Índicegeneral - open course ware · 7.2leydebiotysavart 4...

Índice General

7 Fuentes del campo magnético 1 27.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.2 Ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Ley de la circulación de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

7.3.1 Aplicaciones de la Ley de Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.4 Flujo magnético y ley de Gauss para �B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

7.4.1 Flujo magnético: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117.4.2 Ley de Gauss para �B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

7.5 Magnetismo en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127.5.1 Corrientes de magnetización y vector magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.5.2 Intensidad de campo magnético �H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137.5.3 Clasificación de las sustancias magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147.5.4 Ferromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1Versión 2010

1

Tema 7

Fuentes del campo magnético 1

7.1 Introducción

Hemos visto que un campo magnético produce fuer-zas sobre cargas móviles, tanto cuando estas cargasse consideran aisladamente como cuando constitu-yen una corriente que circula por un circuito. Eneste último caso, las fuerzas sobre el circuito pue-den producir pares que fuerzan al giro del circui-to. En este tema estudiaremos cómo las cargas enmovimiento o las corrientes producen campos mag-néticos.Ya sabemos que los primeros sistemas que fue-

ron observados por el hombre como productores decampos magnéticos eran los imanes. Sin embar-go, en 1819 Oersted observó que cuando colocabauna brújula en las proximidades de un hilo conduc-tor por el que circulaba una corriente, la aguja dela brújula se desviaba. Este efecto también sucedecuando en las proximidades de la brújula se colocaun imán.De ahí, se dedujo que si ambos (imán y circui-

to) producían el mismo efecto lo hacían mediante elmismo sistema, es decir, ambos creaban un cam-po magnético. Esta observación fue la primeraque estableció una conexión íntima entre la electri-cidad (la corriente) y el magnetismo, que hasta esemomento eran ciencias separadas.

7.2 Ley de Biot y Savart

Después de los descubrimientos de Oersted, Bioty Savart observaron que una corriente eléctri-ca es capaz de ejercer fuerza sobre cualquierimán.Realizaron una serie de experimentos con co-

rrientes llegando a una ley que lleva su nombre y

que resulta ser el equivalente en Magnetostática ala ley de Coulomb en la Electrostática.

Campo magnético creado por un elementodiferencial de corriente filiforme:

Supongamos un hilo conductor recorrido por unacorriente I tal y como muestra la figura 7.1.Consideremos un elemento diferencial de longi-

tud d��′ tal que �r ′ es el vector de posición de esteelemento diferencial de longitud respecto de un ori-gen de coordenadas O.Consideremos también un punto de observación

P definido mediante el vector de posición �r.El vector que determina la posición relativa del

punto de observación P respecto del elemento d��′

vendrá dado por �R = �r − �r ′ y su correspondiente

vector unitario será R =�RR .

y

z

O

'rrRrrr

−=

x

'rr

rr

P

P'

I'dlr

α

Brd

Figura 7.1: Campo magnético creado por un ele-mento diferencial de corriente filiforme.

Los experimentos llevados a cabo porBiot y Sa-

2

7.2 Ley de Biot y Savart 3

vart mostraron que el campo magnético d �B en unpunto P creado por un elemento diferencial de co-rriente d��′ viene dado por

d�B = KmId��′ × R

R2

El valor de la constante Km depende del sistemade unidades usado. En el SI vale:

Km =µ04π= 10−7Tm/A

La cantidad µ0 se la conoce como permeabili-dad del vacío y su valor, usando las expresionesanteriores es

µ0 = 4π × 10−7Tm/A

Por lo tanto, la ecuación de Biot y Savart puedeescribirse como

d �B =µ04π

Id��′ × R

R2

Es importante señalar que el vector d�B es per-pendicular tanto a d��′ como a �R.

Analogías y diferencias entre la ley de Co-ulomb y la de Biot-Savart:

Obsérvese las similitudes (y diferencias) entre la ex-presión anterior y una similar para la ley de Co-ulomb:

d�E =1

4πε0

dq′

R2R

• En ambos casos hay una constante que depen-de del sistema de unidades y que multiplicaa la expresión: 1

4πε0para el caso de la fuerza

eléctrica y µ0

4π para el caso de la fuerza mag-nética.

• En un caso el elemento que produce el campoes dq′ y en el otro es Id��′.

• Ambas tienen una dependencia de 1

R2 con ladistancia.

• La dirección de d�E es radial respecto a la cargafuente, mientras que la de d�B es perpendicularal plano formado por Id��′ y �R.

Campo magnético creado por una corrientefiliforme:

En un caso real no existen elementos de corrienteaislados sino circuitos.Por ello, para hallar el campo magnético produ-

cido por una corriente que sigue un hilo definidopor la curva C

′

, la expresión a usar es la suma detodos y cada uno de los elementos de corriente quecontribuyen a ella, es decir

�B =µ04π

∫

C′

Id��′ × R

R2.

Si el valor de la corriente es constante

�B =µ0I

4π

∫

C′

d��′ × R

R2

con la integral extendida a toda la distribución decorriente.

