Índice general

Índice general 1

1. Introducción 3

1.1. Reconstrucción mamaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3. Metodoloǵıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Caracterización de los tejidos que conforman la mama . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Objetivos del proyecto fin de máster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Comportamiento mecánico de tejidos blandos 15

2.1. Medios Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Cinemática del sólido deformable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.2. Tensores de tensión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2. Hiperelasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.1. Hiperelasticidad incompresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.2. Hiperelasticidad compresible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3. Modelos hiperelásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.2.4. Tensores de elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3. Estado del arte de los modelos de comportamiento de los tejidos graso y

glandular mamarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.1. Ensayo experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3. Modelo y cálculo numérico 53

3.1. Modelo de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1

2 ÍNDICE GENERAL

3.2. Cargas y condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.1. Desplazamientos restrigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.2.2. Desplazamientos impuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3. Ajuste por mı́nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4. Resultados 67

4.1. Compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.2. Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.3. Intercambio de las constantes entre compresión y tracción . . . . . . . . . . . 75

4.4. Compresión y Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.6. Compresión, tracción y cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5. Conclusiones y trabajos futuros 95

5.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Bibliograf́ıa 99

Caṕıtulo 1

Introducción

Para comprender la motivación de este trabajo, es necesario decir que forma parte de

otro proyecto mayor, denominado “Modelado numérico de un proceso de reconstrucción

mamaria”, el cual se introduce a continuación, para estar en disposición de entender el

contexto en que se encuadra el estudio que se desarrollará a lo largo de estas páginas. Aśı,

en primer lugar se explica brevemente en que consiste el proyecto global y los objetivos

que pretende alcanzar, sus antecedentes y la metodoloǵıa a seguir. Posteriormente en esta

introducción se establece la relación entre el proyecto global y este trabajo fin de máster, para

después terminar particularizando los objetivos que persigue este último,de gran utilidad

para la consecución de la meta final.

1.1. Reconstrucción mamaria

La reconstrucción de la mama tras su extirpación por cáncer de mama u otra enfermedad

constituye una parte esencial del tratamiento y rehabilitación de las pacientes. Actualmente

constituye una práctica habitual, ya que puede proporcionar un gran beneficio f́ısico y, sobre

todo, psicológico a la paciente mastectomizada. Sin embargo, la mayoŕıa de los cirujanos

realizan este tipo de reconstrucciones en base a sus conocimientos emṕıricos, dadas las

limitaciones de los protocolos de que disponen.

En los últimos años se han producido avances importantes en el uso de técnicas de

realidad virtual para la planificación de operaciones quirúrgicas [9], y concretamente para

la planificación de intervenciones de reconstrucción mamaria, obteniéndose resultados muy

3

4 Introducción

satisfactorios [7]. En esa ĺınea, el Hospital Universitario Virgen del Roćıo (HUVR) lleva varios

años (desde el año 2005) desarrollando una herramienta de realidad virtual, denominada

VirSSPA (Virtual Servicio Sanitario Público Andaluz), para la planificación y optimización

de intervenciones quirúrgicas [10,11]. Dicha herramienta, aunque está en fase de desarrollo,

está dando muy buenos resultados en la planificación de diversos tipos de operaciones, entre

las que cabe destacar la de trasplante de tejido facial realizada en enero de 2011. Entre

los tipos de intervenciones que se pretenden simular están las de reconstrucción mamaria a

pacientes mastectomizadas mediante trasplante de tejido del propio paciente. En esa ĺınea,

ya han comenzado a analizar imágenes de las zonas de extracción e implantación obtenidas

con TACs para la planificación de las intervenciones [10]. Un paso importante y necesario

en el uso de las técnicas de realidad virtual en la planificación de las intervenciones es la

inclusión de las caracteŕısticas de flexibilidad de los tejidos, con objeto de poder planificar la

forma y volumen de tejido a extraer para conseguir la forma simétrica de la mama sana. Por

ello, el objetivo del proyecto, en el cual se engloba este trabajo, consiste en el estudio de las

posibilidades de la planificación prequirúrgica en reconstrucción mamaria con la herramienta

de realidad virtual VirSSPA y el diseño de un procedimiento basado en análisis mediante

elementos finitos (EF) para predecir el comportamiento de los tejidos previa y posteriormente

a la implantación y obtener los mejores resultados funcionales y estéticos en las pacientes,

con la menor morbilidad y en el menor tiempo quirúrgico posible.

En ĺıneas generales pueden distinguirse dos tipos de reconstrucción. En un caso, tras la

mastectomı́a se comienza un proceso de aumento del volumen de la zona de la mama median-

te la colocación de una prótesis de volumen variable, que va aumentándose progresivamente,

hasta que alcanza la dimensión suficiente para colocar un implante. Posteriormente, se le

da forma a la mama y se reconstruye el pezón. En el otro tipo, que es el que interesa en

este proyecto, se realiza un trasplante de tejidos desde el costado, el abdomen u otras zonas

del cuerpo y se implanta en la zona de la mama [5, 13]. La geometŕıa del trozo de tejido

trasplantado debe ser tal que permita generar una forma lo más parecida posible a la de

la mama deseada. Posteriormente se retoca la geometŕıa y se reconstruye el pezón. En es-

te segundo caso, la consecución o no de la forma deseada depende en gran medida de la

geometŕıa del trozo de tejido trasplantado. Para decidir sobre dicha geometŕıa no basta con

definir el desarrollo de la superficie de la mama a obtener; es fundamental ser capaces de

predecir las diferencias de deformación que se producirán en el tejido como resultado de

1.1 Reconstrucción mamaria 5

haberlo cambiado de posición y la diferencia de tensiones a las que está sometido en cada

ubicación. Además, deben conocerse las deformaciones que se producirán en el conjunto

mama-tejidos circundantes como consecuencia de su interacción.

De acuerdo con lo anterior, para definir el desarrollo de superficie a cortar en la zona de

origen, de forma que una vez implantado genere un volumen igual al de la mama deseada,

hace falta conocer el comportamiento mecánico del tejido, tanto en el lugar de origen como

en el de destino, y sometido a las fuerzas e interacciones correspondientes en cada caso. El

proceso a seguir para ello podŕıa definirse de forma simplista como se indica a continuación.

Representación del tejido implantado en la mama con la forma deseada y sometido a

las tensiones producidas por la gravedad, posibles prótesis colocadas en su interior e

interacción con los tejidos circundantes (figura 1.1).

Figura 1.1: Tejido implantado en la mama.

Corte del tejido por la zona en que se realizarán las costuras al implantarlo (figura

1.2).

Figura 1.2: Corte del tejido.

Eliminación de las tensiones a las que estaba previamente sometido, dejando el tejido

totalmente libre de tensiones. (figura 1.3).

6 Introducción

Figura 1.3: Liberación de tensiones.

Colocación del tejido desarrollado en la zona de origen y aplicación de las tensiones a

que lo someten el nuevo entorno (figura 1.4).

Determinación de la nueva forma del desarrollo de tejido una vez sometido a las ten-

siones indicadas (figura 1.4).

Figura 1.4: Determinación de la nueva forma.

Dicha geometŕıa será la forma del desarrollo de tejido a cortar de la zona de origen. Para

poder desarrollar todo el proceso anteriormente indicado es necesario resolver un número

importante de problemas, algunos de los cuales se plantean en el proyecto propuesto. Entre

ellos, cabe mencionar algunos, como son:

Determinación de las propiedades mecánicas de los diferentes tejidos implicados en el

problema tanto biológicos como los de las prótesis. Comprobación y comparación con

datos de la bibliograf́ıa.

Definición de determinadas propiedades biomecánicas de los tejidos a partir de imáge-

nes obtenidas en TACs. Para poder reconstruir el modelo de la geometŕıa del paciente

es necesario identificar la densidad de cada tejido en los TACs con la de los materiales

ensayados en el laboratorio para aśı poder asignar propiedades del material lo más

realistas posibles al modelo.

Desarrollo de modelos numéricos de la mama o del vientre a partir de la geometŕıa

1.1 Reconstrucción mamaria 7

obtenida mediante alguno de los procedimientos posibles, ya sean TACs, resonancia

magnética o fotogrametŕıa tridimensional.

Definición de las solicitaciones e interacciones a que están sometidos los tejidos en

las diferentes ubicaciones, incluyendo el efecto de posibles implantes colocados en la

mama.

Desarrollo de modelos de comportamiento de los tejidos a partir de los ensayos mecáni-

cos realizados y resultados obtenidos de la bibliograf́ıa. Dichos modelos deben tener en

cuenta tanto las caracteŕısticas no lineales de los tejidos implicados como la evolución

de las mismas con el tiempo.

Definición de las propiedades de las conexiones entre tejidos y el efecto de los tejidos

adyacentes.

Definición de un modelo completo de comportamiento biomecánico de la zona de ex-

tracción del tejido y de la mama, en los que se incluirá la geometŕıa, propiedades

biomecánicas de los tejidos y comportamiento de los mismos, aśı como las solicitacio-

nes a que estarán sometidos.

El objetivo final a conseguir a medio plazo puede definirse como el desarrollo de un

software de realidad virtual que permita planificar las operaciones de reconstrucción mamaria

mediante el injerto de tejidos e implantes artificiales, reproduciendo virtualmente el proceso

de reconstrucción. El trabajo que aqúı se expone alcanza un objetivo parcial necesario para

conseguir el objetivo final antes citado. La consecución de dicho objetivo requiere el desarrollo

de un software espećıfico que realice diversas tareas, entre las que cabe destacar la obtención

de la geometŕıa de la mama a partir de imágenes de TACs, resonancia magnética (MRI) o

fotogrametŕıa, la planificación de la geometŕıa de tejido a extraer del vientre para su injerto

en la mama o la determinación de la forma final de la mama, después del injerto del nuevo

tejido y la colocación del implante artificial correspondiente.

Las herramientas existentes hasta ahora en el mercado permiten, a partir de imágenes

del paciente, reconstruir la imagen deseada de la mama afectada. Actualmente, este tipo

de reconstrucciones son realizadas por el cirujano en base a sus conocimientos emṕıricos.

