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Corso di Economia Aziendale – Teoria del controllo

IL CAOS SI PUÒ

CONTROLLARE?

Giulia Pigretti (MAT. 441172)

Ramona Beltramini (MAT. 441800)

anno accademico 2016/2017 1

ALCUNE DEFINIZIONI:

IL CAOS CHE COS’È?

Nella Grecia antica il termine “chaos” veniva interpretato come

spazio aperto, voragine. Indicava, quindi, nella sua simbologia

etimologica un abisso, dove risiedevano tenebrosità ed oscurità.

La parola caos, oggi, richiama alla mente uno stato di totale

disordine e si usa per indicare appunto tutte quelle

situazioni nelle quali non si riesce ad individuare una

regola.

“...a quegli spari successe il caos, e nessuno capì più nulla...” recita

Alessandro Manzoni. .

Nel corso di questa trattazione, invece, proveremo a

dimostrare che ad oggi il caos può “semplicemente” essere

definito come “sensibilità alle condizioni di partenza”.

2

ALCUNE DEFINIZIONI:

IL CAOS CHE COS’È? [2]

Il caos è tipico di alcuni particolari comportamenti di un sistema dinamico.

Un sistema dinamico può essere rappresentato con un modello matematico

di un sistema dotato di un numero finito di gradi di libertà, i cui stati

evolvono nel tempo secondo una legge deterministica o probabilistica.

Strutturalmente un sistema dinamico può essere, in generale, identificato

da un vettore in uno spazio i cui punti rappresentano univocamente tutti i

possibili stati del sistema, punti che il sistema raggiungerà nel corso della

sua dinamica.

3

ALCUNE DEFINIZIONI:

LE CARATTERISTICHE DEL CAOS

Un sistema dinamico deterministico può definirsi caotico

nel momento in cui possiede le seguenti caratteristiche:

1. ricorsività

2. sensibilità alle condizioni iniziali

3. imprevedibilità derivante da eventi esterni non conoscibili

4. evoluzione del sistema descritta da innumerevoli orbite diverse tra

loro

4

LA TEORIA DEL CAOS

“La teoria del caos è lo studio attraverso modelli della fisica

matematica dei sistemi fisici che esibiscono una sensibilità

esponenziale rispetto alle condizioni iniziali [sono sistemi ricorsivi].

I sistemi di questo tipo sono governati da leggi deterministiche, eppure

sono in grado di esibire una empirica casualità nell'evoluzione delle

variabili dinamiche. Questo comportamento casuale è solo apparente,

dato che si manifesta nel momento in cui si confronta l'andamento

temporale asintotico di due sistemi con configurazioni iniziali

arbitrariamente simili tra loro”

(Ott Edward, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University

Press, 2002, pp. 15-19)

5

1. RICORSIVITÀ

Un insieme si dice ricorsivo se gli output nell’istante “t” diventano gli

input nell’stante ”t+1”.

Se x0 > 1, la successione tende sempre a “1”.

“1” rappresenta un attrattore del sistema dinamico.

6

1. RICORSIVITÀ [2]

Il caos si origina quando la dinamica del sistema ricorsivo produce

valori che cambiano continuamente da un istante al successivo e non

si ripetono mai.

A volte i valori assunti appartengono ad un insieme finito di alternative.

Il caos si origina quando i valori dell’insieme si ripetono in istanti

successivi, ma ad ogni istante non si può sapere quale valore si

produrrà nell’istante successivo.

7

2. SENSIBILITÀ ALLE CONDIZIONI INIZIALI

Poiché il sistema dinamico parte da un valore iniziale x0, nei sistemi

caotici, le dinamiche cambiano notevolmente anche a piccole variazioni di

x0 .

Se si conoscessero “esattamente” le leggi della natura e la situazione

dell’universo all’istante iniziale, sarebbe possibile prevedere esattamente

la situazione dello stesso universo in un istante successivo, proprio come

definisce il matematico, fisico-teorico e filosofo naturale francese Henri

Poincaré.

