Editörler:Erhan Bingölbali

Mehmet Fatih Özmantar

MATEMATİKSELZORLUKLAR VE

ÇÖZÜM ÖNERİLERİ

İLKÖĞRETİMDE KARŞILAŞILAN

4. Baskı

vii

TE EKKÜR

Bu kitap bir y l süren titiz bir çal man n neticesinde ve birçok ki inin katk -lar yla ortaya ç km t r. Bunlar aras nda bölüm yazar arkada lar m za, bölüm yaz mlar nda gösterdikleri yüksek performans, bu süreçte sergiledikleri profesyo-nel tutum ve di er bölümler için yapt klar hakemliklerden dolay öncelikle te-ekkür etmek isteriz. Alan nda uzman ve profesyonel böylesi bir ekip ile çal mak

bizim için büyük bir keyif oldu. Öte yandan kitapta yer alan birçok bölümü oku-yarak çe itli tavsiye ve önemli katk larda bulunan de erli ö retim üyesi arkada -lar m z Yrd. Doç. Dr. Ali BOZKURT ve Yrd. Doç. Dr. Recep B NDAK’a da yar-d mlar ndan dolay te ekkür ederiz. Ar . Gör. Ökke ESENDEM R’e ise bölümle-rin dizgiye haz rl s ras nda sa lad yard mlardan dolay te ekkür ederiz. Son olarak bu kitab n bas m n gerçekle tiren PEGEM AKADEM yay nevine de gös-termi olduklar yak n i birli i ve profesyonellikten dolay te ekkür ederiz.

Erhan B NGÖLBAL

Mehmet Fatih ÖZMANTAR

ix

ÖNSÖZ

Ö rencilerin kar la t klar matematiksel zorluklar ve sahip olduklar kavram yan lg lar uzun bir süredir de i ik ülkelerdeki matematik e itimcilerinin ilgi oda-

n olu turmu tur. Bu ara t rmac lar ö rencilerin matematiksel zorluklar n belir-leme, anlama, anlamland rma ve sebeplerini ortaya koyma yönünde birçok çal ma yapm lard r. Bununla birlikte, matematik ö reniminde kar la lan zor-luklar n a lmas yönünde de önemli u ra lar verilmi tir. Yap lan bu ara t rma-larla de i ik seviyelerdeki ö rencilerin matemati in birçok kavram na dair ne tür ö renme güçlükleri ile kar la t klar , sahip olduklar kavram yan lg lar n n do a-s n n ne oldu u ve bu yan lg lar n a lmas için nelerin yap labilece i ile ilgili kapsaml bir ngilizce literatür olu mu tur. Birçok ülkede matematik ö renimi ve ö retimi konusunda derin etkiler olu turan bu literatürün, dilimize kazand r lma-s n n önemine olan inanc m z bu kitap çal mas n n ortaya ç kmas na yol açm -t r.

Bu kitap çal mas , daha önce haz rlad m z “Matematiksel Kavram Yan l-g lar ve Çözüm Önerileri” adl kitap çal mas n n devam niteli indedir. Daha önceki çal ma ortaö retim seviyesindeki kavramlar üzerine yo unla rken, bu çal mada ilkö retim seviyesinde ö retilen kavramlar ele al nm t r. Fakat bu kitap çal mas bir çeviri mant ndan çok yap lan ara t rmalar n bulgu ve sonuç-lar n n incelenmesi ve sentezlenmesi sonucu ortaya ç km t r. lkö retim seviye-sinde ö retilmekte olan matematik konular aras ndan seçilen kavramlar hakk n-da yap lan çal malar, kendi alanlar nda uzman ve tecrübeli ara t rmac lar tara-f ndan titizlikle incelenmi ve bu kavramlara dair literatürde rapor edilen ö renci zorluklar ve kavram yan lg lar ortaya konulmu tur. Bu kapsamda, ele al nan kavramlara dair ö rencilerin sergiledikleri alg biçimleri, bu alg lar n niçin bir yan lg ya da zorluk olu turdu u tart lm , söz konusu zorluklar n daha rahat anla lmas için örnekler sunulmu ve bu zorluklar ortaya ç karan nedenler irde-lenmi tir. Belirtilen zorluklar n ve kavram yan lg lar n n a lmas na dönük her bölümde bir tak m önerilere ayr ca yer verilmi tir.

“ lkö retimde Kar la lan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri” adl bu kitap çal mas yla Türkçe matematik e itimi literatürüne katk da bulunmak amaçlanm t r. Böylesi bir çal ma ile matematik e itimcilerinin, halen hizmet vermekte olan matematik ö retmenlerinin ve ö retmen adaylar n n faydalanabi-lece i bir eser olu turarak, daha etkin bir matematik ö retiminin gerçekle mesi-ne katk da bulunmu olmay ümit etmekteyiz.

