2

3

Indholdsfortegnelse:

Tema: Kvadrattal og matematiske mønstre:

Side 4: Problemformulering.

Side 5: En nem tilgang til kvadrattal med løsning på

problemstilling 1 v. matematiske beviser.

Side 9: Opsummering af kvadrattal.

Side 10: Pythagoræiske tal og talsæt m. matematisk bevis.

Side 12: En biografi om Pythagoras’ liv.

Side 14: Flere pythagoræiske tal

Side 15: Fakta om kvadrattal

Side 16: Matematisk bevis for Pythagoras’ sætning:

a2 + b2 = c2.

Side 19: Talrækker med kvadrattal. Kan du regne det ud?

Side 20: Kvadrater i kvadrater – Kan man på en smart

måde regne ud, hvor mange kvadrater, der er i et

kvadrat bestående af kvadrater?

Side 21: Hvor stort er kvadratet? Kan man finde arealet af

figurerne? Skal man bruge Pythagoras, og findes

der et system?

Side 23: Litteraturliste og en særlig tak til de personer, der

har været med til at udarbejde rapporten/bogen.

4

Problemformulering

Når vi har arbejdet med kvadrattal, har vi ofte hæftet os ved og

undret os over det mønster, hvorefter de udvikler sig. Det er

dette mønster, vi vil tage udgangspunk i, og så vil vi ellers

prøve at finde mønstret i forskellige sammenhænge.

Følgende spørgsmål melder sig:

- Hvis vi kender et kvadrattal, kan vi så på en nem måde

finde det næste?

- Har det noget med Pythagoras at gøre?

- Dukker der navne op på interessante matematiske

begavelser?

- Findes der andre mønstre, hvor vi kan bruge

Pythagoras’ sætning og kvadrattal til hjælp?

5

Grundmønstret

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Kvadrat nr. 1 er på 1 cm2

Kvadrat nr. 2 er på 4 cm2 og dermed vokset med 3 cm2

6

Mønstret fremgår af nedenstående.

Grundtal Kvadrattal Forskel Opdeling

1 1

2 4 4-1=3 1+2

3 9 9-4=5 2+3

4 16 16-9=7 3+4

5 25 25-16=9 4+5

6 36 36-25=11 5+6

7 49 49-36=13 6+7

8 64 64-49=15 7+8

9 81 81-64=17 8+9

10 100 100-81=19 9+10

Forskellen på 12 og 22 er 1+2

22 og 32 er 2+3

32 og 42 er 3+4

Og det matematiske bevis for forskellen på n2 og (n+1)2, hvor n

og n+1 er to tal, der kommer lige efter hinanden, som f.eks. 3

og 4:

7

Kvadrattallet, der hører til grundtallet n, er n2

Kvadrattallet, der hører til grundtallet n+1, er (n+1)2, og det kan

omskrives til (n+1) * (n+1) = n2 + 2n + 1

Forskel: n2 + 2n + 1 – n2 = 2n + 1 = n + (n+1)

Vi udvikler lidt mere på mønstret ved at undersøge, hvad der

sker med n sammenlignet med n+2 – altså et tal, der er 2

pladser efter det første tal f.eks. 40 og 42:

(n+2)2 = n2 + 4n + 4

Og forskellen er

n2 + 4n + 4 – n2 = 4n + 4

som kan deles op i n + (n+1) + (n+1) + (n+2)

Ved de to første led ovenfor:

n + (n+1) er forskellen på n2 og (n+1)2

og de to sidste led

(n+1) + (n+2) er forskellen på (n+1)2 og (n+2)2

Nu har vi en nem tilgang til rigtig mange kvadrattal.

Når vi kender

102=100 er der ikke lang vej til

112 (100+10+11) = 121

eller 512, som via 502=2500 er: 2500+50+51= 2601

8

422 = 402 + 40 + 41 + 41 + 42 eller 1600 + 4*41 = 1764

392 fremkommer på følgende måde:

402=1600

392=1600-40-39=1521

I dette tilfælde med 392 skal man finde forskellen mellem n2 og

(n-1) 2, som er = 2n + 1.

For fuldstændighedens skyld skal vi også finde en smart måde

at udregne tallene midt i tiergrupperne. F.eks. 25, som er midt

mellem 20 og 30:

Vi tager et eksempel med f.eks. 35:

352 =

(30+5)*(40-5) =

30*40+5*40-5*30-5*5 =

30*40 + (10*5) – 5*5 =

30*40 + 5*5 =

1200 + 25 =

1225

9

Og husmandsreglen:

Når vi skal udregne kvadratet på et tal, der ender på 5, finder vi

den tiergruppe, hvori tallet findes, og vi ganger tiergruppens

nummer med nummeret for den følgende tiergruppe.

