informe vel. relativa y absoluta en el plano
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FACULTAD DE INGENIERIA03 DE JUNIO DE 2016
Carrera Profesional de Ingeniería Civil
CURSO: Dinámica
TEMA: Movimiento en el plano - Velocidad
Absoluta y velocidad relativa en Movimiento
del Plano
DOCENTE: Ing. Cristian López Villanueva
INTEGRANTES:
Alcalde Cueva, Miriam
Briones Chávez, John
León Villar, Carlos
Tello Pérez, Luz
Yopla Mendoza, David
Zapana Zapata, Maricruz
CICLO: 2016 - 1
03 DE JUNIO DE 2016
DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
INDICE
1. INTRODUCCIÓN.....................................................................................................3
2. OBJETIVOS.............................................................................................................4
2.1. Objetivo General........................................................................................................4
2.2. Objetivo Específicos..................................................................................................4
3. JUSTIFICACION......................................................................................................5
4. DESARROLLO........................................................................................................6
4.1. Movimiento Plano General.......................................................................................6
5. VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO ………………………………………………………………………………………. 8
5.1. Velocidad Absoluta.........................................................................................8
Procedimiento para el análisis de los problemas:...........................................................8
5.2. Velocidad Relativa en el Movimiento del Plano.........................................10
Procedimiento para el análisis de los problemas:.........................................................13
7. CONCLUSIONES........................................................................................................24
8. BIBLIOGRAFÍA............................................................................................................24
9. ANEXOS.......................................................................................................................25
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
1. INTRODUCCIÓN
El campo de la dinámica, está orientado al estudio de la aplicación de la cinemática, la
cinemática plana de cuerpos rígidos estudia las relaciones existentes entre el tiempo,
las posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las partículas que forman un
cuerpo rígido. Todo cuerpo rígido se ve representado por las acciones de fuerzas que
se ejerce sobre esta, pero que no evidencia deformaciones ya que posee un sistema
de partículas cuyas posiciones relativas no cambian.
Movimiento general en el plano es el movimiento plano de un cuerpo rígido que no
puede clasificarse como traslación pura, ni como rotación pura. El movimiento general
se asume una combinación simultánea de traslación y rotación.
Movimiento general = traslación + rotación (M.G. = t + r)
El presente trabajo de investigación se centra en el estudio de la velocidad absoluta y
velocidad relativa de movimiento en el plano, con este trabajo se desea adquirir
conocimientos de análisis para deducir fórmulas que se deben aplicar posteriormente
en los ejercicios.
En este trabajo se explicará que es la velocidad absoluta y velocidad relativa de
movimiento en el plano, así como sus fórmulas para la resolución de los problemas
planteados con el único fin de tener no solo un aprendizaje teórico sino también
practico y así poder entender de una forma diferente que la vida está llena de pruebas
las cuales se pueden resolver por medios matemáticos y analíticos.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo General
Definir y adquirir conocimientos sobre velocidad absoluta y velocidad
relativa de movimiento en el plano.
2.2. Objetivo Específicos
Estudiar el movimiento plano usando un análisis de movimiento
absoluto y proporcionar un análisis de movimiento relativo de velocidad.
Aplicar los conocimientos teóricos y las formulas en la solución de los
problemas de velocidad absoluta y relativa de movimiento en el plano.
Conocer en donde podemos aplicar los conocimientos de velocidad
absoluta y relativa de movimiento en el plano.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
3. JUSTIFICACION
Desde el punto de vista como estudiantes se justifica la realización del presente
trabajo de investigación como aporte a adquirir conocimientos necesarios en el estudio
de la cinemática del cuerpo rígido, en específico se dará a conocer como obtener la
velocidad relativa y absoluta de movimiento en el plano.
Desde el punto de vista como entidad universitaria se justifica la realización del
presente trabajo de investigación, como el conocimiento matemático y analítico
aplicado a la solución de problemas en bien de la sociedad en la que se interactúa.
La presente investigación servirá como referencia a futuras investigaciones sobre el
tema.
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4. DESARROLLO
4.1.Movimiento Plano General
El movimiento plano general es un movimiento plano que no es ni una traslación ni
una rotación. Sin embargo, un movimiento plano general siempre puede considerar
como la suma de una traslación y una rotación.
Teorema de Euler: Cualquier movimiento plano puede ser considerado como una
composición simultánea de un movimiento de traslación y un movimiento de rotación.