Erhan B NGÖLBAL ve Mehmet Fatih ÖZMANTAR

Eylül 2009, Gaziantep

x

K NC BASKI Ç N ÖNSÖZ

“ lkö retimde kar la lan matematiksel zorluklar ve çözüm önerileri” isimli kitap çal mam z n ikinci bas m nda siz de erli okuyucular m zla yeniden bulu -man n mutlulu unu ya amaktay z. lk bask s n n bir y ldan daha k sa bir sürede tükenerek, ikinci bask s n n yap lmas böylesi bir kitaba olan ihtiyac n bir göster-gesi oldu u dü üncesindeyiz. Özellikle ilkö retim seviyesinde çe itli matematik-sel kavramlar n ö renilmesinde s kl kla kar la lan zorluklar konu edinen bu çal ma, matematik e itimi alan nda akademik çal ma yapan ve konunun daha çok teorik boyutuyla ilgilenen ara t rmac lara oldu u kadar uygulaman n içinde olan ö retmenlerimize de faydal olmas amaçlanarak olu turulmu tu. Bu yüz-den de çal mada kar la lan zorluklar n yan s ra bu zorluklar n a lmas için çözüm önerileri de sunulmu tu.

Kitab n ilk bas m ndan sonra, hem de i ik üniversitelerimizde görev yapan ve bu kitab lisans ve yüksek lisans seviyesinde derslerinde kullanan meslekta la-r m zdan ve hem de ilkö retim seviyesinde ö retim yapan s n f ve matematik ö retmenlerinden yorum ve dönütler bizlere ula m t r. Bu dönütler ise kitab m -z n ortaya ç k amac na hizmet edecek nitelikte bir çal ma yap ld na dair yo-rumlar içermektedir. Ülkemizde oldukça yeni ve h zla geli en bir çal ma alan olan matematik e itimine böylesi bir eser ile katk da bulunman n sevincini tüm yazar arkada lar m zla birlikte ya amaktay z. De erli okuyucular m za bize ver-dikleri destekler ve yap c yorumlar ndan dolay te ekkürü bir borç biliriz.

Erhan Bingölbali ve Mehmet Fatih Özmantar

A ustos 2010

xi

Ç NDEK LER

Özgeçmi ler........................................................................................................................... iii Te ekkür .............................................................................................................................. vii Önsöz.................................................................................................................................... ix çindekiler.............................................................................................................................. xi

1. Bölüm MATEMAT KSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLER

VE ÇÖZÜM ARAYI LARI (ss: 1/30)

Giri .......................................................................................................................................1 Kavram Yan lg s Nedir? .........................................................................................................2 Kavram Yan lg s n n Türleri Söz Konusu Mudur? ....................................................................6

A r Genelleme ...............................................................................................................6 A r Özelleme ..................................................................................................................9

Kavram Yan lg lar n n Sebepleri Neler Olabilir?.....................................................................10 Kavram Yan lg lar n n Epistemolojik Nedenleri ...............................................................11 Kavram Yan lg lar n n Psikolojik Nedenleri .....................................................................14 Kavram Yan lg lar n n Pedagojik Nedenleri.....................................................................18

Kavram Yan lg lar n A mak Mümkün müdür?......................................................................20 Sonuç ve De erlendirme .....................................................................................................27

Te ekkür ........................................................................................................................28 Kaynakça .............................................................................................................................28

2. Bölüm TOPLAMA VE ÇIKARMA KAVRAMLARININ Ö RET M

VE Ö RENC GÜÇLÜKLER (ss: 31/61)

Giri .....................................................................................................................................31 Toplama ve Ç karma ile lgili Problem Türleri .......................................................................33 Toplama ve Ç karma Problemlerini Çözme Stratejileri ve Geli imleri ....................................36 Farkl Problem Türlerinde Kar la lan Güçlükler...................................................................37 Çok Basamakl Say larla Toplama ve Ç karma .....................................................................39

Çok Basamakl Say larda Toplama ve Ç karmaya Geçi .................................................39 Çok Basamakl Say larda Sembolik Toplama ve Ç karma...............................................42

Sembolik Toplama ve Ç karma lemlerinde Ö renci Hatalar ve Kavram Yan lg lar .............45 Ö renci Kavram Yan lg lar .............................................................................................45

