induction … · aﬁn d’interpréter l’arrivée des particules chargées à l’origine des...

PCSI 1 - Stanislas Devoir Surveillé N◦11 - 04/06/16 - durée 2H00 A. MARTIN

INDUCTIONMOUVEMENT DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE

CALCULATRICES AUTORISÉES

Les deux parties sont indépendantes.

I. Contrôle non destructif (CND) par courants de FoucaultLe but des essais non destructifs est de déceler dans une pièce métallique, et en respectant son

intégrité, toute particularité de sa structure. On souhaite ici contrôler la qualité d’une plaque d’alumi-nium, de faible épaisseur par rapport à ses autres dimensions, en utilisant une technique de contrôle nondestructif par courants de Foucault.

Le dispositif utilisé comprend :— une bobine alimentée par un générateur de tension sinusoïdale de fréquence f . Cette bobine est

déplacée à la surface de la plaque à tester, sans contact électrique ;— un système de mesure d’impédance par détection synchrone afin de mesurer en direct l’impédance

de la bobine. En effet, la bobine joue à la fois le rôle d’émetteur et de récepteur : lorsque l’opérateurpasse la bobine au dessus d’un défaut interne à la plaque, son impédance interne est légèrementmodifiée.

La figure ci-dessous présente le système de détection, le dispositif de mesure d’impédance n’est pasreprésenté.

Données :

épaisseur de la plaque d = 3, 0 mmlongueur de la bobine lb = 12 cmnombre de spire de la bobine N = 1, 0× 103

rayon moyen du bobinage Rb = 2, 5 cmperméabilité magnétique du vide µ0 = 4π × 10−7 H.m−1

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I.1. Champ propre créé par la bobine seule

1. La bobine est représentée ci-contre. Un cou-rant i parcourt les spires, orienté dans le senstrigonométrique pour les coordonnées cylin-driques. Justifier que le champ créé en unpoint M de l’espace est de la forme

~B(M) = Br(r, z, t)~er +Bz(r, z, t)~ez ,

c’est-à-dire non seulement qu’il n’a pas decomposante selon ~eθ, mais aussi qu’il ne dé-pend pas de la coordonnée θ.

2. Représenter qualitativement les lignes dechamp magnétique à l’intérieur et à l’exté-rieur de cette bobine dans le cas où i > 0.Situer les pôles.

3. Que vaudrait le moment dipôlaire magnétique ~M caractérisant cette source de champ magnétiquelorsqu’elle est vue de très loin ? On prendra i = 0, 1A.

4. Cette bobine peut-elle ici être raisonnablement assimilée à un solénoïde infini ? Pourquoi ?Dans l’hypothèse où ce serait le cas, que vaudrait le champ ~B(M) à l’intérieur de cette bobine ?En déduire l’expression de son inductance propre L, puis sa valeur numérique.

I.2. Modification de l’impédance de la bobine en présence dans la plaqueOn se place en régime sinusoïdal forcé, avec une tension appliquée à la bobine e(t) = E cos(ωt). L’impé-dance de la bobine en l’absence de la plaque est Z = R+jLω. En présence de la plaque, cette impédanceest modifiée et sera notée

Ze = R+ δR+ jω (L− δL) .Le but de cette sous-partie est de déterminer cette nouvelle impédance dans un modèle simplifié. Uneétude à l’aide des équations de Maxwell permet de montrer que des courants de Foucault induits appa-raissent dans la plaque métallique. Ces courants sont orthoradiaux et structurés sous la forme de spirescoaxiales d’axe 0z, comme les spires de la bobine. Ainsi, la présence de la plaque peut être modéliséecomme un enroulement fermé de résistance Rp et d’inductance propre Lp, constituant un circuit se-condaire parcouru par un courant ip et couplé au circuit primaire (celui de la vraie bobine) par uneinductance mutuelle M .

