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Research Collection
Doctoral Thesis
Gruppenpaare mit homologischer Dualität der Dimension zwei
Author(s): Widmer, Hans Rudolf
Publication Date: 1981
Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-000272147
Rights / License: In Copyright - Non-Commercial Use Permitted
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ETH Library
DISS ETH Nr. 67 jo
GRUPPENPAARE MIT HOMOLOGISCHER DUALITAET
DER DIMENSION ZWEI
ABHANDLUNG
zur Erlangung des Titels eines
Doktors der Mathematik
der
EIDGENOESSISCHEN TECHNISCHEN HOCHSCHULE ZUERICH
vorgelegt von
Hans Rudolf Widmer
dipl. Math. ETH
geboren am 31. Juli 1951
von Hausen (AG)
Angenommen auf Antrag von
Prof. Dr. Beno Eckmann, Referent
Prof. Dr. Guido Mislin, Korreferent
1981
Abstract
This work deals with group pairs (G,S) with duality in dimension
two, where S is a family {S.} of subgroups of G. Known examples
of such pairs are as follows: G is the fundamental group of a closed
surface with a finite number of disks removed; the subgroups S. are
infinite cyclic, generated by the boundary circles of the disks.
This geometrical situation can be characterized in a purely
algebraic way: let (G,SO be a group pair and A the kernel of the
augmentation map Z(G/S)—*Z. The pair (G,!3) is said to be a group
pair with Poincare duality in dimension two, if there exists, for a
certain G-operation on Z, a fundamental class eeH _1(G;Z8A) such
that the Cap-product with e yields isomorphisms
(*) Hk(G;A) =Si^Hn_k_1 (G;Z0A®A)
(**) Hk(G;Hom(A,A)) ~*
> HR_k_1(G;Z8A)
for all keZ and for all G-modules A.
The problem is investigated as to whether further algebraic examples
can be obtained if the module Z above is replaced by a more general
module C. The main result of our paper tells that duality in dimension
two with C^Z is possible only if the augmentation kernel A is
infinite cyclic, and this is the case only for very few new examples
(which in a certain sense are trivial).
The result is surprising because in the absolute case (S=0) the
situation is quite different: there are many interesting examples
of groups with duality in dimension two where C^Z. The deeper reason
for the result in the relative case lies in the fact that duality
pairs of dimension two always admit a free resolution. This is a
consequence of finiteness properties which follow from the
duality isomorphisms, together with a result of Bass.
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit handelt von Gruppenpaaren (G,S) mit Dualitat
in der Dimension zwei. Dazu gehSren die bekannten Beispiele, in denen
G die Fundamentalgruppe einer geschlossenen Flache ist, aus der man
eine endliche Anzahl Scheiben entfernt hat; die Untergruppen S. sind
unendlich zyklisch und entsprechen den Randern der weggelassenen
Scheiben.
Diese geometrische Situation lasst sich wie folgt rein algebraisch
charakterisieren: Es seien (G,SJ ein Gruppenpaar und A der Kern der
Augmentationsabbildung Z(G/S)-*>z. Man sagt, (G,S) sei ein Gruppenpaar
mit Poincare-Dualitat in der Dimension zwei, wenn es fur eine gewisse
G-Operation auf Z eine Fundamentalklasse eeH _,(G;Z®A) gibt, so dass
das Cap-Produkt mit e Isomorphismen
(*) Hk(G;A) ' — * H.
.(G;Z®A®A).
n-k-l
(**) HK(G;Hom(A,A))-=i-*Hn_k_1 (G;Z®A)
fur alle keZ und fUr alle G-Moduln A induziert.
Es stellt sich die Frage, ob man zu den oben beschriebenen geometrischen
Beispielen weitere dazugewinnt, wenn man den Modul Z, der in der
obigen algebraischen Charakterisierung auftritt, durch einen allgemei-
neren Modul C ersetzt. Das Hauptresultat dieser Arbeit besagt, dass
Dualitat in der Dimension zwei mit C^Z nur moglich ist, wenn der
Augmentationskern A unendlich zyklisch ist, und dies liefert nur
ganz wenige neue Beispiele.
Dieses Resultat ist deshalb erstaunlich, weil im absoluten Fall (§=0)
eine ganz andere Situation vorliegt: es gibt sehr viele interessante
Gruppen mit Dualitat in der Dimension zwei, bei welchen Cj*Z ist. Der
tiefere Grund fur das Resultat im relativen Fall ist in der Tatsache
zu suchen, dass Dualitatspaare der Dimension zwei stets eine freie
Auflosung besitzen. Dies folgt aus Endlichkeitseigenschaften, welche
eine direkte Konsequenz der Dualitatsisomorphismen sind, zusammen mit
einem Resultat von Bass.
(i)
Einleitung
Eine Gruppe G heisst Poincare-Dualitatsgruppe der Dimension n
(PD -Gruppe), wenn sie die fur geschlossene Mannigfaltigkeiten
bekannte homologische Dualitat besitzt; d.h. wenn es fur eine
gewisse G-Operation auf Z natiirliche Isomorphismen zwischen
Cohomologie und Homologie gibt
Hk(G;A)-^^* Hn_k(G;Z®A)
fiir alle keZ und fur alle G-Moduln A. Beispiele sind die
Fundamentalgruppen von geschlossenen aspharischen n-dimensionalen
Mannigfaltigkeiten; man nennt solche PD -Gruppen geometrisch,
wobei nicht bekannt ist, ob es noch andere gibt. Im Fall n=2
haben Eckmann und Miiller [7] die Vermutung bewiesen, dass alle
2PD -Gruppen geometrisch sind, aber nur unter der Annahme (im
orientierbaren Fall), dass die Gruppe nicht perfekt ist (ob eine
2PD -Gruppe perfekt sein kann, ist noch ungeklart).
Eine erste Verallgemeinerung des Begriffs der PD -Gruppe stammt
von Bieri und Eckmann [3] : sie ersetzen den in der Definition der
PD -Gruppe auftretenden Modul Z durch einen allgemeineren
Modul C und nennen solche Gruppen D -Gruppen. Beispiele fiir
2D -Gruppen finden sich in der Geometrie: die Knotengruppen.
D -Gruppen besitzen viele Endlichkeitseigenschaften; z.B. sind
sie vom Typ (FP). Der dualisierende Modul C einer D -Gruppe ist
sehr speziell beschaffen: er ist z.B. vom Typ (FP) und hat
projektive Dimension n. Der Endomorphismenring von C ist isomorph
zum Ring Z der ganzen Zahlen. Es ist hingegen nicht klar, ob C
als Abelsche Gruppe frei ist.
Eine andere Verallgemeinerung des Begriffs der PD -Gruppe ist
derjenige des PD -Paares: es sei G eine Gruppe und S eine Familie
von (nicht notwendigerweise verschiedenen) Untergruppen von G.
(ii)
Der Modul A bezeichne den Kern der Augmentationsabbildung
©Z(G/S.)—*Z. Das Paar (G,S) heisst dann ein PD -Paar, wenn es
fur eine gewisse G-Operation auf Z eine Fundamentalklasse
eeH _.(G;Z®A) gibt, so dass das Cap-Produkt mit e Isomorphismen
(*) Hk(G;A) -~ >Hn_k_1(G;Z8A«A)(**) Hk(G;Hom(A,A))^»Hn_k_1(G;Z8A)
fiir alle keZ und fur alle G-Moduln A induziert. Auch hier lasst
sich der in der Definition auftretende Modul Z durch einen
allgemeineren Modul C ersetzen, und man spricht dann von D -Paaren.
Am besten kennt man auch hier den Fall n=2. In xl^wird bewiesen.,
2dass alle PD -Paare geometrisch sind: G ist die Fundamentalgruppe
einer geschlossenen Flache, aus der eine endliche Anzahl Scheiben
entfernt wurden; die Untergruppen S. sind unendlich zyklisch und
entsprechen den Randern der weggelassenen Scheiben. Man kennt also
2die PD -Paare vollstandig, und eine nachste Frage muss sein, ob
2man wie absoluten Fall beim Uebergang von den PD -Gruppen zu den
2D -Gruppen auch im relativen Fall neue Beispiele dazugewmnt.
Das Hauptresultat der vorliegenden Arbeit besagt, dass alle
2 2D -Paare PD -Paare sind(also von der oben beschriebenen geometri-
schen Art) mit Ausnahme von Fallen, die man als trivial bezeichnen
kann: es sind diejenigen, bei denen der Augmentationskern A
als Abelsche Gruppe unendlich zyklisch ist; und dies bedeutet, dass
nur die Paare (F,{F,F}) Oder (F,S) mSglich sind, wobei F eine
endlich erzeugte freie Gruppe ist und S eine Untergruppe vom
Index 2.
2Eine Folgerung aus diesem Resultat ist, dass der bei D -Paaren
auftretende Modul A "dieselben" Eigenschaften hat wie C.
Insbesondere ist der Endomorphismenring von A isomorph zum Ring
Z der ganzen Zahlen. Dass A und C ahnliche Eigenschaften
aufweisen, ist nicht erstaunlich: die Isomorphismen (**)
(iii)
(fiir C anstelle von Z) bedeuten namlich gerade, dass die beiden
Moduln C und A zueinander '"dual" sind im Sinne einer Verallgemeine-
rung des Funktors Hom„(-,ZG), die im ersten Abschnitt dieser
Arbeit genauer untersucht wird. Im zweiten Abschnitt der vor-
liegenden Arbeit wird untersucht, wie sich die Dualitat eines
2D -Paares (G,S) auswirkt auf Paare (G,S'), wobei S' eine Teil-
familie von S ist. Es wird gezeigt, dass der Augmentationskern
solcher Paare ebenfalls Dualitat besitzt, allerdings nicht mehr
2in derselben Dimension wie der Augmentationskern A des D -Paares
(G,S). Es gelingt auch, den dualen Modul des reduzlerten Paares
genau anzugeben.
Im dritten Abschnitt wird auf zwei verschiedene Arten das oben
erwahnte Hauptresultat hergeleitet. Der erste Beweis verwendet
wesentlich (Bass \l\ ), dass iiber dem Gruppenring ZF einer freien
Gruppe die endlich erzeugten projektiven Moduln frei sind. Der
zweite Beweis beruht auf einem Resultat von Wall [l3J ,welches
eine Aussage iiber Gruppenpaare macht, deren Augmentationskern
projektiv ist.
Dnser Resultat legt Fragen nahe, auf die wir nicht eingegangen ...
sind, insbesondere, ob ein solches Ergebnis auch in hoheren
Dimensionen gilt. Sowohl in der Dimension 1 als auch in der
Dimension 2 ist bei einem D-Paar (G,S) von den beiden Moduln
C und A mindestens einer unendlich zyklisch; diese Form der
Aussage konnte eventuell in hohere Dimensionen {ibertragen werden.
Schliesslich muss man sich fragen, ob es iiberhaupt moglich ist,
dass das Tensorprodukt C^A, welches bei einem D -Paar ja den
dualisierenden Modul der Gruppe G bedeutet, als G-Modul endlich
erzeugt ist, ohne dass einer der Moduln C und A als Abelsche
Gruppe endlich erzeugt ist.
Besonders herzlich danke ich Herrn Prof. Dr. B. Eckmann fiir die
mir entgegengebrachte Unterstutzung, fiir sein Interesse an
meiner Arbeit und fur seine wertvollen Anregungen.
Inhaltsverzeichnis
I. DER BEGRIFF DER DUALITAET 1
1. Vorbereitungen 1
2. Endlichkeitsbedingungen 3
3. Moduln mit Dualitat 7
II. DUALITAET VON GRUPPENPAAREN 18
4. Dualitat von Gruppenpaaren 18
III. D?-PAARE34
5. D -Paare 34
26. D -Paare 34
-1-
I. DER BEGRIFF DER DUALITAET
Der Begriff der Dualitat wird in dieser Arbeit ausschliess-
lich als homologische Dualitat verstanden. Dualitatsrelati-
onen, die durch natiirliche Isomorphismen
Tor'* .(C,-) ^ Ext^(A,-)n—1 u
gegeben sind, sind eine massive Verallgemeinerung des Pro-
zesses, der einem projektiven endlich erzeugten Modul P seinen
dualen Modul P*=Hom (P,ZG) zuordnet.