Ö retim Programlar nda Toplama ve Ç karma .....................................................................50 De erlendirme ve Sonuç ......................................................................................................57 Kaynakça .............................................................................................................................59

xii

3. Bölüm Ö RENC LER N KES RLER

KONUSUNDAK KAVRAM YANILGILARI (ss: 63/95)

Giri .....................................................................................................................................63 Yenilenen Müfredatta Kesirlerle lgili Kazan mlar ............................................................65 Kesirlerde Kavram Yan lg lar ve Nedenleri ....................................................................66 Kesirin Ö retim Modelleri ..............................................................................................78

Sonuçlar ..............................................................................................................................92 Kaynakça ............................................................................................................................93 EK - Ö retmenler çin Kesirler Konusunda nternetteki Ücretsiz Elektronik Programlar ..........95

4. Bölüm SAYILARDA BASAMAK DE ER KAVRAMI VE

Ö RENC LER N YA ADI I ZORLUKLAR (ss: 97/126)

Giri .....................................................................................................................................97 Basamak De eri Kavram ve K sa Tarihçesi ..........................................................................99 Basamak De eri Kavram n n Ö rencilerde Geli imi ve Zorluklar n Olas Nedenleri .............103 Basamak De eriyle ilgili Kar la lan Zorluklar, Hatalar ve Kavram Yan lg lar .....................105 Basamak De eri Kavram n n Çokluk De erine ndirgenmesi...............................................106 Rakam n Basamak ve Say De erlerinin Ay rt Edilememesi ................................................108 Basamaklar Aras ndaki li kiyi Anlama ile lgili Güçlükler ....................................................109 S f r Bir 'Yer Tutucu' Olarak Kabul Etmede Kar la lan Güçlükler ......................................111 10 ile Çarpmayla lgili Güçlükler.........................................................................................112 Ondal k – Yerler Aras ndaki li kileri Belirleme Güçlü ü......................................................113 Ondal k Say larda Basamak De eri ile lgili Güçlükler .........................................................114 Basamak De eri Kavram ile lgili Kar la lan Zorluklar Engellemek çin Öneriler ...............115

Gattegno Tablolar .......................................................................................................119 Basamak De eri (Gattegno) Kartlar .............................................................................121 Di er Materyaller..........................................................................................................121

Sonuç.................................................................................................................................122 Kaynakça ...........................................................................................................................123

5. Bölüm ÖLÇME, TEMEL B LE ENLER VE SIK KAR ILA ILAN

KAVRAM YANILGILARI (ss: 127/154)

Giri ...................................................................................................................................127 De i ik Anlamlar yla Ölçme ...............................................................................................127

Ölçmenin Matematiksel Yap s ......................................................................................128 Farkl Nitelikler, Birbirleriyle Olan li kileri ve Genel Yan lg lar ............................................130 Ölçme ile lgili S k Kar la lan Yan lg lar .............................................................................133

Alan ile lgili Genel Alg lar ve Yan lg lar ........................................................................133

xiii

Hacim ile lgili Genel Alg lar ve Yan lg lar ....................................................................137 Uzunluk ile lgili Genel Alg lar ve Yan lg lar...................................................................141 Uzunluk Niteli i ve MEB lkö retim 1-5 Matematik Program nda Ele Al n ...........144

Ölçmenin Yap s n Dikkate Alan Yap land rmac Bir Ders Örne i Önerisi ............................147 Sonuç.................................................................................................................................150 Kaynakça ...........................................................................................................................151

6. Bölüm NEGAT F SAYILARA L K N ZORLUKLAR,

KAVRAM YANILGILARI VE BU YANILGILARIN G DER LMES NE YÖNEL K ÖNER LER

(ss: 155/186)

Giri ...................................................................................................................................155 Negatif Say Nedir? ..........................................................................................................156 Negatif Say lar n Müfredattaki Yeri .....................................................................................157 Negatif Say lara li kin Zorluklar ve Kavram Yan lg lar ......................................................159 Negatif Say lar n Kavramla t r lmas na li kin Zorluklar........................................................159 Negatif Say larda Toplama ve Ç karma lemlerine li kin Zorluklar.....................................160 Negatif Say larda Çarpma ve Bölme lemlerine li kin Zorluklar.........................................163 Kavram Yan lg lar nda Ö retmen Bilgisinin Önemi .............................................................164 Çoklu Gösterim Modellerinin Kullan lmas ..........................................................................166 Negatif Say lar Anlaml Ö renmeye Yönelik Yöntem ve Öneriler .......................................168 Negatif Say lar n Anlamland r lmas ...................................................................................168 Negatif Say larda Toplama ve Ç karma lemlerinin Anlamland r lmas ...............................171

