il dipolo elettrico - infn-bobruni/didattica/esercizi_2011/6.dipoloelettrico-a.pdf · =±q! e! m=!...
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Il dipolo elettrico
Dipolo elettrico Interazioni del dipolo elettrico Sviluppo in serie di multipoli Esempi
Dipolo elettrico Due cariche puntiformi +q e –q distanti a
P “lontano” a/r << 1
-q
+q
P
er θ
r
!p = q
!a
VP =q4!"0
1!r !!a2
!q4!"0
1!r +!a2
=q4!"0
1!r !!a2
!1!r +!a2
"
#
$$$$
%
&
''''
f (!r +!h) ! f (!r )+
!h "!#f + " " "
1!r !!a2
!1!r +!a2
" (1r!!a2#!$1r)! (1
r+!a2#!$1r) = !
!a "!#1r=!a ! !err2a
Dipolo elettrico
VP =q4!"0
1!r !!a2
!1!r +!a2
"
#
$$$$
%
&
''''
(q4!"0
!a ) !err2
=!p ! !er4!"0r
2
V (r) =!p !!er
4!"0r2
!E = !
!"!p #!er
4!"0r2
$
%&
'
()
3
1r
∝Va a zero piu` rapidamente del potenziale di una carica puntiforme (+q, -q tendono a neutralizzarsi)
Campo elettrico del dipolo !E = !
!"!p #!er
4!"0r2
$
%&
'
() = !
14!"0
!"!p #!rr3
$
%&
'
()
= !1
4!"0r3
!p! 3(
!p "!er )!er#$ %&
!er =!rr
= !14!"0
r3!p! 3r2(
!p "!r )!er
r6
= !14!"0
!"(!p #!r )r3 ! 3r2(
!p #!r )!"r
r6
!!!p "!r( ) = !p
Campo elettrico del dipolo
P
y
z
θ er
Er
Eθ r p
• Giace nel piano individuato da !p ed
!er• Decresce con la distanza come 3r −
• Nel piano mediano (!p ! !er = 0)
!E !"
!p
• Lungo l’asse del dipolo !E !
!p• Negli altri casi mai parallelo a
!p
Campo elettrico del dipolo
P
y
z
θ er
Er
Eθ r p
!p = pcos!
!er ! psin!
!e"
3(!p !!er )!er !!p = 2 pcos!
!er + psin!
!e!
!p !!er = pcos!
Campo elettrico del dipolo
!p = pcos!
!er ! psin!
!e"
3(!p !!er )!er !!p = 2 pcos!
!er + psin!
!e!
!p !!er = pcos!
0,θ π= asse del dipolo: campo radiale, // dipolo
y
z
θ
er p
!E(! = 0) = 1
4"#0r3 (2 p)
!er
Campo elettrico del dipolo
!p = pcos!
!er ! psin!
!e"
3(!p !!er )!er !!p = 2 pcos!
!er + psin!
!e!
!p !!er = pcos!
! ="2, 3"2
campo perpendicolare alla direzione radiale, // dipolo
y
z
θ er p
!E(! = "
2) = ! 1
4"#0r3 p!ez
Linee di forza ed equipotenziali
Dipolo elettrico in un campo elettrostatico
Energia potenziale del dipolo
U (!r ) = qV (
!r +!a )+[!qV (
!r )]= q V (
!r +!a )!V (
!r )"# $%
!r
!r +!a
-q
+q
!E
!a
! q!a !!"V (!r )
!p !
!E
! U (!r ) = "
!p #!E
Dipolo elettrico in un campo elettrostatico
Forza !E
!p
!F =
!F (!r )+
!F (!r +!a ) = !q
!E(!r )+ q
!E(!r +!a ) = q
!E(!r +!a )!
!E(!r )"
#$% " q
!a &!'( )!E
q!a =!p
Fi =!p !!"( )Ei = pk#k( )Ei!
F =!p !!"( )!E
Anche da: !F = !
!"U = !
!"(!!p #!E) =
!"(!p #!E)!
!"!E = 0
!E
!p
!p !!E = pE
!F = p
!!E
Dipolo elettrico in un campo elettrostatico
Forza !E
!p
Fi =!p !!"( )Ei = pk#k( )Ei!
F =!p !!"( )!E
Anche da: !F = !
!!U = !
!! "!p !!E( ) =
!!!p !!E( )!
!"!E = 0
!E
!p!p !!E = " pE
!F = ! p
!"E
!F =
!F (!r )+
!F (!r +!a ) = !q
!E(!r )+ q
!E(!r +!a ) = q
!E(!r +!a )!
!E(!r )"
#$% " q
!a &!'( )!E
q!a =!p
Dipolo elettrico in un campo elettrostatico uniforme
!F = p
!!E
=0 La forza e` nulla:
Momento della forza: !M =
!r !!F"q + (
!r +!a )!
!F+q
!F±q = ±q
!E
!M =
!p!!E
Il momento fa ruotare il dipolo per
allinearlo al campo elettrostatico.
Minimo dell’energia di interazione.
Dipolo elettrico in un campo elettrostatico uniforme
!M =
!p!!Ep
E
!p!!E = p
!ez ! (Ey
!ey + Ez
!ez ) = " pE sin!
!ex
M = pE sin! = ! dUd!
dW = Md! = !dU(U = ! pE cos! )
Interazione tra due dipoli Consideriamo il primo dipolo nel campo del secondo, o viceversa: il problema e` simmetrico.
Energia di interazione
U12 = !!p1 !!E2 = !
14!"0r
3
!p1 ! 3(
!p2 !!er )!er !!p2( )
U12 =1
4!"0r3
!p1 !!p2 " 3(
!p1 !!er )(!p2 !!er )( ) =U21
! r"3 # F ! r"4