Por ejemplo
Una rueda que gira sobre una pista recta, como se muestra en la figura, a lo largo de
cierto intervalo, dos puntos dados A y B se habrá movido, respectivamente, desde A1
hasta A2 y desde B1 hasta B2. El mismo resultado podría obtenerse mediante una
traslación que llevaría a “A” y a “B” hasta A2 y B’1 (la línea AB se mantiene vertical),
seguida por una rotación alrededor de A que llevaría a B hasta B2. Aunque el
movimiento de giro difiere de la combinación de traslación y rotación cuando estos
movimientos se toman en forma sucesiva, el movimiento original puede duplicarse de
manera exacta mediante una combinación de traslación y rotación simultaneas.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Otro ejemplo de movimiento plano representa una varilla cuyos extremos se deslizan
a lo largo de una pista horizontal y una vertical, respectivamente. Este movimiento
puede sustituirse por una traslación en una dirección horizontal y una rotación
alrededor de A o por una traslación en una dirección vertical y una rotación alrededor
de B.
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5. VELOCIDAD ABSOLUTA Y VELOCIDAD RELATIVA EN EL MOVIMIENTO PLANO
5.1. Velocidad Absoluta
Un cuerpo sometido a movimiento plano general experimenta una traslación y rotación
simultáneas. Si el cuerpo se representa como una lámina delgada, ésta se traslada en
su plano y gira alrededor de un eje perpendicular a este plano. El movimiento puede
especificarse por completo si se conocen tanto la rotación angular de una línea fija en
el cuerpo como el movimiento de un punto en él. Una forma de relacionar estos
movimientos es utilizar una coordenada de posición rectilínea “s” para localizar el
punto a lo largo de su trayectoria y una coordenada
de posición angular θ para especificar la orientación de la línea. Las dos coordenadas
se relacionan entonces por medio de la geometría del problema. Mediante la
aplicación directa de las ecuaciones diferenciales con respecto al tiempo
v=ds /dt , a=dv /dt ,ω=dθ/dt y α=dω /dt, entonces pueden relacionarse el
movimiento del punto y el movimiento angular de la línea. En algunos casos, este
mismo procedimiento puede utilizarse para relacionar el movimiento de un cuerpo, que
experimenta o rotación alrededor de un eje fijo o traslación, con el de un cuerpo
conectado que experimenta movimiento plano general.
Procedimiento para el análisis de los problemas:
La velocidad y aceleración de un punto P que experimenta movimiento rectilíneo
pueden relacionarse con la velocidad y aceleración angulares de una línea contenida
en un cuerpo si se aplica el siguiente procedimiento.
Ecuación de coordenadas de posición:
Localice un punto P en el cuerpo por medio de una coordenada de posición s,
la cual se mide con respecto a un origen fijo y está dirigida a lo largo de la
trayectoria de movimiento en línea recta del punto P.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Mida con respecto a una línea de referencia fija la posición angular θ de una
línea situada en el cuerpo.
Con las dimensiones del cuerpo, relacione “s” con θ, s= f (θ), por medio de
geometría y/o trigonometría.
Derivadas con respecto al tiempo:
Considere la primera derivada de s=f (θ) con respecto al tiempo para obtener
una relación entre v y ω.
Considere la segunda derivada con respecto al tiempo para obtener una
relación entre a y α .
En cada caso debe utilizarse la regla de la cadena del cálculo cuando se
consideren las derivadas con respecto al tiempo de la ecuación de
coordenadas de posición.
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5.2. Velocidad Relativa en el Movimiento del Plano
Cualquier movimiento plano puede ser reemplazado por una traslación de un punto de
referencia arbitrario A y una rotación simultánea alrededor de A.
V B=V A+V B /AV B
A
=wk x r BA
,V B
A
=rw
V B=V A+wk∗r B /A
El movimiento plano general de un cuerpo rígido se describe como una combinación de traslación y rotación. Para ver estos movimientos “componentes” por separado utilizaremos un análisis de movimiento relativo que implica dos conjuntos de ejes de coordenadas. El sistema de coordenadas x, y está fijo y mide la posición absoluta de dos puntos A y B en el cuerpo, representado aquí como una barra.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Se hará que el origen de los sistemas de coordenadas x’, y’ coincida con el “punto base” A seleccionado, el cual por lo general tiene un movimiento conocido. Los ejes
de este sistema de coordenadas se trasladan con respecto al marco fijo, pero no giran
con la barra.
