in regime sinusoidale 15 bipoli e doppi...

1

Elettrotecnica

15 Bipoli e doppi bipoliin regime sinusoidale

2

Potenza in regime sinusoidale

Sfasamento tensione-corrente:

ϕ = α – β

Generico bipolo in regime sinusoidale:

+ –v(t)=VM sen(ωt+α)

i(t)=IM sen(ωt+β)

i(t)v(t)

t

ϕ/ω

3

Potenza istantanea -1

Come al solito, p=vi

e si misura in watt [W]applicando le formule di Werner…

p v i V I(t) (t) (t) = ( ) ( )= + +M M sen t sen tω α ω β

i(t)v(t)

t

ϕ/ω

p(t)

4


i(t)v(t)

t

ϕ/ω

p(t)

Pmed

p v i V I

V I

VI VI

(t) (t) (t) = ( ) ( ) =

= os( ) os(2 ) =

= os os(2 )

= + (t)

= + +

− − + +[ ]− + +

M M

M M

sen t sen t

c c t

c c t

med

ω α ω β

α β ω α β

ϕ ω α β

12

P p f


5


i(t)v(t)

t

ϕ/ω

p(t)

Pmed


P

p f

med c

c t

= os costante

(t) = os(2 ) sinusoidale a pulsazione 2

VI

VI

ϕω α β ω− + +

6

Potenza attiva

Definizione (per qualsiasi regime periodico):

Scopo: calcolare il lavoro elettrico scambiatosu un intervallo di tempo ∆t lungo con il prodotto ∆L = P∆tsenza integrare p(t) nel tempo

P = ∫1T

dtT

p(t) [W]

7

Potenza attiva

Definizione (per qualsiasi regime periodico):

Applicata al regime sinusoidale fornisce:

potenza attiva: P=VI cos ϕ [W]

È il solo valor medio Pmed,

pf(t) non interviene.

P = ∫1T

dtT

p(t) [W]

8

Potenza reattiva e apparente

Definizioni:potenza reattiva: Q=VI sen ϕ [VAR] potenza apparente: A=VI [VA]

Relazioni:P=A cos ϕ Q=A sen ϕ

Fattore di potenza

A P Q= 2 2+

P

A = ≤cosϕ 1

9

Segni delle potenze

A≥0, P e Q dipendono da ϕ:ϕ=0 => P= VI (max) ; Q= 0 (nulla)ϕ = π/2 => P= 0 (nulla) ; Q= VI (max)ϕ = –π/2 => P= 0 (nulla) ; Q= –VI (min)ϕ = ±π => P= –VI (min) ; Q= 0 (nulla)0 < ϕ < π/2 => P>0 ; Q> 0 π/2 < ϕ < π => P<0 ; Q> 0–π/2 < ϕ < 0 => P>0 ; Q< 0 – π/2<ϕ<–π=> P<0 ; Q> 0

10

Segni delle potenze

i(t)

v(t)

tP

p(t)

ϕ=0 P=VI Q=0

i(t)

v(t)

t

p(t)

ϕ=π/2 P=0 Q=VI

i(t)v(t)

t

P p(t)

ϕ=±π P=–VI Q=0

i(t)v(t)

t

p(t)

ϕ=–π/2 P=0 Q=–VI

11

Potenza complessa

V

Iϕ

Fasori di tensione e corrente:

Definizione:

=>

A V I=(

˙ e cos AjA V e I e V I e A A j enj j j= = = =α β α β ϕ ϕ ϕ(– ) ( – ) + s

˙ ˙

˙ ˙

A A e A P

A m A Q

= ℜ [ ] =

∠ = ℑ [ ] =ϕ

V V e

I I e

j

j

=

=

α

β

12

Passività in regime sinusoidale

Bipolo passivo = può soloassorbire potenza attiva

⇒ con la convenzione degli utilizzatoriP = VI cos ϕ ≥ 0

cos ϕ ≥ 0


i(t)=IM sen(ωt+β)