Bag dette tal sætter vi resultatet af 5*5

75 er eksempelvis i den 7. tiergruppe. Den næste tiergruppe er

8, da det jo er 80, og 7 er 70.

752 er derfor 7*8 efterfulgt af 5*5, nemlig 5625

762 er så 5625+75+76=5776

Vi kan også lave opsummering:

Summen af de n første ulige tal giver n2

Som eksempel tager vi de første 5 ulige tal:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 giver 52

Og generelt:

1 + 3 + 5 +7 + 9 + 11 + ……… giver n2

(n+1)2 fremkommer altså på denne måde:

1 + 1+ 2 + 2 + 3 + 3 + 4 +………+ n + n + n + 1. Man adderer

altså alle tallene to gange op til det pågældende tal, som man

adderer tre gange, hvorefter man adderer med 1. Hvis n er 5, så

adderer man alle tallene op til fem to gange f.eks.

1+1+2+2+3+3…, og når, man så når op til 5, så adderer man 5

10

tre gange f.eks. 5+5+5, hvorefter man adderer med 1, og

dermed har man kvadrattallet på det tal, som kommer efter 5,

som er 6.

Hvis vi sætter summen af de n første tal til

S = 1 + 2 + 3 + 4 +…….. + n.

Hvis vi satte summen til det, så får vi:

2S + (n+1) = (n+1)2

Ved omformning giver det S = n(n+1)/2

Et eksempel:

Vi starter med grundtallet 3, og det tilhørende kvadrattal er 32 =

9

9 deles op i 4 + 5, og her har vi netop forskellen på 42 og 52

Alle ulige kvadrattal kan deles op i to tal, der kommer lige efter

hinanden i talrækken.

Pythagoræiske tal

a a2 b c

3 9 4 5

5 25 12 13

7 49 24 25

9 81 40 41

11 121 60 61

13 169 84 85

11

Når vi kender disse tal, som vi vil kalde ægte pythagoræiske,

kan vi selvfølgelig ved multiplikation lave masser at talsæt,

som vi vil benævne uægte pythagoræiske tal:

(3,4,5) (6,8,10) (9,12,15) (12,16,20)

(5,12,13) (10,24,26) (15,36,39) (20,48,52)

(7,24,25) (14,48,50) (21,72,75) (28,96,100)

(9,40,41) (18,80,82) (27,120,123) (36,160,164)

(11,60,61) (22,120,122) (33,180,183) osv.

Et matematisk bevis for at metoden altid giver pythagoræiske

tal:

a = n + n + 1 = 2n + 1

a2 = 4n2 + 4n + 1, der deles op i

b = 2n2 + 2n og c = 2n2 + 2n + 1

Vi får

c2 = b2 + 2b + 1 = b2 + 2(2n2 + 2n) + 1 =

b2 + (4n2 + 4n + 1) = b2 + a2

Man kan altså kort sagt skrive følgende ligning for ulige tal, da

a er et ulige tal: a2 = b + c

12

En biografi om Pythagoras

Pythagoras kom til verden på den græske ø Samos 582 år f. Kr.

Hans far var en købmand, men ikke en almindelig købmand.

Ifølge en historie skulle Pythagoras’ far angiveligt under en

hungersnød have bragt en masse korn til øen Samos. Og dette

har, ifølge historien, givet ham statsborgerskab på øen. Dog er

det uvist, hvorvidt kilden er rigtig.

Man kender ikke meget til Pythagoras’ barndom, men man har

fundet ud af, at han havde to - tre brødre. Han var en

veluddannet ung mand, der både kunne det at læse og spille

musik, hvilket var meget usædvanligt på den tid.

Som studerende møder Pythagoras Thales. Thales er en

gammel filosof og foredragsholder. Han fortalte om geometri

og kosmologi. Ifølge nogle historier har dette været

”startskuddet” for Pythagoras’ karriere.

13

Pythagoras rejste efterfølgende til Egypten, hvor han fortsatte

sin uddannelse og dyrkede sin interesse for geometri og

matematik. Fem år senere rejste Pythagoras tilbage til Samos

og startede sin egen skole, som han kaldte ”Halvcirklen.” Her

forsøgte han at undervise efter en ny metode, hvor han

kombinerede undervisningen med symboler og musik. Men det

var befolkningen på Samos ikke glade for. Så Pythagoras rejste

endnu en gang. Denne gang gik turen til det sydlige Italien. Her

grundlagde han en ny religiøs og filosofisk skole. Og denne

gang blev det et hit.

