influencia da dissipaÇÃo viscosa na transferencia de …
TRANSCRIPT
INFLUENCIA DA DISSIPAÇÃO VISCOSA NA TRANSFERENCIA DE
CALOR EM TUBOS CONCENTRICOS NO ESCOAMENTO TURBULENTO
Luiz Armando Gonzalez da Silva
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS
DE PÔS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL 00 RIO
DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OB
TENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIENCIAS (M.Sc.)
Aprovada por:
Martin Schmal Presidente
Leopoldo EurictJdonçalves de Bastos
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL JULHO DE 1977
i
DA SILVA, LUIZ ARMANDO GONZALEZ
Influência da Dissipação Viscosa na Transferência de Calor em Tubos Concêntricos no Escoamento Turbulento [Rio de Janeiri] 1977.
VI, 62p., 29,7cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Me
cânica, 1977) •
Tese - Univ. Fed. Rio de Janeiro - COPPE.
1. Transferência de Calor. I. COPPE/UFRJ II. Título (Série).
iii
AGRADECIMENTO
Agradeço a todas as pessoas que, direta ou indire
tamente colaboraram para que este trabalho fosse concluído.
Lembro de maneira especial a Bia, pelos trabalhos
datilográficos, a CAPES, pelo apoio econômico, ' MARTIN SCHMAL,
um orientador de verdade, a família de Eduardo Bourdette, pelo
apoio psicológico e a meus pais, pela formação que me deram.
iv
SUMÁRIO
Determina-se o perfil de temperatura no escoamento
de um fluido Newtoniano, turbulento, através de dois tubos ci -
lindrícos concentrícos considerando a dissipação viscosa. Util!
zam-se perfis de velocidade turbulento em camadas distintas Pª! tindo das expressões de Deissler e Quarmby. Determinam-se os
perfis de difusividade turbulento de quantidade de movimento em
camadas distintas segundo Deissler e Quarmby e o perfil de dif~
sividade turbulento de calor segundo Aser e Chao. Resolve-se o
sistema numericamente pelo método de Crank-lJicholson.
A influência da dissipação viscosa sobre o perfil
de temperatura é bastante pronunciado na região do escoamento
turbulento próximo às paredes dos tubos interno e externo e cres
cena direção axial.
..
V
ABSTRACT
The temperature profile for a turbulent flow, of a
newtonian fluid flowing between two concentric tubes has been determined. The velocity profile was based on the Deissler and Quarmby equations for turbulent flows. The momentum difusivity equation for the turbulent flow has been evaluated according to Deissler and Quarmby and the heat difusivity equations and represented according to Aser and Chao. These equations with
the corresponding boundary conditions has beem solved employing the numerical method of Crank-Nicholson,
The influence of the dissipation on the temperature profile is pronounced in the turbulent flow in the neighborhood of the inner and outer wall of the tube and increases in the axial direction.
CAPfTULO I
INTRODUÇÃO
CAPfTULO II
vi
fNDICE
.........................................
DIFUSIVIDADE TÉRMICA TURBULENTA ....................
CAPfTULO III
PERFIL DE TEMPERATURA
CAPfTULO IV
RESULTADOS . . . . . . .................................
CAPfTULO V
CONCLUSÕES ........................................
BIBLIOGRAFIA ............................................
NOMENCLATURA ............................................
AP!NDICE I ............................................
APl:NDICE II . • .......................................... .
AP!NDICE III ............................................
Pág.
1
9
16
31
33
34
35
36
42
51
vii
fNDICE DAS FIGURAS:
FIGURA 1 - PERFIL DE VELOCIDADE.......................... 45
FIGURA 2 - PERFIL DE DIFUSIVIDADE TfRMICA •••••••••••••••• 46
FIGS,3,4,5,6 - PERFfS DA TEMPERATURA ••••••••••••••••••••••• 47-50
1
CAPfTULO I
INTRODUÇÃO
O escoamento turbulento em tubos concêntricos tem si
do objeto de estudo de muitos pesquisadores, tanto teóricos, quan
to experimentais.
O perfil de velocidade para o escoamento em tubos con
cêntricos que será utilizado neste trabalho, foi desenvolvido e
equacionado por Quarmby1, baseado na teoria de Prandtl-von Kàrmànn.
Quarmby aplicou a hipótese de similaridade de von Kãrmãnn em tu
bos cilíndricos concêntricos para descrever a dependência dope~
fil de velocidade, tanto na região interna, quanto na externa do
escoamento, tendo como parãmetros o número de Reynolds e a rela
ção entre os raios dos tubos. Estes trabalhos foram feitos para
escoamento completamente desenvolvido.
A dependência do perfil de velocidade com estes par~
metros tem sido verificada experimentalmente. A escolha adequada
dó perfil de velocidade é fundamental na resolução da equação da
energia para a determinação do coeficiente de transferência de
calor em tubos cilíndricos concêntricos.
2
a - Formulação das equaçoes para o perfil de velocidade
Para definir o perfil de velocidade no escoamento tur
bulento em dutos, levamos em consideração duas regiões.
A primeira é a região próxima da parede do duto. A
preocupaçao em considerar esta região, em separado, deve-se ao
fato de ser a presença da parede do tubo tão significativa que
modifica o regime do escoamento no caso dele ser
tornando-o laminar.
turbulento,
O perfil de velocidade para esta região é deduzido a
partir da expressão de Deissle.r2, para a difusividade turbulenta,'
ou seja:
(I. l) .•.
onde .!!, é um fator de amortecimento que considera o efeito de
presença da parede no escoamento turbulento.
A segunda região é aquela onde. se dá o escoamento tur
bulento perfeitamente caracterizado.
O perfil de velocidade, nesta região, é calculado a
partir da hipótese de similaridade de von Kàrmànn, onde a difu
sividade turbulenta é dada por·~
+ · dv ; z
2 (I. 2)
3
sendo
dv+ / d2v z z
R.-.K--2 2 dy dy + 2
.
(I.Za)
o comprimento de mistura de Prandtl.
As velocidades do perfil da subcamada e
do escoamento principal, respectivamente, bem como os respecti-dv+ dv+ z z
vos gradientes --1 e --2 são iguais no limite da subcamada. dy+ dy+
A viscosidade molecular µ* e incluída tanto na sub
camada, quanto no escoamento principal e a variação da tensão de
cisalhamento através do duto é considerada.
Através de um balanço de forças num elemento do flui
do obtém-se, para.fluidos newtonianos, a seguinte relação:
+ T y
= 1 - (I. 3)
onde T representa uma tensão de cisalhamento do escoamento e
Tp a tensão de cisalhamento junto ã parede, tanto para o tubo
circular, quanto para o canal de placas paralelas. ·Além disso,
T = ( 1 + E:m) Tp \1
(I. 4)
é obtido a partir das definições de tensão de cisalhamento no
escoamento principal e na subcamada.
Neste trabalho, tanto os perfís de velocidade inter-
4
nos, corno externos do escoamento anular, sao obtidos a
das equações (I.l), (I.2) e (1.4).
b - Perfil interno
partir
Consequentemente para o perfil de velocidade na subca
rnada, próximo da parede interna do escoamento anular, vem
+ dv ,/,. Z 1
--"'-'i = ---------------- (I. 5)
válida para + + O < y. < y O • , sendo
1 "-1 quando +
Yi = O.
A parte correspondente ao escoamento principal do peE
fil interno, obtido através de (I.2a) e (I.4) é dada por
válida + para y .e.. 1
+ V = V z .
1.1
<
+
dz + . V z .
21 ---=
d +2
Y· 1
+ +
+ + z -K(dv /dy.)
Z • 1 21
1
dv; -~T 21
+ dy. 1
y. < 1 Ym. ' sendo
1
+ dv+ dv 2 . z zi 11 = z . e Zl + dy.
1
+ + Yi = Y.e_. •
1
+ dy. 1
(I. 6)
quando
5
c - Perfil externo
Correspondente à parte externa do perfil, podemos de
terminar duas expressões baseados nos mesmos conceitos que per
mitiram descrever o perfil interno.
A parte correspondente ã subcamada ~
sera descrita por:
válida para O<+< Ye +
Y,t e
sendo
(I. 7)
para +, Ye = O.
A parte correspondente ao escoamento principal dope~
fil externo também é obtida através de (I.2a) e (I.4) resultan
do:
d2 + + / + 2
vz -K(dv z2e dy e) 2e =
d +2 ,,; J 1
[;'. 2 Ye ___ 2e
d + Ye
(I. 8)
válida para + + + sendo Y,t < Ye < Ym
e e
dv+ dv+ + + z2e z1e
V = vz1e e = z2e d + d + Ye Ye
quando + + Ye = Y,t
e
6
As relações entre as tensões de cisalhamento nas equ~
çoes (I.S) - (I.8) são substituídas e integradas para a determf
nação do perfil de velocidade. Obtém-se essa relação a partir de
um balanço de forças no escoamento em tubos concêntricos, ou se
ja
para r. < r < r l. m
T
T. l.
e
T
=
=
r. (r 2 - r 2 ) l. m
r (r 2 - r~) m l.
r (r 2 - r 2
) e m r (r 2
- r 2) e m
para rm < r < re enquanto
= r. (r 2
- r 2)
1. e m
T. r (r 2 - r~)
1. e m 1.