− ≤ ≤π ϕ π2 2

13

Strumenti in regime sinusoidale

Voltmetro Amperometroa valore efficace a valore efficace

V

+

–

A

14

Strumenti in regime sinusoidale

Wattmetro (Varmetro)a valore medio

W +

–

VAR +

–

15

Generatori ideali in regime sinusoidale

Generatore ideale di tensionesinusoidale:v(t) = e(t) =EM sen(ωt+αe) ∀i(t)

fasori:

+ –e(t)

i (t)e

E E e

I I e

j

e ej

e

e

=

=

α

β

nota a priori

non nota

16

Generatori ideali in regime sinusoidale

Generatore ideale di correntesinusoidale:i(t) = j(t) =JM sen(ωt+βj) ∀v(t)

fasori:

j(t)

v (t)j

+ –

J J e

V V e

j

j jj

j

j

=

=

β

α

nota a priori

non nota

17

Resistore passivo in regime sinusoidale

v(t) = R i(t)

se i(t) =IM sen(ωt+β) => v(t) = R IM sen(ωt+β) = VM sen(ωt+α)

VM = R IM α = β

i(t)

v(t)

tP

p(t)

ϕ=0 P=VI Q=0a) b)

V

I

c)

+

–

v (t)Ri (t)R

R

18

Resistore passivo in regime sinusoidaleRELAZIONI SINETICHE

Sinusoidi

Fasori

V

I

V

I M

MR

R

G= = = − = ⇒

=

=ϕ α β 0

V I

I V

V V e

I I e

V

I

V e

I e

V

Ie e

V I

I V

j

j

j

jj j=

=

⇒ = = = ⇒

=

=−

α

β

α

βα β ( ) R

R

G0

19

Resistore passivo in regime sinusoidale

Potenze

P A V I

I V

V IQ= = =

= =

= ==

RR

GG

R

22

22

0 ,

20

Induttore in regime sinusoidale

v(t) = L di(t)/dt

se i(t) =IM sen(ωt+β) => v(t) = ωL IM sen(ωt+β+π/2) == VM sen(ωt+α)

VM = ωL IM α = β+π/2

i(t)

v(t)

t

p(t)

ϕ=π/2 P=0 Q=VIb) c)a)

i (t)L

+

–

v (t)L

L

w (t)L

WLM

V

I

21

Induttore in regime sinusoidaleRELAZIONI SINETICHE

Sinusoidi

XL= reattanza induttiva BL= suscettanza induttivaFasori

V

I

V

I

M

M

L

L

L

LL

X L

BL

SX

B= = = − = ⇒

=

= −==

ω ϕ α β π ω

ω21

[ ]

[ ]

Ω V I

I V

V V e

I I e

V

I

V

Ie e

V I

I V

j

jj j=

=

⇒ = = ⇒==

−α

βα β

π

j

j( ) X

X

BLL

L

2

BXL

L= −1

22

Induttore in regime sinusoidale

Potenze

P Q A V II V

I V= = =

= =

==

=− −

0

22

22

,X

X

BB

LL

LL

23

Condensatore in regime sinusoidale

i(t) = C dv(t)/dt

se v(t) =VM sen(ωt+α) => i(t) = ωC VM sen(ωt+α+π/2) == IM sen(ωt+β)

IM = ωC VM β = α+π/2

V

I

a) c)

i(t)v(t)

t

p(t)

ϕ=–π/2 P=0 Q=–VIb)

w (t)C

i (t)C

+

–

v (t)C

C

WCM

24

Condensatore in regime sinusoidaleRELAZIONI SINETICHE

Sinusoidi

XC= reattanza capacitiva BC= suscettanza capacitivaFasori

V

I

V

I

M

M

C

C

C

CC

XC

B C S

X

B= = = − = − ⇒

= −

=

=

=

12

1

ωϕ α β π

ωω

[ ]

[ ]

