ﺕﺎﻴﺿﺎﻳﺮﻟﺍ ﰲ ﺔﻟﻮﻠﳏ ﻦﻳﺭﺎﲤ - الأستاذ...e f a b c d يأ...

..

ααα

.

βββ

.

γγγ

.

δδδ

.

E

.

F

.

A

.

B

.

C

.

D

.

أي ، متوازيني CD و AB املستقيامن كان إذا.β = γ و α = δ فإن ، AB ∥ CD كان إذا

.

جانفي

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

فيفري

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

مارس

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

أفريل

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

ماي

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

جوان

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

جويلية

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

أوت

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

سبتمرب

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

أكتوبر

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

نوفمرب

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

ديسمرب

.

01

.

02

.

03

.

04

.

05

.

06

.

07

.

08

.

09

.

10

.

11

.

12

.

13

.

14

.

15

.

16

.

17

.

18

.

19

.

20

.

21

.

22

.

23

.

24

.

25

.

26

.

27

.

28

.

29

.

30

.

31

.

عةجلما

.

عةجلما

.

عةجلما

.

عةجلما

.

عةجلما

عبدالحق فرڤوس

الرياضيات يف حملولة متارين! اكتشف و تعلم

ثانوي األوىل متوسط&السنة الرابعة السنة

2014

u

belhocine : https://prof27math.weebly.com/

..

0.

داحلقعب وس

فرق

.

ريةجتاضغراةألملادذها

لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

1

عبدالحق فرڤوس

الرياضيات يف حملولة متارين! اكتشف و تعلم

ثانوي األوىل متوسط&السنة الرابعة السنة

2014

u


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

5

1

أصحابه. و آله عىل fو سيدنا عىل املرسلنيو و األنبياء عىل السالم و الصالة و العاملني، رب هللا احلمد

من به بأس ال عددا يضم الذي الكتاب هذ املتوسط التعليم شهادة امتحان عىل املقبلني و املتوسطة املرحلة يف األعزاء طلبتنا أيدي بني أضع أن يرسين. مفصال حال حملولة و الصعوبة متفاوتة متارين

أعمق لفهم له كبريا عونا فسيكون استيعابه و فهمه الطالب استطاع إذا لكن الربنامج عن خارج هو الرياضياتو عامل إىل عام مدخل منه األول البابسليمة. رياضية بطريقة التامرين حلل فعالة وسيلة للدروسو

بالنسبة صعوبة يشكل أن جيب ال و جدا سهل التمرين أن عىل :تدل فاأليقونه صعوبته. مدى عن فكرة تقدم (إبتسامة) بأيقونة مرفوق مترين كلأن التلميذ عىل لكن الصعوبة متوسط التمرين أن عىل تدل (W )(أو األيقونة و الدرس) يف ما يستوعبنقطة مل أنه يعني فهذا فيه أخفق (إذا للتلميذ

اإلمتحان. يف حمرتمة عالمة يضمن أن أراد إذا التامرين من النوع هذا مثل عىلحل نفسه د يعوخارجة أفكارا تتناول التي أو جدا الصعبة التامرين ترافقان uفهام 6و األيقونتان أما ليسمستحيال) التمرينصعب(لكن أن عىل 4تدل األيقونة

استكشافية). (أفكار الربنامج عن

: املسامهة يمكن به. مرحب فيه يساهم أن أراد من كل التأليفو مرحلة يف يزال ال العمل هذا

حمالة!). (ال فيه الواردة الزالت و بتصويباألخطاء •

للتامرين. أخرى حلول بتقديم •

إلخ). ... حوليات، موجهة، (أعامل أخرى بعرضمتارين •

ترقيته. و العمل هذا حتسني يمكنه آخر بأييشء أو •

. [email protected] : التايل العنوان عىل التواصل يمكنه املسامهة، أراد فمن

. https://www.mediafire.com/folder/a32j3xph4bayh/Documents : التايل الرابط من الكتابجمانا هذا حتميل يمكن كام

الطلبة. أبنائنا إىل الرياضيات تقريب يف القليل باليشء لو و املتواضع العمل هذا يساهم أن أرجو األخري، يف

القصد. وراء اهللامن و

فرڤوسعبداحلق. املؤلف:

2014-06-28 : الثاين اإلصدار2014-01-14 : األول اإلصدار

F https://www.mediafire.com/folder/a32j3xph4bayh/Documentsbelhocine : https://prof27math.weebly.com/

https://www.mediafire.com/folder/a32j3xph4bayh/Documents


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.

ريةجتاض

غراألادةهاملهذ

اللستغ

عايمن

..

.. k •

9 الدرس11 الريايض املنطق الرياضيات– ماهية 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الرياضيات ماهية 1.111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الربهان الريايض– النشاط 2.111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الوصل – الفصل النفي– – املنطقية القضايا 3.112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الرياضيات لغة خصوصيات 4.113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . التكافؤ و اإلستلزام 5.1

15 الرياضيات حيب ال من لكل هدية 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الرضب 1.216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . النتائج من التحقق 2.217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الرضبيف11 3.218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الكسور 4.218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (تطبيقات) الشهرية املتطابقات 5.218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . القسمة قابلية قواعد 6.218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 و 14 ، جدولرضب13 7.218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . املئوية النسب 8.218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 بـ ينتهي عدد مربع 9.2

19 محلولة تمارين21 (الناطقة) األعداد العملياتعىل 3

27 (اجلذور) الصامء األعداد العملياتعىل 4

39 الشهرية املتطابقات 5

57 املستوية اهلندسة 6

69 األوىل الدرجة من مسائل 7

81 —حوليات موجهة أعامل 881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2014 • 2013 - أيتعڤواشة (متوسطة 2 رقم موجهة أعامل بطاقة 1.884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . لبنان) (فرع 2009— فرنسا ، ش.ت.م 2.890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . اهلندية) Pondichéry (فرع 2010— فرنسا ، ش.ت.م 3.8

95 مالحق97 أدبية إسرتاحة I97 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . القافية العروضو علم 1.I100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . موشحات 2.I106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الفرزدق 3.I110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . األصمعي قصة 4.I

7belhocine : https://prof27math.weebly.com/

..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

8

113 علمية مذكرة II113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . أولية عوامل جداء إىل 180 من األصغر األعداد حتليل 1.II114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1000 من األصغر األولية األعداد 2.II115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . األرقام 3.II115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . العربية األعداد من يقابلها ما و الرومانية األعداد 4.II115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مربعاتسحرية 5.II116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . π العدد 6.II116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . احلرارة درجات حتويل 7.II117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . الوحدات حتويل جدول 8.II117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (العاملي) املرتي النظام 9.II118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . املرت مضاعفات و أجزاء 10.II118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . اليونانية احلروف 11.II

III Français / English 119III.1 Cardinal and ordinal numbers / Nombres cardinaux et ordinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119III.2 Fractions / Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121III.3 Decimals / Les décimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121III.4 Nomenclature / Numération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121III.5 Percentages / Les pourcentages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121III.6 Signs / Les signes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121III.7 Calculation / Le calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122III.8 Time / L’heure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122III.9 Dates / Les dates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

https://www.mediafire.com/folder/a32j3xph4bayh/Documents Fbelhocine : https://prof27math.weebly.com/


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي الدرس


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. ياضي الر المنطق – ياضيات الر ماهية •1

مثال، عىلصحتها). (الربهان إثباهتا و اكتشافها تم التي الرياضية احلقائق هي النظريات1 الرياضيات، يف الرياضيات.¤ ماهية .1.1 §نظرية. هي «180180180 يساوي مثلث زوايا «جمموع

الزاويتني جمموع قائم، مثلث «يف مثال، . T النظرية من مبارشة) بالتقريب (أو مبارشة بطريقة إستنتاجها يمكن أخرى نظرية هي (T (لنظرية الالزمة2السابقة. للنظرية الزمة هي «909090 يساوي احلادتني

من اإلنطالق جيب أنه بام و بصحتها. التسليم أو إثباهتا تم أخرى حقائق من انطالقا مقنعة3 و سليمة بطريقة إثباهتا تم إذا إال نظرية النظرية تصبح الاملسلامت). (أو البدهييات4 نسميها التي و ببعضاحلقائق (قبول) بالتسليم نبدأ فإننا أولية)، حقائق (كوهنا إثباهتا يمكن ال أولية، حقائق

إلخ. ... املجموعات، الدوال، األشكال، األعداد، : الرياضية يسمىالكائنات ما النظرياتحول و البدهييات تتمحور

الكائن أو املفهوم هذا عىل تدل التي العبارة أو للكلمة إعطاؤه الذيجيب املعنى أي : املفهوم هذا هو) ما (قول رشح ريايضهو كائن أو تعريفمفهومالقائم. املثلث تعريف هو «(909090 قياسها (أي قائمة زواياه أحد الذي املثلث هو القائم «املثلث مثال، الريايض.

حتى هكذا و أخرى، مفاهيم من انطالقا نعرفها بدورها التي إلخ)، ... قائمة، زاوية (مثلث، معروفة أخرى مفاهيم نستعمل ريايض، مفهوم لتعريفيف مثال، إلخ). ... املستقيم، (النقطة، املميزة بخواصها البدهييات) عىل (اعتامدا بالتسليم نكتفي لكن و رصاحة نعرفها ال التي األولية املفاهيم إىل نصل

بدهيية. فقط» واحدا و واحدا مستقيما تعينان املستوي من خمتلفتني «نقطتني أن اعتبار يمكن اهلندسة،

احلقائق إكتشاف(إجياد) : أساسيتني نقطتني يف الرياضيات) الريايض(عامل تتلخصمهمة الربهان.¤ الريايض– النشاط .2.1 §إثباهتا. و الرياضية

هو وجده ما إثباتأن جيب احلاالت، كل يف و هنديسما؛ إنشاء أو دالة تغري اجتاه أو معادلة حلول إجياد الريايضهو يبحثعنه ما يكون أن يمكن مثال،وجدها. التي غري من أخرى حلول توجد ال أنه و يدرسها التي للمسألة حل حقا

اتباعها يكفي التي و سليم أساس عىل املبنية اخلطوات من جمموعة عن عبارة هي التي خوارزمية5 يسمى ما اتباع يمكن املسائل، لبعض حلول إلجياداإلبتدائية. األقسام يف نتعلمها التي و املعروفة بالطريقة العرشية األعداد الرضبعىل عملية كإجراء املطلوب، إىل للوصول ميكانيكية بطريقة

واسع. خيال و منهاجية واسعتني، خربة و يتطلبمعرفة رياضية إكتشافحقائق

التسليم أو قبال إثباهتا تم التي الرياضية تناقضاحلقائق أن (دون شائب يشوهبا ال بطريقة رياضية حقيقة إثباتصحة يف يكمن الرياضيات يف الربهانالفرضيات. املعطياتو عن بتمييزها هذا و إليها الوصول نود التي اخلالصة متناهية بدقة التحديد جيب احلالة، هذه يف بصحتها).

ننسبها اخلصائصالتي كل الفرضياتفهي أما ؛ إلخ) ... هندسية، تشكيلة (دالة، املدروسة املسألة حوهلا تتمحور التي الرياضية الكائنات املعطياتهيإلخ). ... الساقني، (مثلثمتساوي هبا تتمتع نفرضأهنا التي و الكائنات هذه إىل

إلخ). ... بدهييات، نظريات، (تعاريف، املكتسبة املعارف الفرضياتو إال الجيباستخدام الربهان، أثناءيتناقضمع هذا أن نثبت و خاطئة اخلالصة نفرضأن : بالعكس6 يسمىالربهان ما نستعمل ما، مبارشملسألة برهان إعطاء من بدال بعضاحلاالت، يفأي خاطئة اخلالصة نفرضأن ذلك، ألجل بالرضورة. فردي n أن نربهن أن نريد فردي. n2 نفرضأن و nطبيعيا عددا نعترب مثال، بعضالفرضيات.و n2 = (2k)

2= 4k2 = 2

(2k2)بالتايل . k ∈ Nحيث n = 2k أي زوجي n أن نفرضإذن يناقضالفرضيات. ذلك أن لنربهن و زوجي n أن

بالرضورة. فردي n إذن ، فردي» n2» يناقضالفرضية ما هذا و زوجي عدد هو

أو صحيحة إما أهنا عنها نقول أن يمكننا (نص) مجلة هي القضية7 الوصل.¤ – الفصل – النفي – املنطقية القضايا .3.1 §هي إفريقي» بلد «اجلزائر ، األضالع» متقايسة املثلثات «كل ، طرفيها» عن البعد متساوية منها نقطة هي مستقيمة «منتصفقطعة : من كل مثال، خاطئة.

صحيحتان. فهام األخريني القضيتني أما القائمة) املثلثات مثال األضالع، متقايسة مثلثاتغري توجد (ألنه خاطئة الثانية القضية (منطقية). قضية

Theoremsباإلنجليزية. ؛ Théorèmes1بالفرنسيةباإلنجليزية. Corollary ؛ بالفرنسية Corollaire2

اإلنجليزية). و بالفرنسية Conjecture) نة فهيخمم صحتها نعتقد لكن إثباهتا من نتمكن مل 3إذاباإلنجليزية. Axioms ؛ بالفرنسية Axiomes4

اخلوارزمي. موسى أبو الرياضياتحممد عامل إىل نسبة ؛ باإلنجليزية Algorithm ؛ بالفرنسية Algorithme5باإلنجليزية. Proof by contradiction ؛ Démonstrationبالفرنسية par l’absurde6

اإلنجليزية. و بالفرنسية Proposition7


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

الرياضي املنطق – الرياضيات ماهية .1 باب 12

A تكون كانتAصحيحة إذا : ييل كام املعرفة Aأي القضية تنصعليه تنصعىلعكسما التي Aو بالرمز إليها نرمز التي القضية Aهو القضية نفي8(و متقايساألضالع» مثلثغري «يوجد القضية هو األضالع» متقايسة املثلثات «كل القضية نفي مثال، Aصحيحة. تكون كانتAخاطئة إذا و خاطئة

.(! األضالع» متقايسة غري املثلثات ليس«كلاإلثبات). هو النفي A(نفي = AأيA القضية Aهو القضية نفي أن الواضح من

، (∨ (رمزه الفصل ، (∧ (رمزه الوصل : منها أربعة بذكر نكتفي ؛ املنطقية الروابط أو الربط أدوات املنطق يف نسميها كثرية، القضايا تركيب أدواتجديدة. قضية ليكون قضيتني بني يربط منها كل .(⇐⇒ (رمزه املنطقي التكافؤ و ( =⇒ (رمزه اإلستلزام

و A؛ ∧ Bنكتب Bو القضيتنيAو وصل9 هي «B «Aو القضية قضية. هي «B «Aأو و «B «Aو من كل فإن منطقيتني Aقضيتني كانتAو إذا.A ∨Bنكتب Bو القضيتنيAو هيفصل10 «B «Aأو القضية

nمنمضاعفات و «nمنمضاعفات2 القضية A∧Bهي فإن «nمنمضاعفات3» كانتBالقضية و «nمنمضاعفات2» كانتAالقضية إذا مثال،3 أو مضاعفات2 من n» (أي مضاعفات3» من n أو مضاعفات2 من n» القضية Aهي ∨ B و ؛ ( واحد]» آن [يف 3 و مضاعفات2 من n» (أي «3

. ( معا]» 3 و 2 [أو: اخلواصالتالية لدينا

A ∧ (B ∧ C) = (A ∧B) ∧ C ; A ∨ (B ∨ C) = (A ∨B) ∨ CA ∧ (B ∨ C) = (A ∧B) ∨ (A ∧ C) ; A ∨ (B ∧ C) = (A ∨B) ∧ (A ∨ C)A ∧B = A ∨B ; A ∨B = A ∧B

: التالية القضايا نفي أوجد : مثال

. x ⩽ −2 أو x ⩾ 3 •3 . x = 3 و x = 2 •2 . x ⩾ 2 •1: احلل

. «x < 2» القضية هو «x ⩾ 2» القضية نفي •1. «x = 3 أو x = 2» القضية هو «x = 3 و x = 2» القضية نفي •2

. «−2 < x < 3» القضية أي «x > −2 و x < 3» القضية هو «x ⩽ −2 أو x ⩾ 3» القضية نفي •3

.5.1 الفقرة يف (املنطقي) التكافؤ و ندرساإلستلزام

كلمة فمثال اللغة، يف املعروفة (املعنى) نفسالداللة الرياضياتليسهلا بعضالكلامتيف الرياضيات.¤ خصوصياتلغة .4.1 §أكثر) أو واحد (أي األقل» على «واحد تعني واحد كلمة باملثل، . متاما» «أصغر >يقرأ الرمز و ؛ يساوي» أو «أصغر الرياضياتتعني يف (نكتب⩾) أصغر

. فقط» «واحد قلنا إال وأحد حتقق إذا صحيحة P القضية أن يعني فهذا «B الرشط «الرشطAأو = P نقول عندما : بمعنى إقصائية ليست فهي ، أو لكلمة بالنسبة نفساليشءفإننا أخرض» أو «أصفر قولنا عند فمثال إقصائي11، هو الذي اللغوي املعنى عكس عىل معا) الرشطني حتقق نستثني (ال معا كالمها Bأو الرشطنيAأو

واحد). آن أخرضيف و أصفر يكون أن يمكن ال أخرض(و إما و أصفر إما نقصد

A B

C Dفمثال، خمتلفتني. بتسميتني واحد يشء نتحدثعن أننا نقصد شيئنيمتساويان12فإننا أن نقول عندما[AB] = [CD]نكتب متساويتني(أيالجيبأن جانبه [CD] و [AB]القطعتني أن نقول الجيبأنالطول : AB(نقرأ = CDنكتب و الطول) نفس هلام (أي متقايستان أهنام هو قوله يمكن ما كل بل (

.(CD الطول ABيساوي

لدينا يكن مل إذا آخر، بتعبري خمتلفني. األقل) (عىل إثننيمنهام كان إذا أي متساوية كلها تكن مل إذا (متباينة) خمتلفة13 Zأهنا و Y ،X أشياء ثالثة عن نقولنقول احلالة هذه يف و Z = X و Y = Z Xو = Y عندما اخلاصة احلالة يف أيضا ذلك يتحقق . Y = Z Xو = Y كان إذا ، مثال .X = Y = Z

مثنى. مثنى خمتلفة أهنا عنهامثنى خمتلفة تكون أن دون من خمتلفة أشياء ثالثة تكون أن يمكن أنه بمعنى العكسغريصحيح لكن خمتلفة أشياء مثىنهي مثىن خمتلفة أشياء ثالثة بالتايل،

مثنى. مثنى خمتلفني بنيخمتلفنيو فرق ال شيئني، حالة يف األشياء. من ثالثة) من (أكرب كيفي عدد عىل ينطبق هذا مثنى.

) بحرف إليه نرمز عددا أي املتغري15 يسمى ما نعترب أننا املقصود بل العدد، هلذا معينة قيمة نختار أننا يعني ال فهذا كيفيا14 عددا نختار أننا نقول عندماNegationباإلنجليزية. ؛ Négation8بالفرنسية

باإلنجليزية. Conjunction ؛ بالفرنسية Conjonction9Disjunctionباإلنجليزية. ؛ Disjonction10بالفرنسية

باإلنجليزية. Inclusive ؛ بالفرنسية Inclusif ضده ، باإلنجليزية Exclusive ؛ بالفرنسية Exclusif11باإلنجليزية. Equal ؛ بالفرنسية Égal (égale,égaux, égales)12

Distinctباإلنجليزية. ؛ Distinct(e)s13بالفرنسيةباإلنجليزية. Any ؛ Quelconque14بالفرنسية



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

13 الرياضي املنطق – الرياضيات ماهية .1 باب

نقطة. أي متثل أن يمكن معينة غري نقطة هي تلكبل أو النقطة هذه تعني ال كيفية نقطة باملثل، إلخ). ... t ، n ، y ،X

Aو =⇒ Bنكتب منطقيتان. Bقضيتان حيثAو «B Aفإن «إذا الشكل من نص هو اإلستلزام التكافؤ.¤ و اإلستلزام .5.1 §.(x = 3 =⇒ x2 = 9

): يكتب استلزام يساوي9» x2 فإن يساوي3 x كان «إذا مثال، . «B «Aتستلزم أو «B Aفإن «إذا نقرأ

صحيح. اإلستلزام السابق، املثال يف . منطقية قضية عن عبارة (A =⇒ B) اإلستلزام. (A =⇒ C) فإن (B =⇒ C) و (A =⇒ B) كان إذا : بمعنى متعدي16، اإلستلزام

: نكتبإختصارا «B =⇒ C Aو =⇒ B» من بدال

A =⇒ B

=⇒ C

(املتباينات). املرتاجحات أو املعادالت حل عند اإلستخدام كثرية األخرية الكتابةاإلستلزام مثال، صحيح. ليسبالرضورة عكسه فإن صحيحا اإلستلزام يكون عندما . (B =⇒ A) اإلستلزام هو (A =⇒ B) اإلستلزام عكس17

يساوي3−. أن يمكن x فإن x2 = 9 كان إذا ألنه ليسصحيحا،(x2 = 9 =⇒ x = 3

)عكسه لكن صحيح

(x = 3 =⇒ x2 = 9

): أي «B «Aو القضية هو (A =⇒ B) اإلستلزام (ضد) نفي

(A =⇒ B) = A ∧B

. «y > 0 و x = 1» هو (x = 1 =⇒ y ⩽ 0) اإلستلزام نفي مثال،.(B =⇒ A

)اإلستلزام هو (A =⇒ B) لإلستلزام )العكسالنقيض18

x = 3 =⇒ x2 = 9)العكسالنقيضلإلستلزام مثال، لكنبكتابتنيخمتلفتني. النقيضمتكافئانأيأهناميدالنعىلنفساليشء اإلستلزاموعكسه

.(x2 = 9 =⇒ x = 3

)اإلستلزام هو

. «(B =⇒ A) و (A =⇒ B)» القضية هي «B «Aيكافئ القضية : بمعنى عكسه، و استلزام وصل ترتكبمن قضية [املنطقي]19 التكافؤ. x > 0 ⇐⇒ −x < 0 مثال، . «B «Aيكافئ نقرأ و (A ⇐⇒ B) نكتب

. (A ⇐⇒ C) فإن (B ⇐⇒ C) و (A ⇐⇒ B) كان إذا : بمعنى متعدي، التكافؤ: نكتب أن يمكن لإلستلزام، بالنسبة احلال هو كام

A ⇐⇒ B

⇐⇒ C

. «B ⇐⇒ C Aو ⇐⇒ B» من بدالو «Aإذا مثال نقول أن يمكن «B «Aيكافئ من بدال أي ، للتكافؤ أخرى عبارات هي الكايف» و الالزم «الشرط ، يكفي» و «جيب ، إذا» فقط و «إذا

. «B إذا فقط

باإلنجليزية. Indeterminate ؛ بالفرنسية Indéterminée15Transitiveباإلنجليزية. ؛ Transitif(-ive)16بالفرنسية

باإلنجليزية. Converse ؛ بالفرنسية Réciproque17بالفرنسية. Contraposée18

باإلنجليزية. Equivalence ؛ بالفرنسية Équivalence [logique]19



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. ياضيات الر يحب لا من لكل هدية •2

النعوت. ذلكمن غري إىل ... مملة، متعبة، شاقة، الرياضياتصعبة، جيد من باألحرى أو

ذلك. لنا ط تبس طرق فهناك تقلق، ال ... الرضب؟ جداول حتفظ ال أو الرضب؟ عملية صعوباتيف جتد هل الرضب.¤ .1.2 §كنت ذلكإن بأسيف ال الرضب؟ نسيتجدول لو ماذا لكن . 48 فستجيبمبارشة الرضب، كنتحتفظجدول إن . 8× 6 ناتج?= عن لنبحثمثال

: التالية بالطريقة دراية عىل

8 × 6 =

: عدد حتتكل دائرة برسم نبدأ

8

2

× 6

4

=

10−8=2 10−6=4 : الدائرة داخل النتيجة نكتب و 10 من عدد كل نطرح ثم

8

2

× 6

4

= 40

6−2=4

8−4=4

الناتج أو (6−2 = الثاين(4 العدد الناتجاألولمن نطرح ذلك، بعدو النتيجة) نفس عىل نحصل ؛ 8 − 4 = 4 ) األول العدد من الثاينو العرشات مرتبة يف ( = ) املساواة إشارة يمني عىل النتيجة نكتب

: اآلحاد مرتبة يف صفرا نضع

8

2

× 6

4

= 40

2×4=8

8+= 48 الناتج نجمع و بينهام الدائرتني يف اللذين نرضبالعددين األخري، يف

: السابق الناتج مع

وقتقصري. يف إجياده فبإمكانك نسيتاجلواب إذا الرضبألنه حفظجدوال من أسهل هي ربام أليسكذلك؟ سهلة، الطريقة تبدوالبرص! ملح يف النتيجة إعطاء من ستتمكن التجربة من بقليل احلال، بطبيعة

النرش: باستعامل (10− 2)× (10− 4) هو احلقيقة يف به نقوم ما أن نجد جيدا النظر متعنا إذا : ؟ الطريقة هذه وراء السر ما(a− b) (c− d) = ac− ad− bc+ bd

: ألن

8× 6 = (10− 2) (10− 4)︸︷︷︸الثانية اخلطوة

= 10× 10− 4× 10− 2× 10 + 2× 4 = 10× 10− 10× (2 + 4) + 2× 4

= 10× 10− 10× 6 + 2× 4 = 10× (10− 6) + 2× 4 = 10× (8 + 2− 6) + 2× 4

= 10 (8− 4)︸︷︷︸الثالثة اخلطوة

+ 2× 4︸︷︷︸األخرية اخلطوة

، 10 من (100 من أصغر (التي األعداد طرح من بدال : ضئيل فرق مع األعداد لكل تصلح نعم ؟ 10 من أكرب التي لألعداد الطريقة هذه تصلح هل: 96× 72 الرضب?= حاصل لنبحثعن ، مثال هكذا. و ... 1000 من نطرحها 1000 من أصغر التي و ، 100 من نطرحها


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

الرياضيات حيب ال من لكل هدية .2 باب 16

96 × 72 =


96

4

× 72

28

=


96

4

× 72

28

= 6800

96−28=68

72−4=68

أو (72 − 4 = 68) الثاين العدد من األول الناتج نطرح ذلك، بعدنفس عىل نحصل ؛ 96 − 28 = 68 ) األول العدد من الثاين الناتجمرتبة يف ( = ) املساواة إشارة يمني عىل النتيجة نكتب و النتيجة)

: يمينه عىل صفرين نضع املئاتو

96

4

× 72

28

= 6800

4×28=112



. 2.2 الفقرة بطريقة أو باليد أو احلاسبة باآللة النتيجة منصحة التحقق يمكن993× 961 الرضب?= حاصل لنبحثعن : آخر مثال

993 × 961 =


993

7

× 961

39

=


993

7

× 961

39

= 954 000

993−39=954

961−7=954

(961 − 7 = 954) الثاين العدد من األول الناتج نطرح ذلك، بعدعىل نحصل ؛ 993 − 39 = 954 ) األول العدد من الثاين الناتج أو=)يفمرتبة ) املساواة نكتبالنتيجةعىليمنيإشارة و نفسالنتيجة)

: يمينه عىل أصفار ثالثة نضع اآلالفو

993

7

× 961

39

= 954000

7×39=273



: التالية بالطريقة أو باليد أو احلاسبة باآللة النتيجة منصحة التحقق يمكن

من للتحقق أي الثاين املثال نتيجة عىل أيعمليةرضبسنعرضها نتيجة من للتحقق بسيطة طريقة توجد النتائج.¤ من التحقق .2.2 §. 96× 72 = 6912 : العملية صحة

. 1 + 5 = 6 : فقط واحد برقم عدد عىل نحصل حتى العملية نكرر و 9 + 6 = 15 : نجد فإننا أرقامه مجعنا إذا . 96 : األول العدد نعترب. 7 + 2 = 9 : بنفسالعمل نقوم و الثاين العدد إىل نمر

. 999 هي النتيجة . . . . . . . . ؛ 5 + 4 = 9 : أرقامه نجمع و العملية) إلجراء السابقة الطريقة اتباع (يمكن 6× 9 = 54 : بينهام فيام الناجتني نرضب

. 999 هي النتيجة . . . . . . . . . . . . . . . . ؛ 1 + 8 = 9 : العمل نكرر و 6 + 9 + 1 + 2 = 18 : أرقامها نجمع الرضبو عملية نتيجة إىل اآلن نمر

. 96× 72 = أي6912 ! الرضبصحيحة عملية نتيجة فإن احلالتني) يف 9) النتيجة نفس عىل حصلنا أننا بام

؟ 993× 961 = 954273 هل السابق. الثالث املثال : آخر مثال عىل أخرى مرة لنعرضالطريقة. 2 + 1 = 3 ثم 9 + 9 + 3 = 21 : األول للعدد بالنسبة. 1 + 6 = 7 ثم 9 + 6 + 1 = 16 : الثاين للعدد بالنسبة

. 333 هي النتيجة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ؛ 2 + 1 = 3 و 3× 7 = 21 : بعدها

. 333 هي النتيجة . . . . . . . . . . . . . . ؛ 3 + 0 = 3 ثم 9 + 5 + 4 + 2 + 7 + 3 = 30 : أرقامها نجمع الرضبو عملية نتيجة إىل اآلن نمر

. 993× 961 = أي954273 ! الرضبصحيحة عملية نتيجة فإن احلالتني) يف 3) النتيجة نفس عىل حصلنا أننا بام

. 14× 14 = 196 : التايل املثال يف كام بالصفر تعويضه و (9 رقمنيجمموعهام أي (أو 9 الرقم ذلكبحذف و الطريقة هذه تبسيط يمكن احلقيقة، يف



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

17 الرياضيات حيب ال من لكل هدية .2 باب

. 2 + 5 = 7 ثم 5× 5 = 25 ثم 1 + 4 = 5 : جهة من لديناصحيحة. العملية بالتايل و متوافقتان النتيجتان ؛ 1 + 9 + 6 = 1 + 0 + 6 = 7 : أخرى جهة من و

؟ صحيحة 456× 831 = 368936 : العملية هل. 1 + 8 = 9 ثم 6× 3 = 18 منه 8 + 3 + 1 = 0 + 3 = 3 : الثاين للعدد و .(4 + 5) + 6 = 0 + 6 = 6 : األول للعدد بالنسبة

! خاطئة فالعملية إذن السابقة النتيجة ختتلفعن نتيجة هي 3)و + 6) + 8 + 9 +(3 + 6) = 0 + 8 + 0 + 0 = 8 : الرضب حلاصل بالنسبة و. 456× 831 = 37778936 : لدينا احلقيقة يف

a كان إذا : ييل بام نكتفي لكن كاملة، بصفة الطريقة هذه صحة بتربير لنا تسمح ال اآلن حلد املكتسبة معلوماتنا : الطريقة هذه جناح وراء السر ماالنظام - األساس10 ذي النظام يف x = cbaيكتب x العدد أن (نقول مئاته رقم c و عرشاته رقم b و للتبسيط) أرقام ثالثة من ن (مكو x عدد آحاد رقم

: منه 100 = 99 + 1 = 9× 11 + 1 و 10 = 9 + 1 لكن . x = a+ 10b+ 100c : فإن العرشي-)x = a+ 10b+ 100c = a+ b+ 9b+ c+ 99c = a+ b+ c+ 9b+ 9× 11c = a+ b+ c+ 9 (b+ 11c)

أنه نالحظ السابقة الكتابة فمن اخلطوة) هذه بتربير لنا تسمح ال املعرفية (مكتسباتنا بالصفر مضاعفاته كل و 9 تعويضالعدد بإمكاننا أنه فرضنا إذا و. بالصفر ضه نعو أي مضاعفات9 من 9 (b+ 11c) العدد ذلكألن ، ( x العدد أرقام جمموع يمثل (الذي a+ b+ c بالعدد x تعويضالعدد يمكن

. عىل9 للقسمة قابال أرقامه جمموع كان إذا فقط و إذا عىل9 القسمة عدد يقبل : عىل9 القسمة قابلية قاعدة نستنتج هنا من

تعلم ذلكألنك 77 إجابتكستكون فإن 7× قلتلك11 إذا و 33 فستجيببرسعة 3× طلبتمنك11 إذا الرضبيف11.¤ .3.2 §مرتني. الرقم هذا تكرار ببساطة هو يف11 واحد) رقم من (مكون رضبعدد أن

نكتب ثم 1 + 4 = الرقمني5 نجمع 14 × 11 إلجياد مثال ، الوسط) (يف بينهام النتيجة نكتب و الرقمني نجمع فإننا رقمني من مكونا العدد كان إذا. 14× 11 = أي154 15554 بينهام النتيجة

. 2 + 7 = 9 ألن 27× 11 = 297 : باملثل5+ 8 = الرقمني12 مجع فبعد 85× 11 إجياد أردنا إذا ، مثال املئات. لرقم نضيفه و بالواحد نحتقظ فإننا يساوي10 أو من الرقمنيأكرب جمموع كان إذا

85× 11 =11182225 = 925 منه (8 + 1 = املئات(أي9 رقم إىل نضيف1 و الوسط يف نكتب2 بالتايل و 10 يساوي) (أو من أكرب عددا نجد

. 95× 11 =11194445 = 1045 : (9 + 5 = 14 نكتب(مع فإننا 95× 11 أردنا إذا باملثل،

: خمتلفة أمثلة هذه و42× 11 = 46662 53× 11 = 58883 21× 11 = 23331

25× 11 = 27775 36× 11 = 39996 62× 11 = 68882

28× 11 =11120008 = 308 47× 11 =

11141117 = 517 97× 11 =

11196667 = 1067

55× 11 =11150005 = 605 76× 11 =

11173336 = 836 84× 11 =

11182224 = 924

. 123× 11 : املثال عىل نعرضها ، كيفييف11 لرضبعدد الطريقة اآلن هذه و

. 000123× 11 : نكتب أي العدد يسار إىل نضيفصفرا بداية، •

: مثالنا يف يمينه. عىل الذي الرقم مع رقم كل نجمع اآلحاد، برقم بدء •

حاصل آحاد رقم يمثل (333 (أي العدد هذا و 3 + 0 = 3 أي صفرا له نضيف إذن يمينه عىل رقم أي يوجد ال : 3 هو الذي اآلحاد برقم نبدأ الرضب.

.555 الرضبهو عرشاتحاصل رقم إذن 2 + 3 = 5 و 3 الرقم يمينه عىل . 2 هو العرشاتو رقم إىل ننتقل .333 الرضبهو مئاتحاصل رقم إذن 2 + 1 = 3 و 2 الرقم يمينه عىل . املئاتأي1 رقم بعدها

.111 الرضبهو آالفحاصل رقم إذن 1 + 0 = 1 و 1 الرقم يمينه عىل . أي0 األخري الرقم إىل ننتقل . احلالة] هذه تسقطيف األخرية املرحلة ألن صحيحة النتيجة تكون فلن البداية يف 123 العدد يسار عىل نضفالصفر مل [إذا

. (1 = آالفه ،3 = مئاته ،5 = عرشاته ،3 = آحاده : أن (وجدنا 1353 الرضبهو حاصل األخري، يف

فقط. نخترصالعملية أننا أي

1 2 31 1

1 2 31 2 3 ·1 3 5 3

×

أي+

0 1 2 31 2 3 01 3 5 3 هو به نقوم ما احلقيقة، يف



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

الرياضيات حيب ال من لكل هدية .2 باب 18

: أمثلة

471× 11 −→

+

1

0 4 7 14 7 1 05 1 8 1 301× 11 −→

+0 3 0 13 0 1 03 3 1 1 4789× 11 −→

+

1 1 1

0 4 7 8 94 7 8 9 05 2 6 7 9

71× 11 −→

+0 7 17 1 07 8 1 10001× 11 −→

+0 1 0 0 0 11 0 0 0 1 01 1 0 0 1 1 43250× 11 −→

+0 4 3 2 5 04 3 2 5 0 04 7 5 7 5 0

الكسور.¤ .4.2 §

(تطبيقات).¤ الشهرية املتطابقات .5.2 §

القسمة.¤ قابلية قواعد .6.2 §

¤.15 و 14 ، جدولرضب13 .7.2 §

املئوية.¤ النسب .8.2 §

¤.5 بـ ينتهي عدد مربع .9.2 §



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي حملولة متارين


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. (الناطقة) الأعداد على العمليات •3

. .. 1. : النتائج اختزل ثم أحسب C

.E =0.3

5 +1

7

، D =8− 2.5

0.7، C =

3

4− 6

77

12+

2

3

، B =

5

6+

3

47

12

، A =

4

52

3

A =

4

52

3

=4

5× 3

2=

4× 3

5× 2=

2

4 × 3

5× 1

2

=2× 3

5× 1=

6

5

5

6+

3

4=

5× 26× 2 +

3× 34× 3 =

10

12+

9

12=

10 + 9

12=

19

12: لدينا

B =

19

127

12

=19

12× 12

7=

19× 12

12× 7=

19×12

12 × 7=

19

7: منه

3

4− 6

7=

3× 74× 7 − 6× 4

7× 4 =21

28− 24

28=

21− 24

28= − 3

28: لدينا

7

12+

2

3=

7

12+

2× 43× 4 =

7

12+

8

12=

7 + 8

12=

15

12=

5× 3

4× 3=

5× 34× 3

=5

4و

C =− 3

285

4

= − 3

28× 4

5= − 3× 4

28× 5= − 3×

1

4

>7

28 × 5

= −3× 1

7× 5= − 3

35: منه

D =8− 2.5

0.7=

5.5

0.7=

5.5× 100.7× 10 =

55

7

5 +1

7=

5

1+

1

7=

5× 71× 7 +

1

7=

35

7+

1

7=

35 + 1

7=

36

7: لدينا

E =0.336

7

=

3

1036

7

=3

10× 7

36=

3× 7

10× 36=

1

3 × 7

10×>12

36

=1× 7

10× 12=

7

120: منه

. .. 2. : النتائج ط بس ثم التالية املجاميع أنجز :

.D =

(−5

−9

)+

(−1

−6

)، C = (+4) +

(−2

+3

)، B =

(−7

+12

)+

(+1

−3

)، A =

(−5

−6

)+

(−3

+4

)

A =

(+5

6

)+

(−3

4

)=

5

6− 3

4=

5× 26× 2 − 3× 3

4× 3 =10

12− 9

12=

10− 9

12=

1

12

B =

(− 7

12

)+

(−1

3

)= − 7

12− 1

3= − 7

12− 1× 4

3× 4 = − 7

12− 4

12=

−7− 4

12= −11

12

C = 4 +

(−2

3

)= 4− 2

3=

4

1− 2

3=

4× 31× 3 − 2

3=

12

3− 2

3=

12− 2

3=

10

3


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

(الناطقة) األعداد على العمليات .3 باب 22

D =

(+5

9

)+

(+1

6

)=

5

9+

1

6=

5× 49× 4 +

1× 66× 6 =

20

36+

6

36=

20 + 6

36=

26

36=

13

18

. .. 3. : النتائج ط بس ثم التالية الفروق أنجز :

.D =

(+5

−12

)−(−2

+9

)، C =

(+11

+12

)−(+5

−8

)، B =

(−5

+6

)−(−3

+4

)، A =

(−4

−7

)−(−1

+3

)

A =

(+4

7

)−(−1

3

)=

4

7+

1

3=

4× 37× 3 +

1× 73× 7 =

12

21+

7

21=

12 + 7

21=

29

21

B =

(−5

6

)−(−3

4

)= −5

6+

3

4= −5× 2

6× 2 +3× 34× 3 = −10

12+

9

12=

−10 + 9

12= − 1

12

C =

(+11

12

)−(−5

8

)=

11

12+

5

8=

11× 212× 2 +

5× 38× 3 =

22

24+

15

24=

22 + 15

24=

37

24

D =

(− 5

12

)−(−2

9

)= − 5

12+

2

9= − 5× 3

12× 3 +2× 49× 4 = −15

36+

8

36=

−15 + 8

36= − 7

36

. .. 4. : النتائج ط بس ثم التالية اجلداءات أنجز :

.D =

(−4

−7

)×(−5

−8

)، C =

(+3

−8

)×(+5

+9

)، B =

(+5

−7

)×(−3

+4

)، A =

(−4

+5

)×(−7

−8

)

A =

(−4

5

)×(+7

8

)= −4× 7

5× 8= −

1

4 × 7

5× 2

8

= −1× 7

5× 2= − 7

10

B =

(−5

7

)×(−3

4

)= +

5× 3

7× 4=

15

28

C =

(−3

8

)×(+5

9

)= −3× 5

8× 9= −

1

3 × 5

8× 3

9

= −1× 5

8× 3= − 5

24

D =

(+4

7

)×(+5

8

)= +

4× 5

7× 8=

1

4 × 5

7× 2

8

=1× 5

7× 2=

5

14

. .. 5. : النتائج ط بس ثم التالية القسمة حواصل أنجز :

.D =

(+4

+7

):

(−5

−8

)، C =

(−15

+7

):

(−3

−2

)، B =

(−4

−15

):

(+3

−5

)، A =

(−5

+16

):

(−7

+8

)

A =

(− 5

16

):

(−7

8

)=

(− 5

16

)×(−8

7

)= +

5× 8

16× 7=

5× 1

8

>2

16 × 7

=5× 1

2× 7=

5

14

B =

(+

4

15

):

(−3

5

)=

(+

4

15

)×(−5

3

)= − 4× 5

15× 3= − 4×

1

5

>3

15 × 3

= −4× 1

3× 3= −4

9

C =

(−15

7

):

