Trabalho 2Propagao de Incertezas na Determinao Experimental da Condutividade Trmica

INTRODUOA condutividade trmica () de um material uma propriedade termofsica que caracteriza a habilidade do material em conduzir energia trmica. Quanto maior o valor dessa grandeza, maior a quantidade de calor transferida atravs do material por unidade de tempo. No Sistema Internacional de Unidades (SI), a condutividade trmica medida em unidades de watts por metro kelvin [].O conhecimento da condutividade trmica dos materiais importante em diversas situaes. Desde estudos voltados para o conforto trmico, passando pelo clculo de isolamento trmico por questes de segurana ou de otimizao energtica, at aplicaes em cincias agrcolas e de alimentos. Em alguns casos, desejvel um alto valor de , como, por exemplo, no uso de superfcies estendidas para aumentar a rea de troca de calor por conveco. Outras vezes, o ideal selecionar um material com a menor condutividade trmica possvel, desde que atenda aos outros requisitos da instalao. Um exemplo disso quando se deseja isolar termicamente uma tubulao que transporta vapor em uma indstria, para minimizar as perdas de energia alm de evitar que o vapor atinja a temperatura de saturao e seja condensado.O silicato de clcio um material comumente usado como isolante trmico, indicado para aplicaes em tubulaes e equipamentos em altas temperaturas, geralmente acima de 120C. Apresenta boa resistncia mecnica e estrutural, baixa condutividade trmica, insolubilidade em gua e incombustvel. Aplicaes tpicas do silicato de clcio incluem sua utilizao para recobrir e proteger superfcies como folhas de ao inoxidvel, folhas de alumnio, vidros e laminados. [2]

ObjetivoO objetivo da prtica a determinao da condutividade trmica de uma placa de Silicato de Clcio, bem como a propagao das incertezas envolvidas. O resultado obtido experimentalmente ser comparado com o valor tabelado pelos fabricantes, levando em considerao a incerteza final no valor da condutividade trmica, determinada a partir dos dados experimentais e das informaes sobre as incertezas e resoluo dos equipamentos.

METODOLOGIA E DADOS EXPERIMENTAISO arranjo experimental utilizado para a medio da condutividade trmica est esquematizado na Figura 1. A amostra uma placa de silicato de clcio, cujas dimenses foram medidas previamente. O arranjo representa um calormetro de placa quente contendo a amostra.

Figura 1: Diagrama do experimento

Na parte superior, encontra-se a resistncia que fornece um fluxo de calor constante placa quente que em regime permanente foi mantida a uma temperatura . Na parte inferior, houve circulao de gua, com o propsito de resfriar a placa, a qual se manteve temperatura . A gua entrou pelo meio da placa com uma temperatura TE e percorreu a distncia at o extremo lateral, onde saiu pelo lado esquerdo com temperatura TSE e pelo lado direito com temperatura TSD. Entre as placas inferior e superior, foi posicionada a placa de silicato de clcio, atravs da qual o calor foi conduzido da placa quente para a placa fria. Todo o sistema foi mantido bem isolado.Durante o regime estacionrio, foram medidas as temperaturas de entrada e sada da gua de resfriamento, as temperaturas da superfcie superior (quente) e da superfcie inferior (fria) da amostra e a vazo mssica de gua de resfriamento a partir de medidas de volume de gua em um determinado intervalo de tempo.Os valores das medies e a resoluo dos instrumentos esto relatados da Tabela 1 Tabela 5.Tabela 1: Temperaturas do experimentoTE (C)TSD (C)TSE (C)T1 (C)T2(C)Resoluo ( C)

24,830,631,527,0256,80,1

Tabela 2: Dimenses da Placa de Isolantea (mm)b (mm)Resoluo ( mm)

290,5260,50,1

Tabela 3: Espessura da placa de silicatoe (mm)20,1520,2019,9520,0519,8020,4019,7020,35

Resoluo ( mm)0,05

Tabela 4: Volume de gua coletado na sada do sistema de refrigerao em 250 segundos.VE (mL)262267252249267260265258271268

VD (mL)251256248245249253260241244247

Resoluo ( mL)1

Tabela 5: Tempo das medidas de volumeTempo de medida (s)250

Resoluo do cronmetro ( s)1

MEMRIA DE CLCULOO valor mdio () de uma srie de medidas repetidas pode ser calculado de acordo com a Equao (3.1), onde o valor da grandeza em cada medida individual. J o desvio padro amostral () da mesma srie de medidas, com um nmero finito de repeties, encontrado pela Equao (3.2). Estas equaes foram utilizadas para tratar os dados de volume de gua na sada do sistema de refrigerao e de espessura da placa de silicato.(3.1)

(3.2)

O procedimento de clculo foi dividido em trs partes principais: determinao da vazo mssica de gua, determinao da quantidade de calor que atravessa a placa e clculo da condutividade trmica.