(I. 9)
(I.10)
Necessitam-se, ainda, de outros parâmetros que se e~
centram nas equaçoes (I.S) - (I.8) e suas respectivas condições
limítrofes, ou seja:
+ +
y. y .e.. = l.
+ + l. Ym. + Ym
l. e
(I.11)
+ + Ye
y .e. = + + e Ym. + Ym l. e
(I.12)
onde
+ + + Ym. = r - r.
mt l. l.
( I.13)
onde
e
onde
r mt
7
+ + Ym = r - r e mt e
(I.14)
+ ITi/p r. = r
1 \)
(I.15)
ITe/p + r = r e \)
(I.16)
rmt é o raio de velocidade máxima turbulenta.
O raio correspondente ã velocidade máxima turbulenta
pode ser obtido através do produto do raio correspondente
ã velocidade máxima laminar obtida analiticamente e o parame-
tro 1, que relaciona os raios de velocidade máxima turbulen
ta e laminar. Este parâmetro, k, foi determinado experimen -
talmente em função do número de Reynolds para diferentes valo
res de b.
Logo, sendo
1
[ztn(re/ri)J 2
,ê:· raio correspondente ã velocidade máxima laminar, tem-se
1
[z.e~cre/ri)J 2
(I.17)
(I.18)
,r, Em recente trabalho realizado por Schmal et a1tJ fo-
ram determinadas correções para os parâmetros geométricos como
8
função do número de Reynolds, atribuindo a cada parâmetro um
polinômio que melhor se ajustasse ã curva de dados obtidos exp~
rimentalmente.
g possível calcular os parâmetros que se fazem neces
sários para a determinação do perfil de velocidade, conhecendo
se a relação entre os raios, b, e o número de Reynolds.
Note-se, também, que foram feitas verificações para
os casos de b = 1, 05 e b = 50 o que, do ponto de vis ta prático,
corresponde a um canal de placas paralelas e um tubo cilíndrico,
respectivamente.
Nesse trabalho utilizar-se-á os dados obtidos 4 por ,,
tanto na determinação do perfil de difusividade, quanto na de
terminação do perfil de temperatura.
9
CAPfTULO II
DIFUSIVIDADE TrRMICA TURBULENTA
Como visto anteriormente, a relação entre a difusivi
dade turbulenta de quantidade de movimento, Em' e o comprime~
to de mistura, l, dado pela hipótese de similaridade de von
Kàrmãnn é feito através de:
dv Em = pl2 z
dy (I. 2)
sendo
dv yd2v
l = K __ z __ z
dy dy 2 (I. Za)
No entanto, o uso da equaçao (I.2) estabelece que a
difu'sividade turbulenta de quantidade de movimento é zero, no
raio correspondente à máxima velocidade turbulenta, rm , t
A difusividade turbulenta de calor, e obtida a
partir da relação entre e
Assim, EH e diferente de zero, uma vez que o calor
10 ·
é transferido através de posições assimétricas.
A difusividadé Em pode ser descrita no escoamento
principal por uma expressão dada por Leung et al 5 .Verificou-se
que a mesma é válida utilizando os valores experimentais de Em
dados por Quarmby ,
Para a região próxima da parede é utilizada a expre~
sao de Deissler 9• Esta expressão, para a parede interna, é da
da por
(I 1.1)
sendo válida para
Expressão similar é dada para a região próxima ã par~
de externa, ou seja
sendo válida para
+ + O<ye<yl
e
(II.2)
É importante salientar a semelhança entre a difusivi
dade turbulenta de quantidade de movimento, Em, e a viscosida
de cinemática, v, dita difusividade molecular da quantidade de
movimento. Ambas têm a mesma dimensão e representam o mesmo fe-
nomeno, no escoamento turbulento e laminar, respectivamen-
11
te.
As equaçoes (II.l) e (II.2) foram obtidas por Deiss
ler! através de considerações adimensionais. Nesta expressão,
a difusividade turbulenta, cm' se aproxima de zero, somente
quando + y aproxima-se de zero.
~ A expressao geral, proposta por Deissler e:
Na região afastada da parede o valor da difusividade
turbulenta, cm, e descrito pela expressão dada por Leung et
al 5 para tubos circulares concêntricos. Foi baseada em expres
sao para tubos circulares dada por Reichardt 6 , que a obteve a
través de resultados experimentais.
A expressao obtida experimentalmente por Reichardt 6
para tubos circulares é dada pela seguinte expressão:
(II. 3)
As equaçoes propostas por Quarmby~ descritas para a
parede interna e externa são, respectivamente:
-\)
c m = + 2s1)
O 6 ./_;_ ' T.
l. B · (1 -
l.
•
onde
1 - ( 1 -
8. = 1
12
+
_1 e-Ym.) + l
Ym e
1 -
+ y. l
- e . l
sendo esta expressao, (II.4), válida para + + yi < Y1· < y ,e. m.
onde +
ª =l- Y-+e "e
Ym e
sendo a expressao (II.S) válida para
l l
+ + + Y,e < Ye < Y
e me
(II.4)
e
(II.5)
g interessante notar a diferença existente entre as e
quações (II.4) e (II.S) devido a um fator de multiplicação cons
~ tante I ~ 'e
Esta diferença torna-se necessária para .l:')iminar ,_. à.
descontinuidade existente entre as ve~ocidades máximas de cada
lado do perfil.
A descontinuidade i proveniente da diferença entre as
definições de velocidade internas e externas, uma vez que uma i
definida em função da tensão de cisalhamento na parede interna
13
e a outra em função da tensão de cisalhamento na parede exter
na.
Sendo estas duas tensões diferentes devido a nao ha
ver simetria em tubos concêntricos, as velocidades definidasde~
ta forma terão, forçosamente, que apresentar a descontinuidade.
Outro ponto importante de ser observado nas equaçoes
(II.4) e (II.S), é a presença dos parâmetros Ci e Ce• respecti
vamente.
Leung, E.Y. et a1 5 fizeram uso das equaçoes (II.1) e
(II.2) para cálculo da difusividade turbulenta de quantidade de
movimento, e:m' nas subcamadas e das equações (II.4) e (II.5),
com 'i e 'e iguais a zero para o escoamento principal.
O valor de e:m dado para + Y.e.
1
pela equação,,(II.1) é > .
igúal ao dado pela equação (II.4) para a mesma posição.
Descontinuidade semelhante ocorreu entre as equaçoes
(II.4) e (II. 5).
Os parâmetros 'i e 'e sao introduzidos nas equaçoes
(II.4) e (II.S) para evitar estas descontinuidades.
Logo, se a diferença entre os valores das difusivida-
des e:m calculadas no ponto comum às duas regiões, subcamada
e escoamento principal, com T. e T iguais a zero, for chama-1 e
do de t. (e:m) , tem-se~
t.(e:m). + + + +
(II.6) e. = (Ym. - yi)/(Ym. - Y.e. ) 1 1 1 1 1
14
válida para + + + y .e. < Y· < Ym. e
1 1 1
+ + + + ce = li (Em) (ym - y ) / (y - Y.e)
e . e e me e
válida para + + + Y.e < y < Ym e e e
Os valores de ll(Em). e 1
do-se a equação (II.1) da equação
sao obtidos subtrain
e a equaçao (II. 2) da
(II. 5).
Uma vez conhecidos os valores da difusividade de qua~
tidade de movimento, Em, podemos, através da relação do tipo
determinar o valor da difusividade turbulenta de calor, EH.
A difusividade turbulenta de calor, EH, na expressao
(III.4) é obtida introduzindo as expressoes para Em na expre~
sao para EH/ Em apresentada por J enkins ~ ou por Azer e Chao 1-.
A expressao dada por Jenkins~ baseia-se no tratamen
to do "vortice turbulento" como uma esfera de raio igual ao com
primento de mistura, l, a qual libera calor e quantidade de
movimento enquanto se move com uma velocidade v.
A expressao proposta tem a seguinte forma:
90 lv' a, 1 [1 -µ2ll2Ct J. 1 - E - exp EH li 6 Ct µ=l µ6 lv'
= Pr (II.7) 90 .ev' a, 1 [1 .-µ2ll2V J Em 1.- • E - exp li 6 V µ=l lv'
As expressoes propostas por Azer e Chao 7 sao obtidas
15
4 ', através de argumentos semelhantes aos usados por· Jenkins': re
sultando, entretanto, em ·equações.descritas em função do núme
ro de Reynolds e do número de Prandtl do escoamento.
As equaçoes sao expressas da seguinte forma:
1 + - o , 4 s [ + + o , 2 sl
135 Re exp (-yi/ymi) J =---------------__;;;.._ ____ _
1 + 57 R - O , 4 6 p - O , 5 8 [ ( +/ + ) O • 2 5] e r exp - Y· y l. m.
l.
válida para Pr > 0,6 e
1 + 13 5 Re - 0 '
4 5 exp [e -y: / y + ) o ' 2 5l
i m. J l. =
1 + 380(Re
válida para Pr < 0,6.
P) -o,ss [c+;+)º,2sJ r exp - y. y l. m.
l.
(II.8)
(II.9)
' Expressões similares is equaçoes (II.8) e (II.9)> sao ,)
obtidas para a parte externa do escoamento substituindo
e +
Ym. por l.
+ Ym .
e
16
CAPfTULO III
PERFIL DE TEMPERATURA
Análoga à análise teórica da transferência de calor a
partir da equaçao da energia para os casos de canal de placas
paralelas e tubo circular é feita a análise para tubos circula
res concêntricos.