Posición: El vector de posición r A en la figura especifica la ubicación del “punto base”
A y el vector de posición relativa r B/ A localiza el punto B con respecto al punto A.
Mediante adición vectorial, la posición de B es, por tanto:
r B=r A+rB / A
Desplazamiento: Durante un instante de tiempo d t los puntos A y B experimentan los
desplazamientos d r A y d rB como se muestra en la figura (b). Si consideramos el
movimiento plano general por sus partes componentes entonces toda la barra primero
se traslada una cantidad d r A de modo que A, el punto base, se mueve a su posición
final y el punto B a B’, figura (c). La barra gira entonces alrededor de A una cantidad
dθ de modo que B’ experimenta un desplazamiento relativo d rB / A y se mueve a su
posición final B. Debido a la rotación sobre A, d rB / A=rB /A dθ y el desplazamiento de
B es:
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Velocidad: Para determinar la relación entre las velocidades de los puntos A y B es
necesario considerar la derivada con respecto al tiempo de la ecuación de posición o
simplemente dividir la ecuación de desplazamiento entre d t .De esto resulta:
rB
dt=
rA
dt+
rB / A
dt
Los términos d rB /dt=vB y d r A /dt=v A se miden con respecto a los ejes fijos x, y y
representan las velocidades absolutas de los puntos A y B, respectivamente. Como el
desplazamiento relativo lo provoca una rotación, la magnitud del tercer término es:
d rB / A/dt=r B /Adθ /dt=rB / A θ=r B /Aω, donde ω es la velocidad angular del cuerpo en el
instante considerado. Denotaremos este término como la velocidad relativa V B / A,
puesto que representa la velocidad de ‘B’ con respecto a ‘A’ medida por un observador
fijo en los ejes trasladantes x’, y’. Dicho de otra manera, la barra parece moverse como
si girara con una velocidad angular ω con respecto al eje z’ que pasa por A. Por
consiguiente, la magnitud de vB /A es vB /A=ωr B /A y su dirección es perpendicular a
r B/ A.
Por consiguiente, tenemos:
V B=V A+V B /A
V B = Velocidad del punto B
V A = Velocidad del punto A
V B / A = Velocidad de B con respecto a ‘A’ (velocidad relativa)
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Lo que esta ecuación establece es que la velocidad de B, fig. (d), se determina al
considerar que toda la barra se traslada con una velocidad de vA , fig. (e) y que gira
alrededor de A con una velocidad angular ω, fig. (f). La adición vectorial de estos dos
efectos, aplicada a B, resultavB, como se muestra en la fig. (g). Como la velocidad
relativa V B / A representa el efecto del movimiento circular, alrededor de A, este término
puede expresarse por medio del producto vectorial V B / A=ω×rB /A. Por consiguiente,
para su aplicación mediante un análisis vectorial cartesiano, también podemos escribir
la ecuación como:
V B=V A+ω×r B /A
V B = Velocidad de B
V A = Velocidad del punto base A
ω = Velocidad angular del cuerpo
r B/ A = Vector de posición dirigido de A hacia B
Procedimiento para el análisis de los problemas:
La ecuación de velocidad relativa puede aplicarse mediante análisis vectorial
cartesiano o bien si se escriben directamente las ecuaciones de componentes
escalares ‘x’ y ‘y’. Para su aplicación se sugiere el siguiente procedimiento.
ANÁLISIS VECTORIALa. Diagrama Cinemático:
Establezca las direcciones de las coordenadas x, y fijas y trace un diagrama
cinemático del cuerpo. Indique en él las velocidades vA, vB de los puntos A y B,
la velocidad angularω, y el vector de posición relativa r B/ A.
Si las magnitudes de vA, vB o ω son incógnitas, puede suponerse el sentido de
estos vectores.
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b. Ecuación de velocidad:
Para aplicar vB=v A+ω×rB / A, exprese los vectores en forma vectorial
cartesiana y sustitúyalos en la ecuación. Evalúe el producto vectorial y luego
iguale los componentes i y j respectivas para obtener dos ecuaciones
escalares.
Si la solución resulta en una respuesta negativa para una magnitud
desconocida, indica que el sentido del vector es opuesto al que se muestra en
el diagrama cinemático.