Ciò appare pressoché impossibile nei sistemi ricorsivi proprio perché

piccoli cambiamenti dello stato iniziale vengono amplificate nelle

successive ricorsioni. 8

2. SENSIBILITÀ ALLE CONDIZIONI INIZIALI

[2]

Nel momento in cui, invece, una causa, anche piccolissima, sfuggisse alla

nostra attenzione, e facesse variare lo stato iniziale, si determinerebbe un

effetto considerevole sulla dinamica del sistema.

Però, come già detto, l’essere umano risulta essere limitato nella sua

visione sistemica, portandolo ad una conoscenza parziale, e quindi mai

complessiva, delle condizioni iniziali che producono i fenomeni finali.

Alla luce di ciò quindi emerge la caratteristica di un sistema dinamico

ricorsivo, qual è l’imprevedibilità della dinamica nel tempo al variare

delle condizioni iniziali.

9

3. IMPREVEDIBILITÀ DERIVANTE DA

EVENTI ESTERNI NON CONOSCIBILI

Ipotizzando di conoscere perfettamente la condizione iniziale, ovvero la

causa, l’individuo si aspetta di ottenere un determinato risultato, basato

sulle relazioni causa-effetto dettate sia dall’esperienza, sia dalla

conoscenza.

Nella realtà, però, vi è un effetto sottostante ad ogni azione, sistema e

condizione, e cioè l’imprevedibilità.

Essa deriva dal fatto che non è sempre possibile definire perfettamente le

relazioni causa-effetto, poiché fra questi due fenomeni non vi è

necessariamente una connessione assolutamente priva di eventi

imprevedibili;

la presenza di disturbi è connaturata a ogni dinamica sistemica. 10


EVENTI ESTERNI NON CONOSCIBILI [2]

Come definito da Jay W. Forrester, la forma di analisi dei sistemi del tipo

Industrial Dynamics, facente parte del System Dynamics Approach,

mostra quanto sia importante la struttura del sistema, definita nello spazio

degli eventi che ne connotano l’evoluzione.

Ponendosi però in una prospettiva in cui si accetta l’imprevedibilità

derivante da eventi esterni non conoscibili, è bene differenziare fra eventi

determinati da dinamiche caotiche ed eventi determinati dal caso.

Il legame di feedback concettuale tra causa-caso è facilmente intuibile: il

caso deriva dall’ignoranza delle cause, e la causa deriva dall’ignoranza

degli altri fattori che possono influire sull’effetto.

11



Il rapporto fra causa-caso e l’imprevedibilità può riscontrarsi in un

semplice esempio pratico.

Fissando infatti su un cavalletto un fucile di precisione e ponendo un

bersaglio a 50 metri, certamente 100 colpi avranno tutti la stessa

traiettoria e colpiranno sempre il centro (se l’input cartuccia è costante ad

ogni colpo).

Se però si pone il bersaglio a 500 metri o anche

più lontano, per quanto le cartucce possano

essere identiche, i colpi non colpiranno

più tutti il centro, ma si distribuiranno

“a caso”, formando una rosata.

12



Da ciò emerge che:

- quando il sistema fucile, cartucce, bersaglio produceva un processo di

sparo a 50 metri, le condizioni del processo erano perfettamente note. I

numerosi fattori in grado di incidere sulla traiettoria risultavano quindi

ininfluenti, e questo proprio perché troppo tenui per apportare

variazioni significative all’esito del processo

- quando invece il bersaglio viene allontanato, le condizioni prima

trascurate (come vento, differente intensità dell’aria lungo la traiettoria,

lievi differenze di caricamento della cartuccia, leggeri movimento del

cavalletto, …) iniziano ad essere influenti sul sistema. In questa

situazione, emerge la nozione di casualità, come ignoranza delle

condizioni causali che influiscono sull’esito del colpo.

13

4. EVOLUZIONE DEL SISTEMA DESCRITTA

DA INNUMEREVOLI ORBITE DIVERSE

TRA LORO

Anzitutto, è bene definire cosa possa intendersi per orbite.

L’orbita [dal lat. orbĭta, propr. «traccia segnata dalla ruota; linea

circolare», der. di orbis «cerchio, circonferenza»] rappresenta la

traiettoria descritta da un corpo in movimento intorno ad un altro corpo.

Il termine è usato nei sistemi dinamici per indicare una generica dinamica

nel tempo.