O interesse principal sobre esta geometria está na
possibilidade de diferentes condições térmicas de contorno em
cada uma das duas superfícies de transferência de calor.
Além disso, problemas de transferência de calor, ne~
ta geometria, apresentam dificuldades nas condições de contorno.
Podem ser solucionados pelo método da superposição de soluções
fundamentais da equação da energia linearizada, tal como pode
ser visto em trabalhos realizados por Hatton e Quarmby~,,; para o
canal de placas paralelas e Reynolds, Lundberg e McCuen!;·
tubos circulares concêntricos.
para
Trabalhos anteriores sobre soluções fundamentais para
tubos circulares concêntricos foram efetuados por Leung et 5 al \.j·
17
e Lee e Barrow9 • Contêm hipóteses e resultados empíricos ares
peito da descrição do perfil de velocidade e da variação da
difusividade turbulenta as quais têm sido mostradas imprecisas
por Quarmby 2•
Lee e Barrow9 admitem que o raio correspondente à má
xima velocidade no escoamento turbulento é o mesmo que no escoa
mento laminar. Leung et a1 5 propuseram que a diferença entre
estas duas quantidades fosse uma função da relação entre os
raios dos tubos cilíndricos concêntricos.
Mais recentemente, em trabalho realizado por Quarmby~
é mostrado que o raio correspondente à máxima velocidade no es-
coamento turbulento,
tre os raios, quanto
r ' mt é dependente, tanto da relação en-
do número de Reynolds e que, co~sequente -
mente, o perfil de velocidade é, também, dependente destes dois
parâmetros.
Admitindo a hipótese da bi-dependência do perfil de
velocidade propõe-se, neste trabalho, determinar o perfil de
, 1 transferência axial e radial admitindo um fluxo de calor cons -
tante na. parede do tubo externo enquanto a_parede do tubo in,
terno está isolada, determinando o efeito da dissipação viscosa
no escoamento turbulento anular. Resolve-se a equação da ener
gi~ considerando a dissipação viscosa e as difusividades molecu
lar e de calor turbulentos variando com a posição. Considera-se
o escoamento em regiões distintas sub-laminar e turbulento.
18
Equação Geral da Energia
A equaçao da energia em termos das propriedades de
transporte, considerando fluido newtoniano e expressa em coor
denadas cilíndricas, apresenta-se da seguinte forma:
+ V z aT ) =
r az az,
= K [1 _!._ (r aT ) + 1 [r ar ar r 2
+ a 2
T] +
az 2
{(ave
+µ --
ª z
+ .:. av z )2
+ ( av z r a e ar
av )2
+ _..!. az
[~ (III.1)
As condições impostas ao problema específico, sao:
a) Fluxo de calor ·constante na parede externa do tubo;
b) Fluxo de calor nulo na parede interna;
c) No início do aquecimento a temperatura do fluido é i
gual à temperatura ambiente;
d) A condução axial é desprezada;
e) Introduz-se a difusividade turbulenta térmica EH;
19 .
f) Regime estabelecido.
Após estas considerações, a equaçao resultante e:
k[: ~ (r aT)] (ªvz f aT + 2µ - = pCvvz
r ar ar ar az
ou
a [/r ( r :: )] +
2µr
(ª;: f aT = vzr (III. 2)
pCV ar
A equaçao (III.2) aplica-se para o caso de escoamento
laminar e para as propriedades do fluido constante~.Para o caso
turbulento, introduz-se o termo de difusividade térmica turbu -
lenta, e:H.
Então teremos:
2µr + --
aT V r
z az (III.3)
onde -µ significa uma associação entre a viscosidade molecular
e a viscosidade turbulenta.
No caso em que haja variação das propriedades do flui
do, teremos:
(III.4)
~
A equaçao (III.4) e solucionada para as seguintes con
dições de contorno:
20
a) para z=O o fluido nao esti aquecido e encontra-se a
uma temperatura T . e'
b) existe um fluxo de calor uniforme e constante diferen
te de zero, qe, na parede externa onde, r = r ou e
na parede interna, onde desde que a
parede oposta seja isolada.
A equaçao (III.4) seri adimensionalizada definindo as
seguintes variiveis adimensionais:
r R =
V
e V
z
D
Para o caso de perfil de temperatura completamente de
senvolvido, aT az é constante, o que pode ser verificado a par-
tir de um simples balanço de calor. Consequentemente, a equaçao
diferencial radial torna-se uma equação diferencial ordiniria.
Em função das variiveis adimensionais,
: ~~ EH + _:_) RdeJ
R dR~ v P r dRj
= b - 1
2b
+ Ec • _2_ ( dv;_e ·)2 = . V + 2 dR
ze
(III. 5)
sendo r
b = ~ r.
l.
21
Considerando o fluxo de calor constante e tendo os
perfís de velocidade e temperatura completamente desenvolvidos,
pode-se mostrar que
onde 6e é a temperatura adimensional da parede externa e em
é a temperatura adimensional que traduz a temperatura de mistu
ra do fluido.
Esta igualdade verifica-se, também, quando o fluxo de
calor é fornecido ao escoamento através da parede interna.
Para aquecimento na parede externa, mantendo a parede
interna isolada, temos o seguinte balanço:
1
1
---,,--- ; ~
---
Znre q dz ~ fluxo de calor fornecido pela fonte sobre a parede
externa.
Assim,
d9 =
dz+
onde
çao numérica.
Solução Numérica
dv z
dr
podemos
1
Re Pr
e
-+-
22
fluxo de calor gerado por dissipa
ção viscosa.
escrever
4b Re • dv+/dR . X z
+ Ec • (III.6) (b+l) +2 + dz+ vz re
será o incremento adotado na solu-
Para solução do problema foi usado o método das dife
renças finitas de Crank-Nicolson.
chamando
Partindo da equaçao (III.S)
Ec•~ ( dv:e )2 =
· V dR z
= b - 1
2b
e
de
23
podemos escrever:
- - LR- + 1 d~ de~ 2
Ec•-+2 b-1 + + de -- V r
R dR dR
rearranjando, vem:
d 2 e L-- +
dR<2
L de
R dR
vz 2b ze e dz +
+ de
dR
dL
dR + Ec•-v-~-, ('::• ) •
ze.
b - 1 + + de = Th vzere dz+
(III. 7)
(III.8)
Aplicando, agora, o método de Crank-Nicholson na equ~
çao acima, temos:
= _i_Íce zh2L' r+l,s+l
(III.9)
:: = 4
1h[cer+l ,s+l - er-1,s+l) + Jer+l ,s - er'-1,s~
(III.10)
(II I.11) dR 2h
dz1 h (III.12)
24
+ + V - V
2 e r+l 2 e r-1 (III.13)
dR 2h
e
L = Lr
R = Rr
Então
+-- ce -e )+ ce -e ) + r 1 r-1 -Lr [ ~ ( L + - L ) 1 Rr4h r+l,s+l r-1,s+l r+l,s r-1,s Zh 4h
= (b - 1)
2b (e - e ) r,s+l r,s
+ -v r+l 2 e
2h
(III.14)
Considerando a parede interna isolada e, sobre a par~
de externa a incidência de um fluxo de calor constante, podemos
dizer:
por definição
e O
= (T -q D
Te)/--L k
r e R =
donde, para
(b-1) + +
r = r + R e
25
= R!1 qq z
1 =
dR e 2
de
+
(!II.15)
~ o na parede nula V zere = a convecçao e Zb dz+
2
2 ( d:~ ) = Ec o a dissipação na parede ~
nula • e +2 vz
Então
: ~ (1Rde ) = O R dR dR
d 2 e 1 de de dL 1--+ +--= O
dR 2 R dR dR dR (III.16)
Explicitando cada elemento da equaçao (III.16), em
termos de diferenças finitas, atrav;s do m;todo de Crank Nichol
son, podemos escrever que:
e + n + - + h
2 (III.17)
onde ,en+l representa a , temperatura adimensional na parede do
tubo externo.
quando
Para o tubo interno, vem:
r = r. 1
... R = R. 1
+ qq z
26
= o (III.18)
com desenvolvimento semelhante ao utilizado para obtermos a e
quação (III.16), concluimos:
e = e o,s l,s (III.19)
~ onde" e o,s e o valor da temperatura adimensional na parede do
tubo interno.
As equaçoes (III.16) e (III.18) sao as representações
formais dos efeitos sobre o problema das condições de contorno
impostas.
=
Voltando à equaçao (III.14)
~- e -2e +e + e -2e +e Lr[ · J 2h2 ( r+l ,s+l r ,s+l, r-1,s+l) ( r+l ,s r ,s r-1,s)
b - 1
2b (e - e ) r,s+l r,s
2Ec
+2 V
ze .r
(III. 20)
Agrupando os coeficientes de urna mesma posição e rear
ranjando, temos:
27
11r +
1r + _::_(
1r+l-
1r-l)llr + [
L2h 2 Pr•4h 4h 2h ~ r+l,s+l -- V r T Lr (b-1) + +~ h 2 2b ze; e. r ,s+l
+ -2_ _ r _ _ r r- T = __ r_ + r + _ r .. . , [
L L 1 (L +l-L l)~ ~L L . 1 (L +l-Lr-i'~ 2h 2 Pr•4h 2h r-l ,s+l 2h 2 Pr•4h 4h ,2h
•T -[-r+l ,s
'Tr-1,s (II I.~l)
Chamando de:
~r L 1
(Lr+l 2~ 1r-l ~ A + r + = r _2h 2 Pr•4h 4h
(III. 22)
Br = ~ Lr (b - 1) + r~
V 112 2b ze
(III.23)
G~: - Lr 1 (
1r+l ;h Lr-1 ~ cr = .