1. Vorbereitungen
1.1 Es sei G eine Gruppe und ZG der zugehorige Gruppenring.
Wir nehmen an, dass der Leser mit den Funktoren Ext„ und
G»
Tor, von der Kategorie der G-Moduln in die Kategorie der
Abelschen Gruppen vertraut ist. Um die im folgenden ver-
wendete Notation klarzustellen, machen wir jedoch einige
Vorbemerkungen. Ext_(-,-) ist kontravariant im erstenG
kund kovariant im zweiten Argument. Ext_(U,V) ist defi-
G
niert, wenn U und V beides Links-G-Moduln Oder beides
Rechts-G-Moduln sind, und wir halten uns an die Abmachung,k C
dass Ext =0 fur k<0. Der Funktor Tor, (-,-) ist in beiden
GArgumenten kovariant. Tor. (U,V) ist definiert, wenn U ein
Rechts-G-Modul und V ein Links-G-Modul ist. Auch hier
soil gelten, dass Tor =0 fur k<0.
Falls nichts anderes gesagt wird, bedeuten im folgenden
A,A',A usw stets Links-G-Moduln; mit B,B',B usw bezeich-
nen wir Rechts-G-Moduln.
1.2 Das Tensorprodukt (iiber Z) B®A zweier G-Moduln wird zu
einem G-Modul durch die Definition x(b0a)=bx 8xa resp.
durch (b8a)x=bx®x a. Die Abelsche Gruppe Hom(A,A') der
Z-Homomorphismen von A nach A' wird durch die Definition
(xn): a»-xn(x a) zu einem Links-G-Modul. Falls nichts
-2-
anderes gesagt wird, sollen B®A und Horn(A,A') stets mit
diesen diagonalen Operationen versehen sein.
1.3 1st S eine Untergruppe von G (S<G), so sind fiir S-Moduln
A resp. B die folgenden Abelschen Gruppen auch G-Moduln:
a) B® ZG ein Rechts-G-Modul durch (b®g)x=b®gx
b) Horn (ZG,A) ein Links-G-Modul durch (xri) (g) =n (gx)
Mit den so definierten Operationen gilt fiir S^G
Lemma 1.1 Es gibt natiirliche G-Isomorphismen
a) a: B® ZG ->• B®Z (G/S) als Rechts-G-Moduln
b) B: Horn (ZG,A) -> Hom(Z (G/S) ,A) als Links-G-Moduln.
Beweis: a ist gegeben durch a(b®g)=bg®g S.
a ist gegeben durch a (b®gS)=bg®g
8 ist gegeben durch B: ir+tgSH-gri (g )) .
B ist gegeben durch B : Xn-(gn-gX(g S)) .
Man verifiziert leicht, dass diese Abbildungen
G-Homomorphismen sind.
Lemma 1.2 A sei ein S-Modul, A' ein G-Modul.
B sei ein S-Modul, B' ein G-Modul. Dann gibt es
natiirliche Isomorphismen
a) Tor^(B',A) s Tor^(B',ZG®gA)b) Tor^(B,A') = Tor£(B® ZG,A')
cl)Extg(A' ,A) = Extg(A' ,Homs(Z(f,A))
c2)Extg(B',B) = Extg(B',Homs(ZG,B))
dl)Ext^(A,A') = Extk(ZG®cA,A')
d2)Extg(B,B') = Extg(B®sZGCB')Bemerkungen:
1. Fiir A'=Z(triviale G-Operation) folgt aus b) und cl)
das Shapiro-Lemma: H, (S;B) = H, (G;B®„ZG)
Hk(S;A) = Hk(G;Homs(ZG',A))
-3-
2. Sind in Lemma 1.2 A und B auch G-Moduln, so erhalt
man zusammen mit Lemma 1.1 Isomorphismen der folgen-
den Art: Tor^(B',A) = Tor^(B',Z(G/S)®A) .
2. Endlichkeitsbedingungen
2.1 Es sei G eine Gruppe und A ein Links-G-Modul.
Eine G-Auflosung
P: ...-s-P. + P., -» -> P. -> A ->- 0
von A soil aus projektiven Links-G-Moduln P. bestehen.
Fur einen Rechts-G-Modul B soil eine Auflosung P aus
projektiven Rechts-G-Moduln bestehen.
P heisst "endlich in der Dimension i", falls P. endlich
erzeugt ist.
Definition:
a) Ein G-Modul A heisst vom Typ (FP) ,falls er eine in
den Dimensionen <n endliche Auflosung besitzt.
b) Ein G-Modul A heisst vom Typ (FP), falls er endliche
projektive Dimension pdA hat, und falls er zudem vom
Typ (FP)pdA ist.
c) Ersetzt man in a) und b) den Modul A durch den
trivialen G-Modul Z, so sagt man, dass die Gruppe G
vom Typ (FP) resp. (FP) ist.
Bemerkung: Ein Modul vom Typ (FP) hat im allgemeinen
keine endliche freie Auflfisung.
2.2 Wir betrachten die natiirlichen Homomorphismen
$: M*8GA + HomG(M,A), $(f0a)(m)=f(m)-a
f: B«GM •* HomG(M*,B), f (b»m) (f) =b-f (m)
Lemma 2.1 Ist A auch ein Rechts-G-Modul und B auch
ein Links-G-Modul, so sind $ und V G-Homomorphismen.
-4-
Lemroa 2.2^2']
a) Ist A projektiv, so ist <J> ein Monomorphismus.
b) 1st A endlich erzeugt projektiv, so ist $ ein
Isomorphismus.
c) Ist M endlich erzeugt und A projektiv, so ist
$ ein Isomorphismus.
d) Ist M endlich erzeugt projektiv, so ist $ ein
Isomorphismus.
Aussagen iiber die Abbildung ¥ sind ein wenig schwie-
riger zu machen. Betrachten wir den Links-G-Homomor-
phismus y: D -* D**, der durch y(a)(f)=f(a), feA*,
gegeben ist. y kann als eine Art Evaluationsabbil¬
dung gedeutet werden. Die Abbildung
T: B®_M* + Hom„(M,B) mit '$(b®f) (m)=b-f (m)
entspricht genau der Abbildung <t>, nur sind Links-
und Rechts-Moduln vertauscht worden. Auch fiir die
Abbildung $ gilt natiirlich Lemma 2.2 mit der ent-
sprechenden Modifikation. Ersetzen wir nun in $
den Modul M durch den dualen D* eines Links-G-Moduln
D, so erhalten wir:
?: B8„D** •* Honu(D*,B) .
Verkniipfen wir die obige Evaluationsabbildung y mit
dieser Abbildung, so erhalten wir
?: B8„D -+ B®„D** * Hom~(D*,B)
b®d + b®y(d)
b®y(d) * (f * b-Y(d)(f) = b-f(d) )
Man sieht also, dass die Abbildung "F mit $ iiberein-
stimmt. f ist also die Zusaitimensetzung der Evaluations¬
abbildung mit der Abbildung $.
-5-
Lemma 2 . 31"2 |
a) 1st P projektiv, so ist die Evaluation y:P->-P**
ein Monomorphismus.
b) Ist P endlich erzeugt projektiv, so ist die
Evaluation y:P-»-P** ein Isomorphismus.
Dieses Lemma zusammen mit dem fiir Rechts-Moduln modifi-
zierten Lemma 2.2 gestattet es, Aussagen uber die Abbil-
dung y zu machen:
Lemma 2. 4 |"2~]
a) Sind M und B projektiv, so ist V ein Monomorphismus.
b) Ist M endlich erzeugt projektiv, so ist ¥ ein
Isomorphismus.
Die fiir das folgende wesentlichen Aussagen sind 2.2d und
2.4b. Aussage 2.4b lasst sich wie folgt verscharfen:
Lemma 2.5 Folgende Aussagen sind aquivalent£ 2 J
a) M ist endlich erzeugt projektiv.
b) $ ist fiir alle G-Moduln A ein Isomorphismus.
c) ¥ ist fiir alle G-Moduln B ein Isomorphismus.
2.3 Ersetzen wir in den Abbildungen $ und V aus Abschnitt 2.2
den Modul M durch eine G-projektive Auflosung eines
Moduln A, so erhalten wir Komplexabbildungen und in der
Homologie induzierte Abbildungen:
Hk(P*®„A) * Extk(A,A) und Tor^(B,A) - H, (Hom„ (P* ,B) )
Die Verkniipfung mit den funktoriellen Homomorphismen
Hk(P*)®„A + Hk(P*0„A) und H. (Hoiru (P* ,B) )->-Hom„ (Hk (P*) ,B)
liefert naturliche Homomorphismen:
$k: Extk(A,ZG)«GA -+ Extk(A,A)
<fk: Torj[(B,A) + HomG(Extk(A,ZG) ,B)
Im folgenden werden wir Aussagen tiber $ und ¥. machen.
-6-
Lemma 2.6 1st A vom Typ (FP) ,so gilt:
ka) 1st A projektiv, so ist <t> fur k<n ein Isomorphismus.
b) Ist B injektiv, so ist V. fur k<n-l ein Isomorphismus.
Beweis von b)
Es sei P -» A eine in den Dimensionen <n endlich erzeugte
projektive Auflosung von A. Es bezeichne K den Kern von
P +P.. Das folgende Diagramm ist dann kommutativ:
Tor*(B,A) > > B0GKs » BOgP^
*s h ¥T2
HomG(Ext^(A,ZG),B) * HomG(K|,B) - HomQ(P|_1#B)
Die obere Zeile ist nach Definition von Tor exakt, die
untere ist exakt, da B injektiv ist. ¥. und ¥_ sind
Isomorphismen (siehe [l] ,Lemma 5.2) und somit ist auch
¥ ein Isomorphismus. Da K nicht endlich erzeugt seins
cn
muss, funktioniert der Beweis fur s=n nicht.
Der Beweis von a) verlauft dual.
Lemma 2.7 Es sei A vom Typ (FP) und pdA=n<«°. Weiter
bezeichne C den Rechts-G-Modul Ext_(A,ZG). Die Abbildungenc
* : C0^,A * Ext"(A,A) und ¥ : Tor (B,A) + Honu(C,B)Cj \j n n b
sind dann fur alle G-Moduln A und B Isomorphismen.
Beweis: Da A vom Typ (FP) ist, ist nach Lemma 2.6 die
Abbildung ¥ fur injektive Moduln B ein Isomorphismus.
Es sei nun B ** I -» D eine injektive Prasentierung von B.
Das folgende Diagramm mit exakten Zeilen ist kommutativ:
TorG(B,A)=—>TorG(I,A)—sTorG(D,A)n n n
h y2 h
HomG(C,Bb—»HomG(C,I)—> HomG(C,D)
-7-
f~ ist iso und somit ist Y, mono. Dies gilt fiir beliebige
Moduln B, also ist auch ¥, mono. Daraus aber folgt, dass
¥, iso ist. Der Beweis fiir $ verlauft dual.
3. Im Hinblick auf die Anwendungen im zweiten und dritten Teil
dieser Arbeit warden wir die Dualitat von G-Moduln in
einer Art definieren, die anfangs etwas kunstlich wirken
mag. Den Vorteil werden wir spater erkennen.
3.1 Definition: Ein Links-G-Modul A heisst Modul mit Dualitat
in der Dimension n, wenn es eine natiirliche Zahl n und
einen Rechts-G-Modul C^O gibt, so dass man fiir alle keZ
und fiir alle G-Moduln A natiirliche Isomorphismen hat:
\k: Ext*(A,A) + Tor^_k(Z,C8A)3.2 Aus dieser Definition folgt sofort:
Lemma 3.1
a) pdA<n
b) Der Funktor Ext„(A,-) vertauscht mit direkten
Limites fiir alle k>0. Nach £5] folgt, dass A vom Typ
(FP)^ ist.
c) Setzt man A=ZG, so erhalt man
Ext*(A,ZG)=0 fur k<n-l und Ext"(A,ZG)=C
Zusammen mit a) hat man also, dass pdA=n. Man sieht
auch, dass C und n durch A bestimmt sind.
d) C ist als Abelsche Gruppe torsionsfrei. Fiir A=L8ZG gilt:
ExtJ(A,L0ZG)=Tor«_k(ZG,C8L) = {°0f^J=kFiir jede kurze exakte Folge L. >* L? -* L. ist die
Folge L.8ZG « L-8ZG -» L,8ZG ebenfalls exakt.