Ejemplo 1 Hallar el vector inducción magnética�B creado por una corriente recta I de longitud finitaL.

Solución:

O

zzII ˆ'd'd =lr

zzr ˆ''=r

)0,0,(ρP

Rr

ρρ ˆ=rr

2' Lz =

1' Lz −=

φ|d| d BBrr

=

1α

2α

Figura 7.2: Inducción magnética �B creada por unacorriente recta I de longitud finita L. Geometríadel problema.

Dada la forma del problema usaremos coordena-das cilíndricas. Hacemos que el hilo que transporta


la corriente coincida con el eje z y tomamos el ori-gen de coordenadas en un punto de ese eje, perode manera que (y así no perdemos generalidad) elpunto donde se va a calcular el campo tenga z = 0y φ = 0. El problema se puede ver en la figura 7.2.Aunque este circuito no es completo, es decir, no escerrado y por lo tanto no es real, sirve como elemen-to básico para analizar circuitos de forma compleja.De la figura 7.2 podemos escribir las siguientes ex-presiones:

�r = ρ ρ,

�r ′ = z′z,�R = �r − �r ′ = ρ ρ− z′z,

R2 = ρ2 + z′2,

d�� ′ = dz′ z,

luego

d�� ′ × �R = dz′ z × (ρ ρ− z′ z) = ρdz′ φ

y aplicando la ley de Biot y Savart

�B =µ0I

4π

∫

C

d�� ′ × R

R2=

µ0Iρ φ

4π

∫ L2

−L1

dz′

(ρ2 + z′2)3/2.

Integrales como la de la expresión anterior ya sehan resuelto en Electrostática, al hallar el campoeléctrico, por lo que, sin repetir todo el proceso seobtiene

�B =µ0Iρ φ

4π

[z′

ρ2(ρ2 + z′2)1/2

]L2

−L1

de donde

�B =µ0I

4πρ

[L2

(ρ2 + L22)1/2

+L1

(ρ2 + L21)1/2

]φ

o bien en función de los ángulos α1 y α2 definidosen la figura 7.2

�B =µ0I

4πρ(sinα2 + sinα1) φ

y como se ve de la expresión anterior, �B es siempreperpendicular al plano formado por la corriente yel vector �R.A partir de la expresión obtenida podemos hallar

el campo creado por un hilo de longitud infinita

Figura 7.3: Las limaduras de hierro espolvoreadasentorno a un hilo de corriente infinito se alineande manera tangente a las líneas de campo que soncircunferencias cuyo eje coincide con la corriente.

recorrido por una intensidad I. En este caso L1 →∞ , L2 → −∞, con lo que α2 →

π2y α1 →

π2y el

campo magnético para este caso, sería

�B =µ0I

2πρφ.

Esta expresión muestra que para una corriente delongitud infinita las líneas de campo de �B son cir-cunferencias cuyo eje coincide con la corriente, taly como se muestra en la figura 7.3.

Ejemplo 2 Hallar la fuerza que se ejercen entre sídos corrientes. La primera de ellas tiene una longi-tud infinita y un valor de I ′. La segunda tiene unalongitud L, un valor de la corriente I, es paralelaa la anterior y está situada a una distancia ρ.

Solución:Elegimos como sistema de coordenadas uno de

tipo cilíndrico con la primera de las corrientes si-tuada en el eje z. Esta corriente de longitud infinitacrea un campo magnético sobre la segunda, de valor

�B =µ0I

′

2πρφ


'dlr

I'

ρL

lrdI

Figura 7.4: Fuerza entre dos líneas de corriente.Geometría del problema.

La expresión de la fuerza creada por un campomagnético sobre una corriente I era

�F = I

∫d��× �B

y como �B es uniforme en cada trozo del segundohilo

�F = I

(∫d��

)× �B = I�L× �B = IL z ×

(µ0I

′

2πρφ

)

de donde

�F = −µ0II

′L

2πρρ

En este caso en que hemos supuesto que ambascorrientes tienen el mismo sentido, la dirección dela fuerza es −ρ es decir, atractiva.La expresión anterior puede servir para definir

el amperio. Si los dos hilos conducen la mismacorriente, la longitud del segundo hilo es 1m, ladistancia respecto al primero es 1m y la fuerza es2 × 10−7N, las corrientes que circulan tienen unvalor de 1 A.

Ejemplo 3 Una espira circular tiene un valor delradio a y por ella circula una corriente I. Hallarla inducción magnética en un punto de su eje y ex-presarla en función del momento dipolar magnéticode la espira.

Solución:

),0,0(P z

y

z

x

'd 1lr

I

1Rr

2Rr

'1rr

'2rr

rr

a

'd 2lr

I

1dBr

2dBr B

rd

Figura 7.5: Inducción magnética en un punto deleje de una espira circular. Geometría del problema.