(+3

2

)=

(−15

7

)×(+2

3

)= −15× 2

7× 3= −>

5

15 × 2

7× 1

3

= −5× 2

7× 1= −10

7

D =

(+4

7

):

(+5

8

)=

(+4

7

)×(+8

5

)= +

4× 8

7× 5=

32

35



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

23 (الناطقة) األعداد على العمليات .3 باب

. .. 6. : النتائج اختزل ثم أحسب W

.C =2− 4

5− 3

213

6− 3

4+

1

3

، B =

5

2− 6− 11

8

−1 +4

15+

1

12

، A =−2

7+ 1 +

1

215

6− 1

3− 5

9

: كالعىلحدى املقام و البسط نحسب هنا، أبسط. حسابات إىل تفكيكها يستحسن معقدة، املطلوبة احلسابات تكون عندما

−2

7+ 1 +

1

21= −2× 3

7× 3 +1× 211× 21 +

1

21= − 6

21+

21

21+

1

21=

−6 + 21 + 1

21=

16

21: لدينا

5

6− 1

3− 5

9=

5× 36× 3 − 1× 6

3× 6 − 5× 29× 2 =

15

18− 6

18− 10

18=

15− 6− 10

18= − 1

18و

A =

16

21

− 1

18

=16

21× (−18) = −16× 18

21= −16×

6

3

>7

21

= −16× 6

7= −96

7: منه

5

2− 6− 11

8=

5× 42× 4 − 6× 8

1× 8 − 11

8=

20

8− 48

8− 11

8=

20− 48− 11

8= −39

8: باملثل

−1 +4

15+

1

12= −1× 60

1× 60 +4× 415× 4 +

1× 512× 5 =

−60 + 16 + 5

60= −39

60و

B =−39

8

−39

60

=

(−39

8

)×(−60

39

)= +

39× 60

8× 39=

39 ×>15

60

2

8 ×39

=1× 15

2× 1=

15

2: منه

2− 4

5− 3

2=

2× 101× 10 − 4× 2

5× 2 − 3× 52× 5 =

20

10− 8

10− 15

10=

20− 8− 15

21= − 3

10: أيضا

13

6− 3

4+

1

3=

13× 26× 2 − 3× 3

4× 3 +1× 43× 4 =

26

12− 9

12+

4

12=

26− 9 + 4

12=

21

12=

7

4و

C =− 3

107

4

=

(− 3

10

)×(4

7

)= − 3×

2

4

>5

10 × 7

= −3× 2

5× 7= − 6

35: منه

. .. 7. : النتائج اختزل ثم أحسب #

، B =

4 +1

3+

1

56

−5 +

5

9− 4

310

−1 +1

2− 3

4

، A =

1

4+

1

5+ 5

2−

8 +2

3− 1

620

13

12− 5

3− 6

.D =

11

12+

1

8

3− 3

7

×−2 +

2

95

6− 3

2

×2 +

3

7

4− 2

9

، C =

3

5− 1

2

3− 1

4

×

1

6+

2

93

8− 1

×−8 +

5

2

1− 3

10

. c = 13

12− 5

3− 6 و b = 8 +

2

3− 1

6، a =

1

4+

1

5+ 5 حيث A =

a

2− b

20c

نكتب

a =1

4+

1

5+ 5 =

1× 54× 5 +

1× 45× 4 +

5× 2020

=5

20+

4

20+

100

20=

5 + 4 + 100

20=

109

20: لدينا

a

2=

109

202

=109

20× 2=

109

40: منه

b = 8 +2

3− 1

6=

8× 61× 6 +

2× 23× 2 − 1

6=

48

6+

4

6− 1

6=

48 + 4− 1

6=

51

6=

17

2و

b

20=

17

220

=17

2× 20=

17

40: منه

a

2− b

20=

109

40− 17

40=

109− 17

40=

92

40=

23× 4

10× 4=

23× 410× 4

=23

10: منه



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


c =13

12− 5

3− 6 =

13

12− 5× 4

3× 4 − 6× 121× 12 =

13

12− 20

12− 72

12=

13− 20− 72

12= −79

12و

A =

a

2− b

20c

=

23

4

−79

12

=23

10×(−12

79

)= −23× 12

10× 79= −23×>

6

12

>5

10 × 79

= −23× 6

5× 79= −138

395: بالتايل

. c = −1 +1

2− 3

4و b = 5 +

5

9− 4

3، a = 4 +

1

3+

1

5حيث B =

a

6− b

10c

نكتب

a = 4 +1

3+

1

5=

4× 151× 15 +

1× 53× 5 +

1× 35× 3 =

60

15+

5

15+

3

15=

60 + 5 + 3

15=

68

15: لدينا

a

6=

68

156

=68

15× 6=

34× 2

15× 3× 2=

34× 245× 2

=34

45: منه

b = 5 +5

9− 4

3=

5× 91× 9 +

5

9− 4× 3

3× 3 =45

9+

5

9− 12

9=

45 + 5− 12

9=

38

9و

b

10=

38

910

=38

9× 10=

38

90=

19

45: منه

a

6− b

10=

34

45− 19

45=

34− 19

45=

15

45=

153×15

=1

3: منه

c = −1 +1

2− 3

4= −1× 4

1× 4 +1× 22× 2 − 3

4= −4

4+

2

4− 3

4=

−4 + 2− 3

4= −5

4و

B =

a

6− b

10c

=

1

3

−5

4

=1

3×(−4

5

)= −1× 4

3× 5= − 4

15: بالتايل

. f = 1− 3

10و e = −8 +

5

2، d =

3

8− 1 ، c =

1

6+

2

9، b = 3− 1

4، a =

3

5− 1

2حيث C =

a

b× c

d× e

fنكتب

a =6− 5

10=

1

10, b =

12− 1

4=

11

4,

a

b=

1

1011

4

=1

10× 4

11=

4

110=

2

55: لدينا

c =3 + 4

18=

7

18, d =

3− 8

8= −5

8,

c

d=

7

18

−5

8

= − 7

18× 8

5= −56

90= −28

45

e =−16 + 5

2= −11

2, f =

10− 3

10=

7

10,

e

f=

−11

27

10

= −11

2× 10

7= −110

14= −55

7

C =a

b× c

d× e

f=

(2

55

)×(−28

45

)×

(−55

7

)= +

2×>4

28 ×55

55 × 45× 1

7

=2× 4

45× 1=

8

45: بالتايل و

. f = 4− 2

9و e = 2 +

3

7، d =

5

8− 3

2، c = −2 +

2

9، b = 3− 3

7، a =

11

12+

1

8حيث D =

a

b× c

d× e

fنكتب

a =22 + 3

24=

25

24, b =

21− 3

7=

18

7,

a

b=

25

24× 7

18=

175

432: لدينا

c =−18 + 2

9= −16

9, d =

5− 9

6= −4

6= −2

3,

c

d= +

16

9× 3

2=

8

3

e =14 + 3

7=

17

7, f =

36− 2

9=

34

9,

e

f=

17

7× 9

34=

9

7× 2=

9

14

D =a

b× c

d× e

f=

(175

432

)×(8

3

)×(

9

14

)=

25× 7

8× 9× 6× 8

3× 9

2× 7=

25


. .. 8. : النتائج اختزل ثم أحسب :



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

25 (الناطقة) األعداد على العمليات .3 باب

، d =7

33:21

11، c =

1

64× 8

3، b =

1

21− 5

6، a =

2

5+

3

2

. h =1

2:7

10، g =

1

2× 7

10، f =

1

2− 7

10، e =

1

2+

7

10

a =2

5+

3

2=

2× 25× 2 +

3× 52× 5 =

4

10+

15

10=

4 + 15

10=

19

10

b =1

21− 5

6=

1× 221× 2 − 5× 7

6× 7 =2

42− 35

42=

2− 35

10= −33

42= −11× 3

14× 3= −11

14

c =1

64× 8

3=

1× 8

64× 3=

1

8

>8

64 × 3

=1

8× 3=

1

24

d =7

33:21

11=

7

33× 11

21=

7× 11

33× 21=

1

7 ×>1

11

>3

33 ×>3

21

=1× 1

3× 3=

1

9

e =1

2+

7

10=

1× 52× 5 +

7

10=

5

10+

7

10=

5 + 7

10=

12

10=

6

5

f =1

2− 7

10=

1× 52× 5 − 7

10=

5

10− 7

10=

5− 7

10= − 2

10= −1

5

g =1

2× 7

10=

1× 7

2× 10=

7

20

h =1

2:7

10=

1

2× 10

7=

1× 10

2× 7=

>5

10

1

2 × 7

=5

1× 7=

5

7

. .. 9. : أبسطشكل عىل النتائج اكتب و املشرتكة العوامل اختزل C

.B =2× 32 × 74

3× 4× 14، A =

23 × 72 × 102

2× 75 × 103

A = 2× 22 ×72 ×102

2×72 × 73 ×102 × 10=

22

73 × 10= 2× 2

73 × 2× 5=

2

73 × 5=

2

1715

B =2× 32 × 74

3× 4× 14= 2× 3× 3× 7× 73

3× 4× 2× 7=

3× 73

4=

1029

4

. .. 10. : النتائج اختزل ثم أحسب W

A =

[(7

8− 9

16− 13

)+

(− 5

12+

4

27+ 1

)]−[(

9

4+

1

3− 6

)−(1

8− 1

9

)]B =

(−7

9

)[(3 +

1

4− 19

5

)−(−2

5− 3

4

)]+

(−1

5

)[10− 4

(1

3+ 7

)]

: Aحيث = [a+ b]− [c− d]نكتب

a =7

8− 9

16− 13 =

14

16− 9

16− 208

16=

14− 9− 208

16= −203

16

b = − 5

12+

4

27+ 1 = − 45

108+

16

108+

108

108=

−45 + 16 + 108

108=

79

108

c =9

4+

1

3− 6 =

27

12+

4

12− 72

16=

27 + 4− 72

12= −41

12

d =1

8− 1

9=

9

72− 8

72=

1

72



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


A =

[−203

16+

79

108

]−[−41

12− 1

72

]= −203

16+

79

108+

41

12+

1

72: منه

=−203× 27 + 79× 4 + 41× 36 + 1× 6

432= −3683

32

B =

(−7

9

)[(60

20+

5

20− 76

20

)−(− 8

20− 15

20

)]+

(−1

5

)[10− 4

(1

3+

21

3

)]=

(−7

9

)[60 + 5− 76

20− −8− 15

20

]+

(−1

5

)[10− 4

(1 + 21

3

)]=

(−7

9

)[−11

20+

23

20

]+

(−1

5

)[10− 4× 22

3

]=

(−7

9

)[−11 + 23

20

]+

(−1

5

)[30

3− 88

3

]=

(−7

9

)[12

20

]+

(−1

5

)[30− 88

3

]=

(−7

9

)[3

5

]+

(−1

5

)[−58

3

]= − 7

15+

58

15=

−7 + 58

15=

51

15=

17

5

Fbelhocine : https://prof27math.weebly.com/


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. (الجذور) الصماء الأعداد على العمليات •4

. .. 1. : يمكن ما أصغر طبيعي آخر عدد b و طبيعي عدد aحيث a√b الشكل عىل اآلتية العبارات من كال ضع :

√1000 •

√1805 •

√8000 •

√245 •

√252 •

√500 •

√108 •

√192 •

√242 •

√72 •

√75 •

√80 •

√54 •

√40 •

√45 •

√12 •

√27 •

√32 •

√12 =

√3× 4 =

√3×

√4 =

√3× 2 = 2

√3

√27 =

√3× 9 =

√3×

√9 =

√3× 3 = 3

√3

√32 =

√2× 16 =

√2×

√16 =

√2× 4 = 4

√2

√54 =

√6× 9 =

√6×

√9 =

√6× 3 = 3

√6

√40 =

√4× 10 =

√4×

√10 = 2×

√10 = 2

√10

√45 =

√5× 9 =

√5×

√9 =

√5× 3 = 3

√5

√72 =

√2× 36 =

√2×

√36 =

√2× 6 = 6

√2

√75 =

√3× 25 =

√3×

√25 =

√3× 5 = 5

√3

√80 =

√5× 16 =

√5×

√16 =

√5× 4 = 4

√5

√108 =

√3× 36 =

√3×

√36 =

√3× 6 = 6

√3

√192 =

√3× 64 =

√3×

√64 =

√3× 8 = 8

√3

√242 =

√2× 121 =

√2×

√121 =

√2× 11 = 11

√2

√245 =

√5× 49 =

√5×

√49 =

√5× 7 = 7

√5

√252 =

√7× 36 =

√7×

√36 =

√7× 6 = 6

√7

√500 =

√5× 100 =

√5×

√100 =

√5× 10 = 10

√5

√1000 =

√10× 100 =

√10×

√100 =

√10× 10 = 10

√10

√1805 =

√5× 361 =

√5×

√361 =

√5× 19 = 19

√5

√8000 =

√5× 1600 =

√5×

√1600 =

√5× 40 = 40

√5

. .. 2. : ناطق لعدد تربيعي جذر بشكل اآلتية أكتباجلداءات :

1

7

√392 •

1

6

√192 •

1

5

√200 •

1

9

√243 •

1

2

√128 •

1

3

√45 •

3√6 •

7√7 •

9√5 •

2√3 •

4√2 •

5√8 •


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

(اجلذور) الصماء األعداد على العمليات .4 باب 28

2√3 =

√22 ×

√3 =

√4×

√3 =

√4× 3 =

√12

4√2 =

√42 ×

√2 =

√16×

√2 =

√16× 2 =

√32

5√8 =

√52 ×

√8 =

√25×

√8 =

√25× 8 =

√200

3√6 =

√32 ×

√6 =

√9×

√6 =

√9× 6 =

√54

7√7 =

√72 ×

√7 =

√49×

√7 =

√49× 7 =

√343

9√5 =

√92 ×

√5 =

√81×

√5 =

√81× 5 =

√405

1

2

√128 =

√(1

2

)2

×√128 =

√1

4×√128 =

√1

4× 128 =

√128

4=

√32

1

3

√45 =

√(1

3

)2

×√45 =

√1

9×√45 =

√1

9× 45 =

√45

9=

√5

1

5

√200 =

√(1

5

)2

×√200 =

√1

25×√200 =

√1

25× 200 =

√200

25=

√8

1

9

√243 =

√(1

9

)2

×√243 =

√1

81×√243 =

√1

81× 243 =

√243

81=

√3

1

7

√392 =

√(1

7

)2

×√392 =

√1

49×√392 =

√1

49× 392 =

√392

49=

√8

1

6

√192 =

√(1

6

)2

×√192 =

√1

36×√192 =

√1

36× 192 =

√192

36=

√16

3

. .. 3. : ناطق لعدد تربيعي جذر بشكل اآلتية أكتباجلداءات :√1

15×√

5

9•

√7

9×√

27

49•

√1

3×√

1

2•

√4

5×√

3

2•

√7×

√1

2•

√5×

√1

35•

√2×

√40 •

√3×

√7 •

√6×

√5 •

√8×

√3 •

√2×

√40 =

√2× 40 =

√80

√3×

√7 =

√3× 7 =

√21

√6×

√5 =

√6× 5 =

√30

√8×

√3 =

√8× 3 =

√24

√7×

√1

2=

√7× 1

2=

√7

2

√5×

√1

35=

√5× 1

35=

√5

35=

√1

7√1

3×√

1

2=

√1

3× 1

2=

√1

3× 2=

√1

6√4

5×√

3

2=

√4

5× 3

2=

√4× 3

5× 2=

√6

5√1

15×√

5

9=

√1

15× 5

9=

√1× 5

15× 9=

√1

27



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

29 (اجلذور) الصماء األعداد على العمليات .4 باب√

7

9×√

27

49=

√7

9× 27

49=

√7× 27

9× 49=

√3

7

. .. 4. : التالية أحسباجلداءات :

3×√

88

7×√

63

198•

√26×

√2

117×√

14

33×√

21

22•

√84

5×√

35

12•

2×√

51

4×√

17

75•

4×√

78

5×√

65

6•

√45×

√1

5•

√75×

√1

27•√

48

5×√

3

245•

√45×

√1

5=

√45× 1

5=

√45

5=

√9 = 3

√75×

√1

27=

√75× 1

27=

√75

27=

√25

9=

√25√9

=5

3√48

5×√

3

245=

√48

5× 3

245=

√48× 3

5× 12=

√49 = 7√

84

5×√

35

12=

√84

5× 35

12=

√84× 35

5× 245=

√144

1225=

√144√1225

=12

35

2×√

51

4×√

17

75= 2×

√51

4× 17

75= 2×

√51× 17

4× 75= 2×

√289

100= 2×

√289√100

= 2× 17

10=

17

5

4×√

78

5×√

65

6= 4×

√78

5× 65

6= 4×

√78× 65

5× 6= 4×

√169 = 4× 13 = 52

3×√

88

7×√

63

198= 3×

√88

7× 63

198= 3×

√88× 63

7× 198= 3×

√4 = 3× 2 = 6

√26×

√2

117×√

14

33×√

21

22=

√26× 2

117× 14

33× 21

22=

√26× 2× 14× 21

117× 33× 22=

√196

1089=

√196√1089

=14

33

. .. 5. : أصم عدد يف ناطق عدد جداء بشكل اآلتية اجلربية املجاميع أكتب X

4√72 + 15

√8

9− 30

√18

25− 3

√50

9•

5√27 + 6

√3

4− 2

√3

16− 7

√12

49•

7√20 + 4

√80− 3

√5 •√

117−√52 + 3

√13 •

7√3 +

√147−

√75 •

2√54−

√42

7+

√168

7− 5

√96

25•

7√20 + 4

√80− 3

√5 = 7

√4× 5 + 4

√5× 16− 3

√5 = 7

√4×

√5 + 4

√5×

√16− 3

√5

= 7× 2√5 + 4

√5× 4− 3

√5 = 14

√5 + 16

√5− 3

√5 = (14 + 16− 3)

√5 = 27

√5

√117−

√52 + 3

√13 =

√9× 13−

√4× 13 + 3

√13 =

√9×

√13−

√4×

√13 + 3

√13

= 3√13− 2

√13 + 3

√13 = (3− 2 + 3)

√13 = 4

√13

7√3 +

√147−

√75 = 7

√3 +

√3× 49−

√3× 25 = 7

√3 +

√3×

√49−

√3×

√25

= 7√3 +

√3× 7−

√3× 5 = (7 + 7− 5)

√3 = 9

√3



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


2√54−

√42

7+

√168

7− 5

√96

25= 2

√6× 9−

√6 +

√24− 5×

√6× 16√25

= 2√6×

√9−

√6 +

√4× 6− 5×

√6×

√16

5= 2

√6× 3−

√6 +

√4×

√6− 4

√6

= 6√6−

√6 + 2

√6− 4

√6 = (6− 1 + 2− 4)

√6 = 3

√6

4√72 + 15

√8

9− 30

√18

25− 3

√50

9= 4

√2× 36 + 15 ·

√2× 4√9

− 30 ·√2× 9√25

− 3 ·√2× 25√

9

= 4√2×

√36 + 15×

√2×

√4

3− 30×

√2×

√9

5− 3×

√2×

√25

3

= 4√2× 6 + 5

√2× 2− 6

√2× 3−

√2× 5

= 24√2 + 10

√2− 18

√2− 5

√2 = (24 + 10− 18− 5)

√2 = 11

√2

5√27 + 6

√3

4− 2

√3

16− 7

√12

49= 5

√3× 9 + 6 ·

√3√4− 2 ·

√3√16

− 7 ·√3× 4√49

= 5√3×

√9 + 6 ·

√3

2− 2 ·

√3

4− 7 ·

√3×

√4

7= 5

√3× 3 + 3

√3− 1

2

√3− 2

√3

= 15√3 + 3

√3− 1

2

√3− 2

√3 =

(15 + 3− 1

2− 2

)√3 =

(30 + 6− 1− 4

2

)√3 =

31

2

√3

. .. 6. : التالية املربعات أحسب :(2√12− 3

√20)2

•(3√75− 2

√72)2

•

(3√3 + 2

)2•(

2√5− 3

)2•

(√3 +

√2)2

•(√7−

√2)2

•

(1 +

√3)2

•(√2− 1

)2•

(1 +

√3)2

= 12 + 2× 1×√3 +

(√3)2

= 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2

√3(√

2− 1)2

=(√

2)2

− 2×√2× 1 + 12 = 2− 2

√2 + 1 = 3− 2

√2(√

3 +√2)2

=(√

3)2

+ 2×√3×

√2 +

(√2)2

= 3 + 2√3× 2 + 2 = 5 + 2

√6(√

7−√2)2

=(√

7)2

− 2×√7×

√2 +

(√2)2

= 7− 2√7× 2 + 2 = 9− 2

√14(

3√3 + 2

)2=(3√3)2

+ 2× 3√3× 2 + 22 = 9× 3 + 12

√3 + 4 = 31 + 12

√3(

2√5− 3

)2=(2√5)2

− 2× 2√5× 3 + 32 = 4× 5− 12

√5 + 9 = 29− 12

√5

(2√12− 3

√20)2

=(2√12)2

− 2× 2√12× 3

√20 +

(3√20)2

= 4× 12− 12√12× 20 + 9× 20 = 48− 12

√240 + 180

= 228− 12√15× 16 = 228− 12

√15×

√16 = 228− 12

√15× 4 = 228− 48

√15(

3√75− 2

√72)2

=(3√75)2

− 2× 3√75× 2

√72 +

(2√72)2

= 9× 75− 12√75× 72 + 4× 72 = 675− 12

√5400 + 288

= 963− 12√6× 900 = 963− 12

√6×

√900 = 963− 12

√6× 30 = 963− 360

√6

. .. 7. : التالية أحسباجلداءات :(2√8− 3

√12) (

2√8 + 3

√12)

•(5√6− 4

√3) (

5√6 + 4

√3)

•

(3√7− 5

√2) (

3√7 + 5

√2)

•(2√7 +

√5) (

2√7−

√5)

•



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

31 (اجلذور) الصماء األعداد على العمليات .4 باب

(3√7− 5

√2)(

3√7 + 5

√2)=(3√7)2

−(5√2)2

= 9× 7− 25× 2 = 13(2√7 +

√5)(

2√7−

√5)=(2√7)2

−(√

5)2

= 4× 7− 5 = 23(2√8− 3

√12)(

2√8 + 3

√12)=(2√8)2

−(3√12)2

= 4× 8− 9× 12 = −76(5√6− 4

√3)(

5√6 + 4

√3)=(5√6)2

−(4√3)2

= 25× 6− 16× 3 = 102

. .. 8. : التالية العبارات أحسب W(4√23− 7

)2 − (4√23 + 7)2

•(5√19 + 2

√11)2 − (5√19− 2

√11)2

•(√3− 2

√5) (√

27 + 4√20) (√

20 +√3) (

8√5− 3

√3)

•(4√3− 3

√7) (

2√6−

√7) (

4√12 + 3

√28) (√

28 + 4√6)

•

(√7 +

√2− 1

) (√7 +

√2 + 1

)•(

2√8− 3

√5 + 2

) (2√8− 3

√5− 2

)•(√

6 +√5 + 2

) (√6−

√5− 2

)•(

3√10−

√3 + 1

) (3√10 +

√3− 1

)•

(√7 +

√2− 1

)(√7 +

√2 + 1

)=(√

7 +√2)2

− 12 =√72+ 2

√7√2 +

√22− 1 = 7 + 2

√7× 2 + 2− 1 = 8 + 2

√14(

2√8− 3

√5 + 2

)(2√8− 3

√5− 2

)=(2√8− 3

√5)2

− 22 =(2√8)2

− 2× 2√8× 3

√5 +

(3√5)2

− 4

= 4× 8− 12√8× 5 + 9× 5− 4 = 32 + 45− 4− 12

√40 = 73− 12

√4× 10

= 73− 12√4√10 = 73− 12× 2

√10 = 73− 24

√10(√

6 +√5 + 2

)(√6−

√5− 2

)=(√

6 + (√5 + 2)

)(√6− (

√5 + 2)

)=

√62−(√

5 + 2)2

= 6−(√

52+ 2

√5× 2 + 22

)= 6−

(5 + 4

√5 + 4

)= 6−

(9 + 4

√5)= 6− 9− 4

√5 = −3− 4

√5(

3√10−

√3 + 1

)(3√10 +

√3− 1

)=(3√10−

(√3− 1

))(3√10 +

(√3− 1

))=(3√10)2

−(√

3− 1)2

= 9× 10−(√

32− 2

√3× 1 + 12

)= 90−

(3− 2

√3 + 1

)= 90−

(4− 2

√3)= 90− 4 + 2

√3 = 86 + 2

√3(

4√23− 7

)2−(4√23 + 7

)2=((4√23− 7)− (4

√23 + 7)

)((4√23− 7) + (4

√23 + 7)

)=(4√23− 7− 4

√23− 7

)(4√23− 7 + 4

√23 + 7

)=((4− 4)

√23− 14

)((4 + 4)

√23 + 0

)=(0√23− 14

)(8√23)= −14× 8

√23 = −112

√23(

5√19 + 2

√11)2

−(5√19− 2

√11)2

=((5√19 + 2

√11)− (5

√19− 2

√11))(

(5√19 + 2

√11) + (5

√19− 2

√11))

=(5√19 + 2

√11− 5

√19 + 2

√11)(

5√19 + 2

√11 + 5

√19− 2

√11)

=((5− 5)

√19 + (2 + 2)

√11)(

(5 + 5)√19 + (2− 2)

√11)

=(0√19 + 4

√11)(

10√19 + 0

√11)= 4

√11× 10

√19 = 40

√11× 19 = 40

√209(√

3− 2√5)(√

27 + 4√20)(√

20 +√3)(

8√5− 3

√3)=

=(√

3− 2√5)(

3√3 + 4× 2

√5)(

2√5 +

√3)(

8√5− 3

√3)

=(√

3− 2√5)(

3√3 + 8

√5)(

2√5 +

√3)(

8√5− 3

√3)

=(√

3− 2√5)(√

3 + 2√5)(

8√5 + 3

√3)(

8√5− 3

√3)

=

(√32−(2√5)2)((

8√5)2

−(3√3)2)

= (3− 4× 5) (64× 5− 9× 3)



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


= (3− 20) (320− 27) = −17× 293 = −4981(4√3− 3

√7)(

2√6−

√7)(

4√12 + 3

√28)(√

28 + 4√6)=

=(4√3− 3

√7)(

2√6−

√7)(

4× 2√3 + 3× 2

√7)(

2√7 + 4

√6)

=(4√3− 3

√7)(

2√6−

√7)(

8√3 + 6

√7)(

2√7 + 4

√6)

=(4√3− 3

√7)(

2√6−

√7) [

2(4√3 + 3

√7)] [

2(√

7 + 2√6)]

= (2 × 2)(4√3− 3

√7)(

2√6−

√7)(

4√3 + 3

√7)(

2√6 +

√7)

= 4(4√3− 3

√7)(

4√3 + 3

√7)(

2√6−

√7)(

2√6 +

√7)

= 4

((4√3)2

−(3√7)2)((

2√6)2

−(√

7)2)

= 4 (16× 3− 9× 7) (4× 6− 7) = 4 (48− 63) (24− 7)

= 4× (−15)× 17 = −1020

. .. 9. : أمكن إن النتائج اختزل ثم ناطقا عددا عبارة كل مقام إجعل C√7 +

√5√

7−√5

•

2√6 + 3

√2

2√6− 3

√2

•

3√3− 2

√2√

3 +√2

•

6−√6

6 +√6

•

√3 + 2√3 + 1

•

6 +√3

3−√3

•

1−√3√

3•

√2− 5

3√2

•

√5 + 1√20

•

3√2√10

•

4√3√18

•

2√5√75

•

2√3

•

3√2

•

5√5

•

2√3=

2×√3

√32 =

2√3

3

3√2=

3×√2

√22 =

3√2

2

5√5=

5×√5

√52 =

5√5

5=

√5

(5√5=

√52

√5

=√5 : أخرى طريقة

)3√2√10

=3√2√

2√5=

3√5=

3×√5

√52 =

3√5

5

4√3√18

=4√3

3√2=

4√3×

√2

3√22 =

4√6

3× 2=

2√6

3

2√5√75

=2√5

5√3=

2√5×

√3

5√32 =

2√15

5× 3=

2√15

15

1−√3√

3=

(1−

√3)×

√3

√32 =

√3−

√32

3=

√3− 3

3

√2− 5

3√2

=

(√2− 5

)×

√2

3√22 =

√22 − 5

√2

3× 2=

2− 5√2

6

√5 + 1√20

=

√5 + 1

2√5

=

(√5 + 1

)×√5

2√52 =

√52+√5

2× 5=

5 +√5

10

6−√6

6 +√6=

(6−

√6)2(

6 +√6) (

6−√6) =

62 − 2× 6√6 +

√62

62 −√62 =

36− 12√6 + 6

36− 6=

42− 12√6

30=

6(7− 2

√6)

6× 5=

7− 2√6

5

√3 + 2√3 + 1

=

(√3 + 2

) (√3− 1

)(√3 + 1

) (√3− 1

) =

√32 −

√3 + 2

√3− 1

√32 − 12

=3 + (−1 + 2)

√3− 1

3− 1=

1 +√3

2



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


6 +√3

3−√3=

(6 +

√3) (

3 +√3)(

3−√3) (

3 +√3) =

18 + 6√3 + 3

√3 +

√32

32 −√32 =

18 + (6 + 3)√3 + 3

9− 3=

21 + 9√3

6=

3(7 + 3

√3)

3× 2=

7 + 3√3

2√7 +

√5√

7−√5=

(√7 +

√5)2(√

7−√5) (√

7 +√5) =

√72+ 2

√7√5 +

√52

√72 −

√52 =

7 + 2√7× 5 + 5

2=

12 + 2√35

2=

2(6 +

√35)

2= 6 +

√35

2√6 + 3

√2

2√6− 3

√2=

(2√6 + 3

√2)2(

2√6− 3

√2) (

2√6 + 3

√2) =

(2√6)2

+ 2× 2√6× 3

√2 +

(3√2)2(

2√6)2 − (3√2

)2 =4× 6 + 12

√6× 2 + 9× 2

4× 6− 9× 2

=24 + 12

√12 + 18

24− 18=

42 + 12× 2√3

6=

6(7 + 4

√3)

6= 7 + 4

√3

3√3− 2

√2√

3 +√2

=

(3√3− 2

√2) (√

3−√2)(√

3 +√2) (√

3−√2) =

3√32 − 3

√3√2− 2

√2√3 + 2

√22

√32 −

√22 =

3× 3− 3√3× 2− 2

√2× 3 + 2× 2

3− 2

=9− 3

√6− 2

√6 + 4

1= 13− (3 + 2)

√6 = 13− 5

√6

. .. 10. : التالية العبارات أحسب X

7 + 2√10√

2 +√5− 7− 2

√10√

2−√5

•10 + 3

√21√

3 +√7

+10− 3

√21√

3−√7

•

√5 +

√3

1−√5

−√5−

√3

1 +√5

•

√3− 1√3 +

√2+

√3 + 1√3−

√2

•

√3− 1√3 +

√2+

√3 + 1√3−

√2=

(√3− 1

) (√3−

√2)(√

3 +√2) (√

3−√2) + (√

3 + 1) (√

3 +√2)(√

3−√2) (√

3 +√2)

=

√32 −

√3√2−

√3 +

√2

√32 −

√22 +

√32+√3√2 +

√3 +

√2

√32 −

√22

=3−

√3× 2−

√3 +

√2

3− 2+

3 +√3× 2 +

√3 +

√2

3− 2

= 3−√6−

√3 +

√2 + 3 +

√6 +

√3 +

√2 = 6 + 2

√2

√5 +

√3

1−√5

−√5−

√3

1 +√5

=

(√5 +

√3) (

1 +√5)(

1−√5) (

1 +√5) −

(√5−

√3) (

1−√5)(

1 +√5) (

1−√5)

=

√5 +

√52+√3 +

√3√5

12 −√52 −

√5−

√52 −

√3 +

√3√5

12 −√52

=

√5 + 5 +

√3 +

√3× 5

1− 5−

√5− 5−

√3 +

√3× 5

1− 5

=

√5 + 5 +

√3 +

√15

−4−

√5− 5−

√3 +

√15

−4

= −√5 + 5 +

√3 +

√15

4+

√5− 5−

√3 +

√15

4

=1

4

(−(√

5 + 5 +√3 +

√15)+(√

5− 5−√3 +

√15))

=1

4

(−√5− 5−

√3−

√15 +

√5− 5−

√3 +

√15)

=1

4

(−10− 2

√3)=

1

4

[2(−5−

√3)]

= − 5 +√3

2

10 + 3√21√

3 +√7

+10− 3

√21√

3−√7

=

(10 + 3

√21) (√

3−√7)(√

3 +√7) (√

3−√7) +

(10− 3

√21) (√

3 +√7)(√

3−√7) (√

3 +√7)

=10√3− 10

√7 + 3

√21√3− 3

√21√7

√32 −

√72 +

10√3 + 10

√7− 3

√21√3− 3

√21

√7

√32 −

√72

=10√3− 10

√7 + 9

√7− 21

√3

3− 7+

10√3 + 10

√7− 9

√7− 21

√3

3− 7

=(10− 21)

√3 + (−10 + 9)

√7

−4+

(10− 21)√3 + (10− 9)

√7

−4



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


= −−11√3−

√7

4− −11

√3 +

√7

4=

1

4

(11√3 +

√7 + 11

√3−

√7)=

22√3

4=

11√3

2

. .. 11.يمكن. ما أصغر طبيعيان عددان c و bحيث a

√b

cالشكل أكتبAعىل .A = 3

√72

7− 5

√50

7+ 2

√288

7: نضع |

A = 3

√72

7− 5

√50

7+ 2

√288

7= 3

√72√7

− 5

√50√7

+ 2

√288√7

= 3

√36× 2√

7− 5

√25× 2√

7+ 2

√144× 2√

7

= 3

√36

√2√

7− 5

√25√2√

7+ 2

√144

√2√

7=

3× 6√2√

7− 5× 5

√2√

7+

2× 12√7

=18√2√7

− 25√2√

7+

24√2√7

=18√2− 25

√2 + 24

√2√

7=

(18− 25 + 24)√2√

7=

17√2√7

= 17

√2

7

. .. 12. : ممكن أبسطشكل أكتبعىل C

A =√40 +

√90−

√1000 •

B =√27 +

√40 + 8 + 2

√100− 25− 1

8

√64×

√147−

√2100√7

•

C = −4√162 +

√46 + 4−

√20− 2 +

√36×

√50 +

√40√5

•

D =(3√2 + 4

√3) (

1− 4√3)− 2

(√6 + 1

)√6 •

A =√40 +

√90−

√1000 =

√4× 10 +

√9× 10−

√100× 10 =

√4√10 +

√9√10−

√100

√10

= 2√10 + 3

√10− 10

√10 = (2 + 3− 10)

√10 = −5

√10

B =√27 +

√40 + 8 + 2

√100− 25− 1

8

√64×

√147−

√2100√7

=√9× 3 +

√48 + 2

√75− 1

8× 8×

√49× 3−

√2100

7=

√9√3 +

√16× 3 + 2

√25× 3−

√49√3−

√300

= 3√3 +

√16

√3 + 2

√25√3− 7

√3−

√100× 3 = 3

√3 + 4

√3 + 2× 5

√3− 7

√3−

√100

√3

= 3√3 + 4

√3 + 10

√3− 7

√3− 10

√3 = (3 + 4 + 10− 7− 10)

√3 = 0

√3 = 0

C = −4√162 +

√46 + 4−

√20− 2 +

√36×

√50 +

√40√5

= −4√81× 2 +

√50−

√18 + 6

√25× 2 +

√40

5

= −4√81√2 +

√25× 2−

√9× 2 + 6

√25√2 +

√8 = −4× 9

√2 +

√25√2−

√9√2 + 6× 5

√2 +

√4× 2

= −36√2 + 5

√2− 3

√2 + 30

√2 + 2

√2 = (−36 + 5− 3 + 30 + 2)

√2 = −2

√2

D =(3√2 + 4

√3)(

1− 4√3)− 2

(√6 + 1

)√6 = 3

√2− 3

√2× 4

√3 + 4

√3−

(4√3)2

− 2(√

62+√6)

= 3√2− 12

√2× 3 + 4

√3− 16× 3− 2

(6 +

√6)= 3

√2− 12

√6 + 4

√3− 48− 2× 6− 2

√6

= 3√2 + 4

√3− 48− (12 + 2)

√6− 12 = 3

√2 + 4

√3− 14

√6− 60

. .. 13. .A = 2√85− 3

√احلقيقي38 العدد نعترب :

احلاسبة. اآللة استعامل Aبدون إشارة تعيني هو التمرين اهلدفمن

موجبان، b و a العددين أن بمالحظة . b2 و a2 العددين بني قارن •3. b و aبني قارن.A إشارة استنتج •4

. a2 أحسب . a = 2√85 ليكن •1

. b2 أحسب . b = 3√38 ليكن •2



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: لدينا •1a2 =

(2√85)2

= 22 ×√85

2= 4× 85 = 340

: لدينا •2b2 =

(3√38)2

= 32 ×√38

2= 9× 38 = 342

. a2 < b2 : أن نستنتج سبق حسبما •3. b > aأي a من أكرب b إذن a2 من أكرب b2 لكن مربع. أكرب له الذي العدد هو b و aبني األكرب العدد فإن موجبان b و a أن بام

Aسالبمتاما. فالعدد Aإذن < أي0 a− b < 0 فإن a < b أن بام •4

. .. 14. : من كال صحيحان، عددان b و aحيث ، a+ b√5 الشكل أكتبعىل :

C =(√

5 + 3) (√

5− 3)

•

D =(√

5 + 4)2 − (√5− 4

)2•

A = 3√125− 7

√245 +

√625 •

B =√54+√53+√52+√5 •

A = 3√125− 7

√245 +

√625 = 3

√25× 5− 7

√49× 5 +

√252

= 3√25√5− 7

√49√5 + 25 = 3× 5

√5− 7× 7

√5 + 25

= 15√5− 49

√5 + 25 = (15− 49)

√5 + 25 = 25− 34

√5

B =√54+√53+√52+√5 =

(√52)2

+√52×√5 + 5 +

√5

= 52 + 5√5 + 5 +

√5 = 25 + 5 + (5 + 1)

√5 = 30 + 6

√5

C =(√

5 + 3)(√

5− 3)=

√52− 32 = 5− 9 = −4 = −4 + 0

√5

D =(√

5 + 4)2

−(√

5− 4)2

=((√5 + 4)− (

√5− 4)

)((√5 + 4) + (

√5− 4)

)=(√

5 + 4−√5 + 4

)(√5 + 4 +

√5− 4

)=((1− 1)

√5 + 8

)((1 + 1)

√5 + 0

)= 8× 2

√5 = 16

√5 = 0 + 16

√5

. .. 15. : احلاسبة) اآللة باستعامل تقريبية قيم بإعطاء يسمح ال و املضبوطة القيم إجياد (يطلب ممكن أبسطشكل أكتبعىل C

.C =√2.45−

√4.05 +

√0.8 ، B =

(√18 + 5

) (3√2− 5

)(√3 +

√2) (√

3−√2) ، A =

(√11

5−√

5

11

)2

A =

(√11

5−√

5

11

)2

=

√11

5

2

− 2

√11

5

√5

11+

√5

11

2

=11

5− 2

√11

5× 5

11+

5

11

=11

5+

5

11− 2

√11× 5

5× 11=

11× 11 + 5× 5

5× 11− 2

√1=

146

55− 2=

146− 2× 55

55=

36

55

B =

(√18 + 5

) (3√2− 5

)(√3 +

√2) (√

3−√2) =

(√18 + 5

) (√18− 5

)(√3 +

√2) (√

3−√2) =

(√18)2 − 52

√32 −

√22 =

18− 25

3− 2=

−7

1= −7

C =√2.45−

√4.05 +

√0.8 =

√245

100−√

405

100+

√80

100=

√245√100

−√405√100

+

√80√100

=

√49× 5

10−

√81× 5

10+

√16× 5

10=

√49√5

10−

√81√5

10+

√16√5

10

=7√5− 9

√5 + 4

√5

10=

(7− 9 + 5)√5

10=

3√5

10= 0.3

√5

. .. 16. C



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


.G =(√

3− 2)2 : العدد أبسطشكل أكتبعىل •1

.√7− 4

√3 = 2−

√3 كتبتإهلام و

√7− 4

√3 =

√3− 2 كتبكريم إمتحان، ورقة يف •2عىلصواب؟ إهلام أو كريم من أي

.G =√32 − 2×

√3× 2 + 22 = 3− 4

√3 + 4 = 7− 4

√3 : لدينا •1

عىلصواب. يكون قد اآلخر و خمطئ أحدمها بالتايل و (2−√3 = −

(√3− 2

)(ألن متعاكستان إهلام و كريم إجابتي أن نالحظ بداية، •2

تربيعيا جذرا يكون أن يمكن السالبال العدد أن نعلم و ، سالب اآلخر موجبو أحدمها فإن متعاكسان√3− 2 و 2−

√3 العددين أن بام و

حقيقي. لعدد. 2 و

√بني3 املقارنة جيب السابقني، العددين بني املوجبمن العدد ملعرفة

بالتايل و حقيقي لعدد تربيعيا جذرا يكون أن يمكن ال√3 − 2 إذن

√3 − 2 < 0 بالتايل و

√3 < 2 أي

√3 <

√4 منه 3 < 4 لكن

. خمطئ كريم

.√

7− 4√3 = 2−

√3 املساواة جيبتربير عىلصواببل إهلام أن بالرضورة يعني ال 2−

√3 > 0 كون ألن ، ينته مل العمل

.√7− 4

√3 =

√(√3− 2

)2 بالتايل و 7− 4√3 =

(√3− 2

)2 أن السابق السؤال يف وجدنانكتب: أن جيب بل ؛

√3− 2 < 0 ألن ال ؟

√7− 4

√3 =

√3− 2 أن مبارشة نستنتج أن يمكن √هل

7− 4√3 = −

(√3− 2

)= −

√3− (−2) = −

√3 + 2 = 2−

√3

.(2−

√3)2

= 7− 4√3 و 2−

√3 > 0 ألن يرام ما عىل كليشء هنا و

. صحيحة إهلام إجابة إذن

مربعا. حتتاجلذر ما يكون عندما حقيقي لعدد الرتبيعي اجلذر كتابة عند جيباحلذر : اخلالصة

: بل ، a دائام يساوي ال√a2 فإن حقيقيا عددا a كان إذا عامة، بصفة

؛ a ≥ 0 كان إذا√a2 = a •

. a < 0 كان إذا√a2 = −a و •

ألن√

(−5)2 = −5 مثال، . « a للعدد املطلقة القيمة يساوي a2 للعدد الرتبيعي «اجلذر : نقرأ و

√a2 = |a| : نكتب ذلك، الختصار

.√

(−5)2= أي5 (−5 < 0 (ألن

√(−5)

2= − (−5) الصوابهو و ،−5 < 0

. .. 17.؟√5 +

√12 أم

√6 +

√10 : احلاسبة) اآللة استعامل (بدون أكرب أهيام 6

مربع. أكرب له الذي العدد هو بينهام األكرب العدد فإن موجبان√5 +

√12 و

√6 +

√10 العددين أن بام

(√6 +

√10)2

=√62+ 2

√6√10 +

√10

2= 6 + 2

√60 + 10 = 16 + 4

√15 : √)لكن

5 +√12)2

=√52+ 2

√5√12 +

√12

2= 5 + 2

√60 + 12 = 17 + 4

√15 و

.√5 +

√12 >

√6 +

√10 بالتايل و

(√5 +

√12)2>(√

6 +√10)2 أن أي

.√6 +

√10 ≃ 5.6118 و

√5 +

√12 ≃ 5.7002 : للتحقق

. .. 18.Bتنتمي النقطة هل .(cm : الطول AC(وحدة =

√55 BCو =

√17 ،AB =

√بحيث11 املستوي من Cنقطا Bو ،A لتكن 6احلاسبة) اآللة استعامل (بدون ؟ [AC] املستقيمة القطعة إىل



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


.√11 +

√17 =

√55 كان إذا فقط و إذا ABأي +BC = AC كان إذا فقط و إذا [AC] املستقيمة القطعة Bإىل النقطة تنتمي

مربعامها. تساوى إذا فقط و إذا موجبان عددان يتساوى

√55

2= 55 : √)لكن

11 +√17)2

=√11

2+ 2

√11√17 +

√17

2= 11 + 2

√187 + 17 = 28 + 2

√187 و

منه√55

2 =(√

11 +√17)2 بالتايل و ناطقا) عددا (ليس أصم عدد 28 + 2

√187 و طبيعي عدد 55 ألن 55 = 28 + 2

√187 أن الواضح من

. [AC] املستقيمة القطعة إىل تنتمي Bال فالنقطة إذن√11 +

√17 =

√55

! جدا ضئيل الفرق أن أي√11 +

√17 ≃ 7.44 و

√55 ≃ 7.42 : لدينا الواقع يف

√a+

√b = فإن (ليسناطقا) أوc√عىلاألقلأصم

√b ،√a األعداد مثنىمثنىبحيثأحد خمتلفة موجبة ناطقة أعدادا cو b ،aكانت إذا عامة، بصفة

. cيساوي اآلخر و معدوما b و a العددين أحد كان إذا إال تتحقق √الc

. .. 19.