Ω V I

I V

V V e

I I e

V

I

V

Ie e

V I

I V

j

j

j j=

=

⇒ = = ⇒

=

=− −α

βα β

π

j

j

( ) XX

BC

C

C

2

BXC

C= −1

25

Condensatore in regime sinusoidale

Potenze

P Q A VII

V

IV

= = − = − == =

= − = −

0

22

22

,X

X

BB

C

CC

26

p ro p ri e t à re s i s t o re R i n du t t o re L c o n de n s at o re C

rel azione funzionale v (t ) = R i (t )

reat t anza - XL=ω L

suscet t anza - BC=ω C

rapporto t ra i val . eff. R

rapporto t ra i val . eff. G

s fasamento ϕ 0

potenza at t i va P R I2 = GV2 0 0

potenza reat t i va Q 0 XLI2 = –BLV2 ≥ 0 XC I2 = –BCV2≤ 0

potenza apparen te A R I2 = GV2

rapporto t ra i fasori R jXL = jω L jXC =

rapporto t ra i fasori G jBL = jBC = jω C

vi

( )( )

t Ld t

dt= i

v( )

( )t C

d t

dt=

XCC = − 1

ω

BL L= − 1

ω

V

IX LL = ω X

CC = 1

ω

I

VB

LL = 1

ωB CC = ω

π2

–π2

= X BL LI V2 2 = X BC CI V2 2

V

I

− j

ωC

I

V

− j

ωL

27

Bipoli passivi generici

Resistore passivo, induttore e condensatore sonobipoli passivi per i quali è definito il rapporto trail fasore di tensione e quello di corrente, oviceversa.

Questa proprietà si può generalizzare

28

Bipoli passivi generici

Bipolo passivo convenzionato da utilizzatore

sfasamento v-i: ϕ = α – β

sfasamento i-v: ϕ' = β – α

(passività => – π/2 ≤ ϕ ≤ π/2 ; – π/2 ≤ ϕ' ≤ π/2)

Fasori:


i(t)=IM sen(ωt+β)

V V e I I ej j= =α β

29

Impedenza -1

Definizione

Relazioni tra notazioni

˙ jZ Z Z= +ℜ ℑ

˙ V

IZ =

∆

=> = = = =− ˙ V

I

V

I

V

IZ

e

ee e Ze

j

jj j j

α

βα β ϕ ϕ( )

˙

˙

Z Z

Z

Z Z

Z Z en

Z Z Z

arctgZ

Z

= =

∠ =

= ≥

=

= +

=

ℜ

ℑ

ℜ ℑℑ

ℜ

VI

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

cos ( 0)

s

2 2

30

Impedenza -2Esempi

(XL>0)

(XC<0)

˙

˙

˙

Z R

Z X X

Z X X

R

L L L

C C C

= = +

= = +

= = +

R e j

e j

e j

j

j

j

0

2

2

0

0

0

π

π

31

Impedenza -3Potenze

˙ ˙ ( )A V I I I j I

A I

P I

Q I

= = = + ⇒

=

=

=

ℜ ℑ ℜ

ℑ

( (Z Z Z

Z

Z

Z

2

2

2

2

32

Ammettenza -1

Definizione

Relazioni tra notazioni

˙ I

VY =

∆

=> = = = =− ˙ I

V

I

V

I

V' 'Y

e

ee e e

j

jj j j

β

αβ α ϕ ϕ( ) Y

˙ jY Y Y= +ℜ ℑ

Y Y

Y '

Y Ycos ' ( )

Y Ysen '

Y Y Y

' arctgY

Y

= =

∠ =

= ≥==

= +

=

ℜ

ℑ

ℜ ℑ

ℑ

ℜ

I

Vϕ

ϕϕ ϕ

02 2

33

Ammettenza -2Esempi

(BL<0)

(BC>0)