1dBr

'1rr

rr

zBB zˆd2d 1=

rz

O

'2rr

1Rr

2Rr

a2

ρ

2dBr

'd 1lr

I'd 2lr

I

Figura 7.6: Inducción magnética en un punto deleje de una espira circular. Geometría del problema.

En la figura 7.5 se puede ver la espira circularde radio a que yace en el plano xy. El eje z coin-cide con el eje de la espira y es en los puntos deeste eje donde hay que hallar la inducción magnéti-ca. Tomando dos elementos de corriente simétricosrespecto al origen, se observa que la inducción mag-nética total producida por ambos tiene dirección z.Por tanto, la inducción magnética debida al anillocompleto tendrá también dirección z. La inducciónmagnética debida a los dos elementos de corriente

7.3 Ley de la circulación de Ampère 6

simétricos es:

d �B = d �B1 + d�B2 = 2dB1z z = 2(d �B1 · z

)z

donde

d�B1 =µ0I

4π

d�� ′ × �R

R3

Observando la figura

�r = z z,

�r ′ = aρ,�R = �r − �r ′ = z z − aρ,

R3 =(a2 + z2

)3/2,

d�� ′ = adφ′ φ,

de donde

d�� ′ × �R = adφ′ φ× (z z − aρ) = adφ′zρ+ a2dφ′z

luego

|d �B| = 2(d �B1 · z

)=

µ0I

2πR3

(d�� ′ × �R

)· z

=µ0I

2πR3(adφ′zρ+ a2dφ′z

)· z

=µ0Ia

2

2πR3dφ′

Integrando

| �B| =µ0Ia

2

2π (a2 + z2)3/2

∫ π

0

dφ′

de donde

�B =µ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2z

En el centro del círculo z = 0

�B =µ0I

2az

mientras que a gran distancia del disco z � a

�B =µ0Ia

2

2z3z

Como el momento magnético �m de la espira es unvector cuya magnitud es el producto de la intensi-dad de la espira por su superficie IS y su direcciónes perpendicular a la superficie de la espira con el

Figura 7.7: Líneas de campo magnético de una es-pira de corriente circular.

sentido de avance de un tornillo que gire en el mis-mo sentido que la intensidad, es decir,

�m = I �S = Iπa2z

la inducción magnética creada por la espira en unpunto de su eje se puede expresar como

�B =µ0Ia

2

2 (a2 + z2)3/2z =

µ0�m

2π (a2 + z2)3/2

7.3 Ley de la circulación deAmpère

Vimos en Electrostática la existencia de una ley, lade Gauss, que relacionaba las fuentes del campo conel valor de éste y que en casos de especial simetríapermitía calcular el vector campo eléctrico de formasencilla.En Magnetostática existe una ley similar aunque

con una formulación bastante diferente denominadaley de Ampère.Hemos resuelto, usando la ley de Biot y Savart,

el problema de calcular la inducción magnética �Bcreada por un hilo recto y de longitud infinita reco-rrido por una intensidad I. El resultado obtenido

�B =µ0I

2πρφ

muestra que las líneas de campo de �B son circun-ferencias concéntricas que yacen en planos perpen-diculares al eje del hilo y con centro en éste.


Si calculamos∮C�B · d�� tomando como curva C

una cualquiera de estas circunferencias se obtiene,∮

C

�B · d�� =

∮

C

µ0I

2πρ

(φ · φ

)d�

=µ0I

2πρ

∮

C

d� =µ0I

2πρ2πρ = µ0I.

Se puede demostrar que este resultado, obtenidopara el caso de una corriente recta y de longitudinfinita, y tomando como curva C una circunferen-cia concéntrica con ella, tiene en realidad un ca-rácter mucho mas general: el mismo resultado seobtendría eligiendo cualquier curva cerrada así co-mo cualquier configuración de corrientes.De esta manera, podemos enunciar la ley de la

circulación de Ampère, de forma matemática como

∮

C

�B · d�� = µ0Ienc

donde C indica cualquier curva cerrada e Ienc es laintensidad total encerrada por esa curva. Dada unacurva C se obtendría el valor de Ienc sumando alge-braicamente (es decir, cada una con su signo) todaslas corrientes que atraviesan la superficie encerradapor C.

Ejemplo 4 Sean dos corrientes I1 = I e I2 =I que tienen los sentidos marcados en la figura.Calcular la circulación de �B a lo largo de cada unade las curvas representadas en la figura.