.N3 قيمة أوجد .N =

√√√√7

√3

√7

√3√7√3 · · · : نضع 6

أوملبياد) (مترين

N2 =

√√√√√

7

√√√√3

√7

√3

√7√3 · · ·

2

= 7

√√√√3

√7

√3

√7√3 · · · : لدينا

N4 =(N2)2

=

7

√√√√3

√7

√3

√7√3 · · ·

2

= 49× 3

√7

√3

√7√3 · · · = 147N : منه

.N ×(N3 − 147

)= 0 : آخر بتعبري N4أو − 147N = N4أي0 = 147N بالتايل و

. N3 = 147 أي N3 − 147 = 0 فإن N = 0 أن بام و

العملية هذه كررنا إذا و 2 =√

2 +√2 + 2 أن نستنتج اليمني إىل و اجلذر داخل الذي 2 العدد عوضنا إذا . 2 =

√2 + 2 أن نالحظ u

: نستنتج فإننا «ماالهناية» إىل

2 =

√2 +

√2 +

√2 +

√2 + · · ·

: بالتايل و 3 =√6 +

√6 + 3 أن نستنتج 3 =

√6 + 3 من : باملثل

منته. غري اجلذور حيثعدد 3 =

√6 +

√6 +

√6 +

√6 + · · ·

. 4 =

√12 +

√12 +

√12 +

√12 + · · · : بنفسالطريقة

: منه r =√r (r − 1) + r : فإن 1 من أكرب طبيعيا عددا r كان إذا عامة، بصفة و

r =

√r(r − 1) +

√r(r − 1) +

√r(r − 1) +

√r(r − 1) + · · ·

: فإن 1 من أكرب حقيقيا عددا p كان إذا √وp+

√p+

√p+

√p+ · · · = 1 +

√4p+ 1

2

: نجد p = 1 اخلاصة احلالة يف

1 +√5

2=

√1 +

√1 +

√1 +

√1 + · · ·

. ( «يف» يقرأ يوناين (حرف φ بالرمز إليه يرمز و باإلنجليزية) Golden mean ؛ Nombreبالفرنسية d’or) الذهبي يسمىالعدد العدد هذا



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: بالتايل و(√

2− 1) (√

2 + 1)= 1 أن من بسهولة نتحقق و نالحظ (a− b) (a+ b) = a2 − b2 الشهرية املتطابقة باستعامل u

: عىل نحصل و (! متساويان (ألهنام 1 + 1

1 +√2بالقيمة املقام يف الذي

√نعوض2 .

√2 = 1 +

1

1 +√2أي

√2− 1 =

1√2 + 1√

2 = 1 +1

1 + 1 + 11+

√2

= 1 +1

2 + 11+

√2

: عىل نحصل و√2 = 1 +

1

1 +√2بالقيمة املقام يف الذي

√أخرى2 نعوضمرة

√2 = 1 +

1

2 +1

1 + 1 + 11+

√2

= 1 +1

2 +1

2 + 11+

√2

: عىل نحصل و « ماالهناية » إىل أخرى و أخرى مرة العملية هذه نكرر√2 = 1 +

1

2 +1

2 +1

2 +1

2+...حقيقي لعدد الكرساملستمر إجياد عملية و باإلنجليزية) Continued fraction ؛ بالفرنسية Fraction continue) مستمرا تدعىكرسا الكتابة هذه

كرسمستمر. عىلشكل تسمىنرشالعدد

حقيقي عدد جلذر تقريبية قيمة إلجياد البابلية) الطريقة هريون1(أو طريقة u. بتقريب10−10

√27 ≃ 5.1961524227 أن العلم مع ، مثال a = 27 للعدد الرتبيعي للجذر تقريبية قيمة لنبحثعن

من منه أقربمن25 27 أن بام و . 5 <√27 < أي6

√25 <

√27 <

√36 منه 25 < 27 < 36 : متتاليني مربعني بني 27 نحرصالعدد بداية،

.√27 للعدد تقريبية كقيمة x0 = 5.2 مثال نختار . 6 من منه 5 أقربمن

√27 فإن 36

: ييل كام جديدة تقريبية قيمة نحسب بعدها

x1 =1

2

(x0 +

a

x0

)=

1

2

(5.2 +

27

5.2

)=

1

2(5.2 + 5.1923) = 5.19615

.x0 من أحسن√27 للعدد تقريبية قيمة هي و

نحسب: و x1 مع نفسالعملية نكرر

x2 =1

2

(x1 +

a

x1

)=

1

2

(5.19615 +

27

5.19615

)=

1

2(5.19615 + 5.1961548) = 5.1961524

. x1 سابقتها من أحسن√27 للعدد تقريبية قيمة هي و

نحسب: و x2 مع أخرى مرة العملية نكرر

x3 =1

2

(x2 +

a

x2

)=

1

2

(5.1961524 +

27

5.1961524

)=

1

2(5.1961524 + 5.196152445) = 5.1961524225

. x2 السابق التقريب من أحسن√27 للعدد تقريبية قيمة هي و

! بتقريب10−10√27 قيمة عىل ثالثخطواتفقطحصلنا يف هكذا، و

قيمة إلجياد (Raphson اإلنجليزينيNewtonو العاملني إىل (نسبة نيوتن–رافسون طريقة من خاصة حالة هي و :Méthode de Héron (ou méthode babylonienne)1

البابلية. احلضارة عهد منذ مستخدمة و فكانتمعروفة هريون طريقة أما م 1690 عام مرة ألول نيوتن–رافسون نرشتطريقة . معادلة حلل تقريبية



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. الشهيرة المتطابقات •5

(a+++ b)2= a2 +++ 2ab+ b2 : حدين جمموع مربع

(a−−− b)2= a2 −−− 2ab+ b2 : حدين فرق مربع

(a− b) (a+ b) = a2 − b2 : فرقهام يف حدين جمموع جداء

. .. 1. : التالية املربعات حلساب الشهرية املتطابقات استعمل :

(2d+ 3h)2

•

(3x− y)2

•

(5b+ 2c)2

•

(3c− 2d)2

•

(x− 2)2

•

(3x+ 4)2

•

(x−−− 2)2= x2 −−− 2× x× 2 + 22 = x2 − 4x+ 4

(3x+++ 4)2= (3x)

2+++ 2× 3x× 4 + 42 = 9x2 + 24x+ 16

(5b+++ 2c)2= (5b)

2+++ 2× 5b× 2c+ (2c)

2= 25b2 + 20bc+ 4c2

(3c−−− 2d)2= (3c)

2 −−− 2× 3c× 2d+ (2d)2= 9c2 − 12cd+ 4d2

(2d+++ 3h)2= (2d)

2+++ 2× 2d× 3h+ (3h)

2= 4d2 + 12dh+ 9h2

(3x−−− y)2= (3x)

2 −−− 2× 3x× y + y2 = 9x2 − 6xy + y2

..الصالة فنادى: إوزي، يرسقون جريانا يل إن اهللا، نبي يا فقال: ، وسلم] عليه اهللا [صىل النبي سليامن إىل رجل جاء قال: القرظي، كعب بن حممد عن«خذوه، سليامن: فقال رأسه، رجل فمسح رأسه» والريشعىل املسجد يدخل ثم جاره، إوزة يرسق «واحدكم خطبته: يف فقال خطبهم، ثم جامعة؛

. صاحبكم» فإنه

.

استراحة

. .. 2. : التالية املربعات حلساب الشهرية املتطابقات استعمل C(xy

3+

2x2

5

)2

•(y2

2− 2x2

3

)2

•

(x

5− 2y

3

)2

•(x2

2− 3y

4

)2

•

(x2− y

3

)2•

(2x

3+y

4

)2

•

(x2−−− y

3

)2=(x2

)2−−− 2× x

2× y

3+(y3

)2=

x2

4− xy

3+y2

9(2x

3+++y

4

)2

=

(2x

3

)2

+++ 2× 2x

3× y

4+(y4

)2=

4x2

9+xy

3+y2

16(x

5−−− 2y

3

)2

=(x5

)2−−− 2× x

5× 2y

3+

(2y

3

)2

=x2

25− 4xy

15+

4y2

9


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

الشهرية املتطابقات .5 باب 40(x2

2−−− 3y

4

)2

=

(x2

2

)2

−−− 2× x2

2× 3y

4+

(3y

4

)2

=x4

4− 3x2y

4+

9y2

16(xy

3+++

2x2

5

)2

=(xy

3

)2+++ 2× xy

3× 2x2

5+

(2x2

5

)2

=x2y2

9+

4x3y

15+

4x4

25(y2

2−−− 2x2

3

)2

=

(y2

2

)2

−−− 2× y2

2× 2x2

3+

(2x2

3

)2

=y4

4− 2y2x2

3+

4x4

9

..فقال: وحدي؟» «أنا سليامن: فقال تكونيفضيافتي» أن «أريد فقال: ، وسلم] عليه اهللا النبي[صىل سليامن إىل جاء اهلدهد اإلرسائيلياتأن يف ذكروايف هبا ورمى فخنقها، جرادة، فصاد اهلدهد، فطار وعسكره، سليامن جاء اليوم، ذلك كان فلام ؛ كذا» جزيرة عىل كذا، يوم يف والعسكر، أنت بل «ال،

كامال. حوال ذلكوجنوده من فضحكسليامن ؛ املرقة» من نال اللحم من ينل مل فمن «كلوا، : قال و البحر

.

استراحة

. .. 3. : التالية املربعات حلساب الشهرية املتطابقات استعمل (

(a+ b− c)2

•

(a− b− c)2

•

(h√3 + k

√2)2

•

(a+ b+ c)2

•

(h√2 + 3

)2•(

x2 +√3)2

•

(h√2+++ 3

)2=(h√2)2

+++ 2× h√2× 3 + 32 = 2h2 + 6h

√2 + 9(

x2 +++√3)2

=(x2)2

+++ 2× x2 ×√3 +

√32 = x4 + 2x2

√3 + 3(

h√3+++ k

√2)2

=(h√3)2

+++ 2× h√3× k

√2 +

(k√2)2

= 3h2 + 2hk√6 + 2k2

(a+ b+++ c)2= (a+ b)

2+++ 2× (a+ b)× c+ c2 : األوىل الطريقة

= (a+++ b)2+ 2c (a+ b) + c2 = a2 +++ 2× a× b+ b2 + 2ac+ 2bc+ c2

= a2 + 2ab+ b2 + 2ac+ 2bc+ c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

(a+++ b+ c)2= a2 +++ 2× a× (b+ c) + (b+ c)

2 : الثانية الطريقة= a2 + 2a (b+ c) + (b+++ c)

2= a2 + 2ab+ 2ac+ b2 +++ 2× b× c+ c2

= a2 + 2ab+ 2ac+ b2 + 2bc+ c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab+ 2ac+ 2bc

(a+ b−−− c)2= (a+ b)

2 −−− 2× (a+ b)× c+ c2 : األوىل الطريقة= (a+++ b)

2 − 2c (a+ b) + c2 = a2 +++ 2× a× b+ b2 − 2ac− 2bc+ c2

= a2 + 2ab+ b2 − 2ac− 2bc+ c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc

(a+++ b− c)2= a2 +++ 2× a× (b− c) + (b− c)

2 : الثانية الطريقة= a2 + 2a (b− c) + (b−−− c)

2= a2 + 2ab− 2ac+ b2 −−− 2× b× c+ c2

= a2 + 2ab− 2ac+ b2 − 2bc+ c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab− 2ac− 2bc

(a− b−−− c)2= (a− b)

2 −−− 2× (a− b)× c+ c2 : األوىل الطريقة= (a−−− b)

2 − 2c (a− b) + c2 = a2 −−− 2× a× b+ b2 − 2ac+ 2bc+ c2

= a2 − 2ab+ b2 − 2ac− 2bc+ c2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc

(a−−− (b+ c))2= a2 −−− 2× a× (b+ c) + (b+ c)

2 : الثانية الطريقة= a2 − 2a (b+ c) + (b+++ c)

2= a2 − 2ab− 2ac+ b2 +++ 2× b× c+ c2

= a2 − 2ab− 2ac+ b2 + 2bc+ c2 = a2 + b2 + c2 − 2ab− 2ac+ 2bc



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

41 الشهرية املتطابقات .5 باب

..فاجتمع متاعه، فأخرج فانطلق، الطريق» إىل متاعك فأخرج «انطلق! فقالملسو هيلع هللا ىلص: ، يؤذيني» جارا يل إن اهللا رسول «يا رجل: قال قال: هريرة، أيب عنيقولون: فجعلوا ، الطريق» إىل متاعك فأخرج «انطلق! فقال: ملسو هيلع هللا ىلص، للنبي ذلك فذكرت يؤذيني، جار «يل فقال: شأنك؟» «ما فقالوا: عليه، الناس

. أؤذيك» ال فواهللا مرتلك، إىل «ارجع فقال: فأتاه، فبلغه، ؛ اخزه» اللهم العنه، «اللهم

.

استراحة

. .. 4. : التالية حلساباجلداءات الشهرية املتطابقات استعمل :

(4x− 3y) (4x+ 3y) •(x2 − y2

) (x2 + y2

)•(

y2 −√3) (y2 +

√3)

•

(3x− 2y) (3x+ 2y) •

(5h− 2k) (5h+ 2k) •(x2 −

√2) (x2 +

√2)

•

(2x− 1) (2x+ 1) •

(2b− 3c) (2b+ 3c) •(x2 − 2

) (x2 + 2

)•

(2x− 1) (2x+ 1) = (2x)2 − 12 = 4x2 − 1

(2b− 3c) (2b+ 3c) = (2b)2 − (3c)

2= 4b2 − 9c2(

x2 − 2) (x2 + 2

)=(x2)2 − 22 = x4 − 4

(3x− 2y) (3x+ 2y) = (3x)2 − (2y)

2= 9x2 − 4y2

(5h− 2k) (5h+ 2k) = (5h)2 − (2k)

2= 25h2 − 4k2(

x2 −√2)(

x2 +√2)=(x2)2 − (√2

)2= x4 − 2

(4x− 3y) (4x+ 3y) = (4x)2 − (3y)

2= 16x2 − 9y2(

x2 − y2) (x2 + y2

)=(x2)2 − (y2)2 = x4 − y4(

y2 −√3)(

y2 +√3)=(y2)2 − (√3

)2= y4 − 3

..! نصحك؟ من هذا بلغ أو فقال: وضوئك؛ بعد أحدثت أنكقد الشيطان فوسوسله املسجد، حازم أبو .دخلاستراحة

. .. 5. : التالية حلساباجلداءات الشهرية املتطابقات استعمل |(2h2 + k2

2

)(2h2 − k2

5

)•

(2x+ y

3

)(2x− y

3

)•

(x

3− 2y

5

)(x

3+

2y

5

)•

(x

3− 2y

5

)(x

3+

2y

5

)=(x3

)2−(2y

5

)2

=x2

9− 4y2

25(2x+ y

3

)(2x− y

3

)=

1

9(2x+ y) (2x− y) =

1

9

((2x)

2 − y2)=

4x2 − y2

9(2h2 + k2

2

)(2h2 − k2

5

)=

1

10

(2h2 + k2

) (2h2 − k2

)=

1

10

((2h2)2 − (k2)2) =

4h4 − k4

10

ريبرهبام،.. فقال: ربك؟ من للمؤمن: فقال أنت، قاال: ربكام؟ من للساعيني: فقال فرعون، فأحرضهم ليقتله، فرعون إىل بمؤمن رجلنيسعيا أن بلغنافقتلهام. ألقتله، ديني عىل برجل سعيتام فرعون: هلام فقال

.

استراحة



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

الشهرية املتطابقات .5 باب 42

. .. 6. : التالية حلساباجلداءات الشهرية املتطابقات استعمل (

(x+ y + z) (x− y − z) •(h2 + h+ 1

) (h2 + h− 1

)•

(b− c+ d) (b− c− d) •

(b− c+ d) (b+ c− d) •

(x+ y + 3) (x+ y − 3) •(x2 − x+ 1

) (x2 + x+ 1

)•

(x+ y + 3) (x+ y − 3) = (x+ y)2 − 32 = (x+++ y)

2 − 9 = x2 +++ 2xy + y2 − 9 = x2 + 2xy + y2 − 9(x2 − x+ 1

) (x2 + x+ 1

)=(x2 + 1− x

) (x2 + 1 + x

)=(x2 + 1

)2 − x2

=(x2 +++ 1

)2 − x2 =(x2)2

+++ 2x2 × 1 + 12 − x2 = x4 + 2x2 + 1− x2 = x4 + x2 + 1

(b− c+ d) (b− c− d) = (b− c)2 − d2 = (b−−− c)

2 − d2 = b2 −−− 2bc+ c2 − d2 = b2 − 2bc+ c2 − d2

(b− c+ d) (b+ c− d) = (b− (c− d)) (b+ (c− d)) = b2 − (c− d)2= b2 − (c−−− d)

2

= b2 −(c2 −−− 2cd+ d2

)= b2 − c2 + 2cd− d2

(x+ y + z) (x− y − z) = (x+ (y + z)) (x− (y + z)) = x2 − (y + z)2

= x2 − (y+++ z)2= x2 −

(y2 +++ 2yz + z2

)= x2 − y2 − 2yz − z2(

h2 + h+ 1) (h2 + h− 1

)=(h2 + h

)2 − 12 =(h2 +++ h

)2 − 1 =(h2)2

+++ 2h2 × h+ h2 − 1 = h4 + 2h3 + h2 − 1

.. أقول؟ ما تفهمون ال مل فقال: نفهم؟ ما تقول ال مل متام: أليب رجل قال

.استراحة

. .. 7. : التالية العبارات حلساب الشهرية املتطابقات استعمل ((2c2 + d2

)2 − (2c2 − d2)2

•

(2x− 3y)2

4− (2x+ 3y)

2

9•

(x3+y

2

)2−(x3− y

2

)2•(

3x2 + 1)2 − (1− 3x2

)2•

(h+ 2k)2 − (h− 2k)

2•

(b+ c)2 − (b− c)

2•

(b− c)2 − (b+ c)

2•

(3x− 5y)2 − (3x+ 5y)

2•

(b+++ c)2 − (b−−− c)

2= b2 +++ 2bc+ c2 −

(b2 −−− 2bc+ c2

)= b2 + 2bc+ c2 − b2 + 2bc− c2 = 4bc : لدينا

(b− c)2 − (b+ c)

2= −

[(b+ c)

2 − (b− c)2]= −4bc : نستنتج منه

(3x− 5y)2 − (3x+ 5y)

2= −4 (3x) (5y) = −60xy(x

3+y

2

)2−(x3− y

2

)2= 4

(x3

)(y2

)=

2xy

3(3x2 + 1

)2 − (1− 3x2)2

= 4× 1× 3x2 = 12x2

(h+ 2k)2 − (h− 2k)

2= 4× h× 2k = 8hk(

2c2 + d2)2 − (2c2 − d2

)2= 4

(2c2) (d2)= 8h2k2

(2x− 3y)2

4− (2x+ 3y)

2

9=

(2x− 3y)2

22− (2x+ 3y)

2

32=

(2x− 3y

2

)2

−(2x+ 3y

3

)2

=

(x−−− 3y

2

)2

−(2x

3+++ y

)2

= x2 −−− 2x× 3y

2+

(3y

2

)2

−

[(2x

3

)2

+++ 2× 2x

3× y + y2

]= x2 − 3xy +

9y2

4−(4x2

9+

4xy

3+ y2

)

= x2 − 3xy +9y2

4− 4x2

9− 4xy

3− y2 =

5x2

9− 13xy

3+

5y2

4



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


عليه... أتكرب إين يريد: يف. داؤه حتول إال قط كرب ذا رأيت ما : رجل قال قال: األصمعي، .عناستراحة

. .. 8. : التالية العبارات لتحليل الشهرية املتطابقات استعمل |

9h2 + 6hk + k2 •

1

4x2 + x+ 1 •

h2 +2hk

3+k2

9•

4x2 − 12xy + 9y2 •

−x2

9− xy

3− y2

4•

64− 48x+ 9x2 •

x2

4− xy

2+y2

4•

4 + 20x+ 25x2 •

x2 + 6xy + 9y2 •

4h2 − 12h+ 9 •

−16h2 + 16hk − 4k2 •

25− 30x+ 9x2 •

4h2 − 12h+ 9 = (2h)2 −−− 2× 2h× 3 + 32 = (2h−−− 3)

2

−16h2 + 16hk − 4k2 = −4[4h2 − 4hk + k2

]= −4

[(2h)

2 −−− 2× 2h× k + k2]= −4 (2h−−− k)

2

25− 30x+ 9x2 = 52 −−− 2× 5× 3x+ (3x)2= (5−−− 3x)

2

x2

4− xy

2+y2

4=

1

4

(x2 − 2xy + y2

)=

1

4

(x2 −−− 2× x× y + y2

)=

1

4(x−−− y)

2

4 + 20x+ 25x2 = 22 +++ 2× 2× 5x+ (5x)2= (2+++ 5x)

2

x2 + 6xy + 9y2 = x2 +++ 2× x× 3y + (3y)2= (x+++ 3y)

2

4x2 − 12xy + 9y2 = (2x)2 −−− 2× 2x× 3y + (3y)

2= (2x−−− 3y)

2

−x2

9− xy

3− y2

4= − 1

36

(4x2 + 12xy + 9y2

)= − 1

36

[(2x)

2+++ 2× 2x× 3y + (3y)

2]= − 1

36(2x+++ 3y)

2

64− 48x+ 9x2 = 82 −−− 2× 8× 3x+ (3x)2= (8−−− 3x)

2

9h2 + 6hk + k2 = (3h)2+++ 2× 3h× k + k2 = (3h+++ k)

2

1

4x2 + x+ 1 =

1

4

(x2 + 4x+ 4

)=

1

4

(x2 +++ 2× x× 2 + 22

)=

1

4(x+++ 2)

2

h2 +2hk

3+k2

9=

1

9

(9h2 + 6hk + k2

)=

1

9

[(3h)

2+++ 2× 3h× k + k2

]=

1

9(3h+++ k)

2

..السن؟ من تعد كم قال: أردت؟ فام قال: هذا، أرد مل قال: ألف؛ ألف إىل واحد من قال: تعد؟ كم الفوطي: عمرو بن هلشام رجل قال املربد: قالكلها يش، منها يل ما قال: السنني؟ لكمن كم قال: أردت؟ فام قال: هذا، أرد مل قال: أسفل؛ عرشمن وستة أعىل عرشمن ستة وثالثون؛ اثنان قال:قال: لقتلني؛ يشء عيل أتى لو قال: عليك؟ أتى فكم قال: وأم؛ أب اثنني: ابن قال: أنت؟ كم فابن قال: عظم؛ قال: سنك؟ فام قال: وجل؛ عز هللا

عمرك؟ مىضمن كم قل: قال: فكيفأقول؟

.

استراحة

. .. 9. : التالية احلاالت يف املربع أكمل ثم b و a أوجد . (ax+ b)2 الشكل من عبارة مربع من إليكحدان (

x2 − 10x •

4− 12x •

1

4− x

3•

4x2 − 6x •

25x2 + 1 •

16x2 − 14x

5•

16x2 + 8x •

6x+ 1 •

4x2 +1

4•

4x2 − 8x •

9x2 + 4 •

25x2 +5x

4•

. 2abx+ b2 أو a2x2 + b2 أو a2x2 + 2abx الشكل من هي عبارة كل

: a > 0 مع a2x2 + 2abx الشكل من التي ندرسالعبارات : األوىل احلالة •1



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = أي2− 4b = −8 و a = 2 منه 2ab = −8 و a2 = 4 أن نستنتج 4x2 − 8x من •

. (2x− 2)2= 4x2 − 8x+ 4

هو عنه نبحث الذي املربع بالتايل و b =5

40=

1

8أي 10b =

5

4و a = 5 منه 2ab =

5

4و a2 = 25 أن نستنتج 25x2 +

5x

4من •

.(5x+

1

8

)2

= 25x2 +5x

4+

1

64

هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = أي1 8b = 8 و a = 4 منه 2ab = 8 و a2 = 16 أن نستنتج 16x2 + 8x من •

. (4x+ 1)2= 16x2 + 8x+ 1

هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = −3

2أي 4b = −6 و a = 2 منه 2ab = −6 و a2 = 4 أن نستنتج 4x2 − 6x من •

.(2x− 3

2

)2

= 4x2 − 6x+9

4

نبحث الذي املربع بالتايل و b = −14

40= − 7

20أي 8b = −14

5و a = 4 منه 2ab = −14

5و a2 = 16 أن نستنتج 16x2 − 14x

5من •

.(4x− 7

20

)2

= 16x2 − 14x

5+

49

400هو عنه

هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = أي5− 2b = −10 و a = 1 منه 2ab = −10 و a2 = 1 أن نستنتج x2 − 10x من •

. (x− 5)2= x2 − 10x+ 25

: a > 0 مع a2x2 + b2 الشكل من التي ندرسالعبارات : الثانية احلالة •2

أو (3x− 2)2= 9x2 − 12x+ 4 هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = ±2 و a = 3 منه b2 = 4 و a2 = 9 أن نستنتج 9x2 + 4 من •

.(3x+ 2)2= 9x2 + 12x+ 4(

2x− 1

2

)2

= 4x2 − 2x+1

4هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = ±1

2و a = 2 منه b2 =

1

4و a2 = 4 أن نستنتج 4x2 + 1

4من •

.(2x+

1

2

)2

= 4x2 + 2x+1

4أو

(5x− 1)2= 25x2 − 10x+1 هو نبحثعنه الذي املربع بالتايل و b = ±1 و a = 5 منه b2 = 1 و a2 = 25 أن نستنتج 25x2 من1+ •

.(5x+ 1)2= 25x2 + 10x+ 1 أو

: a > 0 مع 2abx2 + b2 الشكل من التي ندرسالعبارات : الثالثة احلالة •3

املربع بالتايل و a = 3 منه b = 1 بالتايل و b > 0 منه ab > 0 و a > 0 لكن . b = ±1 منه b2 = 1 و 2ab = 6 أن نستنتج 6x + 1 من •

. (3x+ 1)2= 9x2 + 6x+ 1 هو نبحثعنه الذي

بالتايل و a = 3 منه b = −2 بالتايل و b < 0 منه ab < 0 و a > 0 لكن . b = ±2 منه b2 = 4 و 2ab = −12 أن نستنتج 4 − 12x من •

.(3x− 2)2= 9x2 − 12x+ 4 هو نبحثعنه الذي املربع

بالتايل و a =1

3منه b = −1

2بالتايل و b < 0 منه ab < 0 و a > 0 لكن . b = ±1

2منه b2 =

1

4و 2ab = −1

3أن نستنتج 1

4− x

3من •

هو نبحثعنه الذي املربع

.(1

3x− 1

2

)2

=1

9x2 − 1

3x+

1

4

اخلريرسف... ليسيف فقال: الرسفخري؛ ليسيف حاله: اختالل عىل عطاؤه كثر وقد سهل، بن للحسن .قيلاستراحة

. .. 10. : العبارة ممكن أبسطشكل أكتبعىل موجبا. حقيقيا عددا h ⩾ 0 ليكن |.A =

(√2h+ 3 +

√2h+

√3)(√

2h+ 3−√2h−

√3)

A =(√

2h+ 3 +(√

2h+√3))(√

2h+ 3−(√

2h+√3))

=(√

2h+ 3)2

−(√

2h+√3)2

= 2h+ 3−(√

2h+++√3)

= 2h+ 3−[(√

2h)2

+++ 2×√2h×

√3 +

(√3)2]

= 2h+ 3−(2h+ 2

√6h+ 3

)= 2h+ 3− 2h− 2

√6h− 3 = −2

√6h



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..فكلام بنا، يمر فكان مرتله، إىل يدعونا أن فوعدنا أديبا، ظريفا وكان البرصة، أهل من صديق لنا كان العلم: بعضأهل قال املدائني: احلسن أبو قالإىل ﴿انطلقوا فقال: عليه، فأعدنا بنا، فمر نريد، ما اجتمع أن فيسكتإىل [38 األنبياء-اآلية: صادقني﴾[سورة كنتم إن الوعد هذا ﴿م : له قلنا رأيناه

. [ 29 اآلية: املرسالت- ﴾[سورة تكذبون به كنتم ما

.

استراحة

. .. 11. : العبارة ممكن أبسطشكل أكتبعىل موجبا. حقيقيا عددا h ⩾ 0 ليكن |

.A =

(x− 2 +

√h+ 1

2

)(x− 2−

√h+ 1

2

)

A =

(x− 2

2−

√h+ 1

2

)(x− 2

2+

√h+ 1

2

)=

(x− 1−

√h+ 1

2

)(x− 1 +

√h+ 1

2

)= (x− 1)

2 −(√

h+ 1

2

)2

= x2 − 2x+ 1− h+ 1

4= x2 − 2x− 1

4h+

3

4

..من أقدامكم جفت ما أنتم : عيل له فقال أمري؛ منكم و أمري منا األنصار: قالت حتى نبيكم دفنتم ما : عنه ريضاهللا عيل املؤمنني ألمري هيودي قالآهلة هلم كما إهلا ا اجعل مو يا قالوا هلم أصنام بل يعكفون قوم بل فأتوا حر ا إرسائيل ببين جاوزنا ﴿و : تعاىل قوله يقصد

)إهلا لنا اجعل قلتم: حتى البحر

.([138 : األعراف-اآلية [سورة جتهلون﴾ قوم إنكم قال

.

استراحة

. .. 12. : التالية أحسباجلداءات (

A =(1 + 2x

√3 + 4x2

) (1− 2x

√3 + 4x2

)•

B =(1− 16x4

) (1 + 2x

√2 + 4x2

) (1− 2x

√2 + 4x2

)•

C =(1 + 6x+ 12x2 + 8x3

) (1− 6x+ 12x2 − 8x3

)•

A =(1 + 4x2 + 2x

√3)(

1 + 4x2 − 2x√3)=(1 + 4x2

)2 − (2x√3)2

=(1+++ 4x2

)2 − 4x2 × 3 = 12 +++ 2× 1× 4x2 +(4x2)2 − 12x2

= 1 + 8x2 + 16x4 − 12x2 = 1− 4x2 + 16x4

B =(1− 16x4

) (1 + 4x2 + 2x

√2)(

1 + 4x2 − 2x√2)

=(1− 16x4

) [(1 + 4x2

)2 − (2x√2)2]

=(1− 16x4

) [(1+++ 4x2

)2 − 4x2 × 2]

=(1− 16x4

) [12 +++ 2× 1× 4x2 +

(4x2)2 − 8x2

]=(1− 16x4

) (1 + 8x2 + 16x4 − 8x2

)=(1− 16x4

) (1 + 16x4

)= 12 −

(16x4

)2= 1− 162x8 = 1− 256x8

C =[1 + 12x2 +

(6x+ 8x3

)] [1 + 12x2 −

(6x+ 8x3

)]=[1 + 12x2 + 2x

(3 + 4x2

)] [1 + 12x2 − 2x

(3 + 4x2

)]=(1 + 12x2

)2 − (2x (3 + 4x2))2

=(1+++ 12x2

)2 − (2x)2 (

3+++ 4x2)2

= 12 +++ 2× 1× 12x2 +(12x2

)2 − 4x2[32 +++ 2× 3× 4x2 +

(4x2)2]

= 1 + 24x2 + 144x4 − 4x2(9 + 24x2 + 16x4

)= 1 + 24x2 + 144x4 − 36x2 − 96x4 − 64x6 = 1− 12x2 + 48x4 − 64x6



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..! هذه وقال: املرأة، إىل الشعبي فأومأ ؟ الشعبي أيكام الرجل: فقال يكلمها، امرأة مع واقف هو و الشعبي رجل لقي •

أحدثك. أن أريد فام وارجع، بالنصفاآلخر اكرت له: فقال لتحدثني؛ وجئتك بنصفدرهم، اكرتيتمحارا فقال: الشعبي، إىل رجل جاء •

.

استراحة

. .. 13. : التالية العبارات حلل |

D = (x− 8) (4x− 1) + x2 − 8x •

E = (4− 3x) (2 + 3x)− 2 (1− 2x) (3x− 4) •

F = (x− 3) (8x+ 2)− (2x− 6) (x− 5) •

A = (2x− 3)2 − (2x− 3) (5x− 7) •

B = 2x2 (x+ 5)−(x2 + 5x

)•

C = 2(4x2 + 2x

)+ 3 (2x+ 1) •

G = (3x+ 1) (2x− 3) + (3x+ 1) (x+ 2)− (5x+ 4) (3x+ 1) •

H = (2x+ 1) (x− 3) + (2x+ 1) (3x− 4)− (2x+ 1)2

•

A = (2x− 3) (2x− 3)− (2x− 3) (5x− 7) = (2x− 3) [(2x− 3)− (5x− 7)]

= (2x− 3) (2x− 3− 5x+ 7) = (2x− 3) (−3x+ 4)

B = 2x2(x+ 5)− x(x+ 5) = (x+ 5)[2x2 − x

]= (x+ 5) [2x× x− 1× x] = (x+ 5) [x (2x− 1)] = x (x+ 5) (2x− 1)

C = 2× (2x) (2x+ 1) + 3(2x+ 1) = (2x+ 1) [4x+ 3] = (2x+ 1) (4x+ 3)

D = (x− 8) (4x− 1) + x(x− 8) = (x− 8) [4x− 1 + x] = (x− 8) (5x− 1)

E = −(3x− 4) (3x+ 2) + (4x− 2) (3x− 4) = (3x− 4) [− (3x+ 2) + 4x− 2]

= (3x− 4) (−3x− 2 + 4x− 2) = (3x− 4) (x− 4)

F = (x− 3) (8x+ 2)− 2(x− 3) (x− 5) = (x− 3) [(8x+ 2)− 2 (x− 5)]

= (x− 3) [8x+ 2− 2x+ 10] = (x− 3) (6x+ 12)

= (x− 3) (6x+ 2× 6) = (x− 3) [6 (x+ 2)] = 6 (x− 3) (x+ 2)

G = (3x+ 1) (2x− 3) + (3x+ 1) (x+ 2)− (5x+ 4) (3x+ 1)

= (3x+ 1) [(2x− 3) + (x+ 2)− (5x+ 4)] = (3x+ 1) [2x− 3 + x+ 2− 5x− 4]

= (3x+ 1) (−2x− 5) = − (3x+ 1) (2x+ 5)

H = (2x+ 1) (x− 3) + (2x+ 1) (3x− 4)− (2x+ 1) (2x+ 1)

= (2x+ 1) [(x− 3) + (3x− 4)− (2x+ 1)] = (2x+ 1) [x− 3 + 3x− 4− 2x− 1]

= (2x+ 1) (2x− 8) = (2x+ 1) (2x− 2× 4) = 2 (2x+ 1) (x− 4)

حالة. كل النتيجتنييف بني قارن و عليها املحصل العبارة و اإلبتدائية أنرشالعبارة : مترين

..

دخولك! قال: علتكهذه؟ بكيف مر ما أشد ما له: فقال مرضه)، يف (يزوره يعوده األعمشرجل عىل دخل •

البلد؟ هذا يف تقيم عزمك كم له: قال الظل)، ثقيل إنسانا (أي ثقيال رأى األعمشإذا كان شعبة: قال •

علمه من إن بالقرآن، علمه من إن ابني، هذا حممد، أبا يا فقال: األعمش، إىل ااهللا عبد بابنه جاء األودي إدريس رأيت غياث: بن حفص قال •

سل األعمش: فقال عنيشء، األعمش سأل ثم واألعمشساكت، بالفقه؛ علمه من إن بالنحو، علمه من إن بالشعر، علمه من إن بالفرائض،ابنك!

.

استراحة

. .. 14.



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: التالية العبارات حلل |

4x2 + 12xy + 9y2 •

9b2 − 6bc+ c2 •

b4 + 4b2c+ 4c2 •

9b2 +c2

4+ 3bc •

h4 − 4h2k2 + 4k4 •

4b4 − 12b2c3 + 9c6 •

x2 − x+1

4•

16x2 − 56x+ 49 •

2x2 − 12x+ 18 •

−4h2 + 12h− 9 •

9x4 − 12x2y2 + 4y4 •

x2 + 2xy2 + y4 •

9x2 − 6x+ 1 •

4x2 + 4x+ 1 •

−x2 + 6x− 9 •

9x2 + 12x+ 4 •

4c2d2 − 4cd+ 1 •

9h2x2 + 12hx+ 4 •

9x2 − 6x+ 1 = (3x)2 −−− 2× 3x× 1 + 12 = (3x−−− 1)

2

4x2 + 4x+ 1 = (2x)2+++ 2× 2x× 1 + 12 = (2x+++ 1)

2

−x2 + 6x− 9 = −(x2 − 6x+ 9

)= −

[x2 −−− 2× x× 3 + 32

]= − (x−−− 3)

2

9x2 + 12x+ 4 = (3x)2+++ 2× 3x× 2 + 22 = (3x+++ 2)

2

4c2d2 − 4cd+ 1 = (2cd)2 −−− 2× 2cd× 1 + 12 = (2cd−−− 1)

2

9h2x2 + 12hx+ 4 = (3hx)2+++ 2× 3hx× 2 + 22 = (3hx+++ 2)

2

x2 − x+1

4= x2 −−− 2× x× 1

2+

(1

2

)2

=

(x−−− 1

2

)2

16x2 − 56x+ 49 = (4x)2 −−− 2× 4x× 7 + 72 = (4x−−− 7)

2

2x2 − 12x+ 18 = 2(x2 − 6x+ 9

)= 2

[x2 −−− 2× x× 3 + 32

]= 2 (x− 3)

2

−4h2 + 12h− 9 = −(4h2 − 12h+ 9

)= −

[(2h)

2 −−− 2× 2h× 3 + 32]= − (2h−−− 3)

2

9x4 − 12x2y2 + 4y4 =(3x2)2 −−− 2× 3x2 × 2y2 +

(2y2)2

=(3x2 −−− 2y2

)2x2 + 2xy2 + y4 = x2 +++ 2× x× y2 +

(y2)2

=(x+++ y2

)24x2 + 12xy + 9y2 = (2x)

2+++ 2× 2x× 3y + (3y)

2= (2x+++ 3y)

2

9b2 − 6bc+ c2 = (3b)2 −−− 2× 3b× c+ c2 = (3b−−− c)

2

b4 + 4b2c+ 4c2 =(b2)2

+++ 2× b2 × 2c+ (2c)2=(b2 +++ 2c

)29b2 +

c2

4+ 3bc = (3b)

2+++ 2× 3b× c

2+( c2

)2=(3b+++

c

2

)2h4 − 4h2k2 + 4k2 =

(h2)2 −−− 2× h2 × 2k2 +

(2k2)2

=(h2 −−− 2k2

)24b4 − 12b2c3 + 9c6 =

(2b2)2 −−− 2× 2b2 × 3c3 +

(3c3)2

=(2b2 −−− 3c3

)2

حالة. كل يف اإلبتدائية قارهنابالعبارة و عليها املحصل أنرشالعبارة : مترين

..فادعى امرأته، عىل فأقام فزوجوه، طلقتثالثا، قد أين اشهدوا فقال: تطلق، نزوجكحتى ال فقالوا: أخرى، وحتته خطبامرأة رجال إن شمري: قالوكانتحتتي بىل. قالوا: فطلقتها؟ بنتفالن فالنة وكانتحتتي بىل. قالوا: فطلقتها؟ بنتفالن فالنة كانتحتتي أنه تعلمون أما فقال: الطالق، القوم

نيته. فجعلها عثامن، إىل فبلغ طلقتثالثا. فقد قال: بىل. قالوا: فطلقتها؟ فالنة

.

