indice general - departamento.us.esdepartamento.us.es/dfisap1/cf_itig/pract-cf.pdf · medida...

Indice General

0 Tratamiento de Errores 3

0.1 Errores en las medidas de magnitudes f´ısicas.- . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3

0.1.1 Error absoluto y error relativo.- . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3

0.1.2 Clasificación de los errores.- .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.1.3 Estimación de errores en las medidas.- . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5

0.2 Presentación de resultados numéricos.-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.3 Recta de m´ınimos cuadrados.-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

0.4 Realización de graficas.- . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

0.5 Memorias de las prácticas.- . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 Efecto Fotoelectrico 19

2 Efecto Hall 23

3 Anchura Banda Prohibida en Ge 28

4 Curva caracterıstica de un diodo 31

2

Practica 0

Tratamiento de Errores

0.1 Errores en las medidas de magnitudes fısicas.-

Las medidas de las diferentes magnitudes f´ısicas que intervienen en una experiencia dada, yase hayan obtenido de forma directa o a traves de su relación mediante una fórmula con otrasmagnitudes medidas directamente, nunca pueden ser exactas. Debido a la precisión limitadaque todo instrumento de medida tiene, as´ı como a otros factores de distinta naturaleza que másadelante consideraremos, debe aceptarse el hecho de que no es posible conocer el valor exactode ninguna magnitud. Por tanto, cualquier resultado numérico obtenido experimentalmentedebe presentarse siempre acompañado de un número que indique cuánto puede alejarse esteresultado del valor exacto.

0.1.1 Error absoluto y error relativo.-

En general, se define como error absoluto de una medida a la diferencia existente entre el valorexacto de la magnitud y el valor obtenido experimentalmente. Ahora bien, como no podemossaber el valor exacto, tampoco podemos conocer el error absoluto as´ı definido. El objetivode la teor´ıa de errores es la estimación de la incertidumbre asociada a un resultado dado. Aesta incertidumbre se le denomina tambiénerror absoluto, y es esta segunda definición la quenosotros utilizaremos.

Por tanto, el resultado de la medidam de cualquier magnitudM debe expresarse:

m(�E) (1)

siendoE el error absoluto. El doble signo� se coloca porque el error puede producirse porexceso o por defecto. No obstante, el error absoluto de una medida no nos informa por s´ı solode labondadde la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error absoluto de 1cm. al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de un folio. Por ello, se definecomoerror relativo al cociente:

E=m (2)

que a veces se multiplica por cien, cualificando la incertidumbre en porcentaje de la medidarealizada.

3

Practica – 0. Tratamiento de Errores 4

0.1.2 Clasificacion de los errores.-

Fundamentalmente, los errores se clasifican en dos grandes grupos: errores sistemáticos y erro-res casuales.

1. Errores sistematicos. Son errores que se repiten constantemente en el transcurso deun experimento, y que afectan a los resultados finales siempre en el mismo sentido. Sepueden distinguir varias fuentes de errores sistemáticos:

� Errores de calibración (o errores de cero) de los aparatos de medida. Es el caso,por ejemplo, del error que se comete cuando la aguja de un aparato analógico demedida (amper´ımetro, balanza, ...) no marca cero en la posición de reposo. Estetipo de errores también pueden aparecer en los aparatos electrónicos digitales comoconsecuencia de una mala calibración interna.

� Condiciones experimentales no apropiadas. Ocurren cuando se utilizan los instru-mentos de medida bajo condiciones de trabajo (presión, temperatura, humedad, fre-cuencia de la red, etc.) diferentes de las recomendadas.

� Formulas o modelos aproximados. Este tipo de error aparece al pretender obtenerdemas´ıadas cifras significativas en los resultados extra´ıdos de un modelo o de unaformula aproximados. Por ejemplo, si se quiere medir la aceleración de la grave-dad con más de tres cifras significativas no se puede usar la fórmulag = 4�2L=T 2

(pendulo simple) porque ésta es una aproximación que supone una serie de condi-ciones ideales, a saber:

– La cuerda no tiene masa (en la práctica s´ı la tiene, entrando en juego el momentode inercia del hilo y cambiando la longitud efectiva del péndulo).

– El extremo de suspensión del hilo es puntiforme (en realidad el péndulo oscilaalrededor de un eje de grosor finito).

– El roce con el aire es nulo (nunca puede reducirse a cero el rozamiento con elaire, y esto ocasiona que las oscilaciones vayan decreciendo en amplitud y queel periodo de oscilación no sea constante).

– Las oscilaciones tienen lugar sobre un plano fijo (por mucho cuidado que seponga, existen siempre pequeñas oscilaciones laterales y rotaciones adicionalesde la masa en suspensión.

– La amplitud de oscilación debe ser pequeña (la formula anterior es tanto mejorcuanto mas próxima a cero sea la amplitud de oscilación).

Por definicion, una medida es tantomas exactacuanto menores son los errores sis-tematicos.

2. Errores casuales o aleatorios.Como el propio nombre indica, no existe una causa pre-determinada para este tipo de errores. Son imposibles de controlar y alteran, tanto en unsentido como en otro (por exceso y por defecto), la medida realizada. Este tipo de erroresse someten a estudios estad´ısticos. Existen varias fuentes de errores casuales:

� El cambio durante el experimento de las condiciones en el entorno, provoca errorescuya evaluación es sólo posible a partir de un estudio estad´ıstico hecho con medidasrepetitivas.


� Falta de definición en la cantidad a medir, lo que provoca valores diferentes en lasdistintas medidas realizadas. Por ejemplo, el diámetro de una esfera metálica realno es una cantidad definida exactamente porque la esfera no es perfecta; si uno mideel valor de varios diámetros encontrará valores numéricos diferentes.

� Errores de precisión, debidos a que el aparato de medida tiene una sensibilidad dada.Se define lasensibilidadcomo la unidad más pequeña que puede detectar un aparatode medida.

� Errores de apreciación, debidos a posibles defectos (visuales, auditivos, etc.) delobservador, o también a la estimación a ojo que se hace de una cierta fracción de lamas pequeña division de la escala de lectura de los aparatos de medida.

Por definicion, una medida es tantomas precisacuanto mas pequeños son los errorescasuales.

0.1.3 Estimacion de errores en las medidas.-

La teorıa de los errores casuales proporciona un método matemático para calcular con buenaaproximacion cuanto puede alejarse del valor verdadero, el valor medido experimentalmentepara una magnitud f´ısica dadaM . Debido al carácter aleatorio de los errores casuales, dis-tribuyendose éstos al azar por exceso o por defecto, se puede estudiar su influencia mediantetecnicas estad´ısticas. No ocurre as´ı con los errores sistemáticos, los cuales afectan en un sentidodado al resultado, sin tener, por tanto, carácter aleatorio. Las normas para estimar errores abso-lutos que a continuación expondremos sólo sirven para errores casuales, y presuponen que loserrores sistemáticos han sido cuidadosamente evitados. Hablaremos de una medida muy precisacuando, una vez eliminados gran parte de los errores sistemáticos, consigamos errores casualesmuy pequeños, y esto permitirá escribir el resultado final con bastantes cifras significativas.

El objetivo de este apartado es establecer lo que nosotros vamos a definir como resultado experi-mentalm de una medida y como error absolutoE de la misma. Distinguiremos dos situaciones:medida directa y medida indirecta.

Medida directa de una magnitud fısica.-

El procedimiento no será el mismo si se hace una sola medida de la magnitud f´ısica que si sehacen varias.

Una sola medida: En principio, cualquier medida experimental debe ser repetida varias ve-ces. Cuando se observe que el resultado obtenido es siempre idénticamente el mismo, y sólo enese caso, estará justificado el quedarse conuna sola medida. Dicha medidam1 sera el valorexperimentalm obtenido. Como error absolutoE se adoptará la mitad de la sensibilidad (S)del aparato de medida (sensibilidad(S): unidad mas pequeña que el aparato puede apreciar) sieste esanalogico, y la propia sensibilidadsi esdigital . En cuanto al resultado medidom1 hayque decir que en el caso de aparatos analógicos (con aguja, con diales, con niveles de mercurio,...) existe la posibilidad de que la aguja (o cualquier otro mecanismo de medida) quede en elespacio intermedio entre dos marcas de la escala de medida. En este caso, puede adoptarse


como valor de la medida el de la marca más cercana a la posición de la aguja, o bien, si se pre-fiere, cuantificar a ojo esa fracción de unidad que no aparece ya en la escala. Con los aparatosdigitales no puede darse esta posibilidad. Resumiendo, en los casos en que se realice una solamedida, nuestro resultado será:

m1(�S=2) analogicos (3)

m1(�S) digitales (4)

