

Aliasing

s(t)= sin(2ft), fc=f (TC=1/f)

t

s(t) s(nTc)

istanti di campionamento componente costante assente in s(t)

t

s(t) s(nTc)

Istanti di campionamento Oscillazione a bassa frequenza inesistente nel segnale originale

f<fc<2f (1/f>TC>1/2f)

25

Aliasing: sinusoidi nelle frequenze

• infatti, la Trasf. di Fourier della sinusoide a 1.2 Hz presenta due impulsi a +1.2 e a -1.2Hz che replicato attorno a 4 Hz peril campionamento dà luogo ad impulsi a 4k-1.2 e 4k+1.2 Hz

• 5.2 Hz = 4+1.2 Hz --> 4(k-1)-1.2 e 4(k+1)+1.2 Hz• 9.2 Hz = 2x4+1.2 Hz --> 4(k-2)-1.2 e 4(k+2)+1.2 Hz• considerando tutti i k troviamo gli stessi impulsi in freq.

26

Tra i metodi di stima dello Spettro di un segnale c’è

Periodogramma

• sia yN(i) il segnale finestrato su N campioni (yN(i)=y(i), per i=0,...,N-1, yN(i)=0 altrove) sia YN() la sua DTFT, definiamo il periodogramma stimato su N campioni, SN()

)(SlimE)(S;

N

)(Y)(Y

N

|)(Y|)(S N

N

N*

N2

NN

• si noti che la relazione di Parseval vale per qualsiasi N:

)ST)f(P(;df)f(Pd)(S2

1)i(y

N

1 Cf

0 NCNN

2

0 N

1N

0i

22N

i

yN(i)

N-10 f0 fC[Hz]

PN(f)N

2

[y]2

/[H

z]

Periodogrammi di segnali HRV registrati in 20 minuti

PARAMETRI ESTRATTI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

Densità spettrale di potenza (PSD)

Analisi in frequenza

I parametri maggiormente

utilizzati sono le potenze nelle

bande:

VLF, LF, HF, in unità

normalizzate (ovvero divisi per la

potenza totale) e il rapporto

LF/HF

Analisi nel tempo (parametri di esempio):

SDNN, deviazione standard calcolata su intervalli di 5’

mediate su un periodo di 24h.

Rappresenta la variabilità totale dell’HRV

DIMENSIONE FRATTALE, compresa tra 1 e 2, è

legata alle ‘fratture’ / ‘frastagliature’ presenti nel

segnale

SDNN si calcola a partire da Media e Deviazione

Standard valutate su tratti di 5 minuti dell’HRV:

Nj = nr di punti in un intervallo di 5 minutiN= nr di intervalli di 5 minuti presenti nella giornata

𝑅𝑅𝑗 = 1 𝑁𝑗 ∗ 𝑖=1

𝑁𝑗

𝑅𝑅𝑖 𝑆𝐷𝑗 = 𝑖=1

𝑁𝑗 𝑅𝑅𝑖 − )𝑅𝑅𝑗2

𝑁𝑗

SDNN = 1 𝑁 ∗ J=1𝑁 𝑆𝐷𝑖

“Orbene, …. ciò che è indivisibile in tutte le dimensioni ma ha una

posizione, si chiama punto ciò che è divisibile secondo una sola

dimensione si chiama linea, mentre ciò che è divisibile secondo

due dimensioni si chiama superficie e, infine, ciò che è divisibile

secondo la quantità in tutte e tre le dimensioni si chiama corpo.”

(Aristotele, Metafisica)

Dimensione

Comunemente utilizziamo la

● dimensione euclidea e la

● dimensione topologica

● dimensione euclidea DE indica il numero di

coordinate necessarie a specificare un

oggetto in un certo spazio:

– DE= 1 un punto sulla retta

– DE= 2 un punto nel piano

– DE= 3 un punto nello spazio

Dimensione euclidea

● Un punto o un insieme di punti totalmente

sconnesso ha dimensione Dt = 0

● tutti gli oggetti che possono essere divisi da

elementi di Dt=0 hanno dimensione Dt=1

● tutti gli oggetti che possono essere divisi da

elementi di Dt=1 hanno dimensione Dt=2

● tutti gli oggetti che possono essere divisi da

elementi di Dt=2 hanno dimensione Dt=3

Dimensione topologica

“The fractal geometry of nature”