Toplama lemi ............................................................................................................171 Ç karma lemi .............................................................................................................172

Negatif Say larda Çarpma ve Bölme lemlerinin Anlamland r lmas ...................................177 Sonuç.................................................................................................................................182 Kaynakça ...........................................................................................................................183

7. Bölüm S METR KAVRAMININ Ö REN M

VE Ö RET M NDE KAR ILA ILAN ZORLUKLARIN ANAL T K B R YAKLA IMLA NCELENMES

(ss: 187/215)

Giri ...................................................................................................................................187 Simetri Kavram n n Do as .................................................................................................190 Simetri Kavram n n lkö retim Ders Programlar ndaki Yeri .................................................194 Simetri Kavram n n Ö reniminde Kar la lan Zorluklar ......................................................196 Simetri Kavram n n Ö renimini Nas l Kolayla t rabiliriz .......................................................203 Sonuç ve Öneriler ..............................................................................................................211 Kaynakça ...........................................................................................................................213

xiv

8. Bölüm

OLASILIK KONUSU Ö RENC LERE NEDEN ZOR GELMEKTED R? (ss: 217/239)

Giri ...................................................................................................................................217 Olas l klar Tahmin Etme ve De erlendirme ........................................................................218 Olas Durumlar Belirleme ..................................................................................................222 Olas l kla lgili Temel Kavramlar Anlama ve Uygulama.......................................................223 Olas l k Çe itlerini ve Aralar ndaki li kiyi Anlama ...............................................................226 Teknoloji Destekli Olas l k Ö retimi ....................................................................................228 Sonuç.................................................................................................................................237 Kaynakça ...........................................................................................................................238

9. Bölüm B R NC DERECEDEN TEK B L NMEYENL DENKLEMLER

LE LG L KAVRAM YANILGILARI (ss: 241/262)

Giri ...................................................................................................................................241 Cebirsel denklem çözümü ö renciler için anlaml bir etkinlik olabilir mi? .............................242 Kavram Yan lg lar ve lgili Hatalar n Belirlenmesinin Faydalar ...........................................244 Denklem Çözümünde E itlik Kavram n n Önemi ve Bununla lgili Kavram Yan lg lar .........248 Denklem Ba lam nda lemler Aras li kiler ........................................................................250 Denklemlerin Yap s ve E de er Denklemler .......................................................................251 Denklem Çözümü ve Getirdi i Zorluklar .............................................................................252 De i ken Kavram n n Denklem Kavram Üzerindeki Etkisi ..................................................255 Çözüm Önerileri .................................................................................................................256 Tart ma.............................................................................................................................258 Kaynakça ...........................................................................................................................260

10. Bölüm ORAN KONUSUNUN KAVRAMSAL Ö REN M NDE

KAR ILA ILAN ZORLUKLAR VE ÇÖZÜM ÖNER LER (ss: 263/285)

Giri ...................................................................................................................................263 Orant sal Dü ünebilme Yetene i.........................................................................................264 Oran ve Orant ...................................................................................................................265

Toplamsal ve Çarp msal li kilendirme Yapabilme Yetene i..........................................266 Nitel Muhakame ve Nicel Muhakeme ...........................................................................268 Oran Kavram n n çerdi i Nitel ve Nicel (Kantatif) Muhakeme Çe itleri .........................269 Nitel Muhakeme Çe itleri..............................................................................................269 Nicel Muhakeme Çe itleri .............................................................................................270 Dönü üm (Transformasyon).........................................................................................272

Oran Kavram n n Olu turulmas Sürecinde Kar la labilecek Muhtemel Kavram Yan lg lar ..273 Toplamsal ve Çarp msal li kilendirmeyle lgili Ö renci Yan lg lar .................................273

xv

Kovaryasyon ve Dönü üm ile lgili Ö renci Yan lg lar ..................................................274 De i mezlik Konusundaki Yan lg lar .............................................................................276

Oran Kavram n n Olu turulmas nda Kar la labilecek Muhtemel Ö renme Zorluklar .........277 Oran Konusunda Kavram Yan lg lar ve Ö renme Zorluklar Üzerine Çözüm Önerileri ........281

Sonuç ve De erlendirme ..............................................................................................282 Kaynakça ...........................................................................................................................283

11. Bölüm MATEMAT KSEL PROBLEMLER N Ö REN M VE Ö RET M

(ss: 287/312)

Giri ...................................................................................................................................287 Problem ve Problem Çözme Nedir?....................................................................................290 Problem Türleri ..................................................................................................................291 Problem Çözme Sürecinde Takip Edilen A amalar .............................................................294 Problem Çözme Stratejileri .................................................................................................296