Ejemplos: Supongamos que un amper´ımetro analógico (medidor de intensidad de corriente) tiene unaescala de lectura que aprecia hasta décimas de amperio (sensibilidad= 0.1A), y al hacer una medidala aguja se queda a la mitad de camino entre 0.6 A y 0.7 A. En ese caso, se podrá tomar como valorexperimentalm = 0:65A y como error absolutoE = 0:05A. Se dira que la intensidad de corrientees de0:65(�0:05)A:. Supongamos que un cronómetro digital que mide hasta milésimas de segundo(sensibilidad= 0.001 s.) estima el per´ıodo de oscilación de un péndulo en 882 milisegundos; entoncesm = 882ms: y E = 1ms:, y el resultado se dará como882(�1)ms:

Varias medidas: Analicemos ahora la situación mas habitual que corresponde al caso en quese realizanvarias medidasde una magnitud f´ısica. La caracterización de los errores casuales sehace en este caso mediante la ayuda de la Estad´ıstica. La filosof´ıa del metodo parte del hechode que el valor exacto de la magnitud es inaccesible, y el proceso de medida es un procesoaleatorio que viene gobernado por una distribución de probabilidadnormal o gaussianacuyarepresentación grafica (campana de Gauss) es:

La forma funcional de esta distribución es:

P (x) =1

�p2�

exp

�(x� �)2

2�2

�(5)

Observese quex = � es el valor más probable al realizar una medida ya que para ese valorla distribucion de probabilidad presenta un máximo. El parametro� nos da una medida de la


anchura de la campana. La probabilidad de que al realizar una medida obtengamos un valorcomprendido en un intervalo cualquiera viene dada por el área que hay bajo la curva gaussianaen ese intervalo. As´ı, por ejemplo, la probabilidad de que el valor de una medida caiga dentro delintervalo�� es del68:30%, dentro del intervalo�� 2� es del95:45%, y dentro del intervalo� � 3� es del99:73%. El area total bajo la campana es lógicamente1, ya que la probabilidadde encontrar el valor de una medida entre�1 y +1 es del100%. La justificacion del estudioestad´ıstico radica en la suposición de que el valor más probable� del proceso aleatorio coincideprecisamente con el valor verdadero de la magnitud f´ısica, y por ello nuestro objetivo serádeterminar con la mayor precisión posible el valor de�, y asimismo dar una expresión parael margen de error en nuestra estimación de�. Observese que si los errores sistemáticos (decaracter no aleatorio) no hubiesen sido previamente eliminados, no coincidir´ıan� y el valorverdadero de la magnitud f´ısica.

Para determinar con exactitud� habrıa que hacer infinitas medidas. Sin embargo, nosotros en ellaboratorio realizaremos un número finiton de medidas que nos darán los valoresm1; m2; m3; : : : ; mn.Sobre ese conjunto finito de medidas, la Estad´ıstica nos permite definir y calcular una serie deestadısticos(ciertas cantidades de interés estad´ıstico), a saber:

� Valor medio o media aritmeticade losn valoresmi (i = 1; : : : ; n):

m =1

n

nXi=1

mi (6)

� Desviacion de la medidami respecto de la media:

hi = mi �m (7)

Tambien se puede hacer una extensión del concepto a desviación respecto de un parámetroa cualquiera:

hi;a = mi � a (8)

Una propiedad interesante que tiene el valor medio que lo hace ser muy representativo deun conjunto de medidas es precisamente el ser el parámetro respecto del cual es m´ınimala suma de los cuadrados de las desviaciones, es decir, matemáticamente:�

d (P

n

i=1(hi;a)

2)

da

�a=m

= 0 ;

�d2 (P

n

i=1(hi;a)

2)

da2

�a=m

> 0 (9)

� Error cuadr atico medioo desviacion tıpica de lasn medidas:

s =

sPn

i=1h2i

n� 1(10)

El valor des nos da una idea de la dispersión de las medidasmi respecto de la mediam.

� Error cuadr atico de la mediao desviacion estandar de lasn medidas:

sm =spn=

sPn

i=1h2i

n(n� 1)(11)


El valor desm es muy importante porque nos informa de cómo de parecido es el valormediom de nuestrasn medidas al valor mas probable� del proceso aleatorio global(recuerdese nuestra hipótesis de partida de que� es a todos los efectos el valor verdaderode la magnitud f´ısica). De hecho, puede demostrarse que la probabilidad de quem estedentro del intervalo��3sm es del99:73% (distribucion gaussiana de los valores medios).

Como conclusión podemos decir quem nos da una estimación de�, y que cuanto menor seala desviacion estandarsm tanto mas se parece realmentem a�. Evidentemente, la desviaciónestandar decrece a medida que el númeron de medidas es mayor. Hay que señalar que muchasde las consideraciones estad´ısticas que se han hecho sólo son estrictamente ciertas cuandones grande (por ejemplo,n > 30). No obstante, nosotros nos conformaremos con un númeroinferior de medidas, por ejemplo,10.

Como consecuencia de todo esto, nuestra forma de proceder será la siguiente: se realizará uncierto numero (por ejemplo, 10) de medidas de una magnitud f´ısica, se calculará el valor medioy la desviacion estandar de todas ellas mediante las ecuaciones (6) y (11), se considerará comovalor experimentalm el valor medio y como error absolutoE el triple de la desviación estandar.Es decir, daremos como resultado final:

m(�3sm) (12)

Ejemplo: Supongamos que se desea medir con un cronómetro digital que mide hasta milisegundos elperıodo de un péndulo. Se realizan10 medidas de dicho per´ıodo, y se obtienen los siguientes valores:902ms:, 850ms:, 915ms:, 930ms:, 888ms:, 875ms:, 889ms:, 902ms:, 902ms: y 890ms:. A continua-cion, se procede a calcular el valor medio mediante (6) obteniéndose894:3ms:, y la desviación estandarmediante (11) obteniéndose6:9. Tomamos como valor experimental el valor medio y como error ab-soluto el triple de la desviación estandar. El resultado se expresar´ıa como894(�21)ms: donde se hanhecho ciertos redondeos de acuerdo con las normas que daremos más adelante en lo que concierne apresentación de resultados.

En algunas ocasiones puede ocurrir que una medida suelta esté especialmente alejada de todaslas demas, en ese caso puede descartarse dicha medida y sustituirse por una nueva, ya que lomas probable es que se haya tomado mal esa lectura concreta. Estas medidas incorrectas danlugar a los denominados puntos experimentales erróneos, los cuales deben ser indicados en lasrepresentaciones gráficas. Como norma, si la desviación de una medida dudosa,hi = mi � �m,es mayor o igual que cuatro veces la desviación promedio, se puede rechazar la medida dudosa.

Cuando se observe una fuerte dispersión en las medidas tomadas para una magnitud dada, esconveniente hacer un mayor número de medidas para as´ı reducir la desviación estandar.

Medida indirecta de una magnitud fısica.-

Cuando se utiliza una fórmula para calcular el valor de una magnitud f´ısica a partir de otrasmagnitudes que se han medido directamente y de constantes f´ısicas, decimos que estamos ha-ciendo una medida indirecta. Es de suma importancia para este caso saber cómo sepropagan


los errores de las magnitudes medidas directamente hacia la que se está obteniendo indirecta-mente. Dicho de otra forma, hay que ser capaces de dar una expresión para el error absoluto dela magnitud medida indirectamente en función de los errores absolutos de las magnitudes medi-das directamente. Aunque existen algunas reglas fáciles para los casos de fórmulas algebraicas,el tratamiento riguroso de la teor´ıa de propagación de errores se fundamenta en elcalculo di-ferencial. En algunas ocasiones, una magnitud f´ısica es medida indirectamente a partir de otraunica magnitud (función de una sola variable), pero, en general, es medida a partir de variasmagnitudes cada una de las cuales viene afectada por un margen de error (función de variasvariables).

Funcion de una sola variable: La primera situación que nos podemos encontrar es el casode una magnitudy que va a ser medida indirectamente mediante una fórmula a partir de otraunica magnitudx que ha sido medida directamente y que tiene un error absolutoEx:

y = f(x) (13)

Como valor experimental dey adoptaremos el que resulta de evaluar (13) para el valor experi-mental dex. Por otra parte, el cálculo diferencial nos asegura que siempre que los errores nosean demasiado grandes, el error absoluto dey, al que denominaremosEy es:

Ey =

��df(x)dx

��Ex (14)

donde la derivada que aparece se evalúa en el valor experimental dex. Hay que destacar que(14) es valida tanto si el valor experimental dex y su error absolutoEx fueron calculados porprocedimientos estad´ısticos (ecuación (12)) como si fueron calculados por procedimientos noestad´ısticos (ecuaciones (3) y (4)). En consecuencia, el resultado paray vendra dado como:

f(x)

��df(x)dx

��Ex

�(15)

Funcion de varias variables: Consideremos ahora el caso de que en la fórmula de la magni-tud indirectay aparezcan varias magnitudes medidas directamente, por ejemplo:

y = f(x; z; t) (16)

De nuevo, se toma como valor experimental dey el que resulte de evaluar (16) para los valoresexperimentales dex, z y t. En cuanto al error absoluto dey, hay que distinguir ahora entre laposibilidad de que todas las magnitudes medidas directamente lo hayan sido mediante procedi-mientos estad´ısticos y la posibilidad de que una o varias de ellas hayan sido medidas medianteprocedimientos no estad´ısticos.