Tuttavia, come vedremo più avanti, inserendo anche solo un sistema di

controllo all’interno di una dinamica caotica (a volte anche di una

dinamica casuale) si nota come i movimenti della dinamica del fenomeno

stesso, assumono maggiore coerenza e “ordine” rispetto all’ipotesi in in

cui non vengano controllati.

14

ALCUNE DEFINIZIONI:

LE CARATTERISTICHE DEL CAOS [2]

Aver compreso le caratteristiche che portano un sistema dinamico

ricorsivo ad essere definito come caotico, ci fa quindi giungere alla

consapevolezza che condizioni iniziali molto vicine possono dar luogo

a traiettorie potenzialmente divergenti.

La traiettoria, con riferimento a un punto in moto, viene definita come

la linea, retta o curva, descritta dal punto nel suo movimento.

La traiettoria di un punto ha, come ogni elemento cinematico, carattere

relativo, e cioè varia in generale al variare dell’ente al quale il moto

viene riferito.

15

ALCUNE DEFINIZIONI:

LA DINAMICA CAOTICA

Secondo Devaney (1989), il comportamento di un sistema può

essere definito caotico quando:

data una qualunque orbita ce n’è almeno un’altra che parte

arbitrariamente vicino alla prima, ma poi se ne separa a causa della

dinamica;

due regioni qualsiasi nello spazio delle fasi siano collegate da

almeno un’orbita che esce dalla prima e raggiunge la seconda;

per ogni punto dello spazio delle fasi esiste almeno un’orbita

periodica che gli passa arbitrariamente vicino

16

ALCUNE DEFINIZIONI:

LA FUNZIONE QUADRATICA

Una funzione quadratica è una funzione reale di variabile reale.

La funzione quadratica è strettamente connessa al concetto di caos, e

ciò perché, a seconda delle condizioni iniziali scelte, le successioni

divergono oppure continuano a oscillare, avvicinandosi ad un

andamento periodico.

18

LA FUNZIONE QUADRATICA E IL SUO

CONTROLLO

Partendo quindi da una funzione definita come

Xn+1 = C X (1-Xn)

e impostando X0 (quale valore iniziale) e C

19


CONTROLLO MINIMO

20

Nel modello iniziale con C = 3,880 e X0 = 0,951 è facilmente intuibile la

divergenza delle successioni. Si ottiene infatti un moto oscillatorio ma non

periodico. L’andamento risulta piuttosto irregolare. La rappresentazione qui

riportata mostra come la traiettoria ottenuta con tale condizione iniziale

evidenzia valori privi di correlazione con la successione precedente.


CONTROLLO MINIMO [2]

21

La conferma della sensibilità alle condizioni iniziali è evidente modificando, nel

modello appena presentato, i valori di C e di X0.

Infatti, cambiando C da 3,880 a 3,891 e X0 da 0,951 a 0,953, la traiettoria risulta

ancora più irregolare.



22

Cosa succede se si pone un

controllo minimo?

La risposta è evidente attraverso l’utilizzo di un modello

Excel



23

Ponendo invece un controllo, in questo caso minimale, è possibile notare come,

cambiando la variabile iniziale, e cioè X0 = 0,997 e mantenendo fissa C a 3,880,

l’oscillazione diventa ordinata.


CONTROLLO MASSIMO

24

Nel modello iniziale con C = 3,880 e X0 = 0,856 è facilmente intuibile la

divergenza delle successioni. Similmente a quanto detto prima, tale movimento

risulterà essere caotico poiché le oscillazioni non sono ordinate.


CONTROLLO MASSIMO [2]

25

Cosa succede se si pone un

controllo massimo?

La risposta è evidente attraverso l’utilizzo di un modello

Excel


CONTROLLO MASSIMO [3]

26

Ponendo invece un controllo, in questo caso massimale, è possibile notare

come, cambiando la variabile iniziale, e cioè X0 = 0,9692 e mantenendo fissa C

a 3,880, l’oscillazione diventa ordinata.


CONTROLLO [2]

Tutto ciò mostra come l’applicazione di un controllo, sia questo

minima e o massimale, porti ad un andamento meno irregolare, e cioè

ad un moto oscillatorio periodico. Ciò significa agire attraverso un

sistema di controllo per creare una correlazione fra la successione

precedente e quella successiva.

