infe 04 - 1 / 70 lezione 6 inferenza statistica. infe 04 - 2 / 70 parte 3 esercizi sulla stima della...
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Infe 04 - 1 / 70
Lezione 6Inferenzastatistica
Infe 04 - 2 / 70
parte 3Esercizi sulla stima della media e della varianza
Infe 04 - 3 / 70
Strumenti di misura e strumenti di inferenza
v
n
jjn
m
n
jjn
Xn
S
Xn
X
εμ1
1
ε1
μ
1
222
1
Infe 04 - 4 / 70
• come tutti gli strumenti di misura, anche gli stimatori sono imperfetti e la loro stima del parametro presenta un’incertezza che deve essere quantificata.
• estraendo da una popolazione per cui è definita la variabile
casuale X avente densità f (x) qualsiasi con media e
varianza 2 un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme
di variabili casuali { X1, X2, …, Xn } si possono usare la media
campionaria e la varianza campionaria corretta per stimare i valori
dei parametri e 2 relativi all’intera popolazione.
incertezza dello stimatore campionario
v
n
jjn X
nS εμ
1
1
1
222
m
n
jjn X
nX ε
1μ
1
Infe 04 - 5 / 70
• La “probabilità” dell’evento:
è uguale alla “confidenza” con cui posso affermare:
incertezza dello stimatore media campionaria
mnmn XX ε,εμ
mnm X εμεμ P
Infe 04 - 6 / 70
• La “probabilità” dell’evento:
è uguale alla “confidenza” con cui posso affermare:
incertezza dello stimatore varianza campionaria corretta
v
nv
S11 2
2
P
v
n
v
n SS
1,
1σ
222
Infe 04 - 7 / 70
incertezza degli stimatori campionari
mnm X εμεμ P
• La determinazione dell’incertezza degli stimatori campionari si
conduce tramite lo studio della distribuzione di probabilità della
variabile casuale costituita dallo stimatore.
v
nv
S11
2
2
P
Infe 04 - 8 / 70
Riassunto stimatori campionari
• varianza campionaria corretta:
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile
casuale X avente distribuzione normale un campione di n
elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,
• allora la variabile casuale 2 :
segue una distribuzione di tipo “chi-quadro” con n -1 gdl.
111
2
2
22
nXXS
nn
j
njn
Infe 04 - 9 / 70
f ( ² )
²
La variabile 2
n
j
njnXXS
n1
2
2
22 1
Infe 04 - 10 / 70
Riassunto stimatori campionari
• varianza campionaria corretta:
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
• se si estrae da una popolazione su cui è definita la variabile
casuale X avente distribuzione normale un campione di n
elementi con immagini { X1, X2, …, Xn } (con n > 1) ,
• allora la variabile casuale C 2 :
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”
con n -1 gradi di libertà.
11
1
1
2
2
22
nXX
n
SC
n
j
njn
Infe 04 - 11 / 70
La variabile C2
f ( C ² )
C ²
n
j
njnXX
n
SC
1
2
2
22
1
1
Infe 04 - 12 / 70
Chiediamoci ora:
“ Qual è la probabilità che, estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione su cui è stata definita una variabile
casuale X con distribuzione normale, il rapporto fra la varianza campionaria corretta e la varianza relativa all’intera popolazione
sia compreso nell’intervallo ? ” vv 1,1
v
nv
S11
2
2
P
11
1
1
2
2
2
nXX
n
S n
j
njn
Incertezza dello stimatore Sn2
Infe 04 - 13 / 70
vv C 11 2P
Incertezza dello stimatore Sn2
v
nv
S11
2
2
P
2
22
nS
C
Infe 04 - 14 / 70
vv CC 11 22 PP
Incertezza dello stimatore Sn2
v
nv
S11
2
2
P
Infe 04 - 15 / 70
Estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione per cui è definita una variabile casuale
X con distribuzione normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a:
che il rapporto fra il valore ottenuto della varianza campionaria
corretta e la varianza della X per l’intera popolazione
sia compreso nell’intervallo
vv CC 11 22 PP
n
j
njnXX
n
S
1
2
2
2
σ1
1
σ
vv 1,1
Incertezza dello stimatore Sn2
Infe 04 - 16 / 70
vv CC 11 22 PP
Incertezza dello stimatore Sn2
v
nv
S11
2
2
P
Infe 04 - 17 / 70
vv CC 11 22 PP
v
nv
S
112
2
P
Incertezza dello stimatore Sn2
v
n
v
n SS
11
22
2
v
n
v
n SS
11
22
2
P
Infe 04 - 22 / 70
possiamo quindi sostenere che:
estraendo a caso un campione di n elementi da una popolazione
per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione
normale, media e varianza 2, c’è una probabilità 1 - pari a
che l’intervallo casuale
contenga il valore della varianza 2 per l’intera popolazione.
