indefinite integration€¦ · indefinite integration 01. basic rules and formulae 02. integration...
TRANSCRIPT
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 1
IndefiniteIntegration
01. Basic Rules and Formulae
02. Integration By Simple Rearrangements
03. Integration By Substitution
04. Expansion Using Partial Fractions
05. Integration By Parts
06. Miscellaneous Expressions / Substitutions
CONCEPT NOCONCEPT NOCONCEPT NOCONCEPT NOCONCEPT NOTESTESTESTESTES
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 2
Indefinite IntegrationIntegration Basics
Integration Basics
(a)
g x f x
f x dx g x C
(b)
f x dx f x C
d f x dx f xdx
(c) f x g x dx f x dx g x dx
(d) k f x dx k f x dx
(e) f x dx g x C
f ax b dx g ax b Ca
g x f x g x f x
df ax b g ax ba dx
g ax b aag ax b
f ax b
Section - 1 BASIC RULES AND FORMULAE
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 3
BASIC INTEGRATION FORMULAE
01.n
n xx dx C nn
11. xdx x C
02. dx x Cx 12. xdx x C
03. x xe dx e C 13. xdx x x C
04.x
x aa dx Ca
14. xdx x x C
05. xdx x C 15.xdx Caa x
06. xdx x C 16.xdx Caa x
x Ca
07. xdx x C 17.xdx C
a x a a
08. xdx x C 18.xdx C
a x a a
x Ca a
09. x xdx x C 19.xdx C
a ax x a
10. x xdx x C 20.xdx C
a ax x a
x Ca a
dx x C
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 4
d x d xdx a a a dx a
xa aaa
a x a
x axdx C
x a a a
dxa bx c
e
bx cdx Ca a ba bx c
bx c Cab a
(1) SIMPLE REARRANGEMENTS :
(2) SUBSTITUTIONS :
(3) EXPANSION USING : PARTIAL FRACTIONS
(4) INTEGRATION BY PARTS : any
(5) REDUCTION FORMULAE :n
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 5
x x dxx
Solution: x
x xx x dx dxx x
x xdx
x
x dx
x x C
dxx a x b
Solution: P Q P QP Q
a bdx dx
x a x b a b x a x b
x b x adx
a b x a x b
x b x a x b x adx
a b x a x b
Section - 2 INTEGRATION BY SIMPLE REARRANGEMENTS
Example – 1
Example – 2
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 6
x a x b dxa b
x a x b Ca b
x aC
a b x b
P QP Q
x dxx
Solution:
x x
xx dx dxx x
x x xdx
x x
x x dxx x
x x dxx x
x xdx
x x
x dxx x
x x x Cx
Example – 3
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 7
x dxx a x b
Solution
x x a x bx dx dxx a x bx a x b
x x a x x b dxa b
x a a x a x b b x b dxa b
x a x b a x a b x b dxa b
x a x b a x a b x bC
a b
x x a x x a anx k
x dxx x
Solution:
x xdx dxx xx xx x
x x x dxx x
x x dxx
x x dx
x dx
x C
Example – 4
Example – 5
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 8
x x x dx
Solution: x x x
x x x
x xx x
x x x x x x
x x x dx x x x dx
x x x C
x adx
x b
Solution: x b
x a x b a b
x b a bx adx dx
x b x b
x b a b x b a bdx
x b
a b a b x b dx
x a b a b x b C
ax b dxcx d
Solution:
cx d
Example – 6
Example – 7
Example – 8
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 9
bax b a xa
a bccxc a
a bccx d dc a
a adcx d bc c
a adcx d bax b c cdx dxcx d cx d
adba c dxc cx d
ax adb cx d Cc c c
ax bc ad cx d Cc c
x dxx
Solution:
x x xdx dxx x
x x x dxx
x x dx
x x dx
x x C
Example – 9
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 10
(a) x dx (b) x dx
(c) x x x dx (d) x x dx
Solution: (a) x x
x x x
x x x
x dx x x C
(b) x
x x
x
x x
xx
x x
x x xx dx C
Example – 10
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 11
(c) x x x x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x xx x x dx C
(d) x x x x
x x
x
x x
x x
x x dx x x C
x dxx x
Section - 3 INTEGRATION BY SUBSTITUTION
Example – 11
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 12
Solution:
f x dx x y
x dx dy f x dx f x dx
y
x xxI dx dxx x x x
x I x
x y x dx dy Iy
x y
x dx dy
yI dy
y y
ydy
y
dyy
y y C
yx y x
I x x C
x dxx
Solution:
(a) x dx x xdx x ydyxdx y
y dyy
Example – 12
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 13
yx y x y
x y
dyxdx
x x xI dx dxx x
ydy
y
y y y dyy
y y y y dy
Cy y y y
y y y Cy
x x xC
x
(b) x
x
dx d
xI dx dx
d
d
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 14
y I
y
d dy
I d y dy
y C
C
x C xx
dxx x
Solution: I dxx x
dxx
x
x
dx d
I d
d
d
C
C
Example – 13
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 15
xx
x
x
x
x
xI x Cx x
x dxxx
Solution:
x
xdx d
xI dx dxx
d
d
d
d
d
C
C
x x Cx
Example – 14
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 16
dxx x
Solution: xxxxdx d
xI dx dxx x x x
d
d
C
x C
x dxa b x
Solution:x xI dx
a x b xI
a x b x ya x x b x x dx dy
dyx xdxb a
dyIb a y
y Cb a
a x b x Cb a
Example – 15
Example – 16
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 17
dxx x a
Solution:x a
I dxx x a
dxx x a x a
xx x x
I dxx a x a
dxx a x a
x dxa x a
a x a ta x dx dt
dtIa t
t Ca
a x a Ca
(a) dxa x (b) dx
a x (c) dxx x a
(d) dxx a (e) dx
x a (f) dxx a
Example – 17
Example – 18
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 18
Solution:
Basic integration formulae
a x x a x aa x x a x ax a x a x a
(a) I dxa x
x adx a d
a x a a
aaI dad
Cx Ca
(b) I dxa x
x adx a d
a x a a
aaI da
da
Ca
x Ca a
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 19
(c) I dxx x a
x adx a dx a a a
aaI d
a a
da
Ca
x Ca a
(d) I dxx a
x adx a d
x a aaI d
a
da
Ca
x a Ca x a x a
x a Ca x a
x a Ca x a
I dxx a
dxa x a x a
x a x a Ca
x a Ca x a
LOCUSLOCUSLOCUSLOCUSLOCUS 20
(e) I dxx a
x a
dx a d
x a a a
a
aI da
d
C
C
x a x Ca a
x x a a C
x x a C
(f) I dxx a
x adx a d
x a a a
aaI d
a
d
C
C
x x a C