No tiene en cuenta las propiedades de los distintos materiales que componen la mama o las

cargas a las que está sometida. Por ello, el desarrollo de un modelo numérico que permita

8 Introducción

simular el proceso de reconstrucción mamaria para cada paciente constituye un reto de

enorme interés cĺınico y el objetivo del proyecto global.

1.2. Antecedentes

El estudio de la mecánica del comportamiento de los tejidos vivos es de gran actuali-

dad y recibe una atención por parte de la comunidad cient́ıfica internacional cada vez más

importante. Son muchos los grupos de investigación en ciencias e ingenieŕıa que están vol-

viendo sus miras hacia la Bioingenieŕıa, aprovechando su experiencia en otros campos de la

ciencia para aplicarlos al estudio de los sistemas biológicos en general y del cuerpo humano

en particular. Esta creciente atención a la Bioingenieŕıa es algo lógico, ya que la ciencia debe

responder a los problemas a los que se enfrenta el hombre y uno de los más importantes es

la salud. Desde el punto de vista de un ingeniero, el cuerpo humano se puede ver como una

máquina en la que su correcto funcionamiento está ı́ntimamente ligado al estado de salud.

Aunque puede parecer que la Medicina y la Bioloǵıa son las disciplinas más adecuadas para

abordar el problema, hay diversos aspectos de los procesos biológicos que requieren de la

participación de otras disciplinas como la Dinámica de Sistemas Multicuerpo, la teoŕıa de los

Medios Continuos, la Mecánica de Fluidos, la Electrotecnia, etc. Los Métodos Computacio-

nales son también muy útiles para su aplicación al análisis y modelado de cualquier sistema

biológico. Es aqúı donde entra en juego el papel del ingeniero u otros cient́ıficos. La investi-

gación en Bioingenieŕıa es, por tanto, claramente multidisciplinar y requiere ineludiblemente

de la colaboración entre grupos cuyas ĺıneas de investigación se cruzan continuamente.

Dentro de la Bioingenieŕıa, la Biomecánica fue una de las primeras disciplinas en desarro-

llarse. Ya durante la década de los 70, varios investigadores que trabajaban en biomecánica

comenzaron a interesarse en la caracterización de las propiedades mecánicas de los teji-

dos blandos, buscando ecuaciones constitutivas fenomenológicas para su comportamiento

mecánico. Los primeros trabajos se centraron en tejidos como los tendones, ligamentos o

arterias [8]. Sin embargo hoy en d́ıa, con el desarrollo de los ordenadores, se puede encon-

trar una amplia variedad de modelos constitutivos de un gran número de tejidos blandos

(cerebro, h́ıgado, corazón, etc).

Un claro ejemplo de tejido blando es la mama ya que soporta deformaciones de hasta el

60 % [3]. En el campo de la reconstrucción mamaria, se han desarrollado una gran cantidad

de modelos biomecánicos de la mama para analizar su comportamiento en diversas situacio-

1.2 Antecedentes 9

nes. Samani et al. [27,28] simularon con un modelo de EF, el comportamiento frente a cargas

del pecho femenino con dos enfoques distintos. En primer lugar, consideraron un comporta-

miento elástico lineal de los tejidos y simularon deformaciones del 50 % en el pecho [27]. Por

otro lado, implementaron un modelo hiperelástico para caracterizar el comportamiento del

material [28], basado en las medidas de Wellman [37]. Ruiter et al. [25] simularon, asumien-

do un comportamiento elástico lineal de los tejidos, deformaciones similares a las obtenidas

cĺınicamente con mamograf́ıas realizadas con rayos X. Por otro lado, Azar et al. [1, 2] tam-

bién usaron los parámetros de Wellman para caracterizar el comportamiento del material

en sus simulaciones de EF.

A pesar de que existen numerosos estudios computacionales que caracterizan el com-

portamiento de la mama y lo simulan en diversas situaciones aún quedan muchos aspectos

por estudiar, mejorar y desarrollar desde el punto de vista numérico. Estos aspectos cabe

dividirlos en 2 partes: los relativos a la mejora de los modelos constitutivos ya desarrollados

y los que involucran la generación de los modelos de elementos finitos de la mama sana y

con prótesis.

En relación a los modelos constitutivos, existe una gran variedad de aproximaciones para

los distintos componentes de la mama. Se trata de un tejido compuesto principalmente de

piel, grasa y glándula, con unas propiedades mecánicas que vaŕıan según factores genéticos

y edad [22]. Las propiedades mecánicas de los tejidos fibroglandulares y grasos se establecen

generalmente a partir de experimentos de indentación ex vivo [16,32,37]. En estos trabajos se

demuestra que el tejido fibroglandular es más ŕıgido que el tejido graso. En la mayoŕıa de los

estudios computacionales se hace uso de funciones de enerǵıa de deformación polinomiales o

exponenciales que se ajustan a estos datos experimentales [2,20,21,24,33]. En otros estudios,

por el contrario, se considera un comportamiento elástico lineal de los tejidos [27]. Ruiter et

al. [25] compararon estas leyes constitutivas y concluyeron que los modelos Neo-Hookeanos y

exponenciales son buenas aproximaciones mientras que el comportamiento elástico lineal no

proporciona resultados fiables. Con respecto a la piel, se trata de un tejido que presenta un

comportamiento mecánico no lineal, viscoelástico y con tensiones residuales [35]. Reishner et

al. [23] examinaron el comportamiento bidimensional mecánico de muestras humanas de la

piel obtenidas de distintos sitios anatómicos, y demostraron que la piel presentaba distintos

grados de anisotroṕıa según la región del cuerpo. Sin embargo, a pesar de su anisotroṕıa,

algunos estudios numéricos han aproximado su comportamiento con modelos hiperelásticos

10 Introducción

isótropos [1,6]. Otros trabajos, por el contrario, la consideraron como elástica lineal e isótropa

para tensiones inferiores al 50 % [28]. Por lo tanto, dada la gran variedad de parámetros y

modelos, es fundamental caracterizar el comportamiento de los distintos componentes de la

mama para aśı poder hacer uso de leyes constitutivas lo más realistas posibles.

En relación a la generación de los modelos, hoy en d́ıa algunas de las aplicaciones de los

elementos finitos ya desarrolladas incluyen la gúıa de la biopsia cĺınica [1], el modelado de

compresiones similares a las generadas en las mamograf́ıas con rayos X [20,28], la validación

de algoritmos de registro no ŕıgidos [33], la elastograf́ıa [21] y el comportamiento de mamas

sanas en diferentes posturas [6]. Sin embargo, existen pocos estudios numéricos que definan

la geometŕıa de tejido a extraer para obtener la geometŕıa de mama deseada, después de la

implantación del tejido y la colocación de la prótesis correspondiente. En concreto, Huang

et al. [15] desarrollaron una ciruǵıa plástica virtual de reconstrucción de pecho a través

del desarrollo previo de la mama sana del paciente. Proponen un método sencillo pero

muy simplista de masa-muelle para transformar la superficie curva de la mama sana en

una superficie plana; modelo que es mejorable incorporando modelos más realistas para los

tejidos blandos. En esta ĺınea se plantean los objetivos de este proyecto.

1.3. Metodoloǵıa

1. Revisión bibliográfica. Se centrará en la búsqueda de datos experimentales ya exis-

tentes de las propiedades mecánicas de los tejidos de la mama y el vientre, y al estudio

de los modelos constitutivos existentes para caracterizarlos y de los métodos de ensayo

existentes.

2. Determinación de las propiedades biomecánicas de los tejidos que inter-

vienen en el proceso. Además de las propiedades que se puedan obtener de la bi-

bliograf́ıa, se realizarán experimentos para determinar las propiedades de tejidos tales

como la piel, grasa, músculo y tejido glandular de la mama.

3. Realización de un modelo de mama sana. Aunque en la reconstrucción no hay

que modelar una mama sana, el primer paso para el modelado de la mama reconstruida

será la confección de un modelo lo más completo posible de la mama sana. La validación

del modelo de mama sana permitirá saber la calidad de los modelos constitutivos de

tejidos empleados, además de la capacidad del modelo para representar las interfases

1.4 Caracterización de los tejidos que conforman la mama 11

entre tejidos y las condiciones de contorno.

4. Realización de un modelo de la zona de extracción de los tejidos a implantar.

Esta fase será muy similar a la comentada en el punto 4, con las particularidades

producidas por ser diferente tanto la geometŕıa como las propiedades de los tejidos, la

combinación de los mismos y las condiciones de contorno.

5. Realización de modelo de mama implantada. Reproducción de al menos un caso

real de reconstrucción realizada, para comprobar el comportamiento del modelo. Se

modelará con la geometŕıa real resultante y las propiedades estimadas de los tejidos

de la zona de donde se ha extráıdo el injerto, los tejidos propios que mantenga la zona

de la mama y los circundantes.

6. Determinación de la geometŕıa del injerto a extraer. Esta fase consiste en la

determinación del desarrollo del área de tejido a extraer, para que una vez implan-

tado en la mama adquiera la forma deseada. Para ello se hará uso de los modelos

desarrollados previamente.

7. Validación y pilotaje del método propuesto. Esta fase se iniciará en el momento

en que comiencen a obtenerse resultados de modelos que sean contrastables con los

reales y se irá desarrollando a lo largo de todo el proyecto.

1.4. Caracterización de los tejidos que conforman la ma-

ma

Los órganos del cuerpo humano están compuestos, por lo general, por distintos tipos de

tejidos, cada uno de los cuales cumple una determinada función en dicho órgano. Desde un

punto de vista mecánico, se podŕıa decir que están formados por una mezcla de materiales,

que en muchos casos pueden tener propiedades muy diferentes y que se encuentran distribui-

dos de una cierta forma en el órgano en cuestión. La complejidad estriba, en primer lugar, en

el casi desconocimiento de las propiedades mecánicas de los tejidos vivos, más particularmen-

te de los tejidos blandos, y en segundo lugar, en que la distribución de los mismos no suele

estar perfectamente definida, es decir, que en la mayoŕıa de las ocasiones se entremezclan

entre ellos quedando sus ĺımites bastante difuminados. Además, hay que tener en cuenta el

12 Introducción

hecho de que tanto la proporción de cada uno de los tejidos como su localización dentro del

órgano suele depender en gran medida de factores como la edad, complexión, genética, sexo,

etc, lo que dificulta la realización de un modelo que tenga validez “universal”para cualquier

sujeto.