I1- è l’intervallo di confidenza allo 1 - per la varianza
Intervallo di confidenza a (1 – )
v
n
v
n SSI
1,
1
22
1
vv CC 11α1 22 PP
Infe 04 - 23 / 70
se la X ha distribuzione normale la probabilità cercata corrisponde alla :
Riassunto
• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza
campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera
popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?
• varianza campionaria corretta:
v
nv
S11
2
2
P
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
vv C 11 2P
Infe 04 - 24 / 70
Riassunto
• varianza campionaria corretta:
v
n
v
n
vn
v
SS
S
11
11
22
2
2
2
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza
campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera
popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?
Infe 04 - 25 / 70
Riassunto
• Qual è la probabilità che il rapporto fra i valori della varianza
campionaria corretta Sn2 e della varianza 2 riferita all’intera
popolazione sia compreso nell’intervallo [ 1 - v , 1 + v ] ?
• varianza campionaria corretta:
v
n
v
n SS
11
22
2
P
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
corrisponde alla area della regione campita in verde:
Infe 04 - 26 / 70
Riassunto
• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo
• varianza campionaria corretta:
vC 12P
v
n
v
n SS
1,
1
22
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
• con le nostre tavole:
vC 12P
Infe 04 - 27 / 70
Riassunto
• Qual è quindi la probabilità che il valore della varianza 2 riferita all’intera popolazione sia compreso nell’intervallo
• varianza campionaria corretta:
v
v
C
C
1
12
2
PP
v
n
v
n SS
1,
1
22
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
• con le nostre tavole:
Infe 04 - 28 / 70
Intervallo di confidenza allo ... ?
• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica pertanto non è agevole individuare
il valore di v da cui si ottiene
un intervallo simmetrico con una prestabilita confidenza
0,100,05
da cui = 0,15 pertanto 1 - = 0,85 e non 0,90 !!!
– esempio:
= 0,10 gdl = 10
C2 0,05 = 0,394 da cui:
v 0,6
Infe 04 - 29 / 70
Intervallo di confidenza allo 0,90
• per bassi valori di n la f (C 2 ) non è simmetrica:
si preferisce pertanto definire un intervallo asimmetrico individuato dai due quantili e
– esempio:
= 0,10
gdl = 10
0,050,05
221
22 CC
Infe 04 - 30 / 70
Intervallo di confidenza
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili e corrispondenti alla confidenza scelta?
corrisponde alla:
• varianza campionaria corretta:
22
22
221
2
2212
22
2
C
S
C
S
CS
C
nn
n
P
P
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
221
22 CC
Infe 04 - 31 / 70
Intervallo di confidenza
• Qual è l’intervallo di confidenza della varianza per la intera popolazione corrispondente ai due quantili e corrispondenti alla confidenza scelta?
l’intervallo cercato è:
• varianza campionaria corretta:
n
jnjn XX
nS
1
22
1
1
2
2
2
221
2
; C
S
C
S nn
221
22 CC
Infe 04 - 32 / 70
possiamo sostenere che:
estraendo a caso un campione da una popolazione su cui è definita
una variabile casuale X con distribuzione normale, media e
varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale
in cui e sono rispettivamente i valori del
quantile (/2) e del quantile (1 - /2) di una variabile C 2
che segue la distribuzione “modificata di chi-quadro”
con n -1 g.d.l contenga il valore della varianza 2.
Intervallo di confidenza varianza
2
2
2
221
2
1 ;
C
S
C
SI nn
221
22 CC
Infe 04 - 33 / 70
Stima intervallo di confidenza con 2
• varianza campionaria:
• avendo introdotto la distribuzione “chi-quadro”
è stato possibile affermare che la variabile aleatoria 2
segue tale distribuzione con n - 1 g.d.l..
n
i
nin XXn
S
1
22
1
1
n
i
nin XXSn
1
2
2
2
1
Infe 04 - 34 / 70
Stima intervallo di confidenza con 2
• varianza campionaria:
n
i
nin XXn
S
1
22
1
1
• se dispongo dei valori della 2
2
22
1 1χ
nn
Sn
1χ
1χ 2
22
2
2
inf,1sup,1
nS
nS
QnQn
nn
Infe 04 - 35 / 70
Esercizio 1 stima per intervalli della varianza
Infe 04 - 36 / 70
Esercizio 1
Supponiamo di avere unapopolazione di induttori per la soppressione di rumori e su tale popolazione definiamo una
variabile casuale X cheassume, per ciascuninduttore, valore uguale alvalore della induttanza misurata in H alla frequenza di 1,0 MHz.