استراحة



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. .. 15. : التالية العبارات حلل (

L = 9 (x− 2)2 − 4 (x+ 1)

2•

M =b2

x2− 9c2

y2•

N =

(x+ k

2

)2

− k2

9•

O = 25 (3x− 1)2 − 16 (5x+ 3)

2•

P = (2x+ y − 4)2 − (x+ y − 1)

2•

Q = (x+ y − 1)2 − (x− y + 1)

2•

R =(2x2 − 3x− 2

)2 − (x2 − 3x+ 2)2

•

S =(x2 + xy

)2 − (x2 − xy − 2y2)2

•

T = (ax− by)2 − (ax+ by)

2•

A = 9x2 − 4 •

B = (h+ 1)2 − h2 •

C = (4x+ 3)2 − (5x− 1)

2•

D = x2 − 4y2 •

E =

(x+

1

4

)2

− 49

16•

F = (5x+ 2)2 − (3x− 6)

2•

G = 4x2 − k2y2 •

H = 9x2 − (x+ 2)2

•

I = (2x− 1)2 − (3x− 2)

2•

J = a2x2 − b2y2 •

K =(x+ 1)

2

9− x2

16•

A = (3x)2 − 22 = (3x− 2) (3x+ 2)

B = (h+ 1)2 − h2 = (h+ 1− h) (h+ 1 + h) = 1× (2h+ 1)

C = (4x+ 3)2 − (5x− 1)

2= ((4x+ 3)− (5x− 1)) ((4x+ 3 + (5x− 1))

= (4x+ 3− 5x+ 1) (4x+ 3 + 5x− 1) = (−x+ 4) (9x+ 2)

D = x2 − (2y)2= (x− 2y) (x+ 2y)

E =

(x+

1

4

)2

−(7

4

)2

=

(x+

1

4− 7

4

)(x+

1

4+

7

4

)=

(x− 6

4

)(x+

8

4

)=

(x− 3

2

)(x+ 2)

F = (5x+ 2)2 − (3x− 6)

2= ((5x+ 2)− (3x− 6)) ((5x+ 2 + (3x− 6))

= (5x+ 2− 3x+ 6) (5x+ 2 + 3x− 6)=(−x+ 8) (8x− 4)= 4 (−x+ 8) (2x− 1)

G = (2x)2 − (ky)

2= (2x− ky) (2x+ ky)

H = (3x)2 − (x+ 2)

2= (3x− (x+ 2)) (3x+ (x+ 2))

= (3x− x− 2) (3x+ x+ 2) = (2x− 2) (4x+ 2) = 4 (x− 1) (2x+ 1)

I = (2x− 1)2 − (3x− 2)

2= ((2x− 1)− (3x− 2)) ((2x− 1 + (3x− 2))

= (2x− 1− 3x+ 2) (2x− 1 + 3x− 2) = (−x+ 1) (5x− 3)

J = (ax)2 − (by)

2= (ax− by) (ax+ by)

K =

(x+ 1

3

)2

−(x4

)2=

(x+ 1

3− x

4

)(x+ 1

3+x

4

)=

(4x+ 4− 3x

12

)(4x+ 4 + 3x

12

)=

(x+ 4) (7x+ 4)

122=

1

144(x+ 4) (7x+ 4)

L = (3(x− 2))2 − (2(x+ 1))

2= (3(x− 2)− 2(x+ 1)) (3(x− 2) + 2(x+ 1))

= (3x− 6− 2x− 2) (3x− 6 + 2x+ 2) = (x− 8) (5x− 4)

M =

(b

x

)2

−(3c

y

)2

=

(b

x− 3c

y

)(b

x+

3c

y

)

N =

(x+ k

2

)2

−(k

3

)2

=

(x+ k

2− k

3

)(x+ k

2+k

3

)=

(3x+ 3k − 2k

6

)(3x+ 3k + 2k

6

)=

(3x+ k) (3x+ 5k)

62=

1

36(3x+ k) (3x+ 5k)

O = (5(3x− 1))2 − (4(5x+ 3))

2= (5(3x− 1)− 4(5x+ 3)) (5(3x− 1) + 4(5x+ 3))



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


= (15x− 5− 20x− 12) (15x− 5 + 20x+ 12) = (−5x− 17) (35x+ 7) = −7 (5x+ 17) (5x+ 1)

P = (2x+ y − 4)2 − (x+ y − 1)

2= ((2x+ y − 4)− (x+ y − 1)) ((2x+ y − 4) + (x+ y − 1))

= (2x+ y − 4− x− y + 1) (2x+ y − 4 + x+ y − 1) = (x− 3) (3x+ 2y − 5)

Q = (x+ y − 1)2 − (x− y + 1)

2= ((x+ y − 1)− (x− y + 1)) ((x+ y − 1) + (x− y + 1))

= (x+ y − 1− x+ y − 1) (x+ y − 1 + x− y + 1) = (2y − 2) (2x) = 4x (y − 1)

R =(2x2 − 3x− 2

)2 − (x2 − 3x+ 2)2

=((2x2 − 3x− 2)− (x2 − 3x+ 2)

) ((2x2 − 3x− 2) + (x2 − 3x+ 2)

)=(2x2 − 3x− 2− x2 + 3x− 2

) (2x2 − 3x− 2 + x2 − 3x+ 2

)=(x2 − 4

) (3x2 − 6x

)=(x2 − 22

)(3x× x− 3x× 2) = (x− 2) (x+ 2)× 3x (x− 2) = 3x (x+ 2) (x− 2)

2

S =(x2 + xy

)2 − (x2 − xy − 2y2)2

=((x2 + xy)− (x2 − xy − 2y2)

) ((x2 + xy) + (x2 − xy − 2y2)

)=(x2 + xy − x2 + xy + 2y2

) (x2 + xy + x2 − xy − 2y2

)=(2xy + 2y2

) (2x2 − 2y2

)= (2yx+ 2y × y)

[2(x2 − y2

)]= 2y (x+ y)× 2 (x− y) (x+ y) = 4y (x− y) (x+ y)

2

T = (ax− by)2 − (ax+ by)

2= [(ax− by)− (ax+ by)] [(ax− by) + (ax+ by)]

= (ax− by − ax− by) (ax− by + ax+ by) = −2by × 2ax = −4abxy


..إذا قال: حممد، آل وعىل حممد عىل صل اللهم تقول: ألنك عيل، بالصالة إال صالتك تصح وال تبغضني، أنت : العيناء أليب بعضالعلوية قال •

منهم! خرجت «الطيبني» قلت:

املرآة! يف أنظر : قال الشيطان، أرى :أشتهي العيناء أليب رجل قال •

.

استراحة


E = 8a3bc− 18ab3c •

F = a2 − b2 + c2 − 2ac •

C=x2 + 4xz + 4z2 − 16 •

D = 25b4 − 49c4 •

A = 9x4 − 16 •

B = 16xz3 − x3z •

A =(3x2)2 − 42 =

(3x2 − 4

) (3x2 + 4

)=

((√3x)2

− 22)(

3x2 + 4)

=(√

3x− 2)(√

3x+ 2) (

3x2 + 4)=(√

3x− 2)(√

3x+ 2) (

3x2 + 4)

B = xz × 16z2 − xz × x2 = xz(16z2 − x2

)= xz

[(4z)

2 − x2]= xz [(4z − x) (4z + x)] = xz (4z − x) (4z + x)

C = x2 +++ 2× x× 2z + (2z)2 − 16 = (x+++ 2z)

2 − 16 = (x+ 2z)2 − 42

= (x+ 2z − 4) (x+ 2z + 4) = (x+ 2z − 4) (x+ 2z + 4)

D =(5b2)2 − (7c2)2 =

(5b2 − 7c2

) (5b2 + 7c2

)=

((√5b)2

−(√

7c2))(

5b2 + 7c2)

=(√

5b−√7c)(√

5b+√7c) (

5b2 + 7c2)=(√

5b−√7c)(√

5b+√7c) (

5b2 + 7c2)

E = 2abc× 4a2 − 2abc× 9b2 = 2abc(4a2 − 9b2

)= 2abc

[(2a)

2 − (3b)2]

= 2abc [(2a− 3b) (2a+ 3b)] = 2abc (2a− 3b) (2a+ 3b)

F = a2 −−− 2ac+ c2 − b2 = (a−−− c)2 − b2 = (a− c)

2 − b2 = (a− c− b) (a− c+ b) = (a− b− c) (a+ b− c)




..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


فقالتللضيف:.. ففعل، إليه، حتىنتحاكم رشا بيننا ألق فقالت: مقامه؟ كيفنعلممقدار الرجلالمرأته: فقال فكرهوه، قوما، ضافرجل : املربد قالأعلم! ما شهرا عندكم مقامي يف يل يبارك والذي الضيف: فقال أظلم؟ نا أي غدا، ك غدو لكيف يبارك بالذي

.

استراحة


F = (5x− 10) (x− 3)− 3(x2 − 4

)•

G = (x+ 2) (2x+ 1)2 − 16 (x+ 2) •

H =(x2 − 4

)2 − 4 (x+ 2)2

•

I = 12x3 − 16x2 − (3x− 4) •

J =(4x2 − 25

)2 − (2x+ 5)2

•

A = x2 − 9− (4x+ 5) (x− 3) •

B = 4x2 − 9− 2 (2x− 3) (x+ 1) •

C = 16x2 − 9 + (4x+ 3) (x− 1) •

D = 9x2 − 1− 2 (3x− 1)2

•

E = 4(4− x2

)− (x− 2)

2•

A = x2 − 32 − (4x+ 5) (x− 3) = (x− 3) (x+ 3)− (4x+ 5) (x− 3) = (x− 3) (x+ 3)− (4x+ 5) (x− 3)

= (x− 3) [(x+ 3)− (4x+ 5)] = (x− 3) (x+ 3− 4x− 5) = (x− 3) (−3x− 2) = − (x− 3) (3x+ 2)

B = (2x)2 − 32 − 2 (2x− 3) (x+ 1) = (2x− 3) (2x+ 3)− 2 (2x− 3) (x+ 1) = (2x− 3) (2x+ 3)− 2 (2x− 3) (x+ 1)

= (2x− 3) [(2x+ 3)− 2 (x+ 1)] = (2x− 3) (2x+ 3− 2x− 2) = 1× (2x− 3)

C = (4x)2 − 32 + (4x+ 3) (x− 1) = (4x− 3) (4x+ 3) + (4x+ 3) (x− 1) = (4x− 3) (4x+ 3) + (4x+ 3) (x− 1)

= (4x+ 3) [(4x− 3) + (x− 1)] = (4x+ 3) (4x− 3 + x− 1) = (4x+ 3) (5x− 4)

D = (3x)2 − 12 − 2 (3x− 1)

2= (3x− 1) (3x+ 1)− 2 (3x− 1)

2= (3x− 1) (3x+ 1)− 2 (3x− 1) (3x− 1)

= (3x− 1) [(3x+ 1)− 2 (3x− 1)] = (3x− 1) (3x+ 1− 6x+ 2) = (3x− 1) (−3x+ 3) = 3 (3x− 1) (−x+ 1)

E = −4(x2 − 22

)− (x− 2)

2= −4 (x− 2) (x+ 2)− (x− 2)

2= −4 (x− 2) (x+ 2)− (x− 2) (x− 2)

= (x− 2) [−4 (x+ 2)− (x− 2)] = (x− 2) (−4x− 8− x+ 2) = (x− 2) (−5x− 6) = − (x− 2) (5x+ 6)

F = 5 (x− 2) (x− 3)− 3(x2 − 22

)= 5 (x− 2) (x− 3)− 3 (x− 2) (x+ 2) = 5 (x− 2) (x− 3)− 3 (x− 2) (x+ 2)

= (x− 2) [5 (x− 3)− 3 (x+ 2)] = (x− 2) (5x− 15− 3x− 6) = (x− 2) (2x− 21)

G = (x+ 2) (2x+ 1)2 − 16 (x+ 2) = (x+ 2)

[(2x+ 1)

2 − 16]= (x+ 2)

[(2x+ 1)

2 − 42]

= (x+ 2) [(2x+ 1− 4) (2x+ 1 + 4)] = (x+ 2) (2x− 3) (2x+ 5)

H =(x2 − 22

)2 − 4 (x+ 2)2= [(x− 2) (x+ 2)]

2 − 4 (x+ 2)2= (x− 2)

2(x+ 2)

2 − 4(x+ 2)2= (x+ 2)

2[(x− 2)

2 − 4]

= (x+ 2)2[(x− 2)

2 − 22]= (x+ 2)

2[(x− 2− 2) (x− 2 + 2)] = (x+ 2)

2(x− 4)× x = x (x− 4) (x+ 2)

2

I = 4x2 (3x− 4)− (3x− 4) = (3x− 4)(4x2 − 1

)= (3x− 4)

[(2x)

2 − 12]

= (3x− 4) [(2x− 1) (2x+ 1)] = (3x− 4) (2x− 1) (2x+ 1)

J =[(2x)

2 − 52]2

− (2x+ 5)2= [(2x− 5) (2x+ 5)]

2 − (2x+ 5)2= (2x− 5)

2(2x+ 5)

2 − (2x+ 5)2

= (2x+ 5)2[(2x− 5)

2 − 1]= (2x+ 5)

2[(2x− 5)

2 − 12]= (2x+ 5)

2[(2x− 5− 1) (2x− 5 + 1)]

= (2x+ 5)2(2x− 6) (2x− 4) = 4 (x− 2) (x− 3) (2x+ 5)

2




..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

فاستزريته، به؛ ويمشطها شقة، به يسقي مشط، وبيده بمئزر متزر اهلامة، كبري بطني قصري برجل أنا فإذا الطرق بعض يف جمتازا كنت اجلاحظ: قال

فقلت: هات؛ وقال: يده، من املشط فرتك قلتفيكشعرا؛ قد الشيخ! أهيا فقلت:رش بعد طش أصاباحلش حش أصل يف صعوة كأنك

فقال: هات! قلت: اجلواب؛ اسمع يل: فقالوالكبشيميش هكذا يدلدل كبش ذنب يف كندن كأنك

.

استراحة

. .. 18. : التالية العبارات حلل W

G = a2 + b2 − c2 − d2 − 2ab+ 2cd •

H = a2 + b2 − c2 − d2 + 2ab− 2cd •

I = (7x− 13) (2x+ 3) + (2x+ 3) (4x+ 5) + 9− 4x2 •

J = 9x2 − 12x+ 4 + (6x− 4) (x+ 4)− 18x2 + 8 •

K =(2x2 − 18

)(x− 2)−

(x2 − 9

)(2x− 1) + 3− x •

L = 16x2−9+(4x+ 3) (x− 1)+5x (x− 2)−4 (x− 2) •

A = (x− 5) (3x− 8) + (x− 5)2+ 2x2 − 50 •

B = 15− 3x− 2 (x− 5)2+ x2 − 25 •

C = 2x2 − 18− (x+ 3)2+ 8x+ 24 •

D = 3 (x− 2)2 − 4 + x2 − (x+ 5) (2− x) •

E = 2(x2 − 3x

)+ 9− x2 − (3− x) (x+ 8) •

F = y2 − (x− 1)2 − 2 (x− 1) (y + x− 1) •

A = (x− 5) (3x− 8) + (x− 5)2+ 2

(x2 − 25

)= (x− 5) (3x− 8) + (x− 5)

2+ 2

(x2 − 52

)= (x− 5) (3x− 8) + (x− 5)

2+ 2 (x− 5) (x+ 5) = (x− 5) (3x− 8) + (x− 5) (x− 5) + 2 (x− 5) (x+ 5)

= (x− 5) [(3x− 8) + (x− 5) + 2 (x+ 5)] = (x− 5) (3x− 8 + x− 5 + 2x+ 10) = (x− 5) (6x− 3) = 3 (x− 5) (2x− 1)

B = −3 (x− 5)− 2 (x− 5) (x− 5) + (x− 5) (x+ 5) = (x− 5) [−3− 2 (x− 5) + (x+ 5)]

= (x− 5) (−3− 2x+ 10 + x+ 5) = (x− 5) (−x+ 12)

C = 2(x2 − 9

)− (x+ 3)

2+ 8 (x+ 3) = 2 (x− 3) (x+ 3)− (x+ 3) (x+ 3) + 8 (x+ 3)

=(x+ 3) [2 (x− 3)− (x+ 3) + 8] = (x+ 3) (2x− 6− x− 3 + 8)= (x+ 3) (x− 1)

D = 3 (x− 2)2+ x2 − 4 + (x+ 5) (x− 2) = 3 (x− 2) (x− 2) + (x− 2) (x+ 2) + (x+ 5) (x− 2)

= (x− 2) [3 (x− 2) + (x+ 2) + (x+ 5)] = (x− 2) (3x− 6 + x+ 2 + x+ 5) = (x− 2) (5x+ 1)

E = 2x (x− 3)−(x2 − 9

)+ (x− 3) (x+ 8) = 2x (x− 3)− (x− 3) (x+ 3) + (x− 3) (x+ 8)

= (x− 3) [2x− (x+ 3) + (x+ 8)] = (x− 3) (2x− x− 3 + x+ 8) = (x− 3) (2x+ 5)

F = y2 − (x− 1)2 − 2 (x− 1) (y + x− 1) = (y − (x− 1)) (y + (x− 1))− 2 (x− 1) (y + x− 1)

= (y − x+ 1) (y + x− 1)− 2 (x− 1) (y + x− 1) = (y + x− 1) [(y − x+ 1)− 2 (x− 1)]

= (y + x− 1) (y − x+ 1− 2x+ 2) = (y + x− 1) (y − 3x+ 3)

G = a2 −−− 2ab+ b2 −(c2 −−− 2cd+ d2

)= (a−−− b)

2 − (c−−− d)2= (a− b)

2 − (c− d)2

= ((a− b)− (c− d)) ((a− b) + (c− d)) = (a− b− c+ d) (a− b+ c− d)

H = a2 +++ 2ab+ b2 −(c2 +++ 2cd+ d2

)= (a+++ b)

2 − (c+++ d)2= (a+ b)

2 − (c+ d)2

= ((a+ b)− (c+ d)) ((a+ b) + (c+ d)) = (a+ b− c− d) (a+ b+ c+ d)

I = (7x− 13) (2x+ 3) + (2x+ 3) (4x+ 5)−(4x2 − 9

)= (7x− 13) (2x+ 3) + (2x+ 3) (4x+ 5)− (2x− 3) (2x+ 3)

= (2x+ 3) [(7x− 13) + (4x+ 5)− (2x− 3)] = (2x+ 3) (7x− 13 + 4x+ 5− 2x+ 3) = (2x+ 3) (9x− 5)

J = (3x)2 −−− 2× 3x× 2 + 22 + 2 (3x− 2) (x+ 4)− 2

(9x2 − 4

)= (3x−−− 2)

2+ 2 (3x− 2) (x+ 4)− 2 (3x− 2) (3x+ 2)

= (3x− 2) [(3x− 2) + 2 (x+ 4)− 2 (3x+ 2)] = (3x− 2) (3x− 2 + 2x+ 8− 6x− 4) = (3x− 2) (−x+ 2)

K = 2(x2 − 9

)(x− 2)− (x− 3) (x+ 3) (2x− 1) + 3− x

= 2 (x− 3) (x+ 3) (x− 2)− (x− 3) (x+ 3) (2x− 1)− (x− 3) = (x− 3) [2 (x+ 3) (x− 2)− (x+ 3) (2x− 1)− 1]



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


= (x− 3) [2 (x+ 3) (x− 2)− (x+ 3) (2x− 1)− 1] = (x− 3) [(x+ 3) (2 (x− 2)− (2x− 1))− 1]

= (x− 3) [(x+ 3) (2x− 4− 2x+ 1)− 1] = (x− 3) [−3 (x+ 3)− 1]

= (x− 3) (−3x− 9− 1) = (x− 3) (−3x− 10) = − (x− 3) (3x+ 10)

L = (4x)2 − 32 + (4x+ 3) (x− 1) + 5x (x− 2)− 4 (x− 2)

= (4x− 3) (4x+ 3) + (4x+ 3) (x− 1) + 5x (x− 2)− 4 (x− 2) = (4x+ 3) [(4x− 3) + (x− 1)] + (x− 2) [5x− 4]

= (4x+ 3) (5x− 4) + (x− 2) (5x− 4) = (5x− 4) [(4x+ 3) + (x− 2)] = (5x− 4) (4x+ 3 + x− 2) = (5x− 4) (5x+ 1)


.. منهم. القوم موىل فقال: فاجر! يا لغالمه: رجل .قالاستراحة

. .. 19. . y =(4x2 − 25

)2 − (2x+ 5)2 : العبارة إليك :

املتناقصة. xحسبقوى y العبارة رتب ثم بسط أنرش، •1. y العبارة حلل •2

. x =√5 ، x = 2 ، x = 1 : التالية xاملتغري قيم أجل من y للعبارة العددية القيم أحسب •3

عىلحسابأرسع. تساعد التي العبارة احلساباتصيغة هذه من لكل استخدم

: التبسيط النرشو •1

y =(4x2 −−− 25

)2 − (2x+++ 5)2=[(4x2)2 −−− 2× 4x2 × 25 + 252

]−[(2x)

2+++ 2× 2x× 5 + 52

]=[16x4 − 200x2 + 625

]−[4x2 + 20x+ 25

]= 16x4 − 200x2 + 625− 4x2 − 20x− 25 = 16x4 − 204x2 − 20x+ 600

: التحليل •2

y =[(2x)

2 − 52]2

− (2x+ 5)2= [(2x− 5) (2x+ 5)]

2 − (2x+ 5)2= (2x− 5)

2(2x+ 5)

2 − (2x+ 5)2

= (2x+ 5)2[(2x− 5)

2 − 1]= (2x+ 5)

2[(2x− 5)

2 − 12]= (2x+ 5)

2(2x− 5− 1) (2x− 5 + 1)

= (2x+ 5)2(2x− 6) (2x− 4) = (2x+ 5)

2[2 (x− 3)] [2 (x− 2)]

= 2× 2× (2x+ 5)2(x− 3) (x− 2) = 4 (x− 2) (x− 3) (2x+ 5)

2

: املنشورة الصيغة إستخدام يمكن ، x = 1 أجل من • •3y = 16× 14 − 204× 12 − 20× 1 + 600 = 16− 204− 20 + 600 = 392

: املحللة الصيغة أوy = 4 (1− 2) (1− 3) (2× 1 + 5)

2= 4× 2× 72 = 392

: y عامليف (x− 2) ألن املحللة الصيغة إستخدام األفضل من x = 2 ألجل •

y = 4 (2− 2) (2− 3) (2× 2 + 5)2= 0

: األنسب هي املنشورة الصيغة ، x =√5 للقيمة بالنسبة •

y = 16√54− 204

√52− 20

√5 + 600 = 16× 25− 204× 5− 20

√5 + 600 = −20− 20

√5

.. املاء! إال باردا منها كان يشء كل فقال: حرضها، دعوة عن جحظة .سئلاستراحة



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. .. 20. :

.A =(x2 + 4y2 − 10

)2 − (4xy + 6)2 : العبارة حلل •1

. y =1√3− 1

و x =√3 + 1 كان Aإذا للعبارة العددية القيمة أحسب •2

. xيف الثانية الدرجة من حد ثنائي مربع عندئذ Bهي = A+ 36 (x− 1)2 العبارة أن برهن .−3

2العددية القيمة y املتغري يعطى •3

. x =√5 أجل Bمن للعبارة العددية القيمة أحسب •4

:A نرشالعبارة •1

A =(x2 + 4y2 − 10

)2 − (4xy + 6)2=[(x2 + 4y2 − 10

)− (4xy + 6)

] [(x2 + 4y2 − 10

)+ (4xy + 6)

]=(x2 + 4y2 − 10− 4xy − 6

) (x2 + 4y2 − 10 + 4xy + 6

)=(x2 − 4xy + 4y2 − 16

) (x2 − 4xy + 4y2 − 4

)=[x2 −−− 2× x× 2y + 2y2 − 16

] [x2 −−− 2× x× 2y + 2y2 − 4

]=[(x−−− 2y)

2 − 16] [

(x−−− 2y)2 − 4

]=[(x− 2y)

2 − 42] [

(x− 2y)2 − 22

]= (x− 2y − 4) (x− 2y + 4) (x− 2y − 2) (x− 2y + 2)

= (x− 2y − 2) (x− 2y + 2) (x− 2y − 4) (x− 2y + 4)

: املقام مرافق يف املقام و البسط ذلكبرضب و ناطقا عددا yالكرس مقام نجعل بداية، •2y =

1√3− 1

=

√3 + 1(√

3− 1) (√

3 + 1) =

√3 + 1

3− 1=

√3 + 1

2

: هي y =

√3 + 1

2و x =

√3 + 1 كان Aإذا قيمة بالتايل و x− 2y = 0 منه x = 2y أي

A = (x− 2y − 2) (x− 2y + 2) (x− 2y − 4) (x− 2y + 4)

= (0− 2) (0 + 2) (0− 4) (0 + 4) = (−4) (−16) = 64

: منه 4y2 = (2y)2= 9 منه 2y = −3 فإن y = −3

2كان إذا •3

A =(x2 + 9− 10

)2 − (4x×(−3

2

)+ 6

)2

=(x2 − 1

)2 − (−6x+ 6)2

=(x2 − 1

)2 − [−6 (x− 1)]2=(x2 − 1

)2 − 36 (x− 1)2

B = A+ 36 (x− 1)2=[(x2 − 1

)2 − 36 (x− 1)2]+ 36 (x− 1)

2 : بالتايل و

=(x2 − 1

)2 −36 (x− 1)

2+

36 (x− 1)2=(x2 − 1

)2. xيف الثانية الدرجة من حد ثنائي مربع هو و

: منه x2 = 5 فإن x =√5 كان إذا •4

B =(x2 − 1

)2= (5− 1)

2= 42 = 16

عرشة.. فأعطوه نعم؛ فقال: دراهم؟ عرشة وتأخذ الشجرة هذه تصعد هبلول، يا فقالوا: شجرة، أصل يف بقوم هبلول مر الرازي: احلسني بن عيل قالرشطي! يف كان قال: يفرشطنا؟! هذا يكن مل فقالوا: سلام؛ هاتوا فقال: إليهم، التفت ثم كمه، يف فجعلها دراهم،

.

استراحة

. .. 21.. y = x+

1

x: العبارة نعترب 4



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. y5 ، y3 ، y2 : التالية العبارات أحسب •1

. x5 +1

x5، x3 +

1

x3، x2 +

1

x2: عن y بداللة عرب •2

حساب ذلكدون 5+و العددية القيمة x+ 1

xالعبارة تأخذ عندما x5 + 1

x5، x3 + 1

x3، x2 + 1

x2الثالث: للعبارات العددية القيم استنتج •3

. x لـ العددية القيمة

•1

y2 =

(x+++

1

x

)2

= x2 +++ 2x× 1

x+

(1

x

)2

= x2 + 2 +1

x2

y3 = y × y2 =

(x+

1

x

)(x2 + 2 +

1

x2

)= x× x2 + x× 2 + x× 1

x2+

1

x× x2 +

1

x× 2 +

1

x× 1

x2

= x3 + 2x+1

x+ x+

2

x+

1

x3= x3 + 3x+

3

x+

1

x3

y5 = y2 × y3 =

(x2 + 2 +

1

x2

)(x3 + 3x+

3

x+

1

x3

)= x2 × x3 + x2 × 3x+ x2 × 3

x+ x2 × 1

x3+ 2x3 + 2× 3x+ 2× 3

x+ 2× 1

x3+

1

x2× x3 +

1

x2× 3x+

1

x2× 3

x+

1

x2× 1

x3

= x5 + 3x3 + 3x+1

x+ 2x3 + 6x+

6

x+

2

x3+ x+

3

x+

3

x3+

1

x5= x5 + 5x3 + 10x+

10

x+

5

x3+

1

x5

: نستنتج األول السؤال من •2

؛ x2 +1

x2= y2 − 2 منه y2 = x2 +

1

x2+ 2 •

؛ x3 + 1

x3= y3 − 3y منه y3 = x3 +

1

x3+ 3y أي y3 = x3 +

1

x3+ 3

(x+

1

x

)•

y5 = x5+1

x5+5(y3 − 3y

)+10y +x3فإن 1

x3= y3−3y x+1و

x= y أن بام .y5 = x5+

1

x5+5

(x3 +

1

x3

)+10

(x+

1

x

)•

. x5 + 1

x5= y5 − 5y3 + 5y منه x5 +

1

x5= y5 − 5

(y3 − 3y

)− 10y أي

: فإن y = 5 كان إذا أي x+1

x= 5 كان إذا •3

x2 +1

x2= y2 − 2 = 52 − 2 = 25− 2 = 23

x3 +1

x3= y3 − 3y = 53 − 3× 5 = 125− 15 = 110

x5 +1

x5= y5 − 5y3 + 5y = 55 − 5× 53 + 5× 5 = 3125− 625 + 25 = 2525

له:.. وقال احلديث، قطع األعرايب، فطن فلام أكله، يميضيف مزبد وأخذ بحاله حيدثه فأخذ أبوك؟ مات كيف مزبد: له فقال مزبد، مع أعرايب تغدىيأكل. وأخذ فجأة! فقال: أبوك؟ كيفمات أنت،

.

استراحة

. .. 22. : التالية العبارات أحسب 4

(a− b)3

•

(2x− 3y)3

•

(h− 1)3

•

(3x− 2)3

•

(a+ b)3

•

(x+ 2y)3

•

(h+ 1)3

•

(2x+ 3)3

•



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


(h+ 1)3= (h+ 1) (h+ 1)

2= (h+ 1)

(h2 + 2h+ 1

)= h× h2 + h× 2h+ h× 1 + 1× h2 + 1× 2h+ 1× 1

= h3 + 2h2 + h+ h2 + 2h+ 1 = h3 + 3h2 + 3h+ 1

(a+ b)3(a+ b)3

(a+ b)3= (a+ b) (a+ b)

2= (a+ b)

(a2 + 2ab+ b2

)= a× a2 + a× 2ab+ a× b2 + b× a2 + b× 2ab+ b× b2

= a3 + 2a2b+ ab2 + a2b+ 2ab2 + b3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3

(h− 1)3= (h− 1) (h− 1)

2= (h− 1)

(h2 − 2h+ 1

)= h× h2 + h× (−2h) + h× 1− 1× h2 − 1× (−2h)− 1× 1

= h3 − 2h2 + h− h2 + 2h− 1 = h3 − 3h2 + 3h− 1

(a− b)3(a− b)3

(a− b)3= (a− b) (a− b)

2= (a− b)

(a2 − 2ab+ b2

)= a× a2 + a× (−2ab) + a× b2 − b× a2 − b× (−2ab)− b× b2

= a3 − 2a2b+ ab2 − a2b+ 2ab2 − b3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3

(2x+ 3)3= (2x)

3+ 3 (2x)

2 × 3 + 3 (2x)× 32 + 33 = 8x3 + 9× 4x2 + 6x× 9 + 27 = 8x3 + 36x2 + 54x+ 27

(x+ 2y)3= x3 + 3x2 × 2y + 3x (2y)

2+ (2y)

3= x3 + 6x2y + 3x× 4y2 + 8y3 = x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3

(3x− 2)3= (3x)

3 − 3 (3x)2 × 2 + 3 (3x)× 22 − 23 = 27x3 − 6× 9x2 + 9x× 4− 8 = 27x3 − 54x2 + 36x− 8

(2x− 3y)3= (2x)3−3(2x)2×3y + 3(2x)(3y)2−(3y)3 = 8x3 − 4x2×9y + 6x×9y2 − 27y3 = 8x3 − 36x2y + 54xy2 − 27y3

: أن برهن أخرى، طريقة بأية أو نفسالطريقة، باتباع : مترين

(a+ b)4= a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b3

(a− b)4= a4 − 4a3b+ 6a2b2 − 4ab3 + b3

(a+ b)5= a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a− b)5= a5 − 5a4b+ 10a3b2 − 10a2b3 + 5ab4 − b5

..جيبه من يده أخرج موسى إن له: فقال عمران! بن موسى أنا وقال: النبوة، ادعى قد بأسود املأمون أيت : أيب قال : املديني حفص بن سعيد قال

يدي أخرج حتى قال أنتكام فقل األعىل! ربكم أنا : فرعون قال ملا ذلك موسى فعل إنام األسود: فقال بك! أؤمن حتى بيضاء يدك فأخرج بيضاء،تبيض! مل وإال بيضاء،

.

استراحة

. .. 23. : التالية املتطابقات حققصحة 4

a5 + b5 = (a+ b)(a4 − a3b+ a2b2 − ab3 + b4

)•(

h2 + 3h+ 1)2

= h (h+ 1) (h+ 2) (h+ 3) + 1 •(a2 + b2

) (x2 + y2

)= (ax+ by)

2+ (ay − bx)

2•

(x− y)3+(y − z)

3+(z − x)

3= 3 (x− y) (y − z) (z − x) •

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2

)•

a3 + b3 = (a+ b)(a2 − ab+ b2

)•

a4 − b4 = (a− b)(a3 + a2b+ ab2 + b3

)•

a5 − b5 = (a− b)(a4 + a3b+ a2b2 + ab3 + b4

)•(

a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2

)= (ax+ by + cz)

2+ (ay − bx)

2+ (bz − cy)

2+ (cx− az)

2•

(a+ b) (b+ c) (c+ a) = a (b+ c)2+ b (c+ a)

2+ c (a+ b)

2 − 4abc •

(1− x)2(y − z) + (1− y)

2(z − x) + (1− z)

2(x− y) = (x− y) (y − z) (z − x) •

(x+ y + z) (xy + yz + zx)− (x+ y) (y + z) (z + x) = xyz •

: مثال الثاين، نرشالطرف يكفي احلاالتاخلمساألوىل، يف

(a+ b)(a4 − a3b+ a2b2 − ab3 + b4

)= a× a4 + a× (−a3b) + a× a2b2

+a× (−ab3) + a× b4 + b× a4 + b× (−a3b) + b× a2b2 + b× (−ab3) + b× b4

= a5 −a4b +a4b +a3b2 −a2b3 +ab4 +ba4 −a3b2 +a2b3 −ab4 + b5

= a5 + b5



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: مثال النتائج، نقارن و ننرشالطرفني املتبقية، احلاالتاألخرى يف و

(ax+ by)2+ (ay − bx)

2=(a2x2 + 2abxy + b2y2

)+(a2y2 − 2abxy + b2x2

): جهة من

= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2(a2 + b2

) (x2 + y2

)= a2 × x2 + a2 × y2 + b2 × x2 + b2 × y2 : أخرى جهة من و= a2x2 + a2y2 + b2x2 + b2y2

(a2 + b2

) (x2 + y2

)= (ax+ by)

2+ (ay − bx)

2 : املساواة نستنتج منه

..

ينادونك ين ا ﴿إن تعاىل: قوله إىل يشري أقلها! من قال: أقلها؟ من أو أكثرها من قال: متيم. بني من العرب، من قال: أنت؟ ممن : لرجل رجل قال •

. [4 احلجرات-اآلية: ﴾[سورة يعقلون ال أكرثهم احلجرات وراء منفواهللاالخترجون قال: وصلبناه؛ قتلناه نحن قالوا: مريم؟ بن تقولونيفعيسى ما فقال: هيودها، فجمع البحرين، أعرايب ويل بنعمر: عيسى قال •

منهم. فأخذها ديته! تؤدوا حتى

.

استراحة



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. ية المستو الهندسة •6

. .. 1. |

GBD

20

F

[BD] القطعة منتصف Gهي النقطة و ، [BD] قطرها (C) دائرة به BDFحتيط املثلث جانبه، الشكل يف.