Tahmin-Kontrol Stratejisi .............................................................................................296 Geriye Do ru Çal ma Stratejisi ...................................................................................297 Tümevar mc Dü ünme Stratejisi (Looking for Pattern).................................................299

Problem Çözme Konusunun Ö retimi Nas l Yap lmal d r?...................................................300 Üst Bili sel Yetenek ve Problem Çözme .......................................................................305

Sonuç ve Öneriler ..............................................................................................................308 Kaynakça ..........................................................................................................................310

12. Bölüm ETK NL K TASARIMI VE TEMEL TASARIM PRENS PLER

(ss: 313/348)

Giri ...................................................................................................................................313 Etkinlik Nedir?....................................................................................................................314 Etkinlik (Task) Türleri .........................................................................................................317

Matematiksel objeleri s n fland rma...............................................................................317 Farkl gösterimlerin yorumlanmas ................................................................................318 Matematiksel ifadeleri de erlendirmek..........................................................................319 Ö rencinin kendi problemini olu turmas ve çözmesi ....................................................320 Çözüm ve Gerekçeleri Analiz Etme...............................................................................321 Var olan problem durumlar ndan genellemeler yapmak................................................321

Etkinlik Tasar m Prensipleri ................................................................................................321 Etkinli in Amac ...........................................................................................................323 S n f Yönetimi ..............................................................................................................330 Etkinli in Birden Fazla Ba lang ç Noktas na Sahip Olmas ............................................333 Kullan lacak Materyaller/Araçlar ...................................................................................335 Ö retmen ve Ö renci Rolleri ........................................................................................337 Ö rencilerin Ön Bilgileri ...............................................................................................338 Ö renci Zorluk ve Yan lg lar ........................................................................................339 Ölçme De erlendirme ..................................................................................................340

xvi

Uygulamada Dikkat Edilecek Baz Noktalar ........................................................................341

Esneklik........................................................................................................................341 Ö rencilerin Dikkatlerini Yönlendirme (shift of attention)..............................................342 Alana Özgü Uygun Dil Geli tirme .................................................................................344

Sonuç.................................................................................................................................344 Te ekkür ............................................................................................................................345 Kaynakça ..........................................................................................................................345

1. Bölüm

MATEMAT KSEL KAVRAM YANILGILARI: SEBEPLER VE

ÇÖZÜM ARAYI LARI1

Erhan Bingölbali Mehmet Fatih Özmantar

Bu bölümde matematiksel kavram yan lg lar ve bu yan lg lar n giderilebilmesine yönelik çözüm aray lar üzerinde durulmaktad r. Bunun için öncelikle kavram yan lg s , hata ve zorluk terimlerinin ne anlama geldi i ve bunlar aras nda ne tür bir ili kinin söz konusu oldu u aç klanm t r. Daha sonra kavram yan lg lar n n türlerinden bahsedilmi ve bu türler matemati in de i ik konular ndan seçilen kavramlarla örneklendirilmi tir. Ayr ca kavram yan lg lar n ortaya ç karan epistemolojik, psikolojik ve pedagojik sebepler incelenmi tir. Matematiksel yan lg ve zorluklar n a lmas için ö retim sürecinde neler yap labilece i konusunda bir de erlendirme yap larak, bu kapsamda örnek etkinlikler sunulmu tur.

Giri

Ö renciler matemati i ö renmede neden zorlanmaktad rlar? Ö renci-ler matematik ö reniminde neden kavram yan lg s na dü mektedirler? Ö -renciler baz matematiksel hatalar neden sistematik bir ekilde yapmakta-d rlar? Matematiksel zorluklar n a lmas ve kavram yan lg lar n n engel-lenmesi için neler yap labilir?

Bu ve benzeri sorular özellikle son 40 y ld r de i ik ülkelerdeki mate-matik e itimcilerinin ilgisini çekmi ve birçok ara t rmaya yön vermi tir.