˙

˙

˙

Y G G

Y B B

Y B B

R

L L L

C C C

= = +

= = +

= = +

e j

e j

e j

j

j

j

0

2

2

0

0

0

π

π

34

Ammettenza -3Potenze

˙ ( )A V I V V j V

A V

P V

Q V

= = = − ⇒

=

=

= −

ℜ ℑ ℜ

ℑ

( ( (Y Y Y

Y

Y

Y

2

2

2

2

35

Relazioni

Impedenza ed ammettenza sono duali ereciproche:

componenti polari:

analoghe essendo le inverse

˙˙

YZ

= 1

YZ

= = −1, 'ϕ ϕ

36

Relazioni

componenti cartesiane

YZ

Ysen

Z

ZY

Zsen

Y

ℜ

ℑ

ℜ

ℑ

=

= −

=

= −

cos

,

cos '

'

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

YZ

Z

Z

Z ZY

Z sen

Z Z

Z

Z Z

ZY

Y

Y

Y YZ

Y sen

Y

Y

Y Y

ℜℜ

ℜ ℑℑ

ℜ ℑ

ℑ

ℜ ℑ

ℜℜ

ℜ ℑℑ

ℑ

ℜ ℑ

= =+

= −+

=−

+

= =+

= − =−

+

cos,

cos ',

'

ϕ ϕ

ϕ ϕ

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

37

Relazioni

Impedenza amm et t enza

defin i zione

m odul o

argom ent o ϕ = α – β ϕ ' = β – α

parte real e

coeffi cient e imm agi nari o

pot enza at t i va

pot enza reat t i va

Z Y

V

I

I

V

Z M

M= =V

I

V

IY M

M= =I

V

I

V

Z Zℜ = cosϕ Y Yℜ = cos 'ϕ

Z Z senℑ = ϕ Y Y senℑ = ϕ'

P I= ℜZ 2 P V= ℜY 2

Q I= ℑZ 2 Q V= − ℑY 2

38

Commento

Le relazioni di impedenza e ammettenza per ibipoli passivi simbolici in regime sinusoidale

corrispondono alle relazioni di resistenza econduttanza per i bipoli passivi ideali (resistori)del regime stazionario

V = R I e I = G V

V I I V= =˙ ˙Z e Y

39

Leggi di Kirchhoff simboliche

Le equazioni topologiche si scrivono in forma complessa,sui fasori, applicate agli stessi insiemi di taglio e maglie, econ le usuali modalità e attenzioni.

Corrispondono alle equazioni topologiche reali del regimestazionario: Σ±I = 0 e Σ±V = 0.

LKC a

LKT a

n

m

– 1 insiemi di taglio : (t)

maglie : (t)

± = ⇒ ± =

± = ⇒ ± =

∑ ∑

∑ ∑

i I

v V

0 0

0 0

40

Bipoli passivi in serie

Equazione tipologica:LKC:LKT:

=>

la serie equivale ad un bipolo passivo di impedenza

+

–

+ – + – + – + –1 2 i llll

Vi

I iVs

Is

V Ii i iZ i= =˙ ,...1 l

I Ii s i= = 1,...l

V Vs i

i=

=∑

1

l

V I I Is i i i

iis s s s i

iZ Z Z con Z Z= ( ) =

= =

== =∑∑ ∑˙ ˙ ˙ ˙ ˙

11 1

ll l

Zs

41

Bipoli passivi in serie

Impedenza equivalente:

Ammettenza equivalente:

+

–

+ – + – + – + –1 2 i llll

Vi

I iVs

Is

Y ˙1

Z ZZ

Z Z

Z

Zs = =

+=

++ −

+= +

ℜ ℑ

ℜ

ℜ ℑ

ℑ

ℜ ℑ

ℜ ℑ

12 2 2 2Z j

j js s s

s

s s

s

s ss s

ZY Y

V I s s s s i i i s sZ Z Z Z Z= = =

+

= +

=ℜ

=ℑ

=ℜ ℑ∑ ∑ ∑

i i i

Z j Z j1 1 1

l l l

42

Partitore di tensione simbolico

Tensione (fasoriale) che cade sul generico bipolopassivo della serie:

Per i valori efficaci:

V V Vkk

ss

k

iis

ZZ

Z

Z= =

=∑ ˙1

l

V I I V Vk k k k sk

ss

k

iisZ Z

ZZ

Z

Z= = = =

=∑˙ ˙

˙

˙

˙

˙1

l

43

Esempio

˙

˙

Z R X X

YR

R X X

X X

R X X

s

s

L C

L C

L C

L C

= + +

=+ +

+ − ++ +

j

j

( )

( )

( )

( )2 2 2 2

R XL XC

44

Bipoli passivi in parallelo

Equazione tipologica:LKC:LKT:

=>

il parallelo equivale ad un bipolo passivo di ammettenza

+

–

+ + + +

– – – –

Vi I iVp

Ip

1 2 i llll

I Vi i iY i= =˙ ,...1 l

V Vi p i= = 1,...l

I V V Vp i i i

iip p p p i

iY Y Y con Y Y= ( ) =

= =

== =∑∑ ∑˙ ˙ ˙ ˙ ˙

11 1

ll l I Ip i

i=

=∑

1

l

Yp

45

Bipoli passivi in parallelo

+

–

+ + + +

– – – –

Vi I iVp

Ip

1 2 i llll

Ammettemza equivalente

Impedenza equivalente

Z1

Y Y

Y

Y Y

Y

Y YZ Zp

p p p2

p2

p2

p2 p p

p p=+

=+

+−

+= +

ℜ ℑ ℜ ℑ ℜ ℑℜ ℑ

ℜ ℑ

jj j

I V p p p p i i i p pY Y Y Y Y Y Y= = =

+

= +

=ℜ

=ℑ

=ℜ ℑ∑ ∑ ∑

i i i

j j1 1 1

l l l

46

Partitore di corrente simbolico

Corrente (fasoriale) che cade sul generico bipolopassivo del parallelo:

Per i valori efficaci:

I V V I Ik k k k pk

pp

k

iipY Y

YY

Y

Y= = = =

=∑˙ ˙

˙

˙

˙

˙1

l

I I Ikk

pp

k

iip

YY

Y

Y= =

=∑ ˙1

l

47

Esempio

G B L BC

˙

˙

Y G B B

ZG

G B B

B B

G B B

p

p

L C

L C

L C

L C

= + +

=+ +

+ − ++ +

j

j

( )

( )

( )

( )2 2 2 2

48

Reti di bipoli passivi

Per una rete complessa di bipoli passivi è possibilevalutare l’impedenza e l’ammettenza del bipoloequivalente ai morsetti AB.Generalmente tramite riduzione serie-parallelo

Z eq

A

B

IAB+

–

VAB

.

A

B

IAB+

–

VAB

49

Esempio

GBC

XL

A

B˙

//ZG

G B

B

G BR C

C

C

C

=+

−+2 2 2 2

j

ZG

G BX

B

G BAB

CL

C

C

=+

+ −+

2 2 2 2j

YG

B X X G X B

B G X B X

B X X G X BAB

C

C L L L C

L C L

C L L L C

=− + +

+ − −− + +1 2 1 22 2 2 2

2 2

2 2 2 2j

50

Stelle e poligoni

A meno chenonsi presentinostellee poligoni

A

BC

AB

BC

CA

Z.

Z.

Z.

O

A

B

CZ.

A

BC Z.

Z.

A

B

CD

E

Y.

EA Y.AB

Y.

BC

Y.

CD

Y.DE

Y.AC

Y.BD

Y.CE

Y.DA

Y.EB

A

B

CD

E

O

Y.

Y.

Y.

.

A

B

C

YD

Y.E

51

Sintesi di un bipolo passivo

Rappresentazione di un bipolo passivo genericodi impedenza ed ammettenza note tramite duebipoli ideali elementari (resistori, induttori,condensatori) connessi in serie o in parallelo.

Di questi bipoli ideali elementari vadeterminato il valore.

52

Sintesi serie

Per l’impedenza nota del bipolo:

per la serie da identificare:

uguagliando parti realie immaginarie

Z.