27

LA FUNZIONE QUADRATICA, IL SUO

CONTROLLO E L’APPLICAZIONE IN UN

ECOSISTEMA

Tale logica può essere applicata anche a qualsivoglia numero di

popolazioni formanti un ecosistema alimentare.

Bisogna anzitutto definire le regole di interazione tra popolazioni di

prede e popolazioni di predatori.

Ad esempio, possiamo considerare tre popolazioni che formano una

catena alimentare.

La prima popolazione di preda, A, serve come primo collegamento

nella catena alimentare;

la seconda popolazione, B, si nutre della preda A, ma rappresenta, a

sua volta, la preda della terza popolazione

La terza popolazione, C, formata da puri predatori,

rappresenta il collegamento finale nella catena alimentare.

28



ECOSISTEMA [2]

La popolazione C (puri predatori) aumenta in relazione al cibo

disponibile (popolazione B) e si estingue per volere di cause

naturali, in quanto non è una fonte di cibo per altre popolazioni

superordinate.

La popolazione A diminuisce in rapporto alla voracità della

popolazione B.

La popolazione B, a sua volta, aumenta e si estingue in funzione

delle popolazioni A e C (prede e predatori rispettivamente), in base

a tassi netti di nascite e morte naturali.

29



ECOSISTEMA [3]

La figura qua riportata mostra le dinamiche appena esposte:

30

0,0005

0,0010

0,0930

0,0780

0,0002

0,0010

A - PREY

extinction rate for A

decrease in Aincrease in A

B - PREY-

PREDATORS

increase in B

decrease in B

birth rate for B

extinction rate for B

initial PREY-

PREDATORS

initial PREY

C -

PREDATORSincrease in C decrease in C

extinction rate for C

initial PREDATORS

A MAX

C MIN

birth rate for C

birth rate for A

300,00

700,00

700,00

300,00

150,00

150,00

800,00

90,00

1 gen 0001 1 gen 0201 1 gen 0401 1 gen 0601 1 gen 0801 1 gen 1001

200

400

600

800

Non-commercial use only!

A

B C



ECOSISTEMA [4]

Simulando invece di avere cinque popolazioni e supponendo che la prima

popolazione di prede A funga da anello iniziale della catena alimentare, la

seconda popolazione B, si nutra delle prede A, ma rappresenti, a sua volta,

la preda di cui si cibano gli individui della terza popolazione, C, e così di

seguito fino alla popolazione E di predatori puri, che rappresentano

l’ultimo anello della catena alimentare, è possibile evidenziare come

l’introduzione di un sistema di controllo condizioni l’oscillazione

dinamica dello stesso ecosistema.

31



ECOSISTEMA [5]

Il grafico superiore (simulato in Powersim) mostra la dinamica di cinque popolazioni che

formano una catena alimentare senza controllo esterno (in questo caso, quindi, le

dinamiche delle popolazione sono determinate solo dagli anelli naturali del controllo

reciproco condotti dalle popolazioni che formano la catena alimentare).

L'altro grafico presenta invece le dinamiche prodotte quando vengono imposti (per

semplicità) vincoli massimi sulle popolazioni A e B.

32


0

500

1.000


A B

C

E

D


0

500

1.000

1.500

2.000


A

B

C E

D



ECOSISTEMA [6]

Si nota quindi come le dinamiche irregolari (probabilmente caotiche) presenti nel grafico

superiore diventano regolari non appena viene eseguito il semplice controllo esterno

ipotizzato nella simulazione.

In particolare, per eliminare le fluttuazioni e ottenere dinamiche più regolari sono

stati introdotti solo due limiti, per semplicità:

Popolazione massima A = 2.000 ; Popolazione massima B = 800.

33


0

500

1.000


A B

C

E

D


0

500

1.000

1.500

2.000


A

B

C E

D



ECOSISTEMA [7]

Con l’imposizione di un controllo, le dinamiche fra le varie popolazioni

risultano essere reciprocamente condizionate.

Si evidenziano quindi oscillazioni che tendono verso valori stabili a causa

dell'effetto del controllo.