1 Bu çal ma TÜB TAK taraf ndan desteklenen bir proje sonucu olarak ortaya ç km t r (proje numaras : 108K330).

lkö retimde Kar la lan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri 2

Matematik e itimcilerinin matematik ö reniminde kar la lan zorluklarla ilgili yukar da belirtilen sorular eksenli yapt klar ara t rmalar incelendi in-de, kar m za birbirini tamamlayan ve k smen de takip eden iki ara t rma temas ç kmaktad r. Bunlardan birincisi problemi belirleme ve anlamland r-ma, ikincisi ise çözüm üretme temas d r. Matematik e itimi literatüründe kavram-eksenli yap lan ve ö rencilerin kar la t klar zorluklar n, kavram yan lg lar n n, hatalar n ve bunlar n nedenlerinin ara t r ld çal malar (örne in kesirlerle alakal ö renci zorluklar , kavram yan lg lar , hatalar ve bunlar n nedenleri) problemi belirleme ve anlamland rma temas çal mala-r na örnek olarak gösterilebilir. Çözüm üretme temas çerçevesinde yer alan çal malar ise ö rencilerin kar la t klar zorluklar n a lmas na yönelik ola-rak nelerin yap labilece i konusu üzerinde durmaktad rlar. Matematik ö -retiminde çoklu temsillerin kullan m (cebirsel, tablo, grafik), teknolojinin ö retime entegre edilmesi, ö renci zorluklar göz önünde bulundurularak etkinliklerin tasarlanmas , ö retmen e itimi ve mesleki geli imine yönelik yap lan ara t rmalar çözüm üretme temas na örnek gösterilebilecek çal ma-lard r.

Matematik e itimi çal malar nda ön plana ç kan bu iki ana tema, ö -rencilerin matematiksel zorluklar n , kavram yan lg lar n ve hatalar n an-lamland rmay ve bunlar için çözüm olabilecek öneriler sunmay amaçlayan bu bölüm yaz m nda rehber olarak kullan lacakt r. Bu kapsamda öncelikle matematiksel zorluk, kavram yan lg s ve hata kavramlar , kavram yan lg s ile ili kilendirilerek tan t lacakt r. Daha sonra kavram yan lg s türleri i le-necektir. Ayr ca ö rencilerin kar la t klar zorluklar n ve kavram yan lg la-r n n nedenleri konusu ele al nacakt r. Son olarak kar la lan zorluklar n a lmas na yönelik çözüm olabilecek öneriler üzerinde durulacakt r.

Kavram Yan lg s Nedir?

Matematik e itimi literatüründe matematik ö reniminde kar la lan zorluklar ifade etmek için birçok de i ik terimin, ço u zaman da birbirleri-nin yerine, kullan ld görülmektedir. “Zorluk” (difficulty), “kavram yan l-g s ” (misconception) ve “hata” (error) terimleri ö rencilerin matematik ö reniminde ya ad klar güçlüklerin ifade edilmesinde en s k kullan lanlar aras nda gelmektedir.

“Zorluk” kapsaml bir kavram olup, ö rencilerin matematik ö renimi ile ilgili ya ad klar güçlükleri genel anlamda ifade etmek için kullan lan bir terimdir. Bu özelli inden dolay kavram yan lg s ve hatay da içeren bir kavramd r. “Zorluk” teriminin genel ve kapsay c bir ifade olarak kullan l-mas kanaatimizce bu terimi ö rencilerin ö renme güçlüklerini anlamlan-

Matematiksel Kavram Yan lg lar : Sebepleri ve Çözüm Aray lar 3

d rmada ve çözümlemede yetersiz de k lmaktad r. Zorluk teriminin bu özel-li inden ötürü ö rencilerin kar la t klar güçlükler daha çok “kavram yan l-g s ” terimi ekseninde incelenecektir. Zorluk ve hata terimlerinin anla lma-s n da mümkün k laca n dü ündü ümüz bu inceleme, öncelikle kavram yan lg s n n ne oldu unun aç klanmas n gerekli k lmaktad r.

Mevcut literatüre bak ld nda kavram yan lg s n (misconception) ifade etmek için birçok de i ik terimin kullan ld görülmektedir. Bunlar aras n-da “ön kavray ” (preconceptions), “alternatif kavray ” (alternative conceptions), “olgunla mam kavray ” (naive conceptions) terimleri örnek olarak verilebilir (Clement, 1982; Hewson ve Hewson, 1984; McCloskey, 1983; daha fazla detay için, bknz, Zembat, 2008a). Bu terimler yak ndan incelendi inde iki önemli husus ön plana ç kmaktad r. Birincisi bu terimler asl nda örtük de olsa uzman bilgisinden farkl olan veya bilimsel olarak ka-bul edilen bir kavray tan uzak olan kavray lar ifade etmek için kullan l-maktad r. Bu anlamda kavram yan lg s “bir konuda uzmanlar n (expert) üzerinde hemfikir olduklar görü ten uzak kalan alg ya da kavray (conception)”olarak kullan lmaktad r (Zembat, 2008a, s.2). kincisi husus ise Hammer’ n (1996) da belirtti i gibi “kavray (conception)” teriminin bu terimlerin hepsinin özünü ve esas n olu turmas d r. Her iki husus da asl n-da kavram yan lg s teriminin anla lmas nda “kavray ” teriminin önemli rolüne i aret etmektedir.