“ L’esistenza di un numero praticamente infinito di distinte lunghezze di scala di

forme naturali ci ha sfidato a studiare queste forme, che Euclide trascura come

‘informi’, per indagare la morfologia dell’ ‘amorfo’. I matematici hanno

disdegnato questa sfida e sempre piu’ hanno evitato la natura costruendo teorie

senza nessun nesso con cose che possiamo vedere o percepire. Rispondendo a

questa sfida io ho concepito e sviluppato una nuova geometria della natura e

implementato il suo uso in vari campi. Questa geometria descrive molti dei pattern

irregolari intorno a noi e conduce a teorie ben sviluppate identificando una

famiglia di forme che chiamo frattali ”

da: The fractal geometry of nature, Benoit Mandelbrot

Nuvole, montagne, coste…. e semplificazioni secondo Euclide

nuvola

montagne

coste

Curva di Koch

● segmento unitario diviso in 3

parti

● sostituzione del terzo interno

con due lati di un triangolo

equilatero di lato 1/3 ( cioe’ la

lunghezza del segmento

sostituito)

● sostituzione del terzo interno di

ogni lato con triangolo equilatero

di lato uguale al segmento

sostituito

l0

( ) l0 l0

( ) 1/3l0 4/3 l0

( ) 1/9l0 16/9 l0= (4/3)2 l0

( …...) (1/3)n l0 (4/3)n l0

Unita’ di misura Lunghezza apparente

della curva

Curva di Koch

Esistono molti modi per stimare la

dimensione

P.es. utilizzando un ricoprimento di N sfere tutte di diametro

r, si può ottenere la dimensione di Capacità:

DC = lim r ->0 log(N (r) )/log(1/r )

che rappresenta una approssimazione della Dimensione di

Hausdorff-Besicovitch DH

Dimensione curva di Koch

● Per ogni lato della curva il numero di ricoprimenti N al

passo n e’ proporzionale a 4n e il fattore di magnificazione r

e’ proporzionale a 1/3n

DC = lim r ->0 log(N)/log(1/r )

E la dimensione topologica è

DC = DH =log(4)/log(3)=1.2618…..

DT = 1

Dimensione curva di Hilbert

● Inizio: elemento base

● Replicare 4 volte l’elemento baseriducendone le dimensioni a 1/2

– mantenere inalterata posizione elementisuperiori

– ruotare di 90º a sin e dx elementi inferiori

– effettuare connessioni fra gli elementi

● Ripetere la replicazione e le connessioni

DH = log(4)/log(2)=2

Dt = 1

Dimensione insieme di Cantor● Inizio: segmento

● Suddividere in 3 parti erimuovere il segmento centrale

● Ripetere la rimozione in ognisegmento

● Rimangono 2 parti scalate di 1/3

DH = log(2)/log(3)=0.6309….

DT = 0

Dimensione triangolo Sierpinski

● Inizio: triangolo equilatero

● Rimuovere il triangolo internoformato dai punti medi dei 3 lati

● Ripetere la rimozione in ognitriangolo rimasto

● Ogni triangolo contiene 3 copie,ognuna scalata di 1/2

DH = log(3)/log(2)=1.5849….

DT = 1

●Dimensione spugna di Menger

● Inizio: cubo

● Suddividere in 27 cubi di lato 1/3e rimuovere il cubo centrale equelli nel centro di ogni faccia.Rimangono 20 sottocubi.

● Ripetere la rimozione in ognisottocubo

DH = log(20)/log(3)=2.7268….

DT = 2

Oggetto frattale

● Un frattale è un oggetto la cui dimensione di Hausdorff-Besicovitch è strettamente maggiore della sua dimensionetopologica: DH>DT

● Se un oggetto ha dimensione di Hausdorff-Besicovitch non intera allora è frattale

● Sono autosimili

● obbediscono a una legge di scaling N(r)= rDs

p.es. in 2D, N(r): Nr di elementi ‘simili’ ovvero di lunghezza r,

r: unità di lunghezza utilizzata/righello

Ds: dimensione frattale Ds = log(N(r))/log(r)

Insieme di Mandelbrot - self-similarity

Autosimigianza di una serie temporale

Calcolo della Dimensione Frattale secondo Higuchi

Data la serie di dati x(1), x(2),..., x(N), costruisce k nuove serie temporali: xkm con m

e istante iniziale e k ritardo k∈[1,6].