Diese Folge induziert
->-Ext""1(A,L.0ZG)*Ext"(A,Ln8ZG)->-Ext"{A,L-®ZG)->-Ext^(A,L-0ZG)r0 > C8L > C8L »C»L
Da C8L. >*• CSL- -» C8L.. exakt ist, folgt dass C als
Abelsche Gruppe torsionsfrei ist.
Satz 3.2 Ein Modul A hat genau dann Dualitat in der
Dimension n, wenn folgendes gilt:
1. A ist vom Typ (FP)
2. Ext£(A,ZG)=0 fur k^n\j
3. Ext„(A,ZG) ist Z-torsionsfrei
Beweis: Wir mussen nur noch zeigen, dass aus diesen drei
Eigenschaften folgt, dass A Dualitat in der Dimension n hat.
Es sei P >-+ P ,-*...-» P. -» A eine endliche Auflosung
n n-1 0^
von A. Wegen Eigenschaft 2. ist dann
*
P. >* P* *...
+ P* -» C0 1 n
eine endliche Auflosung von C=Ext_(A,ZG). Nach Lemma 2.2d)
gibt es naturliche Isomorphismen $: P*8 A + Hom_(P. ,A)
fur alle keZ und fur alle Links-G-Moduln A. Die
Abbildung $ induziert also Isomorphismen
Tor,(C,A) + Ext„(A,A). Da C wegen Eigenschaft 3. torsions-
n—K V3
frei ist, hat man in den Inversen dieser Isomorphismen
die in der Definition der Dualitat geforderten Iso-
k C
morphismen A. : Ext„(A,A) ~+ Tor, (Z,C8A) gefunden.
K tj n—K
Bemerkung: Fordert man irgendwelche natiirlichen Isomor-
k Gphismen A, :Ext_(A,A) + Tor
, (Z,CSA), so gibt es stetsK L? n—K
eine zweite Sorte von natiirlichen Isomorphismen, namlich
diejenigen, die von $ herriihren. Diese vertauschen, da
sie in beiden Argumenten natUrlich sind, mit verbindenden
Homomorphi smen.
3.3 Proposition 3.3 Hat der ZG-Modul A Dualitat uber Z, so
haben die Z G-Moduln A8Z und der QG-Modul A8Q Dualitaty p
uber Z resp. Q ( p eine Primzahl).
Beweis: Satz 3.2 gilt uber jedem unitaren Ring. Wir mussen
also nur zeigen, dass die in Satz 3.2 auftretenden drei
Bedingungen erfiillt sind.
-9-
Es sei P-»A eine ZG-projektive AuflSsung von A. Dann ist
P8Z eine Z G-projektive Auflosung von A8Z und es gilt:~ p
k p k p
Ext„„(A,A)SExt, „(A8Z ,A) fur alle Z G-Moduln A und keZ.ilij ii \3 D P
Pk
Somit vertauscht der Funktor Ext„ _(A8Z ,-) mit Produkten,L \j pP
und nachf2] folgt, dass A8Z vom Typ (FP)^ 1st. Die
projektive Dimension von A ist aber trivialerweise gleich
derjenigen von A8Z,und somit ist A8Z vom Typ (FP).
Damit ist die erste Eigenschaft von Satz 3.2 bewiesen.
Wir niitzen nun aus, dass A Dualitat iiber Z hat:
Ext* „(A8Z ,Z 8ZG)3Extk„(A,Z ®ZG)=TorZG, (C,Z 8ZG)STorZG, (ZG,Z 8C)ZG PP ZGp n-k p n-k p
Beim letzten Isomorphismus hat man verwendet, dass C als
Abelsche Gruppe torsionsfrei ist. Der Ausdruck ganz rechts
verschwindet fur k^n und fur k=n betrSgt er Z 0C .
Damit sind auch die zweite und dritte Eigenschaft von
Satz 3.2 bewiesen. Der Beweis fur A8Q verlauft analog.
Es stellt sich nun sofort die Frage, ob auch die Umkeh-
rung von Proposition 3.3 gilt. Dazu benotigen wir zuerst
einige Vorbereitungen.
Lemma 3.4 Es seien A und A Links-ZG-Moduln. Wenn
Ext ~1(A,A/pA)=Ext* (A, A) =0 fur ein keZ und O^peZ ,£i\J ii\3 p ,
dann enthalt die Abelsche Gruppe Ext_„(A,A) kein Element
der Ordnung p.(Dabei bezeichnet A den Teilmodul aller
p-Torsionselemente von A.)
Beweis: Die kurzen exakten Folgen
(1) A «-> A •» pA und (2) pA >+ A -* A/pA
induzieren zwei exakte Folgen
(1M Ext£G(A,pA) * Ext*G(A,A) 5 Ext*G(A,pA)(21) Ext^G1(A,A/pA) - Ext*G(A,pA) I Ext*G(A,A)
Es folgt sofort, dass die Abbildung 6a die Multiplikation
mit p in Ext„„(A,A) bezeichnet. Nach Voraussetzung
-10-
verschwinden nun die Terme ganz links in (l1) und in (21).
Dies aber bedeutet, dass in Ext„„(A,A) die Multiplikation
mit p ein Monomorphismus ist.
Lemma 3.5 Es sei A ein Links-ZG-Modul vom Typ (FP)^ iiber Z.
Fur alle ZG-Moduln A und alle keZ gilt:k k
Ext„_(A,A®Q)=0 4=» Ext„_(A,A) ist eine TorsionsgruppeZ(a Zlj
Beweis: Es sei T ein ZG-Modul, der als Abelsche Gruppe
eine Torsionsgruppe ist. T lasst sich dann schreiben als
direkter Limes der endlich erzeugten ZG-Teilmoduln:
T=lim T. Zu jedem T gibt es ein ceZ, so dass c-T =0 .
—» cJ
ck
c
Also haben auch die Abelschen Gruppen Ext (A,T ) die
Eigenschaft, dass sie von c annulliert werden. Da A vom
Typ (FP) ist, vertauscht der Funktor Ext„(A,-) mit°°
kdirekten Limites, und es folgt sofort, dass Ext (A,T)
Z(j
eine Torsionsgruppe ist. Es bezeichne nun t(A) den Teil-
modul aller Torsionselemente von A. Wir betrachten die
beiden kurzen exakten Folgen
(1) t(A) » A * A/t(A) und (2) A/t(A) v* A®Q -* A®(Q/Z)
Sie induzieren die exakten Folgen
(1*) +Ext*G(A,t(A))+Ext*G(A,A)+Ext£G(A,A/t(A))->Ext£GJ-(A,t(A):
(2') ->Ext£G1(A,A®Q/Z)-*Ext2G(A,A/t(A))-'-Ext2G(A,A®Q)
•+Ext2G(A,A0Q/Z)Da t(A) und A8Q/Z Torsionsgruppen sind, kann man folgender-
massen schliessen:
v
a) Es sei Ext„„(A,A®Q)=0. Dann folgt aus (2"), dass
k
Ext„G(A,A/t(A)) eine Torsionsgruppe ist, und aus (1')
folgt weiter, dass auch Ext„„(A,A) eine TorsionsgruppeZG
sein muss,
v
b) Es sei Ext _(A,A) eine Torsionsgruppe. Dann folgt aus
k(1'), dass auch Ext„„(A,A/t(A)) eine Torsionsgruppe
kist, und aus (2') folgt, dass Ext„„(A,A8Q) ebenfalls
£t\3
-11-
k keine Torsionsgxruppe ist. Da aber Ext„„(A,A®Q)=Ext„_(A,A)®Q
und da Ext„_(A,A) eine Torsionsgruppe ist, ist dieses
Tensorprodukt mit Q =0 .
Lemma 3.6 Es sei A ein ZG-Modul vom Typ (FP) mit
n=pd '>pd_(A0Q). Dann gibt es eine Primzahl p, so dass
Ext";;1 (A, ZG) 7*0 und Ext" (A,Z G)^0 .
Beweis: Es sei O+P -+P ,-*...->-P.-*Z eine endlich erzeugte
n n-1 0
projective Auflosung von Z. Dann ist Ext„(A,ZG) alsZo
coker(Hom„_(P.,,ZG)->-Hom„_ (P , ZG) ) endlich erzeugt als
L\j n—i zb n
ZG-Mcd.il. Ist nun pd0(A8Q)<n, so ist Ext" (A8Q,QG)=n
Ext" (A,ZG®Q)=0, und nach Lemma 3.5 ist nun Ext„„(A,ZG)
eine Torsionsgruppe. Es sei I={ceZ|c-Ext„„(A,ZG)=0}?«0.
I ist ein Ideal in Z und somit von einem Element d erzeugt.
Da Ext„ (A,ZG)fO, gibt es eine Primzahl p, die d teilt.
Die karze exakte Folge ZG «• ZG -» Z G induziert die
exakte Folge
-Ext^'"1 (A, ZpG) +Ext£G (A, ZG) e*Ext£G (A, ZG) -+Ext£G (A, Z G)
p* ist dabei die Multiplikation mit p. Da aber p die Zahl
d teilt, ist p* weder mono noch epi; daraus folgt die Be-
hauptung.
Satz 3.7 A sei ein ZG-Modul vom Typ (FP) .
A hat genau dann Dualitat in der Dimension n Uber Z, wenn
A0Z und A®Q Dualitat liber Z (p Primzahl) resp. uber Q
in der Dimension n haben.
Beweis: Die eine Richtung ist die Aussage von Proposition 3.3
Wir setzen also voraus, dass A8Z und A®Q DualitSt in der
Dimension n haben. A sei ein beliebiger ZG-Modul. Weil
A und A/pA Z G-Moduln sind, folgt mit Lemma 3.4, dassP
n+2P
Ext (A,A) torsionsfrei ist. Wegen der Dualitat von A0Q
ist Ext"* (A,A8Q)=0, und nach Lemma 3.5 folgt, dass Ext" (A,A)
eine Torsionsgruppe ist. Somit ist Ext„_ (A,A)=0. Man hat
-12-
also gezeigt, dass pd A<n+2. Wir nehmen nun an, es seia
pd A=n+1. Nach Lemma 3.6 finden wir eine Primzahl p,n-t-1
fur die Ext„„(A,Z G) ^0 und Ext„„ (A,Z G)^0.Dies aberL\3 P ll\3 p
widerspricht der Voraussetung, dass alle Moduln A8Z
Dualitat haben. Somit ist pd A<n+1.
Die Dualitat der Moduln A0Z fiir alle Primzahlen p bedeutet:
k kP
Ext„ _(A8Z ,Z G)=0=Ext__(A,Z G) fiir k^n. Aus Lemma 3.4Z-" P P LSj P v
und p3.5 folgt nun, dass fur k=0,1,2,...,n-l Ext„„(A,ZG)=0,
und dass Ext (A,ZG) torsionsfrei ist. Aus Satz 3.2 folgt
nun, dass A Dualitat in der Dimension n hat.
Satz 3.8 Es sei K ein Korper und D ein KG-Modul von
endlicher projektiver Dimension. Es sei Ext„„(D,KG)=0 fiir i<n
und Ext„„(D,KG) enthalte einen von Null verschiedenen
Teil-KG-Modul. Wenn D vom Typ (FP) ist, so folgt:
1. D ist vom Typ (FP) iiber K.
2. Ext^_(D,KG)=0 fur i^n.KG
Beweis: Es sei n>0. Wir betrachten eine projektive
Auflosung von D mit minimaler Lange m:
P>j P .-*...* P. -> Dm d m-1 0
m
Sie sei fiir i-sn endlich erzeugt. Wir nehmen nun an, es
sei m>n. Diese Annahme ftihren wir zu einem Widerspruch.
Wir betrachten den Komplex
n n-1 0
Nach Voraussetzung ist
P «. P* +...
h- p* _». E0 1 n
eine endlich erzeugte projektive Auflosung eines Moduln E.
