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Independent Component Analysis (ICA) undihre Moglichkeiten in den Geowissenschaften
Norbert MarwanArbeitsgruppe Nichtlineare Dynamik
Universitat Potsdam
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Inhalt
1. Motivation
2. Independent Component Analysis (ICA)
3. Anwendung auf gesteinsmagnetische Messungen
4. Ausblick
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Motivation
Verstandnis der Erzeugung des Erdmagnetfeldes (Geodynamo)bzw. dessen Variation
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Palaointensitat
ü
Climate
Sediments
magnetic properties(e.g. remanent magnetization)
EarthMagnetic Field
exogene processes(e.g. weathering)
endogene processes(e.g. bio-activity) magnetization
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Palaointensitat
ü
Climate
Sediments
magnetic properties(e.g. remanent magnetization)
EarthMagnetic Field
exogene processes(e.g. weathering)
endogene processes(e.g. bio-activity) magnetization
→ Trennung der verschiedenen Signalquellen aus diesem Signal-Mix
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Grundlegendes Modell
Cocktail-Party Problem:n unabhangige Quellen-Signale si(t),m Beobachtungen x j(t) – lineare Mischungen von si
~x(t) = A~s(t)
Aufgabe:Trennung der Quell-Signale si anhand der Beobachtungen, d. h. Schatzungder Mischungs-Matrix A → Blind Source Separation.
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Grundlegendes Modell
Cocktail-Party Problem:n unabhangige Quellen-Signale si(t),m Beobachtungen x j(t) – lineare Mischungen von si
~x(t) = A~s(t)
Aufgabe:Trennung der Quell-Signale si anhand der Beobachtungen, d. h. Schatzungder Mischungs-Matrix A → Blind Source Separation.
Methoden:1. Principle component analysis (PCA) – unkorrelierte Komponenten2. Independent component analysis (ICA) – statistisch unabhangigeKomponenten
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Unabhangigkeit ⇒ Unkorreliertheit
Unabhangigkeit:px,y(x, y) = px(x) py(y)
Unkorreliertheit:
cov(x, y) = 〈x y〉
=+∞∫−∞
+∞∫−∞
x y px,y(x, y) dx dy
=+∞∫−∞
x px(x) dx+∞∫−∞
y py(y) dy
= 〈x〉 〈y〉
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Unkorreliertheit 6⇒ Unabhangigkeit
Verbundverteilungen von unabhangigen, gleichverteilten Zufallsva-riablen (links) und ihre unkorrelierten – aber nicht unabhangigen –Mischungen (rechts)
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Spezialfall: unkorrelierte Variablen mit einer Gaußschen Verbundver-teilung
px,y(x, y) =1
2πe−
x2+y22 =
1√2π
e−x22
1√2π
e−y22 = px(x) py(y)
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Schatzverfahren fur die ICA
Nichtlineare Dekorrelation:finde solche Komponenten yi, welche unkorreliert sind und dessentransformierte Komponenten fi(yi) unkorreliert sind ( fi sind geeig-nete nichtlineare Funktionen) – Mutual Information, NichtlinearePCA, algorithmische Methoden (JADE: Kumulanten-Tensoren)
Maximale Nichtgaußianitat:finde lokale Maxima von Nichtgaußianitat von Linearkombinatio-nen y = ∑ bi xi; jedes lokale Maximum liefert eine unabhangigeKomponente
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Motivation fur maximale Nichtgaußianitat
Zentraler Grenzwertsatz: Die Verteilung der Summe von unabhangi-gen Zufallsgroßen ist naher an der Gaußverteilung als die Verteilun-gen der zugrundeliegenden Zufallsgroßen.
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Motivation fur maximale Nichtgaußianitat
Zentraler Grenzwertsatz: Die Verteilung der Summe von unabhangi-gen Zufallsgroßen ist naher an der Gaußverteilung als die Verteilun-gen der zugrundeliegenden Zufallsgroßen.
~x = A~s, mit den Beobachtungen ~x und den Quellen~s.
Wir betrachten die Linearkombination y = ∑i bixi (entspricht y =~bTA~s). Solch ein Vektor ~b, bei dem ~bTA nur eine nichttriviale Kom-ponente hat, liefert genau eine unabhangige Komponente.
→ schatzen von~b so, daß y maximal nichtgauß ist
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Maße fur Nichtgaußianitat
Kurtosis:kurt = 〈x4〉 − 3[〈x2〉]2
Negentropy:J(~x) = H(~xgauss)− H(~x).