En el supuesto de quetodas las variables hayan sido medidas medianteprocedimientos es-tadısticos(ecuacion (12) o rectas de m´ınimos cuadrados), se puede demostrar que la desviaciónestandar asociada ay viene dada en función de las desviaciones estándar de sus variables por:

sy =

s�@f

@x

�2

s2x+

�@f

@z

�2

s2z+

�@f

@t

�2

s2t

(17)


donde@f=@x es la derivada parcial de la funciónf con respecto ax, y ası sucesivamente. Todaslas derivadas parciales se evalúan en los valores experimentales dex, z y t.

Por tanto, en esta situación particular escribiremos como resultado:

f(x; z; t)(�3sy) (18)

Sin embargo, cuandouna o variasde las variables medidas directamente seanno estadısticas(ecuaciones (3) y (4)), entonces el error absolutoEy se relaciona con los errores absolutos delas variables directas mediante:

Ey =

��@f@x��Ex +

��@f@z��Ez +

��@f@t��Et (19)

y como resultado escribiremos:f(x; z; t)(�Ey) (20)

En el supuesto de que aparezcan constantes f´ısicas en la fórmula, esto no añade ninguna com-plicacion porque, por definición, elerror absoluto de una constantees cero.

En definitiva, para medidas indirectas de una magnitud se tomará como valor experimentalmde la misma el que resulte de evaluar la fórmula para los valores experimentales previamenteobtenidos de cada una de sus variables, y como error absolutoE el que corresponda según loscasos de (15), (18) o (20).

Ejemplo: Supongamos que se ha medido una magnitud f´ısica x obteniendose un valor experimental0:442(�0:003) y que tenemos interés en medir indirectamente otra magnitud f´ısica que es precisamentey = x

2. En primer lugar, el valor experimental dey esy = (0:442)2= 0:195. El error absoluto dey se

calcula de acuerdo con (15):Ey = j2xjEx = 2 � 0:442 � 0:003 = 0:003. Por tanto, el valor experimentaldey es0:195(�0:003).

Ejemplo: Se ha medido directamente la longitudL de un pendulo obteniéndose un resultado de1:453(�0:001)m:

y el perıodoT del mismo obteniéndose2:42(�0:01)s:. Se desea calcular la aceleración de la gravedadg a partir de la fórmula aproximada:

g =4�

2L

T 2(21)

En primer lugar, se estima el valor experimental indirecto deg sustituyendo en (21) los valores experi-mentales deL y T :

g =4 � (3:1416)2 � 1:453

(2:42)2= 9:79m � s�2 (22)

Observese que dar más cifras de la constante� es absurdo porque con toda seguridad afectar´ıa a cifrasdeg no significativas (por debajo del margen de error).

A continuacion, hay que evaluar el error absoluto deg. Supongamos queL y T fueron medidos porprocedimientos estad´ısticos. Entonces los valores de sus desviaciones estándar están implıcitos en loserrores absolutos que se han dado, es decir:

sL=EL

3=

0:001

3= 0:0003m: s

T=

ET

3=

0:01

3= 0:003s: (23)

y aplicando (17):

sg =

s�4�2

T 2

�2

(0:0003)2 +

�4�2L

�2

T 3

�2

(0:003)2 (24)


y sustituyendo los valores deL y T se obtienesg = 0:024m � s�2. En consecuencia,Eg = 3sg =

0:07m � s�2, y el resultado de la medida indirecta deg es9:79(�0:07)m � s�2.

Sin embargo, en el caso de queL y/o T hayan sido calculados por procedimientos no estad´ısticos,entonces aplicando (19):

Eg =

�� @g@L��EL +

�� @g@T��ET =

4�2

T 2EL + 4�

2L

2

T 3ET (25)

y sustituyendo los valores deL, T , EL y ET se obtieneEg = 0:09m � s�2. Por tanto, el resultado de lamedida indirecta deg en este segundo caso es9:79(�0:09)m � s�2.

Un problema que puede surgir cuando se utiliza (14) para el cálculo del error absoluto de unamedida indirecta es quedf

dxsea cero para el valor experimental dex. Aparentemente, esto nos

llevarıa a queEy = 0, pero esto no es cierto. Hay que tener en cuenta que (14) es lo quese denomina una aproximación de primer orden del error. En el caso comentado habr´ıa querecurrir a la aproximación de segundo orden:Ey = d2f=dx2E2

xque evidentemente nos dar´ıa

un error muy pequeño pero distinto de cero.

0.2 Presentacion de resultados numericos.-

Cualquier valor experimentalm de una magnitud f´ısica debe expresarse con un determinadonumero de cifras, que viene limitado por el valor del error absolutoE. El numero de cifras quehay desde la primera cifra distinta de cero empezando por la izquierda hasta la primera cifra quevenga afectada por el error absoluto, ambas inclusive, es el número decifras significativas (N s)del resultado. Es evidente que no tiene sentido escribir cifras no significativas de un resultado.Ademas, el convenio de sólo escribir las cifras significativas de un resultado nos hace tenerinformacion inmediata sobre su error absoluto por el mero hecho de verlo escrito.

Ejemplo: Si nos dicen que la longitud de un cuerpo es de14:7m: sabemos que se ha medido con unaprecision de dec´ımetros y que, por ello, nos dan3 cifras significativas. Si la precisión de la medidahubiese sido de cent´ımetros, entonces nos habr´ıan dicho14:70m: (4 cifras significativas).

El expresar un resultado en una u otra unidad no cambia su número de cifras significativas.Por eso, los ceros a la izquierda de un número no son cifras significativas y sólo se utilizanpara situar el lugar decimal. Los ceros a la izquierda pueden evitarse usando notación cient´ıfica(potencias de10).

Ejemplo: Decir que una masa es de 2.342 g. o decir que es de 0.002342 Kg., no cambia el número decifras significativas que en ambos casos esN

s= 4. En notacion cient´ıfica se escribir´ıa 2:342 � 10�3Kg:


Los ceros al final de una medida pueden ser o no ser cifras significativas.

Ejemplo: Si nos dicen que en España hay 40000000 de personas puede que los haya exactamente, encuyo caso el cuatro y todos los ceros son cifras significativas, o puede que se haya redondeado a unnumero entero de millones, en cuyo caso sólo el cuatro y el primer cero son cifras significativas. Paraestaultima situacion, lo mas aconsejable ser´ıa entonces haber escrito40 � 106 o 40 millones.

Cuando se hace una medida tanto directa como indirectamente todav´ıa no se conoce el errorabsoluto de la misma, y, por ello, puede que se conserve un número demasiado grande de cifras.Posteriormente, cuando se determina el error absoluto de la medida, hay que quedarse sólo conlas cifras significativas. Con este objetivo se hace uso de la técnica deredondeo: supongamosque debemos conservar cifras hasta una dada; si la cifra siguiente a ella es cinco o mayor quecinco, entonces debemos aumentarla en una unidad, pero si es menor que cinco, entonces no semodifica laultima cifra conservada.

Finalmente, hay que especificar cómo se aplica elredondeoa la propia expresión delerrorabsoluto. Debido al significado de incertidumbre en el resultado que se asocia al error absoluto,este mismo no debe expresarse nunca con más de dos cifras significativas. Por convenio, el errorabsoluto se expresará con dos cifras significativas si la primera de ellas es un1, o, si siendo un2, no llega a5 la segunda. En los demás casos, el error absoluto deberá expresarse con una solacifra obtenida mediante redondeo.

Ejemplos: Veamos algunos casos de resultados expresados correcta e incorrectamente.

INCORRECTO CORRECTO

5:619(�0:126) 5:62(�0:13)

8:4(�0:06) 8:40(�0:06)

345:233(�0:18) 345:23(�0:18)

2:023(�0:0261) 2:02(�0:03)

En calculos que implicanmultiplicaci on, division y extraccion de raıcesde numeros, el re-sultado final no puede tener más cifras significativas que los datos con menor número de ellas.En calculos desumasy restasde numeros, el resultado final no tiene más cifras significativasdespues de la coma decimal que las de los datos con menor número de ellas después de la comadecimal. En el caso de restas entre números muy parecidos suele ocurrir que el resultado tienemuchas menos cifras significativas que cada uno de ellos.