Der in ExtRG(D,KG) enthaltene endlichdimensionale Teil-
KG-Modul V ist auch ein Teilmodul von E. Man hat also eine
kurze exakte Folge V »+ E -* E/V . Die Folge
Honi (E/V,A) w- Hon^fE.A) -*• Horr^fVjA) ist fur jedes A auch
exakt und diese Folge induziert die Folge
-13-
+Ext^G (D.Hon^ (E, A) } •*ExtG (D.Hon^ (V,A) ) -Ext*1 (D.Hon^ (E/V,A) ) +
Da D eine AuflSsung der LSnge m besitzt, liest man aus
obiger Folge einen Epimorphismus ab:
Ext^tD^OItl^E.A)) -» Ext^D.Hom^V.A))1st nun m>n, so ist Ext (D,Honu (E,A))=0, denn es ist
Extm(D,Hom (E,A))=Ext(E,Honi (D,A)), und E besitzt nach
Definition eine projektive Auflosung der Lange n. Wegen
des obigen Epimorphismus ist auch Ext„_ (D,HoitL (V,A)) =0 fur
alle KG-Moduln A. Wahlen wir speziell fur A einen freien
Modul F und beniitzen, dass wegen der endlichen Dimension
von V der Modul Horn (V,F) frei ist, so folgt, dass furK
alle freien Moduln F gilt: Ext„„(D,F)=0. Insbesondere giltKb
Ext„„(D,P )=0. Dies aber bedeutet, dass die Abbildung
d*: Hom,,_(P. ,P ) •* Hom„„(P ,P ) ein Epimorphismus ist.
m KG m-1 m KG m mr r
Es gibt also ein YeHoitL,_ (P, ,P ), so dass yd =Id (P ),
KG m-1 m mm
d.h. P ist direkter Summand in P. . Man hat also in
m m-1
P, /d P >* P
_
+ -* P. -» Dm-1 m m m-2 0
eine projektive Auflosung der Lange m-1 gefunden, was
der Minimalitat der gegebenen AuflSsung widerspricht.
Also ist m=n, und der Satz ist bewiesen.
Wir untersuchen nun, ob ein analoger Satz auch iiber Z gilt.
Satz 3.9 A sei ein ZG-Modul vom Typ (FP), und n sei
die kleinste Zahl, fur die Ext" (A, ZG) 7*0. Wenn Ext" (A,ZG)ZG it\j
als Abelsche Gruppe endlich erzeugt ist, so ist pdA=n,
und A hat Dualitat in der Dimension n.
Beweis: Da A vom Typ (FP) ist, sind auch A8Z und A8Q
vom Typ (FP). Nach dem universellen Koeffiziententheorem gilt:
Ext* (A®Z .Z G) = Ext* _(A®Z ,ZG)0Z « TortExt1.*1(A8Z ,ZG),Z )titjppi/iLiP p £. G p pP P P
rP
oder
ExtJG(A,Z G) | Ext2G(A,ZG)0Z 9 Tor (Ext1.*1 (A , ZG) ,Z )
iMan iiberlegt sich, dass Ext__(i,ZG)«Z bei diesem
Isomorphismuj als Z G-Modul in Exti„(A,Z G) eingebettet wird.p Zb p
-14-
Wir nehmen nun an, Ext_r(A,ZG)habe p-Torsion fvir eine
gewisse Primzahl p. Dann hat man nach obigem:
1. Ext-i „(A®Z ,Z G) =0 fur i<n-lL \j p pp
2. Ext" _(A®Z ,Z G) ?* 0Z G P P
3. Ext"~i(A®Z ,Z G) hat endliche Z -Dimension ^0Z G p p pp
Dies aber steht im Widerspruch zu Satz 3.8. Also hat
Ext„_(A,ZG) keine Torsion und ist somit eine freieZG
Abelsche Gruppe. Somit ist Ext„ „(A®Z ,Z G) =0 fur i<n6 u
p D
P^ ^
und Ext„ „(A®Z ,Z G) enthalt einen Teil-Z G-Modul von
ZpG p' P P
endlicher nichtverschwindender Dimension. Satz 3.8 sagt
dann, dass A8Z projektive Dimension n hat. Damit haben
also fur alle Primzahlen p die Moduln A8Z DualitSt inP
der Dimension n. Eine ahnliche(etwas einfachere)
Argumentation ergibt, dass auch A8Q DualitSt in der
Dimension hat. Die Behauptung folgt nun aus Satz 3.7.
Bemerkung: Satz 3.9 ist eine Verallgemeinerung eines
Satzes von Farrell[8 ] . Farrell betrachtet den Fall A=Z
(triviale G-Operation). Als zusatzlich Resultat erhSlt er
mit dieser starkeren Voraussetzung, dass Ext__(A,ZG)ZG
unendlich zyklisch ist als Abelsche Gruppe.
3.4 Lemma 3.10 A sei ein ZG-Modul mit DualitMt in der Dimen-
sion n. Dann sind alle Abelschen Gruppen Ext„(A,Z) und
Tor, (Z,A) endlich erzeugt.
Beweis: Der zu A duale Modul C besitzt eine projektive
Auflosung P*»>P*->-. . .-*-P*-«C aus endlich erzeugten Moduln.
Somit sind alle in der Folge
P*8„Z - P?®rZ *...
* P*®„ZU G 1 G n G
auftretenden Abelschen Gruppen endlich erzeugt und damit
auch Tor (C,Z). Die DualitSt liefert dann, dass Ext_(A,
endlich erzeugt ist. Der andere Teil ist trivial.
-15-
Lemma 3.11 A sei ein G-Modul mit Dualitat in der Dimen¬
sion n und mit dualent Modul C. Dann gilt Hom_(A,A)=Hom„(C,C)vj G
Beweis: Wegen der Dualitat hat man
HomG(A,A)=Ext°(A,A)STor^(C,A) + HomG(C,C)Dabei ist Y der Isoirorphismus aus Lemma 2.7
Man kann auch zeigen, dass dieser Isomorphismus ein
Ring(anti)isomorphismus ist.
3.5 Inverse Dualitat eir.es Moduln
Definition: Ein Links-G-Modul A heisst Modul mit inverser
Dualitat in der Dimension n, wenn es einen Rech.ts-G-Modul
C gibt, so dass man fiir alle keZ und fur alle G-Moduln B
natijrliche Isomorphismen
uk: Ext*(Z,Horn(C,B)) + Torn-k(B,A) hat"
Aus dieser Definition folgt sofort
Lemma 3.12
a) die flache Dimension von A ist <n.
b) Der Funktor Tor. (-,1) vertauscht fiir alle k»0 mit
direkten Produkten. Nach [3] ist A vom Typ (FP) .
c) Fiir B=Hom(ZG,L) hat man Isomorphismen
Ext*; (Z, Horn (C, Horn (ZG,L) ) + TorG. (Hom(ZG,L) , A)
Da aber Hom(CrHom(ZG,L))=Hom(ZG,Hom(C,L)) ist, folgt:
TorG (Hom(ZG,L),A)= j°,„ T ,
^r^n-kv 1 11 1
[Hom(C,L) fur k=n
Damit ist auch gezeigt, dass die flache Dimension von
A =n ist(siehe a)).
d) Betrachte eine beliebige kurze exakte Folge L.**L -*L,.
Dann ist auch Hom(ZG,L1 )>*Hom(ZG,L?)-*Hom(ZG,L-) exakt.
Diese Folge induziert
0->-TorG(Hom(ZG,L,), i) ->-TorG (Hom(ZG,L_)
, A) ->TorG (Hom(ZG,L.,), A)
n in 2 n i
-»-Torn_ (Hom(ZG,L1) ,A)->-
Nach c) ist dies aber gerade die kurze exakte Folge
Hom(C,L ) >» Hoe(C,L2) -* Hom(C,L )
Der Funktor Hom(C,-) ist also rechtsexakt, und C ist
somit eine freie Abelsche Gruppe.
-16-
Bemerkungen:
1. Da C sich mit der obigen Definition als frei erweist,
konnte man fur die inverse Dualitat auch natiirliche
k G
Isomorphismen Ext„(C,B)~Tor. (B,A) fordern und
o n-k
zusatzlich verlangen, dass C frei ist als Abelsche Gruppe.
2. Es bleibt noch zu zeigen, dass auch die projektive
Dimension von A = n ist. Dies ist die Aussage des fol¬
genden Lemmas.
Lemma 3.13 Ein Modul vom Typ (FP) mit flacher Dimension
n hat auch projektive Dimension n.
Beweis siehe [ 2]
Lemma 3.14 A sei ein Modul mit inverser Dualitat in
der Dimension n. Dann ist Ext„(A,ZG)=0 fur k^n.
Beweis: Es sei I eine teilbare Abelsche Gruppe. Dann ist
Hom(ZG,I) ein injektiver G-Modul,und man hat nach Lemma
2.6b) und 2.7 :
Tor^(Hom(ZG,I),A) = HomG(Ext*(A,ZG),Hom(ZG,I)) furkeZ
Nach Lemma 1.2, Teil c2) ist die rechte Seite isomorph zu
Hom(Ext„(A,ZG),I). Wegen der inversen Dualitat von A istG
kalso HomfExt (A,ZG) , I) =0 fur kj'n und fur alle teilbaren
&
Abelschen Gruppen I. Da man jede Abelsche Gruppe in eine
teilbare einbetten kann, folgt dass Hom(Ext (A,ZG),L)=0k
fur jede Abelsche Gruppe L. Also ist Ext_(A,ZG)=0 fur k^n.
Satz 3.15 Ein Modul A mit inverser Dualitat in der
Dimension n hat auch Dualitat in der Dimension n.
Beweis: Nach Satz 3.2 miissen 3 Bedingungen fur Duali¬
tat erfiillt sein. Diese Bedingungen sind aber nach
Lemma 3.12 ,3.13 und 3.14 erfiillt.
Es bleibt noch die Frage, welches bei einem Modul A
mit inverser Dualitat und somit mit Dualitat der
dualisierende Modul ist. Die Antwort steht im folgenden Satz.
-17-
Satz 3.16 A sei ein Modul mit inverser Dualitat in der
Dimension n und mit invers-dualisierendem Modul C. Nach
Satz 3.15 hat A auch Dualitat in der Dimension n. Der
dualisierende Modul sei C. Dann gilt: C = C .
Beweis: Es ist C=Ext„(A,ZG). Nach Lemma 2.7 hat man einen
,~ Gnatiirlichen Isomorphismus Hom„(C,B)
~
Tor (B,A). Die in-Cj n
verse Dualitat liefert einen natiirlichen IsomorphismusG
~
Tor (B,A) + Hom„(C,B). Die Zusammensetzung ergibt einen
n t?^
natiirlichen Isomorphismus Hom„(C,B) ~+ Hom„(C,B) .
Die beiden Funktoren Hom„(C,~) und Hom,_(C,-) sind also
natiirlich aquivalent, und somit ist C = C.
Satz 3.17 Ein Modul A hat genau dann inverse Dualitat
in der Dimension n, wenn folgende Bedingungen erfiillt sind:
1. A ist vom Typ (FP)
2. Extk(A,ZG)=0 fur k^n\j
3. Ext"(A,ZG) ist frei als Abelsche Gruppe(j
Beweis: Lemma 3.12 enthalt die eine Richtung der Behauptung.
Wir setzen also voraus, dass ein Modul A die obigen
drei Eigenschaften hat. P x-P ,-*.. .-*-P„-*A sei einen n-1 0
endliche projektive Auflosung von A. Dann ist
P*h-P*-*. . .->-P*-»Ext'J(A,ZG) eine endliche projektive Auf¬
losung von Ext_ (A,ZG) =C. Nach Lemma 2.2 hat man nattir-
liche Isomorphismen B8_P. + Homr(P*,B) fUr alle keZ und
fiir alle G-Moduln B. Dann aber gilt:
Tor£(B,a)£ExtjTk(C,B)=Ext£~k(Z,Horn(C,B))Beim zweiten Isomorphismus bentitzt man, dass C Z-frei ist.
-18-
II. DUALITAET VON GRUPPENPAAREN
Der Begriff der Dualitat von Gruppenpaaren wurde in fit]
von Bieri und Eckmann gepragt und in einem Spezialfall
auch ausfiihrlich untersucht. Wir werden in diesem Abschnitt
den Begriff der DualitSt von Paaren in einen gewissen
Zusairaitenhang zum Dualitatsbegriff des ersten Abschnitts
bringen, und wir werden auch gewisse Resultate von [ 4J
verallgemeinern.