5. On oriente le courant ip de façon identique au courant i. Faire un schéma et en déduire le signe deM .

6. Déterminer le signe de la variation δR à l’aide d’un argument énergétique qualitatif simple.7. En utilisant la loi de Lenz, que l’on rappelera, prévoir qualitativement le signe de δL (la variation

de l’inductance étant notée −δL).8. Réaliser un schéma électrique représentant le modèle simplifié décrit ci-dessus. Ecrire les lois de

maille associées.9. Établir l’expression de l’impédance équivalente Ze en régime sinusoïdal forcé. En déduire les ex-

pressions de δR et δL. Retrouve-t-on les prédictions qualitatives précédentes ?10. Représenter les allures de δR et δL en fonction de la pulsation ω.

I.3. Évolution de Z en présence d’un défautOn s’intéresse à l’influence de l’épaisseur de la plaque d sur l’impédance équivalente, de façon à pouvoirdétecter des défauts d’épaisseur dans la plaque.11. En raisonnant par analogie avec un fil rectiligne de section S, de longueur ` et de conductivité γ,

montrer que Rp évolue comme dp où l’on donnera la valeur de l’entier p.

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12. En raisonnant par analogie avec une vraie bobine vis à vis du nombre de spires, montrer que Lpet M évoluent respectivement comme dq et dr, où l’on donnera la valeur des entiers q et r.

13. En déduire comment doivent chacun varier δR et δL en fonction de d en terme de puissance de dlorsque l’on se place à très basse fréquence.Serait-il judicieux de travailler au contraire à fréquence très élevée pour déceler une variation del’épaisseur d ?

La bobine est déplacée le long de la plaque suivant une trajectoire rectiligne. On note x sa position. Afinde détecter facilement la présence d’éventuels défauts, on observe Re(Z)−(R+δR) et Im(Z)−(Lω−δLω)en fonction de x.La plaque présente une fissure superficielle rectiligne, de 0,8 mm de largeur et de 0,4 mm de profondeur,représentée sur la figure ci-contre, et l’opérateur déplace la bobine en direction de la fissure.

Plaque

Fissure

0,8 mmBobine

Déplacement

x

La figure ci-dessous présente un exemple de relevés ainsi que des tracés correspondant à une simulationpour une fissure centrée en x = 0.

14. Ces résultats sont-ils qualitativement en accord avec les calculs précédents ?15. Quelle serait l’allure de ces courbes si la fissure était suivant l’axe (Ox) ?

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II. Confinement d’une particule chargée dans un champ magnétiqueDans ce problème, on souhaite modéliser le piégeage d’électrons dans la magnétosphère terrestre, qui

a lieu notamment au sein des ceintures de Van Allen, et qui est à l’origine du phénomène des aurorespolaires. Un document complémentaire figure en fin d’énoncé, dont la lecture n’est pas nécessaire à larésolution du problème 1. Une liste de données numériques est disponible à la fin du sujet.

II.1. Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et uniformeAfin d’interpréter l’arrivée des particules chargées à l’origine des aurores polaires, on se propose toutd’abord de modéliser la dynamique d’un électron dans une zone de champ magnétique stationnaire.

1. Dans le référentiel géocentrique (R) supposé galiléen, on considère tout d’abord un électron demasse m pénétrant en O dans une zone de champ magnétique ~B0 = B0~uz (B0 > 0). La forcegravitationnelle terrestre a-t-elle une influence sur la dynamique de cet électron ? On attend unargument qualitatif fondé sur un calcul d’ordre de grandeur.

2. On suppose que la vitesse initiale de la particule s’écrit ~v0 = v0z~uz (v0z > 0). Comment se déplacel’électron vis à vis des lignes de champ magnétique ?

3. On suppose désormais que l’électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en Oavec une vitesse initiale ~v0 = v0x~ux (v0x > 0).

a) Mettre en évidence une pulsation ωc caractéristique du mouvement de l’électron et l’évaluerdans le champ magnétique terrestre régnant à l’altitude d’un satellite géostationnaire.

b) Montrer que la trajectoire de l’électron est circulaire en établissant son équation cartésienne.Évaluer son rayon Rc sachant que les électrons participant aux aurores ont des énergies ciné-tiques maximales de l’ordre du keV.