Pr•4h 4h (III. 24)
e
Drs= _ILr + Lr +...:..(Lr+l-Lr-l)~T _I_ Lr+ (b-l)v+ r;JT L2h 2 Pr•4h .4h Zh ~ r+l,s L h 2 2b z~ ~ r,s
(III. 25)
Substituindo as expressoes (III. 22), (III. 23), (III.
28
24) e (III. 25) na equaçao (III. 21), obtemos:
D r,s (III. 26)
Os coeficientes A , B e Cr sao constantes segundo a r r
direção axial, variando na direção radial.
O termo D varia tanto na direção radial, quanto r,s
na axial.
A sua variação na direção axial deve-se ao fato dele
depender dos valores de temperaturas calculadas em uma secçao
transversal "s".
Os primeiros valores de D r,s ou seja, os valores de
D sao obtidos através da condição inicial que, ~ostra .. ser r,o
e = e = o p/qq·~ r,o r,l
Através da equaçao (III.26) e com o auxílio da condi
çao inicial e das condições de contorno na parede interna e ex
terna, estabelecemos um sistema de equações que irá nos permi -
tir determinar o perfil de temperatura.
Assim, desenvolvendo o sistema a partir da
(III.26), podemos escrever:
equaçao
29
r=l A e + B e + e e D = 1 2 1 1 1 o 1 r=2 A2ea + B 262 + e e = D 2 1 2 r=3 A
3 e 4 + B
ªªª + e e = D
3 2 3
(III. 27)
r=n
Ora, de acordo com as equaçoes (III.17) e (III.19) sa
bemos que
+ - + 4R 4
e
h
2 e
qualquer que seja "s".
Aplicando as equaçoes (III.17) e (III.19) no sístema
(III.27) e, escrevendo o novo'sistema na ordem crescente dos
Índices das temperaturas, temos:
r=l (B1+C1)61 + AI 62 = D1
r=2 c2 e i + B262 + A2 e a = D2
r=2 cae2 + Baea + Aae 4 = D4
........... (III. 28)
r=n-1 e e +B e +A e =D n-1 n-2 n-1 n-1 n-1 n n-1 r=n Cn6n-l + (An+Bn) 6n = Dn
30
onde h2 + ~)
4 2
Para solucionar o sistema (III.28), faremos uso do Mi
todo de Eliminação de Gauss.
31
CAPITULO IV
RESULTADOS
Inicialmente foram determinados os perfís de velocf
dade para um número de Reynolds caracterizando o escoamento tur
bulento e para um valor do parâmetro geométrico b limitado para
o escoamento em tubo circular e escoamento em placas planas,co~
forme Fig. 1. Para Re 86 610 e para b=Z,88 e com base nos resul
tados do perfil de velocidade (Fig. 1), foram calculados os per
fís de difusividade da quantidade de movimento. Os resultados
sao bastante satisfatórios, já que não apresentam descontinuid!
de na região correspondente ã velocidade máxima turbulenta. Con
forme Fig. 2. Estes resultados foram utilizados para determinar , .,
os perfis de temperatura para Pr=l e diferentes valores de ES•
As Figs. 3 e 4 mostram os perfís de temperatura radiais para df
ferentes posições axiais, caracterizando especialmente a influ
ência da dissipação viscosa. A influência da dissipação viscosa
é marcante na região do escoamento turbulento próximo às pare -
des dos tubos interno e externo. A temperatura do fluido é bem
maior junto ã parede do tubo externo e cresce na direção axial.
' Na região central do escoamento, a temperatura do fluido é pra-"
ticamente igual a temperatura de entrada para qualquer posição
axial. Nota-se, pela Figura, que o perfil de temperatura próxi-
32
mo ã parede interna apresenta dois valores máximos. Não há sig
nificado físico para o caso e justifica-se o seu aparecimento~
mente devido ao perfil de difusividade, baseado em condições s~
mi-empíricas válidas para escoamentos específicos, já que aso
lução numérica é convergente e o método é suficientemente precf
so, conforme demonstram os resultados para o perfil de velocida
de.
Os resultados encontrados nao podem ser comparados
experimentalmente devido a não disponibilidade de resultados ex
perimentais para o problema específico.
Podem ser calculados os perfís de temperatura e o
método permite calcular, para diferentes valores de Pr, de Ec
kert e Reynolds. O estudo é extensivo para outras geometrias e
casos limites como tubo circular e canal de placas planas para
lelas.
33
CAPfTULO V
CONCLUSÕES
As expressoes para os perffs de velocidade e de difu
sividade turbulentos em camadas distintas próximas as paredes
dos tubos interno e externo são bastante satisfatórias e podem
ser utilizadas para resolver a equação da energia.
Devido ã dissipação viscosa, os perffs de temperat~
ra do fluido apresentam regiões com temperaturas mais altas
que a temperatura de entrada, próximas às paredes dos tubos in
terno e externo. O perfil de temperatura varia sensivelmente na
direção axial.
Os resultados do perfil de temperatura nao podem
ser .c.c~mparados devido a não disponibilidade dos mesmos na li te
ratura, mesmo para o caso limite de Ec=O. Além do mais, as con
dições de contorno deste estudo sao diferentes das apresentadas
para trabalhos anteriores.
34
REFER~NCIAS
1. QUARMBY, A., Int. J. Meeh. Sei,!, 205 (1967).
2. DEISSLER, R.G., NACA Report 1247 (1955).
3. SCHMAL, M., RUSSO, C. et al, Rev. Bras. Teen. i, 83 (1975).
4. QUARMBY, A. e ARNAUD, R.K., Chem. Eng. Sei., 24.
5. LEUNG, E.Y., KAYS, N.M. and W.C. REYNOLDS, Stanford Univ.
Eng. Report, AHT-4.
6. REICHARDT, H., Z. Angew. Math. Meeh. 31, 208 (1951).
7. AZER, N.I. and CHAO, B.T., Int. J. Heat Mass Transfer, 1
121 (1960).
8. REYNOLDS, W.C., LUNDBERG, R.E. e MeCUEN, P.A., Int. J.
Heat Mass Transfer.
9. LEE, Y. and BARROW, H., Proe. I. Meeh. Engrs. 178, 1 (1964).
10. QUARMBY, A., J. Aeronaút. Seo. 71, 47 (1967).
11. QUARMBY, A., Appl. Se. Pes • .!2_, 205 (1968).
12. ZURMÜHL, R. Praktrsehe Mathemathik Springer Verlag, Berlin
1965.
NOMENCLATURA:
r
R
raio variável
raio adimensional
z posição axial
T temperatura
35
Te temperatura de entrada
D Z(re-ri) Vz velocidade axial
cp calor específico
q fluxo de calor
vi velocidade adimens ional v 2/1../-iiP
r+ raio adimensional r Vr/p/3
z + variável axial adimens ional Z/D
y+ variável adimensional
• tensão de cisalhamento
v viscosidade cinemática
µ ~ viscosidade dinãmica turbulenta p
Ê ..... ~·
H k
e b
Pr
Ec
Re
SUBSCRITOS
i
e
1
densidade
difusividade turbulenta de quantidade de movimento
difusividade turbulenta de calor
condutividade térmica
temperatura adimensional (T-Te)/qD/k relação de raios
n9 de Prandtl
n9 de Eckert
n9 de Reynolds
interno
externo
sub-camada laminar
m posição correspondente a máxima velocidade t turbulento
36
APílND'rCE I
A adimensionalização da equaçao (III.4), segundo as
variáveis adimensionais estabelecidas neste trabalho, é detalha
damente mostrada neste Apêndice.
Relembrando nosso modelo matemático e as variáveis a
dimensionais propostas, temos:
R =
CÁLCULOS
r
r -r. e l.
= (T-T )/qD e k
aR =
+ z =
1
ar r · "'r. e _.1.
2µr
ac V
z
D
e
Podemos dizer que:
(ª:: r =
aT V r
z az
+ r e ·lr e/ p • r = e
V
V + z
V Z = -;::::::::::;::::: I T el p'
ae k )
e = 3T qD
(III.4)
37
ae ae ar = •
aR ar aR
mas ar
= (re - r.) aR l.
e ae ae aT
= ar aT ar
sendo
ae k =
aT qD
Portanto:
aT q.D ae =
ar k(re-r~ aR
chamemos
k(re - ri) aT = L e = X
q.D ar
Podemos, então, dizer:
ae = L•X
aR
donde
a2 e ax = L-
aR 2 aR mas
ax ax ar =
aR ar aR
sendo
vem
mas
Portanto
temos:
e
mas
ar
aR
ax =
aR
X
ax =
aR
Substituindo
=
38
= r - r. e l
ax (re - r.)
l ar
ôT =
ar
a2 T (re - r.)
l ar 2
q.D
k(r -r.) 2 aR 2 e 1
Para a variação de temperatura, segundo a direção z,
= az D
ae ae az = --+
az + az az
as ae aT =
az aT az
ae k = portanto
aT qD
então
mas
e
mas
portanto,
mas
portanto:
39
ar q ae =
az + k az
Para o gradiente de velocidade, vem:
+ avz 1
= avz Í-rfp e
av+ + avz ar z = •
aR ar clR
ar = re - r.
aR 1
+ + avz avz av z
= ar avz ar
av: 1 =
dVZ h: el p'
IÇ{p + avz av z
= • ar (re-ri) 3R
+
,r.crr; = vre
e re
=
40·
+ vr e
3R
Substituindo estes valores adimensionalizados, na e
quaçao (III.4), obtemos:
a [ ZRq ae~ - (EH+cx)- - + 3R k 3R
q ae R(re-r
1.) - -
k 3z+
_,. 3v; )2
=
3R.