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ICA-Programme fur Matlab
• FastICA(http://www.cis.hut.fi/projects/ica/fastica)
• EEGLAB(http://www.sccn.ucsd.edu/~scott/ica-download-form.html)
• JADE(ftp://sig.enst.fr/pub/jfc/Algo/Jade)
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Probleme
Losbarkeit:
• Daten durfen nicht gaußverteilt sein.
Eindeutigkeit der Losung:Die ICA kann nicht eindeutig bestimmen
1. die Anzahl der unabhangigen Komponenten,
2. die Reihenfolge der unabhangigen Komponenten,
3. die Varianzen der unabhangigen Komponenten,
4. das Vorzeichen der unabhangigen Komponenten.
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Eindeutigkeit der Losung
Varianzen der unabhangigen Komponenten:
xi = ∑ Ai j s j = ∑(
Ai j
λ j
) (λ j s j
)= ∑ A′
i j s′j
Reihenfolge der unabhangigen Komponenten:
xi = ∑ Ai j s j = ∑(
Ai j Pjk) (
PTkl sl
)= ∑ A′′
ik s′′k
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Illustration
Quellen: s1(t) = sin(
2π
800t)
(IID transf.)
s2(t) =∣∣∣∣ cos
(2π
424t)∣∣∣∣
s3(t) = sin(
2π
233t)
Misch-Signale: x1(t) = 0.1 s1(t) + 0.8 s2(t) + 0.01ξ1
x2(t) = 0.5 s1(t) + 0.4 s2(t) + 0.02ξ2
x3(t) = s3(t)
s1(t) ist auf Gleichverteilung transformiert; ξi ist gleichverteiltes Rau-schen
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Original und Mischungs 1
Quellen−Signale
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
x 1
Misch−Signale
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 2
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
x 2
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 3
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
x 3
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
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PCA und ICAs 1P
CA
PCA
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 1ICA
ICA
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 2PC
A
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 2ICA
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 3PC
A
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
s 3ICA
0 1000 2000 3000 4000 5000
−2
0
2
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PCA
Die PCA zerlegt die Beobachtungen in drei unkorrelierte Signale~s = V~x, z. B. durch Eigenwertzerlegung der Kovariance-Matrix
C = EDET, V = ED−1/2ET
mit
V =
1.32 −1.32 0.040.54 0.54 −0.020.00 −0.04 −1.00
APCA = V−1 =
0.38 0.93 0.00−0.38 0.92 −0.04
0.01 −0.04 −1.00
∣∣∣∣a11
a12
∣∣∣∣ = 0.41∣∣∣∣a21
a22
∣∣∣∣ = 0.41
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PCA
Die PCA zerlegt die Beobachtungen in drei unkorrelierte Signale~s = V~x, z. B. durch Eigenwertzerlegung der Kovariance-Matrix
C = EDET, V = ED−1/2ET
mit
V =
1.32 −1.32 0.040.54 0.54 −0.020.00 −0.04 −1.00
APCA = V−1 =
0.38 0.93 0.00−0.38 0.92 −0.04
0.01 −0.04 −1.00
Orig.:
0.1 0.8 0.00.5 0.4 0.00.0 0.0 1.0
∣∣∣∣a11
a12
∣∣∣∣ = 0.41 (0.125)∣∣∣∣a21
a22
∣∣∣∣ = 0.41 (1.25)
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ICA
Die ICA zerlegt die Beobachtungen in drei unabhangige Signale~s = W~x mit
W =
−0.90 1.42 0.031.11 −0.15 0.020.01 0.01 1.00
AICA = W−1 =
0.11 0.99 −0.010.77 0.63 0.01
−0.01 −0.01 1.00
∣∣∣∣a11
a12
∣∣∣∣ = 0.11∣∣∣∣a21
a22
∣∣∣∣ = 1.22
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ICA
Die ICA zerlegt die Beobachtungen in drei unabhangige Signale~s = W~x mit
W =
−0.90 1.42 0.031.11 −0.15 0.020.01 0.01 1.00
AICA = W−1 =
0.11 0.99 −0.010.77 0.63 0.01
−0.01 −0.01 1.00
Orig.:
0.1 0.8 0.00.5 0.4 0.00.0 0.0 1.0
∣∣∣∣a11
a12
∣∣∣∣ = 0.11 (0.125)∣∣∣∣a21
a22
∣∣∣∣ = 1.22 (1.25)
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Verteilungens
1 und s
2 (original Quellen) x
1 und x
2 (gemischtes Signal)
s1PCA und s
2PCA s
1ICA und s
2ICA
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Anwendung auf gesteinsmagnetische Daten