Dobbiamo comunque essere consapevoli che gli ecosistemi sono molto

difficili da simulare, in quanto possono includere migliaia di popolazioni

di specie diverse (ad esempio una foresta pluviale o una barriera

corallina), le cui reciproche relazioni sono così complesse che sembra

impossibile tradurle in modo quantitativo.

34

L’APPLICAZIONE PRATICA DEL CONTROLLO

IN UN ECOSISTEMA

Abbiamo visto che, attraverso appositi sistemi di controllo, è possibile

gestire l’oscillazione di popolazioni diverse.

Tali controlli, consistenti, per esempio, in limiti, vincoli, incentivi, …

possono essere applicati in modo mirato, attraverso interventi specifici

che determinino, quindi:

l’abbattimento o

il ripopolamento

delle specie in questione.

35

L’APPLICAZIONE PRATICA DEL CONTROLLO

IN UN ECOSISTEMA [2]

L’ABBATTIMENTO Può avvenire tramite attività con le quali si cerca di gestire e coordinare

la presenza di specifiche specie. In questo ambito rientrano, per

esempio, tutte le attività di controllo della presenza in città dei cinghiali

e la conseguente gestione dei danni da questi provocati.

IL RIPOPOLAMENTO Può avvenire tramite attività con le quali si cerca di ristabilire la presenza di

specifiche specie: per esempio, il 21 febbraio 2014, sono stati liberati i

primi 15 esemplari di cervo sardo sul Supramonte ogliastrino, area dove il

piccolo ungulato mancava da inizio novecento e che si vuole ora provare a

ripopolare nell’ambito del progetto “Un Cervo per due Isole” (o “One Deer

Two Islands”, finanziato con i fondi europei del programma LIFE+ e

realizzato dal partenariato Sardegna-Corsica)

LE SPECIE INCONTROLLABILI Esistono poi determinate specie che sembrano essere incontrollabili, e

quindi non gestibili, nella loro riproduzione e presenza. In questo ambito

rientrano, per esempio, il calamaro gigante, le meduse e le zanzare.

36

DAL CONTROLLO DI UN ECOSISTEMA

AL CONTROLLO DI UN’AZIENDA

Dopo aver specificato l’importanza che un sistema di controllo ha

all’interno di un ecosistema, è bene evidenziare come una gestione di

questo tipo sia altrettanto fondamentale in ambito aziendale.

Creare infatti il parallelismo fra

abbattimento e ripopolamento di un ecosistema

e abbattimento e ripopolamento di un’azienda

rappresenta un metodo efficace di gestione delle unità presenti nel

nostro territorio economico.

37

DAL CONTROLLO DI UN ECOSISTEMA

AL CONTROLLO DI UN’AZIENDA [2]

Infatti si può parlare di

ABBATTIMENTO nel momento in cui si cerca di ottimizzare l’assegnazione di risorse. Ciò

significa attribuire i mezzi giusti all’Ente giusto, ovvero creare una

correlazione positiva fra che cosa viene conferito e a chi viene attribuito.

Tale situazione può essere ricondotta alla presenza eccessiva in una

medesima circoscrizione territoriale di ONLUS che perseguono uno stesso

obiettivo. Per ottimizzare l’utilizzo delle risorse e il raggiungimento degli

obiettivi prefissati sarebbe maggiormente opportuno procedere

all’accentramento delle mansioni in un unico Ente.

e di RIPOPOLAMENTO nel momento in cui si incentiva l’aggregazione aziendale. Un esempio può

essere rappresentato dalla legge 215/92 “Azioni positive per l'imprenditoria

femminile”, che prevede delle agevolazioni per le imprese costituite o da

costituire formate in prevalenza da donne. 38

CAOS E CONTROLLO

Essere consci dell’esistenza del caos è perciò punto di partenza

fondamentale per l’attuazione di un valido sistema di controllo. Infatti:

partendo dal presupposto che la catena di controllo viene definita

come il complesso degli “apparati” di controllo che producono le

variazioni nelle variabili attive e passive e determinano lo

scostamento, e che

la disciplina del controllo si fonda sull’ipotesi che i sistemi di

controllo, tra tutti i tipi di sistemi, occupano una posizione

assolutamente preminente, producendo un mondo ordinato e vivibile,

erigendo barriere al disordine e dirigendo le dinamiche verso stati di

equilibrio,

39

CAOS E CONTROLLO [2]

è possibile dedurre che l’elemento disturbo – D – è sempre presente.