Este trabajo en concreto se centra en un órgano, la mama femenina. En una mujer adulta

esta compuesta principalmente por grasa,el sistema glándular mamario, piel y ligamentos.

Las proporciones de cada uno de estos tejidos no es igual en todas los mujeres, si no que

vaŕıa mucho de un sujeto a otro.

La envoltura adiposa de la mama consiste en abundante tejido adiposo que se encuen-

tra por debajo de la piel de la región mamaria, la envuelve y le sirve de protección.

Consituye un porcentaje importante del volumen total del órgano, si bien es cierto que

entre dos mujeres diferentes pueden existir grandes diferencias. De forma genérica, el

tejido adiposo es un tipo de tejido conectivo (o conjuntivo) encargado de almacenar

la grasa del organismo. Es una importante reserva energética y un almohadillado pro-

tector de los órganos internos. Está integrado por células repletas de triglicéridos, los

adipocitos, con un rico lecho vascular.

La glándula mamaria consiste en un sistema glandular lobulado que produce una

secreción láctea después del parto y, mediante una serie de canaĺıculos, la transporta

al exterior. La glándula mamaria se divide en múltiples lobulillos que constituyen sus

unidades funcionales. Estos lóbulos glandulares se comunican con el exterior a través

del pezón mediante los conductos galactóforos. Este tejido también supone un volumen

considerable de la mama. La glándula mamaria pertenece al grupo de las glándulas

apocrinas, en las que los productos de secreción se acumulan en el interior de las células

hasta que la membrana celular se abre y libera la secreción, volviendo luego a cerrarse.

Son glándulas exocrinas compuestas alveolares y derivan del tejido epitelial.

La piel, tejido epitelial, envuelve los senos de la misma forma que al resto del cuerpo

humano. Tiene múltiples funciones entre las que se cuentan la protección, secreción y

absorción de sustancias, recepción sensorial, etc.

Los ligamentos suspensorios o ligamentos de Cooper están situados en la cara posterior

de la glándula mamaria y sirven de fijación de esta con la aponeurosis del músculo

pectoral mayor, que se encuentra justo detrás de ella. Son tejidos conectivos densos,

1.4 Caracterización de los tejidos que conforman la mama 13

formados por unas células, fibroblastos, una sustancia fundamental compuesta por

agua, azúcares y sales minerales, y fibras de colágeno, reticulina y elastina.

Figura 1.5: Anatomı́a de la mama femenina.

La mama limita en su parte posterior con el músculo pectoral mayor, las costillas y

los músculos intercostales que, junto con la piel que la envuelve exteriormente, confinan

el volumen interno de la mama. Este volumen interno está compuesto, como se ha visto

anteriormente, por glándula, grasa y ligamentos. Sin embargo, y tras consultar la literatura

y a médicos y cirujanos, se determina que el volumen de los ligamentos juega un papel poco

importante en el total, llegando a no poder ser diferenciados entre el tejido graso y glandular

existente en el transcuros de una operación (masectomı́a). Por tanto, se puede establecer que

la casi totalidad del volumen de la mama consiste en grasa y tejido glandular. No obstante,

no hay que olvidar que la principal función de estos ligamentos es el sostén de la glándula

mamaria, por lo que podŕıan tener una gran repercusión en el comportamiento mecánico del

conjunto. De hecho, los motivos por los que el pecho femenino pierde forma y cae con los

años es la distensión de la piel y de los ligamentos de Cooper. Pero a efectos de este estudio,

lo que reviste verdadera importancia es el aporte de cada tejido al volumen interno de la

mama, por lo que solo se tendrán en cuenta grasa y glándula. Ambos tejidos se encuentran

entremezclados, siendo muy dif́ıcil distinguirlos entre śı. Determinar los ĺımites entre uno

14 Introducción

y otro, con la perspectiva de realizar un modelo de elementos finitos que considere en la

mama regiones claramente delimitadas correspondientes a cada uno de los tejidos es harto

complicado. Por ello, al menos en primera aproximación, puede decirse que los tejidos están

aleatoriamente distribuidos y tratarlos como un tejido compuesto. Esta simplificación puede

ser muy útil desde distintos puntos de vista, entre ellos un proceso de modelado más sencillo

y la reducción del coste computacional.

1.5. Objetivos del proyecto fin de máster

El objetivo de este trabajo consiste en estudiar cómo afecta la distribución aleatoria de

grasa y glándula al tejido en su conjunto y proponer un modelo mecánico de la mama sana,

que proporcione las propiedades del material compuesto formado por una mezcla de tejido

graso y glandular en función de la proporción de cada uno de ellos. Se comprobará si el

tejido ”mezcla”posee un comportamiento intermedio al de los dos tejidos por separado, o si

por el contrario la combinación de ambos aporta al conjunto unas propiedades distintas por

completo.

La metodoloǵıa a seguir consistirá, en ĺıneas generales, en la realización de una serie de

simulaciones mediante un programa de elementos finitos, de un material compuesto por una

mezcla aleatoria de grasa y glándula en una determinadas proporciones. Se analizarán varias

distribuciones aleatorias y proporciones de materiales, y varios estados de carga diferentes.

Con los resultados obtenidos de estas simulaciones, y haciendo uso de una serie de expresiones

teóricas que relacionan parámetros de tensión con parámetros de deformación y que se

desarrollaran a lo largo del caṕıtulo 2, se ajustarán las constantes de las cuales depende el

modelo de comportamiento, siguiendo el criterio de que el error cometido en este ajuste sea

mı́nimo, es decir, que el modelo obtenido reproduzca lo más fielmente posible, con el menor

error posible, todos las simulaciones realizadas mediante el programa de elementos finitos.

Caṕıtulo 2

Comportamiento mecánico de

tejidos blandos

Los tejidos blandos considerados en este trabajo son los tejidos graso y glandular presen-

tes en la mama. En este apartado se presenta un resumen de los conceptos más importantes

de la teoŕıa de los medios continuos no lineal, necesaria para describir el comportamiento de

los materiales biológicos en general, y de los que serán tratados aqúı en particular.

La grasa es tejido adiposo, un tejido conectivo blando, mientras que la glándula forma

deriva del tejido epitelial. Ambos presentan un comportamiento ante la compresión no lineal,

es decir, el gráfico tensión-deformación no es una ĺınea recta con pendiente igual a la rigidez,

si no que se trata de una curva [26,29]. A diferencia de los tejidos duros, los tejidos blandos

pueden experimentar grandes deformaciones e incluso presentar comportamientos de tipo

viscoelástico (relajación y/o creep). Por ello, su comportamiento no puede ser estudiado

mediante la teoŕıa de la elasticidad, si no que hay que recurrir a una teoŕıa más general, con

un menor número de hipótesis que simplifiquen el problema.

2.1. Medios Continuos

La teoŕıa de los medios continuos es una herramienta útil a la hora de explicar con bas-

tante precisión una amplia variedad de fenómenos, sin llegar a introducirse en profundidad

en la compleja microestuctura interna de los materiales. En ĺıneas generales, se basa en:

15

16 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

1. El estudio del movimiento y la deformación (cinemática).

2. El estudio de la tensión en un medio continuo.

3. La descripción matemática de las leyes fundamentales de la f́ısica que gobiernan el

movimiento en un medio continuo (ecuaciones de balance).

A lo largo de este apartado se irán presentando los conceptos básicos y necesarios de

la teoŕıa de los medios continuos y de ellos se derivarán las ecuaciones y relaciones más

importantes.

2.1.1. Cinemática del sólido deformable

En un estudio de tipo macroscópico, un medio continuo posee unas dimensiones carac-

teŕısticas que son mucho mayores que los espacios intermoleculares y está determinado por

parámetros y magnitudes macroscópicas. Considérese un medio continuo B con una part́ıcu-

la P ∈ B que se encuentra en un espacio eucĺıdeo tridimensional en un determinado instante

de tiempo t, como se muestra en la figura [2.1].

Figura 2.1: Configuración y movimiento de un medio continuo [14].

2.1 Medios Continuos 17

Introducimos un sistema de referencia dextrógiro cartesiano con su origen fijo en O y

una base de vectores ortonormales ea, a = 1, 2, 3.. A medida que el medio continuo se mueve

en el espacio de un instante de tiempo al siguiente, va ocupando una serie de regiones del

espacio que se denotan como Ω0,...,Ω(t) en cada tiempo t. Por tanto, cada part́ıcula P de

B se corresponde con un punto que en cada región (Ω0,...,Ω(t)) ocupa una determinada

posición. Estas regiones se conocen como configuraciones de B en el tiempo t.

A la región en el tiempo inicial t = 0 se le llama configuración inicial, en nuestro caso,

Ω0, o también configuración fija de referencia (o indeformada) del cuerpo B. Nótese

que en dinámica no se suele elegir la configuración inicial como configuración de referencia.

En esta configuración inicial, el punto X ocupa la posición de una part́ıcula P ∈ B en t = 0,

y P se identifica mediante el vector de posición (o posición de referencia) X del punto

X, con respecto al origen fijo O.

Cuando el medio continuo se mueve, pasando de ocupar la región Ω0 a una nueva región

Ω en t > 0, la configuración de B se llama configuración actual (o deformada). Ahora, el

punto X de la configuración de referencia se ha transformado en el punto x de la configuración

actual. Las componentes del vector X reciben el nombre de coordenadas materiales (o de

referencia) del punto X y las componentes de x, coordenadas espaciales (o actuales)

del punto x.

A lo largo de este texto, para denotar magnitudes (escalares, vectoriales y tensoriales)

en la configuración inicial se usarán letras mayúsculas, mientras que las letras minúsculas

corresponderán a magnitudes en la configuración actual.

Otro concepto de importancia a definir es la descripción material (o de referencia),

que es la caracterización de cualquier magnitud con respecto de las coordenadas materiales

(X1, X2, X3) y el tiempo t, como se muestra en la ecuación [2.1]. Tradicionalmente, la

descripción material recibe el nombre de Lagrangiana.

x = κ[κ−10 (X, t)] = χ(X, t) (2.1)

De forma equivalente, se define la descripción espacial (o Euleriana) como la carac-

terización de cualquier magnitud con respecto de las coordenadas espaciales (x1, x2, x3) y

el tiempo t, como se muestra en la ecuación [2.2].