Ejemplo: Se desea calcular el volumen de un paralelep´ıpedo cuyos tres lados han medido:a =

12:3(�0:1)cm:, b = 8:5(�0:1)cm: y c = 0:3(�0:1)cm: El resultado final del volumen no puede ser es-crito con mas de una cifra significativa. Si calculamos el volumen m´ınimo posible y el volumen máximo


posible, se obtiene:Vmin = (12:2)(8:4)(0:2) = 20:496cm3: y Vmax = (12:4)(8:6)(0:4) = 42:656cm

3:

Como es posible comprobar, la primera cifra del volumen ya está afectada de error, y por lo tanto elresultado final aparecerá con una sola cifra significativa (que era precisamente el número de cifras signi-ficativas del lado con menor número de ellas,c).

Ejemplo: Se quiere calcular el volumen de un cilindro recto de radior y alturah, r = 4:5(�0:1)cm:,h = 55:7(�0:1)cm:. El volumen es�r2h. La constante� debe tomarse como m´ınimo con3 cifrassignificativas para no ser causa de errores adicionales. El volumen se obtiene con dos cifras significativas.

La importancia de conocer los errores absolutos de las medidas de las magnitudes f´ısicas a lahora de obtener conclusiones cient´ıficas queda de manifiesto con el siguiente ejemplo.

Ejemplo: Supongamos que se desea determinar si la temperaturaT tiene algun efecto sobre la resistenciaelectrica de una bobina de alambre de cobre. Se miden dos valores de la resistenciaR para dos tempera-turas distintas y se obtiene:

T1 = 20oC R1 = 4:024

T2 = 30oC R2 = 4:030

Sin los errores absolutos para cada valor de la resistencia no podemos sacar conclusiones cient´ıficas. Siel error de cada medida es de 0.002, entonces podemos concluir que la resistencia eléctrica aumenta conla temperaturaT . En cambio, si el error fuese de0:008 entonces no tenemos bases para llegar a la mismaconclusion.

0.3 Recta de mınimos cuadrados.-

El problema de la ciencia experimental no se reduce a medir ciertas magnitudes con la máximaprecision posible, sino que es, fundamentalmente, buscar una ley cuantitativa entre dos o másmagnitudes que están variando en manera correlacionada.

Supongamos que el fenómeno que se quiere estudiar dependa de dos magnitudesx ey. Este es,por ejemplo, el caso de las curvas de calibración de los instrumentos de medida (transductores),que transforman una magnitud f´ısica (presión, temperatura,. . . ) en una señal electrica, masfacil de medir y procesar. La ley que gobierna el fenómeno relaciona una magnitudx con laotra y de tal manera que durante una serie de experiencias se determinan los valores de unade ellas (y) que corresponden a los distintos valores de la otra (x). Se han hechon pares demedidas:

x1; y1; x2; y2; : : : ; xn; yn (26)

Nos preguntamos si es posible conocer la relación funcional entre las magnitudesx e y. Dicharelacion puede ser formulada, diciendo que una de ellas es función de la otra:

y = y(x) (27)


Cuando se representan gráficamente los valores de (26), el problema se traduce en encontrar lacurva de mejor ajuste. El problema as´ı formulado es muy complicado debido al hecho de queexisten infinitas funciones a las que pertenecen losn puntos dados en (26).

En la practica, el problema al que nos enfrentamos es de naturaleza más simple. La funcióny(x) es casi siempre conocida de antemano, de acuerdo a una determinada teor´ıa o modelo, obien se sospecha por analog´ıa con otros fenómenos mejor conocidos. Se establece, por tanto,en primer lugar, el tipo de comportamiento funcional según las anteriores consideraciones. Porejemplo:

y = ax+ b ; y = b+ a=x ; y = ax2 + bx + c ; y = a � exp(bx) ; : : : (28)

Una vez hecho esto, sólo queda encontrar los valores de los parámetros libres (a, b, c, etc.) quecorresponden a la recta de mejor ajuste, o a la parábola de mejor ajuste, etc.

Para evitar el juicio individual en la elección de la recta de mejor ajuste, la parábola de mejorajuste o, en general, cierta curva de mejor ajuste a una colección de datos, es necesario conveniruna definicion de en qué consiste el mejor ajuste. Con este fin puede usarse elmetodo delos mınimos cuadrados. Vamos a explicarlo para el caso de dependencia lineal o af´ın entrefunciones, es decir, vamos a definir cuál es larecta de mejor ajuste(en el sentido de m´ınimoscuadrados) a una colección de datos. La generalización del metodo de m´ınimos cuadrados aotros tipos de curvas es inmediata. Supongamos que:

y = ax+ b (29)

dondea y b quieren ser determinados para que (29) sea la recta de mejor ajuste a la colecciónde datos de (26). El estudio de este caso sencillo tiene doble interés: de un lado, este tipo dedependencia es frecuente entre magnitudes f´ısicas, de otro lado, muchas otras dependenciasmas complicadas pueden reducirse a esta sencilla mediante un cambio de variables adecuado:

funcion inicial cambio forma lineal

y = ax2 x2 = z y = azy = a

px

px = z y = az

y = aexp(�x) ln(y) = z ; ln(a) = b z = �x + by = axn ln(y) = z ; ln(a) = b; ln(x) = t z = b + nt

Vamos a definir elresiduode cada punto de (26) con respecto a una recta del tipo de (29) comola cantidad:

ri = yi � axi � b (i = 1; : : : ; n) (30)

cantidad que puede ser positiva o negativa según el punto en cuestión este por encima o pordebajo, respectivamente, de la recta trazada. El residuo de aquellos puntos que estén localizadossobre la propia recta es nulo. Se llamarecta de mınimos cuadradosa aquella cuyos valores dea y b son tales que hacen m´ınima la suma de los cuadrados de los residuos:

nXi=1

r2i=

nXi=1

(yi � axi � b)2 (31)


Para determinar los valores dea y b que hacen m´ınima esta expresión basta exigir que lasderivadas parciales de primer orden de (31) con respecto a los parámetrosa y b sean nulas. Seobtiene:

a =nC �DE

nF �D2b =

FE �DC

nF �D2(32)

siendo:

C =nXi=1

xiyi ; D =nXi=1

xi ; E =nXi=1

yi ; F =nXi=1

x2i

(33)

Puede comprobarse que la recta de m´ınimos cuadrados tiene la propiedad de que pasa por elpunto(x; y). Como procedimiento rápido para trazar la recta de m´ınimos cuadrados para unacoleccion de puntos dada, se puede calcularb, x e y, y trazar la recta que pasa por los puntos(0; b) y (x; y). La pendiente de dicha recta es precisamentea.

La pendientea y la ordenada en el origenb de la recta de m´ınimos cuadrados son en muchasocasiones magnitudes f´ısicas que se quieren medir. Por ello, es importante establecer qué errorabsoluto vamos a considerar para dichos parámetros as´ı calculados. Se puede demostrar que ladesviacion estandar dea y b viene dada por:

sa =

snP

n

i=1r2i

(n� 2)(nF �D2)(34)

sb

=

sFP

n

i=1r2i

(n� 2)(nF �D2)(35)

Por tanto, tomaremos como error absolutoE de la pendiente y de la ordenada en el origen deuna recta de m´ınimos cuadrados al triple de sus desviaciones estándar respectivas:

a(�3sa) (36)

b(�3sb) (37)

Conviene señalar que, en algunas ocasiones, esta banda de error paraa y parab resulta serexcesiva, resultando aparentemente imposible seleccionar ni siquiera una sola cifra significativade los resultados. Cuando ello ocurra, es aceptable adoptar un criterio de error más suave (porejemplo, las propias desviaciones estándar en lugar del triple de las mismas).

Cuando el propósito de calcular la recta de mejor ajuste es poder estimar el valor de la magnitudy para valores dex distintos a los inicialmente medidos, se dice que hemos calculado unarectade regresion. Cualquier valoryo que determinemos utilizando la recta de regresión para unciertoxo viene afectado por una desviación estandar:

syo =

sPn

i=1r2i

(n� 2)

�D � 2xoD + nxo

nF �D2

�(38)

y como error absolutoE del valor deyo estimado adoptaremos el triple de la desviación estandar:

y(�3syo) (39)


Existe un parámetro muy importante denominadocoeficiente de correlacion linealr de las va-riablesx ey, que nos permite determinar la bondad del ajuste de la recta de m´ınimos cuadrados.Una de las formas de expresarlo es:

r =nC �DEp

(nF �D2)(nG� E2)(40)

donde aparece por primera vezG =P

n

i=1y2i. El valor absoluto der varıa entre0 y 1; el ajuste

es tanto mejor cuanto más proximo este jrj de la unidad. Un valor der proximo a cero indicaque no hay mucha correlación lineal entre los datos, y que posiblemente haya que buscar unacorrelacion mas complicada. Muchas calculadoras electrónicas modernas traen incorporadasutilidades estad´ısticas como rectas de regresión, y suministrándole todos los pares de valores(xi; yi), proporcionan todos los parámetros relacionados.