3C4C

2C1C

2I1I

Solución:a) La curva C1 encierra la corriente I1 y se recorre

en la dirección marcada en la propia curva. Lacorriente I1 tiene la misma dirección que el vectorsuperficie (perpendicular a la superficie encerrada

y con sentido de avance del tornillo que gire comoC) por lo que

∮

C1

�B · d�� = µ0I

La corriente I2 influye en el valor del campo perono en su circulación.b) La curva C2 encierra la corriente I2 y se reco-

rre en la dirección marcada en la propia curva. Lacorriente I2 tiene dirección opuesta al vector super-ficie (perpendicular a la superficie encerrada y consentido de avance del tornillo que gire como C2) porlo que ∮

C2

�B · d�� = −µ0I

La corriente I1 influye en el valor del campo perono en su circulación.c) La curva C3 encierra las corrientes I1 e I2 y se

recorre en la dirección marcada en la propia curva.La corriente total encerrada sería I1+I2 = I−I = 0por lo que ∮

C3

�B · d�� = 0

La situación de ambas corrientes, siempre que esténdentro de C3, influye en el valor del campo pero noen su circulación.d) La curva C4 no encierra ninguna corriente

∮

C4

�B · d�� = 0

Ejemplo 5 ¿Cuál es la circulación de �B a lo largode la curva señalada en la figura?

x

x

1I

2I

4I

5I3I

Solución:∮

C

�B · d�� = µ0(I1 + I2 − I3)


7.3.1 Aplicaciones de la Ley de Am-père

La ley circuital de Ampère se puede emplear para,en casos de gran simetría y conociendo la distri-bución de corrientes, hallar la inducción magnética�B.En este sentido su aplicación práctica sigue un

camino paralelo a la ley de Gauss en Electrostática.Como sucedía allí, el principal problema para ha-

llar la inducción magnética está en la elección co-rrecta de la curva C. Para poder aplicar la ley conprovecho se deben elegir curvas en las que �B seaconstante y con dirección bien paralela, bien per-pendicular a la curva C, con objeto de simplificarel proceso.

Ejemplo 6 Hallar la inducción magnética �B crea-da por un hilo recto de longitud infinita que trans-porta una corriente I.

Solución:Por consideraciones de simetría, la inducción

magnética debida a un hilo infinito coincidente conel eje z tendrá dirección φ y dependerá sólo de ladistancia del hilo al punto de observación, luego

�B = B(ρ)φ.

La ley de Ampère establece

∮

C

�B · d�� = µ0Ienc.

Tomamos como curva amperiana una circunferen-cia de radio ρ, contenida en el plano x−y y centra-da en el origen. Además, tomamos como sentidopositivo de la circunferencia +φ, por tanto

d�� = d�φ.

La circulación resulta∮

C

�B · d�� =

∮

C

B(ρ)φ · d�φ

=

∮

C

B(ρ)d�=B(ρ)

∮

C

d�=B(ρ)2πρ.

La corriente encerrada vale

Ienc = I.

Sustituyendo las dos últimas expresiones en la leyde Ampère se obtiene

B(ρ) =µ0I

2πρ.

Teniendo en cuenta el análisis inicial de la simetríadel problema, el resultado buscado es

�B =µ0I

2πρφ.

Ejemplo 7 Un hilo conductor recto de longitud in-finita y radio a conduce una corriente continua I0que está distribuida uniformemente a través de susección recta. Hallar el campo magnético en todopunto del espacio.

Solución:Por consideraciones de simetría, el campo busca-

do tiene la forma

�B = B(ρ)φ.

Calcularemos �B mediante la ley de Ampère∮

C

�B · d�� = µ0Ienc .

Igual que en el problema del hilo delgado, la ampe-riana será una circunferencia. En este caso, el cabletiene grosor finito, por tanto tendremos que distin-guir dos regiones: el interior del cable (ρ < a); y elexterior (ρ > a).

z

ρ

Srd

a

lrd

0Iz

ρ

Srd

a

lrd

0I

a<ρ a≥ρ

Figura 7.8: Caminos de integración para el cálcu-lo del campo �B creado por un hilo conductor delongitud infinita y radio a.


Caso ρ < a:La circulación vale∮

C

�B · d�� =

∮

C

B(ρ)φ · d�φ =

∮

C

B(ρ)d�

= B(ρ)

∮

C

d� = B(ρ)2πρ.

Para determinar la corriente encerrada, comenzare-mos calculando la densidad de corriente. Teniendoen cuenta que la corriente está uniformemente dis-tribuída

�J =I0πa2

z

Por tanto, la corriente encerrada vale

Ienc =

∫∫

s

�J · d�S = J

∫∫

s

dS =I0πa2

πρ2 = I0(ρa

)2

Sustituyendo los resultados anteriores en la ley deAmpère se obtiene:

�B =µ0I0ρ

2πa2φ

Caso ρ > a :La circulación tiene la misma expresión que en el

caso ρ < a, es decir∮

C

�B · d�� = B(ρ)2πρ.

Ahora la corriente encerrada será la corriente total

Ienc = I0,

Teniendo esto en cuenta, se obtiene

�B =µ0I02πρ

φ

ρa

ρ/1∝B

ρ∝B

B

Figura 7.9: Dependencia con ρ del campo �B debidoa un hilo conductor de longitud infinita y radio a.

Ejemplo 8 Hallar la inducción magnética en todopunto del espacio, creada por un hilo conductor rec-to, de longitud infinita y de sección recta circularcon radio a que conduce una corriente continua dis-tribuida en su sección recta de forma no uniformesegún la expresión J = J0ρ/a.