X = χ−1(x, t) (2.2)

18 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Desplazamiento

La descripción material del campo de desplazamientos, denotado por U, viene dada por:

U(X, t) = x(X, t)−X (2.3)

y relaciona la posición X de una part́ıcula en la configuración indeformada con su posición

x en la configuración deformada en el tiempo t.

En la descripción material, el campo de desplazamientos es función de la posición de

referencia X y del tiempo t. Por el contrario, el campo de desplazamientos en la descripción

espacial, denotado por u, es función de la posición actual x y del tiempo t.

u(x, t) = x−X(x, t) (2.4)

Gradiente de deformaciones

En el estudio de la deformación de un medio continuo (i.e. cambios de forma y volu-

men), una magnitud destacada es el tensor gradiente de deformaciones F, el cual aparece en

todas las ecuaciones que relacionan magnitudes antes de la deformación (indeformada) con

las magnitudes correspondientes después (o durante) la deformación. Este tensor permite

describir la posición espacial relativa de las part́ıculas después de la deformación en térmi-

nos de su posición material relativa antes de la deformación. Por tanto, es crucial para la

descripción de la deformación.

Definiendo el tensor gradiente de deformaciones F como:

F =∂x

∂X(2.5a)

FiI =∂xi∂XI

i, I = 1, 2, 3 (2.5b)

el vector dx puede obtenerse en función de dX como:

dx = F dX (2.6)

Nótese que F transforma vectores en la configuración inicial o de referencia en vectores en

la configuración actual, motivo por el cual se dice que F es un tensor bipunto. En notación

2.1 Medios Continuos 19

indicial (ecuación (2.5b)) el ı́ndice en letra minúscula se refiere a coordenadas espaciales

mientras que el ı́ndice en letra mayúscula a coordenadas materiales.

Aśı, el gradiente de deformaciones puede escribirse como:

F(X, t) =

∂x1∂X1

∂x1∂X2

∂x1∂X3

∂x2∂X1

∂x2∂X2

∂x2∂X3

∂x3∂X1

∂x3∂X2

∂x3∂X3

(2.7)El determinante del gradiente de deformaciones F, indicado como J y conocido como

ratio volumétrico o determinante del jacobiano, define el cambio de volumen entre la

configuración de referencia y la actual.

J = detF > 0 (2.8)

Debido a que F es invertible, J(X, t) 6= 0, y como consecuencia de la impenetrabilidad

de la materia, no puede darse la condición J(X, t) < 0 .

La inversa del gradiente de deformaciones se define como:

F−1(x, t) =

∂X1∂x1

∂X1∂x2

∂X1∂x3

∂X2∂x1

∂X2∂x2

∂X2∂x3

∂X3∂x1

∂X3∂x2

∂X3∂x3

(2.9)Las relaciones entre las magnitudes correspondientes a las descripciones material y espa-

cial puede expresarse a través de los conceptos de push-forward y pull-back. El push-forward

es una operación que transforma una magnitud vectorial o tensorial expresada en la con-

figuración material a la configuración espacial. El pull-back es la operación inversa, que

transforma una magnitud vectorial o tensorial expresada en la configuración espacial a la

configuración material. En este sentido, el vector espacial dx puede ser considerado como el

push-forward del vector material dX, es decir:

dx = φ∗[dX] = F dX (2.10)

De forma inversa, el vector material dX seŕıa el pull-back del vector espacial dx, lo cual

se expresa como:

dX = φ∗[dx] = F−1 dx (2.11)

20 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Tensores de deformación

Los tensores de deformación aportan una idea del cambio que sufre el medio continuo

durante el movimiento. Nótese que a diferencia de los desplazamientos, que son magnitudes

medibles, las deformaciones están basadas en un concepto que se introduce para simplificar

el análisis. Por consiguiente, exiten muchos tensores y definiciones diferentes de deformación

en la literatura.

Una medida de deformación importante en coordenadas materiales es el tensor de

Cauchy-Green por la derecha, C, normalmente referido en la literatura como tensor

de deformación de Green y se define como:

C = FTF (2.12)

Nótese que el gradiente de deformación F está a la derecha (de ah́ı el nombre) y que C

es simétrica y definida positiva para cada X ∈ Ω0. En coordenadas espaciales se define el

tensor de Cauchy-Green por la izquierda o tensor de Finger, b, como:

b = FFT (2.13)

que también es simétrico y definido positivo.

Otras medidas usuales de deformación son el tensor de deformación de Green-

Lagrange, en coordenadas materiales, y expresado de la forma:

E =1

2(FTF− I) (2.14)

y el tensor de deformación de Euler-Almansi, en coordenadas espaciales, y definido

como:

e =1

2(I− F−TF−1) (2.15)

Tensores de rotación y alargamiento

Un movimiento local, caracterizado por el tensor F, puede ser descompuesto en un tensor

de alargamiento puro y un tensor de rotación pura:

F = RU = vR (2.16)

2.1 Medios Continuos 21

Este teorema, fundamental en la teoŕıa de los medios continuos, recibe el nombre de

descomposición polar del gradiente de deformaciones. U y v definen unos tensores simétricos,

positivos definidos y únicos, llamados tensor de alargamiento por la derecha (o material) y

tensor de alargamiento por la izquierda (o espacial), respectivamente. Miden alargamientos

locales (o acortamientos) en la dirección de sus autovectores ortogonales, es decir, miden un

cambio de forma local.

R es un tensor ortogonal propio, llamado tensor de rotación. Mide la rotación local, que

es un cambio de orientación local.

RTR = I (2.17)

Una vez definidos estos tensores, pueden presentarse las siguientes relaciones:

U2 = UU = C (2.18a)

v2 = vv = b (2.18b)

2.1.2. Tensores de tensión

En este apartado se introducirán los conceptos de tensión y equilibrio para un sólido

deformable durante un movimiento determinado. La tensión se define en primer lugar en la

configuración actual de la forma estándar, como una fuerza por unidad de área. Esto llevaŕıa

al conocido tensor de tensiones de Cauchy, usado en análisis lineal. A diferencia de la teoŕıa

de la elasticidad, en la teoŕıa de grandes deformaciones y desplazamientos pueden definirse

magnitudes de tensión que se refieran a la configuración inicial del sólido, y no solo a la

configuración actual, ya que en la teoŕıa de la elasticidad ambas coinciden. Esto llevaŕıa a

la definición del los tensores de tensiones de Piola-Kirchhoff.

El tensor de tensiones de Cauchy σ es un tensor espacial, ya que proporciona información

acerca de la fuerza expresada en la configuración actual por unidad de área medida en la

misma configuración en el tiempo t. Se trata de un tensor simétrico (como se demuestra

más adelante en 2.1.3), asumiendo que no exiten momentos distribuidos, por lo que puede

22 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

ser definido mediante seis componentes del tensor de tensiones (σ12 = σ21, σ13 = σ31,

σ23 = σ32).

σ =

σ11 σ12 σ13

σ21 σ22 σ23

σ31 σ32 σ33

, σ =

σ11

σ22

σ33

σ12

σ13

σ23

=

σ1

σ2

σ3

σ4

σ5

σ6

(2.19)

En ocasiones es útil trabajar con el tensor de tensiones de Kirchhoff τ , un tensor

espacial que se relaciona con el tensor de tensiones de Cauchy a través del determinante del

tensor gradiente de deformaciones J.

τ = Jσ (2.20)

Además, se introducen también el primer y segundo tensor de Piola-Kirchhoff, P

y S respectivamente. El primer tensor de Piola-Kirchhoff relaciona la fuerza expresada en la

configuración actual con la unidad de área expresada en la configuración inicial. Se relaciona

con el tensor de tensiones de Cauchy mediante:

P = JσF−T (2.21)

El segundo tensor de Piola-Kirchhoff no posee una interpretación f́ısica clara en términos

de una fuerza que actúa sobre una superficie. Sin embargo, representa una medida de tensión

útil en mecánica computacional y en la formulación de ecuaciones constitutivas, debido a

que se trata de un tensor simétrico y está expresado en coordenadas materiales. El tensor S

se obtiene como consecuencia de realizar la operación de pull-back sobre el tensor espacial

τ , de acuerdo con la ecuación (2.22).

S = φ∗[τ ] = F−1τF−T (2.22)

Considerando las ecuaciones (2.20) y (2.22), puede deducirse la transformación de Piola

relacionando los dos campos de tensiones S y σ:

S = JF−1σF−T = F−1P = ST , σ = J−1FSFT (2.23)

2.1 Medios Continuos 23

Aśı, el primer tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff, P, puede relacionarse con el segundo

tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S mediante la ecuación (2.24).

P = FS (2.24)

2.1.3. Leyes de conservación

Las leyes de conservación se derivan de consideraciones mecánicas y termodinámicas

generales. En esta sección se presentan las leyes de conservación fundamentales, i.e. la con-

servación de la masa (ecuación de continuidad), de la cantidad de movimiento (o momento

lineal), del momento cinético (o momento angular) y de enerǵıa. Estos principios son válidos

y generales para cualquier campo de la teoŕıa de los medios continuos. Además se presentan

otra serie de leyes básicas expresadas como inecuaciones, por ejemplo, la segunda ley de la

termodinámica.

Conservación de la masa

La masa no puede crearse ni destruirse. Por tanto, si una part́ıcula posee una determi-

nada masa m en la configuración de referencia, m debe permanecer inalterada durante el

movimiento. Esto puede escribirse como:

m =

∫Ω0

ρdV =

∫Ω

ρcdv (2.25a)

con ρ, la densidad inicial y ρc, la densidad espacial. Realizando un cambio de variable

a la configuración de referencia, en la segunda integral, queda:

∫Ω0

ρdV =

∫Ω0

JρcdV (2.25b)

donde se ha utilizado la relación dv = JdV . Aśı, pasando las dos integrales al mismo término,

la ecuación (2.25b) puede expresarse:

∫Ω0

(ρ− Jρc)dV = 0 (2.25c)

Debido a que esta ecuación es válida para cualquier región Ω0, conlleva que:

24 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

ρ = Jρc (2.25d)

La densidad espacial ρc, depende de la posición x ∈ Ω y del tiempo t, mientras que ρ es

independiente del tiempo y está intŕınsecamente asociada con la configuración de referencia

del sólido, dependiendo únicamente de la posición X ∈ Ω0. La ecuación (2.25d) representa

la ecuación de continuidad de la masa en la configuración material (o Lagrangiana), la cual

es la descripción más apropiada en la mecánica de sólidos.