Nogle år senere kom der en række angreb mod den by,

Pythagoras boede i. Så han så sig nødsaget til at flygte. Han

flygtede til Metapontum i Grækenland. Her siges det, at han

tilbragte sine sidste dage. Pythagoras dør i år 507 f. Kr. Han

blev 75 år.

En af Pythagoras’ filosofier var, at alle ting består af tal. Han

fandt også ud af, at i en retvinklet trekant vil summen af

kvadraterne af de to sider ved den rette vinkel altid være det

samme som kvadratet af hypotenusen. (side c).

(Men faktisk var det ikke Pythagoras, der opdagede

forbindelsen mellem siderne i en retvinklet trekant.

Babylonierne havde kendt til det over 1000 år før Pythagoras

blev født.)

14

Flere pythagoræiske tal

Det næste spørgsmål, der kommer frem, er, om der findes ægte

pythagoræiske tal, hvor forskellen på hypotenusen og den

længste katete er større end 1.

Først en forskel på 2, og her skal vi omkring grundtal fra 4-

tabellen.

Eksempelvis:

82=64, som vi deler op i 15+16+16+17, og det fortæller, at

(8,15,17) er pythagoræiske tal og de er ægte, da sættet ikke kan

afledes ud fra de tal, der er nævnt i skemaet ovenfor.

122=144, som deles op i 35+36+36+37. Heraf kommer sættet

(12,35,37)

I skemaform

grundtal kvadrattal opdeling pythagoræiske tal

4 16 3+4+4+5 (4,3,5)

8 64 15+16+16+17 (8,15,17)

12 144 35+36+36+37 (12,35,37)

16 256 63+64+64+65 (16,63,65)

20 400 99+100+100+101 (20,99,101)

24 576 143+144+144+145 (24,143,145)

15

Tallene fra øverste linje i skemaet kender vi fra tidligere.

Metoden giver altid pythagoræiske tal:

Bevis:

a = 2n

a2 = 4n2, der deles op i (n2-1), n2, n2, (n2+1)

b = n2 – 1 og c = n2 + 1

c2 = n4 + 2n2 + 1

a2 + b2 = 4n2 + n4 – 2n2 + 1 = n4 + 2n2 + 1 = c2

Under vores jagt på pythagoræiske tal har vi også fundet

(28,45,53), (33,56,65) og (48,55,73)

Fakta om kvadrattal

Summen af kvadrattal i en tiergruppe ender altid på 85.

Det vil sige, at summen af kvadrattallene fra 1 til 10 slutter på

et tal afsluttet med 85. I dette tilfælde er det 385.

Hvis vi finder summen af kvadrattallene fra 11 til 20, altså 121

+ 144 + 169 +…. + 400, så slutter også det på 85 – Summen er

2.485.

Det samme gør tallene fra 21 til 30, hvor summen er 6.585, og

tallene fra 31 til 40, hvor summen er 12.685.

16

Matematisk bevis for Pythagoras’ sætning: a2 + b

2 = c

2

Hvis man skal føre bevis for Pythagoras’ sætning, kan man

tegne to firkanter bestående af 4 retvinklede trekanter, som er

placeret forskelligt i hver firkant.

I den første firkant er de retvinklede trekanter placeret således,

at de danner en firkant tilsammen. Inden i den firkant, opstår

der nu en ny firkant – faktisk et kvadrat, som hælder lidt på

skrå, og hvor siderne er c lange. Det vil sige, at hver side er

lige så lang, som den retvinklede trekants side c.

17

Som det ses på billedet, så består firkanten af 4 retvinklede

trekanter, hvor den mindste side er a, den lidt større side er b,

og den sidste side er c, som også danner et kvadrat inde i

firkanten, hvor kvadratets areal er c2, da man finder et kvadrats

areal ved at gange siderne, som er lige lange, og som måler en

afstand på c = c * c = c2. Vi skulle som sagt tegne to firkanter,

så her kommer den anden:

Denne firkant er magen til den anden, da den også består af fire

retvinklede trekanter, der bare er placeret på en lidt anden

måde. I denne firkant er der blevet dannet to yderlige firkanter,

som er kvadrater. Det største kvadrat har et areal på b2,

eftersom siderne b * b = b2. Det næste kvadrat har et areal på

a2, da siderne a * a = a2.