Solución:

�B(ρ) =µ0J0 a

2

3ρφ para ρ > a

�B(ρ) =µ0J0 ρ

2

3aφ para 0 < ρ < a

Ejemplo 9 Un solenoide recto se forma al enro-llar un hilo conductor alrededor de un cilindro desección recta circular de radio a. Hallar la induc-ción magnética creada por un solenoide de longitudinfinita, por el que circula una corriente I, con unadensidad de n espiras por unidad de longitud.

Solución:

II

z

extBr

intBr

Figura 7.10: Líneas de campo magnético creado pordos espiras.

Según la simetría del problema, la inducciónmagnética tendrá la dirección del eje del solenoide.Denotaremos por Bint la inducción en el interiordel solenoide y por Bext la inducción en el exterior,luego

�B(ρ) =

{Bint z ρ < a−Bext z ρ > a


I

z

extBr

intBr

L

lrd

lrd

a

ρ

Figura 7.11: Trayectoria de integración utilizadapara calcular el campo magnético �B producido porun solenoide de longitud infinita.

Aplicamos la ley de Ampère tomando como ca-mino de integración el rectángulo de la figura 7.11,la circulación resulta

∮

C

�B · d�� = BintL+BextL

y la corriente encerrada

Ienc = nIL

por tanto

BintL+BextL = µ0nIL

de dondeBint +Bext = µ0nI

Se observa que la expresión anterior no depende ρ,por otra parte, el campo en el infinito debe ser cero,por tanto Bext = 0, de donde

�B =

{µ0nI z ρ < a0 ρ > a

z

Br

Figura 7.12: Inducción magnética creada por unsolenoide de longitud infinita.

Ejemplo 10 Hallar la inducción magnética crea-da por una bobina toroidal. Una bobina toroidalse consigue arrollando un conductor que transportauna corriente I alrededor de un anillo (toroide).

a

b

ρ

C

Figura 7.13: Bobina toroidal. Trayectoria de inte-gración para el cálculo de la inducción magnética.

Solución:

El cálculo exacto de la inducción magnética crea-da por una bobina toroidal debe hacerse aplicandola ley de Boit-Savart. Aquí, haremos un cálculoaproximado. Para ello, adoptaremos coordenadascilíndricas y supondremos que

�B = B(ρ)φ.

Aplicaremos ahora la ley de Ampère. Considera-remos amperianas circulares de radio ρ, centradasen el eje del anillo y que se encuentran en el pla-no que contiene al eje central del toroide (eje delarrollamiento). Denotando por a y b a los radiosinternos y externo del toroide, respectivamente, sedistinguen tres zonas: ρ < a; a < ρ < b y b < ρ.

7.4 Flujo magnético y ley de Gauss para �B 11

lrd

ρ

a

b

I

Figura 7.14: Trayectoria de integración para elcálculo de la inducción magnética.

En los tres casos, las circulación vale

∮

C

�B · d�� = B

∮

C

d� = B2πρ

Para la corriente encerrada tenemos:

Ienc =

0 ρ < aNI a < ρ < b0 b < ρ

Sustituyendo esto resultados en la ley de Ampère,se obtiene

�B =

0 ρ < aµ0NI

2πρφ a < ρ < b

0 b < ρ

En algunas situaciones, conviene aproximar esta ex-presión por una constante. Esto puede hacerse sinmás que reemplazar la coordenada ρ por el radiomedio del toroide, es decir

ρ a+ b

2,

entonces

�B =µ0NI

π(a+ b)φ

7.4 Flujo magnético y ley deGauss para �B

7.4.1 Flujo magnético:

El flujo magnético se define de la misma maneraque el flujo eléctrico.

Supongamos que tenemos una superficie S a laque dividimos en elementos infinitesimales d�S deforma que este vector sea perpendicular a la super-ficie en cada punto.

El flujo magnético de �B a través de d�S se definecomo

dΦm = �B · d�S

El flujo a través de toda la superficie se obtendríapor integración, de manera que

Φm =

∫∫

S

�B · d�S

La unidad de flujo magnético es el weber, de ma-nera que 1Wb= 1T×m2.

Ejemplo 11 Hallar el flujo magnético a través dela sección circular de un solenoide con un radio in-terno a = 7, 5mm, un número de vueltas por uni-dad de longitud n = 2× 103m−1 y por el que pasauna corriente I = 320mA.

Solución:

Φm =

∫∫

S

�B·d�S = BS = µ0nIπa2 = 1, 4×10−7 Wb

Ejemplo 12 Una espira rectangular de ancho a yde altura b se encuentra a una distancia c de unhilo infinito que transporta una corriente I. El hiloes paralelo al lado b de la espira. Hallar el flujomagnético a través de la espira.

7.5 Magnetismo en la materia 12

I

c a

b

z

O y

Figura 7.15: Flujo magnético a través de una espirarectangular debido a un hilo infinito de corriente.Geometría del problema.