Após alguns algebrismos, tem-se
1 3 [ EH 1 ) 3Bj
µk V 2 1
( 33V} r 3R(-;+Pr R3R + _z_.
R vpCpq +2
(re-ri) vz
+ + ae vz re = • (re - ri)
Zre 3z+
=
Multiplicando e dividindo por 2 o 29 termo do 19 mem
bro e,-considerando que
qD re = nT D = Z(re-ri) e b =
k r. l
vem:
1 ~[(EH + _:_) R 3~
µ v2 2 ( av; r z + • =
R Cpnt +2 3R v P r 3R VP vz ílR
temos:
= b -1
2b
Como
+ + vz re
µ = 1
Vp
~ ~~EH+~ )RôJ R aR " p aR r
ae ôz+
. v2 e z
Cpti t
2 + Ec--+2
vz
= Ec (número de Eckert)
.
( a3v:)
b-1 ae + + = V r b z e az+
zendo
nal de
. 4 2
APflNDICE II
t r .~(~'.!;~~)
!-----~"
1 1
-----·
· 1 1 rr. ].
- I __ _
dz
Balanço de Calor no Interior do Tubo Anular.
dT m
Dividindo qD
= kdem,
os dois membros da equaçao por
tem-se
qd qD de = rr(r 2-r~)v pC - --.!!!
dz + e 1 z P k dz +
e
Dividindo e multiplicando a parcela a direita do
igualdade por r~ e 1
r2 e ' vem
(b-1) qd t2-1) qD dern
4rrr! b q + = v pC rrr 2 -- ---dz+ z p e b2 k dz+
fa-
si-
43
Desagrupando
colocando-o ã esquerda
dem
dz+ dos demais elementos da .equaçao e
do sinal de igualdade, temos
portanto
mas
k 4b = +
(b + 1)
Sabe-se que
=
RePr
L
RePr
4b • ---+
(b + 1)
qd = n(r 2 -r~)v µdv /dr e 1 z z
Substituindo em (A-11.5), temos,
de 1 m
= RePr
Se substituirmos na (A-11.6) k qD
r2 e
r~ 1
por
plicarmos e dividirmos por vz, teremos:
dem 1 =
dz + RePr
rearranjando, ve-se:
4b v~µdvz/dr ---+ (b + 1) pv 2 C llTdz+
z p
1
llT e se multi
44
de 1 4b . .;;2 . µdv /dr m • + . z = • --+
RePr (b + 1) C llT 2 dz + dz
p pvz
mas
+ d + µ dvz re. vz = \) = p dr re(re-r) dR
e + 2 + v 2v r
y2 = z e z r2
e
decorrendo destas igualdades, temos a seguinte equaçao:
4b
(b + 1)
+ Re dv /dR + E X z
e + + v ~r+ dz z e
-~ ,.
EC( U)
_ 961499 E ,1. 02
600 1000
FIG: 2
PERFIL DE DIFUSIVICI/.IDE
TÉRMICA
RI= 86610
Pr = 1,0
b = 2,88
1500
30 -
o.
24
15
.
o 500 1000
FIG: 3
PERFIL DE TEMPERATURA
Re = 86610
Pr = 1,0
Z+-= 100
Ec = 0,1
/ -
li!oo 2000
;ioo,1....--------------------------------------------------, 279
225
160
112
75
•
' o 500 1000
FIG: 4
PERFIL DE TEMPERATURA
Re =86610
Pr= IP z+ = 100
Ec = o,5
,.-
.
. 1500 2000
4000
3000
2000
1000
150
Rc = 86610 b = 2,88
.. Z
. ,.
@) 216
@ 270
®
500
50
PERFIL DE TEMPERATURA
1000 1500 y+ 2000
FIG 6
o C(
w z <
' -, < w~ o~
"' o~ -W C( ...
w
ºº º"' <.> ..J ;: <::, C( ~
w" d8 Ww lL o
wo 1 o~
<u a·=> _z (/) C(
w > z ::J
1 _ O i ·,·,<:!,
w z < -, < w ~. a~
"' o~ -W C( ...
w
FILE FILE FILE
t670G/tl77(J0 -t LJ h--T R A~ i:-u M !' l l .~ l I e N
lE=SALVA,UNIT=DISKPACN,RECOfD=160C,AREA=I a=CARTOE5,UNIT=REAOER
5:LAG5,UNI1:PRINTER F l N CT íON O Jf I L < YI , U I. PUS O J CCMMO~ Xl,Xi,XS,X6,X3,X4,XN2,X8,X9 OlFIL=XNZ*Ul•Yl•(l.·EXP(•XN2•UI•YIJJ RETUR~ E~ O
M A M K 2
o cr w z < .., .. w!:! oz o
"' o~ -w cr .,
w
ºº o .. <>
..J i < :, cr o. w:,; 08 Ww u. o
wo ow
.J <o o.:, _z C/)
cr w > -z ::)
~ -
1 O . cr w z < -, .. w!:! o~
l o~ - w cr .,
w
Oo o .. <>
..J i < :, cr .. w:> 08 ww u. o
wo o~ <o o.:, - z C/)
cr w
! >
.f
z ::)
2
1
B 1 g1 ~ ~ ~6 ~ t. v ter~ ~ l t u ~ • H , ,. , n , r 1 • u 1, u (Jl • v t(J
CCMMO~ D2,h0,X5,X6,X3,X4,X7,X8,X9 H,=H/2,0 Y= YI U=UI Ol =CU I DC 1 I=NO,N OC 2 J=l•~ A/\=H2•FON( Y ,U,OUJ 8 ~ = H 2 • FO N ( Y + H 2, li+ H 2 • ( OU + A N / 2 • O l , CU + ,\ N > C/\=H2•FON( Y+H2,U+H2• C QU+~N/2 ,Ol ,OU tBNJ O/\=H2•FON(Y+H2,U+HZ•(DU+CNJ,DU+2.0•CNJ Y= YtH U=U+H•{OU+(~N+EN+CNl/!.01 Ol =CU + ( A N + 2 • C.,. E N + 2. 0 • C N + O t, J / 3 • G CCNTI ~UE VECC I l=U C(NTI~UE D,:cDU iHTUR~ E/\ D
P. 53 --- ----íl]~81Fl ~; xI~ ~~T~~ ff~~ (1f;}o~~ x· N 2 ~r-~:-y;: l~X l.0;;; i- ,R ( ; ~13. R~ T- ..
RC=El•Rl A=C.2C2095E 02 8=0.1H•08CE·03 C= ·(). !. E3ó6 7E·09 D=C.7 lOOHE·lS E=O.(i F=G.O RC ~=RE /( A +B•RE + C•RE• • 2+D*R E•* 3+E•RE• •, +F •RE **5 l A=0.9!7841 B=0.4,f:264E 03 C=·C.578l~~E 07 D=C.519342E 11 E= ·G • 1 54 .3 l 9 E 15 R=l.Q/RE F~=~+f•R+C•~••2•D*R•*3•E•R••4
1 A=0.1.:5899E 02 IfCRE·SBOGC.G>l,1,2 B=0.1<96l7E Ot C =O. 5 S 56 9 7 E O 9 D=·il.S959ó4E 13 E=v.146292E 17 YLI=A+8•R+C•R••2+D•R••3+E•R••4 R= l•O/RE GC TO 3
2 YLI=lS.15 1 RrT:F"*(SQRT((R0••2•qI••2l/12•Al0GIR0/Rl)J))
Al=RMT/Rl Yi'Ü=( l·Al/ElJ•ROH I F ( Y M C -s 2 C • () 1, , 4 , 5
4 A=·O.E88057E·02 8:(;.2C2633E-03 C=·C. 731127E·OE D:G.!210!1E·C8 E=·C 7i;Q243E•l2 X~2=Õé•fMO•C•YH0••2+C•YM0••3+E•Y'C••4 G( TO 6
< X~2=(l.Ol5s E C[ N S T = SQ R T ( 1 8 1 • 1 A 1 u 2 • 1 l J / ( E 1 • • 2" A 1 • • 2 > J
Y f I = C C A 1 - 1 > / 8 li * CD N S T •ROM RlM=CCONST/tl)•ROM WnITEC5,3GC1J R0,Ul,F.CH,FK,YLI,RM1,Al,YMO,XN2,YMl,RlM
3 00 1 FC R ~ A T C / , 1 C X., l 1 CF 11 • U , / J --R+-TU-R-11- - - .. - ·- ·- - . ····--·-- -
E~D
o a: w z <(
-, <
w~ o~
a: o~ -w a: _,
w
ºº º"' (>
..J ;: <( ::, a: o.
w" 08 ww u. e
wo o": <( " o·:> _z
"' a: w > z :::,
1 o 1 a: 1' -. w
z <(
·1 "'1<(
1 w ~ 1 o~ ! o~
-W a: _, w
ºº º"' (>
..J ;: <( ::, a: o.
w " 08 ww u. e
wo O": <( " o·" _z (/)
a: w > z :::,
P. 54
o a:: w
1 Z .. -,
< w',l o .;
"' o~ -W a:: ~
w
ºº º"' <.> ..J :: .. :, a:: ~ w " 08 ww u.. " wo ·o~
..._\ 1,
1 1
.. " e·i C/)
a:: w > z :::,
. 1 1.,J? 1 ,.