La conservación de la masa a lo largo del movimiento puede expresarse de forma ma-

temática diciendo que la derivada material de la masa con respecto al tiempo debe ser igual

a cero en todo momento.

D

Dtm =

D

Dt

∫Ω

ρcdv = 0 (2.26a)

Por tanto, considerando la ecuación (2.25d) y teniendo en cuenta que la derivada material

con respecto al tiempo y la integración pueden ser cambiadas de orden en la configuración

de referencia:

∫Ω0

D

DtJρcdV = 0 (2.26b)

D

Dt(Jρc) = 0 (2.26c)

JDρcDt

+ ρcDJ

Dt= 0 (2.26d)

Dρ

Dt+ ρc∇ · v = 0 (2.26e)

donde se ha usado que DJDt = J∇ · v, siendo v la velocidad espacial. La ecuación (2.26e)

constituye otra forma diferente de expresar la ecuación de continuidad.

Conservación de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento total, o momento lineal L, se define mediante la

densidad espacial, ρc, y el campo de velocidad espacial, v, de la forma:

2.1 Medios Continuos 25

L(t) =

∫Ω

ρcvdv (2.27)

El balance de la cantidad de movimiento establece que:

L̇(t) =D

Dt

∫Ω

ρcvdv =

∫∂Ω

tds+

∫Ω

ρcb̂dv = F(t) (2.28)

donde, t = t(x, t,n) es el vector de tensión de Cauchy, siendo n la normal exterior, ds es

una superficie espacial infinitesimal, y b̂ = b̂(x, t) es un campo vectorial espacial que se

corresponde con las fuerzas por unidad de masa que actúan sobre el sólido (figura 2.2). F(t)

es la fuerza resultante. Si es igual a cero, se dice que se conserva la cantidad de movimiento.

Figura 2.2: Fuerzas actuando en la configuración actual [14].

Aplicando el Lema de Cauchy, t = σ ·n, y usando el teorema de la divergencia, se obtiene

la siguiente expresión de la ecuación (2.28).

∫Ω

ρcDv

Dtdv =

∫Ω

(∇ · σ + ρcb̂)dv (2.29)

Esta relación es válida para cualquier volumen Ω, por lo que de aqúı se deriva la forma

diferencial de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, conocida como

primera ley de Cauchy del movimiento:

ρcDv

Dt=∇ · σ + ρcb̂ (2.30)

26 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Conservacion del momento cinético

El momento cinético total, o momento angular J, respecto de un punto fijo se

define como:

J(t) =

∫Ω

x× (ρcv)dv (2.31)

El balance del momento cinético, considerando que no existen momentos distribuidos,

es:

J̇(t) =D

Dt

∫Ω

x× (ρcv)dv =∫∂Ω

x× tdS +∫

Ω

x× (ρcb̂)dv = M(t) (2.32)

M(t) es el momento resultante. Si es igual a cero, se dice que se conserva el momento

cinético.

Usando la misma metodoloǵıa que para la ecuación (2.29), se obtiene la siguiente expre-

sión:

∫Ω

E : σT + x× (∇ · σ + ρcb̂− ρcDv

Dt)dv = 0 (2.33)

donde E es el tensor de permutación de tercer orden. Usando la ecuación (2.30) en el segundo

término de (2.33), es posible reescribir la ecuación de conservación del momento cinético de

la forma:

∫Ω

E : σT = 0 (2.34)

la cual es válida para cualquier volumen Ω. Como consecuencia, el producto doblemente

contraido de E : σT da como resultado un vector cuyas componentes deben ser iguales a

cero:

σ21 − σ12σ13 − σ31σ32 − σ23

= 0 (2.35)Finalmente, la conservación del momento cinético aporta un resultado crucial, puesto

que esta relación se cumple únicamente si, y solo si, el tensor de tensiones de Cauchy es

simétrico.

2.1 Medios Continuos 27

Conservación de la enerǵıa

La ecuación de enerǵıa es una consecuencia del balance energético que conforma la pri-

mera ley de la termodinámica.

D

Dt(K + E) = W + U (2.36)

donde K = K(t) representa la enerǵıa cinética, E = E(t) es la enerǵıa interna, W es la

potencia mecánica externa o el trabajo mecánico externo por unidad de tiempo, y U es la

potencia térmica o el trabajo térmico por unidad de tiempo. Cada uno de estos términos se

define en las siguientes ecuaciones:

K =1

2

∫Ω

ρcv · vdv (2.37a)

E =∫

Ω

ecdv (2.37b)

W =

∫Ω

b̂ · vdv +∫∂Ω

t · vds (2.37c)

U =

∫Ω

rdv −∫∂Ω

q · n ds (2.37d)

donde ec es la enerǵıa interna definida por unidad de volumen actual; q es un campo vectorial

espacial dependiente del tiempo y recibe el nombre de flujo de calor de Cauchy definido por

unidad de área superficial en Ω y r es la generación de calor por unidad de tiempo y volumen

actual. Aśı, el balance de enerǵıa queda:

D

Dt

∫Ω

ecdv +D

Dt

∫Ω

1

2ρcv · vdv =

∫Ω

b̂ · vdv +∫∂Ω

t · vds+∫

Ω

rdv −∫∂Ω

q · n ds (2.38)

Aplicando el teorema del transporte de Reynolds a las dos integrales del primer término

de la ecuación (2.38) y el teorema de la divergencia a la segunda y la cuarta integral del

segundo término de la misma:

∫Ω

(ėc + ρcv̇ · v)dv =∫

Ω

[b̂ · v + r +∇ · (σ · v− q)]dv (2.39a)

∫Ω

(ėc + ρcv̇ · v)dv =∫

Ω

[b̂ · v + r + v ·∇ · σ + σ : ∇ v−∇· q]dv (2.39b)

28 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

∫Ω

(ėc − r − σ : ∇v +∇· q)dv =∫

Ω

[−ρcv̇ + b̂+∇ · σ] · vdv (2.39c)

siendo cero la segunda integral de la ecuación (2.39c) (véase la ecuación (2.30)), por lo que

puede simplificarse:

ėc +∇· q = r+ σ : d (2.39d)

donde d es la tasa de cambio del tensor de deformación dada por:

d =1

2(∇v +∇vT ) (2.40)

La ecuación (2.39d) es la versión diferencial o local del primer principio de la termo-

dinámica. La primera ley de la termodinámica en descripción material puede ser escrita

como:

D

Dt

∫Ω0

e dV =

∫Ω0

(P : Ḟ−DivQ +R)dV (2.41a)

donde e es la enerǵıa interna definida por unidad de volumen de referencia, el campo vectorial

Q determina el flujo de calor por unidad de área superficial en Ω0 y R es la generación de

calor por unidad de tiempo y por unidad de volumen de referencia. Puesto que el volumen

de referencia o inicial es independiente del tiempo y la ecuación (2.41a) debe cumplirse

para cualquier dominio arbitrario Ω, la versión local del balance de enerǵıa en descripción

material es:

ė+ DivQ = R+ P : Ḟ (2.41b)

Segundo principio de la termodinámica. Entroṕıa

El segundo principio de la termodinámica establece que la entroṕıa total del universo

(o producción total de entroṕıa) nunca es negativa para cualquier proceso termodinámico,

es decir, tiende a incrementarse con el tiempo. La ecuación que expresa este principio se

presenta a continuación:

2.1 Medios Continuos 29

Γ(t) =D

Dt

∫Ω

ηcdv +

∫∂Ω

q · nθ

dS −∫

Ω

r

θdv ≥ 0 (2.42)

donde ηc = ηc(x, t) es la entroṕıa por unidad de volumen actual en el tiempo t, r(x, t) es

la generación de entroṕıa por unidad de tiempo y por unidad de volumen actual, q(x, t)

determina el flujo de calor de Cauchy, definido por unidad de área superficial actual y θ =

θ(x, t) corresponde a un campo escalar independiente del tiempo conocido como temperatura

absoluta. Aplicando el teorema de la divergencia a la segunda integral de la ecuación (2.42)

y el teorema del transporte de Reynolds a la primera integral de la misma:

∫Ω

η̇cdv ≥∫

Ω

[r

θ−∇ · (q

θ)]dv (2.43)

Debido a que la ecuación (2.43) debe ser válida para cualquier dominio arbitrario Ω,

debe cumplirse que:

η̇c ≥1

θr −∇ · (q

θ) (2.44a)

η̇ ≥ 1ΘR−Div(Q

Θ) (2.44b)

ecuaciones que son conocidas como desigualdad de Clausius-Duhem, en las descripciones

espacial y material respectivamente. Eliminando la generación de calor, R, y substituyendo

(2.41b):

P : Ḟ− ė+ Θη̇ − 1Θ

GradΘ ≥ 0 (2.45)

El último término representa la producción de entroṕıa por conducción de calor. Basándo-

se en la observación experimental, el calor fluye de las regiones más calientes de un cuerpo

a las más fŕıas (siempre que no existan fuentes de generación de calor), y nunca al revés.

Por ello este término: − 1Θ

GradΘ ≥ 0. De acuerdo con esta restricción, la desigualdad de

Clausius-Duhem nos puede llevar a una versión alternativa y más restrictiva del segundo

principio de la termodinámica, conocido como desigualdad de Clausius-Planck:

Dint = P : Ḟ− ė+ Θη̇ ≥ 0 (2.46)

Dint es la disipación o producción interna local de entroṕıa, que debe ser siempre no negativa.