4. Dualitat von Gruppenpaaren
4.1 Es sei G eine Gruppe und S_={S.,ieI} eine Familie von
(nicht notwendigerweise verschiedenen) Untergruppen von G.
Wir nennen (G,S_) ein Gruppenpaar. Falls Sfft schreiben wir
Z(G/S) fur den Links-G-Modul
.®TZG®„ Z =.®TZ(G/S.)lei S. lei i
i
Es handelt sich dabel um die freie Abelsche Gruppe mit
den Linksrestklassen xS., fiir alle iel, als Erzeugende.
Die G-Operation ist induziert durch die Multiplikation
(im Sinne der Gruppe) von links. Die Augmentationsabbil-
dung e: Z(G/S) * Z ist der durch e(xS.)=1 fur alle iel
definierte G-Epimorphismus. Seinen Kern bezeichnen wir
mit i.„ _.,oder wenn keine Verwechslungsgefahr besteht,
mit A. Man hat also eine kurze exakte Folge von
Links-G-Moduln: A»-Z(G/S)-»Z .
Beachte, dass fiir jedes Gruppenpaar (mit Sf$) der
Augmentationskern A Z-frei ist.
4.2 Fiir einen G-Modul A resp. B definiert man die (Co-)Homo-
logiegruppen des Gruppenpaares (G,S) mit Koeffizienten in
A resp. B wie folgt: Falls S=0 sind die relativen
(Co-)Homologiegruppen von (G,0) die absoluten Gruppen
H (G;A) resp. Hk(G;B). Falls S?$ definiert man:
-19-
Hk(G,S;A) = Extg_1(A,A)
Hk(G,S;B) = Tor^fB.A)
Beisplele:
1. Falls S={e}, so gilt:
Hk(G,S;A) =Hk(G;A) furk>l
H (G,S;B) = H.(G;B) fur k>l
Sind A und B triviale G-Moduln, so gilt auch
H1(G,S;A) = H1(G;A) und H1(G,S;B) = H^GjB)
Ausser in der Dimension 1 stimmen also die relativen
(Co-)Homologiegruppen der Paare (G,0) und (G,{e})
uberein (selbstverstSndlich sind sie auch in der
Dimension 0 verschieden).
2. Falls S={G}, ist A=0, und somit ist
Hk(GfS;A)=Hk(G,S;B)=0 fur k=l,2,3... und fur alle
G-Moduln A resp. B.
3. Die Familie S bestehe aus i (2<i<°°) Exemplaren
von G. Der Augmentationskern A besteht dann aus der
direkten Summe von i-l Exemplaren der unendlich zykli-
schen Gruppe mit trivialer G-Operation. Es gilt also:
Hk(G,S;A) =i1I1Hk~1(G;A) und Hk<G,S;B) ~if1Hk_1 (G;B)
4. Die Familie S bestehe aus einer Untergruppe vom Index 2
in G. Dann ist A unendlich zylisch, aber G operiert
nlcht trivial auf A. Trotzdem gilt dann fttr freie
Moduln A : Hk(G,S;A) = Hk_1(G;A)
Lemma 4.1 Fiir jedes Gruppenpaar (G,S) gilt:
cd(G,S) < l+cd(G)
Beweis: Es handelt sich um eine direkte Folgerung aus
der Definition der relativen Cohomologiegruppen.
-20-
4.3 Dualitat bei Gruppenpaaren#
Wir haben im Abschnitt 3.1 gesagt-, was es heisst, dass
ein Modul Dualitat hat. Diese Definition wird nun zur
Definition der Dualitat von Gruppenpaaren herangezogen.
Wir werden einerseits verlangen, dass der Augmentations-
kern A._„.
Dualitat hat. Sein dualisierender Modul sei C.
Anderseits verlangen wir, dass G eine Dualitatsgruppe ist,
d.h. der triviale G-Modul Z soil Dualitat haben, und zwar
in derselben Dimension wie A ,_ ... Zusatzlich werden wir
verlangen, dass der dualisierende Modul der Gruppe G gerade
der Modul C8A ist.Eine exakte Definition folgt im nachsten
Abschnitt.
4.4 Definition: Das Gruppenpaar (G,S) heisst ein Dualitats-
paar in der Dimension n ( ein D -Paar ) ,wenn es einen
Rechts-G-Modul C und ein Element esH (G,S;C) gibt, so
dass die Cap-Produkte
(*) [en-) : Hk(G;A) ~
Hn_k (G, S;C0A)
(**) (eo-) : Hk(G,S;A) ~
Hn_k<G;C0A)fiir alle keZ und fur alle G-Moduln A Isomorphismen sind.
Dabei wird das Cap-Produkt (*) beziiglich der IdentitSts-
paarung C8A8A •+ C8A8A genommen, das Cap-Produkt (**)
beziiglich der Evaluationspaarung C®A8Hom(A,A) -v C®A.
Bemerkungen;
1. Ist die C zugrundeliegende Abelsche Gruppe unendlich
zyklisch, so heisst (G,£3) ein Poincar6-Dualitatspaar
in der Dimension n, kurz PD -Paar. Je nachdem, ob G
auf C trivial operiert oder nicht, nennt man das PDn-
Paar orientierbar oder nicht-orientierbar.
2. Ist S=0, so fallen die Cap-Produkte (*) und (**) zusammen,
und man befindet sich im Fall der Dualitatsgruppe
im Sinne von [3 J.
-21-
3. Da die Cap-Produkte natiirliche Isomorphismen sind,
bedeutet (*) gerade, dass der triviale G-Modul Z
Dualitat in der Dimension n-1 mit dualisierendem
Modul C®A hat. (**) bedeutet, dass der Augmentations-
kern A Dualitat in der Dimension n-1 mit dualisierendem
Modul C hat.
Satz 4.2
Wir betrachten Paarungen I., J?, -? zwischen C8A und
den Folgen
(1) A » Hom(Z(G/S),A) -» Hom(A,A)
(2) A8C8A >+ Z(G/S)8C8A •» C8A
wie folgt:
J.: A0C8A + A8C®A ist die Identitatspaarung
3L: A®C®Hom(Z(G/S),A) -> Z(G/S)®C®A ist die Restriktion von
Z(G/S)®C®Hom(Z(G/S),A) -> Z(G/S)8C8A
gegeben durch xS.®c®A h- xS.®c®A(xS.)
S : A®C®Hom(A,A) -* C8A ist die Evaluationspaarung
Dann ist fur jedes e£H (G,S;C) das Diagramm
k- k k k+1-*H (G;A) >H (G;Hom(Z(G/S),A)) -+H (G;Hom( A ,A) ) +H (G;A)-
{es\-)\ ien-M (en-1
+H,
n(G;C®A®A)+H , ,(G;Z(G/S)8C8A)+H (G;C8A)->-H (G;C8A8A)
kommutativ.
Satz 4.3
Bei einem Dn-Paar (G,S) gilt: HomG(C,C) = Z
Beweis: Nach Lemma 2.7 gilt: Hom„(C,C)^Tor ,(C,A)STor .(Z.C8A)
\a„ n—x n—l
Wegen der Dualitat (*) gilt: Tor ,(Z,C®A)=HomG(Z,Z)=ZEine andere Art, den Satz einzusehen, benutzt die in Satz 4.4
gezeigte Tatsache, dass jedes S. eine DualitStsgruppe
mit dualisierendem Modul C(durch Restriktion) ist. Nach
Lemma 3.11 folgt dann Hom„(Z,Z) = Horn (C,C). Daraus aber
folgt die Behauptung.
>
-22-
Bemerkung: Der Beweis beniitzt nur, dass naturliche Isomor-
phismen vorhanden sind, nicht aber, dass sie durch das
Cap-Produkt gegeben sind.
Satz 4.4 f 4 ]Es sei (G,SJ, S^0, ein Dn-Paar mit dualisierendem
Modul C. Dann gilt:
1. G ist eine D -Gruppe mit dualisierendem Modul C8A.
2. Die Familie S^ ist endlich.
3. Jedes S. ist eine D -Gruppe mit dualisierendem
Modul C (S.-Operation durch Restriktion).
Beweis: Wende das Funferlemma auf das Diagramm in Satz 4.2
an und beachte, dass die Cap-Produkt-Abbildung]r fan -)
H (G;Hom(Z(G/S),A) -* H (G;Z (G/SJ8C0A)n
kdieselbe ist, wie die Abbildung H (S;A) -» H (S;C0A).
oe n k x
Dabei bezeichnet <S den verbindenden Homomorphismus
H (G,S;C8A) + H. (S;C®A) in der exakten Homologiefolge.
Im nachsten Satz zeigen wir, dass es nicht notig ist, zu
fordern, dass die beiden Sorten von natiirlichen Iso-
morphismen durch ein Cap-Produkt gegeben sind, sondern
dass es ausreicht, wenn man die Existenz von zwei Sorten
nattirlicher Isomorphismen fordert.
Satz 4.5
Es sei (G,S) ein Gruppenpaar und C ein Rechts-G-Modul.
uk: Hk(G-,A) % H. n(G;A«C«A)
v : H (G;Hom(A,A)) ^H.
.(G;C®A)n-k-l
seien zwei Familien von nattlrlichen Isomorphismen.
Dann ist (G,S) ein D -Paar.
Beweis: Wir wissen bereitsf siehe[2J), dass es ein
Element eeH .(G;C8A) gibt, so dass das Cap-Produkt mit
ke die Isomorphismen v erzeugt. Wir miissen zeigen, dass
das Cap-Produkt mit demselben Element e auch die Isomor¬
phismen bezilglich der Evaluationspaarung
COAHom(A,A) ~± C0A induziert. Sicher ist die Abbildung
(en-*) . H (G;Hom( A, ZG)) -< C8G (A0Hom( A, ZG)) ein Isomorphismus.
Wir betrachten noch den von der Evaluation herrUhrenden
-23-
G-Epimorphismus C0„(A®Hom(A,ZG)) -* C.
— i i i
Betrachtet man die Abbildung v • {\i ) ,wobei in
\i der Modul A durch Hom(A,ZG) zu ersetzen ist, so
sieht man, dass die Verkniipfung von(eo-1mit der Evaluations-
abbildung einen G-Epimorphismus C-»C liefert. Da aber nach
Satz 4.3 diese Abbildung die Multiplikation mit einer
ganzen Zahl ist, und da C torsionsfrei ist, ist diese
Abbildung ein Isomorphismus. Somit ist gezeigt, dass das
Evaluations-Cap-Produkt mit dem durch die Isomor-
phismen \i konstruierten Element e fur A=ZG einen Isomor¬
phismus produziert. Nach Lemma 2.7 gibt es einen
natiirlichen Isomorphismus $ : C®„A + H (G;Hom(A,A) ) .
Es sei nun a die Abbildung a: ZG -* A, gegeben durch
a(l)=a, a beliebig. Man hat dann ein kommutatives Diagramm
.n-1 ..
( r, _i
C®„ZG > H (G;Hom(A,ZG)) — »C8_ZG
,n-l,
!
a* a*
(ei-lC0.A r* H (G;Hom(A,A)) —>
C®„AG $n-l G
Die obere Zeile ist ±Id(C). Da a beliebig ist, ist die
untere Zeile ±Id(C®„A), und somit ist (en-) ein Isomorphismus.
Es sei nun K«-F-»A eine freie Prasentierung von A. Da C und A
torsionsfrei sind, sind die Folgen
Hom(A,K) >* Hom(A,F) -» Hom(A,A)
K8C w F®C -* A0C
exakt. Die Natiirlichkeit des Cap-Produkt mit Evaluation
ergibt ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen:
•>Hn~2(G;Hom(A,F))-vHn~2(G;Hom(A,A))-<'Hn~1(G;Hom(A,K))^Hn"1(G;Hom(A,F)'ei "> tn- I kn-* I i#i-^
r C * G * G
-*Tor^(C,F) >Tor^(C,A) -»Tor0(C,K) j- TorQ(C,F)
»
-24-
Da Hn"2(G;Hom(A,FnSExt" 2(A,9ZG) = ffiExt^"2 (A, ZG) =0
n— ? cnach Satz 3.2, folgt, dass H (G;Hom(A,A) J+Tor.^ (C,A)
ein Isomorphismus ist, und man kann das Verfahren iterieren.