Vogliamo individuare l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la
varianza della X mediante l’uso di un campione composto da
n = 26 induttori.
Infe 04 - 37 / 70
Esercizio 1
Alla frequenza di 1,0 MHz la induttanza può essere misurata con l’uso di un “ponte per radio frequenza”
30204010 ZZZZ
30204010 YYYY
40
30201010 Y
YYCjY
40
302011
1
Y
YYCj
LjY
x
1012110
11
CCLC
LC x
x
Infe 04 - 38 / 70
Esercizio 1
e poi il valore dello stimatore “varianza campionaria corretta”
n
i
nin XXn
S
1
22
1
1
nel nostro caso il campione di 26 induttori ci porta a:
0144,0;97,7 22626 sx
dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore “media campionaria”
n
i
in Xn
X
1
1
Infe 04 - 39 / 70
Esercizio 1
Se la induttanza degli induttori presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”
2
22
nS
C
Infe 04 - 40 / 70
Esercizio 1il campione è composto da n= 26 elementi pertanto opero con 25 g.d.l.
Dalle tabelle dei valori critici di C ²25 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,52 e 1,62
2
22
nS
C
2inf,1
22
2sup,1
2
σQn
n
Qn
n
C
S
C
S
52,0
0144,0
62,1
0144,0 2 0277,00089,0 2
Intervallo di confidenza allo 0,95
Infe 04 - 41 / 70
Esercizio 2stima per intervalli della varianza
Infe 04 - 42 / 70
Esercizio 2
Un campione è costituito da 11 resistori estratti da una popolazione infinita con distribuzione normale.
La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce i seguenti valori, in k:
12,1 ; 12,2 ; 12,2 ; 12,2 ; 12,3 ; 12,3 ; 12,3 ; 12,4 ; 12,4 ; 12,4 ; 12,5 ;
Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in k diminuito di 12.
Si individui l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X.
Infe 04 - 43 / 70
Esercizio 2
e poi il valore dello stimatore “varianza campionaria corretta”
014,0111
1
1
22
n
inin XxS
dai valori misurati determino prima il valore dello stimatore “media campionaria”
3,011
1
1
n
iin xX
Infe 04 - 44 / 70
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi-quadro”
2
22
nS
C
Esercizio 2
Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.
Infe 04 - 45 / 70
Esercizio 2il campione è composto da n= 11 elementi quindi opero con 10 g.d.l. Dalla tabella, per
C ²10 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,325 e 2,05
2inf,1
22
2sup,1
2
Qn
n
Qn
n
C
S
C
S
325,0
014,0
05,2
014,0 2 0431,00068,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,95
Infe 04 - 46 / 70
Esercizio 3stima per intervalli della varianza
Infe 04 - 47 / 70
Esercizio 3
Un campione è costituito da 31 resistori estratti da una popolazione infinita con distribuzione normale.
Viene definita una variabile casuale X che assume, per ciascun resistore della popolazione, valore uguale a quello della resistenza in k diminuito di 12.
La misurazione della resistenza degli elementi del campione fornisce:
Si individui l’intervallo di confidenza allo 0,95 per la varianza della X usando sia la distribuzione “modificata di chi-quadro” sia la distribuzione “chi-quadro”.
014,0131
1
1
22
n
inin XxS3,0
31
1
1
n
iin xX
Infe 04 - 48 / 70
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”
2
22
nS
C
Esercizio 3
Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.
Infe 04 - 49 / 70
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile
casuale 2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2 moltiplicato per n-1
segue una distribuzione di tipo “chi quadro”
12
22 n
Sn
Esercizio 3
Se la resistenza dei resistori studiati presenta una variabilità provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.
Infe 04 - 50 / 70
Esercizio 3• il campione è composto da n= 31 elementi quindi opero con 30 g.d.l.
2inf,1
22
2sup,1
2
Qn
n
Qn
n
C
S
C
S
560,0
014,0
57,1
014,0 2 025,00089,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,95
• dalla tabella dei valori
critici di C ²30 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 0,560 e 1,57
Infe 04 - 51 / 70
Esercizio 3
• il campione è composto da n= 31 elementi pertanto opero con una distribuzione chi-quadro a 30 g.d.l.