. BDF = 20 DGو = 5 cmيعطى

. F يف BDFقائم املثلث أن أثبت •1

. DBF الزاوية قيس أوجد •2. BFG الزاوية قيس استنتج •3

عرشة. من اجلزء إىل له تقريبية قيمة اعط BFثم الطول أحسب •4

قائم فهو إذن [BD] هو وتره و BDFقائم املثلث أن حسبالدرسنستنتج الدائرة، هلذه قطر [BD] الضلع BDFو باملثلث حميطة (C) الدائرة •1: بالتايل و (C) الدائرة يف نفسالوتر تشدان BFD املحيطة الزاوية و BGD املركزية الزاوية أن مالحظة أيضا [يمكن . F يف

BFD =1

2BGD =

1

2× 180 = 90

[. F يف الزاوية BDFقائم املثلث أن يعني هذا و

: منه ، 180 مثلثيساوي أقياسزوايا جمموع •2

BDF + DBF + BFD = 180 =⇒ 20 + DBF + 90 = 180

=⇒ DBF = 70

إذن FBG = DBF = 70 لكن . FBG = BFG منه ، (C) للدائرة قطر نصف GB = GF ألن الساقني متساوي BFGاملثلث •3. BFG = 70

: ييل كام واحد آن الثالثيف و الثاين السؤالني حل يمكن : مالحظة

: بالتايل و (C) الدائرة يف نفسالوتر تشدان BDF املحيطة الزاوية و BGF املركزية الزاويةBGF = 2BDF = 2× 20 = 40

: منه FBG = BFG لكن

BGF + FBG+ BFG = 180 =⇒ 40 + 2FBG = 180

=⇒ 2FBG = 140

=⇒ FBG = 70

. FBG = BFG = 70 أي

.BF = BD sin BDF منه sin BDF =BF

BDلدينا ، F يف BDFالقائم املثلث يف •4

. BF = (10 sin 20) cm BDإذن = 2DG = 10 cm لكن

. BF ≃ 3.4 cm BFأي ≃ 10× 0.34 cm فإن sin 20 ≃ 0.34 أن بام. (الدرجات[]) املستعملة الوحدة من جيباحلذر احلاسبة، باآللة sin 20 قيمة حساب عند : مالحظة

. sin نحسب0.349 أي 20 × 3.142

180التحويل فنستعمل ،(rad) الراديان هي الوحدة كانت إذا


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

املستوية اهلندسة .6 باب 58

. .. 2. :

M

O

A

U

I

املليمرت. هي الطول وحدة.M يف تتقاطعان [UI] و [OA] القطعتان

.AI = 45 MIو = 36 ،MU = 28 ،MA = 27 ،MO = 21 : لدينا

متوازيان. (AI) و (OU)املستقيمني أن أثبت •1.OU الطول أحسب •2

إىل باإلضافة . MA

MO=

MI

MUإذن MI

MU=

36

28=

9

7و MA

MO=

27

21=

9

7لكن متساويتان. MI

MUو MA

MOالنسبتني أن نربهن أن نريد •1

لنظرية العكسية النظرية حسب الرتتيب. بنفس و واحدة استقامة عىل أخرى، جهة من U ،M ، A النقط و جهة من U ،M ، I النقط ذلك،متوازيان. (OU) و (IA)املستقيمني أن طاليسنستنتج

أي MA

MO=

MI

MU=

AI

OUنستنتج طاليس، نظرية حسب متوازيان. (OU) و (AI) املستقيامن Mو يف متقاطعان (IU) و (AO) املستقيامن •2

OU = 35mm .OU = 45× 9

7= 35 منه

(9

7=

)27

21=

36

28=

45

OU

. .. 3. السنتيمرت. هي الطول وحدة :.WT = 19.5 و SW = 7.5 ، ST = بحيث18 املستوي من نقط Wثالث و T ، S

قائم. SWT املثلث أن برهن •1

الدرجة. إىل بالتقريب STW الزاوية قيس أوجد •2

.WT هو الوتر إذن األكرب الضلع هو الوتر القائم، املثلث يف •1أخرى. جهة من SW 2 + ST 2 = 7.52 + 182 = 56.25 + 324 = 380.25 و ، جهة WTمن 2 = 19.52 = 380.25 إذن نحسب

. (S (يف قائم SWT املثلث أن نستنتج فيثاغورث لنظرية العكسية النظرية حسب و ،WT 2 = SW 2 + ST 2 إذن

: إذن S يف قائم SWT املثلث •2cos STW =

ST

TW=

18

19.5=

12

13

نجد احلاسبة، اآللة يف cos−1 الزر عىل بالضغط وSTW = cos−1

(12

13

)= 22.62

. STW ≃ 23 أي: التالية العالقات أحد استخدام أيضا يمكن : مالحظة

sin STW =SW

TW=

7.5

19.5=

5

13=⇒ STW = sin−1

(5

13

)≃ 23

tan STW =SW

ST=

7.5

18=

5

12=⇒ STW = tan−1

(5

12

)≃ 23

. .. 4. W

B F C

A

E

مربع. السنتيمرت هي املساحة وحدة و السنتيمرت هي الطول وحدةليستحقيقية. األبعاد جانبه، الشكل يف

.AB = 12 BCو = 16 ،AC = 20 : ABCمثلثبحيث.E يف [CA] يقطع F بالنقطة املار و (BC)العموديعىل املستقيم . [BC] املستقيمة القطعة من نقطة F



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

59 املستوية اهلندسة .6 باب

الثاين اجلزء.CF = 4 أن اجلزء هذا نفرضيف

.EF = 3 أن أثبت •1

.EBCاملثلث أحسبمساحة •2

األول اجلزء

.B يف املثلثABCقائم أن برهن •1متوازيان. (AB) و (EF املستقيمني( أن أثبت •2

.ABCاملثلث أحسبمساحة •3

الثالث اجلزء. (0 < x < بحيث16 حقيقي عدد x)CF = x نضع Cو عن Bو ختتلفعن [BC] القطعة من كيفية نقطة F النقطة أن نفرضاآلن

. (cm : (الوحدة 34xيساويEF الطول أن أثبت •1

. (cm2 : (الوحدة 6xتساويEBCاملثلث مساحة أن أثبت •2؟ 33 cm2 املثلثEBCتساوي مساحة تكون أجلها من التي x قيمة هي ما •3

.ABEاملثلث يف [AB] بالضلع املتعلق العمود طول هو FB أن أثبت •4.EABاملثلث مساحة عن x بداللة عرب •5

املثلثEBC؟ املثلثEABتساويضعفمساحة مساحة تكون أجلها من التي x قيمة هي ما •6


: أخرى جهة من و AC2؛ = 202 = 400 : جهة من •1AB2 +BC2 = 122 + 162 = 144 + 256 = 400

.B يف املثلثABCقائم فيثاغورث، لنظرية العكسية النظرية حسب .AC2 = AB2 +BC2 أي

نفس مستقيامن عامد (إذا متوازيان (AB) و (EF ) املستقيامن إذن متعامدان، (BC) و (AB) املستقيامن و متعامدان (BC) و (EF ) املستقيامن •2متوازيان). فهام املستقيم

: املثلثABCهي مساحة •3(ABC) مساحة =

×اإلرتفاع القاعدة2

=AB ×BC

2=

12× 16

2=

192

2= 96 cm2

الثاين اجلزء

: أن بام •1، متوازيان (AB) و (EF ) املستقيامن •

واحدة استقامة Aعىل Eو ،C النقط •

بنفسالرتتيب. و واحدة استقامة Bعىل و F ،C النقط و •

. EF = 3 cm EFأي = 12× 4

16منه 4

16=EF

12أي CF

CB=CE

CA=EF

AB: أن نستنتج طاليس، نظرية فحسب

: املثلثEBCهي مساحة •2(EBC) مساحة =


=EF ×BC

2=

3× 16

2= 24 cm2

الثالث اجلزء

: أن بام •1، متوازيان (AB) و (EF ) املستقيامن •

واحدة استقامة Aعىل Eو ،C النقط •

بنفسالرتتيب. و واحدة استقامة Bعىل و F ،C النقط و •

. EF =3

4x cm EFأي = 12× x

16منه x

16=EF

12أي CF

CB=CE

CA=EF

AB: أن نستنتج طاليس، نظرية فحسب



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: املثلثEBCهي مساحة •2(EBC) مساحة =


=EF ×BC

2=

34x× 16

2=

12x

2= 6x cm2

: لدينا •3(EBC) مساحة = 33 ⇐⇒ 6x = 33

⇐⇒ x =33

6= 5.5

. CF = 5.5 cm عندما 33 cm2 املثلثEBCتساوي مساحة إذن

. (AB) املستقيم Eعىل للنقطة العمودي Hاملسقط ليكن •4BFEH الرباعي فإن متعامدان (EF ) و (FB)املستقيمني و ، ( B يف قائم ABC املثلث (ألن متعامدان (AB) و (FB)املستقيمني أن بام

.ABEاملثلث يف [AB] بالضلع املتعلق العمود طول هو FB أن يعني هذا EHو = FB إذن مستطيل

:BF = BC − FC = 16− x [BC] F •5(ABE) مساحة =


=BF ×AB

2=

(16− x)× 12

2= 6 (16− x) = 96− 6x cm2

: لدينا •6(ABE) مساحة = 2× (EBC) مساحة ⇐⇒ 96− 6x = 2× 6x

⇐⇒ 96 = 12x+ 6x

⇐⇒ 96 = 18x

⇐⇒ x =96

18=

16

3cm

. x =16

3cm املثلثEBCهي املثلثEABتساويضعفمساحة مساحة تكون أجلها من التي x قيمة إذن

. .. 5. |

Oمنتصفها. ليكن و 7 cm طوهلا [EF ] مستقيمة قطعة أرسم (ا) •1. FEG = Gبحيث26 النقطة الدائرة هذه عىل أنشئ ثم [EF ] قطرها التي الدائرة أرسم (ب)

.Gيف املثلثEFGقائم أن برهن •2. FG للطول املليمرت إىل املقربة القيمة أوجد •3

التعليل). (مع GOF الزاوية قيس عني •4

•1

E F

O

26

G

52

.(57 صفحة األول التمرين من •1 السوال يفG(أنظر EGFقائم املثلث فإن [EF ] القطر ذات الدائرة إىل Gتنتمي النقطة أن بام •2



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: منه FGEF

= sin(FEG

)يفGفإن EGFقائم املثلث أن بام •3

FG = EF × sin(FEG

)≃ 7× 0.438 = 3.066

املليمرت. إىل بالتقريب FG ≃ 3.1 cm يساوي FG الطول إذن،

: بالتايل و FEGباملثلث املحيطة الدائرة يف نفسالوتر تشدان FEG املحيطة الزاوية و GOF املركزية الزاوية •4GOF = 2FEG = 2× 26 = 52

GEO = OGE = الرأسOإذن عند الساقني املثلثEOGمتساوي Oفإن مركزها دائرة إىل Gتنتميان Eو النقطتني أن بام أخرى: طريقة. GOF = 180 − EOG = 180 − 128 = 52 : بالتايل و EOG = 180 − 2× 26 = 128 منه 26

. .. 6. .(O,

−→i ,

−→j)املتجانس و املتعامد املعلم إىل املستوي ننسب . السنتيمرت هي الطول وحدة (

السابق. املعلم Cيف (−4,−2) Bو (−4, 5) ،A (2, النقط(2 علم •1

.√52 cmيساويAC الطول أن أثبت (ا) •2

.BC الطول أحسب (ب)

. علل الرأسC؟ الساقنييف املثلثABCمتساوي هل (ج)

. [AB] القطعة Kمنتصف النقطة أنشئ (ا) •3. علل ؟ [AB] القطعة حمور هو (KC) املستقيم هل (ب)

.−−→BA شعاعه الذي Cباإلنسحاب النقطة صورة ،D النقطة أنشئ (ا) •4.D النقطة إحداثيي BA→−−و الشعاع مركبتي عني (ب)

ABCD؟ الرباعي طبيعة هي ما (ج)

•1

1

1

A

B

C

D

K

: لدينا (ا) •2AC =

√(xC − xA)

2+ (yC − yA)

2=

√(−4− 2)

2+ (−2− 2)

2=

√(−6)

2+ (−4)

2=

√36 + 16 =

√52 cm



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: باملثل (ب)

BC =

√(xC − xB)

2+ (yC − yB)

2=

√(−4− (−4))

2+ (−2− 5)

2=

√02 + (−7)

2=

√0 + 49 =

√49 = 7 cm

.Cالرأس عند الساقني املثلثABCليسمتساوي ACفإن = BC أن بام (ج)

السابق. الشكل أنظر (ا) •3.B Aو عن البعد املتساوية النقط جمموعة هو [AB] القطعة حمور (ب)

. [AB] القطعة ليسحمور (CK) بالتايل و [AB] القطعة حمور إىل تنتمي Cال Bإذن Aو عن البعد Cليستمتساوية لكن

السابق. الشكل أنظر (ا) •4

. −−→BA

(6

−3

)BA→−−أي

(2− (−4)

2− 5

)BA→−−منه

(xA − xByA − yB

): لدينا (ب)

: CD→−−منه =−−→BA BA→−−فإن شعاعه الذي Cباإلنسحاب Dهيصورة أن بام

. D (2,−5) أي

xD − xC = 6

yD − yC = −3⇐⇒

xD = 6 + xC = 6− 4 = 2

yD = −3 + yC = −3− 2 = −5

أضالع. ABCDمتوازي الرباعي أن CD→−−نستنتج =−−→BA املساواة من (ج)

ليسمربعا). بالتايل (و ليسمعينا ABفهو = BC أن بامليسمستطيال. فهو باحلساب) ذلك من التحقق يمكن و الشكل عىل واضح هو (كام قائمة ليست ABC الزاوية أن بام و

. .. 7. . السنتيمرت هي الطول وحدة :

B C

E

A

DF

يقطع (BC) للمستقيم املوازي Eو بالنقطة املار املستقيم . [AB] القطعة من Eنقطة ABCو مثلثا نعترب.EB = AD = 2 AEو = BC = 3 : يعطى .D يف [AC]

.ED = 1.8 أن أثبت •1جانبه). الشكل DF(أنظر = بحيث3 F النقطة [DE)نصفاملستقيم عىل ننشئ •2

؟ متوازيان (BF ) و (AD) املستقيامن هل

:ABCاملثلث يف •1

، [AB] القطعة إىل Eتنتمي النقطة •

، [AC] القطعة إىل Dتنتمي النقطة •

متوازيان. (BC) و (ED) املستقيامن •

. ADAC

=AE

AB=ED

BCطاليس: نظرية حسب

. ED = 1.8 cm EDاي =9

5منه 3

3 + 2=ED

3نستنتج AE

AB=ED

BCاملساواة من

•2

B C

E

A

DF

بنفسالرتتيب. و واحدة استقامة Dعىل ،E ، F النقط و ، واحدة استقامة Aعىل ،E ،B النقط: ذلك إىل باإلضافة

EB

EA=

2

3•

EF

ED=

3− 1.8

1.8=

1.2

1.8=

12

18=

2

3و •

متوازيان. (AD) و (BF املستقيمني( أن طاليسنستنتج نظرية حسب . EBEA

=EF

EDأي



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. .. 8. :

A B

D

O

EF

C

ليستحقيقية. األبعاد جانبه، الشكل يف السنتيمرت. هي الطول وحدة.AB = 24 OBو = 21 ،OF = 14 ،OE = يعطى12 متوازيان. (EF ) و (AB) املستقيامن

. FE أحسبOAو •1.BD = 8 BCو = بحيث7 [BA] من Dنقطة و [BO] املستقيمة القطعة من Cنقطة لتكن •2

متوازيان. (CD) و (OA)املستقيمني أن أثبت

(متساويتان). متقايستان CDB و OABالزاويتني أن السابق السؤال من إستنتج •3

فنظرية ؛ متوازيان (EF ) و (AB)املستقيامن بنفسالرتتيبو و واحدة أخرىعىلاستقامة Bمنجهة ،O ،F النقط و Aمنجهة ،O ،Eالنقط •1.EF =

24× 14

21= 16 OAو =

12× 21

14= 18 منه 12

OA=

14

21=EF

24أي OE

OA=OF

OB=EF

AB: نكتب أن لنا طاليستسمح

. EF = 16 cm و OA = 18 cm : إذن

: ذلك إىل باإلضافة بنفسالرتتيب. و واحدة استقامة عىل أخرى جهة Aمن ،D ،B النقط و جهة Oمن ،C ،B النقط •2. BC

BO=BD

BAأي BD

BA=

8

24=

1

3و BC

BO=

7

21=

1

3

. متوازيان (CD) و (OA)املستقيمني أن نستنتج طاليس، لنظرية العكسية النظرية حسب

: أي متقايستان فهام إذن ، (AB) للقاطع بالنسبة واحدة جهة إىل تقعان CDB و OAB الزاويتان و متوازيان (CD) و (OA) املستقيامن •3. OAB = CDB

. .. 9. :

C

35

A

HB

السنتيمرت. هي الطول وحدةبحيث: [BC] بالضلع املتعلق الرأسAو من النازل العمود [AH] و ABCمثلثا ليكن

. ACB = 35 BHو = 1.5 ،AC = 4

.AH الطول أحسب •1. tan ABH قيمة أوجد •2

الدرجة. إىل بالتقريب ABHالقيس إستنتج •3

. AH = (4 sin 35) cm AHأي = AC × sin ACH منه sin ACH =AH

AC: لدينا ،H يف املثلثAHCالقائم يف •1

. tan ABH =4 sin 35

1.5أي tan ABH =

AH

BH: لدينا ،H يف املثلثAHBالقائم يف •2

أي ABH ≃ 56.7 أن نجد احلاسبة اآللة يف tan−1 الزر عىل بالضغط و tan ABH ≃ 4× 0.57

1.5= 1.52 فإن sin 35 ≃ 0.57 أن بام و

الدرجة. إىل بالتقريب ABH ≃ 57

. .. 10. :

L M

K

√

7 + 1

4√

7 − 1

السنتيمرت. هي الطول وحدة.KM = 4 LMو =

√7 + 1 ،LK =

√7− KLMبحيث1 مثلثا نعترب

KLMقائم. املثلث أن أثبت •1.KLM املثلث أحسبمساحة •2



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: KLMلدينا املثلث يف •1

KM2 = 42 = 16

LK2 + LM2 =(√

7− 1)2

+(√

7 + 1)2

=√72− 2

√7 + 12 +

√72+ 2

√7 + 12

= 7 + 1 + 7 + 1 = 16

.Lيف KLMقائم املثلث أن نستنتج فيثاغورث، لنظرية العكسية النظرية حسب .KM2 = LK2 + LM2 أي

: لدينا •2

(KLM) مساحة =×اإلرتفاع القاعدة

2=LK × LM

2=

(√7− 1

) (√7 + 1

)2

=

√72 − 12

2=

7− 1

2=

6

2= 3

. (KLM) مساحة = 3 cm2 : إذن

. .. 11. W

O

EG

K

السنتيمرت. هي الطول وحدة.GK = بحيث3 الدائرة هذه Kمن نقطة و ،EG = بحيث7 [EG] قطرها Oو مركزها دائرة نعترب


املثلثEGKقائم. أن أثبت •1.EK الطول أحسب •2

الدرجة. إىل بالتقريب KGEالقيس أوجد •3املثلثEFG؟ طبيعة هي ما . [FG] القطعة Kمنتصف بحيثتكون F النقطة أنشئ •4

.EF = 7 أن إستنتج

الثاين اجلزءالسابق. اجلزء نتائج نستعمل اجلزء، هذا يف

.R النقطة يف (EF ) يقطع املستقيم هذا . (FG)يوازي و P بالنقطة يمر الذي املستقيم ثم ، [EG] القطعة عىل (O (ختتلفعن P نقطة أنشئ.EP = x نضع أخريا،

. x ERبداللة الطول عن عرب ثم PR =6

7x أن أثبت •1

. 2x+6

7xيساويEPRاملثلث حميط أن أثبت •2

.−8

7x+ RPGFيساوي20 املنحرف شبه حميط أن أثبت •3

علل. ؟ نفساملحيط السابقني املنحرف شبه للمثلثو بحيثيكون P للنقطة وضعية توجد هل •4



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


O

EG

K

F

P

R


.K يف املثلثEKGقائم فإن [EG] قطرها التي الدائرة إىل Kتنتمي النقطة أن بام •1: فيثاغورث نظرية حسب Kلدينا يف املثلثEKGالقائم يف •2

EG2 = KE2 +KG2 =⇒ KE2 = EG2 −KG2 = 72 − 32 = 49− 9 = 40

=⇒ KE =√40 = 2

√10 cm

نجد احلاسبة اآللة يف cos−1 اللمسة عىل بالضغط و cos KGE =3

7≃ أي0.43 cos KGE =

GK

GE: Kلدينا يف املثلثEKGالقائم يف •3

الدرجة. إىل بالتقريب KGE ≃ 65 أي KGE ≃ 64.53 أن

النقطتني عن البعد متساوية فهي إليه Eتنتمي النقطة أن بام و القطعة. هذه حمور فهو بالتايل و منتصفها يف [FG] القطعة يعامد (KE) املستقيم •4. (KGE = 60 ألن ليسمتقايساألضالع الرأسE(لكنه الساقنييف املثلثEFGمتساوي أن Gأي و F

. EF = 7 cm EFأي = EG بالتايل و


؛ متوازيان (GF ) و (PR) املستقيامن و الرتتيب بنفس و واحدة استقامة عىل أخرى جهة من F ، R ، E النقط و جهة من G ، P ، E النقط •1. PR =

6× x

7=

6x

7ERو =

7× x

7= x منه x

7=ER

7=PR

6أي EP

EG=ER

EF=PR

GF: نكتب أن لنا طاليستسمح فنظرية

. PR =6x

7cm و ER = x cm : إذن

: لدينا •2

(EPR)حميط = EP + ER+ PR = x+ x+6x

7= 2x+

6x

7

(=

20x

7

): لدينا •3

(RPGF حميط( = RP + PG+GF + FR =6x

7+ (7− x) + 6 + (7− x) = −8x

7+ 20

: لدينا •4(EPR)حميط = (RPGF حميط( ⇐⇒ 2x+

6x

7= −8x

7+ 20

⇐⇒ 2x+6x

7+

8x

7= 20

⇐⇒ 4x = 20

⇐⇒ x = 5

RPGFنفساملحيط. املنحرف شبه للمثلثEPRو يكون x = 5 ألجل إذن ، [EG] القطعة إىل تنتمي P فإن 0 < 5 < 7 أن بام و



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. .. 12. السنتيمرت. هي الطول وحدة |

AB

C

E

F

G

.AC = 4 ABو = يفAبحيث8 قائام ABCمثلثا ليكن

.BC = 4√5 أن أثبت (ا) •1

الدرجة. إىل بالتقريب ABCالقيس استنتج ثم sin ABC أوجد (ب)

.BE = بحيث6 [AB] من Eنقطة لتكن •2. F يف [BC] يقطع (AC) للمستقيم املوازي Eو من املار املستقيم

.EF الطول أحسب (ا).BF قيمة إستنتج (ب)

. [EF ] إىل تنتمي Gال EGو = بحيث1 (EF ) من Gنقطة لتكن •3متوازيان. (FB) و (AG)املستقيمني أن برهن

: أن نستنتج فيثاغورث نظرية فحسب ،Aيف املثلثABCقائم (ا) •1

BC2 = AB2 +AC2 = 82 + 42 = 64 + 16 = 80

BC =√80 =

√16× 5 =

√16√5 = 4

√5 : بالتايل و

: لدينا ،Aيف املثلثABCالقائم يف (ب)

sin ABC =AB

BC=

8

4√5=

2√5

5

إىل بالتقريب ABC ≃ 63 أي ABC ≃ 62.87 أن نستنتج احلاسبة اآللة يف sin−1 الزر عىل بالضغط . sin ABC ≃ 0.89 أيالدرجة.

متوازيان. (EF ) و (AC)املستقيامن و بنفسالرتتيب؛ و واحدة أخرىعىلاستقامة Cمنجهة ،F ،Bالنقط و Aمنجهة ،E ،Bالنقط (ا) •2. EF = 3 : EFإذن =

4× 8

6= 3 منه 6

8=BF

4√5=EF

4أي BE

BA=BF

BC=EF

AC: أن طاليسنستنتج نظرية حسب

. BF = 3√5 : إذن .BF =

3× 4√5

4= 3

√أي5 6

8=BF

4√5=

3

4أن نستنتج السابق السؤال من : األوىل الطريقة (ب)

:B يف BEFالقائم املثلث فيثاغورثعىل نظرية نطبق : الثانية الطريقة

BF 2 = EB2 + EF 2 = 62 + 32 = 36 + 9 = 45

BC =√45 =

√9× 5 =

√9√5 = 3

√5 : منه

و EAEB

=2

6=

1

3: ذلك إىل باإلضافة الرتتيب. بنفس و واحدة استقامة عىل أخرى جهة من F ،E ،Gالنقط و جهة Bمن ،E ،Aالنقط •3

. متوازيان (FB) و (AG)املستقيمني أن نستنتج أن لنا طاليستسمح لنظرية العكسية النظرية . EAEB

=EG

EFأي EG

EF=

1

3

. .. 13. السنتيمرت. هي الطول وحدة |

.BC = 5 ACو = 6 ،AB = ABCبحيث7 مثلثا أنشئ •1.−−→BC شعاعه الذي Aباإلنسحاب Eصورة النقطة أنشئ •2

.−−→CF =−→CA+

−−→CBبحيث F النقطة أنشئ •3: التالية املساويات أكمل •4

−−→CF =

−→AF +

−→· · ·+

−−→CE (ج) −−−→

· · ·B =−→AE +

−→· · · (ب) −→

CA =−−→CE +

−→· · · (ا)



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


A B

C

F

E

AB = 7 , AC = 6 , BC = 5

−→AE =

−−→BC

−−→CF =

−→CA+

−−→CB

•1

•2

•3

•4−→CA =

−−→CE +

−→EA

−−→AB =

−→AE +

−−→EB

−−→CF =

−−→CE +

−→EA+

−→AF =

−→AF +

−→EA+

−−→CE

. .. 14. شجرة. جذع من 10m بعد عىل 1.80m قامته يقفشخصطول Wاألفق. مع 38 قدرها زاوية نظره يصنع الشجرة، قمة يشاهد بينام

. 0.1mبتقريب له تقريبية قيمة و املضبوطة القيمة أعط ؟ الشجرة (طول) ارتفاع هو ما

.. t.

3.A. C.

E

.

B

.

D

.38

.

1.80

m

.10 m

tan CAD =DC

AC: لدينا C يف القائم ADC املثلث يف

.DC = 10 tan 38 منه tan 38 =DC

10أي

Cتنتمي النقطة DE(ألن = DC+CE : أخرى منجهةDE = 10 tan 38 + 1.8 إذن ( [DE] القطعة إىلDE ≃ 10× 0.78 + 1.8 = 7.8 + 1.8 = أي9.6

. 0.1mبتقريب DE = 9.6m إذن هو الشجرة إرتفاع



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. الأولى الدرجة من مسائل •7

: عامة بصفة أقسام أربعة عىل جربية بطريقة مسألة حل يشتمل

عىل جمهولني أو جمهول نختار الغرض، هلذا النص. أسئلة عىل لإلجابة بعضاألعداد إجياد يطلب املسألة، معطيات من انطالقا : املجهول اختيار •

معلومة املسألة، يف تظهر التي املقادير مجيع عن للتعبري املستعملة الوحدات إىل اإلشارة فتجب قياسية النصمقادير أدخل إذا و حالتنا)، (يف األكثرجمهولة. كانتأو

أو واحد بمجهول معادلة عىل فنحصل املجاهيل بداللة نكتبها أي جربية بصيغة املعطيات نرتجم املجاهيل، أو املجهول اختيار بعد : املعادلة وضع •

املعادلة). يف الوحدة عىل داللة أية تظهر أن الجيب و الوحداتمقدما، تثبيتمجيع بمجهولني(جيب معادلتني مجلة

جيبفحص للنصكاملة، اجلربية الرتمجة تكون ولكي للمسألة، حال لتكون املجاهيل حتققها أن جيب الزمة شروط عامة بصفة هي املعادالت هذهاملجاهيل). إليها تنتمي أن التيجيب املجموعات أو املجموعة حتديد النص(مثال، عىل لإلجابة كافية رشوطا تفرس املعادالت كون

مسائل عن نتحدث (هلذا جمهولني أو واحد بمجهول األوىل الدرجة من املعادالت فيها تكون التي باحلالة سنتقيد املعادلتني: مجلة أو املعادلة حل •

(هندسية). بيانية أو جربية بطريقة إما املعادالت نحل و األوىل) الدرجة

هلذا ليس (نظريا، للمسألة مقبولة إجابات إىل املعادلتني مجلة أو املعادلة حل فسيؤدي سليمة، للمسألة اجلربية الرتمجة كانت إذا فحصاجلواب: •

املسألة). معطيات و توافقه مدى اختبار من بد اجلوابال منصحة للتأكد لكن القسمرضورة،

. .. 1. .H (0,+4) و P (+6, النقطتني(0 y′Oy→−−−نعترب x′Ox→−−−و متجانسحموراه و متعامد معلم يف W

؟ (PH) املستقيم معادلة هي ما •1

.OL = x نضع الرتتيب. عىل (y′y) و (x′x)املستقيمني العمودينيعىل Kمسقطيها Lو ليكن و [PH] القطعة من Nنقطة لتكن •2؟ OLNKمربعا املستطيل ليكون xتعيني يمكن هل

عىل x يتغري عندما f الدالة هذه بيان املعطى، املعلم إىل بالنسبة أرسم، ثم f : x 7−→ y الدالة عبارة أوجد .OLNK املستطيل حميط y ليكن •3تعريفها. جمال

m؟ معلوما طوال مساويا املستطيل حميط ليكون xتعيني يمكن هل •4؟ [PH] للقطعة موازيا LKللمستطيل القطر ليكون xتعيني يمكن هل •5

حقيقيان. عددان b و aحيث y = ax+ b الشكل من (PH) املستقيم معادلة •1

. 0 = 6a+ bأي معادلته حتقق فإهنا املستقيم هذا إىل تنتمي P (+6, 0) النقطة أن بام

.+4 = 0a+ b فإن أيضا إليه Hتنتمي (0,+4) النقطة أن بام و

. a = −4

6= −2

3منه 6a = أي4− 0 = 6a+ 4 نجد األوىل املعادلة بالتعويضيف . b = +4 أن مبارشة نجد الثانية املعادلة من

. y = −2

3x+ 4 هي (PH) املستقيم معادلة األخري، يف

. 0 ≤ y ≤ 4 و 0 ≤ x ≤ 6 يكون أن جيب [PH] املستقيمة القطعة Nإىل (x, y) النقطة تنتمي حتى •2


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

األوىل الدرجة من مسائل .7 باب 70

−1 1 2 3 4 5 6 7

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

OOO

P

H

L

NK

G

−→

i

−→

j

C

D

B

2.4

2.4

.OK = OL = −2

3x+ 4 OLو = OL = x مها املستطيل ضلعي طوال

حيقق و 6 و 0 بني حمصورا x كان إذا فقط و إذا مربعا OLNK املستطيل يكون: لكن .OL = OK

OL = OK ⇐⇒ x = −2

3x+ 4

⇐⇒ x+2

3x = 4

⇐⇒ 5

3x = 4

⇐⇒ x =3

5× 4 =

12

5= 2.4

. x = 2.4 هو و حل للمسألة إذن 6 و بني0 حمصور عدد هو و= x (الطول y = x املعادلة ذي املستقيم تقاطع نقطة عن البحث جيب بيانيا،أن نالحظ الشكل من : النقطة) هذه وجدت (إن [PH] القطعة مع (yالعرض

احلل. Gهي النقطة

: OLNKيساوي املستطيل حميط •32 (OL+OK) = 2

(x− 2

3x+ 4

)= 2

(1

3x+ 4

)=

2

3x+ 8

. y =2

3x+ حيث8 f : x 7−→ y : إذن فلدينا

[0,+6] هو f الدالة تعريف جمال إذن ، 0 ≤ x ≤ 6 حيقق أن جيب xو C (xC , yC) النقطتان طرفاها التي [CD] املستقيمة القطعة هو بياهنا و

: Dبحيث (XD, yD)

C؛ أي(8+,0) yC =2

3× 0 + 8 = +8 منه xC = 0 •

.D أي(12+,6+) yD =2

3× 6 + 8 = +12 منه xD = +6 و •

نبحثعنها. التي x قيمة هي فاصلتها فتكون ،m ترتيبها [CD] القطعة Bعىل نقطة نعيني يكفي ،m مساويا املستطيل حميط يكون لكي •4تقاطع نقطة هي B النقطة احلالة، هذه يف و ، [+8,+12] املجال انتمتmإىل إذا فقط و إذا موجودة B النقطة أن السابق فحصالشكل يبني

. [CD] القطعة مع y = m معادلته الذي املستقيم

: بحيث xحقيقي عدد وجد إذا فقط و يساويmإذا املستطيل حميط : جربيا2

3x+ 8 = m و 0 ≤ x ≤ +6

يكون أن جيب أي [0,+6] املجال يف واقعة القيمة هذه تكون أن جيب بحيث x =3m

2− 12 هو وحيد حل 2

3x + 8 = m للمعادلة

. 0 ≤ 3m

2− 12 ≤ +6

m؛ ≥ هي8+ 0 ≤ 3m

2− 12 املرتاجحة حلول •

.m ≤ هي12+ 3m

2− 12 ≤ +6 املرتاجحة حلول و •

.+8 ≤ m ≤ +12 : هو اإلمكانية إذنرشطOL

OP=OK

OH: طاليس) التناسب(عكسنظرية حتقق إذا فقط و إذا [PH] للقطعة موازيا LKللمستطيل القطر يكون •5

، [0,+6] املجال إىل ينتمي الذي ،+3 العدد تقبل و واحد بمجهول األوىل الدرجة من معادلة هي و x6=

−23x+ 4

4: كان إذا فقط و إذا أي

. [PH] القطعة منتصف هي القيمة) هلذه (املوافقة Nاملقابلة النقطة و ، هلا حال

. .. العاملني.2 جداء يزيد لكي اآلخر العامل إىل مجعه الالزم الصحيح العدد ما العاملني. أحد إىل 1 نجمع . p = 29 × 64 : اجلداء إليك X؟ p اجلداء عىل وحدة 484 اجلديدين



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

71 األوىل الدرجة من مسائل .7 باب

: حالتني نميز و اجلديد اجلداء p′ نسمي املطلوب. حيقق الذي الصحيح العدد n ليكن

: لدينا . p′ = p+ 484 : حيقق n بالتايل و p′ = (29 + 1) (64 + n) يكون احلالة هذه يف . 64 إىل n و 29 إىل 1 نجمع األوىل: احلالة •

التبسيط) يسهل حتى هي كام 29 + 1 الكتابة ترك األفضل (من

p′ = p+ 484 ⇐⇒ (29 + 1) (64 + n) = 29× 64 + 484

⇐⇒ 29× 64 + 29n+ 64 + n = 29× 64 + 484

⇐⇒ 30n = 484− 64 = 420

⇐⇒ n =420

30= 14

: لدينا . p′ = p+ 484 : حيقق n بالتايل و p′ = (29 + n) (64 + 1) يكون احلالة هذه يف . 29 إىل n و 64 إىل 1 نجمع : الثانية احلالة •

p′ = p+ 484 ⇐⇒ (29 + n) (64 + 1) = 29× 64 + 484

⇐⇒ 29× 64 + 29 + 64n+ n = 29× 64 + 484

⇐⇒ 65n = 484− 29 = 455

⇐⇒ n =455

65= 7

. .. أمثال.3 ثالثة يساوي جديد عدد عىل نحصل العدد يمني إىل 1 الرقم بنقل اليسار. من واحد بالرقم أرقام ستة مؤلفمن طبيعي عدد يبدأ W؟ األصيل العدد هو ما األصيل. العدد

مثات، عرشات، آحاد، : أرقام ستة من مكون العدد (ألن 1 هو مئاتآالفه رقم أن معناه 1 هو العدد هذا أقىصيسار إىل الذي الرقم العدد. هذا xليكنمئاتاآلالف). عرشاتاآلالفو آالف،

: أمثلة ذلكعىل لنر ؟ x بداللة جربيا العدد» يمني إىل 1 الرقم «بنقل ترمجة كيفيمكن: ييل كام كتابته يمكن الذي 21 العدد عىل نحصل فإننا أقىصاليمني إىل أقىصاليسار من 1 الرقم نقلنا إذا ، 12 للعدد بالنسبة

21 = 20 + 1 = 10× 2 + 1 = 10× (121212− 10) + 1

: التالية لألمثلة بالنسبة نفساليشء

159159159 −→ 591 = 590 + 1 = 10× 59 + 1 = 10× (159159159− 100) + 1

182118211821 −→ 8211 = 8210 + 1 = 10× 821 + 1 = 10× (182118211821− 1000) + 1

178461784617846 −→ 78461 = 78460 + 1 = 10× 7846 + 1 = 10× (178461784617846− 10000) + 1

119452119452119452 −→ 194521 = 194520 + 1 = 10× 19452 + 1 = 10× (119452119452119452− 100000) + 1

يعني فهذا العدد يسار من 1 الرقم نحذف عندما : ألن 10 (x− 100000) + 1 هو x من انطالقا عليه نحصل الذي اجلديد العدد أن إذن الواضح مناألخرى األرقام ننقل (حتى يف10 x− نرضب100000 أننا يعني فهذا العدد يمني إىل 1 الرقم ننقل عندما و x− أي100000 xمن نطرح100000 أن

الواحد. نضيفهذا ثم اليسار) نحو واحدة بمرتبة10 (x− 100000)+1 = 3x بالتايل: و 3xاألصيلأي العدد أمثال يساويثالثة هو و 10 (x− إذن1+(100000 هو الذينحصلعليه اجلديد العدد

: ييل كام نحلها واحد بمجهول األوىل الدرجة من معادلة هي و

10 (x− 100000) + 1 = 3x ⇐⇒ 10x− 1000000 + 1 = 3x

⇐⇒ 10x− 999999 = 3x

⇐⇒ 10x− 3x = 999999

⇐⇒ 7x = 999999

⇐⇒ x =999999

7= 142857

. x = 142857 هو األصيل العدد إذن. 428571 = 3× 142857 : أن من (! باليد (أو احلاسبة اآللة باستعامل نتحقق

يكتب األصيل العدد نفرضأن : ييل كام فقطيفكلخطوة) واحد (نبحثعنجمهول جماهيل بعدة أخرىلكن بطريقة التمرين هذا يمكنحل : مالحظة. abcde1 = 3 × 1abcde : حيقق أن جيب بالتايل و abcde1 هو اجلديد العدد إلخ). ... d هو عرشاته رقم و e هو آحاده رقم أن (بمعنى 1abcde

: خطوة) كل اإلحتفاظيف ننسى أن (دون عادية الرضببصفة عملية نجري



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


1 a b c d e

× 3

a b c d e 1

بالبحثيفجدولرضب3 ؟ 1 آحاده رقم عددا الناتج يكون يف3 رضبناه إذا الذي الرقم هو ما : eee إجياد. يساوي2 احتفاظ لدينا يكون احلالة هذه يف و e = 7 بالتايل و 7 هو الرقم هذا أن نجد

222

1 a b c d 7

× 3

a b c d 7 1

(! اإلحتفاظ تنس (ال 7 − 2 آحاده رقم عددا الناتج يكون 3 يف رضبناه إذا الذي الرقم هو ما : ddd إجيادلدينا يكون احلالة هذه يف و d = 5 بالتايل و 5 هو الرقم هذا أن نجد جدولرضب3 بالبحثيف ؟ أي5

. يساوي1 احتفاظ

111 2

1 a b c 5 7

× 3

a b c 5 7 1

(! اإلحتفاظ تنس (ال 5 − 1 آحاده رقم عددا الناتج يكون 3 يف رضبناه إذا الذي الرقم هو ما : ccc إجيادلدينا يكون احلالة هذه يف و c = 8 بالتايل و 8 هو الرقم هذا أن نجد جدولرضب3 بالبحثيف ؟ أي4

. يساوي2 احتفاظ

222 1 2

1 a b 8 7 7

× 3

a b 8 5 7 1

(! اإلحتفاظ تنس (ال 8 − 2 آحاده رقم عددا الناتج يكون يف3 رضبناه إذا الذي الرقم هو ما : bbb إجياديكون ال احلالة هذه يف و b = 2 بالتايل و 2 هو الرقم هذا أن نجد جدولرضب3 بالبحثيف ؟ أي6

احتفاظ. لدينا

2 1 2

1 a 2 8 7 7

× 3

a 2 8 5 7 1

؟ (! إحتفاظ يوجد (ال 2 آحاده رقم عددا الناتج يكون يف3 رضبناه إذا الذي الرقم هو ما :aaa إجياداحتفاظ لدينا يكون احلالة هذه يف و a = 4 بالتايل و 4 هو الرقم هذا أن نجد بالبحثيفجدولرضب3

. يساوي1

111 2 1 2

1 4 2 8 7 7

× 3

4 2 8 5 7 1

يتوافق هذا و اإلحتفاظ4 مع 3× 1 = 3 : اإلحتفاظاألخري) (مع العملية منصحة نتحقق أن اآلن بقيالنتيجة. مع

. x = 142857 : هو األصيل العدد األخري، يفثانوي).] الثالثة السنة برنامج إطار يف (يدخل الربنامج عن خارج هذا لكن 1(10 (برتديد املوافقات باستخدام التمرين حل يمكن [كام

. .. املئات)..4 رقم من العرشاتأصغر رقم العرشاتو رقم من أصغر اآلحاد رقم نفرضأن (للتبسيط متتالية أرقام ثالثة من مكون عدد Xأرقامه. ترتيب قلب من احلاصل العدد و العدد هذا بني الفرق أحسب

0 ≤ x ≤ الرشوط9 حتقق جيبأن األرقام هذه متتالية). األرقام هذه (ألن x+2 هو مئاته رقم و x+1 هو عرشاته رقم . العدد هذا آحاد رقم xليكن. 111x + 210 أي x + 10(x + 1) + 100(x + 2) يساوي العدد هذا بالتايل و . 0 ≤ x ≤ 7 أي 0 ≤ x + 2 ≤ 9 و 0 ≤ x + 1 ≤ 9 ،هو اجلديد العدد بالتايل و اآلحاد رقم مكان يأخذ املئات رقم و مكانه يف يبقى العرشات رقم املئات، رقم يصبح اآلحاد رقم فإن أرقامه ترتيب قلب عند

: يساوي العددين بنيهذين الفرق و ؛ 111x+ أي12 (x+ 2) + 10(x+ 1) + 100x

(111x+ 210)− (111x+ 12) = 111x+ 210− 111x− 12 = 210− 12 = 198

األصيل). العدد عن ثابت(مستقل عدد هو و. 321− 123 = يساوي198 بينهام الفرق و 123 هو أرقامه ترتيب قلب بعد الناتج العدد و 321 هو األصيل العدد فإن x = 1 كان إذا ، مثال

. 765− 567 = 198 : بينهام الفرق و 567 هو اجلديد العدد و 765 هو األصيل العدد فإن x = 5 ألجل باملثل،. 987− 789 = 198 هو 789 و 987 العددين بني الفرق ، x = 7 كان إذا نفساليشء

اإلنجليزية. و بالفرنسية Congruences (modulo 10) 1



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. .. ؟.5 6 املضاعفللعدد ذلك هو ما . يساوي90 القسمة حاصل و املقسوم و القاسم جمموع فيكون 6 العدد مضاعفات أحد عىل6 نقسم |

طبيعي. عدد qحيث n = 6q نكتبإذن باق). بدون (أي مضبوطة عىل6 n للعدد اإلقليدية القسمة فإن 6 مضاعفللعدد n أن بام العدد. هذا nليكن6+6q+q = 90 أن نجد السابقة املعادلة بالتعويضيف .n = 6q لكن . 6+n+q = بالتايل90 و q هو القسمة حاصل nو هو املقسوم ، 6 هو القاسم

. n = 72 هو نبحثعنه الذي العدد إذن . n = 6× 12 = 72 بالتايل و q = 84

7= 12 منه 7q = أي84

. 6 + 72 + 12 = 90 أن من بسهولة نتحقق

. .. سيارة.6 تتحرك و باتنة نحو متجهة 80 km/h برسعة 12h00 الساعة عىل قسنطينة من سيارة تتحرك . 120 km باتنة و بنيقسنطينة املسافة |قسنطينة. نحو متجهة 70 km/h برسعة نفسالساعة عىل باتنة من أخرى

؟ السيارتان تتالقى ساعة أية عىل •1؟ التالقي مكان يكون قسنطينة عن بغد أي عىل •2

التي املسافة d2 و األوىل السيارة تقطعها التي املسافة d1كانت إذا بالتايل و ×الزمن =الرسعة املسافة أن نعلم للزمن. كمرجع اإلنطالق ساعة نختارالزمن. t يمثل حيث d2 = 70× t و d1 = 80× t فإن الثانية السيارة تقطعها

. t = 120

150= 0.8h منه 150t = أي120 80t+ 70t = أي120 d1 + d2 = 120 يتحقق التالقي عند •1

أي الزمن) مرجع هي 12h00 الساعة (ألن 12h00mn + 48mn الساعة عىل السيارتان تتالقى بالتايل و 0.8h = 0.8 × 60 = 48mn لكن. 12h48mn الساعة عىل

. d1 = 80× 0.8 = 64 km بمقدار أي األوىل السيارة قطعتها التي باملسافة قسنطينة عن يبعد التالقي مكان •2. 120 km

2= 60 km من أكرب قطعتمسافة قد تكون التالقي عند فإهنا الثانية السيارة من أرسع األوىل السيارة أن بام : مالحظة

. .. كام.7 ، xB = −2 Bفاصلتها نقطة و xA = +3 Aفاصلتها نقطة نعترب ، 1 cm طوله وحدة بشعاع Oو بمبدأ مزود (xx′) مستقيم من :. xN = x Nفاصلتها نقطة نعترب

. x BNبداللة ANو أحسب •1املحور عىل علم . السؤال) عىل جتيبان x لـ قيمتان (توجد AN2 − 4BN2 = 0 : العالقة [BN ] و [AN القطعتني[ طوال حيقق لكي x عني •2

عنها). خارجة األخرى و [AB] القطعة إىل تنتمي N1مثال، (إحدامها، القيمتني هباتني N2املرفقتني النقطتنيN1و−−−→x′Ox

. 2

AB=

1

AN1

+1

AN2

: العالقة حقق و AN2 AN1و ،ABأحسب •3

: لدينا •1AN = xN − xA = x− (+3) = x− 3

BN = xN − xB = x− (−2) = x+ 2 و

: لدينا •2AN2 − 4BN2 = 0 ⇐⇒ AN

2 − 4BN2= 0

⇐⇒(AN − 2BN

) (AN + 2BN

)= 0

⇐⇒ [(x− 3)− 2 (x+ 2)] [(x− 3) + 2 (x+ 2)] = 0

⇐⇒ (x− 3− 2x− 4) (x− 3 + 2x+ 4) = 0

⇐⇒ (−x− 7) (3x+ 1) = 0

⇐⇒ −x− 7 = 0 أو 3x+ 1 = 0

⇐⇒ x = −7 أو x = −1

3



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


ذات النقطة N1هي إذن x = −1

3هي [AB] القطعة N1إىل النقطة تنتمي أجلها من التي x قيمة السؤال. عىل جتيبان x لـ قيمتان توجد إذن

. ([AB] القطعة عن خارجة هي (و xN2 = −7 الفاصلة ذات النقطة N2هي و xN1 = −1

3الفاصلة

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4−

1

3OOO

AB N1N2

: لدينا •3AB = xB − xA = −2− 3 = −5

AN1 = xN1 − xA = −1

3− 3 = −10

3

AN2 = xN2 − xA = −7− 3 = −10

2

AB=

2

−5= −2

5منه

1

AN1

+1

AN2

=1

−103

+1

−10= − 3

10− 1

10= − 4

10= −2

5و

. 2

AB=

1

AN1

+1

AN2

: أي

. .. 8. .AC = 9 cm BCو = 8 cm ،AB = 6 cm : الرتتيب عىل مثلثABCهي أضالع أطوال :الرتتيب. Nعىل Mو النقطتني ACيف BCالضلعنيABو للضلع مواز يقطع

. BM + CN = BC : العالقة ABلتحصل الضلع Mعىل النقطة وضع عني

C A

B

8

9N

M

x

6

.BM = x نضعأخرىعىلاستقامة C،Nمنجهة ،Aالنقط و Bمنجهة ،M ،Aالنقط :ABCيفاملثلثلنا طاليستسمح نظرية متوازيان. (MN) و (BC) املستقيامن و ، الرتتيب بنفس و واحدة

.CN =3

2xأيCN = 9× x

6منه x

6=CN

9أي BM

BA=CN

CA: نكتب بأنبالتايل: و

BM + CN = BC ⇐⇒ x+3

2x = 8

⇐⇒ 5

2x = 8

⇐⇒ x =852

=8× 2

5=

16

5= 3.2 cm

بحيث (AB الضلع Mعىل للنقطة وحيدة بالتايلوضعية (و x للعدد وحيدة قيمة توجد إذن. x = BM = 3.2 cm هي BMو + CN = BC يكون

. .. 9.. 2 هو املضبوط قسمتهام حاصل جديدان عددان العددينحيصل من كل إىل 6 مجعنا إذا .8 طبيعينيهو لعددين املضبوط القسمة حاصل :؟ األصليان العددان مها ما

: ييل كام املعادلتني مجلة نحل . x+ 6

y + 6= 2 و x

y= 8 : لدينا العددين. هذين y و x ليكن

x

y= 8

x+ 6

y + 2= 2

⇐⇒

x = 8y

x+ 6 = 2 (y + 6)

⇐⇒

x = 8y

x+ 6 = 2y + 12

⇐⇒

x = 8y

x− 2y = 12− 6



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


⇐⇒

x = 8y

8y − 2y = 6

⇐⇒

x = 8y

6y = 6

⇐⇒

x = 8y

y =6

6= 1

⇐⇒

x = 8× 1 = 8

y = 1

. x+ 6

y + 6=

14

7= 2 و x

y=

8

1= 8 أن من بسهولة نتحقق

مستقيمني). (تقاطع بيانيا السابقة املعادلتني مجلة حل أيضا يمكن : مالحظة

. .. 10.. 2 يكون الباقي لكن القسمة حاصل يتغرب ال عىل13 العدد هذا قسم إذا و ، 9 القسمة باقي و صحيحعىل12 عدد يقسم :؟ الصحيح العدد هذا هو ما

. x = 12q + 9 = 13q + 2 : لدينا . عىل13) القسمة حاصل أيضا هو (و عىل12 القسمة حاصل q و الصحيح العدد هذا x ليكن. x = 12× 7 + 9 = 84 + 9 = 93 منه q = أي7 13q − 12q = 9− 2 أن نستنتج 12q + 9 = 13q + 2 املساواة من

. x = 93 املطلوبهو حيقق الذي الصحيح العدد إذن

. .. وحدة.11 أيضا ينقصالباقي و واحدة وحدة القسمة ينقصحاصل عىل8 العدد هذا قسم إذا و ، 6 القسمة باقي و عددصحيحعىل7 يقسم |؟ الصحيح العدد هذا هو ما واحدة.