1 w 1 z 1 .. 1
-, <
i w',l oz
! o "' o~
-W a:: ~
w
Oo
º"' <.> ..J :: .. :, a:: ~ w"
.! 08 Ww ~I u.. "
~I wo â1 ow ~I
~ .. " ~(
o.:, _z ~I C/)
a:: "' w s· >! > ;;:;i z .. :::, ·1
~ .f
tH~~6~Ll~1 ~~~! r~ l!~'tk ~x3,x4,xN2, ~ª. ,9 -------º f R I 5 = ( ( ll H • C C ( Y MI+ R I n * * 2 J • C C Yl + R IM l • * 2 > l l / ( ! YI + F IM J * ( C Y M I + R 11': h
$ 2 • C ( R I M• • 2 l )) l / C 1 • IJ + X li 2 • U í • n • C 1 • O· E XP C - X Nz • U J .Y I l l l l RETlJRi E~O
--- ~rE ~~º [º~ 1 ~ ~ ~ ! ~~T!~ ~~=~~;À 4, ,7·; X;, x_s_,,,, - --·· _P._55
O E R I 6 = C ( • ~ • 3 6 J * ( ou I * • 2 l l / S Q R T C ! !R I ~ • C C C Y ~ I +RI ~ h * 2 l - C ! YI + R IM l * • 2 l $ l 1 (( Y I +RI M l "'C C Y MI+ Ri M l u 2 • C ( R IM** 2 l J l l l • D U l l
RE !UR~ 00
o ([
w z <( ..,
< w~ o~
a: o~ -W ([ ...
w
ºº o .. (.>
..J :: <( :, ([ o.
w " o3 Ww u. o
wo o~ <( (J
o·" 1 - Z
C/)
'1
1 -1
([
w > z ::,
o ([
w z <( ,.,
< w~ o~
a: o~ ,...;. w ([ ...
w
ºº º"' (.>
..J :: <( ::, ([ o.
w " 08 ww u. o
wo o~' <I'. (J
º"' _z C/) ([
w > -z ::,
f: e ~~D ~ u~ 1 ~ k 2 ~ ~ s ; V&~ f ~ e J R o M, X 7 , X F., X) O E R O 8 = < < - O • 3 6 > * C U O** 2 > > / S Q R T ( ( C ROM•< < C R O,., -Y O J • *2 J - C C R O /1- Y ~-O > * • 2 l J )
$ / C ( R O ~ -y Q l • C C ROM ** 2 J • ( < R O 1( • Y MC- J • • 2 l l J l -u G l R(TUR~ E/\ D
i à l ~~~ ~ i Ó~ t V~ e t ~ fl) ó i ~ ~ f fl f f, ~d j VL L, H • v t_l , H t Y, ~ i< , , , il ~ , u u , v t L I i1 J 1 CCMKO~ X1,X2,Y"I,RIM,X3,ROH,X7,Xe,YLI 1 Y=Yl 1 U=UI ! o O( 2 l=NO,N
a: Y= Y+H w U:VEC<ll z IFCFR•t\.6l3,4,'5 < 3 T=3EO•REY••<·o.sa> '• GC TO 4() w ~ 4 RE TUR ~ 0 z e T-=57•eEY·••<·C.46l ~ GC TO 40
~!;; 4C A:((1.•l35•REY1t•(·1;.4~l•EXP(·CY!tYnl••0.25ll/(1.+T•PRu{{l.58l*EXP a:~ H•{Yl/YM!J .. C.25lll•FANCY,U,DELT!l>
w Vl:T<Il=A Oo 2 C(NTI~UE o~ RETUR~ _,;: E~ O
• 1
.. ::, a: ~ w~ 08 ww u.. o
wo o~ .. u o·::i _z C/)
a: w > z ::J
-, --1
1
i 1 o 1 '<'-!= 1 w 1 z ..
-, . w~ o~
a: o~ - w a: ~
w
wo 0W
~ .. u o·::i _z C/)
a: w > z ::J
.f
... -- -''fff~~~ ~TM.1 E V E&~ Çõf.y°'' H ·' y ! • Ul,K ;·N' VETJ C(MMO~ Xl,X2,X5,X6,X3,X4,X7,X8,X9 Hé=H/2.0 U=UI Y= YI DC 2 !=1,N Tl=H•FONCY,Ul T,=H•FONC Y +H2 ,U +Tl /2 .<)l T!=H•FON(Y+H2,U+T2/2.0J T4=H•FON(Y+H,U+T3J U=U+{ Tl+2.C•T2•2.0•T 3+T4l/6.Q Y= Y+H
2 V E C C I J =U RETURK E~D
P_. __ S 7
b 1
1
1
1 O i 'i~~ ' w
z ! <(
-, ~ w!c?
1 o~ 1 o~
- '" a: -' w
ºº º"' <.> ..J :: <( :, a: ~ w" 08 • ..i w w
"!i u. o •I t: ~i ~I 51 i"I ~I ~i .. .,
wo ow -'
<( o o,:, _z (/)
a: w > z :::,
o a: -w z <(
-, ~ w!c? oz o
a: o~ - w a: -' w
ºº º"' <.> ..J :: <( :, a: ~ w" 08 ww u. o
e
e
~)~~~~\bílf P~Y\1;~llt1f~tff~;oií ~;~t~ L vc 1> ,C( 1l C(M~O~ X1,NO,XS,XS.X3,RCM,X7,X8, XS,Bl,Xll,RO,FI,)14 DC 51 !=NO,~ A 2 ( ! J = ( < P < I J / ( 2 * H * * 2 J l + ( P < I ) / ( ( Y C I J / ( F G - R I> l * ( 4 • H J J J t ( 1 , / ( 4 * H l > • ( P
$(1+1)-P< l-llJ/C2•HlJ B<Il=C-CPCil/H•*Zl-CCE1-l.ltC2•B1l>*CUC!ll•RO~J . C C Il = C (PC I l /( 2 • H * * 2 l l • C F C I ) / C C Y C l J / C R C ·RI ) l * C 4 •H ) l l - ( 1 • , C 4 • ii l J ..C P {
•I•ll•P(!•1JI/CZ•HJJ O C Il = • C 2 * E C/ U C l l J * < ( U C l + l l • LC I • 1> l / C 2 • H l .l • * 2
51 CCNTHUE RfTUR~ Ehü
-nY~r~!ílbílEr~~~~rg&~! ~Hí 1r,óU1~lr< 160(!~3) - . C(M~O~ Xl,X2,X5,X6,X3.,X4,X7,X8,X9 T~ UN(ULARIUCAO DA ~ATRIZ DC 2 ~=1,N C 1 C lí , 1 J = C I < K , 1 l / C I < K , 2 J Cl(K,3l=C!CK,3l /CICK, 2l T!C~>=TICKJ1CI<K,2l ClCK,Z,=J.,( IFCK-~J3,z,2
! CCNT!~UE I=K+l C J ( I , 2 >= C I C l, 2 l - C I C I , 1l • C !C K, 3 l T lC I l =TI< I l ·C !( I, 1 h T l C K l CJCl,ll=O,G
2 CCNTI~UE B~CK SUBSTITUTION fEMPC~l=Tia) DG ~ I=1,N·l L=N·I
5 TEMPCLJ~TICLJ-CICL,3J~TEMP(L+ll R E TUR ~ E~O
.,
P_.___58
o a: w z "" ..,
" w~ oi
o: o~ - w a: _,
w
ºº o .. o
...J ;:
"" :, a: "' 1 w :, 08 Ww
1 U. O
. ' 1
1
1 1
1
1
1 1 1
1
~I ~I ~I ;; : ~/ ~I gl " 51 ~I ~I
. ' ;i
wo O": "" () o.:, _z (/)
a: w > z :::,
o a: -w z "" ..,
" w~ oz o
o: o~ -W a: _,
w
ºº o .. o
...J ;:
"" :, a: o. w :, 08 ww u. o wo ow _, "" () o.:, _z (/)
a: w > z :::,
~ -
bTÀrl[ta·No ~ri ~0 P,Fj~ óf f~6~9 ~õl?t iijr~81~-~l{B"FrlJ1; HJF lf f ra;r;-;-H 1.60(; i: $ V E TO C lCO 9 J , A 2 < 1 6 üO J , 8 C 16 U ú l , C C 160 G l, D <l 6 <J { l , TE ~!' < 1 60 v l ,p ( 1 6 O O > , C I < $ lé 00, 1 l, TI C 1E 00 l, AI< 1 EO O J
C(Mrnh 02,NG,Y~I,RH',YMO,RO~.xN2,F~,YLI,e1,Al,FO,RI,R~-T REAO <8,999> LUCI
999 FCR~AT<lll IF (LUC! )59,60,59
59 REAOC 18) TE~P READC18lU RfAC.C18JA2 REAOC16l P RE AO( 18> C RE AC( 18) B READ(18l Y RE AD( 18)0 REACC18l81 READ< lBJRÕ REACC!BlRI N= 997 K~ = l R ( M= 3 2 4(\, 5 7 E 6 B e H=2.!E9724328 H(=Z.169724328. EC=l.C REWINC(18) G C TO 3C