gesteinsmagnetische Messungen von Seesedimenten (Lago Grande diMonticchio in Italien)Modell:
NRM = f1(F) + f2(c) + f3(s), c, s = f (C)
ARM = g1(c) + g2(ssmall)
κ = h1(c) + h2(slarge)
NRM – naturliche remanente Magnetisierung; ARM – anhysteretische remanenteMagnetisierung;κ – Suszeptibilitat; F – Erdmagnetfeld; C – Klima; c – Konzentrationund s – Korngroße magnetischer Minerale
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Anwendung auf gesteinsmagnetische Daten
gesteinsmagnetische Messungen von Seesedimenten (Lago Grande diMonticchio in Italien)Modell:
NRM = f1(F) + f2(c) + f3(s), c, s = f (C)
ARM = g1(c) + g2(ssmall)
κ = h1(c) + h2(slarge)
NRM – naturliche remanente Magnetisierung; ARM – anhysteretische remanenteMagnetisierung;κ – Suszeptibilitat; F – Erdmagnetfeld; C – Klima; c – Konzentrationund s – Korngroße magnetischer Minerale
→ Separation der Faktoren F, c und s mittels ICA
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DatenN
RM
20 [m
A/m
]
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100
50
100
150
κ
Time [kyr]10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100
2000
4000
6000
8000
AR
M20
[mA
/m]
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100
200
400
600
800
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Ergebnis
Die ICA liefert drei ICs si (~x = A~s) mit der Mischungs-Matrix
A =
16 −4 −12205 −897 −931
16 −36 −136
welche ein Signal des Erdmagnetfeldes (s1) und ein Klima-Signal (s2and s3) beinhalten.
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ErgebnisIC
1 (M
−Fie
ld)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110−2
0
2
4
6
8
IC2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
−4
−2
0
2
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110−6
−4
−2
0
2
IC3
Time [kyr]
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Test des Ergebnisses
Korrelationskoeffizienten zwischen den ICs und den zugrundeliegen-den Signalen bzw. einem Proxy fur das Klima zeigen die deutlicheTrennung dieser Quellen:
NRM ARM κ NRMκ
NRMARM Q CLIM
s1 0.80 0.11 0.16 0.51 0.49 −0.07 0.02s2 −0.18 −0.26 −0.69 0.41 −0.03 0.19 0.15s3 −0.58 −0.96 −0.71 0.08 0.16 0.21 0.19
Q – Quercus Pollen; CLIM – Proxy fur globale Temperatur
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Test des Ergebnisses
die erste IC s1 enthalt viel weniger klimatischen Einfluß als diegewohnlich benutzten Verhaltnisse NRM/ARM und NRM/κ
P Q CLIM
s1 −0.03 −0.07 0.02NRM/κ −0.15 0.15 0.21NRM/ARM −0.09 0.06 0.10
Q – Quercus Pollen, P – Pinus Pollen; CLIM – Proxy fur globale Tem-peratur
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Vergleich mit SINT800 Referenz
SINT800
s1 0.21NRM 0.19NRM/κ 0.10NRM/ARM 0.11
IC1
(M−F
ield
)
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110−1
0
1
2
3
Time [kyr]
SIN
T800
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1102
4
6
8
10
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Ausblick
• Separation von raumlichen Signalen (Standard bei EEG/MEG-Messungen)
• problematisch bei nichtlinearen Uberlagerungen und Laufzeitun-terschieden (z. B. seismographische Messungen) → neue Algorith-men (Harmeling et al., 2002, 2003)
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Zusammenfassung
1. ICA ist genereller als PCA (Unabhangigkeit statt Unkorreliertheit)
2. ICA separiert vermischte Signale
3. Anwendung der ICA auf gesteinsmagnetische Daten liefert ein Si-gnal der Intensitat des Erdmagnetfeldes, welches besser mit derSINT800-Referenz korreliert als die bisher verwendeten Signal-Verhaltnisse
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Literatur
Hyvarinen, A., Karhunen, J., Oja,E.: Independent Component Analysis,Wiley, New York, 2001
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