0.4 Realizacion de graficas.-

Las representaciones gráficas son una herramienta imprescindible para la F´ısica experimental.De la representación grafica de los valores de una magnitud f´ısica frente a los valores de otrapuede extraerse mucha información, de hecho, en ocasiones es la forma más directa de pro-poner un tipo de relación funcional entre ambas magnitudes. Las normas generales para lasrepresentaciones gráficas son:

� Las graficas podrán realizarse manualmente o bien haciendo uso de algúnsoftwaregrafico.Los datos experimentales siempre deben aparecer n´ıtidamente en la gráfica.

� Si se realiza con unsoftwaregrafico, deberá quedar evidencia de que el alumno entiendelo que está haciendo (mediante los comentarios oportunos)

� Los intervalos de valores considerados en los ejes deben ser tales que la curva repre-sentada se visualice convenientemente en la gráfica, y no aparezca concentrada en unafraccion de ella.

� Debe especificarse sobre los ejes horizontal y vertical cuáles son las magnitudes all´ı re-presentadas, as´ı como las unidades f´ısicas a que corresponden.

0.5 Memorias de las practicas.-

La realizacion de un trabajo experimental en el laboratorio irá siempre inexcusablemente acom-panada de la posterior presentación de una Memoria de la Práctica. Cada pareja de prácticaspresentará una Memoria de cada Práctica realizada.

La presentación de las Memorias deberá estar dentro de los márgenes de claridad y limpiezaexigibles a un alumno de enseñanzas superiores. El lápiz solo podra utilizarse para represen-taciones gráficas, siendo el bol´ıgrafo o tinta de impresión el medio de escritura habitual. Lautilizacion de maquinas de escribir, ordenadores e impresoras para la elaboración de las Me-morias estará permitida, pero no es necesaria. La presentación extremadamente cuidada será


un factor positivo a tener en cuenta, pero en ningún caso la excusa para descuidar el contenidoescrito de las Memorias.

Un esquema general (aunque flexible) del contenido de una Memoria es el que sigue:

1. Una primera página con t´ıtulo, autores y fecha de realización de la Práctica en el labora-torio.

2. Una breve introducción para marcar los objetivos de la Práctica.

3. Unescueto resumen del fundamento teórico del trabajo (pero no una copia del ep´ıgrafeteorico que aparece en el bolet´ın de practicas).

4. Una descripción todo lo detallada que se desee del montaje experimental utilizado en ellaboratorio: aparatos, técnicas de medida, etc.

5. Presentación de resultados: tablas, gráficas, etc. Es imprescindible que dichos resultadosvengan acompañados de sus correspondientes errores.

6. Interpretación de los resultados y conclusiones. Comentarios sobre cualquier aspecto deltrabajo experimental, detalles acerca del desarrollo del experimento, posibles fuentes deerrores sistemáticos no eliminadas, sugerencias, etc.


RESUMEN: Estimacion de Errores en las Medidas

1. Medidas directas

(a) Una unica medida

� Valor verdadero: el medido,m

� Error cometido:� sensibilidad del aparato:�s. m � s en aparatos digitales,m� s=2 en aparatos analógicos.

(b) Varias medidas

� Valor verdadero: el valor medio,m

� Error cometido: El triple de la desviación standard media,sm , �m� 3sm.

2. Medidas Indirectas: y = f(x; z; t; : : :)

(a) Una unica medida de cada magnitud x; z; t; : : :

� Valor verdadero dey: el que resulta de evaluar la función y para los valoresobtenidos directamente dex; z; t; : : :

� Error cometido: desarrollo en serie de Taylor (primer orden)

* dy = �y =

�@f

@x

��x +

�@f

@z

��z +

�@f

@t

��t+ � � � ;

los �x;�z;�t; : : : se obtendrán de las sensibilidades de los aparatos demedidas.SeaV = �r2l, entonces�V = (2�rl)�r + (�r2)�l o bien

�V

V= 2

�r

r+

�l

l

* Tambien se pueden tomar logaritmos en las fórmulas y diferenciar

lnV = ln� + 2 ln r + ln l y diferenciando,dV

V= 2

dr

r+dl

l(b) Varias medidas de cada magnitud x; z; t; : : :

� Valor verdadero:x �! �x� 3s�xz �! �z � 3s�zt �! �t� 3s�t

y por tantoy = f(�x; �z; �t; : : :).

� Error absoluto cometido en y:�s�y

sy =

s�@f

@x

�2

s2x+

�@f

@z

�2

s2z+

�@f

@t

�2

s2t

3. Recta de Mınimos Cuadrados: y = ax + bError cometido ena y b, es suficiente cona� s�a, b� s�b.

Buen ajuste si Coeficiente de correlación,r, proximo a la unidad.

Practica 1

Efecto Fotoelectrico

Conceptos Implicados

Onda luminosa, fotones, fotoelectrones, potencial de frenado, trabajo de extracción, cuantiza-cion energética.

Objetivos

1. Confrontación del modelo cuántico de la luz con el modelo ondulatorio.

2. Obtener las relaciones que existen entre energ´ıa y la frecuencia, determinando experi-mentalmente el valor de la constante de Planck.

Fundamento Teorico

En 1900, Planck formuló la hipotesis de que un oscilador, o cualquier sistema f´ısico similar,pose´ıa un determinado conjuntodiscretode valores de energ´ıa o niveles. De esta forma explicóque la absorción y emision de radiación electromagnética por las paredes de un metal sólo sepodıa realizar mediante intercambios energéticos multiplos enteros deh� (h=6.626�10�34 J/s,� frecuencia de la radiación). Esta hipótesis pudo explicar la ley de radiación del cuerpo negro.

Era un hecho conocido que cuando la luz incid´ıa sobre un metal, ciertos electrones (o fo-toelectrones) eran extra´ıdos del metal, pudiendo éstos forman una corriente. Este fenómeno seconoc´ıa comoefecto fotoelectrico. En el modelo clásico de la luz, ésta se considera como unaonda electromagnética cuya energ´ıa esta distribuida por todo el frente de la onda y es proporcio-nal al cuadrado de la amplitud de la onda. Esto implicar´ıa por una parte que una onda de mayorintensidad producir´ıa fotoelectrones más energéticos y por otra que se necesitar´ıa mucho tiem-po para acumular la energ´ıa necesaria para extraer los fotoelectrones. No obstante, el modelofotonico de la luz introducido por Einstein (extendiendo la hipótesis de cuantización energéticade Plank, formulada para sistemas de osciladores, a la energ´ıa de la radiación) predec´ıa que laenerg´ıa de los fotoelectrones depend´ıa de la frecuencia de la luz incidente según

E = h� = Emaxc

+ � ;

19

Practica – 1. Efecto Fotoelectrico 20

dondeEmaxc

es la maxima energ´ıa cinetica de los fotoelectrones emitidos y� representa el tra-bajo necesario para extraer un electrón de la superficie del metal (trabajo de extraccion). E esla energ´ıa suministrada por el cuanto de energ´ıa luminosa denominadofot on. Debe notarse queno todos los fotones incidentes consiguen “arrancar” un fotoelectrón y, por tanto, suele hablarsedel rendimiento del proceso como el cociente entre el número de fotoelectrones arrancados y elnumero de fotones incidentes.

En el experimento a realizar en esta práctica, fotones luminosos con energ´ıa h� incidensobre un electrón del catodo de un tubo de vac´ıo. El electron usa una energ´ıa � para esca-par del catodo, quedándose con un máximo de energ´ıa h� � � en forma de energ´ıa cinetica.Normalmente, los fotoelectrones alcanzan el ánodo del tubo y pueden ser medidos como unacorriente fotoeléctrica. No obstante, mediante la aplicación de un potencial,Vs (potencial defrenado), entre elanodo y el cátodo, los fotoelectrones pueden ser detenidos y por tantoEmax

c

medida como el m´ınimo potencial necesario,Vs, para parar los fotoelectrones y anular as´ı lacorriente fotoeléctrica. Igualando este potencial con la energ´ıa cinetica maxima se obtiene queh� = eVs + � (e=1:602� 10�19 C) o bien despejando paraVs,

Vs =h

e� � �

e:

En el aparato detector de esta práctica se mide directamente el potencial de frenado, pu-diendose de esta forma determinar fácilmente el valor de la constante de Planck y el valor deltrabajo de extracción.

MONTAJE Y REALIZACI ON

Parte A):

Tras encender la fuente de luz de mercurio (ver Fig.1.1), notar que la rejilla de difracción situadaen frente de la fuente de luz divide el haz primario en varios haces monocromáticos (distintoscolores). Debido a que el espaciado de la rejilla de difracción es menor que la longitud de ondavisible, aparecerán variosordenes para cada raya espectral (en la práctica, sólo son visibles losdos primeros órdenes). Para esta práctica tomaremos en consideración unicamente las rayasespectrales del lado en el aparezcan visibles dos órdenes.