Infatti, il disturbo viene definito come ogni variabile esterna al sistema che

alteri i valori di Y indipendentemente dai valori di X, dove Y indica la

variabile da controllare e X la variabile d’azione. Ciò significa che, anche se

tendenzialmente si ritiene che un sistema di controllo, tramite opportuni

apparati, sviluppi un processo di controllo che porti all’approssimazione

progressiva della dinamica di una variabile verso valori desiderati, è

comunque bene considerare che tali variabili risultano essere caratterizzate

dalle quattro peculiarità sopracitate.

40

CAOS E CONTROLLO [3]

Perciò se ad oggi un dato sistema, con date caratteristiche, con

date variabili e con date dinamiche sembra poter essere controllato

in toto, è opportuno chiarire come ciò possa essere possibile solo a

tali date condizioni. Nel momento in cui si rilevi anche solo un

minimo scostamento – errore – il sistema di controllo ritorna ad

essere un sistema dinamico e caotico, perdendo l’oscillazione

coerente trovata e ritornando ad una condizione caotica.

41

CONCLUSIONI

Riassumendo: abbiamo quindi definito il caos come la caratteristica della

dinamica di un sistema che – pur essendo regolato da funzioni ricorsive

relativamente semplici, come, per esempio, una quadratica – presenta una

dinamica rispetto al tempo che appare priva di particolari ciclicità, o

ricorrenze ordinate, e che risulta sensibile alle condizioni iniziali, così che

modeste variazioni in tali condizioni producano una nuova dinamica

completamente differente e non predicibile.

Questa definzione di caos, come caratteristica della dinamica di un sistema

ricorsivo, descrive il cosiddetto caos deterministico (Flake, 2001).

42

CONCLUSIONI [2]

In conclusione, possiamo definire che il caos può essere controllato, ma

tale controllo va da un tempo T=0 ad un tempo T=1, ovvero il controllo

è valido solo per quel lasso di tempo in cui rimangono valide le

condizioni di partenza per le quali il controllo stesso è stato teorizzato.

43

CONCLUSIONI [3]

Possiamo quindi affermare che ad oggi il caos non è più considerato

come il regno del disordine, ma piuttosto una dimensione dominata da

leggi complesse difficilmente conoscibili.

Al concetto di disordine si è quindi sostituito quello più rilevante di

complessità.

44

BIBLIOGRAFIA E SITOGRAFIA

Teoria del controllo – Dal system thinking ai sistemi di controllo, P. Mella, Franco Angeli, 2014

Dai sistemi al pensiero sistemico. Per capire i sistemi e pensare con i sistemi, P. Mella, Franco Angeli, 1997

Chaos in Dynamical Systems, Ott Edward, Cambridge University Press, 2002

Dall'improbabile all'infinito. Caos, coincidenze e altre sorprese matematiche, Edward B. Burger e Michael Starbird, edizioni Dedalo, 2005

Le leggi del caos, I. Prigogine, Editori Laterza, 1994

Anche il caos ha le sue regole, R. Maiocchi, EDUCatt, 2015

Misurare l’orlo del caos. Casi aziendali e cambiamenti nel Controllo di Gestione, M. Bortali, Franco Angeli, 2010

Geometria e caso. Scritti di matematica e fisica, Jules-Henri Poincaré, Bollati Boringhieri, 2013

https://www.researchgate.net/publication/256471109_Tre_modelli_di_dinamica_caotica_nelle_Scienze_della_Terra

http://sardegnainblog.it/994/video-cervo-sardo-rilascio-in-ogliastra/

http://galileo.cincom.unical.it/caos/index_file/repository/caos_2.pdf

http://www.fmboschetto.it/didattica/entropologia/conoscenza_e_caos.html

http://progettomatematica.dm.unibo.it/Infinito/pag2/2p5.html

http://it.allreadable.com/06318Q91

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GRAZIE PER

L’ATTENZIONE

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