. x = 7q + 6 : لدينا . عىل7 القسمة حاصل q و الصحيح العدد هذا x ليكن6−1 هو القسمة باقي و q−1 هو القسمة حاصل أن يعني فهذا واحدة وحدة أيضا ينقصالباقي و واحدة وحدة القسمة ينقصحاصل عىل8 x بقسمة7q + 6 = 8q − 3 منه 7q + 6 = 8q − 8 + 5 أي 7q + 6 = 8 (q − 1) + 5 منه x = 8 (q − 1) + 5 : بالتايل و أي5

. x = 7× 9 + 6 = 63 + 6 = 69 : بالتايل و q = 9 منه 8q − 7q = 6 + 3 منه. x = 69 املطلوبهو حيقق الذي الصحيح العدد إذن

. .. األصليني..12 العددين جداء عىل 156 جداؤمها يزيد جديدان عددان حيصل منهام كل إىل 4 مجعنا إذا . 15 طبيعينيهو بنيعددين الفرق |؟ األصليان العددان مها ما

: ييل كام املعادلتني مجلة نحل . (x+ 4) (y + 4) = xy + 156 و x− y = 15 : لدينا العددين. هذين y و x ليكن

x− y = 15

(x+ 4) (y + 4) = xy + 156⇐⇒

x = y + 15

xy + 4x+ 4y + 16 = xy + 156

⇐⇒

x = y + 15

4x+ 4y = 156− 16 = 140

⇐⇒

x = y + 15

x+ y =140

4= 35

⇐⇒

x = y + 15

y + 15 + y = 35

⇐⇒

x = y + 15

2y = 35− 15 = 20

⇐⇒

x = y + 15

y =20

2= 10



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


⇐⇒

x = 10 + 15 = 25

y = 10

. (25 + 4) (10 + 4) = 25× 10 + 156 و 25− 10 = 15 أن من بسهولة نتحققمستقيمني). (تقاطع بيانيا السابقة املعادلتني مجلة حل أيضا يمكن : مالحظة

. .. ؟.13 األصيل العدد هو ما األصيل. العدد عىل 45 يزيد جديد عدد الرقمنيحيصل ترتيب بقلب . 9 رقمنيهو من مكون عدد رقمي جمموع :

: y + 10x = x+ 10y + 45 و x+ y = 9 : لدينا العدد. عرشاتهذا رقم y و آحاد رقم x ليكن

x+ y = 9

y + 10x = x+ 10y + 45⇐⇒

x+ y = 9

y + 10x− x− 10y = 45

⇐⇒

x+ y = 9

9x− 9y = 45

⇐⇒

x+ y = 9

x− y =45

9= 5

⇐⇒

x+ y = 9

x = y + 5

⇐⇒

y + 5 + y = 9

x = y + 5

⇐⇒

2y = 9− 5 = 4

x = y + 5

⇐⇒

y =4

2= 2

x = y + 5

⇐⇒

y = 2

x = 2 + 5 = 7

. 27 املطلوبهو العدد بالتايل و y = 2 العرشاتهو رقم و x = 7 هو اآلحاد رقم إذن. 72− 27 = 45 و 7 + 2 = 9 أن من بسهولة نتحققمستقيمني). (تقاطع بيانيا السابقة املعادلتني مجلة حل أيضا يمكن : مالحظة

. .. خفض.14 الثاين، اليوم يف طفال. زائرا 55 و راشدا زائرا 140 عن 1340DAيساوي دخل ل سج اإلعتيادية، بالتعرفة يوم يف و متحف، يف Xطفال. زائرا 20 و راشدا زائرا 180 عن 1120DAيساوي دخل حينئذ ل سج و لألطفال، 50% و للراشدين 25% الدخول سعر

؟ الطفل و الراشد من لكل اإلعتيادية بالتعرفة الدخول سعر هو ما

. للطفل اإلعتيادية بالتعرفة الدخول سعر v و للراشد اإلعتيادية بالتعرفة الدخول سعر u ليكن. 28u+ 11v = 268 : باملعادلة الطرفنيعىل5) قسمة (بعد أي 140u+ 55v = 1340 : باملعادلة ترتجم األول اليوم معطيات

الثاين اليوم معطيات ترتجم و 0.5v أي (1 − 0.5)v للطفل و 0.75uأي (1 − 0.25)u للراشد الدخول سعر يصبح التخفيض، بعد و الثاين، اليوم يف. 27u+ 2v = 224 : باملعادلة الطرفنيعىل5) قسمة (بعد أي 135u+ 10v = 1120 أي 180 (0.75u) + 20 (0.5v) = 1120 : باملعادلة

28u+ 11v = 268

27u+ 2v = 224⇐⇒

28u+ 11v = 268

2v = 224− 27u

⇐⇒

28u+ 11v = 268

v =224− 27u

2



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


⇐⇒

28u+ 11

(224− 27u

2

)= 268

v =224− 27u

2

⇐⇒

28u+ 11× 224

2− 11× 27u

2= 268

v =224− 27u

2

⇐⇒

28u+ 1232− 297

2u = 268

v =224− 27u

2

⇐⇒

(28− 297

2

)u = 268− 1232

v =224− 27u

2

⇐⇒

−241

2u = −964

v =224− 27u

2

⇐⇒

u =

−964

−241

2

=2× 964

241= 8

v =224− 27u

2

⇐⇒

u = 8

v =224− 27× 8

2= 4

. v = 4DA هو للطفل اإلعتيادية بالتعرفة الدخول سعر و u = 8DA هو للراشد اإلعتيادية بالتعرفة الدخول سعر إذنمستقيمني). (تقاطع بيانيا السابقة املعادلتني مجلة حل أيضا يمكن : مالحظة

. .. 15. X

. (x+ y)2 − (x− y)

2= 4xy : املتطابقة حقق •1

املستطيل. هلذا pحلسابنصفاملحيط السابقة املتطابقة استخدم . 9mالعرض و الطول بني الفرق و 972m2 مستطيل مساحة •2قطريه. كذلكطول و املستطيل هلذا ℓالعرض Lو الطول أحسب •3

: (42 صفحة 7 التمرين من األول السؤال أيضا (أنظر لدينا •1

(x+ y)2 − (x− y)

2= x2 + 2xy + y2 −

(x2 − 2xy + y2

)= x2 + 2xy + y2 − x2 + 2xy − y2 = 4xy

: لدينا عرضه. ℓ و املستطيل Lطول ليكن •2

(L+ ℓ)2= (L− ℓ)

2+ 4L× ℓ

= 92 + 4× 972

= 81 + 3888 = 3969

. p = 63m هو نصفاملحيط إذن، . p = L+ ℓ =√3969 = 63 منه

سبق: حسبما •3L− ℓ = 9

L+ ℓ = 63⇐⇒

L = ℓ+ 9

L+ ℓ = 63

⇐⇒

L = ℓ+ 9

ℓ+ 9 + ℓ = 63



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


⇐⇒

L = ℓ+ 9

2ℓ = 63− 9 = 54

⇐⇒

L = ℓ+ 9

ℓ =54

2= 27

⇐⇒

L = 27 + 9 = 36

ℓ = 27

. ℓ = 27m هو عرضه و L = 36m هو املستطيل طول إذن√L2 + ℓ2 =

√362 + 272 =

√1296 + 729 =

√2025 = 45m : فيثاغورث) نظرية (حسب يساوي قطريه طول

مستقيمني). (تقاطع بيانيا السابقة املعادلتني مجلة حل أيضا يمكن : مالحظة

. .. 16.. 36 km/ hاهلبوط يف و 18 km/ h الصعود يف أول راكبدراجة رسعتا .BC هبوط ABثم صعود ABCمن سباق يتألفطريق Wعادا ثم ،C إىل نفساللحظة وصاليف منAو نفساللحظة يف اإلثنان انطلق اهلبوط. يف 40 km/ h و الصعود يف 15 km/ hثان راكبدراجة رسعتا و

BC؟ اهلبوط ABو الصعود من كل طول هو ما الثاين. فبل 35 s بمدة وصل األول Aلكن Cنحو من نفساللحظة يف

. y = BC و x = AB ليكن: أن بام الوحدات. بتحويل نبدأ احلسابات، لتسهيل

1 km/ h =1000

3600m/ s = 5×200

18×200m/ s = 5

18m/ s

: فإن

18 km/ h = 18× 5

18m/ s = 5m/ s

36 km/ h = 36× 5

18m/ s = 10m/ s

15 km/ h = 15× 5

18m/ s = 25

6m/ s

40 km/ h = 40× 5

18m/ s = 100

9m/ s

.C Aإىل من األوىل: املرحلة •

BCهبوطا. املسافة لقطع يستغرقه الذي الزمن t2 و ABصعودا املسافة لقطع األول الدراج يستغرقه الذي الزمن t1 ليكن

BCهبوطا. املسافة لقطع يستغرقه الذي τ2الزمن و ABصعودا املسافة لقطع الثاين الدراج يستغرقه الذي الزمن τ1 ليكن باملثل،

ACأي املسافة لقطع نفسالوقت يستغرقان أهنام يعني Cفهذا إىل نفساللحظة يف يصالن Aو من نفساللحظة يف ينطلقان الدراجني أن بام

: فإن املسافةالرسعة = الزمن أن بام و ؛ t1 + t2 = τ1 + τ2

t1 + t2 = τ1 + τ2 ⇐⇒ x

5+

y

10=

x256

+y1009

⇐⇒ x

5+

y

10=

6x

25+

9y

100⇐⇒ 20x+ 10y = 24x+ 9y يف100) السابقة املعادلة (برضبطريف⇐⇒ y = 4x

.A Cإىل من : الثانية املرحلة •

BAهبوطا. املسافة لقطع يستغرقه الذي الزمن t′2 و CBصعودا املسافة لقطع األول الدراج يستغرقه الذي الزمن t′1 ليكن

BAهبوطا. املسافة لقطع يستغرقه الذي τالزمن ′2 و CBصعودا املسافة لقطع الثاين الدراج يستغرقه الذي الزمن τ ′1 ليكن باملثل،

؛ τ ′1 + τ ′2 = t′1 + t′2 + 35 : فإن األول الدراج Aبعد إىل 35 s بمدة الثاين الدراج يصل Cو من نفساللحظة يف ينطلقان الدراجني أن بام



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: فإن املسافةالرسعة = الزمن أن بام و

τ ′1 + τ ′2 = t′1 + t′2 + 35 ⇐⇒ x1009

+y256

=x

10+y

5+ 35

⇐⇒ 9x

100+

6y

25=

x

10+y

5+ 35

⇐⇒ 9x+ 24y = 10x+ 20y + 3500 يف100) السابقة املعادلة (برضبطريف⇐⇒ −x+ 4y = 3500

: املعادلتني مجلة نحل

y = 4x

−x+ 4y = 3500⇐⇒

y = 4x

−x+ 4× 4x = 3500

⇐⇒

y = 4x

15x = 3500

⇐⇒

y = 4x

x =3500

15=

700

3

⇐⇒

y = 4× 700

3=

2800

3

x =700

3

.BC =2800

3m ≃ 933.33m هو اهلبوط طول و AB =

700

3m ≃ 233.33m هو الصعود طول إذن



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. حوليات — موجهة أعمال •8

¤.(2014 • 2013 - أيتعڤواشة (متوسطة 2 رقم موجهة أعامل بطاقة .1.8 §

. .. 1. (. pgcd (672; 364) أوجد •1

علل. ؟ بينهام فيام أوليان 672 و 364 الطبيعيان العددان هليفكل الكرياتاحلمراء (نفسعدد األكياساملتامثلة من ممكن أكربعدد هبا تشكيل نريد بيضاء. كرية 364 و محراء كرية صندوقحيتويعىل672 •2

باقي. بدون و البيضاء) الكريات نفسعدد كيسو؟ تشكيلها يمكن األكياسالتي عدد هو ما (ا)كيس؟ كل يف البيضاء الكريات عدد هو ما (ب)كيس؟ كل يف الكرياتاحلمراء عدد هو ما (ج)

. بينهام فيام أوليني يكونا أن يمكن ال بالتايل و عىل2 القسمة يقبالن أي زوجيان 672 و الطبيعيني364 العددين أن نالحظ بداية،: إقليدس1 خوارزمية نطبق •1

672 = 364× 1 + 308

364 = 308× 1 + 56

308 = 56× 5 + 2856 = 28× 2 + 0

. pgcd (672; 364) = 28 : بالتايل و 28 هو معدوم غري باقي آخربينهام. فيام أوليني ليسا 364 و 672 العددين فإن pgcd (672; 364) = 28 > 1 أن بام

ممكن عدد أكرب تشكيل نريد أننا بام و . 364 و الطبيعيني672 للعددين مشرتكا قاسام األكياس عدد يكون أن جيب كرية، أية تبقى ال حتى (ا) •2. pgcd (672; 364) = أي28 364 و 672 للعددين األكرب املشرتك القاسم نأخذ أن فيجب األكياس، من

. 28 هو تشكيلها يمكن التي األكياساملتامثلة عدد

. 36428

= 13 كيسهو كل يف البيضاء الكريات عدد يكون احلالة، هذه يف (ب)

. 67228

= 24 كيسهو كل يف الكرياتاحلمراء عدد و (ج)

. .. 2. : النتائج اختزل ثم أحسب |

.D =

6

10÷ 2

34

3× 7

5

و C =13

7− 2

7× 15

4، B =

5

27

4+

9

2

، A =5

4+

11

4× 2

3

: لدينا •1A =

5

4+

11× 2

4× 3=

5

4+

22

12=

5× 34× 3 +

22

12=

15

12+

22

12=

15 + 22

12=

37

12

: لدينا •27

4+

9

2=

7

4+

9× 22× 2 =

7

4+

18

4=

7 + 18

4=

25

4

Euclid’sباإلنجليزية. Algorithm ؛ بالفرنسية Algorithme d’Euclide1


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

—حوليات موجهة أعمال .8 باب 82

: بالتايل و

B =

5

27

4+

9

2

=

5

225

4

=5

2× 4

25=

1

5 × 2

4

1

2 ×>5

25

=1× 2

1× 5=

2

5

: لدينا •3

C =13

7− 2

7× 15

4=

13

7−

1

2 × 15

7× 2

4

=13

7− 1× 15

7× 2=

13

7− 15

14

=13× 27× 2 − 15

14=

26

14− 15

14=

26− 15

14=

11

14

•4

6

10÷ 2

3=

3

6

>5

10

× 3

2=

3

5× 3

2=

3× 3

5× 2=

9

10: لدينا

4

3× 7

5=

4× 7

3× 5=

28

15و

D =

9

1028

15

=9

10× 15

28=

9×>3

15

>2

10 × 28

=9× 3

2× 28=

27


. .. 3. |؟ (MN) ∥ (DF ) هل ، 1.8 الشكل يف الظاهرة املعلومات باستعامل •1

.MN و V T من أحسبكال ، 2.8 الشكل يف الظاهرة املعلومات باستعامل •2

VL

K

M

T

S

N

5m

?

4.5 m

3 m

4 m ?

(LV ) Ë (M N )

.MN و V T أحسب :2.8 شكل

F

D

C

N

M

30

34

45

51

؟ (MN) ∥ (DF ) هل :1.8 شكل

: أن بام •1.C النقطة يف متقاطعان (FN) و (DM)املستقيمني •

. CDCM

=CF

CNأي CF

CN=

30

34=

15

17و CD

CM=

45

51=

15

17•

Nبنفسالرتتيب. ، F ،C Mو ،D ،C النقاط •

. (MN) ∥ (DF أي( متوازيان (MN) و (DF املستقيامن( طاليس، ملربهنة العكسية املربهنة فحسب: أن بام •2

.K النقطة يف متقاطعان (KN) و (KM)املستقيمني •

. متوازيان (MN) و (LV املستقيمني( •



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

83 —حوليات موجهة أعمال .8 باب

: منه KL

KM=KV

KN=

LV

MNطاليس: فحسبمربهنة

MN =KM × LV

KL=

(5 + 3)× 4

5=

8× 4

5=

32

5= 6.4m

: باملثل. (MN) (V T ) (LV ) T •

. (NV ) (MT ) •

: منه ST

SM=SV

SN=

V T

MNطاليس: فحسبمربهنة

V T =ST ×MN

SM=

3× 6.4

4.5=

19.2

4.5≈ 4.3m

طاليس ملربهنة العكسية املربهنة تطبيق فيها يمكن ال حالة

O

A

B

C

A′

B′

C′

: املقابل الشكل يف،OA′ =

1

2، OA = 1

،A′B′ = 3 ، AB = 2.B′C ′ = 6 و BC = 4

: لدينا

A′B′

B′C ′ =3

6=

1

2و AB

BC=

2

4=

1

2

. ABBC

=A′B′

B′C ′ أي

: لكن

. متوازيني غري (BB′) و (AA′)املستقيمني فإن OAAB

= OA′

A′B′أيOA′

A′B′ =12

3=

1

6و OAAB

=1

2أن بام

. متوازيني غري (CC ′) و (BB′) بالتايل و OBBC

= OB′

B′C ′ أيOB′

B′C ′ =3.5

6و OBBC

=3

4باملثل

. متوازيني غري (CC ′) و (AA′) إذن OAAC

= OA′

A′C ′ أيOA′

A′C ′ =0.5

9و OAAC

=1

6أيضا و

متوازية. (CC ′) و (BB′) ، (AA′)املستقيامت أن نستنتج أن لنا يسمح ال AB

BC=A′B′

B′C ′ النسبتني تساوي : اخلالصة



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


لبنان).¤ (فرع 2009— فرنسا ، ش.ت.م .2.8 §

حسابية أنشطة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. 4..A = 2× 102 + 101 + 10−1 + 2× 10−2 : العددية العبارة نعترب

.A للعدد العرشية الكتابة أعط •1A؟ للعدد العلمية الكتابة هي ما •2

. 10 قوة يف طبيعي عدد جداء Aعىلشكل العدد أكتب •3. 1 من أصغر و لإلختزال قابل كرسغري و طبيعي عدد جمموع أكتبAعىلشكل •4

: لدينا •1A = 2× 102 + 101 + 10−1 + 2× 10−2

= 200 + 10 + 0.1 + 0.02

= 210.12

. A = 2.1012× 102 Aأي = 210.12 األول السؤال من •2

. A = 21012× 10−2 Aفإن = 210.12 أن بام •3: لدينا •4

A = 210.12 = 210 + 0.12 = 210 +12

100= 210 +

3× 425× 4

= 210 +3

25

. .. 5. فقطصحيح. واحد و واحد إقرتاح الثالثة، اإلقرتاحات بني من التمرين، هذا يف

ج اجلواب ب اجلواب أ اجلواب السؤال

السلسلة هذه وسط من أصغر السلسلة هذه وسط من أكربهذه يساويوسط

السلسلة؛ 8 ؛ 8 ؛ 7 : األعداد سلسلة متوسط

41 ؛ 15 ؛ 15 ؛ 14 ؛ 12 ؛ 121

يف0.85 السعر رضبنا يف1.15 السعر رضبنا عىل0.85 السعر قسمنا% 15 بنسبة سعرا خفضنا إذا

: أننا يعني فهذا2

36 −18 18العبارة فإن x = 3 كان إذا

: Aتساوي = −2x23

−4 هو وحيد حل 2 هو وحيد حل 3 0.5−و مها حالن (2x+ 1)− (x− 3) = 0 : للمعادلة 4

العنرص Mهو السلسلة هذه متوسط فإن (تصاعديا) تزايديا ترتيبا مرتبة األعداد أن بام و . N2

= 4.5 Nو = 9 هو السلسلة عنارصهذه عدد •1.M = أي12 اخلامسمنها

: هو السلسلة هلذه احلسايب الوسط أخرى، جهة منm =

7 + 2× 8 + 2× 12 + 14 + 2× 15 + 41

9=

132

9≃ 14.7

ج اجلواب هو الصحيح اجلواب الوسط. من أصغر املتوسط إذن .M < mأي



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


ختفيض15 فنسبة السعر، هذا xكان [إذا . 1−0.15 = أييف0.85 1− 15

100السعريف نرضبهذا أننا يعني فهذا % 15 بنسبة سعرا خفضنا إذا •2

ج اجلواب هو الصحيح اجلواب [0.85 العدد يف نرضبه أننا يعني هذا و 0.85xأي (1− 0.15)xأي x− 15100 ×xيصبح السعر أن يعني منه %

ب اجلواب هو الصحيح اجلواب .A = −2 (−3)2= −2× 9 = −18 فإن x = −3 كان إذا •3

: لدينا •4(2x+ 1)− (x− 3) = 0 ⇐⇒ 2x+ 1− x+ 3 = 0

⇐⇒ x+ 4 = 0

⇐⇒ x = −4

ج اجلواب هو الصحيح اجلواب .−4 هو وحيد حل للمعادلة إذن

. .. 6.

.A =1

4

[(a+ b)2 − (a− b)2

]ليكن

.b = 5 و a = 1 كان Aإذا قيمة أحسب •1.b = −3 و a = −2 Aألجل قيمة أوجد •2

علل. ؟ حمق هو هل . b و a العددين جداء Aيساوي العدد أن أمحد يقول •3

: فإن b = 5 و a = 1 كان إذا •1A =

1

4

[(1 + 5)2 − (1− 5)2

]=

1

4

[62 − (−4)2

]=

1

4[36− 16] =

1

4× 20 = 5

: فإن b = −3 و a = −2 كان إذا •2A =

1

4

[(−2− 3)2 − (−2 + 3)2

]=

1

4

[(−5)2 − 12

]=

1

4[25− 1] =

1

4× 24 = 6

: لدينا •3A =

1

4

[(a+ b)2 − (a− b)2

]=

1

4[((a+ b)− (a− b)) ((a+ b) + (a− b))]

=1

4(a+ b− a+ b) (a+ b+ a− b) =

1

4(2b) (2a) = ab

. حمق أمحد إذن b و a العددين جداء Aيساوي العدد

هندسية أنشطة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. 7. السنتيمرت. هي الطول وحدةنصف يقطع (AM) املستقيم . DM = 3.2 و AM = بحيث2.4 ABCD املربع داخل تقع Mنقطة . AB = 4 ضلعه طول مربع ABCD

. I النقطة يف [DC) املستقيم

احلقيقية. باألبعاد الشكل أنشئ •1.M يف املثلثAMDقائم أن أثبت •2

. DAM الزاوية قيس الدرجة، إىل بالتقريب أحسب، •3. tan DAI قيمة أوجد ،D يف املثلثADIالقائم باعتبار •4

.DI للطول املليمرت إىل مقربة قيمة إستنتج



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


•1

A B

CD

M

I

نصف و A مركزها دائرة نرسم M النقطة إلنشاء

نصفقطرها Dو مركزها أخرى دائرة و 2.4 قطرها

نقطتني. يف تتقاطعان الدائرتان هاتان . 3.2

املربع داخل تقع التي التقاطع نقطة هي M النقطة

.ABCD

: لكن .DM = 3.2 AMو = 2.4 ،AD = 4 : املثلثAMDلدينا يف •2AD2 = 42 = 16

AM2 +DM2 = (2.4)2+ (3.2)

2= 5.76 + 10.24 = 16

.M يف املثلثAMDقائم أن نستنتج فيثاغورث لنظرية العكسية النظرية حسب و AD2؛ = AM2 +DM2 أي

: Mلدينا يف املثلثAMDالقائم يف •3cos DAM =

املجاورالوتر =

AM

AD=

2.4

4= 0.6

الدرجة. إىل بالتقريب DAM ≃ 53 أي DAM ≃ 53.13 أن نجد احلاسبة اآللة يف cos−1 الزر عىل بالضغط و

: Dلدينا يف املثلثADIالقائم يف •4tan DAI =

املقابلاملجاور =

DI

DA=DI

4

: بالتايل و DAI = DAM = 53 فإن (AM) املستقيم إىل تنتمي I النقطة أن بام وDI = 4× tan DAI = 4× tan 53 ≃ 4× 1.33 = 5.32

املليمرت. إىل بالتقريب DI ≃ 5.3 أي

. .. 8. . h cm (إرتفاعه) طوله و 0.5mm نصفقطره الشكل، خيطسميكأسطواين أسامء لدى

. 0.0025× π × h cm3 هو اخليط هذا حجم أن أثبت •1

الكرة. يف فراغ أي يبقى بحيثال حمكمة ملفوفبصفة اخليط نفرضأن . 30 cm نصفقطرها كرة عىل حصلتأسامء اخليط، بلف •2. 36000× π cm3 هو الكرة هذه حجم أن أثبت

. h = 144 km هو اخليط) طول (أي األسطوانة إرتفاع أن من حتقق •3

ربط و فكها تم إذا و اخليط من مماثلة كرة تلميذا، 295 عددهم يبلغ الذين و تدرسفيها، التي املتوسطة من تلميذ لدىكل كان إذا أنه أسامء تقول •4اإلستواء. خط طول يفوق طوله خيط عىل نحصل فإننا طرف إىل طرفا اخليوط

إجابتك. علل ؟ تقول ما يف حمقة هي هل ، 6400 kmاألرضيساوي نصفقطر أن علام

تذكري:. V = π × r2 × h هو r نصفقطرها و h ارتفاعها أسطوانة حجم •

. V =4

3× π × r3 هو r نصفقطرها كرة حجم •

.L = 2× π × r هو r نصفقطرها دائرة حميط •

حيث π × r2 = القاعدة أيمساحة r قطرها نصف دائرة مساحة = القاعدة مساحة مع اإلرتفاع × القاعدة مساحة = األسطوانة حجم : بالتعريف •1: هو اخليط حجم إذن r = 0.5mm = 0.05 cm

V = π × (0.05)2 × h = 0.0025× π × h cm3



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


منه: نصفقطرها، حيثRهو ، V1 =4

3× π ×R3 فإن عليها املتحصل الكرة حجم V1 كان إذا •2

V1 =4

3× π × 303 =

4

3× π × 27000 =

4× π × 3× 9000

3= 4× π × 9000 = 36000× π cm3

: منه 0.0025×π × h = 36000×π أي اخليط يساويحجم عليها املتحصل الكرة حجم حسبنصالتمرين، •3h =

36000

0.0025= 14400000 cm = 144000=144× 1000 = 14000 km

. h = 144 km هو األسطوانة) (إرتفاع اخليط طول إذن

.L = 295× 144 = 42480 km هو عليه املتحصل Lللخيط اإلمجايل الطول فإن متامثلة الكرات أن بام •4: منه P = 2× π ×R1 هو R1أي = 6400 km نصفقطرها دائرة حميط يساوي اإلستواء خط طول أخرى، جهة من

P = 2× π × 6400 ≃ 2× 3.14× 6400 = 40192 km

. حمقة أسامء إذن اإلستواء خط طول من أكرب اخليط طول أي

مسألة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. 9. بينها فيام مستقلة الثالثة األجزاء. 2400m2 مساحتها قائم، مثلث عىلشكل أرض، قطعة يملكأخوان

.( 1200m2 تساوي جزء كل (مساحة نفساملساحة هلام جزءين إىل بينهام األرضية القطعة هذه لقسمة جدار بناء األخوان يود(AB) و (MN) املستقيامن و ، [CA] من نقطة N و [CB] املستقيمة القطعة من Mنقطة بحيث ، [MN ] اخلط حسب القسمة تتم ذلك، ألجل

متوازيان.. الشكل) BC(أنظر = 80 ABو = 60 : يعطى املرت. هي الطول وحدة املسألة، كل يف


60

5080

B

M

C

A

N

.CM = 50 نفرضأن اجلزء، هذا يف

.MN = 37.5 أن أثبت •1بينهام. قارن املنحرفANMBثم شبه مساحة CMNو املثلث أحسبمساحة •2

من أكثر بعد Mعىل النقطة تكون أن جيب هل متساويتني، املساحتان تكون حتى •3C؟ النقطة من 50m من أقل بعد عىل Cأو النقطة من 50m


0 10 20 30 40 50 60 70 800

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400CNM املثلث مساحة تكون أجلها من التي CM املسافة نجد أن نريد

.CM = x نضع . 1200m2 تساوي

.MN =3

4x أن أثبت •1

. 38x2 m2 CMNتساوي املثلث مساحة أن أثبت •2

املثلث مساحة [0, xمناملجال[80 التيترفقبكلعدد fالدالة لتكن •3. f : x 7−→ 3

8x2 CMNأي

املقابل. الشكل يف كام الدالة هلذه البياين التمثيل

x للعدد (تقريبية) قيمة أوجد البياين، التمثيل هذا عىل إعتامدا (ا)نفساملساحة. للقطعتني يكون أجلها من التي و

أجلها التيمن xو للعدد املضبوطة القيمة أوجد معادلة، بحل (ب)نفساملساحة. للقطعتني يكون

أعط ثم اجلدار) MN(طول للطول املضبوطة القيمة إستنتج (ج)الدسيمرت. إىل له تقريبية قيمة



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي



. 10 cm عرضها و 20 cm طوهلا الشكل مستطيلة آجرة كل آجر، باستعامل اجلدار بناء يتم •1. 1m ارتفاعه و 42.20m طوله أن علام اجلدار هذا لبناء الالزم اآلجر عدد أوجد

اجلدار. هذا تكلفة فأوجد 25DA الواحدة اآلجرة سعر كان إذا •2


متوازيان، (MN) و (AB) املستقيامن و بنفسالرتتيب؛ و واحدة استقامة أخرىعىل جهة Aمن ،N ،C النقط و جهة Bمن ،M ،C النقط •1. MN = 37.5m إذن ،MN =

50× 60

80= MNأي37.5 =

CM ×BA

CBمنه CN

CA=CM

CB=MN

BAطاليس: نظرية فحسب

: لدينا .CMN املثلث ACMNمساحة لتكن •2

ACMN =×اإلرتفاع القاعدة

2=CM ×MN

2=

50× 37.5

2= 937.5m2

: املنحرفAMNBفإن شيه AANMBمساحة كانت إذا و

AANMB =

(الكربى الصغرى+القاعدة القاعدة

)× اإلرتفاع

2=

(AB +MN)×BM

2=

(60 + 37.5)× 30

2= 1462.5m2

املنحرف. شبه مساحة من املثلثأصغر مساحة إذن .BM = BC −MC = 80− 50 = حيث30

B قربا Mأكثر النقطة تكون أن أيجيب املنحرف، شبه مساحة ننقصمن و املثلث مساحة من نزيد أن جيب متساويتني، املساحتان تكون حتى •3.C النقطة من 50m من أكثر بعد Mعىل النقطة تكون أن أيجيب من


متوازيان، (MN) و (AB) املستقيامن و بنفسالرتتيب؛ و واحدة استقامة أخرىعىل جهة Aمن ،N ،C النقط و جهة Bمن ،M ،C النقط •1. MN =

3

4x m إذن ،MN =

x× 60

80=

3

4xأيMN =

CM ×BA

CBمنه CN

CA=CM

CB=MN

BAطاليس: نظرية فحسب

: لدينا .CMN املثلث ACMNمساحة لتكن •2

ACMN =×اإلرتفاع القاعدة

2=CM ×MN

2=x× 3

4x

2=

3

8x2 m2

•3



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


0 10 20 30 40 50 60 70 800

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

1400

1500

1600

1700

1800

1900

2000

2100

2200

2300

2400

منهام كل مساحة تكون أن جيب املساحة، نفس للقطعتني يكون حتى (ا)و y = 1200 معادلته الذي األفقي املستقيم نرسم بيانيا، . 1200m2

قيمة متثل الفاصلة هذه . f الدالة منحنى مع تقاطعه نقطة فاصلة نجد. x ≃ 56 .C النقطة Mعن النقطة بعد أي نبحثعنها التي x

: ييل ACMNكام = 1200 املعادلة نحل (ب)

ACMN = 1200 ⇐⇒ 3

8x2 = 1200

⇐⇒ 3x2 = 8× 1200 = 9600

⇐⇒ x2 =9600

3= 3200

⇐⇒ x = +√3200 أو x = −

√3200

. x = +√3200 بالتايل و x ∈ [0, 80] لكن

: فإن 3200 = 32× 100 = 2× 16× 100 أن بام و

x =√3200 =

√2× 16× 100 =

√2×

√16×

√100

=√2× 4× 10 = 40

√2m

: الثاين اجلزء من األول السؤال حسب (ج)MN =

3

4x =

3

4× 40

√2 = 30

√2m

.MN = 30√2 ≃ 30× 1.4 = 42.4 فإن

√2 ≃ 1.4 أن بام و

. MN ≃ 42.4m ألجل نفساملساحة للقطعتني إذن


آجرة أي2120 42.40.02

= 2120 يلزم بالتايل و 0.2× 0.1 = 0.02m2 هي الواحدة اآلجرة مساحة و 42.4× 1 = 42.4m2 احلائطهي مساحة •1اجلدار. لبناء

: نجد الثالثية القاعدة بتطبيق •2واحدة آجرة −→ 25DAآجرة 2120 −→ pDA

. p = 53000DA احلائطهي تكلفة إذن . p = 25× 2120

1= 53000DA منه



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


اهلندية).¤ Pondichéry (فرع 2010— فرنسا ، ش.ت.م .3.8 §

حسابية أنشطة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. القسم.10 تركيب يبني التايل اجلدول داخليني. نصف البعضاآلخر و خارجيون البعضمنهم ، تلميذا 25 من متوسط الرابعة أقسام أحد يتكون: نصفداخليني) و (خارجيون السابقني التصنيفني حسب إناث) و (ذكور

املجموع إناث ذكور... 3 ... خارجيون... 11 9 نصفداخليني25 ... ... املجموع

أمتمه. ثم السابق اجلدول أنقل •1

القسم. هذا من تلميذا عشوائية بصفة نختار •2؟ أنثى التلميذ هذا يكون أن احتامل هو ما (ا)؟ خارجيا التلميذ هذا يكون أن احتامل ما (ب)

؟ ذكرا يكون أن احتامل فام ، نصفداخيل التلميذ هذا كان إذا (ج)

هو اخلارجيني جمموع و 11 − 9 = 2 هو اخلارجيني الذكور عدد بالتايل و 25 − 14 = 11 هو الذكور عدد منه 3 + 11 = 14 اإلناثهو عدد •1. 11 + 9 = 20 2 + 3 = 5

إمجايل منه 5− 3 = اخلارجيني2 الذكور عدد بالتايل و 25− 20 = اخلارجيني5 عدد منه 9 + 11 = 20 : بنصفالداخليني البدء أيضا [يمكن[3 + 11 = اإلناث14 إمجايل و 2 + 9 = 11 الذكور

املجموع إناث ذكور2 + 3 = 555 3 11− 9 = 222 خارجيون11 + 9 = 202020 11 9 نصفداخليني

25 3 + 11 = 141414 25− 14 = 111111 املجموع

القسم. هذا من تلميذا عشوائية بصفة نختار •2

. 1425

14

25

14

25أي اإلناث عدد

التالميذ إمجايل هو أنثى التلميذ يكون أن احتامل بالتايل و تلميذ 25 أصل من تلميذة 14 يوجد (ا)

. 15

1

5

1

5أي 5

25أي اخلارجيني التالميذ للتالميذعدد الكيل العدد هو خارجيا التلميذ يكون أن احتامل بالتايل و تلميذ بني25 خارجينيمن تالميذ 5 يوجد (ب)

الداخليني نصف الذكور عددالداخليني نصف التالميذ عدد هو أنهنصفداخيل علام التلميذذكرا بالتايلاحتاملأنيكون و منبينهم9ذكور نصفداخيل يوجد20تلميذا (ج)