Per ogni sequenza xkm si calcola

la lunghezza Lm(k)

e infine la lunghezza media della curva (utilizzando l'intervallo di tempo k), L(k),

calcolata come la media delle k lunghezze Lm(k), per m=1,2,...,k.

Poiché L(k) è proporzionale a k-FD, allora ln(L(k))/ln(k) sarà pari a –FD (=pendenza)

Esempio di Ritmo cardiaco

Fre

quen

za c

ard

iaca

(b

pm

)

Tempo (min)

normale

scompenso

apnee

morte improvvisa

0.0001 0.001 0.01 0.1

10.

20.

50.

100.

200.

500.

1000.

2000.

Freq./beat-1

power

Andamento tipico di un segnale autosomigliante: power ~ 1/fβ

... e del suo spettro (caso normale) in scaladoppiamente logaritmica

C’è un legame tra FD e β: FD=(5- β)/2

ESEMPIO APPLICATIVO: STUDIO

DEL LEGAME TRA VARIABILITA’

CARDIACA ED ETA’

in soggetti normali e in soggetti con

scompenso cardiaco

La letteratura scientifica riporta che l'invecchiamento dei soggetti in salute

è associato ad una graduale riduzione delle fluttuazioni. Vorremmo

confermare questo risultato e vedere cosa succede negli scompensati (per

i quali non è ancora stato trovato nulla)

SCOMPENSO CARDIACO

Scompenso cardiaco: sindrome clinica, nella quale un’anomalia dellastruttura o della funzione cardiaca è responsabile dell’incapacità, diuna parte del cuore, di pompare il sangue o di riempirsi ad una velocitàadeguata alle esigenze metaboliche dei tessuti.

52/25

• Disfunzione DIASTOLICA • Disfunzione SISTOLICA

Cardiopatia dilatativa (primaria e secondaria)Cardiopatia valvolare Cardiopatia ischemicaCardiopatia IpertensivaCardiopatia ischemica/ipertensivaCardiopatia valvolare/ipertensiva

Differente eziologia

MATERIALE CLINICO

60 persone (36 donne e 24 uomini):

●non affette da problemi cardiaci;

●tra i 19 e gli 85 anni;

40 pazienti (30 uomini e 10 donne):

●colpite da CHF (Congestive Heart Failure);

●divise tra ischemici (35-90 anni) e affetti da cardiomiopatia dilatativa

(CMPD) (20-90 anni).

I soggetti hanno completato un monitoraggio Holter di 24 ore a tre canali con

una frequenza di campionamento di 200 Hz.

Gli intervalli RR sono stati estratti mediante il software di analisi dell’Holter

Metodi utilizzati

Analisi nel dominio del tempo:

➔FD calcolata con algoritmo di Higuchi

Analisi nel dominio della frequenza:

➔periodogramma di Welch

➔serie temporali di durata pari a 512 s

➔finestra di Hamming con sovrapposizione 50%

➔distinte le bande VLF, LF e HF in nu e il rapporto LF/HF

In letteratura si scrive che: HF associato al sistema parasimpatico e LF

associato al simpatico (o ad entrambi)

Risultati

Analisi su 5’ durante le 24h

Parametri che presentano un legame lineare

significativo con l'età:

Nei normali: LF/HF; LF; HF; DF

Nei CMPD: LF; HF

Negli ischemici: nonostante una qualche

dipendenza con l’età, nessuno di questi (grande

variabilità interindividuale)

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

LF

nm

età

Blu=Normali, Neri=CMPD, Rossi=Ischemici

Incremento dell’attività parasimpatica e calo di quella simpatica

Rette di regressione lineare con pendenze significativamente diverse da 0

10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

HF

nm

età

Risultati su tratti di 5’ mediati sulle 24h

Blu=Normali, Neri=CMPD, Rossi=Ischemici

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

FD

m

età

Conclusioni

I risultati ottenuti hanno confermato le scoperte riscontrate fino ad oggi

sugli effetti che l'età produce sull'HRV nei soggetti in salute, indicando

che l’invecchiamento è associato ad una graduale riduzione delle

fluttuazioni del cuore (incremento del parasimpatico). Questa

associazione è presente anche nei soggetti che soffrono di disturbi

cardiaci anche se questi presentano una maggiore variabilità

interindividuale.

Le cause della riduzione possono essere molteplici: differenze nella

velocità di trasmissione nervosa, modifiche cardiovascolari, riduzione

delle fibre vagali nell’anziano

CONTINUA……