30 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Para materiales elásticos resulta muy conveniente definir la función de enerǵıa libre

de Helmholtz, algunas veces referida únicamente como enerǵıa libre, Ψ. Esta función

incluye variables térmicas como Θ y η, y la enerǵıa interna:

Ψ = e−Θη (2.47)

De esta forma, la ecuación (2.46) puede reescribirse:

Dint = P : Ḟ− Ψ̇− ηΘ̇ ≥ 0 (2.48a)

Nótese que, en un desarrollo puramente mecánico, Θ y η no intervendŕıan, puesto que los

efectos térmicos no seŕıan tenidos en cuenta1, por lo que la desigualdad puede ser escrita

como:

Dint = P : Ḟ− Ψ̇ ≥ 0 (2.48b)

2.2. Hiperelasticidad

Las ecuaciones de continuidad y equilibrio aportan 4 ecuaciones para 10 incógnitas (ρ,

σ, u). La conservación de la enerǵıa aporta ecuaciones adicionales a expensas de introducir

nuevas variables. Los principios de conservación han sido derivados de forma general sin

tener en cuenta el comportamiento interno de los materiales. Es por eso que las ecuaciones

de conservación deben ser completadas con otro conjunto de ecuaciones que caractericen

las propiedades f́ısicas del material espećıfico. Estas ecuaciones se denominan ecuaciones

constitutivas.

Un material perfectamente elástico es por definición un material que no produce

entroṕıa localmente:

Dint = P : Ḟ− Ψ̇ = 0 (2.49)

Por consiguiente, la disipación interna (Dint) es cero. La ecuación constitutiva para un

material perfectamente elástico puede ser deducida a partir de la desigualdad de Clausius-

Planck o de la segunda ley de la termodinámica. Si la derivada con respecto al tiempo de

1En un proceso isotérmico se puede extraer la misma conclusión.

2.2 Hiperelasticidad 31

la enerǵıa libre se expresa de la forma Ψ̇ = ∂Ψ(F)/∂F : Ḟ, la ecuación (2.49) puede ser

reescrita como:

Dint = (P−∂Ψ(F)

∂F) : Ḟ = 0 (2.50)

Ya que F, y por lo tanto Ḟ, pueden ser elegidos arbitrariamente:

P =∂Ψ(F)

∂F(2.51)

Un material perfectamente elástico recupera su forma original por completo si las fuerzas

que estaban causando la deformación son eliminadas, y existe una relación uńıvoca (uno a

uno) entre el estado de tensiones y el estado de deformaciones, para una temperatura dada.

Un material hiperelástico o material elástico de Green es un tipo de modelo constitutivo

para materiales perfectamente elásticos para el cual existe una función potencial elástica (o

función de enerǵıa de deformación o función de enerǵıa libre), la cual es una función escalar

del tensor gradiente de deformaciones o del tensor de deformación y cuyas derivadas con

respecto a las componentes de la deformación determinan las correspondientes componentes

de tensión. De este modo, el trabajo real realizado por el campo de tensiones en un material

hiperelástico durante un cierto intervalo de tiempo depende únicamente de los estados inicial

y final.

∫ t2t1

P : Ḟdt = Ψ(F2)−Ψ(F1) (2.52)

Considerando las restricciones que impone el cumplimiento de la objetividad, esto es,

que Ψ debe permanecer invariante ante movimientos de sólido ŕıgido, Ψ depende de F sólo

a través del tensor de alargamiento por la derecha U (o alternativamente, del tensor de

alargamiento por la izquierda v) y es independiente del tensor de rotación R. Sabiendo que

el tensor de Cauchy-Green por la derecha viene dado por C = U2, Ψ puede expresarse como

una función del tensor material simétrico:

Ψ(F) = Ψ(C) (2.53)

Si el estudio se centra en un material isótropo, lo cual se traduce en que su comporta-

miento del debe ser idéntico en cualquier dirección material, la relación entre Ψ y C debe

ser independiente de los ejes materiales elegidos. Como consecuencia, Ψ debe ser únicamente

función de los invariantes de C (o de b), en la descripción espacial:

32 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Ψ = Ψ[I1(C), I2(C), I3(C)] = Ψ[I1(b), I2(b), I3(b)] (2.54)

Esta ecuación es válida únicamente para materiales hiperelásticos isótropos. Los inva-

riantes se definen como:

I1 = tr(C) = Ckk = tr(b) = bkk = λ21 + λ

22 + λ

23 (2.55a)

I2 =1

2[I21 − (CklCkl)] =

1

2[(trC)2 − tr(C2)] = 1

2[(trb)2 − tr(b2)] = λ21λ22 + λ21λ23 + λ22λ23

(2.55b)

I3 = det(C) = det(b) = λ21λ

22λ

23 (2.55c)

donde λ2a (with a = 1, 2, 3), son los autovalores de C (y b). Usando la relación (2.23) y

(2.51), los primer y segundo tensores de Piola-Kirchhoff pueden expresarse mediante:

P = 2F∂Ψ(C)

∂C(2.56a)

S = 2∂Ψ(C)

∂C= 2[

∂Ψ

∂I1

∂I1∂C

+∂Ψ

∂I2

∂I2∂C

+∂Ψ

∂I3

∂I3∂C

] (2.56b)

Considerando algunas propiedades como las del doble producto contráıdo y que el tensor

C es simétrico, las derivadas de los invariantes con respecto de C pueden escribirse:

∂I1∂C

=∂tr(C)

∂C=∂(I : C)

∂C= I (2.57a)

∂I2∂C

=∂( 12 [I

21 − (CklCkl)])∂C

=1

2(2tr(C)I − ∂trC

2

∂C) = I1I−C (2.57b)

∂I3∂C

=∂det(C)

∂C= det(C)C−T = I3C

−1 (2.57c)

de manera que la forma más general del segundo tensor de Piola-Kirchhoff en función de

los invariantes de C (o de b), que caracteriza a un material hiperelástico isótropo con

deformaciones finitas se puede expresar como:

2.2 Hiperelasticidad 33

S = 2[(∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)I− ∂Ψ

∂I2C + I3

∂Ψ

∂I3C−1] (2.58)

Para un material hiperelástico isótropo general, el tensor de tensiones de Cauchy viene

dado por:

σ = 2J−1b∂Ψ(b)

∂b(2.59)

Además, si la función de enerǵıa libre viene dada en función de los invariantes, el tensor

de tensiones de Cauchy σ, derivado del segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S a

través de la transformación de Piola, queda σ = J−1FSFT , y substituyendo S y teniendo

en cuenta que el tensor de Cauchy-Green por la izquierda es b = FFT , se obtiene:

σ = 2J−1[I3∂Ψ

∂I3I + (

∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)b− ∂Ψ

∂I2b2] (2.60)

2.2.1. Hiperelasticidad incompresible

En la práctica, muchos procesos en los que intervienen grandes deformaciones tienen lugar

bajo condiciones de incompresibilidad o cercanas a ella. Por cercano a la incompresibilidad

se entiende un material que es realmente incompresible, pero que en su tratamiento numérico

es necesario introducir una pequeña medida de deformación volumétrica. La restricción de

compresibilidad que caracteriza el volumen constante es J = 1. Aśı, la función de enerǵıa

libre puede ser establecida como:

Ψ = Ψ(F)− 12p(J2 − 1) (2.61)

donde p puede interpretarse como un multiplicador de Lagrange, el cual puede identificar-

se con un presión hidrostática. De este modo, la función de enerǵıa libre para materiales

hiperelásticos isótropos incompresibles viene dada por:

Ψ = Ψ[I1(C), I2(C)]−1

2p(I3 − 1) = Ψ[I1(b), I2(b)]−

1

2p(I3 − 1) (2.62)

La ecuación (2.58) puede ser reescrita para un material hiperelástico isótropo compresible

como:

S = 2∂Ψ(I1, I2)

∂C− ∂[p(I3 − 1)]

∂C= −pC−1 + 2( ∂Ψ

∂I1+ I1

∂Ψ

∂I2)I− 2 ∂Ψ

∂I2C (2.63)

34 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Mediante un operación de push-forward, pueden obtenerse dos formas alternativas del

tensor de tensions de Cauchy (ecuaciones (2.64) y (2.65)).

σ = −pI + 2( ∂Ψ∂I1

+ I1∂Ψ

∂I2)b− 2 ∂Ψ

∂I2b2 (2.64)

σ = −pI + 2 ∂Ψ∂I1

b− 2 ∂Ψ∂I2

b−1 (2.65)

Para determinar el parámetro p debe aplicarse la condición de incompresibilidad y las

condiciones de contorno del problema.

2.2.2. Hiperelasticidad compresible

Cuando el material puede sufrir cambios de volumen o cuando es necesario tratarlo

como cercano a la imcompresibilidad, es útil separar la deformación en una deformación

volumétrica y una deformación isocórica. En particular, F y C, se descomponen en dos

partes, una de cambio de volumen y otra de volumen constante(distorsional).

F = (J1/3I)F̄ = J1/3F̄, C = (J2/3I)C̄ = J2/3C̄ (2.66)

donde J1/3I y J2/3I están asociados con deformaciones que conllevan cambio de volumen, y

F̄ y C̄ representan la parte de distorsión de la deformación , con:

detF̄ = λ̄1λ̄2λ̄3 = 1 and detC̄ = (detF̄)2 = 1 (2.67)

siendo λ̄a los alargamientos principales modificados, λ̄a = J1/3λa . De esta descomposición,

es posible obtener una única representación desacoplada de la función de enerǵıa libre.

Ψ(C) = Ψvol(J) + Ψiso(C̄) (2.68)

donde Ψvol y Ψiso describen la respuesta volumétrica elástica y la respuesta isocórica

elástica del material, respectivamente.

Para materiales hiperelásticos isótropos compresibles, la descomposición puede ser rees-

crita considerando la ecuación (2.54):

Ψ(b) = Ψvol(J) + Ψiso(b̄) (2.69a)

2.2 Hiperelasticidad 35

con la descomposición multiplicativa del tensor de Cauchy-Green por la izquierda:

b = (J2/3I)b̄ = J2/3b̄ (2.69b)

El segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff S puede ser descompuesto también a

partir de la ecuación (2.56b):

S = 2∂Ψvol(J)

∂C+ 2

∂Ψiso(C̄)

∂C= Svol + Siso (2.70a)

Svol = JpC−1, Siso = J

−2/3(I− 13C−1 ⊗C) : S̄ (2.70b)

La presión hidrostática p se define como:

p =dΨvol(J)

dJ(2.71)

Es importante resaltar que, al contrario que en los materiales incompresibles, la función

escalar p está definida por una ecuación constitutiva.