• Dalle tabelle della f. cumulativa di ²30 trovo che i valori dei due quantili 0,025 e 0,975 sono rispettivamente: 16,791 e 46,979
30791,16
014,030
979,46
014,0 2
025,00089,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,95
1χ
1χ 2
inf,1
22
2sup,1
2
nS
nS
Qn
n
Qn
n
Infe 04 - 52 / 70
Esercizio 4 stima per intervalli della varianza
Infe 04 - 53 / 70
Esercizio 4
Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile
casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore
del diametro misurato in centimetri.
Un campione casuale costituito da 41 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la varianza della
variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Infe 04 - 54 / 70
Se la variabile X ha una distribuzione di tipo normale con media e varianza 2 allora è possibile affermare che una nuova variabile casuale C2 definita dal rapporto fra la varianza campionaria
corretta e la varianza della popolazione 2
segue una distribuzione di tipo “modificata di chi quadro”
2
22
nS
C
Esercizio 4
Anche in questo esercizio dovremo assumere che la variabilità del diametro della sfere sia provocata da molteplici cause legate al processo produttivo che agiscono indipendentemente le une dalle altre allora. Con questa premessa è plausibile assumere che la variabile X che è stata definita presenti una distribuzione di tipo normale.
Infe 04 - 55 / 70
Esercizio 4• il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con la
tabella dei valori critici
della C ² per 40 g.d.l.
2inf,1
22
2sup,1
2
Qn
n
Qn
n
C
S
C
S
518,0
00176,0
67,1
00176,0 2 0034,00010,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,99
• dalla tabella trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,518 e 1,67
Infe 04 - 56 / 70
Esercizio 4
• il campione è composto da n= 41 elementi pertanto opero con una distribuzione chi-quadro a 40 g.d.l.
• Dalle tabelle della f. cumulativa di ²40 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 20,707 e 66,766
40707,20
00176,040
766,66
00176,0 2
0034,00010,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,99
1χ
1χ 2
inf,1
22
2sup,1
2
nS
nS
Qn
n
Qn
n
Infe 04 - 57 / 70
Esercizio 5 stima per intervalli della varianza
Infe 04 - 58 / 70
Ricalcolare l’intervallo di confidenza dell’esercizio precedente nell’ipotesi che il campione sia costituito da 21 sfere.
Un campione casuale costituito da 21 sfere mostra un valore
della media campionaria di 0,824 e
della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.
Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la varianza
della variabile casuale relativa all’intera popolazione.
Esercizio 5
Infe 04 - 59 / 70
Esercizio 5
• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con 20 g.d.l.
• dalla tabella della f. cumulativa
di ²20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 7,434 e 39,997
20434,7
00176,020
997,39
00176,0 2
1χ
1χ 2
inf,1
22
2sup,1
2
nS
nS
Qn
n
Qn
n
Infe 04 - 60 / 70
Esercizio 5
• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto opero con 20 g.d.l.
• dalla tabella della f. cumulativa
di ²20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 7,434 e 39,997
1χ
1χ 2
inf,1
22
2sup,1
2
nS
nS
Qn
n
Qn
n
Intervallo di confidenza allo 0,990047,00009,0 2
Infe 04 - 61 / 70
Esercizio 5• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione
C ² con 20 g.d.l.
2inf,1
22
2sup,1
2
Qn
n
Qn
n
C
S
C
S
372,0
00176,0
00,2
00176,0 2
• Dalle tabelle di
C ²20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,372 e 2,00
Infe 04 - 62 / 70
Esercizio 5• il campione è composto da n= 21 elementi pertanto uso la funzione
C ² con 20 g.d.l.
2inf,1
22
2sup,1
2
Qn
n
Qn
n
C
S
C
S
0047,00009,0 2 Intervallo di confidenza allo 0,99
• Dalle tabelle di
C ²20 trovo che i valori dei due quantili 0,005 e 0,995 sono rispettivamente: 0,372 e 2,00
Infe 04 - 63 / 70
Esercizio 6 stima per intervalli della varianza
Infe 04 - 64 / 70
Problema 1.
Il propulsore Mod. WEC viene prodotto da ACME Inc. mediante un processo automatizzato: dati storici confermano che la lavorazione di ogni elemento prodotto richiede tipicamente 1 ora e 40 minuti (1h 40min 00s): questo valore viene assunto come valore tipico per l'intera popolazione.
Un esperto di organizzazione aziendale suggerisce alla dirigenza di ACME la introduzione di una nuova macchina affermando che tale azione può ridurre in modo significativo il tempo di lavorazione necessario per realizzare il propulsore WEC.