Bu ba lamda Smith, diSessa ve Roschelle (1993, s.119) kavray terimi-nin kavram yan lg s n n anlamland r lmas ndaki rolüne i aret etmi ve kav-ram yan lg s n “sistematik bir ekilde hata üreten ö renci kavray ” olarak tarif etmi tir. Bu aç dan, Zembat’ n da (2008b, s.42) belirtti i gibi, kavram yan lg s “basit hatadan çok sistemli bir ekilde insan hataya te vik eden alg biçimidir.” Buradan da anla lmaktad r ki ö rencilerin sistematik olarak yapt klar hatalar s radan yap lan bir i lem hatas ndan farkl olup, kendisini ortaya ç karan ve kontrol eden derin bir kavray n, bir mana sisteminin (Nesher, 1987), bir bili sel yap n n (cognitive structure) (Oliver, 1989) ya da bir kavram yan lg s n n varl na i aret etmektedir. Ba ka bir deyi le ö renci-lerin yapt klar hatalar yüzeydeki görüntü olup, bu görüntünün olu mas n kontrol eden ve olu mas na kaynakl k eden bir kavram yan lg s söz konusu-dur (Nesher, 1987).

Sistemli bir ekilde insan hataya te vik eden bir kavray biçimi olarak kabul etti imiz kavram yan lg s n n ve ayr ca hata ile olan ili kisinin daha iyi anla lmas için a a daki örne i yak ndan inceleyelim. Ele alaca m z örnek ö rencilerin s kça kavram yan lg s na sahip oldu u ve neticesinde de hatalar yapt klar , de i ik ülkelerdeki birçok ara t rmac taraf ndan da ortaya konu-lan, ondal k say lara ili kindir (Nesher, 1987).

lkö retimde Kar la lan Matematiksel Zorluklar ve Çözüm Önerileri 4

Ondal k say lar n büyüklüklerinin kar la t r lmas n n ara t r lmas amaçlanan bir çal mada 6., 7., 8., ve 9. s n ftaki ö rencilere a a da sunulan (Tablo 1) ondal k say lar n hangisinin daha büyük oldu u sorusu yöneltil-mi tir (Nesher ve Peled, 1984; Nesher, 1987). Ara t rma neticesinde bu soruya birçok ö rencinin hatal cevap verdikleri ortaya ç km t r. A a da bu ara t rman n ortaya ç kard ö renci hatalar n n bir k sm n temsil etme özelli ine sahip olan iki ö renci cevab kavram yan lg s ve hata ili kisi aç -s ndan ele al nm ve bu hatalar n ortaya ç kmas na kaynakl k eden ö renci kavray lar yak ndan incelenmi tir.

Durum 1 0.4 0.234

Durum 2 0.4 0.675

Tablo 1.1. Ondal k say lar n kar la t r lmas

Durum 1 ve Durum 2’de verilen ondal k say lar n hangisinin daha bü-yük oldu u sorusunun yöneltildi i ö rencilerden biri, Durum 1’de 0.234 ondal k say s n n 0.4 ondal k say s ndan daha büyük, Durum 2’de ise 0.675 ondal k say s n n 0.4 ondal k say s ndan daha büyük oldu unu belirtmi tir. Bu cevap Durum 1 için yanl (hatal ) iken, Durum 2 için ise do rudur. Peki ö rencinin verdi i cevaplar n alt nda yatan neden ya da nedenler nelerdir? Ya da yukar da tan tt m z kavramlardan faydalanacak olursak, ö rencinin verdi i do ru ve hatal cevaplara kaynakl k eden mana sistemi, bili sel yap veya kavram yan lg s nedir? Ayr ca verilen cevaplara dayal olarak bu ö -rencinin ne ölçüde ondal k say larda s ralamay bildi ini söyleyebiliriz?