4. En fait, un électron perd de l’énergie s’il est accéléré à cause du rayonnement électromagnétiquequ’il produit. À un instant donné, un électron non relativiste rayonne une puissance électromagné-tique

P = 14πε0

23e

αcβ∥∥∥∥d~v

dt

∥∥∥∥2.

a) À l’aide d’une analyse dimensionnelle, déterminer les valeurs de α et β.b) Exprimer l’energie cinétique Ec de l’électron en fonction de Rc. En appliquant le théorème de

l’énergie cinétique, établir l’expression de la fonction Rc(t), et établir que le temps caractéris-

tique τ mis en évidence s’écrit τ = 6πε0c3B0

eω3c

. Conclure.

5. On suppose désormais que l’électron pénètre dans cette même zone de champ magnétique en Oavec la vitesse initiale ~v0 = v0x~ux + v0z~uz (v0x > 0 et v0z > 0). Comment se déplace l’électron visà vis des lignes de champ magnétique ?

II.2. Mouvement d’un électron dans un champ magnétique stationnaire et non uniforme

On se limite ici au cas d’un champ magnétique sta-tionnaire ~B = Bz(r, z)~uz+Br(r, z)~ur possédant unegéométrie cylindrique autour d’une ligne de champconfondue avec l’axe (Oz). On note L l’échelle ca-ractéristique de variation de ce champ magnétiqueselon l’axe Oz. On supposera en première approxi-mation que Bz ne dépend que de z : Bz(z). On re-présente ci-dessous l’allure d’un morceau de tube dechamp magnétique pour un champ non uniforme.

O

x

yz

M

~B(M)

Bz~uz

Br~urr

z

1. Dans l’épreuve originale, des questions portent sur ce texte.

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6. Justifier des variations de |Bz(z)| lorsque la section du tube varie avec z ?

Initialement, l’électron possède la vitesse ~v0 = v0x~ux + v0z~uz (v0x > 0, v0z > 0) et se situe au point decoordonnées cartésiennes (0,−Rc(0), 0).Pour exploiter l’étude faite dans la section précédente, on suppose que les conditions initiales sont tellesque :

— d’une part la composante Br(r, z)~ur négligeable sur le plan mécanique ;— d’autre part la section du tube varie sur des distances suffisamment grandes pour que l’effet du

champ magnétique sur le mouvement soit très proche de celui d’un champ uniforme.

7. Décrire qualitativement le mouvement des électrons dans ces conditions, que l’on peut caractériserpar un rayon R(z), dépendant de z, dont on donnera l’expression en fonction de Bz et de vθ,composante orthoradiale de la vitesse de l’électron.

8. Quelle condition est imposée sur Bz(z) et R(z) par la conservation du flux magnétique Φ ?

Dans la suite, et pour simplifier l’étude, on représente le champ magnétique de part et d’autre du planéquatorial terrestre par un champ axial de la forme

Bz(z) ' B0

(1 + z2

L2

).

9. Exprimer l’énergie cinétique de l’électron en fonction notamment de B(z), Φ et z.10. En déduire que le mouvement de l’électron selon z peut être assimilé à celui d’une particule conser-

vative évoluant dans un champ d’énergie potentielle effective Epeff (z) dont on donnera l’expression.11. Pourquoi peut-on dire que cette configuration de champ magnétique assure un confinement de

l’électron dans un domaine de l’espace situé entre deux limites appelées miroirs magnétiques ?12. Exprimer une pulsation caractéristique ωm associée à ce confinement, en fonction de L et de v0x.

Sachant que les électrons participant aux aurores ont des énergies cinétiques maximales de l’ordredu keV, en déduire l’ordre de grandeur du temps mis par un électron confiné pour accomplir unaller-retour entre le pôle Nord et le pôle Sud terrestres.

13. La Terre émet un rayonnement radio au-dessus de ses régions aurorales correspondant à des lon-gueurs d’onde de l’ordre du kilomètre (cf. document annexe). En raisonnant sur les valeurs despulsations trouvées, indiquer si celui-ci est généré par le mouvement selon z (c’est-à-dire selonl’axe du tube de champ), ou par le mouvement orthogonal au tube ?