Determinao da vazo mssicaA vazo mssica determinada a partir da Equao (3.3).(3.3)

Onde: vazo mssica (g/s); massa especfica da gua (g/mL); volume de gua (mL);tempo (s).

Clculo do volumeA partir dos dados da Tabela 4 e usando as Equaes (3.1) e (3.2), foram calculados a mdia e o desvio padro das medidas de volume de gua que sai do lado esquerdo (VE) e direito (VD). Assumindo uma distribuio T-Student com faixa de abrangncia (95% de probabilidade) e com 10 graus de liberdade, obteve-se , a partir do qual foram calculadas as incertezas associadas s mltiplas medies (). Os volumes mdios, os desvios padro e as incertezas associadas s mltiplas podem ser vistos na Tabela 6.

Tabela 6: Volume Mdio de gua e Desvios Padro das AmostrasV (mL) (mL) (mL)

Lado esquerdo261,907,1875,14

Lado direito249,405,7584,12

Alm da incerteza associada a mltiplas medies, tambm foi considerada a incerteza associada resoluo do medidor de volume (UR). (3.4)

A incerteza combinada (UC) para o volume foi calculada pela Equao (3.5) e os resultados esto expostos na Tabela 7.(3.5)

Tabela 7: Incertezas combinadas para o volume (mL)

Lado Esquerdo5,15

Lado Direito4,13

Assim, os volumes de sada de gua do sistema de refrigerao devem ser expressos como mostra a Tabela 8.Tabela 8: Medidas dos volumes de sada de gua e incerteza final da medida (mL)261,905,15

(mL)249,404,13

Determinao da densidade da guaA densidade da gua () da gua encontrada facilmente na literatura como uma funo da temperatura. Como a placa fria foi mantida temperatura de 27 C (300 K), considerou-se que esta aproximadamente a temperatura mdia da gua de resfriamento. A densidade foi calculada como sendo o inverso do volume especfico, o qual foi verificado na Tabela 9 temperatura de 300 K. O valor encontrado pode ser visto na Tabela 10.Tabela 9: Propriedades da gua. Fonte: INCROPERA, Frank P. [et al.], Fundamentos da Transferncia de Calor e Massa, 6 Ed.Rio de Janeiro: LTC, 2008.Tabela 10: Densidade da gua a 25CDensidade (g/mL)0,9971

Incerteza da medio do tempoA nica incerteza associada medio do tempo a incerteza de resoluo, calculada da mesma forma que a incerteza de resoluo do volume.

Determinao da vazo mssicaSubstituindo os valores de densidade, volume coletado e tempo na Equao (3.3), obtm-se os valores de vazo mssica coletados nas sadas esquerda e direita do sistema de refrigerao, que podem ser vistos na Tabela 11.Tabela 11: Vazo mssica de gua (g/s)1,044

(g/s)0,995

Clculo da Incerteza associada vazo mssicaDe acordo com a Equao (3.3), a vazo mssica uma funo da densidade, do volume e do tempo de medida. Portanto, a incerteza associada a sua medida funo das incertezas associadas densidade, ao volume e ao tempo de medida, seguindo a relao expressa pela Equao (3.6).(3.6)

O valor da incerteza para a densidade, , no pode ser encontrado e, portanto, foi considerado nulo. Assim, no influencia no clculo da incerteza da vazo.A derivada parcial da vazo com respeito ao volume dada pela Equao (3.7), enquanto a derivada parcial com relao ao tempo dada pela Equao (3.8).(3.7)

(3.8)

Substituindo as duas ltimas equaes na Equao (3.6) e utilizando os valores correspondentes, encontra-se os valores de incerteza da vazo mssica (Tabela 12).Tabela 12: Incerteza da Vazo Mssica