. 9

20

9

20

9

20أي

. .. 11.. C =

(√5 +

√10)2 − 10

√2 ؛ B =

8× 108 × 1.6

0.4× 10−3؛ A =

6

5− 17

14÷ 5

7: ليكن

لإلختزال. قابل كرسغري Aعىلشكل العدد أكتب •1B؟ للعدد العلمية الكتابة هي ما •2

طبيعي. Cعدد أن أثبت •3



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


A =6

5− 17

14÷ 5

7=

6

5− 17

14× 7

5=

6

5− 17×

1

7

>2

14 × 5

=6

5− 17× 1

2× 5=

6

5− 17

10

=6× 222

5× 222− 17

10=

12

10− 17

10=

12− 17

10=

−5

10=−1

2−1

2−1

2

لإلختزال. قابل كرسغري Aعىلشكل العدد كتابة هي و

B =8× 108 × 1.6

0.4× 10−3=

8× 108 × 16× 10−1

4× 10−1 × 10−3=

8× 16× 108−1

4× 10−1−3=

128× 107

4× 10−4

=* 32128 × 107 × 104

1

4

=32× 107+4

1= 32× 1011 = 3.2× 101 × 1011 = 3.2× 101+11 = 3.2× 10123.2× 10123.2× 1012

.B للعدد العلمية الكتابة هي و

C =(√

5+++√10)2

− 10√2 =

(√5)2

+++ 2×√5×

√10 +

(√10)2

− 10√2

= 5 + 2√5× 10 + 10− 10

√2 = 15 + 2

√5× 5× 2− 10

√2

= 15 + 2√52 ×

√2− 10

√2 = 15 + 2× 5×

√2− 10

√2 = 15 + 10

√2− 10

√2 = 151515

طبيعي. عدد هو و

. .. 12. فقطصحيح. واحد و واحد إقرتاح الثالثة، اإلقرتاحات بني من التمرين، هذا يف

األجوبةC B A األسئلة

5x2 + 1 6(x+ 1) −3x2 ؟ x = −1 كان إذا تساوي6 التي العبارة هي ما 12x2 + 24 2x2 + 20x+ 24 2x2 : هو (x+ 3)(2x+ 4)− 2(5x+ 6) نرشالعبارة 2(3x+ 4)2 (3x+ 4)(3x− 4) (3x− 4)2 : هو 9x2 − 16 العبارة حتليل 3−5 و 4

35 4−و

35 و 4

3: هي (x− 5)(3x+ 4) = 0 املعادلة حلول 4

: لدينا •1−3 (−1)

2= −3× 1 = −3

6 (−1 + 1) = 6× 0 = 0

5 (−1)2+ 1 = 5× 1 + 1 = 5 + 1 = 6

C اجلواب هو الصحيح اجلواب . 5x2 + 1 هي x = −1 كان إذا تساوي6 التي العبارة إذن

: لدينا •2(x+ 3)(2x+ 4)− 2(5x+ 6) = x× 2x+ x× 4 + 3× 2x+ 3× 4− 2× 5x− 2× 6

= 2x2 + 4x+ 6x+ 12− 10x− 12

= 2x2 + (4 + 6− 10)x = 2x2 + 0x = 2x2

A اجلواب هو الصحيح اجلواب

: لدينا •39x2 − 16 = (3x)

2 − 42 = (3x− 4) (3x+ 4) = (3x+ 4)(3x− 4)

B اجلواب هو الصحيح اجلواب



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


: أي معدوما كالمها) (أو العاملني أحد كان إذا فقط و إذا معدوما عاملني جداء يكون •4(x− 5) (3x+ 4) = 0 ⇐⇒ x− 5 = 0 أو 3x+ 4 = 0

⇐⇒ x = 5 أو 3x = −4

⇐⇒ x = 5 أو x = −4

3

B اجلواب هو الصحيح اجلواب

هندسية أنشطة . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .. 13. السنتيمرت. هي الطول وحدة

.AC = 12.5 و BC = 10 ؛ AB = 7.5 : ABCبحيث مثلثا أنشئ •1.B يف املثلثABCقائم أن أثبت •2

.CF = بحيث5 [AC] املستقيمة القطعة من F النقطة أنشئ (ا) •3

.CG = بحيث4 [BC] املستقيمة القطعة Gمن النقطة أنشئ (ب)

متوازيان. (FG) و (AB)املستقيمني أن أثبت •4. 3 cmيساوي FG الطول أن أثبت •5

علل. ؟ متعامدان (BC) و (FG) املستقيامن هل •6

•1

A C

Z

B

F

G

بـ عنها تبعد نقطة ننشئ ثم A النقطة ننشئ.C النقطة هي النقطة هذه . 12.5 cm

و A مركزه قوسا نرسم ، B النقطة إلنشاءو C مركزه آخر قوسا ثم 7.5 قطره نصفالقوسني هذين تقاطع نقطة . 10 نصفقطره

.B النقطة هي

: لدينا •2AB2 +BC2 = (7.5)

2+ 102 = 56.25 + 100 = 156.25

AC2 = (12.5)2= 156.25

.B يف املثلثABCقائم أن نستنتج فيثاغورث، لنظرية العكسية النظرية حسب .AB2 +BC2 = AC2 أي

السابق. الشكل أنظر (ا) •3

السابق. الشكل أنظر (ب)ذلك: إىل باإلضافة بنفسالرتتيب. و واحدة استقامة Aعىل ، F ،C النقط و جهة Bمن ،G ،C النقط ،B يف املثلثABCالقائم يف •4

. CGCB

=CF

CAأي CF

CA=

5

12.5=

50

125=

2×255×25

=2

5و CG

CB=

4

10=

2

5

متوازيان. (FG) و (AB)املستقيمني أن نستنتج طاليس، لنظرية العكسية النظرية حسب



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


املستقيامن ذلك، إىل بنفسالرتتيب.باإلضافة و واحدة استقامة Aعىل ،F ،C النقط و Bمنجهة ،G ،C النقط ،B املثلثABCالقائميف يف •5: منه CG

CB=CF

CA=FG

AB: أن نستنتج طاليس، نظرية حسب متوازيان. (FG) و (AB)

FG =CG

CB×AB =

2

5× 7.5 =

15

5= 3

. FG = 3 cm إذن

(BC) و (FG) املستقيامن إذن (B يف قائم ABC املثلث (ألن متعامدان (BC) و (AB) املستقيامن و متوازيان (FG) و (AB) املستقيامن •6. اآلخر) يعامد فإنه متوازيني مستقيمني أحد مستقيم عامد (إذا متعامدان



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي مالحق


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. أدبية إستراحة •I؛ 1396هـ) (املتوىف: عتيق العزيز عبد ملؤلفه القافية و العروض كتابعلم من1417هـ). (املتوىف: املختون سامل بدوي حممد بقلم واإلسالمية) العربية احلضارة موسوعة ضمن العروض(مطبوع علم و. http://www.shamela.ws الشاملة املكتبة من

من يعرفمكسوره به الشعر، ميزان «هو أو املعتربة» األوزان أحوال عن يبحثفيه «علم العروض: القافية.¤ العروضو علم .1.I §أئمة أحد أمحد، بن اخلليل العروضإىل علم نشأة يف الفضل الرتاجم رجال ويرجع . ملحونه» من معربه يعرف به الكالم معيار النحو أن كام موزونه،الوجود إىل العروضوأخرجه علم استنبط الذي هو وأنه النحو، علم يف إماما كان اخلليل أن يذكر خلكان فابن اهلجري، الثاين القرن واألدبيف اللغة(بناء باإليقاع معرفة له كان اخلليل أن يذكر كام اخلبب، وسامه واحدا األخفشبحرا زاد ثم عرشبحرا، مخسة منها يستخرج يفمخسدوائر وحرصأقسامه

املأخذ. يف متقاربان فإهنام العروض، علم له أحدثت املعرفة وتلك والنغم، وميزاهنا) موقعها عىل الغناء أحلانالتي للعلوم أبدع خترج مل اإلسالم دولة «إن قوله: ، التصحيف» حدوث عىل «التنبيه كتابه عن نقال األصفهاين احلسن بن محزة عن خلكان ابن وروىوإنام احتذاه، تقدمه مثال عىل وال أخذه، حكيم عن العروضالذيال علم من أوضح برهان ذلك وليسعىل اخلليل، من العربأصول عند هلا يكن مل

. عىلطست» مطرقة وقع من بالصفارين، له ممر من اخرتعهإىل جتاوزته وإنام احلد، هذا عند املبتكرة عقليته تقف ومل بحوره. يف العرب أشعار العروضوحرصكل لعلم مبتكر أول هو اخلليل أن يرى ذلك منوضع الذي وهو قاطبة، األمم من أمة الذيحيرصلغة ، العني» «معجم بوضعه العربية (القواميس) املعاجم لفكرة مبتكر أول فهو أخرى، علوم ابتكارهو ثم القفطي، يذكر كام اإلسالم لدولة زينة هو الذي كتابه صنفمنه بام النحو علم من سيبويه وإمداده وتعليله، مسائله باستخراج النحو أساسعلم

النغم. أصناف فيه ومجع العربية املوسيقى علم اخرتع الذيالعروضعىل علم قبلوضع كانوا أهنم فالواقع قبل، من الشعر تعرفأوزان تكن العربمل العروضأن لعلم اخلليل وضع من يفهم أن ينبغي ال ولكنباإلعرابيف بعلمها بذلك علمها أشبه وما بعد. فيام هلا اخلليل وضعها التي باألسامء تعرفها تكن مل وإن تباينها، عىل وبحوره العريب الشعر بأوزان علممصطلحاتاإلعراب من بعد فيام النحاة وضعه بام علم دون اجلر النصبأو أو الرفع حقه ما جيرون أو ينصبون أو يرفعون سليقة عن كانوا حني الكالم

وقواعده.

الرموز وهذه عليها. املتعارف اإلمالء قواعد حسب عىل تكون التي اإلمالئية الكتابة ختالف الكتابة يف به خاصة للعروضرموز : العروضية الكتابةأساسينيمها: أمرين عىل تقوم العروضية والكتابة املختلفة. املوسيقي أنغام بمثابة هي التي التفاعيل عىل هبا يدل العروضية

يكتب. ينطق ما •1يكتب. ال ينطق ال ما •2

ييلتفصيللألحرف وفيام وحذفبعضأحرفتكتبإمالئيا. تكتبإمالئيا بعضأحرفال زيادة يستلزم العروضية الكتابة عند األمرين وحتقيقهذينالعروضية: الكتابة أوحتذفيف تزاد التي

: أحرفهي ستة العروضية الكتابة يف تزاد : تزاد اليت احلروف •1

: عروضيا فتكتب هز، و عد، و رق، نحو: متحركا، ومرة ساكنا مرة مرتني: كتب أو احلرف ورسم التشديد فك مشددا احلرف كان إذا (ا)هزز. و عدد، و رقق،

وجرا. ونصبا رفعا أسدن، و شجرن، و جبلن، : فتكتبعروضيا ، أسد و شجرا، و جبل، نحو: نونا، التنوين كتب منونا احلرف كان إذا (ب)

و هاذان، و هاذه، و هاذا، : عروضيا فتكتب ذلك، و هؤالء، و هذين، و هذان، و هذه، و هذا، نحو: اإلشارة، بعضأسامء ألفيف تزاد (ج)ذالك. و هاؤالء، و هاذين،

الكن، و الاله، : هكذا تكتبعروضيا لكن، و لكن، و اهللا، الكلامت: فهذه واملشددة، املخففة لكن ويف اجلاللة، لفظ ألفيف تزاد كذلكالكنن. و

ناووس. و طاووس، و داوود، : فتكتبعروضيا ناوس، و طاوس، و داود، يف: كام بعضاألسامء يف واو تزاد (د)

كانتكرسة وإذا واوا، عروضيا الضمة هذه كتبت ضمة القافية حرف كانتحركة فإذا للحركة، جمانسا حرفا القافية حرف تكتبحركة (ه)ألفا. كتبت فتحة كانت وإذا ياء، كتبت


http://www.shamela.ws

..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

أدبية إستراحة .I ملحق 98

أشبعت إذا عنه، و منه، و له، يف: اهلاء عىل التي فالضمة للحركة. جمانسا كتبتحرفا الغائب، املذكر للمفرد الضمري هاء أشبعتحركة إذا (و)عنهو. و منهو، و هلو، هكذا: واوا كتبتعروضيا

فيهي. و إليهي، و هبي، هكذا: أشبعتكتبتعروضيا إذا فيه، و إليه، و به، يف: اهلاء وكرسةإليك. و إليك و منك، منكو و بك، و بك، نحو: أيحرف، بعدها يزاد ال وبالتايل تشبع، فال املخاطبة أو املخاطب كاف أما

تحذف: اليت األحرف •2

ذلكيف: ويكون متحرك. قبلها كان إن بالساكن، النطق إىل هبا يتوصل التي األلف وهي الوصل، حتذفمهزة (ا)

استغفار. انطالق، استغفر، انطلق، استغفر، انطلق، نحو: ومصدرها، أمرها ويف باهلمزة، املبدوءة والسداسية اخلامسية مايضاألفعال (i)فستغفر، فنطلق، فستغفر، فنطلق، هكذا: العروضية الكتابة عند متحرك قبلها كان إن حتذف وأمثاهلا الكلامت هذه يف الوصل فألف

فستغفار. فنطالق،أب وهذا باسمك، فمثال: است. بالقسم، املختصة أيمن اثنتان، اثنان، امرأة، امرؤ، ابنة، ابن، اسم، وهي: املسموعة العرشة األسامء (ii)

عرششهرن. ثنا والعام وبنن، أبن وهاذا بسمك، هكذا: تكتبعروضيا عرششهرا، اثنا والعام وابن،

قرأ. و كتب، و فسمع، هكذا: تكتبعروضيا فإهنا اقرأ، اكتبو و فاسمع نحو: مضارعه، ثاين الساكن الثالثي الفعل أمر (iii)تفتح و القمر، طلع مثل: فجمل بحذفاأللففقط، اكتفى الورد، و القمر، يف كام قمرية، كانتأل فإذا املعرفة. أل من ألفالوصل (iv)

لورد. تفتتح و لقمر، طلع هكذا: تكتبعروضيا الورد،الداخلة االسم يف جنساحلرفاألول من حرفا الالم وتقلب أيضا حتذف ألفها فإن الشمسوالنهر، يف كام شمسية، كانتأل إذا أما

ويفيضننهر. ترشقششمس، هكذا: تكتبعروضيا ويفيضالنهر، الشمس، ترشق مثل: فجمل أل عليهوجرا. رفعا «عمرو» حتذفواو (ب)

عىل اجلامعة، إىل البيت، يف مثل: فرتاكيب ساكن؛ يليها عندما عىل، إىل، يف، وهي: املعتلة اجلر حروف أواخر من واأللف الياء حتذف (ج)بيت، يف نحو: متحرك وليها إذا احلروف هذه من األلف أو الياء حتذف وال عللجبل، إللجامعة، فلبيت، هكذا: عروضيا تكتب اجلبل،

جبل. وعىل جامعة، وإىلالندى و الغريب، الفتى و الكبري، النادي و القدير، املحامي نحو: ساكن يليهام عندما املنونني غري املقصور وألف املنقوص ياء حتذف (د)

نندررطب. و لفتلغريب، و ننادلكبري، و املحاملقدير، هكذا: تكتبعروضيا فهذه الرطب،

: العروضية للكتابة أمثلة

طلق القسامت ضاحك ووجهك ائتالق له واألصيل دخلتك

تطلقو / لقسام حك / ضا ووجهك تالقن / هلؤ أصيل / ول دخلتك

فعولن مفاعلتن مفاعلتن فعولن مفاعلتن مفاعلتن

بسلم السامء أسباب يرق وإن ينلنه املنايا أسباب هاب ومن

بسللمي / سامء قأسبابس/ / ير وإن ينلنهو / منايا / بأسبابل / ها ومن

مفاعلن فعول مفاعيلن فعولن مفاعلن فعولن مفاعيلن فعولن

فقد ن عم فاقدا يعزي ال فلسفة من األرض يف ما كل

فقد من / عم فاقدن / يعززي ال سفتن / فل من أرض / فل ما كلل

فاعلن فاعالتن فاعالتن فعلن فاعالتن فاعالتن

: كاآليت عرشتفاعيل اخلليل اخرتعها التي العروضية التفاعيل عدد ويبلغ : التفاعيل

فعولن. ، فاعلن : ومها مخاسيتان اثنتان •1فاعالتن. ، لن مستفع ، التن فاع ، مفعوالت ، متفاعلن ، مفاعلتن ، مستفعلن ، مفاعيلن : هي و سباعية ثامنية و •2

خيتلف. منها زوج كل فإن املنفصلة، التن فاع و املتصلة، فاعالتن و املنفصلة، لن مستفع و املتصلة، مستفعلن بني النطق يف التشابه ومع



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

99 أدبية إستراحة .I ملحق

القصيدة، فأبيات القافية. وحدة و الوزن، وحدة مها: أصلني عىل نظمها جهة من تعتمد امللتزم الشعر يف العربية القصيدة : العربية القصيدة مقوماتهذه التزمت أربعة أو ثالثة األول البيت تفاعيل كانت فإذا التفاعيل. و املقاطع عدد جهة من أي وزهنا يف واحدة كلها تكون أن جيب عددها، كان أيا

القصيدة. أبيات مجيع يف بعددها التفاعيلالتي املعري قصيدة يف كام ،1 القصيدة من بيت كل آخر يف الدال هذه التزمت مثال داال القصيدة من األول البيت آخر كان فإذا القافية. وحدة وكذلك

مطلعها:شاد ترنم وال باك نوح واعتقادي ملتي يف جمد غري

و واحدة، قافية عىل القصيدة إطالة عىل الشاعر تساعد هذه و ومشتقاهتا. مرتادفاهتا كثرة و مفرداهتا اللغاتبسعة من غريها عن مشهورة العربية اللغة والقوايف. بتوزيع شاءوا إذا القصيدة إطالة عىل يستعينون العرب غري الشعراء ترى لذلك و اآلداباألخرى، يف نظريا لذلك جتد أن قل

ويرتفع القصيدة بناء يقوي أن شأنه من التزامهام و الوحدتني هباتني فالتمسك له، تقييدا أو العريب شعرنا يف عيبا القافية وحدة و الوزن ليستوحدة والقافية عن الرتيثبحثا إىل الشاعر يلجئ ما كثريا القافية التزام أن هو ذلكاألمر وينظمونه؛ الشعر يعاجلون من عىل إال خيفى قد آخر أمر و بموسيقاها.

املناسبة.بسهولة. األمر أول من القافية أتته لو باله عىل ختطر أو للشاعر لتتاح كانت ما أفكارا القافية وراء اجلري عن الناشئ التمهل هذا يولد ما كثريا و

اهلزج، الكامل، الوافر، البسيط، املديد، الطويل، هي: عرشبحرا تنحرصيفمخسة أهنا اخلليل وجد أشعار، العربمن عن ورد ما باستقراء : الشعر بحورعليه استدركه الذي «املتدارك» بإضافة وزنا عرش ستة صارت ثم املتقارب. املجتث، املقتضب، املضارع، اخلفيف، املنرسح، الرسيع، الرمل، الرجز،

األخفش.بيت كل من األول الشطر أن هنا ويالحظ البحور. أوزان دائام يتذكر أن هبا الدارس يستطيع للبحور كمفاتيح نظمت أبيات ييل فيام : البحور مفاتيح

البحر. تفعيالت عىل يشتمل منه الثاين الشطر وأن البحر، اسم عىل يشتمل

: الطويل •1فاعلن فعولن مفاعيلن فعولن فضائل البحور دون له طويل

: املديد •2فاعالتن فاعلن فاعالتن عنديصفات الشعر لـمديد

: البسيط •3فعلن مستفعلن فاعلن مستفعلن األمل يبسط لديه البسيط إن

: الوافر •4فعولن مفاعلتن مفاعلتن مجيل وافرها الشعر بحور

: الكامل •5متفاعلن متفاعلن متفاعلن الكامل البحور من اجلامل كمل

: اهلزج •6مفاعيلن مفاعيلن عىلاألهزاجتسهيل

: الرجز •7مستفعلن مستفعلن مستفعلن يسهل بحر األرجاز أبحر يف

: مل الر •8فاعالتن فاعالتن فاعالتن الثقات يرويه األبحر رمل

: الرسيع •9فاعلن مستفعلن مستفعلن ساحل له ما رسيع بحر

: املنرسح •10مفتعلن مفعالت مستفعلن املثل يرضب فيه منرسح

القراءات. يف والشاطبية املرياث، يف والرحبية النحو، مالكيف ابن كألفية القافية، العروضالرضبيف فيه يشبه بيت كل أن بمعنى مزدوجة تكون ما غالبا التي العلوم، نظم 1باستثناء



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


اخلفيف: •11فاعالتن لن مستفع فاعالتن احلركات به خفت خفيفا يا

: املضارع •12التن فاع مفاعيل املضارعات تعد

: املقتضب •13مفتعلن مفعالت سألوا اقتضبكام

: املجتث •14فاعالتن لن مستفع احلركات أجتثت

: املتقارب •15فعولن فعولن فعولن فعولن اخلليل قال املتقارب عن

املحدث: اخلببو أيضا له ويقال املتدارك، •16فعلن فعلن فعلن فعلن حركاتاملحدثتنتقل

أي خمبونة فيه ورودها الغالب وإنام صحيحة، التام املتدارك يف ترد ال ،لكنها «فاعلن» األصل يف هي املتدارك بحر منها يتألف التي التفعيلة : مالحظةالعني. بسكون «فعلن» أي مشعثة أو العني بتحريك «فعلن»

باألندلس﴾ الوصل زمان يا الغيثمهى إذا الغيث ﴿جادك موشحة موشحات.¤ .2.I §احلجاج أيب بن حممد باهللا الغين شاعر كان اخلطيب. بن عبداهللا بن حممد الدين لسان الوزارتنيوهو بـذي ب لق أندليسشهري لشاعر املشهورة املوشحة هذهيعارضبموشحته وهو ، باهللا الغين سلطانه هبا ومدح الطبيعة وذكر الغزل يف املوشحة هذه قال وقد هـ 776 سنة تويف ووزيره. ، األمحر بين ملوك أحد

اخلطيب: ابن الدين لسان يقول . سهل ابن للشاعر موشحة هذه

باألندلس الــوصل يــازمــــان هـمى الغـيث إذا الغـيث جــادك

املختلس خلسة أو الكـرى يف حــلـمـــا إال وصــلـك يــكن لــم

يرسم مـا عىل اخلـطـو تنقل املنى أشتات الدهر يقـود إذ

املوسم احلجيج يدعو مثلام ثـنــــا و فــرادى بني زمـــرا

تبسم فيــه هــر الـز فـثـغــور سنا وض الر جلل قد احليا و

أنـس عـن مـالك يـروي كيف ام الس مــاء عـن النعــامن روى و

ملـبس بـأبـهى منـه يــزدهي مـعـلـمــا ثــوبا احلسـن فـكـســاه

الغــرر شـمـوس لـوال جى بالـد اهلـــوى ســر كتمت ليــال يف

األثـــر سعــد ـري الس مستـقـيـم هـوى و فيها الكأس نجـم مــال

الــبــصــر كـلـمــح مـــر أنـــه سوى عـيب مـن فيه مـا وطــر

احلرس هجــوم بح الص هـجــم كـمــا أو شيئـا النــوم لـذ حني

الـنرجس عـيون فـينــا ــرت أث ربمــا أو بنــا هـب الش غــارت



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


فـيـه مكـن قـد وض الر فيكون خلصا قد المرئ يشء أي

تتقـيـه مــا مـكـره مـن أمـنت الفرصا فيه األزهار تنهب

بــأخـــيـــه خـليـل كـل خــال و احلصا و تناجى املاء فإذا

يكتـيس ما غـيظـه مـن يكتيس برمـا غيورا الورد تبرص

فــرس بـــأذين مـع الس يســرق فهام لبيـبـا اآلس تـرى و

بــه أنتـم مـسـكـن بـقــلــبي و الـغـضــا وادي مـن احلي أهيـل يــا

غـربـه مـن شــرقــه أبـايل ال الفضا رحب بكم وجدي عن ضاق

كـربـه مـن عـانيكــم تعـتـقـوا مـضـى قــد أنـس عـهـد فــأعـيدوا

نفس يف نفسا يتالشى مغرما أحيوا و اهللا قوا فات

احلبس عفاء ضون أفرت كرما عليكم القلب حبس

بعـــيد هـــو و املـنى بــأحاديث مـقــتــرب مـنـكـــم بـقـلـبـي و

سعيد هـو و به املضنى شـقـوة الـمـغــرب مـنــه أطـلـع قـمــر

وعــيـد و وعــد بني هـــواه يف مـذنب أو حمسن تسـاوى قــد

النفـس جمـال النفـس يف جــال اللمى معسـول املقـلة أحــور

الـمــفــتــرس نـبـلـة بـفـــؤادي رمى إذ فـأصمى هـم الس د سـد

يذوب وق بـالش ـب الص فـفـؤاد األمـل خـاب و جـار يكـن إن

ذنوب ملحبوب احلب يف ليس ل أو حـبـيـب للـنفـس فـهــو

قـلوب و بـراهـا قـد ضـلـوع يف مـمـتـثـل مـعــتـمـل أمــــره

األنفـس ضعـاف يف يـراقب لـم فاحـتـكـام بـه اللـحـظ حـكـم

املـيس و منهـا الـرب يـجـازي و ظـلام ممن املظلوم يـنـصف

جديد وق الش مـن عـيد عـاده صبا هبت ام كل لقلبي ما

جهيد جهد يف لألشجان فهو الوصـبا و لـه اهلـم جلب

لـشـديـد عـذايب إن : قــولـه مكتـتبا له وح الل يف كان

اليبس هشيم يف نار فهو ما أرض قد أضلعي يف العج

الغـلس بعد بح الص كـبقاء ذمـا إال مهجتي من يدع مل



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


متاب و برجعـى الوقت اعـمري و الـقـضـا حـكـم يف نفـس يــا سلـمي

عـتـاب و ت تقـض قــد عـتبى بني مضـى قـــد زمـــان ذكــــر دعــي و

الكـتـاب أم فـي التـوفـيق مـلهـم ضا الر املوىل إىل القول يف ارص و

املجـلس بـدر و ج الرس أسـد املنتمى و املنتهى الـكــريـم

الـقـدس بروح الـوحي ينزل مـثلـمـا عـليـه النرص يـنزل

أحـــد كـل عــن بـــاهللا الـغــني املصطـفى سـمي اهللا مصطــفى

عـقــد اخلطـب فـتـح مــــا إذا و وىف العـهــد عـقــد مــا إذا مــن

العـمد مرفوع النرص بيت حيث كفى و سعـد بن قـيـس بني مــن

الـمغـرس زكـي الفـضل جـنى و احلـمى حمـمي النرص بيت حيث

املـغــتـرس إىل هــب ـدى الـنـ و خـيـمـــا ظـلـيـل ظــل الـهــوى و

أقـال هر الـد عـثر إن الــذي و الـعال أنصـار سـبـط يـا هـاكهـا

صقـال و جـالء العـني تـبـهـر مــال احلســن ألـبسهــا غــادة

فـقـال: احلب أنطقه مـن قـول حىل و معنى و لفـظا عـارضـت

مكـنس عـن ه حـل صـب قـلب محى قـد أن احلمى ظبي درى ﴿هـل

بالقـبس﴾ ـبـا الص ريـح لعـبت مـثـلـمـــا خـفــق و حـــر يف فـهــو

بعضاألبيات: رشح

األحبة. شمل فيه اجتمع الذي الزمن :املراد الوصل زمان الغيث:املطر. الوصل. لزمان اخلري و قيا بالس الشاعر فيها يدعو دعائية الغيث:مجلة جادكاللذة أو السعيد كاحللم رسيعا مر ولكنه مجيال األحبة لقاء كان : الشرح اخلفاء. يف األخذ االختالسو اخللسة: النوم. : الكرى طيف. و خيال : حلما

املختلسة.ح: الشر الدهر. هلا يرسم كام : يرسم ما على تتجه. : اخلطو تنقل منية. مجع شتيتو مجع ؛ املتفرقة األماين املىن: أشتات حيقق. واملراد يسوق : الدهر يقود

تنحرف. ختتلفوال ال مرسومة خطة فتجريعىل املتنوعة املتعددة أمانيه حيقق الدهر كان فيقول الذكريات الشاعر يسرتجع

فرادى املرغوب موعدها تأيتيف األماين هذه ح: الشر احلج. موسم : املوسم اجلامعة. وهو وفد مجع : الوفود املجموعة. أو الفرقة هي و زمرة مجع : زمرامتجمعة). أو متفرقة موعدها يف (تأيت احلج موسم يف احلجاج وفود مجاعاتكأهنا أو ثنى أو

تشاركنا هبيجة حولنا الطبيعة كانت : ح الشر الفم. هو و ثغر مجع : ثغور وتتألأل. تلمع متفتحة الرياضأزهارا كسا : سنا الروض جلل املطر. : احلياالباسمة. املتفتحة األزهار من مرشقا الروضثوبا كسا قد فاملطر سعادتنا يف وتسهم رسورنا

وفضله فيها املطر أثر عىل تدل سوداء) ونقطة األمحر يعرفبشكله الذي اإلزهار من النوع (ذلك النعامن شقائق أن هنا املراد السماء: ماء عن النعمان روىهو أو ، أنسأبوه و صاحبمذهبمعروف، فقيه أنس: بن مالك و ؛ تورية) التعبري هذا (وىف اجلاهلية يف ملكاحلرية : السماء ماء بن النعمان و ؛ عليهانسبة من واملطر النعامن بنيشقائق ما أن هنا املراد أنس: عن مالك يروي كيف القرابة. عالقة بينهم تكون ال هذا وعىل ، الرسولملسو هيلع هللا ىلص مالكخادم ابن أنس

املروية. األحاديث مالكيفصدق أنسبن وبني بينه ما مثل أنسأو أبيه و مالك بني ما مثل وصلة

وليد مالكا أن كام السامء ماء وليدة أهنا عىل وتدل املطر بأثر تنطق النعامن شقائق : الشرح األثواب. بأمجل ملبس: بأى خيتال. : يزدهي ملونا. : معلماوالبهاء. احلسن ألوان فيه تعددت ثوبمجيل يف الروضخيتال أنسفأصبح

أحبابه و الشاعر و مجاعات أو فرادى املوضوعة اخلطة فتميشحسب األماين فيقود قائدا الدهر فيها متثل الوصل لزمان كلية صورة : البيانية الصورالزهر، السنا، الروض، يف نراه اللون و يزدهي كساه، اخلطو، تنقل يقود، : يف وحتملها باحلركة حافلة لوحة وهي اجلميلة الرياضالزاهرة بني يمرحون



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


تصور مكنية استعارة املنى) أشتات الدهر الثالث(يقود البيت يف بيانية صورة يفخالهلا و ى، رو يدعو، اخلطو، يف والصوتنسمعه معلام، ثوبا النعامن،وأشتات اخلطة يرسم قائد فالدهر الدهر، خبايا يف مستمر فالشاعر الصورة هلذه ترشيح يرسم) ما عىل اخلطو (تنقل ألمره تقاد جنودا واملنى قائدا الدهر

التامة. السعادة عىل الداللة وهو يريده الذي للمعنى وتشخيصوتوضيح ذلكتصوير وىف بأمره وتتحرك اخلطو تنقل جنود املنىأو مجاعات مكة عىل يتوافدون احلجاج بصورة أوقاتحمددة، والظروفيف احلاجة بحسب مجاعات أو مثنى أو فرادى تتابعها يف األماين يصور : تشبيه

للشاعر. الدينية الثقافة الصورة هذه يف يبدو و احلج موسم فرادىيفالناسوينادهيم. يدعو إنسانا احلج موسم تصور مكنية استعارة املوسم) (يدعو

تبسم بقوله: االستعارة ورشحهذه ، ثغور وهو منخصائصه بيشء عليه ودل به بإنسانوحذفاملشبه الزهر شبه مكنية استعارة تبسم) فيه الزهر (فثغورالروض. يغمر الذي والصفاء بالبهجة توحي والصورة

الدينية بالثقافة متأثر هنا الشاعر و عنه، يروى إنسانا السام وماء وحيكي يروى إنسانا النعامن شقائق تصور مكنية استعارة السام: ماء عن النعامن روىأنس. مالكعن برواية السامء ماء عن النعامن شقائق رواية حيثشبه تشبيه وهنا الرشيف. احلديث ورواية

ملونا. الروضثوبا يكسو إنسانا احلسن تصور مكنية استعارة معلام: ثوبا احلسن كساهواإلعجابهبا. األزهار بروعة وتوحي املنقوش، املطرز الرياضبالثوب يف املتنوعة األزهار حيثشبه ترصحيية استعارة : معلام ثوبااجلامل. بروعة إحياء وفيهاتشخيصو اجلميلة بمالبسه مفتخرا خيتال الروضإنسانا تصور مكنية استعارة ملبس: بأهبى منه يزدهي

التي اجلالسني وجوه واملراد ، بياضالوجه هي و غرة مجع الغرر شمس، شموسمفردها : الغرر مشوس الظالم. الدجى: احلب. اهلوى: سرتت. كتمت:اجلميلة الوجوه إرشاق غري ضوء فيه ينبعث مل الذي بظالمها الرقباء أعني عن وحجبتتا لقائنا سرتت التي الليايل تلك أمجل ما : الشرح الشموس. تشبه

املجلس. ذلك يف

إرشاقها يف األحبة وجوه شبه فقد بليغ تشبيه الغرر: شموس و الرس، يكتم إنسانا الليايل تصور مكنية استعارة كتمترساهلوى: ليال : البيانية الصورالوجوه. هو و الكل وأراد اجلبهة) بياضيف (فالغرة اجلزء أطلق فقد جزئية عالقته الوجوه عن مرسل جماز الغرر: بالشموسو

الكؤوسعلينا كانتتدور الليايل هذه ويف الشرح: (طيبا). األثر حممود : األثر سعد يد، إىل يد من كالنجم الالمعة كأسالرشاب انتقل الكأس: جنم مالوطربا. نشوة نفوسنا يف فترتك منتظمة

املشبه. إىل به املشبه وأضاف واإلرشاق اللمعان يف الكأسبالنجم شبه فقد بليغ تشبيه الكأس: نجم : البيانية الصور

العمر. قصري الصفو البرصوهكذا كلمح مرترسيعة أهنا إال فيها عيب ال سعيدة أوقاتا اللقاء هذا يف وقضينا : الشرح مطلبوغاية. : وطر

البرص. ملح يستغرقه الذي بالوقت قرصه يف اللقاء وقت شبه فقد تشبيه البرص: كلمح مر وطر : البيانية الصور

عنفعىل احلرسيف هيجم كام فافرتقنا الصبح ظهر حتى واللقاء األنس بسعادة نشعر كدنا فام : الشرح قليال. هنا املراد : شيئا لذيذا، أصبح : النوم لذفيشتتشملهم. مجاعة

هيجم. إنسانا الصبح شبه مكنية استعاره احلرس: هجوم الصبح هجم : البيانية الصورحرمان النفسمن بضيق يوحي احلرسوهو هبجوم الشمل تفريق يف وأثره ومفاجأته وقسوته عنفه يف الصبح هجوم شبه حيث تشبيه احلرس: هجوم

بالسعادة. التمتع

سعادتنا. عىل حسدتنا املراد النرجس: عيون فينا أثرت جملسنا. الكؤوسوانتهى فانقضت فيها نحن التي السعادة بسبب الغرية حلقتها : بنا الشهب غارتسعادتنا أمر يطل فلم النرجسحسدتنا أزهار عيون كأن أو ويفرقنا، يكشفنا الصبح لرتسل برسعة فاختفت منا الغرية أصابتها النجوم وكأن : ح الشر

ولقائنا.

واحلقد. الغرية تصيبهم الشهبأشخاصا صور مكنية استعارة بنا: الشهب غارت : البيانية الصور

للمشبه. به املشبه وأضاف بالعيون شكلها النرجسيف زهرات شبه فقد بليغ تشبيه النرجس: عيونالتأثري. و الفتنة حيث اجلميالتمن بالنساء النرجس أزهار تصور مكنية استعارة النرجس: عيون فينا أثرت

حزن و أمل إىل الذيحتول الوادي بذلك ذلكاحلي أهل يا الشرح: صلب. خشبها غيضوهيشجرة إمارة وادي : الغضا وادي باملحبة. إحياء : احلي أهيلبقلبي. خاصة منزلة لكم و مكانة مني قريبون ألنكم وأناديكم أدعوكم أنني شجن و

أعد فلم الرحب الواسع الفضاء هبذا ضاق فإحسايسوشعوري : الشرح أهتم. ال : أبايل ال الواسع. الفضاء : الفضا رحب حزين. ، شعوري : وجديفيه. جهة بأي ال و به أهتم



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


فأنتم احلبواللهو األنسو زمان الزمان، ذلك إعادة إىل فدعوة الشرح: حزنه. : كربه . أسريكم : عانيكم حترروا. تعتقوا: الوصل. زمن أعيدوا أعيدوا:أحكمته. و القيود به ضاقت عبدا حتررون هبذا

انتهي فأنا إليها وصل التي احلالة وهبذه الزمان لذلك ومغرم معشق إنسان فأنا يصيبني فيام اهللا لتقوى أدعوكم و الشرح: خيتفي. : يتالشى عاشق. مغرم:فشيئا. شيئا أتالشى و

أظنكم فال له وعشقا وحبا كرما الزمان لذلك العظيم احلب هذا كن قد فالقلب : الشرح احلبس) عفاء أفرتضون كرما عليكم القلب (حبسالزمان. ذلك إعادة يف رغبة هناك تكون فال مباالة وعدم كره ذلكاحلبإىل يتحول أن ذلكوهو بغري ترضون

هـ) 650 سنة نحو (املتويف اإلشبييل سهل ابن موشحة

مكـنس عـن ه حـل صـب قـلب محى قـد أن احلمى ظبي درى هـل

بالقـبس ـبـا الص ريـح لعـبت مـثـلـمـــا خـفــق و حـــر يف فـهــو

الغرر هنج يب تسلك غررا النوى يوم أطلعت بدورا يا

النظر عيني ومن احلسن منكم سوى ذنب اهلوى يف لنفيس ما

بالفكر حبيبي من التذاذي و اجلوى مكلوم اللذات أجتني

املنبجس بالعارض بى كالر بسام وجدي أشكوه كلام

عرس يف هبجتها من هي و مأمتا فيه القطر يقيم إذ

نفا الد مقلتاه طارحتني حرقي عليه أميل غذا من

فا الص صم عىل النمل أثر رمقي من أجفانه تركت

أتلفا ما عىل أحلاه لست بقي فيام أشكره وأنا

كاخلرس نطقه عذويل و ظلام إن عادل عندي فهو

النفس حمل نفيس من حل بعدما حكم األمر يف يل ليس

رقيق جاف من أفديه بأيب بالتؤده غالب ، يل غالب

رحيق منه عرصت أقحوانا ده نض ثغر مثل علمنا ما

يفيق إن ما سكره وفؤادي العربده منها عيناه أخذت

اللعس شهي الغنج ساحر اللمى معسول ة اللم فاحم

«عبس» يف إعراضه من هو و مبتسام «الضحى» يتلو وجهه

املذنب هو و نب الذ جزاء يل لديه جرمي عن السائل أهيا

مغرب فيه للشمس مرشقا وجنتيه من الضحى شمس أخذت

مذهب بلحظي خد وله إليه بأشواقي مع الد ذهب



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


اخللس يف مقلتي حلظته كلام بغريس الورد ينبت

س املغرت عىل الورد ذلك ما حر يشء أي شعري ليت

تشا ما حني كل تتلظى ام رض بأحشائي مع الد م أرض

احلشا يف وحريق رض هي و سالم و برد يه خد يف هي

رشا أهواه و ، وردا أسدا الغرام حكم عىل منه أتقي

: حرس يف أحلاظه من هو و معلام ى تبد أن ملا قلت

اخلمس مكان الوصل اجعل مغنام قلبي اآلخذ أهيا

: الرشححترك : خفق ، متتعي التذاذي: ، اجلامل : احلسن ، ايسكن حمل له صار : حل ، عرف : درى ، احلب : اهلوى ، ، واحر اشتد : محى ، الغزال الظيب:: بدورا ، مسلك ج: ، النار من شعلة قبس: ، العليل النسيم : الصبا ريح ، حمياه : غرر ، اهلالك : الغرر ، البعد النوى: ، حرارة : حر ، واضطراب: حرقي ، النفس مكان النفس: حمل ، اهلك اتلف: ، :لوامي عذويل ، ، الصلب احلجر : الصفا صم ، شاركتني طارحتين: ، ابث : أملي ، مكتملة اقامرااجزائي : احشائي ، الورد يغرسويزرع الذي املغترس: ، سكن : حل ، الناطق الشخصغري اخلرس: ، الومه : احلاه ، االنفاس اخر : رمقي ، حزين، عيناه : أحلاظه ، اجتنب : اتقي ، وخفقان حترك : اضطرام ، غنيمة مغنما: ، معروفا : معلما ، الغزال ابن : رشا ، تلتهبكاجلمر : تتلظى ، الداخلية

. واجلفاء الفراق اخلمس: ، ظهر : تبدىالظبيفمسكن ذكر أنه بام و هلا مكانا قلبه فجعل بقلبه استبدلمسكنها وانه هلا عنحبه تعرفحمبوبته هل : ويقول «هل» بقوله هنا الشاعر يستفهم •1

حمبوبته. مسكن عن يعرب املكنسالذي هو الظبي

تطفؤها ال فهي النار من بالشعلة تلعب التي كالريح وحترك خفقان يف وهو هلا وحبه شوقه كثر من حرارة يف انه ويقول قلبه الشاعر يصف االن •2وتلعبهبا. مشاعره حترك حمبوبته وايضا «لعبت» لقوله بخفة حترك فقط وانام

مجاهلن من اهنن ويقول ، عنه بعدهن عن ذلككناية ، وينادهين الفراق و البعد يوم الالئيخرجن اجلميالتاحلسناواتكالبدر الشاعر ينادي هنا •3. التهلكة طريق به يسلكن

فال النظر يبادهلا فقط وهو اجلامل تعطيه اهنا يقول كام حمبوبته عىل بعضاللوم يلقي وانام احلب هذا يف الوحيد املذنب ليس بأنه الشاعر يذكر هنا •4املشاعر. تبادله ال ذلكألهنا من اكثر يستطيع

باحلالوة. يشعر فيها فكر كلام إذ ، حمبوبته يف بتفكريه فقط الفؤاد حمطم وهو باحلالوة اللذاتويشعر هذه عىل حيصل بأنه هنا الشاعر يقول •5هذه فتضحم املرتفعة التلة عىل تسقط املتفجرةالتي كالسحابه بأنه ويقول يعانيه ما رغم تبتسم هي هلا يشكي عندما انه فيقول حزن يف الشاعر هنا •6

حمبوبته. بالتلة ويقصد عليها املطر االرضبنزول

عرس. يف كأهنا و كثرتسعادهتا من هي و املأتم وهو للحزن مكان يف كأنه و حزنه كثر من هو بأنه ويقول الشاعر يستكمل هنا •7هذا تشاركه من فقط فعيناه عينها اي مقلتاها ذلكعىل يرى فقط قلبه يف كاحلرقان الشديد وحزنه مشاعره اليها يبث عندما انه هنا الشاعر يقول •8

املرض.