Solución:Según la definición de flujo, tendremos que calcu-

lar

Φm =

∫∫

Se sp ir a

�Bhilo · d�S.

La inducción magnética producida por un cable delongitud infinita vale

�Bhilo =µ0I

2πρφ.

En el plano de la espira se cumple ρ = y y φ = −x,por tanto

�Bhilo = −µ0I

2πyx.

El diferencial de superficie para la espira es d�S =−dydz x, por tanto el flujo será

Φm =

∫∫

Se s p ir a

�Bhilo · d�S

=

∫∫

Se s p ir a

(−µ0I

2πyx

)· (−dydzx)

=µ0I

2π

∫ b

0

dz

∫ c+a

c

1

ydy

=µ0Ib

2πln

(c+ a

c

)

7.4.2 Ley de Gauss para �B

En Electrostática veíamos que el flujo del campoeléctrico era proporcional a la carga eléctrica ence-rrada, es decir, el número de líneas de campo que

salen a través de una superficie cerrada sólo depen-día de la carga neta encerrada.La situación es distinta en el caso de los campos

magnéticos. Las líneas de campo de estos últimosforman lazos cerrados por lo que, cuando considera-mos una superficie cerrada que rodea un volumenpor cada línea de fuerza que entra en el volumendebe haber otra que sale y el flujo será nulo:

Φm =

∮

S

�B · d�S = 0

La ecuación anterior muestra que la carga mag-nética encerrada en un volumen, cualquiera que és-te sea, es siempre nula, lo que implica que no exis-ten las cargas magnéticas o lo que es lo mismo,no hay polos magnéticos aislados. Las fuentes mássimples de campo magnético son los dipolos mag-néticos.

7.5 Magnetismo en la materia

Los átomos poseen momentos magnéticos debidostanto al movimiento orbital de los electrones comoal spin. Estos momentos magnéticos tienen un efec-to conjunto de modo que en la mayoría de los casosse producen interferencias de unos con otros dan-do como consecuencia un momento magnético totalnulo. Sin embargo, determinadas sustancias pre-sentan momentos magnéticos totales distintos decero incluso en ausencia de campos magnéticos ex-ternos, es decir, tienen momentos magnéticos per-manentes.Mediante el uso de la Física Clásica no es posible

estudiar los orígenes del magnetismo en la materiade forma satisfactoria; para ello es necesario recu-rrir a la Física Cuántica. En cambio si es posibledescribir los aspectos mas básicos del magnetismoen la materia apoyándonos en observaciones experi-mentales y en explicaciones de tipo fenomenológico.De esta manera es posible clasificar la casi tota-

lidad de los materiales frente a su comportamientomagnético en tres categorías:

• Materiales diamagnéticos: no tienen mo-mentos magnéticos permanentes. Si a estosmateriales se les somete a un campo magnéticoexterno, aparecen momentos magnéticos indu-cidos. En realidad estos momentos magnéticosinducidos aparecen en todos los materiales por


lo que se puede decir que todos los materia-les son diamagnéticos. Sin embargo, el efectodiamagnético es tan débil frente a otros efec-tos que su presencia pasa desapercibida cuandolos materiales presentan momentos magnéticospermanentes.

• Materiales paramagnéticos: El paramag-netismo se produce cuando al aplicar un cam-po magnético externo los dipolos magnéticospermanentes sufren una alineación parcial coneste campo externo. En estos materiales, la in-teracción entre los momentos magnéticos per-manentes es débil de manera que se encuentranorientados aleatoriamente. La alineación par-cial que sufren los dipolos en presencia de cam-po externo crece con la intensidad del campoy decrece con el aumento de temperatura.

• Materiales ferromagnéticos: Su comporta-miento es muy complejo. Presentan una fuer-te interacción entre los momentos magnéticosvecinos por lo que el alineamiento, incluso enausencia de campo magnético externo, es muyfuerte. De esta manera pueden formar imanespermanentes.

7.5.1 Corrientes de magnetización yvector magnetización

El estudio de los materiales magnéticos sigue uncamino muy similar al de los materiales dieléctricos.Supongamos que colocamos algún tipo de mate-

rial dentro de un campo magnético. Por ejemplo,podríamos situar un material de forma cilíndrica enel interior de un solenoide.El material se magnetiza de manera que las co-

rrientes atómicas del cilindro se alinean de maneraque sus momentos magnéticos respectivos quedanparalelos al eje del cilindro.Debido a la cancelación recíproca de las corrien-

tes entre momentos magnéticos vecinos la corrienteneta en cualquier punto del interior del material esnula, quedando sólo una corriente neta de natura-leza superficial como muestra la figura 7.16, por loque el material magnético se comportaría de formasimilar a como lo hace un solenoide.Otra forma de estudiar el problema es definir

en el interior del material una densidad de dipo-los magnéticos mediante un nuevo campo vectorial

denominado vector magnetización �M , como la den-sidad de momento magnético por unidad de volu-men, es decir

�M =d�m

dτ

=

Figura 7.16: Las corrientes en el interior de un ma-terial uniformemente imanado se cancelan quedan-do sólo una corriente neta de naturaleza superficial.