ANÁLISIS ESCALARa. Diagrama Cinemático:
Si la ecuación de velocidad se va a aplicar en forma
escalar, entonces deben establecerse la magnitud y
la dirección de la velocidad relativa vB /A. Trace un
diagrama cinemático como se muestra en la figura
(g), el cual muestra el movimiento relativo. Como se
considera que el cuerpo debe estar “sujeto por
medio de un pasador” momentáneamente en el punto base A, la magnitud de
vB /A. es vB /A=ωr B /A. La dirección de vB /Asiempre es perpendicular a r B/ A de
acuerdo con el movimiento de rotación ω del cuerpo. (*)
b. Ecuación de Velocidad:
Escriba la ecuación forma simbólica vB=v A+vB /A, y debajo de cada uno de los
términos represente los vectores gráficamente de modo que muestren sus
magnitudes y direcciones. Las ecuaciones escalares se determinan con los
componentes x y y de estos vectores.
(*) La notación vB=v A+vB /A (pasador) puede ser útil para recordar que A está
“conectado con un pasador”.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
6. EJERCICIOS PROPRUESTOS
6.1. Una barra de 1.5m de longitud, tiene
instalado unos rodillos en sus extremos. Si el
rodillo A se está moviendo hacia la derecha a
razón de 3 m/s. ¿Con qué rapidez desciende
el rodillo B y cuál es la velocidad angular de
la barra?
Solución: Primero ponemos el triedro derecho
V B=V A+ V B /A→V B=V A+ωAB x rB / A
V A=3 i m/ s
V B=−vB j m /s
ωAB=ωk rad / s
rB / A=−1.5 ( cos30 ) i+1.5 ( sen30 ) j→ rb /A=−1.3 i+0.75 j
V B=3 i+| i j k0 0 ω
−1.3 0.75 0|⇒−vB j=3 i+(−0.75ω ) i−1.3ωj+0k
−vB j=(3−0.75ω ) i−1.3ωj
Igualando términos: 3−0.75ω=0
−vB=−1.3ω
Respuestas
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ω=4 rad /s
vB=5.2
6.2. El cilindro rueda sin deslizarse sobre la superficie de una banda
transportadora, la cual se mueve a 2 pies/s. Determinar la velocidad del
punto A. El cilindro tiene una velocidad angular en el sentido de las
manecillas del reloj ω=15 rad /s en el instante que se muestra en la
figura.
Solución (De forma vectorial)
Diagrama de cinemático. Como no hay deslizamiento, el punto B en el
cilindro tiene la misma velocidad que la transportadora. Además, la
velocidad angular del cilindro es conocida, así que podemos aplicar la
ecuación de velocidad a B, el punto base, y A para determinar V A .
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Ecuación de velocidad.
V A=V B+ω xr A /B
(v A)x i+(v A)y j=2 i+(−15 k) x (−0.5 i+0.5 j)
(v A)x i+(v A)y j=2 i+7.50 j+7.50 i¿
De modo que:
(v A )x=2+7.50=9.50 piess
(v A )y=7.50 piess
Por tanto:
vA=√(9.50)2+(7.50)2=12.1 pies / s
θ=tan−1 7.509.50
=38.3 °
Solución (análisis escalar):
Como un procedimiento alternativo, las componentes escalares de
vA=vB+v A /B pueden obtenerse directamente. De acuerdo con el
diagrama cinemático que muestra el movimiento circular relativo, el
cual produce vA /B.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
vA /B=ωrA /B=(15 rad /s )( 0.5 piecos45 ° )=10.6 pies /s
Por tanto.
vA=vB+v A /B
[ (v A )¿¿ x]+ [ (v A )y ]=[2 pies/ s]+[10.6 pies / s]¿
Al igualar las compontes x Y y se obtienen los mismos resultados que
antes, es decir.
(v A )x=2+10.6 cos 45 °=9.50 pies /s
(v A )y=0+10.6 sen 45 °=7.50 pies /s
6.3. El disco de la figura gira con una rapidez angular constante de 12 rad /s
en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la
velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B.
Resolución La velocidad de A es vertical y se dirige hacia abajo, la de B, horizontal
y hacia la derecha. El centro instantáneo de rotación se encuentra en la
intersección de las perpendiculares levantadas en A y B.