El tensor de tensiones de Cauchy también puede ser descompuesto en dos partes, una

cuya contribución es puramente volumétrica y otra que es puramente isocórica, σvol y σiso,

definidos:

σvol = 2J−1b

∂Ψvol(J)

∂b= pI (2.72a)

σiso = 2J−1b

∂Ψiso(b̄)

∂b= (I− 1

3I⊗ I) : σ̄ = P : σ̄ = devσ̄ (2.72b)

donde P es el tensor de proyección. Se trata de un tensor de cuarto orden que describe la

transformación de un tensor de segundo orden en su parte desviadora, P = I − 13I ⊗ I. El

tensor de tensiones ficticio de Cauchy, σ̄, se define como:

σ̄ = 2J−1∂Ψiso(b̄)

∂b̄b̄ (2.73)

Finalmente, la función de enerǵıa libre puede ser descrita en función de sus invariantes, de

forma equivalente a la ecuación (2.62), para un material hiperelástico isótropo compresible:

36 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Ψ = Ψvol(J) + Ψiso[Ī1(C̄), Ī2(C̄)] = Ψvol(J) + Ψiso[Ī1(b̄), Ī2(b̄)] (2.74a)

Los invariantes de deformación Ī1 and Ī2 son los conocidos como invariantes modificados,

y definidos de la forma:

Ī1 = trC̄ = trb̄ (2.74b)

Ī2 =1

2[(trC̄)2 − tr(C̄)2] = 1

2[(trb̄)2 − tr(b̄)2] (2.74c)

2.2.3. Modelos hiperelásticos

Modelos incompresibles

Ahora, una vez que se ha realizado una introducción a la hiperelasticidad, se describen

algunas funciones de enerǵıa libre, en particular, las que se usarán en este trabajo, función

Neo-Hookeana y función polinomial. En la literatura existen muchas funciones de enerǵıa

libre que han sido usadas con éxito en diferentes situaciones con materiales bajo grandes

deformaciones, por ejemplo materiales biológicos o poĺımeros como la gomas.

Los materiales Neo-Hookeanos se caracterizan por su sencillez en comparación con otros

tipos de materiales. La función de enerǵıa libre de este tipo de materiales se define como:

Ψ = C10(I1 − 3) (2.75)

La sencillez de este modelo proviene de que depende únicamente de una constante y que

solo interviene el primer invariante I1. Precisamente por esto, este modelo ha sido usado en

la literatura en innumerables casos, como por ejemplo en la simulación del comportamiento

de los ligamentos de la rodilla [36], o en la simulación del comportamiento de la mama para

predecir deformaciones [6].

Otro ejemplo de una función de enerǵıa simple, atribuida a Mooney-Rivlin, se presenta

en la ecuación (2.76). Chen et al. [4] usaron este tipo de material para modelar el compor-

tamiento del disco articular de la articulación temporomandibular.

Ψ = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) (2.76)

2.2 Hiperelasticidad 37

Las funciones de enerǵıa libre polinomiales tienen la forma general:

Ψ =

N∑i+j=1

(I1 − 3)i(I2 − 3)j (2.77)

De esta forma, pueden obtenerse de la ecuación (2.77) funciones de enerǵıa libre dife-

rentes, que variarán en el número de términos que las componen. De hecho, las funciones

Neo-Hookeana y de Mooney-Rivlin presentadas anteriormente en las ecuaciones (2.75) y

(2.76) respectivamente, son casos particulares de función de enerǵıa libre polinomial, en el

caso de la Neo-Hookeana, con un sólo término, y para la de Mooney-Rivlin, para N=1.

Aśı, por ejemplo, Li et al. [17] usaron una función de enerǵıa polinomial de tres paráme-

tros para simular las propiedades de los discos de fibrocart́ılago inter-púbico.

Ψ = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) + C11(I1 − 3)(I2 − 3) (2.78)

Samani y Plewes [29] modelaron las propiedades del tejido graso y glandular de la mama

mediante una función de enerǵıa libre polinomial con cinco términos (N=2).

Ψ = C10(I1 − 3) + C01(I2 − 3) + C11(I1 − 3)(I2 − 3) + C20(I1 − 3)2 + C02(I2 − 3)2 (2.79)

Considérese un material hiperelástico isótropo incompresible, cuyo comportamiento está des-

crito mediante una función polinomial con N=2, bajo tracción uniaxial en el eje 3. Este caso

de carga será de gran utilidad posteriormente, motivo por el cual se presenta en este desa-

rrollo teórico.

σ =

0 0 0

0 0 0

0 0 σ3

(2.80a)Se pretende obtener la expresión de σ3 en función del algún parámetro de deformación.

El tensor gradiente de deformaciones, en función de los alargamientos principales queda:

F =

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

, (2.80b)

38 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Mediante la restricción de incompresibilidad J = det(F ) = 1 y las condiciones de si-

metŕıa, que implican que los alargamientos en las direcciones 1 y 2 deben ser iguales, λ1 = λ2,

se obtiene la relación entre los tres alargamientos principales:

J = 1 = det(F) = λ1λ2λ3 (2.80c)

λ3 = λ, λ1 = λ2 =1√λ

(2.80d)

De modo que el tensor de la ecuación (2.80b) queda:

F =

1√λ

0 0

0 1√λ

0

0 0 λ

, (2.80e)y el tensor de Cauchy-Green por la izquierda b:

b =

1λ 0 0

0 1λ 0

0 0 λ2

, (2.80f)Utilizando la ecuación (2.64) y aplicando las condiciones de contorno, puede obtenerse

el valor de la presión hidrostática p:

σ2 = −p+ 2[C10 + C01I1 + C11I1

(I1 − 3

)+ C11

(I2 − 3

)+ 2C20

(I1 − 3

)+

+2C02I1(I2 − 3

)] 1λ− 2[C01 + C11

(I1 − 3

)+ 2C02

(I2 − 3

)] 1λ2

= 0 (2.81a)

quedando p:

p =2

λ4(2C02(−1 + λ)2(1 + 2λ+ λ3 + 2λ4) + λ(λ(C01 + 2C20 + C10λ−

−3C20λ+ (C01 + C20)λ3) + C11(−1 + λ)2(3 + 3λ+ 2λ3 + λ4))) (2.81b)

2.2 Hiperelasticidad 39

Y finalmente, la tensión de Cauchy puede expresarse como:

σ3 = 2C10(λ2 − 1

λ) + 2C01(λ−

1

λ2) + 6C11(λ

3 − λ2 − λ+ 1λ

+1

λ2− 1λ3

)+

+4C20(λ4 − 3λ2 + λ+ 3

λ− 2λ2

) + 4C02(2λ2 − 3λ− 1

λ+

3

λ2− 1λ4

) (2.82)

La tensión para los materiales de tipo Mooney-Rivlin, Neo-Hookeano y cualquier otro

polinomial con un número de términos inferior a cinco puede derivarse de la ecuación (2.82)

haciendo cero las constantes que no intervengan, es decir, en el caso del modelo de Mooney-

Rivlin: C11 = 0, C20 = 0 y C02 = 0, y para el caso del Neo-Hookeano: C11 = 0, C01 = 0,

C20 = 0 y C02 = 0.

En el gráfico 2.3 se muestra una comparativa de la tensión frente al alargamiento aplicado,

λ, para los modelos polinomiales con uno (Neo-Hookeano), tres y cinco términos. Puede

observarse la notable diferencia de comportamiento entre los tres modelos y como a medida

que se aumentan los términos de la función de enerǵıa libre polinomial, tanto en compresión

(λ < 1) como en tracción (λ > 1), la curva cada vez es menos “lineal”. De hecho es posible

apreciar como, para el rango de alargamientos presentado en la gráfica, el material Neo-

Hookeano se asemeja bastante a un comportamiento de tipo lineal, mientras que las funciones

polinomiales de tres y cinco términos presentan una clara no linealidad, más pronunciada

en la zona de compresión que en la de tracción.

0.6 0.8 1.0 1.2 1.4Λ

-6

-4

-2

2

4

ΣHMPaL

Polinomial 1 término

Polinomial 3 términos

Polinomial 5 términos

Figura 2.3: Tensión frente al alargamiento (λ) para los modelos polinomiales de uno, tres y cinco

términos, para unos valores de las constantes C10 = 0.3 MPa, C01 = 0.4 MPa, C11 = 0.2 MPa, C20

= 0.5 MPa y C02 = 0.7 MPa.

40 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Otro caso de carga que también será utilizado más tarde en este trabajo es el de un ma-

terial sometido a un estado tensional de cortante puro. Considérese por tanto un material

hiperelástico isótropo incompresible, cuyo comportamiento está descrito mediante una fun-

ción polinomial con N=2, bajo un estado tensional como el que se muestra en la expresión

(2.83a).

σ =

0 0 0

0 0 σ23

0 σ32 0

(2.83a)

Figura 2.4: Estado tensional de cortante puro

Este estado tensional, tal y como se expone en la expresión (2.83a), presenta algunos

problemas a la hora de implementarlo numéricamente en un programa de elementos finitos,

cuando se aplican las condiciones de contorno, como se verá más tarde en el apartado 3.2.

Sin embargo es conocido, de la teoŕıa de la elasticidad, que un estado de cortante puro,

expresándolo en sus direcciones principales (a 45o de las direcciones 2 y 3 que se muestran

el figura 2.4), es equivalente a una tensión de tracción en una dirección principal y a una

compresión de igual valor en otra dirección principal (ecuación (2.83b)).