Parece evidente que ambas magnitudes, la den-sidad de corriente equivalente y la magnetizacióndeben estar relacionadas.No entraremos aquí a estudiar estas relación sino

que seguiremos un camino similar al que utilizamosen medios dieléctricos definiendo un nuevo vectordenominado intensidad de campo.

7.5.2 Intensidad de campo magnéti-co �H

Supongamos que disponemos de una región en laque existe un campo magnético �B0 producido poralgún conductor por el que circula corriente.Si llenamos esa región con un material, el campo

magnético total �B en la región sería

�B = �B0 + �Bm

donde �Bm es el campo producido por el material.Parece claro que el valor de �Bm debe estar rela-

cionado con el vector magnetización �M de maneralineal. Es posible demostrar que

�Bm = µ0 �M

Resulta conveniente introducir un nuevo vectordenominado intensidad de campo magnético�H de manera que

�H =�B

µ0− �M


En el caso de estar en el vacío, el vector magne-tización sería nulo con lo que

�H =�B

µ0

De la ecuación que define �H de forma generalpodemos hallar �B

�B = µ0

(�H + �M

)

Tanto �H como �M tienen dimensiones de Am.Para poder comprender mejor las implicaciones

de las expresiones anteriores consideremos el casoparticular de un toroide que conduce una corrienteI así como el espacio encerrado por el toroide. Sieste espacio estuviera vacío

�M = 0�B = �B0 = µ0

�H

Tal y como vimos, en el caso del toroide vacío

�B0 = µ0nI z

por lo queµ0nI = µ0H

es decirH = nI

Si ahora llenamos el interior del toroide con unasustancia magnética, H dentro de la sustancia nocambia y sigue valiendo nI, por lo que el vectorintensidad de campo magnético sólo depende de lascorrientes verdaderas, es decir de las corrientes enel devanado del toroide.Sin embargo el campo magnético �B = �B0 + �Bm

depende tanto de las corrientes verdaderas �B0 comode las de magnetización �Bm es decir, de todos lostipos de corriente.Vemos como el papel de �H es similar al que

en Electrostática juega el vector desplazamiento �Dmientras que el jugado por el campo magnético �Bes similar al del campo eléctrico �E.

7.5.3 Clasificación de las sustanciasmagnéticas

En la mayor parte de las sustancias, por ejemplo enlas diamagnéticas y en las paramagnéticas, el vector

magnetización �M es proporcional a la intensidad decampo �H. En este caso se puede escribir

�M = χ �H

donde χ es un factor llamado susceptibilidadmagnética que no tiene dimensiones.Para muestras paramagnéticas χ es positivo y �M

y �H tienen la misma dirección, mientras que paramuestras diamagnéticas χ es negativo y �M y �Htienen direcciones opuestas. La relación entre �M y�H en las sustancias ferromagnéticas es mucho mascomplicada que la descrita.Si sustituimos la relación anterior en la expresión

de la inducción magnética obtenemos

�B = µ0

(�H + �M

)

= µ0

(�H + χ �H

)= µ0 (1 + χ) �H

o bien�B = µ �H

donde la constante µ recibe el nombre de permea-bilidad magnética del material

µ = µ0 (1 + χ)

Podemos hacer una clasificación del comporta-miento de la materia en presencia de campos mag-néticos en función del valor de la permeabilidadmagnética de la siguiente forma:

Diamagnéticas µ < µ0Paramagnéticas µ > µ0Ferromagnéticas µ� µ0

En las sustancias diamagnéticas, que son las masusadas en ingeniería de comunicaciones, se cumpleque µ es casi idéntico a µ0 por lo que habitualmentese hace µ = µ0.

Ejemplo 13 El devanado de un toroide tiene60 vueltas/m de hilo de cobre que transporta unacorriente de 5A. El núcleo es de hierro con unapermeabilidad magnética de 5000µ0 en las condi-

ciones que se indican. Hallar �H, �B y �M tanto siel núcleo fuera el vacío como si fuera hierro.

Solución:


En el vacío:

H0 = nI = 60vueltas/m×5A = 300vueltas×A/m

B0 = µ0H = 4π × 10−7 × 300 = 3× 10−4T

M = 0

y en el hierro:

H = 300vueltas×A/m

B = µmH = 5000× 4π × 10−7 × 300 = 1.88T

M = 1.5× 106A/m

siendo B 5000 veces mayor que B0.

