Convolución de dos señales Hace referencia a un operador matemático expresado con el símbolo del asterisco (*) y la cual nos permite que dos funciones f y g generen una tercera función, es decir, nos permite relacionar tres señales: la señal de entrada, la respuesta al impulso y la señal de salida.

La convolución dice que si tenemos dos

funciones su convolución está dada por

La cual la expresamos mediante el operador * entre las dos funciones.

2.1.1 Teorema de convolución en el tiempo

Este teorema nos afirma que:

Para probar este teorema vamos a mirar paso a paso el proceso matemático, teniendo en cuenta la fórmula que expresa la convolución de dos funciones dada en la ecuación de la transformada de Fourier expresada de la siguiente forma:

Reemplazamos Ecuación # 1 de la convolución de la frecuencia en la Ecuación # 2 para aplicar la transformada de Fourier

Organizamos los términos, cambiando el orden de integración para poder aplicar la propiedad de desplazamiento en el tiempo Ecuación # 3

Aplicamos la propiedad del desplazamiento en el tiempo de la transformada de Fourier

Reemplazando el resultado después de aplicar la propiedad de desplazamiento en el tiempo:

El resultado es el siguiente, el cual comprueba el teorema de la convolución en el tiempo.

2.1.2 Teorema de convolución en la frecuencia

Este teorema afirma que si:

Ahora vamos a probar este teorema desarrollando paso a paso su comprobación

Reemplazamos la función que nos da el teorema en la formula de la transformada de Fourier.

Entonces reemplazamos el valor de w en la ecuación y reorganizamos los términos.

Aplicamos una propiedad de la potenciación separamos los términos en las diferentes integrales.

Distribuimos el valor de en las dos integrales, pero debemos multiplicar por

para no alterar la ecuación.

Hallar el espectro de la señal f(t) = g(t)m(t) si g(t) es un tren de pulsos rectangulares periódicos, el ancho del pulso es d segundo, y se repiten cada T.