σppl = QTσQ =

0 0 0

0 σII 0

0 0 σIII

(2.83b)Donde Q es la matriz de giro. Además, si tenemos en cuenta que σ23 = σ32 = σ, resulta

σII = σIII = σ. En el desarrollo que sigue a continuación, aplicado a un material hiper-

2.2 Hiperelasticidad 41

elástico sometido a grandes deformaciones, los comportamientos a compresión y tracción del

material no tienen porque ser iguales, a diferencia del caso elástico, por lo que, partiendo del

mismo tensor gradiente de deformaciones, no es cierto que σII = σIII , si no que difieren li-

geramente. Esto no supone ningún problema, el tensor de tensiones estará caracterizado por

dos valores en vez de uno. Se pretende obtener las tensiones en función de algún parámetro

de deformación. Para ello partimos del cálculo del tensor gradiente de deformaciones. Impo-

niendo que no haya deformaciones en la dirección 1, y teniendo en cuenta que el material es

incompresible (cumplimiento de la ecuación (2.80c)), el área en el plano 23 debe conservarse

durante el proceso. Puede comprobarse que cumpliendo estas condiciones, y aplicando la

tracción en la dirección 3 y la compresión en la 2, el tensor F queda:

F =

1 0 0

0 1/λ 0

0 0 λ

(2.83c)y el tensor de Cauchy-Green por la izquierda b:

b =

λ2 0 0

0 1λ2 0

0 0 λ2

, (2.83d)Utilizando la ecuación (2.64) y aplicando las condiciones de contorno, puede obtenerse

el valor de la presión hidrostática p:

σ1 = −p+ 2[C10 − 6C20 + C01

(− 1 + I1

)+(2C20+

+C11(− 4 + I1

))I1 + 2C02

(− 1 + I1

)(− 3 + I2) + C11I2

)= 0 (2.84a)

quedando p:

p =2

λ4(C11 + (C01 − C11 + 2C20)λ2 + (C10 − 4C20)λ4+

+(C01 − C11 + 2C20)λ6 + C11λ8 + 2C02(−1 + λ2)2(1 + λ4)) (2.84b)

42 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Y finalmente, las dos componentes de tensión de Cauchy, σII y σIII pueden expresarse

como:

σII = −2(−1 + λ2)

λ4(C11 + 2C20 + (2C02 + C10 − C11 − 4C20)λ2+

(C01 − 4C02 − C11 + 2C20)λ4 + (2C02 + C11)λ6)

(2.85a)

σIII =2(−1 + λ2)

λ4(2C02 + C11 + (C01 − 4C02 − C11 + 2C20)λ2+

+(2C02 + C10 − C11 − 4C20)λ4 + (C11 + 2C20)λ6)

(2.85b)

Las expresiones para los materiales de tipo Mooney-Rivlin, Neo-Hookean y cualquier otro

polinomial con un número de términos inferior a cinco puede derivarse de las ecuaciones

(2.85a) (2.85b) haciendo cero las constantes que no intervengan, es decir, en el caso del

modelo de Mooney-Rivlin: C11 = 0, C20 = 0 y C02 = 0, y para el caso del Neo-Hookeano:

C11 = 0, C01 = 0, C20 = 0 y C02 = 0.

Modelos compresible y cuasi-incompresible

Hasta ahora han sido introducidos los materiales incompresibles, pero en análisis de ele-

mentos finitos, la imcompresibilidad produce ciertos problemas numéricos. Cuando la res-

puesta del material es prácticamente incompresible, la formulación puramente cinemática,

en la que los invariantes de deformación se calculan a partir de las variables cinemáticas del

modelo de elementos finitos, puede comportarse de forma bastante defectuosa. Una de las

dificultades numéricas es que la matriz de rigidez es prácticamente singular debido a que el

módulo de compresibilidad efectivo del material es muy grande en comparación con su módu-

lo de cizalladura efectivo, causando por tanto problemas con la solución de las ecuaciones

de equilibrio discretizadas. Otra dificultad estriba en que, a menos que se utilicen técni-

cas de integración reducida, las tensiones calculadas en los puntos de integración numéricos

2.2 Hiperelasticidad 43

presentan grandes oscilaciones en los valores de la presión, debido a que, en general, los ele-

mentos no pueden responder con precisión y con todo tener cambios de volumen pequeños

en todos los puntos de integración numéricos. Desplazamientos muy pequeños pueden pro-

ducir variaciones de presión importantes y ello puede conducir a un mal funcionamiento

del elemento. Para evitar estos problemas, es conveniente tratar la incompresibilidad co-

mo cuasi-incompresibilidad. Aśı, la función de enerǵıa libre se desacopla en una respuesta

isocórica y otra volumétrica. Por ejemplo, la función de enerǵıa libre Neo-Hookeana para

un material cercano a la incompresibilidad puede escribirse según la ecuación (2.86). El se-

gundo término corresponde a la contribución volumétrica a la función de enerǵıa libre. La

constante D determina la compresibilidad del material. Si D es cero, el material se convierte

en totalmente incompresible.

Ψ = C10(I1 − 3) +1

D(J − 1)2 (2.86)

En esta formulación, el tensor de tensiones de Cauchy se divide en una tensión volumétri-

ca:

σvol = pI where p =dΨvol(J)

dJ=

2

D(J − 1) (2.87)

y una tensión isocórica:

σiso =2

JC10(b̄−

Ī13I) (2.88)

donde las ecuaciones (2.72b) y (2.73) se han utilizado para obtener la tensión isocórica.

2.2.4. Tensores de elasticidad

El concepto de linealización es de gran importancia en el tratamiento numérico de pro-

blemas elásticos. Para resolver problemas no lineales es bastante común obtener soluciones

a partir de las ecuaciones constitutivas linealizadas. El tensor de elasticidad mide los

cambios de tensión que se producen ante cambios infinitesimales de deformación y se define

como:

C = 2∂S(C)

∂C, or CABCD = 2

∂SAB∂CCD

(2.89)

44 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Si se asume un comportamiento hiperelástico, de acuerdo con la ecuación (2.56b), la

definición del tensor de elasticidad es:

C = 4∂2Ψ(C)

∂C∂C, or CABCD = 4

∂2Ψ

∂CAB∂CCD(2.90)

en la descripción material, con las simetŕıas:

C = CT , or CABCD = CCDAB (2.91)

Por tanto, C tiene únicamente 21 componentes independientes para cada estado de de-

formación. La ecuación (2.91) es una condición suficiente y necesaria para que un material

sea hiperelástico. En la descripción espacial, el tensor de elasticidad, c, se define como J−1

veces el push-forward de C.

c = J−1φ∗(C), or cabcd = J−1FaAFbBFcCFdDCABCD (2.92)

Al igual que se hizo en la ecuación (2.68) con la función de enerǵıa libre, el tensor de

elasticidad también puede ser desacoplado.

C = Cvol + Ciso where Cvol = 2∂Svol∂C

, Ciso = 2∂Siso∂C

(2.93)

Cvol representa una contribución volumétrica pura y Ciso, la contribución isocórica pura

al tensor de elasticidad. En la descripción espacial, el tensor de elasticidad puede escribirse

como:

c = cvol + ciso (2.94)

con las siguientes definiciones:

Jcvol = 4b∂2Ψvol(J)

∂b∂bb = J(p̃I⊗ I− 2pI) with p̃ = p + Jdp

dJ(2.95a)

Jciso = 4b∂2Ψiso(b̄)

∂b∂bb = P : c̄∗ : P +

2

3tr(τ̄ )P− 2

3(I⊗ τ iso + τ iso ⊗ I) (2.95b)

ciso se basa en el tensor de proyección espacial, P = I− 13I⊗I, introducido anteriormente,

y en las relaciones expresadas en (2.20), las cuales ahora son de la forma:

2.3 Estado del arte de los modelos de comportamiento de los tejidos graso y glandularmamarios 45

τ̄ = Jσ̄, τ iso = Jσiso (2.96)

Además, un tensor de elasticidad de cuarto orden ficticio se introduce como:

c̄∗ = 4b̄∂2Ψiso(b̄)

∂b̄∂b̄b̄ (2.97)

Aśı, el primer término (c̄w) de la parte isocórica del tensor de elasticidad puede obtenerse:

c̄w = Pijklc̄∗klmnPmnrs (2.98)

Los términos segundo y tercero de la parte isocórica del tensor de elasticidad pueden

obtenerse fácilmente de los tensores de tensión expresados en las ecuaciones (2.88) y (2.96).

2.3. Estado del arte de los modelos de comportamiento

de los tejidos graso y glandular mamarios

Para el desarrollo de este trabajo es fundamental conocer el comportamiento de los

tejidos que van a tomar parte en él, es decir, en definitiva, disponer de las constantes de una

determinada función de enerǵıa libre que permita simular la respuesta del material ante una

serie de solicitaciones o estados de carga. En la literatura se encuentran algunas referencias

sobre el comportamiento de los tejidos graso y glandular presentes en la mama, tanto de

carácter experimental como numérico, que se comentarán a continuación. Por supuesto,

hay una amplia gama de funciones y constantes propuestas, aunque en todas referencias

encontradas coinciden en tratar los tejidos como isótropos y cuasi-incompresibles. El autor

del que proceden gran parte de los estudios y referencias en la literatura sobre este tema es

A. Samani.

La forma más sencilla de abordar el problema de como modelar el comportamiento de

un determinado material, y de forma lógica la primera opción por la que se comienza, es

considerar que el comportamiento es de tipo elástico, esto es, determinar su módulo de Young

E, ya que hay que tener en cuenta que el material se considera incompresible, y por tanto, de

los dos parámetro necesarios para caracterizar un material elástico, normalmente E y ν, éste

último queda conocido. En este sentido, Samani et al. [26] determinaron experimentalmente

el módulo de Young de muestras de tejido graso y fibroglandular y de tumores canceŕıgenos.

46 Comportamiento mecánico de tejidos blandos

Las ĺıneas generales de este ensayo se explican en el apartado 2.3.1, puesto que es un ejemplo

bastante ilustrativo de los ensayos que suelen realizarse en tejidos, y además, dado que es el

que utiliza este autor siempre, con ligeras modificaciones, se evitará aśı hacer comentarios

repetitivos a lo largo de esta sección. Siempre que se haga referencia a un ensayo experimental

en estas ĺıneas, el lector podrá dirigirse a consultar el dicho apartado.

Los resultados que aportaron para cada uno de los tejidos, basados en el cálculo de la

pendiente de la curva fuerza-desplazamiento, son:

Tejido adiposo Tejido glandular Carcinoma

E(kPa) 1.9 1.8

Tabla 2.1: Módulo de Young para los tejidos graso y glandular y tumor [26].

Es importante decir que en el art́ıculo, a pesar de calcular el material como elástico, se

resalta el carácter claramente no lineal de la curva fuerza-desplazamiento.

Samani y Plewes [29] realizaron e