Aus der Forderung, dass natUrliche Isomorphismen p existie-
ren, folgt also einerseits, dass diese y vom Cap-Produkt
mit einem Element eeH (G,S;C) induziert werden. Anderseitsn —
folgt, dass das Cap-Produkt mit Evaluation Isomorphismen
erzeugt, von denen man allerdings nicht sicher ist, ob
sie mit v iibereinstimmen. Dies ist allerdings nicht
schlimm, denn in der Definition eines D -Paares wird
nur verlangt, dass das Cap-Produkt mit e Isomorphismen
induziert.
4.5 Beispiele
1. Ist S=0 und n=l, so sind wir 1m Fall der (absoluten)
D -Gruppen. Es handelt sich dabei gerade um die
endlich erzeugten freien Gruppen(siehe I 2 J ).
2. Wir geben ein Beispiel eines Gruppenpaares (G,S), bei
dem der Augmentationskern Dualitat hat, und bei dem
auch die Gruppen G und S Dualitatsgruppen sind. Trotz-
dem handelt es sich nicht um ein Dualitatspaar(der
dualisierende Modul der Gruppe G ist ^C®A).
Es sei F=<a,b> die freie Gruppe mit zwei Erzeugenden,
und H=<a2b2> sei die von a2b2 erzeugte Untergruppe.
Dann ist (F,H) ein nicht-orientierbares PD -Paar(siehe[ 4])Betrachte nun die Untergruppe S=<a2,b2>. Sicher ist H
eine Untergruppe von S, und man hat also ein kommuta-
tives Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten:
K K
: 1
A(F,H) "* Z(F/H) * Z
A(F,S) - Z(F/S)
-25-
Es folgt sofort, dass die Abbildung A,_
_.-*A,_,„,
(i ,S) (F/H)
ein Monomorphismus ist, und da wegen der Dualitat des*
Paares (F,H) der Modul A._
„, verschwindet, hat man
* (F,H)
&tv ci=(l' Sicher verschwinden auch Ext„(A,_ _,,ZF), k>l, denn
die Gruppe F ist frei. Somit ist Bedingung 2 aus Satz
3.2 erfullt. Die Bedingung 1 ist trivialerweise erfullt,
und es bleibt also der Nachweis, dass A,_ _,keine
Z-Torsion hat. Urn dies einzusehen, betrachten wir die
von der kurzen exakten Folge IOM,„
„,-*A,__.
induzierte-i (* »H) (r ,t>) -
Folge K*»-ExtF(A(F s),ZF) - Ext^A R>
, ZF) -*Ext£(K, ZF) .
Nach Voraussetzung ist Ext_(A,_ IT.,ZF) torsionsfrei,
und somit auch der (Co)Kern L. Es bleibt also nur
zu zeigen, dass K* keine Z-Torsion hat. Dies aber ist
aus der zu K>*Z (F/H)-»Z (F/S) dualen Folge ersichtlich:
K*«-Ext^ (Z , ZF) ->Ext^ (Z , ZF) Ext,, (K, ZF) .
o n r
Da S eine freie endlich erzeugte Gruppe ist, ist sie
nach Beispiel 1 eine absolute D -Gruppe, und der duali-
sierende Modul Ext (Z,ZS) ist sogar Z-frei(siehe [ n ]).1 ~ 1 ~ 1
Wegen Ext^(Z,ZF) = Ext^(Z,9ZS) = e Ext^(Z,ZS)
ist auch Ext (Z,ZF) frei als Abelsche Gruppe, und somit
auch die Untergruppe K*.
Damit sind alle Bedingungen von Satz 3.2 fiir Dualitat
2erfullt. Trotzdem ist das Paar (F,S) kein D -Paar,
wie wir spSter aus unserem Hauptresultat dieser Arbeit
ersehen werden.
4.6 Im folgenden betrachten wir D -Paare, bei denen die
Familie S aus mehr als einer Untergruppe besteht. S lasst
sich also schreiben als disjunkte Vereinigung S=Sa/S_,
wobei S.^^S-. Man hat also zwei Augmentationsfolgen
Ax >» Z(G/Sj) -» Z und A2 « Z(G/S_2) -» Z
Das folgende Diagramm ist dann kommutativ:
(
-26-
A1©A2-> ztG/s^j&zcG/s^ *zez
-> Z(G/S) *Z
Die zugehorige Kern-Cokern-Sequenz lautet:
A.®A-s—» A -»Z
Der verbindende Homomorphismus tt ist dabei gegeben durch:
tt:(E zn . x, .
S.,Z z_. x_. S_,...,r z .x
.S )•• IE z.,
xl lxl lxl * x2 2l2 2l2 2 xn nln nin n ]1j ]1jDabei lauft der Index j liber die Indexmenge, welche
die Teilfamilie S beschreibt.
Wendet man auf das obige Diagramm den Funktor Ext*(-,ZG)
an, so ergibt sich das kommutative Diagramm
(G.S^ZG) 61 —* H^CGjZG^V-^S.fZG)—»Hn(G,S.;Z
(G,S ;ZG)©Hn-1(G,S ;ZG) * Hn_1(G;ZG) - h" (G, S ; ZG)-^h" (G, S ; ZG) ®H
S2 Y
Die obere Zeile ist die ubliche von A.-w-Z (G/S )-*Z
induzierte Folge. a und 5 sind die komponenten-
weisen Einbettungen. Betrachtet man die 3 Abbildungen
u: A-> »Z(G/S) "Einbettung"
v: Z(G/S) »Z(G/S ) Projektion
e: Z(G/S )—*Z Augmentationsabbildung
so ISsst sich ii schreiben als u=evu. Die Abbildung B
in obigem Diagramm ist induziert von der Abbildung vu.
6.. und 6. sind die iiblichen verbindenden Homomorphismen.
-27-
Wir zeigen nun, dass y=w* surjektiv ist.y ist durch tr
induziert in C®A®„Hom(Z,ZG) =» C8A®„Hom(A,ZG)G \J
c®<5® A i >c®6® Air ,wobei A(l)=e
Nun ist aber C®A®Hom(A,ZG)SC via die Evaluationsabbildung
(siehe Beweis von Satz 4.5). Also gilt:
y: c®5®A>-»c®6®Aiti-^>- c- Air (6)=cir (<$)
Da tt surjektiv ist, ist auch y surjektiv.
Daraus aber folgt, dass sowohl Hn(G,£ ;ZG) und Hn(G,S ;ZG)
verschwinden. Aus der kurzen exakten Folge A.SA^A-feZliest man sofort ab, dass A. und A. vom Typ (FP) sind.
Dies bedeutet, dass Hn(G,S ;A) und Hn(G,^ ;A) fur alle
freien Moduln A verschwinden. Da sicher pdA.<n fur 1=1,2 ,
sind H (G,!3 ;-) und H (G,S.;-) rechtsexakte Funktoren,
und es ist Hn(G,S ;A) und Hn(G,S2;A)=0 fur alle A.
Wir haben somit folgenden Satz bewiesen:
Satz 4.6
Es sei S=S_.US_ eine disjunkte Vereinigung mit nichtleeren
Teilfamilien S und S .Ist (G,SJ ein D -Paar, so sind
cd(G,S.)<n und cd(G,S,)<n.
Korollar 4.7
Bei einem D -Paar (G,S), bei dem S aus mehr als einer
Untergruppe besteht, ist fur jedes SeS_ und fur jeden
G-Modul A die Restriktionsabbildung Hn_1 (G;A)-*Hn~ (S,A)
surjektiv.
Satz 4.8
Ist bei einem D -Paar (G,S), bei dem S mehr als eine
Untergruppe enthalt, Hn~ (G,T!ZG)=0 fur eine nichtleere
Teilfamilie TcS, so handelt es sich um das Paar (G,{G,G}).
>
-28-
Beweis: Betrachte wiederum das Diagramm, das im Beweis
von Satz 4.6 verweadet wurde. Wahle S=T Und S =SVT.
n —1 *
1st H (G,S_;ZG)*0, so ist a ein G-Isomorphismus und
nach dem Fiinferlemma ist auch B ein G-Isomorphismus:
B: «C®„ ZG -^*C,d.h. &E®Honu(C80 ZG,C)=©Hom„ (C,C)
b, ,
U b. b
.
11 11 1
i 13uft dabei uber die Teilmenge der Indexmenge von S, welche
S beschreibt. Fur jedes S. ist aber Horn (C,C)3£Z.J. 1 b
,
1
Der Isomorphismus A:Hom_ (C,C)+Hom_(C®„ ZG,C) ist aufb
. U b.
1 1
jeder Komponente gegeben durch X(k):c®x(—» k(c)*x. Verwen-
det man noch den Isomorphismus C8Z(G/S.) —=^* C® ZG aus
i
Lemma 1.1, so folgt: c®xS. •— zc (z fest). Die obige
Abbildung $ kann also nur ein Monomorphismus sein, wenn
die Teilfamilie S_ aus einer einzigen Kopie von G besteht.
Es ist dann Hn~ (G,S ;ZG)=0 (da A1=0); schreibt man das
obige Diagramm mit vertauschten Indizes, so folgt, dass
^ ={G}. Somit lasst sich Satz 4.6 wie folgt verscharfen:
Satz 4.9
Es sei S=S,VJ^2 eine disjunkte Vereinigung mit S.-.?0?Sj-Ist (G,Si) ein D -Paar
,so handelt es sich entweder um
das Paar (G,{G,G}) Oder es ist cd(G,S )=cd(G,S )=n-l.
Satz 4.10
Es sei S=S-\JS2 eine disjunkte Vereinigung mit £>-,^0^£;und es handle sich nicht um das.Paar (G,{G,G}). Ist
(G,S) ein D -Paar, so haben die Moduln A., und A beide
Dualitat in der Dimension n-2.
Beweis: Betrachte die kurze exakte Folge A ©A"-A-*>Z, in
der die beiden rechten Moduln Dualitat in der Dimension
n-1 haben und verwende Satz 4.9. Aus der langen exakten
-29-
Cohomologiefolge liest man sofort ab, dass Ext_(An,ZG)=01
und Ext^(Ao,ZG)=0 fur i?«n-2, und dass weder Ext"- (A,,ZG)V3 A » 1
noch Ext„ (A.,ZG) Z-Torsion haben. Das Resultat folgt
dann aus Satz 3.2.
4.7 Es stellt sich jetzt die Frage, welches die zu A. und A.
dualisierenden Moduln in der in Satz 4.10 beschriebenen
Situation sind. Urn diese Frage zu beantworten, betrachten
wir wieder die exakte Folge A.9A_»A-»Z. Die lange
exakte Cohomologiefolge mit Koeffizienten ZG lautet
Ext^"2(A1©A2,ZG)» Extg-1(Z,ZG)^*Extg-1 (A,ZG)
I IC0A > C
Dabei ist, wie im vorigen Abschnitt gezeigt wurde,
tt4 die Abbildung 1®tt:C®A-»-C®Z
Somit ist klar, dass Ext""2 (An®A-,ZG) = C®(A.ffiA-).\j 1 z 1 2.
Genaueres sagt der folgende Satz:
Satz 4.11
In der oben beschriebenen Situation gilt:
Extg~2(A1,ZG) = C0A2 , Extg~2(A2,ZG) = CSAj^
Beweis: Betrachte die Abbildung <j>: A+Z (G/S^ ) ,welche
als Zusaimnensetzung der Abbildungen u:A-*Z(G/S) und
v: Z (G/S)->-Z(G/S..) zustandekommt (siehe Abschnitt 4.6).
Man Uberlegt sich leicht, dass i> ein Epimorphismus ist.
Hat man nSmlich ein Element (a,-) eZ (G/S) =Z (G/S.JfflZ (G/£5 ) ,
so lasst sich die zweite Komponente immer so erganzen,
dass die Koeffizientensumme aller auftrenden z. verschwindet.
Das aber bedeutet gerade, dass das Element in A liegt.