{;: 6G DC í2786 L3=1,2 . READC8,6ll El,RE:Y,Rl,FR
e
c
e
61 FCR~AT(4F!0.3J Ctll ~EL~l(El,REY,RIJ YlD=YLI CILCULANOO CONOICOES DE CONTORNO NCS PONTOS YLI E YLO H = Y L I I 20 • G Y I =C. C U i =G. C K= 1 N:20 CPLL RKSHCOERIS,H,YI,UI,K,N,VELISJ Ctll FKSM( CER07 ,H,Y I ,UI ,K,!';,VEL07 l Yl=YLI Ul-=VELI5C2C>
P. 59
O ER IV= ( C R H * C C C Y MI + fi H J .... 2 J • < < YI + R IM l • • 2 l ll / C C VI + R IM J • ({ n: I +RIM J • • i 2 • « R IM•* 2 ll l l / < 1. O+ X~ 2 * U l • Y I • C 1 • O •EX P C • X N2 * U J * Y I l l l l · ·Yfr=YLI: ·
U C = V E L 07 C 2 C l OE R O V= C C R O~• ( < C ROM - Y O J • * 2 l • ( ( ROM- Y ~ O l • • 2 l l l /{ C F O~-· Y O l • (( R O~•• 2 J • C C
$ R CM· Y ~O> • • 2 l J l J / C l • C + C X N Z • U C • Y O .. C 1 .i: • E XP C • X ~2 • uo • VO l l > J WRITEIS,231> VELI5<20l,0[RIV,VEL07C20l,OEROV
231 F(R~AT('l',TlO,•VELCClOADE ~o PONTO YLI E IGUn P•,4X,E13.6,5~,·cu IJP DERIVADA E IGUAL A•,4i,E13.6,//,T1D,'VEL0CJCACE NO PONIG YLC E 1HUAL A1 ,4X,E13.ó,SX,•CUJA CERIVACA E IGUAL A•,4X,E13.6l
c,LCULO DAS VELOCIDADES NA CAMADA INTERNA LAMI~AR ZEIA=(YMI•vro,,1co.c ZE TAl=YMI /2.0 H(=ZE[MlC H = HG NL.=IF IXC YL I;H l N=NL Yl=G.C K = 1 Ul=G.G CPLL RKSM( CERI5 ,H, Y I ,UI ,K,N,U) CCMECANOO CALCULO Nã CAMADA INTERNA TURBULE~Tt Hl=l(~+ll*HGJ•Ylí NC=NL+l H= HT N:NO K=l Y I = YL I U l=VEL IS< 20 Dl=DE~IV Ctll ~KN04<CERI6,H,~,K,YI,Ul,OU,U> H= HG K = 1 Yl=~"HG Ul=UC~l Oü =.02 NC=N+l N = 10 N; 4=N CILL RKN04(DERI6,H,N,K,YI,Ul,OU,U) Hl l=rl K= 1 YI=~*hG UI =U C U Dl =02 NC=N+!
··N = 206 · N:; 5 =N • NS 4
1 ..
o I ·(~ 1
1
!
!]1 J ~! ~[ ~I ;1 Õ!
~i ~I ~I .,
1
1
1
1
1
1
1 _[
1
1
w z <(
-, .. w ,? oz o
ac o,_ -W a: -' w
ºº º"' o _J .. ,_ <t::, a: o. w"' o2 ww lL o
wo ow
-' <( (J
o·=> _z (/)
a: w > z ::,
~ .
o a: -w z < -, .. w ,? oz o
ac o ,_ -W a: -' w
ºº º"' o _J;:. <( ::, a: o. w"' o2 ww lL o
wo ow
-' <( (J
o·=> _z (/) a: w > -z ::,
~ -
o a:
e
e
N l = IF IX ( ( Y ~ I - Z E TA 1 l / H l NC=N+l Yl=ZETAl HT2=H K=l OU=C2 Ul=U{~) N:NT+CN0-1! CILL FKN04COERI&,H,N,K,YI,UI,OU,UJ N~ 6=N RTITO=(RIM*Ell/ROM OC 1259 I 7=1,N UI I7J =CU( I7ll*RTITO
1 2 5 9 C C N TI ~ UE N~7:N56-ZC6 Wfi!TEC5,126Cl l<S,4,HG,~55,HTJ,N57,HT2
126C FCRMATC///,TlO,•NUMERC OE PCNTOS Nft CA~ADA INIERP~ ATE ZETA E !EUA $L A',4X,I4,fX,'C0H STEP IGUIL A1 ,2J,F7.4,//,f10, 1 ~UMERO OE PO~rcs $NI CAMADA INTERNA ATE ZEfAl E [GU-l A1 ,3X,!&,ex.•cor STEP IGUAL A• $,iX,F7.4,//,TJ0, 1 NUPEFO OE FONTOS ~A CAMADA I~TER~A ATE YMI+ E IGU tAl A1 ,4X,l4,eX,•COM STEP IGL;AL A',2X,F7.•l
N58=791-N56 W fi 1T E C 5, 1975 l N 5 4, H G , ~ 5 5, H T 1 , ,, 5 e , H T 2
1975 f(R~ATC///,TlO,•NUtffRC OE PCNTU5 NA CHIADA EXlER~I ATE ZETA E HUA; $L A•,4x,1,,ex.•coH STEP !GUPL A',2X,F7.4,//,T1C, 1 ~UME~O OE PONTCS · • N t e A K AD A E XT ER NA Ar [ z E r A 1 E l G u A l A ' • 3 X , l 4. E X •• e o M ~ TE p I G u A l A • 1
$,,X,Fl.4,//,TlC,•NU,EFD l.lE FONTOS ~A CAMACA EJTEF~A ATE Y,~(•+ E IGli ZAL A•,4X.I4,8X,•COM STEP IGUAL A1 ,2X,F7.4,///)
WRITUS,400 02 ~O( FCR1AT(T3G,'OERIVA0A NO PONTO PROXJMC A Y~I•,~X,El3.6l
Y<ll=HG 0( 33 I=2,N54 YCil=YcI-lJ+HG
33 CCNTHUE N54=N54+1 DC 75C I=NS&,206 Y ( I l = Y C I - 1 l +H Ti
/50 CCNTI ~UE DC B54 I=2C7,792 Y{ll=Y<I-ll+HT2
1:154 C( NT HUE ·- -·j-:"9>7-CN54-1)
0( 49(' 1=793,J Y( IJ=Y<I-1 l+HTl
490 CCNTI~UE J= j + 1 DC 45, I=J,59.7 Y(I).:Y<I-1l+HG
t,52 CC IH l ~UE c,LCULO DAS VELOCIUJOES NA CAMADA EXTERNA LAMl~AR Y I =C. C H= HG N:NL K= 1 u l =<. • ç CILL RKSM(DER07,H,YI,UI,K,N,VELOCI Hl=CC~+lJ*hGJ-YLO NL=N+l CCMECtNDO O CALCULO NA CAMACA EXTERNA TURBULEITA H= HT N=NO K: 1 Yl=YLC Ul=VEL07C 2Cl Oc=CEROV _ CtLL FKN04COER08,H,N,J,YI,Ul,OU,VEL0Cl H = HG K=l Y l=N*HG Ul=VELOC(Nl DL=02 N ( =N + 1 N=l( CALL RKNG4(0ER08,H,N,K,YI,Ul,OU,VELOCl H= HT 1 K = l Y l=N•d'G U l = V E L OC ( N l DL =C2 NC=N+ 1 N = 2C 6 CPLL FKN04<0ER08,rl,K,N,Y!,Ul,DU,VELOCJ H=HT2 NT=IFIXCCY~O-ZETAll/Hl NC=N+1
P. 60 . --- ·-·-·
l 1 i
1
- · - ·-- ·--Y·J-= 2i'i-At··-· K=l 0L=D2 U l = V E L !JC C N J N=NT+CN0-1) Ctll FKN04COER08,H,K,K,Yl,UI,DU,VELOCJ ~~J!~~~._60~~-º2 ___ • ··- -- -- ---
1
1 .[
1 1
z < -, <
w" oz o " o~ -w a: .., w
ºº º"' <> ..J ;: < :, a: o. w :>. 08 ww lL o
wo ow .., <u o.:, _z (/)
a: w > -z =>
~
o a: w z < -, <
w" o.; " o~
-W a: .., .w
ºº º"' <> ..J ;: < :, a: o. w :> 08 ww lL o
wo o~ <u o.:, _z
1 (/) . a:
/
w > z =>
o 1: ·r~:~
w ' z ' < i ""')"' 1 w',l
_ I_Q;"
N78=NS6+1 M=N N=N56 +N DC 10 Kl=N78,N U C~.1) =VELOCC ~.) M=M-1
10 C(NT r,~uE WHITE (5,532>
532 FCRMAT</t/,T48, 1 VETOR TOTAL DAS VELOCICACES•,t//l WRITE(5,23CC>REY