1. Alinee la raya amarilla del primer order con la rendija del aparato detector. Coloquesobre esta rendija el filtro de color amarillo (éste ayudará a que en la rendija solo entreradiacion correspondiente a la frecuencia del color amarillo). Sobre este filtro amarillo,situe el filtro de transmisión variable de tal modo que la zona correspondiente al 100% detransmision sea iluminada por la raya amarilla. Pulse el botón rojo del aparato detector ymida el tiempo que tarda el potencial de frenado (valor del volt´ımetro digital conectadoal aparato detector) en estabilizarse, anotando también el valor de dicho potencial defrenado.

2. Repita el anterior proceso variando las diferentes zonas del filtro de transmisión variable(80%,60%,40% y 20%) y anote los resultados correspondientes a cada caso.

Como es posible que al situar los filtros en las zonas más opacas, se requiera muchotiempo para alcanzar el valor estable del potencial de frenado,Vs, se recomienda que


Figura 1.1:Montaje experimental

esta parte de la pr´actica se realice observando que el potencial de frenado no cambiaapreciablemente al variar la intensidad y tomando los valores de tiempo que se tarda enalcanzar un valor de potencialV ' 0:9Vs. Si tras cinco minutos, el potencial de frenadotodavıa no alcanzado el valor anterior, anote simplemente este hecho y proceda con lasiguiente medida.

3. Repita los dos puntos anteriores con otra raya espectral de primer order (colocando ahorael filtro correspondiente a su color).

Trabajo a realizar posteriormente:

1. Represente en una grafica los valores del potencial de frenado con respecto a los por-centajes de transmision de la luz recibida para los dos colores observados. Analice losresultados y explique si la teorıa ondulatoria de la luz puede explicarlos.

2. Justifique por que aumenta el tiempo de estabilizacion del potencial de frenado al dismi-nuir la intensidad de la luz recibida.

Parte B):

1. Alinee la raya espectral amarilla del primer order sobre la ranura del aparato detector.Coloque sobre esta ranura el filtro amarillo y anote el valor del potencial de frenado (trasestabilizarse su valor).


2. Repita todo el proceso anterior para las restantes rayas espectrales para las cuales sedisponga de filtro.


1. Mediante la tecnica de mınimos cuadrados, obtenga la recta de mejor ajuste que rela-ciona el potencial de frenado, Vs (eje Y ), con la frecuencia de la radiacion incidente (estapuede deducirse a partir de los valores de la � de los colores usados).

2. Interprete la pendiente de esta recta y el punto de corte con el eje de ordenadas enterminos de la teorıa cuantica de la luz.

3. Obtenga el valor de la constante de Planck a partir de la pendiente de la recta de mınimoscuadrados y calcule el error relativo respecto al dato conocido de dicha constante.

Practica 2

Efecto Hall


Semiconductor, signo de los portadores de carga, fuerza de Lorentz y coeficiente Hall.

Objetivos

Los objetivos de esta práctica serán:

1. Determinación del signo de los portadores de carga.

2. Calculo de la concentración de portadores en la muestra.

3. Obtencion del valor de la velocidad de arrastre de los portadores.

Estos objetivos se llevarán a cabo mediante:

� Medida del voltaje Hall,VH , a temperatura ambiente y campo magnético constante, comouna funcion de la corriente de control.

� Medida del voltaje Hall en función del campo magnético,B, a temperatura ambiente eintensidad constante.

Fundamento teorico

Si una corrienteI fluye a traves de una tira conductora (metálica o semiconductora) de secciónrectangular, estando la tira sometida a un campo magnético externo perpendicular a la direcciónde la corriente, se produce un voltaje –denominado voltaje Hall– entre puntos opuestos sobrelos lados de la tira (ver Fig.2.1).

Este fenomeno proviene de la fuerza de Lorentz: los portadores de cargaq (que dan lugara una corriente que fluye a través de la muestra) son desviados por el campo magnéticoB a unlado de la tira en función de su signo y velocidadv debido a la fuerza,F, existente:

F = q(v �B)

23

Practica – 2. Efecto Hall 24

VH

mA

B

EH

I

d

h

+

+

-

-

VH>0

Figura 2.1: Efecto Hall en una tira de sección rectangular. El signo de la polaridad del voltaje Hallmostrado (VH > 0), corresponde al caso de portadores de carga negativa cuando el volt´ımetro se hacolocado según la configuración de la figura.

Este fenomeno puede ser utilizado para determinar el signo de la carga de los portadores yaque no podr´ıa deducirse, por ejemplo, de la simple lectura delsentidode la corriente en unamper´ımetro.

Notese que la densidad de corrienteJ = nqv tiene elmismosigno tanto para una carga positiva (+q)desplazándose con una velocidad+v como para una carga negativa (�q) moviendose con una velocidaden sentido opuesto (�v)

Conocido el sentido de la corriente que atraviesa la muestra as´ı como el sentido del campomagnetico aplicado a la misma, el signo de la carga de los portadores puede deducirse del signodel voltaje de Hall,VH , medido en un volt´ımetro debidamente dispuesto. Esto es debido a queel signo del voltaje Hall determina elsentidodel campo eléctrico,EH , que va de un extremolateral a otro de la placa. El valor del voltaje Hall viene dado por la siguiente expresión:

VH =1

nq

IB

h;

siendon la concentración de portadores yq la carga elemental de cada portador. Se denominaconstante Hall a

RH =1

nq

que depende del tipo del material (a través den) y de la temperatura de trabajo.

En los semiconductores, tanto los huecos como los electrones pueden contribuir a la corrien-te electrica. Puesto que los portadores de carga positiva y negativa se mueven en sentidos opues-tos en respuesta al mismo campo eléctrico aplicado, ambos son desviados hacia elmismoladode la muestra. No obstante, en muestras extr´ınsecas como la que se estudiará en esta práctica,el signo observado en el voltaje Hall es el correspondiente a losportadores mayoritarios.



La Fig.2.2 muestra un esquema del montaje que se utilizará en esta práctica para la medicióndel efecto Hall.

Figura 2.2:Montaje para la medición del efecto Hall.

La placa debe ser manipulada muy cuidadosamente para no dañar el cristal. En concreto,debe evitarse doblar la placa. La corriente de control,I, es suministrada por una fuente externa ysu valor medido mediante un miliamper´ımetro. El valor de dicha corrienteno debe sobrepasarlos 30 mA.

El campo magnético normal a la muestra es producido por dos bobinas conectadas en seriey arrolladas a un núcleo magnético. La intensidad que circula por las bobinas es suministradapor la salida DC de la fuente de alimentación principal. Es aconsejable para este propósitoponer el voltaje al máximo valor y ajustar el campo magnético al valor deseado usando paraello el boton que ajusta la corriente. La inducción magnetica del campo es medida por elteslametro, cuya sonda Hall se situará en el centro del campo.El sentido del campo magnéticoexistente entre los entrehierros del electroimán (donde se encuentra la muestra semiconductora)puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha ya que se conoce el sentido de lacorriente por las bobinas (tal como indica el dibujo existente en las mismas). De esta manerasabremos qué sentido del campo magnético esta asociado al signo positivo o negativo de lamedida proporcionada por el teslámetro.

La alimentacion de corriente continua para la muestra semiconductora se realiza medianteuna fuente de alterna convenientemente rectificada por un puente de diodos (para as´ı obteneruna corriente continua). El valor de la corriente continua que circula por la muestra se mide


utilizando un miliamper´ımetro. Finalmente, el voltaje Hall se medirá por el volt´ımetro de-bidamente dispuesto a tal efecto.Es importante tomar notar de la polaridad con que se hanconectado los terminales del volt´ımetro a la placa. En este sentido, es recomendable conectarel terminal positivo del volt´ımetro a la parte superior de la placa.

I. Determinacion del signo de los portadores de carga

1. Imponga un valor del campoB del orden de 200 mT y haga pasar corriente por la placa(I � 20mA).

2. Tome nota delsentidodel campo magnético, de la corriente y del voltaje Hall.


Deduzca, a partir del signo del voltaje Hall, el signo de los portadores de carga mayoritarios.

II. Medida del voltaje Hall en funci on de la intensidad en la placa

1. A temperatura ambiente, imponga un valor de campoB del orden de 200 mT, tomandonota de dicho valor.

2. Tome nota de al menosveintevalores del voltaje Hall,VH , y de la intensidad que recorrela placa, en un rango de variación para la intensidad comprendido como máximo entre�30 < I(mA)< 30. Para obtener valores negativos de intensidad hay que invertir la pola-ridad de la corriente que circula por la placa. Para ello basta intercambiar las conexionesde entrada de la corriente a la placa, reconocibles por la cinta aislante negra.