+ – + –

I–

V– Rs Xs

V–

I–

a) b)

V Z I (Z j Z ) I (Z j Z ) I Z I j Z I= = + = + = +ℜ ℑ ℜ ℑ˙ cosϕ ϕsen

V I j I= +R Xs s

R Z Z

X Z Z sen

s

s

= =

= =

ℜ

ℑ

cosϕ

ϕ

53

Sintesi serie

Potenze:

la parte reale assorbe la potenza attiva

la parte immaginaria quella reattiva

Z.

+ – + –

I–

V– Rs Xs

V–

I–

a) b)

P I I= = ℜR Zs2 2

Q I I= = ℑX Zs2 2

54

Sintesi serie

Diagramma fasoriale:scomposizione dellatensionetotale in due addendi, uno infase e uno in quadraturacon la corrente

Z.

+ – + –

I–

V– Rs Xs

V–

I–

a) b)

I

Vq = jZℑI= jXs I

Vf = Zℜ I = Rs I

Z = X >0 ℑ s

ϕ

V–

55

Sintesi parallelo

Per l’ammettenza nota del bipolo:

per la serie da identificare:

uguagliandoparti realie immaginarie

+ – + –Y.

I–

V–

V–

I– X =–1/Bp

R =1/Gp

a) b)

p

p

I V ( j )V ( j )V V j V= = + = + = +ℜ ℑ ℜ ℑ˙ cos ' 'Y Y Ysen Y Y Y Yϕ ϕ

I V j VV

jV= + = −G B

R Xp pp p

G YZ

B YsensenZ

RZ

XZ

sen

p

p

p

p

= =

= = −

=

=

coscos

cosϕ ϕ

ϕ ϕϕ

ϕ

'

'

56

Sintesi parallelo

Potenze:

la parte reale assorbe la potenza attiva

la parte immaginaria quella reattiva

PV

V= = ℜ

22

RY

p

QV

V= = − ℑ

22

XY

p

+ – + –Y.

I–

V–

V–

I– X =–1/Bp

R =1/Gp

a) b)

p

p

57

Sintesi parallelo

Diagramma fasoriale:scomposizione dellacorrentetotale in due addendi, uno infase e uno in quadraturacon la tensione

+ – + –Y.

I–

V–

V–

I– X =–1/Bp

R =1/Gp

a) b)

p

p

Iq = jYℑ V= jBp V

If = Yℜ V= Gp V

Y = B <0 ℑ p

ϕ'

V–

I–

58

Risposta in frequenza e risonanza

Impedenze ed ammettenze di bipoli passivicomplessi dipendono dalla pulsazione ω:Risposta in frequenza: comportamento diimpedenze ed ammettenze per i possibili valori ditra limite inferiore (0) e superiore (∞)Risonanza: presenza di massimo e miniminell'andamento del modulo e di valori notevoli (0,±π/2) nell'andamento dell'argomento.

59

Serie RLC

Impedenza:

modulo:

argomento:

Z R LCs( )ω ω

ω= + −

j

1

Z RLC

Cs( )ω ωω

= + −

2

2 21

ϕ ω ωωs arctgLCCR

( ) = −2 1

R C

+ + +

+

–

L

60

Risposta in frequenza -1Impedenza:

modulo:

argomento:

Z R LCs( )ω ω

ω= + −

j

1

Z RLC

Cs( )ω ωω

= + −

2

2 21


( ) = −2 1

Zs

ϕs

R

π– –2

π–2

ωωo

Ζs

_1Zs

Qo=5

comportamentoohmico-capacitivo comportamento

ohmico-induttivo

ω

_1Zs

_1R

ϕs

61

Risposta in frequenza -2

Pulsazione di risonanza

Z RLC

Cs( )ω ωω

= + −

2

2 21


( ) = −2 1

ωo LC=∆ 1

Zs

ϕs

R

π– –2

π–2

ωωo

Ζs

_1Zs

Qo=5


ohmico-induttivo

ω

_1Zs

_1R

ϕs

62

Risposta in frequenza -3Pulsazione di risonanza

Fattore di merito

ωo LC=∆ 1

QR

LC

LR CRoo

o= = =∆ 1 1ω

ωωo

ωQo=0,2

51

ϕs

π– –2

π–2

ω

Zs

1

Qo= 0,2

1

5

R1

ωo

63

Risposta in frequenza -4Diagrammi fasoriali

V V V V I j I j I Is sR L C R LC

Z= + + = + − =ωω

ω1 ˙ ( )

VL–

I–

ω < ωο ω > ωο ω = ωο

VR–

VC–

Vs–

VL–

I–

VR

VC–

Vs–

VL–

I–

VR=

VC–

Vs–– –

64

Funzionamento in risonanza -1

Per ω = ωo la serie di induttore e condensatore equivalead un cortocircuito e l’intero circuito di equivale al soloresistore, con tensione e corrente in fase

VL = VC R C+

–

L

V VL C= −ω = ωο

VL–

I–

VR=

VC–

Vs––

65

Funzionamento in risonanza -2Potenze ed energie

QL = ωo L I2=(1/ωoC)I2 = –QC

vLC(t)=vL(t)+vC(t)=0

iL(t)=iC(t)=i(t)

pL(t)+pC(t)=0

wL(t)+wC(t)=

=Li(t)2/2+CvC(t)2/2=cost

wL(t)t

wC(t)

pL(t)pC(t)

t

wLC(t)

vC(t)vL(t)

t

i(t)

66

Funzionamento in risonanza -3Amplificazione

=> VC = VL = Qo Vs

Se Qo >1si ottiene l’amplificazione dei valori efficaci di tensione

(utile nei sistemi di segnale, pericolosa in quelli di potenza)

QL

Roo

s s

L

R

L C= = = =ω I

I

V

V

V

V

V

V

R C+

–

L

67

Parallelo RLC

Ammettenza:

modulo:

argomento:

˙ jY G CLp( )ω ω

ω= + −

1

Y GLC

Lp( )ω ωω

= + −

2

2 21

ϕ ω ωω

'p arctgLCLG

( ) = −2 1

G+

–

L C

68


Ammettenza:

modulo:

argomento:

˙ jY G CLp( )ω ω

ω= + −

1

Y GLC

Lp( )ω ωω

= + −

2

2 21

ϕ ω ωω

'p arctgLCLG

( ) = −2 1π– –2

π–2

ωωo

Yp

_1

Qo'=5

comportamento

ohmico-capacitivo

comportamento

ohmico-induttivo

ω

_1

_1G

ϕ'p

Yp

Yp Yp

G

ϕ'p

69


Y GLC

Lp( )ω ωω

= + −

2

2 21

ϕ ω ωω

'p arctgLCLG

( ) = −2 1

π– –2

π–2

ωωo

Yp

_1

Qo'=5


ohmico-induttivo

ω

_1

_1G

ϕ'p

Yp

Yp Yp

G

ϕ'p

Pulsazione di antirisonanza

ωo LC=∆ 1

70

Risposta in frequenza -3Pulsazione di antirisonanza

Fattore di merito

ωo LC=∆ 1

QG

CL

C

G LGoo

o' = = =

∆ 1 1ωω ωo

ω

51

ϕ'p

π– –2

π–2

ω

YP

1

Qo'= 0,2

1

5

G1

ωo

Qo'= 0,2

71

Risposta in frequenza -4Diagrammi fasoriali

I I I I V j V j V ˙ Vp pR L C G CL

Y= + + = + − =ωω

ω1( )

V–IC

–IG–

Ip–

IL–

V–

IC–

IG–

Ip–

IL–

V–

IC–

IG = Ip– –

IL–

ω < ωο ω > ωο ω = ωο

72

Funzionamento in antirisonanza -1

Per ω = ωo la serie di induttore e condensatore equivalead un circuito aperto e l’intero circuito di equivale al soloresistore, con tensione e corrente in fase