Bu ve benzer sorulara cevaplar ancak ilgili ö renci ile yap lacak müla-katlarla elde edilebilir ya da hakk nda fikir sahibi olunabilir. Nitekim bu ara t rmac lar da yapt klar ara t rman n devam nda ö renci ile verdi i ce-vaplar üzerinde mülakatlar yapm ve bu mülakatlarda ö rencinin her iki durum için de u ekilde aç klamalar yapt görülmü tür: “çok rakam içe-ren say daha büyüktür (ondal k say daki noktadan sonra)”. Ö renciye on-dal k say lar n büyüklüklerini kar la t rmada rehberlik eden bu kavray ya da prensip Durum 1’de yanl bir cevap vermesine yani hata yapmas na yol açarken, tam tersine Durum 2’de ise do ru bir cevap sunmas na izin vermi -tir. Buradan da anla lmaktad r ki bu ö renci ondal k say lar n kar la t r l-mas nda “(ondal k say daki noktadan sonra) çok rakam içeren say daha büyüktür” ya da “uzun say lar de erce daha büyüktür” eklinde bir kavram yan lg s na sahiptir. Dolay s yla burada ortaya ç kan sadece basit bir hata olmay p, o hatan n olu mas na kaynakl k eden ve o hatay sistematik bir hale getiren veya getirebilecek olan “çok rakam içeren say daha büyüktür” gibi bir kavram yan lg s söz konusudur. Ondal k say lar n büyüklüklerinin

Matematiksel Kavram Yan lg lar : Sebepleri ve Çözüm Aray lar 5

kar la t r lmas na ili kin sahip olunan bu tür bir kavram yan lg s benzeri sorularda yine hata yapmaya sevk edece i öngörülebilir. Örne in bu kavram yan lg s 3.57 ondal k say s n n 3.7 ondal k say s ndan daha büyük oldu u yönünde hatal bir cevaba da neden olabilecektir.

Nesher’in (1987) çal mas na kat lan bir ba ka ö renci ise ilkinin aksine 0.4 ondal k say s n n hem 0.234 hem de 0.675 ondal k say s ndan daha büyük oldu unu belirtmi tir. Bu cevap Durum 1 için do ru iken, Durum 2 için yanl yani hatal d r. Peki, burada verilen hatal cevab n arkas nda yatan kavram yan lg s acaba ne olabilir? Bu ö renci ile verdi i cevaplar üzerine yap lan mülakatlarda her iki durum için de u ekilde bir gerekçe sunuldu u görülmü tür: “onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl (k sa) say daha büyüktür”. Ba ka bir deyi le bu ö renciye ondal k say lar n büyüklüklerinin kar la t -r lmas nda rehberlik eden kavray ya da prensip (ki biz buna ayn zamanda kavram yan lg s diyoruz) “az rakam içeren say de erce daha büyüktür” kavray olmu tur.

imdi ikinci ö rencinin yapt hatay , sahip oldu u bu kavram yan lg s nda tekrar ele alal m. Mülakat sonuçlar nda bu ö rencinin ondal k say -

lar n kar la t r lmas na ili kin olarak “onda birler binde birlerden daha büyüktür ve bu yüzden de sadece onda birlere sahip olan az basamakl (k -sa) say daha büyüktür” ya da daha genel bir ifade ile “az rakam içeren say de erce daha büyüktür” eklinde bir kavram yan lg s na sahip oldu u gö-rülmektedir. Bu kavram yan lg s 0.4 ondal k say s n n 0.675 ondal k say s n-dan daha büyük oldu u eklinde bir hataya yol açm t r. Çünkü bu ö renci-nin sahip oldu u kavram yan lg s na göre 0.4 ondal k say s nda, ondal k sa-y daki noktadan sonra sadece 4 say s vard r ve bu 4 say s ondal k say daki onda birlerdir. Öte yandan 0.675 ondal k say s nda ondal k say daki nokta-dan sonra 675 say s vard r ve bu say ondal k say daki binde birlerdir. Bu ö rencinin sahip oldu u kavray a göre, ondal k say larda onda birler, binde birlerden büyük oldu u için (1/10>1/1000 ) 0.4 ondal k say s da 0.675 onda-l k say s ndan daha büyük olmak zorundad r. Dolay s yla burada sergilenen s radan ve basit bir hata olmay p, bu hatan n ortaya ç kmas na kaynakl k eden bir kavram yan lg s n n varl söz konudur.

Burada ayr ca not etmekte fayda vard r ki ö rencilerin sahip oldu u kavram yan lg lar bazen do ru sonuçlara ula malar n da sa layabilmekte-dir. Nitekim bu ö rencinin sahip oldu u kavram yan lg s 0.4 ve 0.675 say la-r n n kar la t r lmas nda hata yapmas na neden olurken 0.4 ve 0.234 say la-r n n kar la t r lmas nda ise do ru cevap vermesine neden olmu tur. Sade-ce 0.4 ve 0.234 ondal k say lar ve benzerlerinin kar la t r lmas üzerinden ö rencinin cevab de erlendirilseydi, ondal k say larda s ralama konusunun