Wir bestimmen nun den Kern der Abbildung vu. Dies sind
offensichtlich genau diejenigen Elemente (0,b)eZ(G/S) ,
bei denen die Koeffizientensumme aller (in b) auftretenden
z. verschwindet; das aber heisst gerade, dass das Element
zu A_ gehort. Man hat also eine kurze exakte Folge
-30-
A^A^ZtG/^) (1)
und naturlich auch(durch Vertauschen der Indizes)
A^A-«(G/S2) (2)
In beiden Folgen haben die beiden rechts stehenden Moduln
Dualitat in der Dimension n-1, und die zu (1) gehorige
lange exakte Cohomologiefolge lautet:
Extg"2(A ,ZG)^Extg_1(Z,ZG)4*Extg-1(A,ZG)-1, I
C0Z(G/S ) -h C
Wiederum ist aus dem im Beweis von Satz-4.6 verwendeten
Diagramm ersichtlich, dass <)>* gerade die Abbildung
l®e: C8Z(G/S )-v C8Z ist. Somit ist der Kern
Extg"2(A1#ZG) = C0A2.
Lemma 4.12
In der obigen Situation gilt: Hom_(A ,A,)=Hom„(A_,A_)
rG 1 1 C I I
Beweis: HomG (A^_, A^ sTor^_2 (C0A2 , Aj_) =Tor£_2 (C0A1, A2) £HomG (A2 , A2)Dabei wurde zuerst die Dualitat von A. ausgeniitzt, dann
die von A_.
4.8 Ein Erweiterungssatz
Es sei (G,SJ) ein Gruppenpaar mit S={S. |iel}, und H sei
eine Untergruppe von G. Fur jedes i«I wahlen wir ein
System X von Doppel-Nebenklassen-Repr3sentanten von
H^G^S. ; wir betrachten die Familie von Untergruppen von H:
HnSX = {Hflx.S.x71|x.eX,,iel}V
Bis auf Konjugation in H hSngt HAS nicht von der Wahl
von X={X.|iei} ab. Wir betrachten nun die folgende
Abbildung $ : Z (G/S)-»Z (H/HrtSX) :
-31-
d> (xS )=h(HOS ), wobei xtG und h£H, xeX , s^S sodass
x=hxs. Man verifiziert, dass dadurch ein wohldefinierter
H-Isomorphismus gegeben ist, der auch mit den Augmentati-
onen vertraglich ist. Somit gilt:
Lemma 4.13 (siehe [4 j )
Es sei Sf$. Dann gibt es einen H-Isomorphismus zwischen
A(G,S) Und A(H,HnSX)-Lemma 4.14 (siehe I 4 ])
Ist in obiger Situation H von endlicher" Index in Gr so
hat man naturliche H-Isomorphismen
Hk(G,S;ZG) = Hk(H,HOSX;ZH) fur alle keZ.
Satz 4.15
Es sei (G,S_) em Gruppenpaar, und es sei H erne Unter-
gruppe von endlichem Index in G. Ist (G,SJ ein D -Paar,
X nso ist auch (H,H0S > em D -Paar. Die dualisierenden
Moduln smd H-isomorph.
Beweis: Wegen Lemma 4.13 gilt:
Tor"(UZH,A)S>ror£(1!ZH®HZG,A)STor£(1IZG,A) fur alle keZ.
Daraus folgt nach [ 1, dass A als G-Modul genau dann vom
Typ (FP) ist, wenn er es als H-Modul ist. Wegen Lemma
4.14 ist Ext„(A,ZG)=0=Ext„(A,ZH) fur k^n-1 und
n-1 n-1Ext_ (A,ZG)sExt„ (A,ZH) ist Z-torsionsfrei. Dass die
projektiven Dimensionen von A als H-Modul und als
G-Modul ubereinstimmen ist klar. Somit ist der H-Modul A
vom Typ (FP) und hat nach Satz 3.2 Dualitat. Es
gibt also naturliche Isomorphismen
vk: Hk(H;Hom(A,A)) *H, (H;C®A) fur alle H-Moduln A.
n—K 1
Ersetzt man in der obigen Argumentation den Modul A
durch Z, so fmdet man, dass der triviale H-Modul Z
-32-
Dualitat in der nunension n-1 hat und dass es natiirliche
Isomorphismen pk:Hk(H;A)+H (H;C®A8A) fUr allen—K J.
y
H-Moduln A gibt. Satz 4.5 sagt nun, dass (H,HflS )
ein D -Paar ist.
Bemerkung: Man hat dabei beniitzt, dass bei einer absoluten
D -Gruppe G und einer Untergruppe H von endlichem
Index die dualisierenden Moduln H-isomorph sind. Die
entsprechende relative Aussage wird von Lemma 4.14
geliefert.
4. 9 Beispiele:
1. Es sei G eine D -Gruppe. Betrachte das D -Paar (G,{G,G}).
H sei eine Untergruppe vom Index 2 in G. Die Doppel¬
klassenzerlegung liefert nur die eine Klasse G(fiir beide
Untergruppen). Es entstehen also zwei Untergruppen
HOG=H. Der Erweiterungssatz 4.15 liefert also das
Dn-Paar (H,{H,H}).
2. Es sei G eine D -Gruppe, und S sei eine Untergruppe
vom Index 2 in G. Betrachte das D -Paar (G,S). Es sei
P-»Z eine endliche G-Aufl6sung von Z; dann ist P8Z-*?
eine endliche G-Auflosung von A=Z und man sieht sofort,
dass A Dualitat hat und dass es sich bei (G,S) wirklich
um ein D -Paar handelt. Die Doppelklassenzerlegung HnG'S,
wobei H irgendeine Untergruppe von endlichem Index in G
ist, fallt zusammen mit der Zerlegung HSx. Es gibt zwei
Moglichkeiten:
a) H ist eine Untergruppe von S. Dann ist das vom
Erweiterungssatz gelieferte Paar (H,{H,H}).
b) H liegt nicht in S. Dann ist das erweiterte Paar
(H,H<1S). Es ist klar, dass H/IS in H Index 2 hat.
-33-
Bemerkung: In Beispiel 2 ist A=Z mit nichttrivialer G-Operation.
Es sind genau die Elemente von S, welche auf A trivial operie-
ren. Die H-Operation des Paares (H,{H,H}) auf A ist aber
trivial. Dies ist kein Widerspruch, denn in Lemma 4.13
wird lediglich ein H-Isomorphismus konstruiert, und da H^s,
operiert H tatsachlich trivial auf A.
-34-
III. D2-PAARE
In[ 43behandeln Bieri und Eckmann ausfiihrlich den Fall der
2PD -Paare. Insbesondere erhalten sie das Resultat, dass ein
2Paar (G,SI) mit S/0 genau dann ein PD -Paar ist, wenn G eine
endlich erzeugte frei/ Gruppe ist und wenn S^ eine endliche
Familie zyklischer Untergruppen von G ist, derart dass
H1G,S3;ZG) unendlich zyklisch ist.
Wir werden in diesem Abschnitt beweisen, dass mit diesem
2Kriterium sogar bis auf einige triviale Falle alle D -
Paare erfasst werden.
5. D -Paare sind leicht vollstandig aufzuzahlen. Falls
S=0, ist G eine absolute D -Gruppe und somit eine freie
endlich erzeugte Gruppe. Ist S/0, so ist cdG=0 und G=l
und S={l,l}.Es handelt sich bei diesem einzig moglichen
Paar trivialerweise um ein PD -Paar.
26. D -Paare
2 16.1 Bei einem D -Paar mit Sf$ ist G eine absolute D -Gruppe,
und somit ist G endlich erzeugt frei. Ueber solche Gruppen
weiss man relativ viel, was uns ermoglichen wird, die
2D -Paare mit S/0 vollstandig zu beschreiben.
26.2 Zuerst betrachten wir D -Paare (G,£>) ,
bei denen die
Untergruppenfamilie £ mehr als eine Untergruppe enthalt.
2Nach Korollar 4.7 ist bei solchen D -Paaren die
Restriktionsabbildung H (G;A)-*H (S;A) fur alle SeS
und fiir alle G-Moduln A surjektiv. Dies hat aber sehr
weit gehende Konsequenzen.
Satz 6.1(siehe [6,12"] )
Ist fiir eine Untergruppe S einer Gruppe G und fur alle
G-Moduln A die Restriktionsabbildung H1 (G;A) -"-H1 (S;A)
surjektiv, so ist S ein freier Faktor in G.
-35-
Korollar 6.2
2Bei einem D -Paar (G,SJ, bei dem S^ mehr als eine Unter-
gruppe enthalt, ist jedes SeS freier Faktor in G.
Bemerkung: Wir werden aufgrund der bisherigen Erkennt-
2nisse D -Paare mit (F,S) bezeichnen.
6.3 Aus Satz 4.4 wissen wir bereits, dass die Familie S^ endlich
sein muss. In L 4 Jwird gezeigt, dass fur PD -Paare (F,SJ
die Ungleichung m«n+l besteht, wobei m die Anzahl der in
S auftretenden Untergruppen und n den Rang der Gruppe F
bezeichnen. Wir werden diese Ungleichung auf den Fall
2beliebiger D -Paare verallgemeinern.
2Es sei (F,S) ein D -Paar mit mehr als einer Untergruppe.
S sei eine beliebig herausgegriffene Untergruppe von S,
und es sei S ={S} und S =S_^{S}. Die kurze exakte
Augmentationsfolge A »*Z (F/S )-»Z gibt bei Anwendung des
Funktors Hom„(-,Z) Anlass zur exakten Folge
Z^HomF(A2,Z)^Fab^(Sk)abDabei wurde beriicksichtigt, dass nach Satz 4.6 die projek-
tive Dimension von A- Null ist. Ist nun n der Rang der
freien Gruppe F, so liest man aus der obigen Folge sofort ab,
dass die Summe der Range aller in S^ auftretenden Unter¬
gruppen kleiner oder gleich n ist. Wenn man annimmt, dass
S die Untergruppe mit dem kleinsten Rang ist, so folgt
die Ungleichung I(rg S.) ^ n+min{rg S, )
i1
kk
Satz 6.3
2Bei einem D -Paar (F,S) mit mehr als einer Untergruppe
gilt die Rangungleichung
I(rg S.) < n+min(rg S. )
l k
l
-36-
Korollar 6.4
2Im PD- Fall mit m>l Ontergruppen, lautet die Ungleichung
von Satz 6.3 m<n+l, in Ueberieinstimmung mit der
Ungleichung in Proposition 11.1 in [4 J.
6.4 Auf den ersten Blick scheint es, als sei die Situation
2bei einem D -Paar mit nur einer Untergruppe S viel kompli-
zierter. Auf jeden Fall ist S kein freier Faktor in F.
Wir zeigen, dass dies aber "fast" der Fall ist. Lemma 3.10
in [^ jbesagt namlich folgendes:
Lemma 6.5
F sei eine freie Gruppe und S eine endlich erzeugte Unter¬
gruppe von F. Dann ist S freier Faktor einer Untergruppe
H von F, welche in F endlichen Index hat.
Bemerkung: Da H in F endlichen Index hat, ist H eine freie
Gruppe, deren dualisierender Modul H-isomorph zum duali-
sierenden Modul von F ist(in unseren Anwendungen dieses
Lemmas ist F ebenfalls endlich erzeugt).
6.5 Wir kommen mit diesen Erkenntnissen nochmals zuriick auf
2den Erweiterungssatz 4.15
. Es sei (F,S) ein D -Paar mit
mehr als einer Untergruppe, und H sei eine Untergruppe
von endlichem Index in F. Betrachte das durch Erweiterung
entstehende Paar (H,HflS ). Offensichtlich folgt aus
der Tatsache, dass S ein freier Faktor in F ist, dass
Y
Hf)£> ein freier Faktor in H ist. Dieser Satz gilt sogar
allgemeiner ohne Endlichkeitsvoraussetzungen:
Satz 6.6 f 10 "\
Es sei S ein freier Faktor der freien Gruppe F und H eine
beliebige Untergruppe von F. Dann ist SDH ein freier
Faktor von H.