1. A partir de la tabla de valores experimentales, represente en una grafica los puntoscorrespondientes a los distintos valores VH (eje Y) frente a los de intensidad.

2. Aplicando la tecnica de mınimos cuadrados (ver Apartado ??), obtenga la recta de mejorajuste de los puntos anteriores. Especifique claramente la pendiente de dicha recta consus unidades oportunas.

3. En la grafica anterior, superponga esta recta a los puntos ya representados.

4. A partir de la pendiente de la recta de mejor ajuste, obtenga para la temperatura detrabajo el valor de la constante Hall, RH , y el de la concentracion de portadores mayo-ritarios del semiconductor (ambos con sus unidades correspondientes). Para el calculoanterior utilice los siguientes valores: d = 10mm y h = 1mm (ver Fig.2.1) y asuma queq = 1:6� 10

�19 C.

5. A partir del valor obtenido para la concentracion de portadores mayoritarios, verifiqueque el material analizado es efectivamente un semiconductor extrınseco.


III. Medida del voltaje Hall en funci on del campo magnetico

1. A temperatura ambiente, imponga un valor de intensidadI � 25 mA, tomando nota dedicho valor.

2. Tome nota de al menosveintevalores del voltaje Hall,VH , y del campo magnéticoB,haciendo variar éste en el rango (�250 < B(mT)< 250). Para obtener valores negativosdeB, anule la fuente de tensión que alimenta las bobinas e intercambie los cables desalida de la misma.


1. A partir de la tabla de valores experimentales, represente en una grafica los puntoscorrespondientes a los distintos valores VH (eje Y) frente a los del campo magnetico.

2. Aplicando la tecnica de mınimos cuadrados, obtenga la recta de mejor ajuste de lospuntos anteriores. Especifique claramente la pendiente de dicha recta con sus unidadesoportunas.


4. A partir de la pendiente de la recta de mejor ajuste y de las dimensiones de la muestra,obtenga nuevamente, para la temperatura de trabajo, el valor de la constante Hall, RH ,y de la concentracion de portadores mayoritarios.

5. Compare estos resultados con los obtenidos en la anterior experiencia.

6. Deduzca la relacion lineal que existe entre la pendiente de la recta de mejor ajuste y lavelocidad de los portadores. Para el valor de corriente fijado, y utilizando la expresionanterior, determine la velocidad de arrastre de los portadores mayoritarios.

Para la deduccion de la relacion lineal entre la pendiente y la velocidad parta de la expresioncorrespondiente a la densidad de corriente en la muestra

Practica 3

Anchura Banda Prohibida en Ge


Semiconductor intr´ınseco, teor´ıa de bandas, banda prohibida, banda de valencia, banda de con-duccion, electrones, huecos, conductividad intr´ınseca.

Objetivo

Determinacion de la anchura energética de la banda prohibida de una muestra semiconductorade Germanio intr´ınseco.

Fundamento teorico

Los semiconductores son materiales sólidos cuya conductividad se encuentra entre la de losmetales y la de los aislantes. Un semiconductor puro se denomina también intr ınseco. Estossolidos son materiales cristalinas cuyos átomos están unidos en la red mediante enlaces covalen-tes. AT = 0K, estos materiales son aislantes puros dado que no posee cargas libres susceptiblesde transportar una corriente eléctrica. AT > 0K, debido a la agitación termica, algunos elec-trones son capaces de “escapar” de los enlaces covalentes del material pasando a comportarsecomo electrones cuasi-libres posibilitando la corriente eléctrica. Desde el punto de vista de lateorıa de bandas energéticas, lo anterior equivale a decir que los electrones abandonan la bandade valencia y pasan a la banda de conducción. Esta transición solo puede ocurrir si la energ´ıatermica recibida es mayor queEg, que es la anchura energética de la banda prohibida existenteentre la banda de valencia y la de conducción. El paso de los electrones a la banda de con-duccion generahuecos(equivalentes en cierta medida a cargas positivas móviles) en la bandade valencia. Ambos tipos de portadores as´ı generados, electrones y huecos, contribuyen comoportadores independientes de carga a los mecanismos de conducción en el semiconductor. Enlos semiconductores intr´ınsecos el número de huecos por unidad de volumen, que se denominapor la letrap, es igual al número de electrones de conducción por unidad de volumenn, dadoque la generación termica de portadores produce pares electrón-hueco.

Para un semiconductor intr´ınseco, la conductividad crece exponencialmente al aumentar

28

Practica – 3. Anchura Banda Prohibida en Ge 29

la temperatura debido a la generación termica de portadores (pares electrón-hueco):

� = �0 exp

�� Eg

2kBT

�; (3.1)

donde la constante�0 practicamente no depende de la temperatura,kB = 1:38 � 10�23 J/K =8:62 � 10�5 eV/K es la constante de Boltzmann,T la temperatura en grados Kelvin y1 eV =1:6� 10�19J.

La anchura de la banda energética,Eg, puede obtenerse fácilmente como la pendiente dela curva experimental resultante de la representación delln� frente aT�1

ln� = ln�0 �Eg

2kB

1

T: (3.2)


Segun se muestra en la Fig.3.1, la pieza de Ge es conectada en serie con una resistencia a la

Corriente decalentamiento

Ge

Figura 3.1:Montaje para la determinación de la anchura de la banda prohibida

salida de corriente continua de la fuente de tensión. En la placa y detrás de la pieza de germanioexiste una resistencia de caldeo que es alimentada por la salida de alterna de la fuente de tensión(corriente de calentamiento). La temperatura de la pieza se medirá usando el termopar de unpolımetro.

1. Alimente la resistencia de caldeo con la corriente de calentamiento, aplicando inicialmen-te una tensión alternade 2V. Espere unos minutos hasta que la temperatura de la placa

Practica – 3. Anchura Banda Prohibida en Ge 30

se estabilice. Repita el proceso anterior aplicando ahora una tensión de 4V. La tempera-tura de la pieza de semiconductorno debe sobrepasar los 100oC. (La finalidad de esteproceso es aumentar de forma progresiva la temperatura de la muestra.)

2. Una vez que se ha alcanzado el valor máximo de temperatura en la muestra de semicon-ductor, aplique una tensión decontinuaa la placa para conseguir que la intensidad de lacorriente que pase por la pieza de semiconductor sea aproximadamente de 30 mA.

3. Tome medida de la temperatura,T (oC), tension en los extremos de la pieza semiconduc-tora,V , e intensidad de la corriente,I, que la atraviesa.

4. Desconecte la fuente de alterna que alimenta la resistencia de caldeo y tome aproxima-damente veinte valores de tensión, intensidad y temperatura a medida que la placa vayaenfriandose. Dado que la placa se enfr´ıa rapidamente al principio, tenga previamentepreparada una tabla donde apuntar diligentemente los valores medidos.


1. A partir de los valores de tension, V , e intensidad, I, determine los valores de conducti-vad, �, a partir de la resistencia electrica de la muestra semiconductora correspondientea cada temperatura.

La resistencia eléctrica de la muestra semiconductora,Rs, es el cociente entre la tensión y laintensidadRs = V=I, estando este parámetro relacionado con la conductividad eléctrica, segúnRs = l=(�A), dondel es la longitud yA el area de la sección transversal de la pieza rectangularsemiconductora. (en el presente casol � 2cm yA � 10

�5 m2).

2. A partir de la tabla de valores experimentales, � y T , represente en una grafica lospuntos correspondientes a los distintos valores de ln� (eje Y ) frente a los del inverso dela temperatura, 1=T , expresada esta en grados Kelvin.

3. Aplicando la tecnica de mınimos cuadrados (ver Apartado ??), obtenga la recta de mejorajuste de los puntos anteriores. Especifique claramente el valor de la pendiente de dicharecta. Tenga en cuenta que las unidades de esta pendiente son K (grados Kelvin).


5. A partir del valor de la pendiente de la recta anterior, obtenga el valor experimental (enunidades de eV) de la anchura de la banda prohibida E g.

6. Compare el valor experimental de Eg con el valor tıpico para que se proporciona para elgermanio en los textos (� 0:7 eV).

Practica 4

Curva caracterıstica de un diodo

Conceptos implicados

Elementos lineales, elementos no lineales, diodos, caracter´ısticasI=V de elementos no lineales,recta de carga, punto de trabajo.

Objetivos

1. Determinar la curva caracter´ısticaI=V de un diodo.

2. Obtencion del valor de la intensidad que circula por un circuito serie diodo-resistenciaen DC mediante la técnica grafica de la recta de carga. Comparación de los resultadosobtenidos gráficamente con los medidos experimentalmente.