2l00 FCRMAT(T!S, 1 ••••••••••••••••••• PAFA REY~OLOS ••••••',2X,FtD.O,/// $)
H= HG U 1 =C Yl =C NC=1 IH= F I XC Y L I/H J N= NL CILL FHENO(CIFIL,N,YI,Ul,U,r,A,REY,PR,T,t,C,OU,CEM~ll HT=C< f'i+l >•HGJ/YLI H:HT NC=Nl+l N=NO Yl=YLI Ul=UC~l D f MI\ I = ( l • / 1 5 • ) * C 1. - A l / B 1 l * R CM•< 1 • - ( 1 • • Y LI / Y M l l ** 2 l • ( 1 • +2 * C 1 • - YL I / Y
$Ml>••2l•<l.+C.6•SQRTC<CRI•CR0••2-R,T••2Jl/lRO•IRMT••2-RI••2lll•Cl. I-Yl!/YMIJ•Cl.-<1.-YLI/YMillll•<l.·<1.-rMI/YPOl•<l.-YLJ1YMIJl-X~2•Y ill•UI•Cl.·EXP{-XNZ•YLI•Ulll
Cftll fiHENOCDIFIT,N,YI,Ul,U,r,A,REY,PR,T,NO,DU,CEf~IJ H=HG Yl=N*HG Ul=U(U NC =N + 1 N: 10 N:4=N
--€-Hcl-H-lf:.NO (OI F rhN ,Y I, UI ,U, h A ,REY ,P·R, T·..T'iG, OU, CE~ 1 l) · Hll=H Y l=N•HG UI=U(~l N( =~ + 1 N: 20 6 N:5=N-N54 CPLL FJ.JENO<OIFIT,N,YJ ,UI,U,~,A,REY,PR,f,ti(,OU,OE~~Il p 61 Nl=lFIXC{Y~l-ZETAll/Hl · NG =N+ 1 Yl=ZETAl HT2=H Ul=UC~l N:NT+CNO-ll Ctll FHENO<DlFIT,N,YI,UJ,U,H,A,REY,PR,T,NO,DU,CE~~IJ
e C/LCULD DA CIFUSIVICACE DA ,uANTIDADE OE ~UVI~ENTC NA CAMACA EXIER C NI LA~INAR
H= HG U!=Ç.(. Yl=O,G N( =! N=NL CALL RHENO<CIFOL,N,Yl,Ul,VELOC,H,VETO,REY,PF,1,N[,OLl,DfMNCl HT=CCl+ll•HGl·YLO NC=N•l H: HT N=NO Yl=YLC Ul=VELOC(Nl DEMNO=Cl,/1~.J•<l.·Al/Bll•RCM•<l.-lt.-YLG/Y,Ol••Zl•ll.•2•11•Yl0/Yr
$ O J ** 2 hC l. +C. 6• 1 1. • Y L U Y MO l • C 1 • - C 1 • - Yl OI Y ~O l J l ·X h 2 • UO • YL O• C 1. -E) PC $•)N2•ü0•Ytüll Clll fiHENOCClFOT,N,YI,UI,VELOC,H,VETO,REY,PF,l,NC,OU,OEMNO> H= HG Yi =N•HG U l = V E L OC ( N l NC =li+ l N= 10 CPLL ~HENOCCIFOT,N,YI,UJ,VELOC,H,VETO,REY,PF, T,NC,DU,DEMNúl H: HT 1 Yl=N•HG UI=VELOC<Nl NC=N+l N= 2C 6
- - - ~1; 1 LL-ii HE-NO { C l F O'ttN, Y l, U b VE lilC-, rl-,VE+O, REY-,rf'RrT ,·N C ,·OU> llE-M-N [r) H= HTZ Yl=2ETA1 N T = IF IX e ( Y ~O• ZE TA 1 l / H l N C =N + l Ul=IIELOC{ NJ N = N T +e NO• 1 J Cill fiHENO(CIFOT,N,YI,UJ,VELOC,H,VETO,REY,Pfi,l,NG,DU,DEMNOl Nt8=N:6+1 M:N N=N56 +N 0( 20 ~.l=N7e, N
_A(KU=V_UQ(U _
"' o,_ -W a: -'
w
ºº º"' <> ...J::: < :, a: ~ w"
t o g ~I W w
1 u. o I W o
O":: <o Q .:, _z (/)
a: w > z :::,
, , ..
1
i. -1
o a: w z < -,
< w~ oz .o
"' o,_ -W a: -' w
ºº º"' <> ...J::: < :, a: ~ w:ll
' 08 •' ww ~! u. o
~! wo ::1 ow ~I -'
<( o .. o.:, 1· _z 51 (/)
;: a: w
il > ;r z ~I :::,
1
~ .
_[ ______ _
o a: w z <(
-, < w ',' o~
"' o ,_ -W a: -' w
ºº o~
M=M-1 20 C(NT I ~UE
DC 3/JQO I=l,997 3!!GC PCI>=A(l)+l./PR
E'C=l.C Dl=C.1:0005 H= HG A f< l l = < CP C 1 > / C 2 • H* • 2 J l • CP< 1 ) / C ( Y ( ll / ( F C- R I l l • C .4 * f l l J + C 1. / ( 4 • H ) J. CP
$(2)l/C2•Hll 8 ( 1l = < -e PC 1 l / H • • 2 l - C < E 1- 1 • ) / C 2 • B 1 l J * < U C 1 l l • R O~ l C C 1 l = C (P { 1 l / (2 • H ** 2 l l - CP C 1 J/ C C YC 1 l / C R ( - R l l J *{ 4 • H l l l - < 1 • / C.4 • H l l • CP C
$2))/CZ*Hll . D{ 1)=-cz•E(/U( 1 > )•CU( 2)/(;:'Ü) >*•2 NC=2 NL=IFIXCYLI/Hl N:NL Ct L L COE F C f , N , P , Y, U, A ê , 8, C, .e l Hl=C(~+lJ•HGJ/YLI H=HT N(=NL+l N=NO C t L L COE F e H, N , F , Y , U, A 2, B, C , C l H: HG NG=N+l N: 10 Ctll COEF< H,N,P ,Y,U, A2,8,C,Cl H=CZETAl-N•HGl/1400-Nl Hfl=H NC=N+l N:206 Ctll COEFCH,N,P,Y,U,A2,8,C,Cl
··/.ll~I-ff-)ff( nq-zETAl l/H) - - . -····-·-·--·-··· ... N.C =f'H 1 Hl2=H N=NT+INO-ll CALL COEFCH,N,P,Y,U,A2,B,C,CJ H=HT2 NC=N+l N: 7 S1 C t Ll COE F ( t,, N , P , Y, U, A 2 , i3, C , C > H= HT 1 NC=f\+1 N:987 Ctll COEF<~,f\J,P,Y,U,A2,B,C,CJ h = HG N C =N + 1 N= 5S 7 Ctll COEF<h,N,P,Y,IJ,~2,B,C,CJ K~=l
3C CJCl,ll=O,C ClC1,2l=CC!l+8C 1l ClCl,3l=A2C!) ClCN, l l=Clf\J) Cl<fl,2l=B(Nl+A2{Nl ClCN,!1=0,0 O( 1 I=2,r-:-1 CJCi,ll=CCI> ClcI,2J=B< ll Cl<1,3l=A2<I>
1 TlCll=OI!)
P. 62
TlClJ=OCll Tl(Nl=DCN)·~21Nl•CCHG••2/14.0•<RO/IRO•fi!Jll)+CHG••2/4.0l+HG/2,0l Ctll ~ESOLV I N, CI, TI ,TEMº·>· TE MP C f\ + 1 J =TEM PC N l + H • • U C 4 • C • C ''° / C R o- R l l l l • ~ ** 2 / 4 • O + H / 2 .o . 0( 832 1=2,~ 1
O C 1 l = - A2 1 I ) • T EM P ( I + 1 l - C C - P ( I l / H ** 2 l H C 81- 1. l / ( 2 • E 1 l l • U C I l •ROM l •TE~-; $ P ( I ) - C <I J • 1 EM PC I -1 l - e 2 * E C / U C I ) * • 2 l • ,t ( U C I + 1 l • U < I- 1 l J / C 2 * H l l • • 2
~32 CCNTI~UE . IFCKN/100•1CO.LT.KNIGC TO 47 DC 46 1=1•249•3 . W ii IT E C 5 , G 4 éJ H l J, TE MP C I l , YC I • 2 4 9 l , TE ~PC l + 2 4 9 J , Y C I + 4 9 8 ) , TE~- PC I + 4 9 a
$ J, Y ( l + 7 4 7 l , TE MP C I + 7 4 7 J 648 FCRMAT (5X,4CF8.3,3X,El3.6,3XI,/)
4E CCNTI f\UE 47 K~=IIN+l
-- ·--U-CKN-·SO{rl E3'3 ,·B 3-3, 6'3 4 ~ 3 3 GC TO 30
278E CCNTI~UE 634 HRITEC18l TEMP
WRITE<lBl U WR!TECl8l ~2 WRITE(18l F Wfi!TEC18l C WR IT E< 18 l 8 W~!TE(l8l Y WfiITE(18JO WRITE<l81Bl WRITEC18JRO WRITEC18lRI LCCKC 18> CILL EX! r E~D