Données numériques

Célérité de la lumière dans le vide c = 3, 00× 108 m.s−1

Masse de l’électron m = 9, 11× 10−31 kgCharge élémentaire e = 1, 60× 10−19 CPermittivité diélectrique du vide ε0 = 8, 85× 10−12 F.m−1

Rayon de la Terre RT = 6, 37× 103 kmRayon de l’orbite géostationnaire Rg = 4, 22× 104 kmIntensité du champ de pesanteur à la surface de la Terre g = 9, 81 m.s−2

Ordre de grandeur du champ magnétique à la surface de la Terre 5× 10−5 T

* * * Fin de l’épreuve * * *

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ANNEXE : Document complémentaire

La magnétosphère de la TerreD’après : Gilbert Pietryk (sous la direction de), Panorama de la physique, Pour la Science, Belin, 2007.

La magnétosphère est la dernière enveloppe d’une planète, avant le milieu interplanétaire. Ce milieuest dominé essentiellement par le vent solaire, constitué de protons et d’électrons très rapides. Comme sonnom l’indique, la magnétosphère est caractéristique des planètes qui ont un champ magnétique propre.La magnétosphère terrestre est la mieux connue puisqu’elle est la plus facilement accessible et qu’elleest explorée depuis l’ère des projets spatiaux. Pourtant de nombreux mystères subsistent quant à sonfonctionnement, en particulier sur la manière dont elle répond aux modifications de l’activité solaire.

Figure 1 – Coupe méridienne de la magnétosphère de la Terre. Le Soleil est loin sur la gauche. Lestraits fins symbolisent les lignes de champ magnétique, les flèches jaunes le mouvement du plasma.

L’avant de la magnétosphère se caractérise par une première frontière nette, le choc. Ce choc est dû aufait que le vent solaire a une vitesse d’ensemble supérieure à toutes les vitesses possibles de propagationdes ondes dans le milieu. Derrière le choc se trouve la magnétogaine, région où le plasma du vent solaireest ralenti, chauffé et où l’on observe une turbulence importante. Le champ magnétique est encore celuidu vent solaire un peu modifié par la traversée du choc. Cette région intermédiaire est suivie d’uneautre frontière nette, la magnétopause. Cette frontière sépare la zone d’influence du champ magnétiqueterrestre de celle du vent solaire. Cette frontière est une discontinuité mince comme un choc mais ce n’estpas un choc, c’est une frontière qui isole vraiment les deux milieux, l’énorme majorité des particules duvent solaire restant à l’extérieur. On constate donc que ce qui fait obstacle au vent solaire ce n’est pasla planète elle-même, ni son atmosphère, mais son champ magnétique. Le contournement du vent solairedonne à la magnétosphère sa forme caractéristique, avec une queue allongée dans la direction opposée auSoleil et deux immenses « lobes » presque totalement vides. L’ionosphère est une région importante dansla dynamique de la magnétosphère (bien qu’invisible à l’échelle de la figure). Elle résulte de l’ionisationdes couches supérieures de l’atmosphère par le rayonnement UV du Soleil qui la rend conductrice, et luifait jouer un rôle dans la fermeture des courants magnétosphériques.

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Figure 2 – Aurore boréale vue du sol sur la Terre. La Lune, visible à côté de l’aurore, donne une idéede la luminosité (Centre d’étude spatiale des rayonnements c©CNRS Photothèque/V. Génot).

La magnétosphère et son intense activité électromagnétique ne sont pas visibles du sol sauf dansles régions polaires où elles peuvent se manifester de façon très spectaculaire. Le champ magnétiqueterrestre est à peu près celui d’un dipôle dont l’axe passe dans les régions polaires. Les lignes de champqui viennent des régions éloignées de la Terre plongent donc dans l’atmosphère dans les régions polaires.Comme dans la magnétosphère le plasma est peu dense, il n’y a pas de collisions et les particules chargéesrestent liées aux lignes de champ. Quand une reconfiguration magnétique intervient (ce qu’on appelleun sous-orage magnétique), les particules accélérées dans la queue de la magnétosphère arrivent le longdu champ sur les couches denses de l’atmosphère et produisent des aurores. Dans le même temps, cesélectrons accélérés émettent un rayonnement radio dont la longueur d’onde est de l’ordre du kilomètreet qui s’échappe de la magnétosphère par les pôles.

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