Principios fısicos

La ecuacion basica que rige los fenómenos de conducción es

j = �E ;

siendo� la conductividad del material,E el campo eléctrico yj la densidad de corriente. Cuan-do � es independiente deE, el elemento se denomina lineal (por ejemplo los metales, las di-soluciones electrol´ıticas homogéneas,...). Existen, sin embargo, elementos en los que la con-ductividad� puede ser función de varios parámetros, generalmente del campo eléctrico (porejemplo en un diodo). La dependencia de la tensión aplicadaV y de la intensidadI a travesde estos elementos no es por tanto lineal. Para resolver circuitos con elementos no lineales sesuelen usar métodos gráficos. Uno de los dispositivos no lineales más sencillos y usados es eldiodo semiconductor. A continuación se explicará brevemente la forma en que se construye ysu comportamiento como dispositivo conductor no lineal.

Un diodopn como el que utilizaremos en la práctica, esta formado por la unión de dossemiconductores. Los semiconductores son materiales sólidos cuya conductividad se encuentraentre la de los metales y la de los aislantes. Un semiconductor puro se denomina también

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Practica – 4. Curva caracterıstica de un diodo 32

intrınseco. Enel, debido a la agitación termica, algunos electrones pasan de la banda de valenciaa la de conducción (pueden moverse en la red) dejando huecos (equivalentes en cierta medidaa cargas positivas móviles) en la banda de valencia. Ambos tipos de portadores as´ı generados,electrones y huecos, contribuyen como portadores independientes de carga a los mecanismosde conducción en el semiconductor. En los semiconductores intr´ınsecos el número de huecospor unidad de volumen, que se denomina por la letrap, es igual al número de electrones deconduccion por unidad de volumenn, dado que la generación termica de portadores producepares electrón-hueco.

A menudo los semiconductores son dopados controladamente mediante impurezas añadi-das. De esta forma se consigue que los electrones o bien los huecos, dominen en el material.Estos semiconductores se denominanextrınsecos(o dopados). Cuando se añaden impurezasaceptoras(por ejemplo Galio) que hacen aumentar el número de huecos sobre el de electronesde conducción, el semiconductor extr´ınseco se denomina tipop. Por el contrario si se aumen-ta el numero de electrones de conducción sobre el número de huecos en la banda de valenciamediante la adición de impurezasdonadoras(por ejemplo Arsénico), el semiconductor se de-nomina tipon. Los portadores que están en mayor cuant´ıa en un semiconductor extr´ınseco sedenominanmayoritarios, denominandoseminoritariosa los que se encuentran en menor canti-dad.

En cualquier semiconductor (tipop o n), a una temperatura dada, se verifica la siguienteley entre las concentraciones de portadores:

np = n2i;

siendoni la concentración de electrones de conducción (o bien de huecos) del semiconductorintrınsecoa la temperatura considerada. Esta concentración crece fuertemente con la tempera-tura y por tanto, contrariamente a lo que ocurre en los conductores, los aumentos de temperaturaprovocan fuertes aumentos en la conductividad de los semiconductores.

Se denomina uniónpn a la union por contacto de un semiconductor tipop con uno tipon.Debido a la concentración no uniforme de portadores se forma un gradiente de dicha concentra-cion a traves de la unión. Los huecos fluyen de la región p a lan, y los electrones al contrario.Una vez estabilizado el proceso, se crea en la unión una zona de cargas (iones) inmóviles de-nominadazona de deplexion o region de carga espacial. Esta zona de carga da origen a uncampo electrico, de forma que origina as´ı una barrera de potencial que impide el flujo neto deportadores mayoritarios hacia el lado opuesto.

Cuando la unión se polarizadirectamente(se conecta el borne positivo de una bater´ıa a lazonap), se reduce la barrera de potencial en el contacto y un gran número de huecos de la regiónp puede pasar a la zonan. De igual forma, los electrones de la zonan podran pasar a la regiónp. Ambos flujos de portadores, pese a ser en sentidos opuestos, contribuyen a la intensidad totalen un mismo sentido (dado que son de signo diferente) en el dispositivo. Si por el contrariopolarizamosinversamentela union (zonan conectada al borne positivo de la bater´ıa), la barrerade potencial en la unión aumentará y solo existira una corriente m´ınima.

Todo lo anterior queda reflejada en la denominadacurva caracterıstica del diodo, que essimplemente la gráficaI frente aV .



I. Determinacion de la curva caracterıstica de un diodo

1. Para hallar la caracter´ısticaI=V del diodo, monte el circuito de la figura 4.1.

A B C

mAI

V

Figura 4.1:Circuito para el estudio de la caracter´ıstica de un diodo

2. Vaya aumentando la tensión del generador paulatinamente para tomar nota de al menosveintevalores de la intensidad,I, y de la tensión,Vd = VAB, en el diodo.

Note que solo a partir de cierto valor de tensión, Vd > V , la intensidad que recorre el diodo essensiblemente distinta de cero. No obstante, esto no implica que no haya que tomar nota de losvalores para los que encontramos:I � 0 y Vd < V . La mayor curvatura de la caracter´ıstica deldiodo tiene lugar en el intervalo de tensionesVd & V , por lo que el número de medidas en esteintervalo debe ser mayor.

3. Ponga a cero la tensión del generador einvierta la posicion del diodo para obtener laparte negativa de la curva caracter´ıstica.

4. Aumente la tensión del generador para medir los valores de intensidad y tensión en eldiodo. Aunque la lectura en el volt´ımetro y el amper´ımetro seguirá dando valorespositi-vos, debe entenderse que éstos sonnegativosrespecto a la situación anterior y como taleshay que tomar nota de ellos. Lim´ıtese a comprobar queI es practicamente despreciablepara cualquier valor negativo deVd y tome note de este hecho.


1. A partir de la tabla de valores experimentales, represente en una grafica los puntoscorrespondientes a los distintos valores de I (eje Y) frente a los de tension, Vd.

2. Trace una curva suave que interpole los puntos anteriores. La grafica ası obtenida sedenomina curva caracterıstica del diodo.

3. Interprete el significado de esta curva y en funcion de esto, justifique la utilidad del diodocomo dispositivo de un circuito.


II. Determinaci on grafica del punto de trabajo del circuitoCuando circula una intensidad,I, por el elemento serie formado por una resistencia y un diodo,la tension total,Vt, en el elemento serie es la suma de la tensión en la resistencia,VR, mas la deldiodo,Vd, respectivamente. Por tanto podemos escribir

Vt = RI + Vd : (4.1)

Si deseamos calcular elpunto de trabajo del diodo, esto es, el par de valores(ID; VD) quenos dan la intensidad y la tensión en el diodo, debemos encontrar una ecuación mas y resolverposteriormente el sistema de ecuaciones (que nos dará precisamente como solución los valoresde intensidad y tensión en el punto de trabajo). Esta ecuación es la que relaciona la intensidadcon la tensión en el diodo:

I = I(Vd) : (4.2)

No obstante, dado que la relación que existe entreI y Vd es no lineal (tal como ha debidode poner de manifiesto la representación de la curva caracter´ıstica del diodo), la resolucióndel sistema no lineal formado por las dos ecuaciones anteriores no es trivial. (Note que estaresolucion sı serıa trivial si la relacion entreI y Vd fuese lineal). Debido a esta dificultad, esusual recurrir a un método grafico para determinar el punto de trabajo. Este método se basa enla superposición grafica de la ecuación (4.1), representada en una gráficaI (eje Y) frente aVd,

I = �VdR

+VtR

;

(lo que constituye la llamadarecta de carga del diodo) junto con la curva caracter´ıstica deldiodo, esto es, aquélla que se ha obtenido en el apartado anterior.

Como se observa en la Fig. 4.2, para representar la recta de carga se toma en el eje deordenadas un valorVt=R (siendoR la resistencia utilizada en la práctica, que habitualmente esde 100) y en el eje de abscisas un valor igual aVt. La recta de carga será la recta que uneambos puntos. Elpunto de trabajodel diodo se obtendrá graficamente como la intersección dela recta de carga con la caracter´ıstica del diodo (ver Figura 4.2).

V /Rt

I(mA)

VD VR Vt V (volt)d

Curva característica

Recta de carga

Punto de trabajo

I medida

Figura 4.2:Obtencion grafica del punto de trabajo del diodo.


1. Para un cierto valor deVt (2V < Vt < 8V), tome nota de los valores de las siguientesmagnitudes:Vt � VAC , VD � VAB, VR � VBC e intensidadID.

2. Repita este proceso dos veces m´as de modo que obtenga finalmente tres conjuntos devalores deVt; VR; VD e ID. (Anote tambien el valor de la resistenciaR utilizada.)


1. Dibuje las rectas de carga correspondientes a los tres conjuntos de medidas tomadasanteriormente.

2. Determine graficamente el punto de trabajo para cada uno de los tres casos anteriores.

3. Realice una tabla donde se comparen los valores medidos de ID,VR y VD con los quese han obtenido del calculo grafico de los puntos de trabajo. Realice los comentariosoportunos.

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