A causa dei costi di esercizio della nuova macchina la dirigenza di ACME valuta che la sua introduzione risulta economicamente conveniente solamente nel caso in cui il tempo di lavorazione necessario per realizzare il propulsore WEC si riduca fino ad assumere un valore tipico per l'intera popolazione minore di 1 ora e 32 minuti (1h 32min 00s).
La dirigenza di ACME, con la collaborazione del costruttore della nuova macchina che ne mette a disposizione un esemplare affinché sia possibile sperimentarne il funzionamento, decide di condurre un test statistico allo scopo di confermare la effettiva utilità dell’acquisto della nuova macchina. Il test sarà condotto con un livello di significatività pari a 0,01.
Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di lavorazione:
propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s
propulsore WEC #2 tempo di lavorazione = 1h 31min 24s
propulsore WEC #3 tempo di lavorazione = 1h 31min 36s
propulsore WEC #4 tempo di lavorazione = 1h 31min 42s
propulsore WEC #5 tempo di lavorazione = 1h 31min 48s
propulsore WEC #6 tempo di lavorazione = 1h 32min 00s
In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no?
Problema 3.
Si individui l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita all’intera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1.
Esercizio 6
Infe 04 - 65 / 70
Problema 1.
Il propulsore Mod. WEC … Mediante la nuova macchina vengono realizzati 6 esemplari di propulsore WEC misurando, per ciascuno di essi, il tempo di lavorazione:
propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s
propulsore WEC #2 tempo di lavorazione = 1h 31min 24s
propulsore WEC #3 tempo di lavorazione = 1h 31min 36s
propulsore WEC #4 tempo di lavorazione = 1h 31min 42s
propulsore WEC #5 tempo di lavorazione = 1h 31min 48s
propulsore WEC #6 tempo di lavorazione = 1h 32min 00s
In base al risultato del test i dirigenti di ACME decidono di acquistare la nuova macchina oppure no?
Problema 3.
Si individui l’intervallo di confidenza al 95% per la varianza 2 della X riferita all’intera popolazione sulla base dei valori forniti dal campione del problema 1.
Esercizio 6
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Esercizio 6
risoluzione:
La variabile casuale X con cui si descrive la durata della lavorazione viene definita come: un numero pari al tempo di lavorazione diminuito di 1 ora e 31 minuti ed espresso in multipli di 6 secondi:
propulsore WEC #1 tempo di lavorazione = 1h 31min 06s x1 = 1
propulsore WEC #2 tempo di lavorazione = 1h 31min 24s x2 = 4
propulsore WEC #3 tempo di lavorazione = 1h 31min 36s x3 = 6
propulsore WEC #4 tempo di lavorazione = 1h 31min 42s x4 = 7
propulsore WEC #5 tempo di lavorazione = 1h 31min 48s x5 = 8
propulsore WEC #6 tempo di lavorazione = 1h 32min 00s x6 = 10
Con queste premesse la varianza campionaria corretta risulta:
105
1 6
1
22 i
nin XxS
Infe 04 - 67 / 70
Esercizio 6
risoluzione:
Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile casuale 2 così definita:
che ha distribuzione di tipo "chi quadro" con n-1 gradi di libertà.
Si individuano quindi i due quantili della "chi quadro" relativi alle probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:
2
22 1
nS
n
832,12χ;831,0χ 2sup
2inf QQ
Infe 04 - 68 / 70
Esercizio 6
Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la:
Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della "chi quadro" e dei gradi di libertà si ottiene infine:
832,12;831,0 2sup
2inf cc
2
inf
22
2sup
2
χ1
χ1
Q
n
Q
n Sn
Sn
2,60831,0
105
832,12
10589,3 2
Infe 04 - 69 / 70
Esercizio 6
Risoluzione alternativa:
Per individuare l'intervallo di confidenza della varianza della X relativa all'intera popolazione si costruisce una idonea variabile casuale C 2 così definita:
che ha distribuzione di tipo “C 2 modificata di chi quadro" con n-1 gradi di libertà.
Si individuano quindi i due quantili della C 2 relativi alle probabilità 0,025 e 0,975 che, per 5 gradi di libertà, risultano essere:
2
22
nS
C
57,2;166,0 2sup
2inf QQ CC
Infe 04 - 70 / 70
Esercizio 6
Da questi valori si individuano gli estremi dell'intervallo di confidenza cercato mediante la:
Sostituendo nella espressione i valori della varianza campionaria corretta, dei quantili della C 2 e dei gradi di libertà si ottiene infine:
2inf
22
2sup
2
Q
n
Q
n
C
S
C
S
3,60166,0
10
57,2
1089,3 2
57,2;166,0 2sup
2inf QQ CC