Lado Esquerdo0,029g/s

Lado Direito0,023g/s

Assim, a vazo mssica pode ser representada como mostrado na Tabela 13.Tabela 13: Vazo Mssica e Incerteza (g/s)1,0440,029g/s

(g/s)0,9950,023g/s

Clculo da quantidade de calor que atravessa a placaDesconsiderando as perdas de calor do sistema para o ambiente, a taxa de transferncia de calor por conduo que atravessa a placa igual energia trmica transferida para a gua de refrigerao e responsvel pelo aumento de sua temperatura. Assim, calculando a variao de entalpia da gua entre a sada e a entrada do sistema de refrigerao, possvel encontrar o calor transferido atravs da placa, como mostra a Equao (3.9). (3.9)

Onde: Vazo mssica da gua (g/s); Calor especfico da gua (J/gC); Temperatura de sada (C); Temperatura de entrada (C).

Determinao do da guaO valor do calor especfico da gua foi encontrado na Tabela 9, a uma temperatura de 300 K, e pode ser conferido na Tabela 14.Tabela 14: Calor especfico da gua a 27C (J/gC)4,179

Determinao da potncia trmicaA taxa de calor conduzida atravs da placa e dissipada pelo sistema de refrigerao pode ser encontrada ao substituir na Equao (3.9) o valor da vazo mssica (Tabela 13), do calor especfico (Tabela 14) e das temperaturas (Tabela 1). Os valores para as pores esquerda e direita do sistema podem ser visto na Tabela 15.Tabela 15: Taxa de calor dissipada pelo sistema de refrigerao (j/s)

Lado Esquerdo29,254

Lado Direito24,116

Clculo da incerteza associada ao fluxo de calorComo foi visto na Equao (3.9), a taxa de calor funo da vazo mssica, do calor especfico e da diferena de temperatura entre a sada e a entrada de gua. Portanto propagao das incertezas calculada de acordo com a Equao (3.10).(3.10)

No foram fornecidos valores de incerteza associada medida do calor especfico Cp, e, portanto, u(Cp) ser considerado nulo. Simplificando a expresso anterior, obtm-se a Equao (3.11).(3.11)

A derivada parcial da potncia trmica com relao vazo mssica encontrada pela Equao (3.12). J a derivada parcial com relao diferena de temperatura dada pela Equao (3.13).(3.12)

(3.13)

Substituindo as Equaes (3.12) e (3.13) na Equao (3.9) e aplicando os valores de (Tabela 14), temperatura (Tabela 1) e vazo (Tabela 13), obtm-se os valores da incerteza do fluxo de calor.Tabela 16: Incertezas associadas taxa de calor

Esquerda0,603

Direita0,435

Assim, as taxas de calor nas pores esquerda e direita do sistema so representadas segundo mostrado na Tabela 17.Tabela 17: Taxas de calor e incertezas29,2470,603J/s

24,1100,435J/s

A taxa de calor total envolvida no processo a soma das taxas do lado esquerdo e direito, como pode ser visto na Equao (3.14). J a incerteza propagada calculada pela Equao (3.15). Os valores obtidos esto destacados na Tabela 18.(3.14)

(3.15)

Tabela 18: Taxa de calor total e incerteza associada53,3570,743J/s

Determinao da Condutividade Trmica do Silicato de Clcio

A condutividade trmica do material se relaciona com a taxa de troca trmica, a espessura da placa e o gradiente de temperatura ao longo da placa de acordo com a Lei de Fourier para processos unidimensionais, como pode ser visto na Equao (3.16). Considerando uma distribuio linear de temperaturas e isolando , encontra-se a Equao (3.17).(3.16)

(3.17)

Clculo da EspessuraA partir dos dados da Tabela 3, foram calculados a espessura mdia da placa e o desvio padro dos valores medidos Tabela 19, bem como a incerteza para mltiplas medies baseada em uma distribuio T-Student com grau de liberdade 7 e faixa de abrangncia .Tabela 19: Espessura Mdia, Desvio Padro e Incertezae (mm)