7.5.4 Ferromagnetismo

Los materiales ferromagnéticos son sustancias denaturaleza cristalina (su estructura atómica inter-na está ordenada) que presentan dipolos magnéti-cos permanentes y muestran efectos magnéticos in-tensos, como por ejemplo el hierro, cobalto, níquel,etc. Los momentos magnéticos permanentes de es-tas sustancias tienden a alinearse paralelos entresí, incluso en presencia de campos magnéticos muydébiles. Una vez alineados, la sustancia permanecemagnetizada incluso en ausencia de campo mag-nético externo, es decir, presenta magnetizaciónpermanente (son imanes). Esto se debe al fuer-te acoplamiento entre momentos magnéticos próxi-mos.En los materiales ferromagnéticos hay unas re-

giones microscópicas denominadas dominios, den-tro de las cuales todos los momentos magnéticosestán alineados. El tamaño de estos dominios estácomprendido entre 10−8m y 10−12m. Las fronte-ras entre los dominios se llaman paredes de losdominios.Cuando la muestra está desmagnetizada los do-

minios se orientan al azar de manera que el mo-mento magnético total es nulo como se muestra enla figura 7.17.Cuando la muestra se somete a un campo mag-

nético externo, los momentos de algunos dominiostienden a alinearse con el campo lo que da lugara una magnetización total neta distinta de cero.Las observaciones experimentales muestran que losdominios orientados en la dirección del campo apli-cado crecen a expensas de los no orientados.

Figura 7.17: Dominios magnéticos en un medio fe-rromagnético. Cuando el material está desmagneti-zado los dominios se orientan al azar y el momentomagnético total es nulo.

Al eliminar el campo externo puede permaneceruna magnetización debido a que el predominio dedominios orientados permanece. La agitación tér-mica a temperaturas normales no es suficiente pararomper esta orientación privilegiada.Pensemos en un sistema experimental capaz de

medir la respuesta característica de un material fe-rromagnético. Supongamos una muestra de un ma-terial de este tipo con forma de toroide. Sobre estamuestra se realiza un arrollamiento de N vueltasque se conecta a un generador. Para medir el flujomagnético en este toroide se usa una segunda bobi-na que también utiliza el toroide como núcleo perocuyos terminales están unidos a un galvanómetro.

G

Figura 7.18: Sistema experimental para la medir larespuesta magnética de un material ferromagnéti-co. Sobre el material, con forma de toroide, se re-alizan dos arrollamientos. En el primero se conectaun generador y en el segundo un galvanómetro.

Se aumenta el flujo magnético aumentando la in-


tensidad de la primera bobina desde 0 hasta I. Enla segunda bobina se detecta esta variación del flujo(se induce una corriente en la segunda bobina tal ycomo veremos en el siguiente tema). El dispositivocompleto se muestra en la figura 7.18.

Supongamos ahora que, inicialmente la muestraestá desmagnetizada. Al aumentar la corriente des-de 0 hasta I el campo H aumenta desde 0 hasta nI.Esto hace que B aumente. La curva que describe lavariación de B con H se muestra en la figura 7.19y corresponde a la zona Oa

a

b

c

d

e

fH

B

O

Figura 7.19: Ciclo de histéresis de un material mag-nético.

A medida que el campo aumenta también au-menta el número de dipolos alineados que se hacemáximo al llegar al punto a. En este punto el núcleode hierro estará próximo a la saturación, es decir,con la totalidad de sus dominios orientado en lamisma dirección del campo.

Si ahora la corriente se reduce a cero eliminandoel campo externo, la curva de magnetización ocurva B-H sigue el camino ab. Vemos que en b lainducción magnética �B no es cero aunque si lo esel campo externo �H, lo que se explica por el hechode que, ahora, el núcleo de hierro del toroide estámagnetizado debido a la magnetización remanenteproducida por el alineamiento de un gran númerode dipolos.

Si a partir de b invertimos el campo externo y au-mentamos su intensidad los dominios se reorientanen la nueva dirección del campo hasta que la mues-tra está de nuevo desmagnetizada cuando se llega

al punto c donde �B = 0. Un aumento adicional dela corriente provoca que el hierro se magnetice enla dirección opuesta acercándose a la saturación alllegar al punto d.Si ahora invertimos todo el proceso reduciendo

primero la corriente a cero, y luego la aumentamospero en la dirección positiva se sigue la trayecto-ria defa. Vemos que de esta manera se ha descritoun ciclo conocido como ciclo de histéresis que escaracterístico y distinto para cada material ferro-magnético.Así por ejemplo, el ciclo de histéresis mostrado

en la figura 7.20.a es característico de las sustan-cias ferromagnéticas denominadas duras: es ancholo que indica una magnetización remanente grande.Los materiales ”blandos” como el hierro muestranciclos estrechos y se magnetizan y desmagnetizancon facilidad, figura 7.20.b. Así el área encerradaen el lazo representa el trabajo necesario para lle-var el material por el ciclo de histéresis. Por ellolos materiales de determinados dispositivos comolos transformadores deben hacerse con materialesblandos para que las pérdidas de energía sean míni-mas

H

B

H

B

a) b)

Figura 7.20: Ciclos de histéresis: a) Material mag-néticamente duro, el campo remanente es grande.b) Material magnéticamente blando, el campo re-manente es pequeño.

Índicegeneral - open course ware · 7.2leydebiotysavart 4...

Documents