IL = IC

V–

IC–

IG = Ip– –

IL–

ω = ωοI IL C= −

G+

–

L C

73

Funzionamento in antirisonanza -2Potenze ed energie

QL=(1/ωoL)V2=–ωoCV2=–QC

iLC(t)=iL(t)+iC(t)=0

vL(t)=vC(t)=v(t)

pL(t)+pC(t)=0

wL(t)+wC(t)=

=Li(t)2/2+CvC(t)2/2=cost

wL(t)

twC(t)

pL(t) pC(t)

t

wLC(t)

iL(t)iC(t)

t

v(t)

74

Funzionamento in antirisonanza -3Amplificazione

=> IC = IL = Qo' Ip

Se Qo' >1si ottiene l’amplificazione dei valori efficaci di corrente

(utile nei sistemi di segnale, pericolosa in quelli di potenza)

G+

–

L C

QC

Goo

p p

C

R

C L'V

V

I

I

I

I

I

I= = = =ω

75

Comportamento in ƒ di resistoriEffetti parassiti:Induttivi (magnetici) a media ƒ ;capacitivi (dielettrici) ad alta ƒ :

R

a) : f < f1

L

RC

c) : f > f2

L

R

b) : f < f < f1 2

76

Comportamento in ƒ di induttoriEffetti parassiti:Resistivi (dissipativi) a bassa ƒ ;capacitivi (dielettrici) ad alta ƒ;inoltre effetti dissipativi nell'eventuale nucleoferromagnetico (isteresi e correnti parassite)

L

R

C

d) : f > f2

L

R

a) : f < f1

L

b) : f1< f < f2

L

c) : f1< f < f2

Ro

77

Comportamento in ƒ di condensatoriEffetti parassiti:Resistivi (dissipativi nel dielettrico) a bassa ƒ ;resistivi (dissipativi nelle armature) e induttivi (magnetici)ad alta ƒ; inoltre effetti dissipativi in certi dielettrici(isteresi) ad alta ƒ

C

b) : f < f < f1 2a) : f < f

RC

1

R1

2

L

RC

c) : f > f2

78

Doppi bipolo induttivo simbolicoLe equazioni del doppio bipolo induttivo:

riscritte in forma simbolica sono

vi i

vi i

1 11 2

21

22

(t) Ld (t)

dtM

d (t)dt

(t) Md (t)

dtL

d (t)dt

= +

= +

V j I j I j I j I

V j I j I j I j I

1 1 1 2 1 1 2

2 1 2 2 1 2 2

= + = +

= + = +

ω ω

ω ω

L M X X

M L X X

L M

M L

79

Sintesi simbolica del d.b.i. perfetto

+

V1

–

+

V2

–

n '

L1pjX

L1ejX L2ejX

I1 I2

80

Sintesi simbolica del d.b.i.dissipativo (del trasformatore reale)

+

V1

–

+

V2

–

nI1 I2

Z1

.Z2

.

Yo

.

Z1 = R1 + j XL1e•

Z2 = R2 + j XL2e•

Yo = –– + –––Ro j Xo

1 1•

81

Sintesi simbolica semplificata deltrasformatore reale

1) Nei trasformatori di potenza è sempre Z1<<Zo =>possono essere scambiate;2) Z2 può essere spostata prima del trasformatoreideale moltiplicandola per u2 (trasferimento diimpedenza)3) Z1 e Z2 in serie possono essere sostituite conl’impedenza equivalente

82

Sintesi simbolica semplificata deltrasformatore reale

Zo è l’impedenza a vuoto, vista a primario quando ilsecondario è aperto

Z1cc (<< Zo) è l’impedenza di cortocircuito, vista aprimario quando il secondario è in cortocircuito

+

V1

–

+

V2

–

nI1 I2

Z1cc

.

Zo

.

in regime sinusoidale 15 bipoli e doppi...

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