20,0750,2490,208

Clculo da Incerteza combinada da EspessuraAlm da incerteza associada a mltiplas medies (), tambm foi considerada a incerteza associada resoluo do paqumetro (). A incerteza associada espessura, portanto, calculada como uma incerteza combinada (), de acordo com a Equao (3.18). O resultado est destacado na Tabela 20.(3.18)

Tabela 20: Incerteza combinada da espessura (mm)0,209

Clculo da reaA rea transversal ao escoamento de calor produto da largura (a) e do comprimento (b) provenientes da Tabela 2, de acordo com a Equao (3.19).(3.19)

Tabela 21: rea superficial da placa (mm)75675,250

Clculo da Incerteza Associada rea Como foi visto na Equao (3.19), a taxa de calor funo da largura e do comprimento da placa. Portanto a propagao das incertezas calculada de acordo com a Equao (3.20). O resultado pode ser visto na Tabela 22.(3.20)

Tabela 22: Incerteza associada rea mm39,019

Determinao da Condutividade Trmica da placaSubstituindo na Equao (3.17) o valor da taxa de calor (Tabela 18), da espessura (Tabela 19), da rea (Tabela 21) e das temperaturas T1 e T2 (Tabela 1), obtm-se o valor da condutividade trmica destacado na Tabela 23.Tabela 23: Condutividade Trmica da Placak (W/m.C)0,0616

Clculo da Incerteza associada Condutividade TrmicaComo foi visto na Equao (3.17), a taxa de calor funo da taxa de calor, da espessura da placa, da rea transversal ao escoamento de calor e da diferena de temperatura. Portanto a propagao das incertezas calculada de acordo com a Equao (3.21).(3.21)

As derivadas parciais que aparecem na Equao (3.21) so expressas nas Equaes (3.22) a (3.25).(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

Substituindo as quatro expresses acima na Equao (3.17), e aplicando os valores da taxa de calor (Tabela 18), espessura (Tabela 19), rea (Tabela 21) e das temperaturas T1 e T2 (Tabela 1), obtm-se os resultados mostrados nas Tabelas 24 e 25.Tabela 24: incerteza associada condutividade trmica (W/m.C)0,0011

Tabela 25: Condutividade Trmica do Silicato de Potssio (W/m.C)0,06160,0011

RESULTADO E COMPARAO COM DADOS DE FABRICANTESO silicato de clcio um material isolante de uso industrial, cujas propriedades so disponibilizadas pelos seus fabricantes. Um destes fabricantes a empresa ISAR Isolamento Trmico e acstico. Em seu endereo eletrnico, foram obtidos os dados da Tabela 26, em unidades de kcal/h.mC. Para comparar os resultados experimentais com o valor fornecido pelo fabricante, deve-se primeiramente determinar a temperatura mdia da amostra, como mostrado na Equao (4.1), e, em seguida, converter as unidades, de acordo com a Equao (4.2).Tabela 26: Condutividade trmica do silicato de clcio [1]Temperatura (C)Condutividade Trmica (kcal/h.mC)

500,048

1000,051

1500,054

2000,057

3000,062

4000,068

5000,073

(4.1)

Como a temperatura mdia foi de 141,9 C, a condutividade trmica do material, segundo o fabricante, aproximadamente igual quela a 150 C.( 4.2 )

O valor de 0,063 W/(mC), fornecido pelo fabricante, est muito prximo do intervalo 0,0616 0,0011 W/(mC), obtido experimentalmente para o valor da condutividade trmica, que vai de 0,0605 a 0,0627 W/(mC). Isto mostra que o experimento foi conduzido corretamente, ao mesmo tempo em que demonstra a confiabilidade da informao fornecida pelo fabricante.Tabela 27: Comparao entre o valor encontrado experimentalmente e o valor fornecido pelo fabricanteCondutividade Trmica (kcal/h.mC)

Experimental0,0616

Fabricante [1]0,063

REFERNCIAS[1] ISAR Isolamentos Trmicos e Acsticos. Disponvel em: http://www.isar.com.br/produtos/isolamento-termico/silicato-de-calcio. Acessado em: 13 de junho de 2015.[2] Isolantes Trmicos. Disponvel em: http://www.insulation.org/articles/article.cfm?id=IO080904. Acessado em: 13 de junho de 2015.[3] INCROPERA, Frank P. [et al.], Fundamentos da Transferncia de Calor e Massa, 6 Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.