18

Den forrige firkant havde et kvadrat med arealet c2, og den her

firkant har to kvadrater med a * a, og b * b. Det vil sige, at

c * c = c2, svarer til b2 + a2, , da det er det overskydende areal i

firkanterne, og dermed er der ført matematisk bevis for

Pythagoras’ sætning: a2 + b2 = c2

19

Talrækker med kvadrattal

Overskriften gør måske opgaverne lidt for nemme, men når nu

temaet er kvadrattal, må vi leve med det. Dette er en lille

appetitvækker på kvadrattal.

Hvad er det næste tal?

1: 4 6 16 8 36 10 ?

2: 5 9 7 25 9 49 ?

3: 4 9 61 52 63 94 ?

Find det anderledes tal:

4: 729 841 990 1024 1225

Svaret på opgaverne:

1: Hvert andet af tallene er kvadrattal, de andre er det tal, der

kvadreres. Derfor er tallet 82 = 64

2: Som i opgave 1. Tallet er 11

3. Alle er kvadrattal, men de tocifrede er skrevet baglæns.

Derfor 82 = 64, som byttes om til 46

4: Alle tallene undtagen 990 er kvadrattal.

- - - o - - -

20

Kvadrater i kvadrater

Her er et kvadrat med sidelængden 3 inddelt i 9 kvadrater.

Og spørgsmålet er: Hvor mange kvadrater indeholder figuren?

1 x 1 9 kvadrater

2 x 2 4 kvadrater

3 x 3 1 kvadrat

I alt 14 kvadrater

Antallet af kvadrater af hver enkelt størrelse er kvadrattal – i

omvendt rækkefølge.

Og på jagt efter en formel, hvorefter kvadrattallene kan

opsummeres, fandt vi:

Summen af de førte n kvadrattal er

(2n3 +3 n2 + n) / 6

21

Hvor stort er kvadratet?

På tegningen er vist et kvadrat: nummer 1, og rundt om det er

der tegnet et kvadrat: nummer 2, som er drejet 45 grader i

forhold til nr. 1.

Kvadrat nr. 2 rummer lige netop kvadrat nr. 1. Uden om

kvadrat nr. 2 er tegnet kvadrat nr. 3, som igen er drejet 45

grader i forhold til kvadrat nr. 2. Nr. 3 rummer præcis nr. 2.

Spørgsmål: Hvis kvadrat nr. 1 har arealet 1, hvor stort vil

arealet af kvadrat nr. 18 da være?

22

Her får vi brug for Pythagoras igen.

Vi ser, at diagonalen i kvadrat 1 = siden i kvadrat 2,

Siden i kvadrat 3 = diagonalen i kvadrat 2 osv.

Det vil altså sige, at hvis vi f.eks. delte kvadrat 1 op i 2 stykker,

så vil man få to retvinklede trekanter. Her kan vi bruge

Pythagoras for side c i disse retvinklede trekanter, vil være den

samme som kvadrat 1’s diagonal, og den vil også være den

samme som kvadrat 2’s side. Hvis vi så bruger Pythagoras’

sætning a2 + b2 = c2 , så vil vi regne side c ud, men vi vil også

regne kvadrat 2’s side ud, samt kvadrat 1’s diagonal.

Figur Side Areal Diagonal

1 1 1 2

2 2 2 2

3 2 4 2 2

4 2 2 8 8

Heraf ses, at hver gang vi sætter et ekstra kvadrat på, bliver

arealet af dette det dobbelte af foregående kvadrats areal.

Mønstret er 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ….

Det svarer til formlen for tal nr. n = 2n-1

Figur nr. 18 har så arealet 2 (18-1) = 217 = 131072

23

Litteraturliste

http://www.emu.dk/gym/fag/ma/elevkonkurrencer/maaned/ga

mle/mo18s.htm

http://web.lru.dk/sites/lru.dk/files/lru/docs/kapitel3/Projekt_3_

9_PythagoraeiskeTalsaet.pdf

http://www.studieportalen.dk/forums/Thread.aspx?id=904021

http://groups.google.com/group/dk.kultur.sprog/browse_thread/

thread/cfd97ab7e7a488c1/a10d236139ff7f7f

http://www.dailyrush.dk/boards/1460/topics/13881/pages/7/

Matelogik af Ole Fich – Forlaget Selung Aps

Og tak til Ib Axelsen, der har hjulpet os med korrekturlæsning,

matematiske formler og gode ideer

24