Calculamos la magnitud de la velocidad de A.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
vA=ω r
vA=12 (60 )=720
Por tanto, la velocidad angular de la barra AB es:
ωAB=v A
rA= 720
60√3
ωAB=6.93 rad /s
Y la velocidad de B será:
vB=ωAB rB
vB=6.93 (60 )
vB=416cm /s
6.4. La barra AB de la articulación que se muestra en la figura tiene una
velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj de 30 rad /s
cuando θ=60 °. Determine las velocidades angulares del elemento BC
y de la rueda en ese instante.
Solución
Notamos que las velocidades de los puntos By C están definidas por la
rotación del eslabón AB y la rueda alrededor de sus ejes fijos. Los
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
vectores de posición y la velocidad angular de cada elemento se
muestran en el diagrama cinemático siguiente:
V B=w AB×rB
V B=(−30k )×(0.2 cos60 ° i+0.2 sen60° j)
V B=(5.2 i−3 j ) m /s
Para el tramo BC
V C=V B+wBC ×rC /B
Notamos que en ese instante el eslabón BC es paralelo al eje x
V C i=(5.2i−3 j )+wBC k×(0.2 i)
V C i=5.2i+(0.2wBC−3 ) j
V C=5.2m /s
0=0.2wBC−3
wBC=15 rad / s
Para la rueda:
V C=wD×rC
5.2=(w ¿¿Dk)×(−0.1 j)¿
5.2=0.1wD
wD=52 rad /s
6.5. En la posición mostrada, la manivela OA tiene una rapidez angular de
10 rad /s en sentido antihorario. Calcule la rapidez angular de la biela
AB y la velocidad lineal del émbolo B.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
SoluciónComenzamos investigando la geometría del mecanismo mediante la
resolución de los triángulos rectángulos de la figura.
La manivela OA con rotación pura.
V A=w x r
V A=10k x(2.5i+4.33 j)
V A=−43.3 i+25 j
La manivela AB tiene movimiento plano general:
V B=V BA
+V A
V B=w1 x r BA
+V A
V B=w1k x (15.40i−4.33 j )−43.3 i+25 j
V B i=4.33w1 i+15.40 w1 j−43.3i+25 j
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Asociando las componentes respectivas:
V B i=( 4.33w1−43.3 ) i+(15.40w1 j+25 ) j
Igualando las componentes verticales:
0=15.40w1+25 ;w1=−1 .623
Y las horizontaes:
V B=4.33 (−1.623 )−43.3=−50 .3
Por tanto:
w1=1.623 rad /s
V B=50 .3Vpulg /s
6.6. Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100m
de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s
y el segundo a 30m /s. ¿Cuál es la velocidad relativa del automóvil
respecto al motociclista?
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Solución
V A=Velocidad absolutadel automóvil
V M=Velocidad absolutadelmotociclista
V AM
=Velocidad relativa delautomóvil respecto al motociclista
V A=V AM
+V M
Como se trata de solo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuación anterior.
Por la ley de cosenos:
V AM
2=302+402−2 (30 ) 40 cos60°
V AM
=36 .1m / s
Por la ley de senos:
sen∝30
= sen60 °V A
M
∝=46 °;90−46=44 °
V AM
=36 .1m / s
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
7. CONCLUSIONES
Es muy importante conocer el movimiento de los cuerpos rígidos, porque
tienen una gran relación entre el tiempo que actúa, su posición,
velocidad y aceleración.
Para el estudio del movimiento de cualquier cuerpo en un plano se debe
tener en cuenta su movimiento rotacional y traslación, las cuales actúan
una dentro del plano y la otra perpendicular al mismo respectivamente.
Se pudo demostrar cómo se realiza el movimiento a través de un eje fijo
usando las ecuaciones de velocidad relativa y absoluta
8. BIBLIOGRAFÍA
RUSSELL C. HIBBELER. (2010). Ingeniería Mecánica – DINAMICA.
12ava. Edición. México: Pearson Educación.
Hibbeler, R. C. (2010). Ingeniería Mecánica: Dinámica. México: Pearson
Educación de México, S.A.
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Ferdinand P. Beer. (2007) Mecánica Vectorial para ingenieros Dinámica.
8ed. Ed. México: McGraw - Hill Interamericana.
9. ANEXOS
Anexo 1: cuerpo rígido
Anexo 1: grafica de velocidades
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DINAMICA MOVIMIENTO EN EL PLANO – VELOCIDAD RELATIVA Y ABSOLUTA
Anexo 2: manivela
Anexo 3: eslabón
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Anexo 5: Se puede considerar que una bola que está rodando sobre una cubierta de un barco en movimiento.
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