-37-
26.6 Der Satz 4.9 sagt, dass bei einem D -Paar mit mehr als
einer Untergruppe die Augmentationskerne A und A„
projektiv sind(fails es sich nicht um das Paar (F,{F,F>)
handelt). Dies wollen wir beniltzen, um eine explizite Auf-
losung von A anzugeben. Dazu betrachten wir das folgende
kommutative Diagramm:
IF ... IF
I" IjA,©Aj- >A,®A-ffiZF »ZF1 2>
*12
I I P
A1eA2^_^ *A *Z
Aus diesem Diagramm liest man die projektive Auflosung
f ftIF> *A ©A ©ZF »A
heraus. Kurzen wir A.©A. mit P ab, so kann man schreiben:
IF >—I ?.P©ZF -- 3A (*)
Dabei gilt: y(a)=(-a(a),j(a))
6(p,0)=i(p) ; 6(0,b)=o(b)
a bezeichnet dabei die Abbildung, die das untenstehende
Diagramm konunutativ macht:
Man kann einen solchen Homomorphismus explizit angeben.
Dazu muss man beachten, dass die Elemente von A die
Form haben:
( I z., xli,S,, I z„. x_. S_,..., Y, z . x .S ) mit Zl z.. =
li, 1 1.
2i- 2i_ 2' m m n ..31.
i,l i-2 2 inn ji .
J
j1 2 n j
»
-38-
Definiere nun a(l)-=(Slf-S2,0,0,...,0)Dadurch wird das Diagramm kommutativ.
Die duale Folge der Auflosung des Augmentationskernes A
eines D -Paares (F,S) ,bei dem S mehr als eine Untergruppe
enthalt, ist eine endliche Auflosung des dualisierenden
Moduln C des Gruppenpaares:
p*ezF^—r* ®zf *cY*
Nach Abschnitt 4.7 gilt aber P* = P0C. Es muss also P8C,
versehen mit diagonaler F-Operation, endlich erzeugt sein.
Dies ist sicher dann der Fall, wenn P=0; dies fuhrt auf '
die Situation A.=A2=0, d.h. man hat das Paar (F,{F,F}).
Die Auflosung (*) fallt dann mit der Folge IF**ZF-»Z£A
zusammen. Die Frage lautet nun, ob es moglich ist, dass
P8C endlich erzeugt ist, ohne dass P verschwindet. Der
folgende Satz von Bass hilft hier weiter.
6 . 7 Satz 6.7 f^]Es sei F eine freie Gruppe. Dann sind die endlich erzeug-
ten projektiven ZF-Moduln frei.
Satz 6.8
2Ein D -Paar (F,S) mit mehr als emer Untergruppe ist
2entweder das Paar (F,{F,F}) oder es ist ein PD -Paar.
Beweis; Aus den Ueberlegungen in Abschnitt 6.6 folgt, dass
der Modul P8C mit diagonaler F-Operation endlich erzeugt
sein muss. Ist P=0, so fuhrt dies auf (F,{F,F}).1st P/0,
so lasst sich P nach Satz 6.7 schreiben als direkte
Summe P=®ZF mit endlich vielen Summanden und P8C somit
als P0C = 9(C0ZF). Da aber C8ZF mit diagonaler Operation
zu C 8ZF isomorph ist, folgt sofort, dass P®C genau
dann endlich erzeugt ist, wenn C als Abelsche Gruppe
endlich erzeugt ist. Nach dem Satz von Farrell folgt,
da C dualisierender Modul jeder Untergruppe Sej> ist,
dass C unendlich zyklisch ist(siehe Bemerkung zu Satz 3.9).
-39-
Wir behandeln nun dos etwas heikleren Fall der D -Paare
(F,j3), bei denen S aus genau einer Untergruppe besteht.
Fiir ein solches Paar schreiben wir kurz (F,S) .
Satz 6.9
2Ein D -Paar (F,S) mit genau einer Untergruppe S ist ent-
2weder ein PD -Paar, Oder S hat Index 2 in F.
Beweis: Nach Lemma 6.5 gibt es eine Untergruppe H von
endlichem Index in F, in welcher S ein freier Faktor
ist. Wir wenden auf diese Situation den Erweiterungs-
satz 4.15 an. Dazu mussen wir die Doppelklassenzerlegung
H^F^S betrachten. Da HS=H#F, enthalt sie mehr als eine
2Klasse. Der Erweiterungssatz liefert also ein D -Paar
mit mehr als einer Untergruppe, nach Satz 6.8 also ein
2PD -Paar oder das Paar (H,iH,H}). Da bei dieser Erweite-
rung die dualisierenden Moduln H-isomorph sind, sind
2 2die D -Paare (F,S), welche bei der Erweiterung auf PD -
2Paare ftihren, selbst PD -Paare. Da bei der Erweiterung
aber auch die Augmentationskerne A H-isomorph sind,2
haben die D -Paare (F,S), welche auf (H,{H,H>) ftihren,
auch unendlich zyklischen Augmentationskern A. Eine
Augmentationsfolge Z"-Z(F/S)-»Z ist aber nur moglich, wenn
S in G Index 2 hat.
Beim Beweis von Satz 6.8 resp 6.9 wurde wesentlich
verwendet, dass iiber dem Gruppenring ZF einer freien
Gruppe die endlich erzeugten projektiven Moduln
frei sind. Wir geben nun noch einen Beweis unseres
Hauptresultates, der diese Eigenschaft nicht beniitzt.
Dabei stutzten wir uns auf ein Resultat von Wall(siehef1
-40-
Satz 6.10
Es sei (G,S) ein Gruppenpaar, dessen Augmentationskern A
projektiv ist. Dann ist (bis auf Konjugation) G das
freie Produkt aller S. und einer freien Gruppe. Dabei
wird G als endlich erzeugt vorausgesetzt.
2Wir betrachten nun ein D -Paar (F,S), bei dem die
Familie S aus mindestens 3 Untergruppen besteht:
S={S ,S ,S ,S ,...,S,}, k>2. Es bezeichne S' die Teil-
familie S'={S ,S ,S ,...,S }. Nach Satz 4.9 erfullt das
Paar (F,S/) die Voraussetzungen von Satz 6.10, und es
gibt somit eine freie Gruppe F', so dass
F = S2*(S3*...*Sk*F')Betrachte nun das kommutative Diagramm
A , Z(F/S ) »Z
I \\A->-Z(F/S3*S4*. . .*F')+Z
n
Dabei ist y die Abbildung y: fS i—» f(S *S *...*F').
Es ist klar, dass y ein F-Epimorphismus ist. Durch y
wird ein Epimorphismus yx A —*A induziert. Da nach Satz
4.10 der Modul A,®C endlich erzeugt ist, ist auch A8C
endlich erzeugt. Das freie Produkt F=S_*(S,*...*S, *F')
gibt Anlass zur kurzen exakten Folge
ZF«-Z(F/S2)eZ(F/S3*. . .*F')-*Z
Das folgende Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten ist
kommutativ:
IF A.9A
T 2rZF? Z(F/S,)»Z(F/S,*.
. .*F')- *Z
12
I3
iiZ > 7 Z9Z — » Z
-41-
Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass IF ^ A_®A .
Aus dem oben Gesagten folgt also, dass der Modul
IF8C = A_®C®A®C als E1-Modul endlich erzeugt ist;
da aber der dualisierende Modul C endlich prasentiert
ist, folgt mit dem Shanuel-Lemma, dass in der
Prasentierung C®IF»C®ZF-»C auch der Modul CSZF endlich
erzeugt ist. Dies ist aber nur moglich, wenn C als Abelsche
Gruppe endlich erzeugt ist, und da C ein dualisierender
Modul(z.B. von S_) ist, folgt nach dem Resultat von
Farrell(siehe Bemerkung zu Satz 3.9), dass C unendlich
2zyklisch ist. Wir haben also bewiesen, dass ein D -Paar
2mit mindestens 3 Untergruppen ein PD -Paar ist.
2Es sei nun (F,S_) ein D -Paar mit genau 2 Untergruppen S
und S,und es sei S.^F fiir i=l,2(andernfalls erhalt man
das Paar (F,{F,F})). Da S ein freier Faktor in F ist,
gibt es Erzeugende {x ,x„ , ... ,x, ,x , . . .x } fiir F,
so dass S von {x:,x_,...x, } erzeugt wird. Es sei nun
S' die von {x.,x2,...,x _.} erzeugte freie Gruppe(wir
haben k<n vorausgesetzt), und S" sei die Untergruppe
2{x } = 2Z von F. Der von S'*S" erzeugte Normalteiler H
hat Index 2 in F und es ist S ch. Wir wenden nun auf das
2D -Paar (F,{S^ ,S~}) und auf den Normalteiler H den
Erweiterungssatz 4.15 an. In der Doppelklassenzer-
legung H>G-S, hat man wegen HS=H sicher mindestens zwei
2Klassen, und die Erweiterung liefert somit ein D -Paar
2mit mindestens drei Untergruppen, also ein PD -Paar.
2Der Uebergang zu D -Paaren mit genau einer Untergruppe
erfolgt wie bei Satz 6.9.
^
-42-
Die bisherigen Resultate kann man wie folgt zusammenfassen:
Satz. 6.11
2Bei einem D -Paar (G,S) mit Sf0 ist mindestens einer der
Moduln A und C unendlich zyklisch als Abelsche Gruppe.
Falls A unendlich zyklisch ist, so gilt naturlich, dass
Hom„(A,A)=Z. Ist C unendlich zyklisch, so folgt mit Lemma 3.11,
dass Hom„ (A, A) =Hoiru (C,C) ,und es gilt also auch in diesem Fall,
G o
dass Hom„(A,A)=Z.
6.9 Bemerkungen
Satz 6.11 gilt in dieser Formulierung auch fur D -Paare.
Es stellt sich naturlich die Frage, ob der Satz auch auf hohere
Dimensionen iibertragen werden kann. Insbesondere muss man sich
fragen, ob es uberhaupt moglich ist, dass ein Tensorprodukt C®A
als G-Modul endlich erzeugt ist, ohne dass einer der Moduln
C und A als Abelsche Gruppe endlich erzeugt ist.
2Satz 6.11 enthalt die Aussage, dass bei einem D -Paar (F,S)
alle in S^ auftretenden Untergruppen zueinander isomorph sind.
Gilt dieses Resultat auch in hoheren Dimensionen?
2Abschliessend kann man sagen, dass D -Paare (F,S) mit Sf0
nun vollstandig bekannt sind. Nach einem Resultat von Eckmann und
Miiller [7] sind namlich alle PD -Paare geometrlsch(im Sinne
von j^4^ ) ,und die D -Paare, die keine PD -Paare sind, kennen
wir nun auch vollstandig.
f
Literatur:
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Journal of Algebra,1(1964),p.367-373
[2] R. Bieri, Homological dimension of discrete groups.
Queen Mary College Math. Notes, London 1976
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Comment.Math.Helv.49(1974)p.460-478
[4] R. Bieri,B.Eckmann, Relative homology and Poincare duality
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13(1978),p.277-319
[s\ K.S.Brown, Homological criteria for finiteness. Comment—Math..
Helv.50(1975),p.417-419
[6] D.Cohen, Groups of cohomological dimension one,
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[7] B.Eckmann,H.Muller, PoincarS duality groups of dimension two.
Comment.Math.Helv.(to appear)
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Comment.Math.Helv.50(1975),p.650-665
[9] R.Lyndon, P. Schupp, Combinatorial group theory.
Springer,Ergebnisse der Mathematik und ihrer
Grenzgebiete,89
[10] W.Magnus,A.Karrass,D.Solitar, Combinatorial group theory,
Dover New York
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Diss ETH 6033
[l2] R.Swan, Groups of cohomolical dimension one.
Journal of Algebra 12(1969),p.585-610
tl3} C.T.C.Wall, Pairs of relative cohomological dimension one.
Journal of pure and applied Algebra 1(1971),p.141-154
Lebenslauf
Am 31. Juli 1951 wurde ich in Aarau geboren. Wahrend
5 Jahren besuchte ich in Lenzburg die Primarschule und
anschliessend wahrend 4 Jahren die Bezirksschule. Im Jahre
1970 erwarb ich an der Kantonsschule Aarau die Maturitat
Typus C. Im gleichen Jahr begann ich das Mathematikstudium
an der ETH Zurich; im Herbst 1974 erwarb ich das Diplom
fiir Mathematik. Wahrend einiger Jahre war ich als Assistent
bei den Herren Professoren C. Blatter, A. Huber, M. Knus,
H. Lauchli, G. Mislin und U. Stammbach tatig. Seit dem
Herbst 1980 bin ich Hauptlehrer fiir Mathematik an der
Aargauischen Kantonsschule in Baden.