ال الصخر يميشعىل عندما الذي بالنمل مشاعره ويشبه تبادله زالتال ما ولكنها انفاسه يتنفسآخر انه يقول انه حيث يأسه قمة يف الشاعر هنا •9مشاعره. فيها تظهر مل الذي الصخر وهي ابدا اثرا يرتك

أتلفتواخذت ما عىل يلومها ال بانه ويقول قلبه يف باقية يعتربها زال وما يأسه يكتمل هنا وايضا به قامت ما كل رغم حمبوبته الشاعر يشكر هنا •10اهلالك. طريق اىل به

هيتم ال اي ينطق ال كالذي يعتربه فإنه احد يلومه وعندما عادلة اعتربها فإنني ظلمتني كانت وان حتى ويقول عفيفة اهنا عىل يؤكد زال ما وهنا •11ألمره.

شدة عن كناية وهنا بداخله وسكنت النفس مكان اخذت بعدما يشء بأي يقوم ان يستطيع فال ، « يل «ليس قوله يف ضعفه الشاعر يوضح هنا •12جدا. مهمة له بالنسبة التنفسكذلكهي العيشبدون يستطيع ال االنسان ان بحيث هبا الشاعر تعلق

ولكنكال مجالك و تك رق من كالوردة وانت الورد يزرع كالذي فأنا املشاعر يل تبادلك حيرم الذي ما ويقول البيت هذا يف يتمنى «ليتشعري» •13بك. االهتامم كثري انني مع نتيجة اية يل تظهرين



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


. وقت كل يف تشتعل اهنا بحيث واحلزن احلرارة شدة من كالنار اصبحت احشاءه بأن يقول •14

قلبه. وداخل احشائه يف وحريق نار يف كأنه هو و تكرتثألمره مل ألهنا كالربد حمبوبته خدي هنا الشاعر يصف •15كحال ويداعبها منها يقرتب ان احد يستطع وال عليه وتتسلط فيه تتحكم اهنا بحيث كاألسد اهنا وهو حمبوبته حتملهام شيئان هنا الشاعر يتجنب •16

االم. الغزال من ارق ألنه الغزال ابن وذكر ومجاهلا رقتها ليبني الغزال كابن باهنا يقول ثم ، االسد

احلساد. اعني من حيرسها بالتايل ومجاهلا حسنها شدة وذلكمن اليها النظر يطيل ظهرتحمبوبته كلام انه هنا يقول •17

مناداهتا كثرة تعبمن قد الشاعر بأن نالحظ وهنا بالوصال والبعد الفراق مكان تبدل لكان غنيمة قلبي االخذ بأهيا حمبوبته الشاعر اخريا ينادي •18بالوصال. يأمرها ان اال يبق فلم له تستجب مل فهي والرقة باللني

الدارمي صعصعة بن غالب بن مهام واسمه العرصاألموي من شاعر 728م) / 110هـ - 658م / (38هـ الفرزدق الفرزدق.¤ .3.I §. «برأزده» بالفارسية الكلمة أصل و فرزدقة، واحدته الرغيفو ومعناها وجهه وجتهم لضخامة الفرزدق ي سم فراسو أبو كنيته و التميمي

اهلجاء. شعر و الفخر و املدح بشعر اشتهر متيم، لبني (الكويتحاليا) كاظمة يف الفرزدق ولدالغريبة. األلفاظ من الكثري الشعرالعريب يف ادخل وقد الشعرية األسلوبواجلودة بقوة شعره ويتميز

العربية﴾. ثلث لذهب الفرزدق شعر ﴿لوال : اللغة أهل يقولللفرزدق جرير رثاء

الفرزدق موت الدهر نكبات عىل ها هد و متيام أشجى لقد لعمري

معمق األرض ة هو يف جدث إىل بنعشه للفراق راحوا عشية

حملق السامء يف نجم كل إىل ينتمي كان من اللحد يف غادروا لقد

السملق الغشوم شيطان دامغ و مغرم كل عن األثقال حامل ثوى

منطق كل يف البذاخ ناطقها و ولساهنا كلها متيم عامد

موثق السالسل يف عان و جلار غالب ابن بعد األرحام لذوي فمن

ودردق ساغبني عيال أم و غالب ابن موت بعد ليتيم من و

حمنق حران صدر يشفي و يداه الدما حيقن ومن األرسى يطلق من و

مصدق و وفاء يف محوال كان و ثقله حتمل غال دم من كم و

تغلق مل أبوابه أتى ما إذا وسوقة مهام جبار حصن كم و

متلق أو دونه حجاب بغري لوجهه امللوك أبواب تفتح

مرشق و غرب كل يف مرض فتى ثوى إذ اجلن و اإلنس عليه لتبك

يرتقي واملجد اخلريات إىل كان و ة حج تسعني املجد يبني عاش فتى

مصعق غري صولة واد بحية وراءه خيلف مل حتى مات فام

. سنة : ة حج ، أطفال دردق: ، جائعني ساغبني: ، أسري : عان ، قرب جدث: ، أحزن : أشجىعنهم طالبريضاهللا أيب ابن عيل ابن احلسني ابن لعيل الفرزدق مدح

يتمكن مل األسود احلجر يستلم أن أراد بالبيتفلام فطاف الوليد أخيه و أبيه يفخالفة عبدامللكحج ابن هشام أن يفالسير تعاىل، اهللا رمحه كثري، روىابنطالبريضاهللا أيب ابن عيل ابن احلسني ابن عيل العابدين زين أقبل إذ كذلك هو فبينام ، حوله الشام أهل قام و جلسعليه و فاستلم منرب له نصب حتىأن خمافة ! أعرفه ال : فقال ؟ هذا من : هلشام الشام أهل فقال هيبة و احرتاما و إجالال احلجر) (عن الناسعنه تنحى ليستلمه احلجر من دنا فلام عنهم

: قائال الفرزدقإليه (أشار) فأومأ ؟ هو من و : فقالوا ! أعرفه أنا حارضا: كان و الفرزدق، فقال الشام أهل فيه يرغب



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


واحلرم واحلل يعرفه البيت و وطأته البطحاء تعرف الذي هذا

العلم الطاهر النقي التقي هذا كلهم اهللا عباد خري ابن هذا

ختموا قد اهللا أنبياء بجده جاهله كنت إن فاطمة، ابن هذا

والعجم أنكرت من تعرف العرب بضائره هذا؟ من قولك: ليس و

عدم يعرومها ال و يستوكفان، نفعهام عم غياث يديه كلتا

يم الش و اخللق حسن اثنان: يزينه بوادره ختشى ال اخلليقة، سهل

نعم عنده حتلو الشامئل، حلو افتدحوا إذا أقوام، أثقال محال

نعم الءه كانت التشهد لوال ده تشه يف إال ، قط ال قال: ما

العدم و اإلمالق و الغياهب عنها فانقشعت باإلحسان، ية الرب عم

الكرم ينتهي هذا مكارم إىل قائلها قال قريش رأته إذا

يبتسم حني إال يكلم فام مهابته من يغىض و حياء، يغيض

شمم عرنينه يف أروع، كف من عبق رحيه خيزران بكفه

يستلم جاء ما إذا احلطيم ركن راحته عرفان يمسكه يكاد

القلم لوحه يف له بذاك جرى عظمه و قدما، فه رش اهللا

نعم له أو هذا، ألولية رقاهبم يف ليست اخلالئق أي

األمم ناله هذا بيت من ين فالد ذا أولية يشكر اهللا يشكر من

القدم إدراكها عن و ، األكف عنها ت قرص التي الدين ذروة إىل ينمى

األمم له دانت أمته فضل و له األنبياء فضل دان ه جد من

الشيم و اخليم و مغارسه طابت نبعته اهللا رسول من مشتقة

الظلم إرشاقها عن تنجاب كالشمس غرته نور عن الدجى ثوب ينشق

معتصم و منجى قرهبم و كفر، بغضهم و دين، حبهم معرش من

الكلم به خمتوم و بدء، كل يف ذكرهم اهللا ذكر بعد م مقد

هم قيل: األرض؟ أهل خري من قيل: أو أئمتهم كانوا التقى أهل عد إن

كرموا إن و قوم، يدانيهم ال و جودهم بعد جواد يستطيع ال

حمتدم البأس و ى، الرش أسد األسد و أزمت أزمة ما إذا الغيوث، هم

عدموا إن و أثروا إن ذلك: سيان أكفهم من بسطا العرس ينقص ال

النعم و اإلحسان به ب يسرت و بحبهم البلوى و الرش يستدفع

اإلسالم. ظهور بعد أبوه أسلم ثم اجلاهلية املؤوداتيف يشرتي الفرزدق جد كاناألبيات: من ييل ما جلرير وهجائه الفرزدق فخر من وكان لسانه. وطالقة فصاحته منها فاستمد البادية يف الفرزدق تربى

وأطول أعز دعائمه بيتا لنا بنى السامء سمك الذي إن

ينقل ال فإنه السامء حكم بنى وما املليك لنا بناه بيتا



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


هنشل الفوارس وأبو وجماشع بفنائه حمتب زرارة بيتا

املثل اجلبال كأهنم بزوا احتبوا وإذا جماشع بيت يلجون

األفضل الفعال عد إذا أبدا مثلهم بيتك بفناء تبي حي ال

القمل لديه كأهنم زربا بيتها كليب جحرت هم عز من

املنزل الكتاب به عليك قىض و بنسجها العنكبوت عليك بت رض

جتعل طهية سلفي إىل من أم دارما تسامي هبم الذين أين

املشعل الكحيل هبا اجلامل جرب مشت كام احلديد حلق يف يمشون

ترحل ال مجاهلا باء الس حذر ترادفت النساء إذا املانعون و

أرعل السواعد له ختر ب رض نساءنا السيوف ط اخرت إذا حيمي

جحفل مخيس له امللوك خرق فوقه فق خي بالتاج ب معص و

وننهل صدورهن نعل منه نا أكف الرماح له تسوق ملك

تقتل امللوك برونقه عضب ه عض أو أسالتنا يف مات قد

البزل القروم خمافته، منه، خواضعا تظل قراسية لنا و

األعزل امك الس و الفراقد فيها عادية له قطم ط متخم

مقصل الفحولة ضغم إذا ناب شؤونه شجر حتت املناكب ضخم

يعدل ال الذي العدد له جمر، جاءين فقيم بني دعوت إذا و

املرسل اجلراد كأهنم موجا، دفاعها جاءين الربائع إذا و

عيطل نياف، مناكبها، صعب جرثومة عدويتي يف و هذا

ينزل ال ه عز بأغلب حويل، ختاطروا بالقروم اجم الرب إذا و

جندل و الفعال عدس أو سفيان هبا يميش ورايتي بذخت إذا و

األول يعد إذا واألكرمون حصاهم يعد إذا األكثرون

املنقل سد تقوم، حيث قدماك جتد مل و الطريق عتب عن زحلت و

املنهل خيلو إليه ، العيش ورد فتحينوا لغريكم، الزحام إن

بل نترس الوغى إىل السابغات و أهلنا يف لباسنا امللوك حلل

نجهل ما إذا جنا، ختالنا و رزانة اجلبال تزن أحالمنا

يتحلحل هل اهلضبات ذا ثهالن بناءنا، أردت إن بكفك، فادفع

املخول للمعم ضبة، آل يف إنني و األغر حنظلة ابن أنا و

يعقل خوف كل من إليهام و ذرامها السامء بلغ قد فرعان

أتسهل ال و به احلزون أعلو قديمهم ملثل هبم فخرت فلئن

األول الرئيس و قبيصة أبو و منهم زيد ابن و الفوارس زيد

دغفل والصحيفة، الشهادة عند رهطه فارق حني عشية أوىص



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


وأفضل الكرام حسب يف أتم و والدا خريا كان ضبة ابن إن

يتخول إليهم يكون من أو رهطه كليب بنو يكون ممن

القسطل عجاجتيها بني اخليل و تنازلوا مزيقياء ابن عىل هم و

ويعكل الرئيس إىل يشل نعام تداركوا األميل عىل الذين هم و

مكبل أخوه ، مقترس بصفاد يمينه إليه صفدوا قا حمر و

مكلل عليه تاج ا كالمه و ا قتلومه بزاخة يوم ملكان

توصل ال شؤونه فوق فوهاء، بة رض عامرة علوا الذين هم و

تشلل والركاب لضبة، واف هم رد األكابر، اقتسم إذا هم، و

خيذل ال ماجد ودعوة حسب، به وىف اللئام، غدر إذا جار،

تتزيل فراشه شؤون با رض ضاربوا املجلل اجلمل عشية و

األفضل الفعال ذو حبيش خايل إنني خالك؟ أين املراغة! ابن يا

ينقل جفنة حباء كان إليه و نفوسهم امللوك غصب الذي خايل

يتقمل أتانه خلف أبوك و قبيلة كل رأس لنرضب إنا

يشغل املكارم عن اللئيم إن بنوا وما الكرام حسب عن شغلت و

الفيصل أباك، دمغت التي هي و أبصاركم هبا فقئت التي إن

جرول و القروح ذو و يزيد أبو و مضوا إذ النوابغ يل القصائد وهب

ينحل ال كالمه امللوك حلل له كانت الذي علقمة الفحل و

األول ذاك الشعراء مهلهل و قتلنه هن و قيس، بني أخو و

يتمثل قوله قضاعة أخو و مرقش و ا، كالمه األعشيان، و

يتنحل قوله دؤاد أبو و مىض إذ عبيد أسد بني أخو و

املقول جد حني الفريعة ابن و ابنه و زهري سلمى أيب ابنا و

املجمل الكتاب قصائده من يل قبله برش كان و ، اجلعفري و

احلنظل جانبيه خالط كالسم منطقا أوس آلل ورثت لقد و

املعول فاة الص صدع كام صدعا، ورثته احلامس، أخو ، احلارثي و

أثقل عامية جبيل من هلن و متنها عن فا الص ضاحية يصدعن

اجلندل كأهنن فورثتهن وصية كتاهبن إيل دفعوا

األخطل الشآمي و هوازن أخو و بعدهم املسأور شاركني فيهن

األعزل اللئيم هلا يقوم خييل يكن مل و لبون حي غدانة بنو و

كلكل غدانة عىل مالكي من تنتهوا مل إن ، حق يا كن، فليرب

ل تنق أبيك سوى عاء اد مثل قصائدي جرير يا اسرتاقك إن

يتنحل قد أبيه غري العبد و دارم من عي يد املراغة ابن و



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


تعتل عطية إىل ترد حتى أباهم بناحليك الكرام ليس

ل حمو أبيك، عن لك، فام فاصرب بنى بام رضيت قد أنك زعمت و

ل دم أنفك كأن إليه، عبدا جعن لرت أبيك سوى رغبت لئن و

تفحل الفحولة من اللئيم إال تكن مل أمك أن بجريك أزرى

حتمل فيها وكنت خرجت منها بطنها يف مقرة اإلله قبح

يتنخل تارة و يعم، قوال فاستمع أمامة عىل بكيت وإذا

تسأل عام و ي خرب إىل فاسأل باهلا ما حبويت عن أسألتني

لل حت ال حبويت يمنع العز و تبوا حت أن منكم يمنع فاللؤم

يتحول ما أبيك، و مقعنسسا، يزل مل وعز أثبتها، اهللا و

أفضل و والداك لك بنى مما تكشفت احلروب إذا ، أعز جبيل

عل من كليب بني فوق علوت و ثنية كل عليك ارتفعت إين

ترحل عمودك إىل األتان حيث رأوا ما غدانة بني سألت هال

مستقبل مبني بفيك منها فشاهد األتان ثنيتك ت كرس

بالكويت. كاظمة منطقة يف كانتوفاته و ، م 728 املوافق هـ 110 سنة املائة، قارب قد و تويف

من يسمع ما حيفظ وكان غريه من نقلها قصيدة عىل الشاعر يعطي ال املنصور جعفر أبو العبايس اخلليفة كان األصمعي.¤ قصة .4.I §يؤلفها ، طويلة قصيدة يكتب الشاعر فكان ... مرات ثالثة سمعتها إذا القصيدة حتفظ جارية و مرتني سمعها إذا القصيدة حيفظ غالم وله ، مرة أولمل منقولك من كانت وإن ذهبا عليها كتبته الذي وزن أعطيناك قولك من كانت إن : اخلليفة له فيقول للخليفة يعرضها ثم ثالث أو وليلتني ليلة طولثم ... له فيقوهلا بعيد زمن منذ أحفظها أنني له فيقول ... مرة أول من اخلليفة فيحفظها اخلليفة مسامع عىل ويلقيها ... الشاعر فيوافق شيئا نعطكعليهايف ..فيشكالشاعر كاملة فتقوهلا أيضا ثالثمراتفحفظتها سمعتها قد التي اجلارية يناديعىل ثم كاملة فيذكرها أيضا الذيحفظها ذلكبالغالم يؤكدنؤلف نجلس له ويقولون ... حاهلم إليه فيشكون عليهم يقدم باألصمعي إذا كذلك هم فبينام الشعراء. كل فاكتأب .. الشعراء كل مع ..وهكذا نفسه... واملوضوعات األبيات ملونة فكتبقصيدة ... يل األمر دعوا : فقال ... قبلنا حيفظوهنا ثالثة نكتشفأن ثم أفكارنا بنيات من الليل طوال القصيدة

: األصمعي فقال القصيدة، هات : قال ! نعم : قال ؟ الرشوط أتعرف : اخلليفة فقال ... شعره ليسمعه األمري وأتى أعرايب بزي وتنكر

الثمل قلبي هيج البلبل صــفري صـوت

املقل حلظ زهر مـع معا والزهر املاء

يل وموىل وسيدي يل سيد يا أنت و

عقـيقيل ل غزي ني تيم فكـم فكـم

اخلـجل ورد لثم من وجـنة من قطفته

مهرول غدا وقــد ال ال ال ال ال فـقال

جل الر هذا فعل من طربا مالت اخلوذ و

يل ويل يا ويل ويل ولولت و فولولت

لـي ؤلؤ الل بيني و تولويل ال فقلت

بالنقل جد و إهنض كـذا حني له قالت



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


كالعسليل قهوة سقونني فتية و

القرنفل من أزكـى بأنفي شممتها

يل والرسور بالزهر حيل بستان وسط يف

لـي طب طبطب والطبل يل دنا دندن والعود

يل طبطب طبطب طب طبطب طب طبطب طب

يل طاب قد قص والر يل سق سقسق قف والس

صفرجل ورق عىل شـاهش و شـوى شـوى

ملل فــي ملل يصــيح القمري د غر و

أهزل محار علـى راكبا تراين لو و

العرنجل كمــشية ثالثة عىل يميش

قلل بالقل السوق يف مجيل ترجم الناس و

حويليل ومن خلفي كعكع كعكع الكل و

العقنقل خشية من هاربا مشيت لكــن

ل مبج مـعظم مـلك لقاء إىل

دميل م كالد محراء بخلعة يل يأمر

يل للذ مبغـددا ماشيا فيها أجر

املوصل أرض حي من األملعي األديب أنا

يل األدب عنها يعجز زخرفت قطـعا نظمت

البلبل صفري صوت مطلعها يف أقول

قال عندئذ فعجزت... اجلارية فنادى أبياتمتقطعة غري شيئا يستطع فلم الغالم فنادى ، وتداخلحروفها كلامهتا لصعوبة حيفظها أن اخلليفة يستطع فلمحيمله ال الناقة ظهر عىل وهو القصيدة عليه نقشت أيب من رخام عمود ورثت : األصمعي قال ... ذهبا وزنه لنعطيك عليها كتبته أحرضما : اخلليفةإال أظنه ال واهللا ! للحرسأوقفوه اخلليفة قال ... اخلروج أراد وعندما ... اخلزينة يف ما كل فوزن بالعمود وجئ اخلليفة فاهنار ... اجلنود من أربعة إالأمري يا قال أصمعي؟ يا املؤمنني بأمري ذلك أتفعل األمري فقال األصمعي. به فإذا لثامه األعرايب فأزال أعرايب. يا لثامك أمط األمري فقال ! األصمعيهو؟ فام األمري قال برشط. األصمعي قال أعده األمري قال أعيده. ال قال أصمعي يا املال أعد األمري قال هذا. بفعلك الشعراء قطعترزق قد املؤمنني

! تريد ما لك األمري قال ومقوهلم. نقلهم عىل الشعراء تعطي أن قال



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. علمية مذكرة •II

أولية.¤ عوامل جداء إىل 180 من األصغر األعداد حتليل .1.II §حتليله العدد حتليله العدد حتليله العدد حتليله العدد حتليله العدد5× 29 145 أويل 109 أويل 73 أويل 37 1 1

2× 73 146 2× 5× 11 110 2× 37 74 2× 19 38 أويل 2

3× 72 147 3× 37 111 3× 52 75 3× 13 39 أويل 3

22 × 37 148 24 × 7 112 22 × 19 76 23 × 5 40 22 4

أويل 149 أويل 113 7× 11 77 أويل 41 أويل 5

2× 3× 52 150 2× 3× 19 114 2× 6× 13 78 2× 3× 7 42 2× 3 6

أويل 151 5× 23 115 أويل 79 أويل 43 أويل 7

23 × 19 152 22 × 29 116 24 × 5 80 22 × 11 44 23 8

32 × 17 153 32 × 13 117 34 81 32 × 5 45 32 9

2× 7× 11 154 2× 59 118 2× 41 82 2× 23 46 2× 5 10

5× 31 155 7× 17 119 أويل 83 أويل 47 أويل 11

22 × 3× 13 156 23 × 3× 5 120 22 × 3× 7 84 24 × 3 48 22 × 3 12

أويل 157 112 121 5× 17 85 72 49 أويل 13

2× 79 158 2× 61 122 2× 43 86 2× 52 50 2× 7 14

3× 53 159 3× 41 123 3× 29 87 3× 17 51 3× 5 15

25 × 5 160 22 × 31 124 23 × 11 88 22 × 13 52 24 16

7× 23 161 53 125 أويل 89 أويل 53 أويل 17

2× 34 162 2× 32 × 7 126 2× 32 × 5 90 2× 33 54 2× 32 18

أويل 163 أويل 127 7× 13 91 5× 11 55 أويل 19

22 × 41 164 27 128 22 × 23 92 23 × 7 56 22 × 5 20

3× 5× 11 165 3× 43 129 3× 31 93 3× 19 57 3× 7 21

2× 83 166 2× 5× 13 130 2× 47 94 2× 29 58 2× 11 22

أويل 167 أويل 131 5× 19 95 أويل 59 أويل 23

23 × 3× 7 168 2× 61 132 25 × 3 96 22 × 3× 5 60 23 × 3 24

132 169 7× 19 133 أويل 97 أويل 61 52 25

2× 5× 17 170 2× 67 134 2× 72 98 2× 31 62 2× 13 26

32 × 19 171 33 × 5 135 32 × 11 99 32 × 7 63 33 27

22 × 43 172 23 × 17 136 22 × 52 100 26 64 22 × 7 28

أويل 173 أويل 137 أويل 101 5× 13 65 أويل 29

2× 3× 29 174 2× 3× 23 138 2× 3× 17 102 2× 3× 11 66 2× 3× 5 30

52 × 7 175 أويل 139 أويل 103 أويل 67 أويل 31

24 × 11 176 22 × 5× 7 140 23 × 13 104 22 × 17 68 25 32

3× 59 177 3× 47 141 3× 5× 7 105 3× 23 69 3× 11 33

2× 89 178 2× 71 142 2× 53 106 2× 5× 7 70 2× 17 34

أويل 179 11× 13 143 أويل 107 أويل 71 5× 7 35

22 × 32 × 5 180 24 × 32 144 22 × 33 108 23 × 32 72 22 × 32 36


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

علمية مذكرة .II ملحق 114

¤.1000 من األصغر األولية األعداد .2.II §59 53 47 43 41 37 31 29 23 19 17 13 11 7 5 3 2

97 89 83 79 73 71 67 61

181 179 173 167 163 157 151 149 139 137 131 127 113 109 107 103 101

199 197 193 191

293 283 281 277 271 269 263 257 251 241 239 233 229 227 223 211

397 389 383 379 373 367 359 353 349 347 337 331 317 313 311 307

499 491 487 479 467 463 461 457 449 443 439 433 431 421 419 409 401

599 593 587 577 571 569 563 557 547 541 523 521 509 503

691 683 677 673 661 659 653 647 643 641 631 619 617 613 607 601

797 787 773 769 761 757 751 743 739 733 727 719 709 701

887 883 881 877 863 859 857 853 839 829 827 823 821 811 809

997 991 983 977 971 967 953 947 941 937 929 919 911 907

235711

13 17

192329

313741

4

3475359

6167 71 73

7

9838997101

103

107109113

1271311371391

4915

1 157 163167

173179181191193

197

19921122322

722

92332392412512572

63269271

277 281 28329

33073113133173313373

47349

3533593673733793

83389397401409419421431

433

439443

449 457 461463

46

7479487491499503509521523

541547

55756356957157

758759

359960160761361761963164164

3647

653659

661 673 677 683691

701

70971972773373974375175776176

9773

787797809811821823

827829839

85385785986387788188388790791191

992993794

1 947953 967 971 977

983991

9

97



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

115 علمية مذكرة .II ملحق

األرقام.¤ .3.II §

الرومانية الأرقام الفارسية الأرقام الهندية الأرقام العربية الأرقام۰ ٠ 0

I ۱ ١ 1II ۲ ٢ 2III ۳ ٣ 3IV ۴ ٤ 4V ۵ ٥ 5VI ۶ ٦ 6VII ۷ ٧ 7VIII ۸ ٨ 8IX ۹ ٩ 9

العربية.¤ األعداد من يقابلها ما و الرومانية األعداد .4.II §

العريب العدد الروماين العدد العريب العدد الروماين العدد العريب العدد الروماين العدد

101 CI 10 X 0

200 CC 11 XI 1 I500 D 15 XV 2 II600 DC 20 XX 3 III1000 M 30 XXX 4 IV2014 MMXIV 40 XL 5 V5000 V 50 L 6 VI10000 L 60 LX 7 VII100000 C 90 XC 8 VIII1000000 M 100 C 9 IX

مربعا n2 إىل أ جمز ، n ضلعه طول ، مربع كل n × n الرتبة من سحريا مربعا نسمي طبيعيا. عددا n ليكن مربعاتسحرية.¤ .5.II §كل يف جمموعها يكون و مثنى مثنى خمتلفة األعداد هذه تكون بحيث 1, 2, 3, · · · , n املجموعة من طبيعي عدد عىل حيتوي صغري مربع كل و صغريا

. املربع) السحري(هلذا يسمىاملجموع املجموع هذا . ثابتا عددا يساوي و نفسه القطرين يف و عمود كل يف و سطر

: أمثلة

17 24 8 15 114 5 16 7 236 22 13 4 203 19 10 21 1225 11 2 18 865 هو السحري املجموع

12 6 15 113 3 10 82 16 5 117 9 4 1434 هو السحري املجموع

6 7 21 5 98 3 4

15 هو السحري املجموع

n×(n2 + 1

)2

هو n× n الرتبة من سحري ملربع السحري املجموع



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


30 38 46 5 13 21 2239 47 6 14 15 23 3148 7 8 16 24 32 401 9 17 25 33 31 4910 18 26 34 42 43 219 27 35 36 44 3 1128 29 37 45 4 12 20


6 35 34 3 32 125 26 10 9 29 1218 23 21 22 14 1319 17 15 16 20 247 8 27 28 11 3036 2 4 33 5 31


2 11 12 13 77 78 79 81 166 18 27 26 61 62 65 28 767 59 30 35 51 53 36 23 758 58 32 38 45 40 50 24 7473 57 49 43 41 39 33 25 972 22 48 42 37 44 34 60 1068 19 46 47 31 29 52 63 1467 54 55 56 21 20 17 64 1566 71 70 69 5 4 3 1 80


¤.π العدد .6.II §

π ≃ 3.1415926535 89793238462 6433832795 0288419716 9399375105 8209749445 9230781640

6286208998 62803482534 2117067982 1480865132 8230664709 3844609550 5822317253

5940812848 11174502841 0270193852 1105559644 6229489549 3038196442 8810975665

9334461284 75648233786 7831652712 0190914564 8566923460 3486104543 2664821339

3607260249 14127372458 7006606315 5881748815 2092096282 9254091715 3643678925

9036001133 05305488204 6652138414 6951941511 6094330572 7036575959 1953092186

1173819326 11793105118 5480744623 7996274956 7351885752 7248912279 3818301194

9129833673 36244065664 3086021394 9463952247 3719070217 9860943702 7705392171

7629317675 23846748184 6766940513 2000568127 1452635608 2778577134 2757789609

1736371787 21468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611

2129021960 86403441815 9813629774 7713099605 1870721134 9999998372 9780499510

5973173281 60963185950 2445945534 6908302642 5223082533 4468503526 1931188171

0100031378 38752886587 5332083814 2061717766 9147303598 2534904287 5546873115

9562863882 35378759375 1957781857 7805321712 2680661300 1927876611 1959092164

2019893809 52572010654 8586327886 5936153381 8279682303 0195203530 1852968995

احلرارة.¤ درجات حتويل .7.II §.C =

F − 32

1.8: (Celsius) املئوية الدرجات إىل (Fahrenheit)الفهرهنايت من احلرارة درجة لتحويل •

. F = 1.8C + 32 : (Fahrenheit)الفهرهنايت إىل (Celsius) املئوية الدرجات من احلرارة درجة لتحويل •



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

117 علمية مذكرة .II ملحق

الوحدات.¤ حتويل جدول .8.II §

نرضبيف إىل لتحويل

2.54 (cm) السنتيمرت [(”) أو (in) [رمزه ؛ (pouce أو inch) البوصة25.4 (mm) املليمرت [(”) أو (in) [رمزه ؛ pouce أو inch البوصة107 erg [(J) [رمزه ؛ (joule) اجلول

0.239006 [(cal) [رمزه ؛ (calorie) احلريرة (joule) اجلول103 [g [رمزه ؛ (gramme) الغرام [kg [رمزه ؛ (kilogramme) الكيلوغرام

2.20462 pound [kg [رمزه ؛ (kilogramme) الكيلوغرام103 [(m) [رمزه ؛ (mètre) املرت [(km) [رمزه ؛ (kilomètre) الكيلومرت

3280.84 [(ft) [رمزه ؛ (foot أو pied) القدم [(km) [رمزه ؛ (kilomètre) الكيلومرت0.621371 (mile) امليل [(km) [رمزه ؛ (kilomètre) الكيلومرت0.621371 (mph (mile/hأو ميل\ساعة (km/h) كيلومرت\ساعة

103 (cm3) مكعب السنتيمرت (litre) الليرت61.0237 (in3) مكعب بوصة (litre) الليرت1010 [(A) [رمزه ؛ (angstrom) األنغشرتوم [(m) [رمزه ؛ (mètre) املرت

3.28084 [(ft) [رمزه ؛ (foot أو pied) القدم (m) [رمزه ؛ (mètre) املرت10−4 (cm) السنتيمرت [(µ) [رمزه ؛ (micron) امليكرون5280 [(ft) [رمزه ؛ (foot أو pied) القدم (mile) امليل

1.60934 [(km) [رمزه ؛ (kilomètre) الكيلومرت (mile) امليل

(العاملي).¤ املرتي النظام .9.II §

الوحداتاألخرى ها رمز املعتمدة الوحدة املقدار

أساسية وحدة m املرت الطولأساسية وحدة s الثانية الزمنأساسية وحدة kg الكيلوغرام الكتلةأساسية وحدة K (Kelvin) الكلفن احلرارةأساسية وحدة A (Ampère) األمبري الكهربائي التيار شدةkg · m · s−2 N (Newton) النيوتن القوة

m3 L الليرت (السعة) احلجمkg · m2 · s−2 J (Joule) اجلول الطاقةkg · m2 · s−3 W (Watt) الواط (القدرة) اإلستطاعة

s−1 Hz (Hertz) اهلريتز FrequencyA · s C (Coulomb)الكولومب الشحنة

C2 · s2 · kg−1 · m−2 F (Farad) الفاراد Capacitancekg · A−1 · s−2 T (Tesla) التيسال التحريضاملغناطييس



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي


املرت.¤ مضاعفات و أجزاء .10.II §التحويل رمزه مقداره اجلزء/املضاعف

1 Em = 1000000000000000 m Em 1015 m (pétamètre) البيتامرت

1 Pm = 1000000000000 m Pm 1012 m (téramètre) التريامرت

1 Gm = 1000000000 m Gm 109 m (gigamètre) اجليغامرت

1 Mm = 1000000 m Mm 106 m (megamètre) امليغامرت

1 km = 1000 m km 103 m (kilomètre) الكيلومرت

1 hm = 100 m hm 102 m (hectomètre) اهليكتومرت

1 dam = 10 m dam 101 m (décamètre) الديكامرت

1 dm = 0.1 m dm 10−1 m (décimètre) الدسيمرت

1 cm = 0.01 m cm 10−2 m (centimètre) السنتيمرت

1 mm = 0.001 m mm 10−3 m (millimètre) املليمرت

1µm = 0.000001 m µm 10−6 m (micromètre) امليكرومرت

1 nm = 0.000000001 m nm 10−9 m (nanomètre) النانومرت

1 pm = 0.000000000001 m pm 10−12 m (picamètre) البيكامرت

اليونانية.¤ احلروف .11.II §Majuscule Minuscule Appellation Correspondance latine

A α alpha aB β bêta bΓ γ gamma g∆ δ delta dE ϵ , ε epsilon e (bref)Z ζ dzêta dzH η êta e (long)Θ θ , ϑ thêta t (aspiré)I ι iota iK κ kappa kΛ λ lambda lM µ mu mN ν nu nΞ ξ ksi ksO o omicron o (bref, fermé)Π π , ϖ pi pP ρ , ϱ rhô rΣ σ , ς sigma sT τ tau tΥ υ upsilon uΦ ϕ , φ phi p (aspiré)X χ khi (ou chi) k (aspiré)Ψ ψ psi psΩ ω omega o (long, ouvert)



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

..

.. Français / English •III

§ III.1. Cardinal and ordinal numbers / Nombres cardinaux et ordinaux.¤Cardinal numbers Les nombres cardinaux Ordinal numbers Les nombres ordinaux

0 nought zéro1 one un(e) first premier(-ière)2 two deux second deuxième3 three trois third troisième4 four quatre fourth quatrième5 five cinq fifth cinquième6 six six sixth sixième7 seven sept seventh septième8 eight huit eighth huitième9 nine neuf ninth neuvième10 ten dix tenth dixième11 eleven onze eleventh onzième12 twelve douze twelfth douzième13 thirteen treize thirteenth treizième14 fourteen quatorze fourteenth quatorzième15 fifteen quinze fifteenth quinzième16 sixteen seize sixteenth seizième17 seventeen dix-sept seventeenth dix-septième18 eighteen dix-huit eighteenth dix-huitième19 nineteen dix-neuf nineteenth dix-neuvième20 twenty vingt twentieth vingtième21 twenty-one vingt et un twenty-first vingt et unième22 twenty-two vingt-deux twenty-second vingt-deuxième23 twenty-three vingt-trois twenty-third vingt-troisième24 twenty-four vingt-quatre twenty-fourth vingt-quatrième30 thirty trente thirtieth trentième31 thirty-one trente et un thirty-first trente et unième32 thirty-two trente-deux thirty-second trente-deuxième40 fourty quarante fourtieth quarantième50 fifty cinquante fiftieth cinquantième60 sixty soixante sixtieth soixantième70 seventy soixante-dix seventieth soixante-dixième80 eighty quatre-vingt(s) eightieth quatre-vingtième81 eighty-one quatre-vingt-un eighty-first quatre-vingt-unième90 ninety quatre-vingt-dix ninetieth quatre-vingt-dixième99 ninety-nine quatre-vingt-dix-neuf ninety-ninth quatre-vingt-dix-

neuvième


..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

English / Français .III باب 120

100 a (or one) hundred cent hundredth centième101 a hundred and one cent un hundred and first cent unième102 a hundred and two cent deux hundred and second cent deuxième110 a hundred and ten cent dix hundred and tenth cent dixième181 a hundred and eighty-

onecent quatre-vingt-un hundred and eighty-

firstcent quatre-vingt-unième

200 two hundred deux cents two hundredth deux centième201 two hundred and one deux cent un two hundred and first deux cent unième202 two hundred and two deux cent deux two hundred and se-

conddeux cent deuxième

300 three hundred trois cents three hundredth trois centième400 four hundred quatre cents four hundredth quatre centième500 five hundred cinq cents five hundredth cinq centième600 six hundred six cents six hundredth six centième700 seven hundred sept cents seven hundredth sept centième800 eight hundred huit cents eight hundredth huit centième900 nine hundred neuf cents nine hundredth neuf centième1000 a (or one) thousand mille thousandth millième1001 a thousand and one mille un thousand and first mille unième1002 a thousand and two mille deux thousand and second mille deuxième2000 two thousand deux mille two thousandth deux millième10000 ten thousand dix mille ten thousandth dix millième100000 a (or one) hundred

thousandcent mille hundred thousandth cent millième

1000000 a (or one) million un million millionth millionième2000000 two million deux millions two millionth deux millionième

Notes on usage of the cardinal numbers Remarques sur les nombres cardinaux

1• To divide the larger numbers clearly, a space is used in 1• Alors qu’un espace est utlisé en français pour séparerFrench where English places a comma (,) (This does les centaines des milliers, l’anglais utilise la virgule (,)not apply to dates, see below) : à cet effet (Cette règle ne s’applique pas aux dates,

voir ci-après) :English 1,000 Français 1 000English 2,354,691 Français 2 354 691

2• 1 000 000 : In French, the word million is a noun, so 2• En anglais, le mot million (ainsi que mille et cent)the numeral takes de when there is a following noun : n’est pas suivi de of lorsqu’il accompagne un nom :

un million de fiches. a million people.trois millions de maisons détruites. a hundred houses.

3• One, and the other numbers ending in one, agree in a thousand people.French with the noun (stated or implied) :une maison, un employé, il y a cent et une personnes,mille et une nuits.

Notes on usage of the ordinal numbers Remarque sur les nombres ordinaux

1• Abbreviations : English 1st, 2nd, 3rd, 4th, 5th and so 1• Abbreviations : Français 1er, 1re, 2e, 3e, 4e, 5e, etc.on.

2• First, and the other numbers ending in first, agree inFrench with the noun (stated or implied) :La première maison, le premier employé, la centunième personne.



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

121 English / Français .III باب

§ III.2. Fractions / Fractions.¤Fractions Fractions

one half, a half 12 un demi, une demie

one and a half helpings 112 une portion et demie

two and a half kilos 12 deux kilos et demi

one third, a third 13 un tiers

two thirds 23 deux tiers

one quarter, a quarter 14 un quart

three quarters 34 trois quarts

one sixth, a sixth 16 un sixième

five and five sixth 556 cinq et cinq sixième

one twelfth, a twelfth 112 un douzième

seven twelfth 712 sept douzièmes

one hundredth, a hundredth 1100 un centième

one thousandth, a thousandth 11000 un millième

§ III.3. Decimals / Les décimales.¤In French, a comma (,) is written where English usesa point (period) :

Alors que le français utilise la virgule (,) pour séparerles entiers des décimales, le point (.) est utilisé enanglais à cet effet :

English Français3.56 (three point five six) = 3,56 (trois virgule cinquante-six).07 (point nought seven) = 0,07 (zéro virgule zéro sept)

§ III.4. Nomenclature / Numération.¤3,684 is a four digit number. 3 684 est un nombre à quatre chiffres.It contains 4 units, 8 tens, 6 hundreds and 3 thousands. 4 est le chiffre des unités, 8 celui des dizaines, 6 celui des

centaines et 3 celui des milliers.The decimal .234 contains 2 tenths, 3 hundredths and 4thousandths.

Le nombre décimal 0,234 contient 2 dixièmes, 3 centièmeset 4 millièmes.

§ III.5. Percentages / Les pourcentages.¤2 12% two and a half per cent. 2 1

2% deux et demi pour cent.18% of the people here are over 65. Ici dix-huit pour cent des gens ont plus de soixante-cinq ans.Production has risen by 8% . La production s’est accrue de huit pour cent.

§ III.6. Signs / Les signes.¤addition sign + signe plus, signe de l’additionplus sign (e.g. +7 = plus seven) + signe plus (ex. : +7 = plus sept)substraction sign − signe moins, signe de la soustractionminus sign (e.g. −3 = minus three) − signe moins (ex. : −3 = moins trois)multiplication sign × signe de la multiplicationdivision sign ÷ signe de la divisionsquare root sign √ signe de la racine carrée



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

English / Français .III باب 122

infinity ∞ symbole de l’infinisign of identity, is equal to ≡ signe d’identitésign of equality, equals = signe d’égalitésign of inequality, is not equal to = signe de non-égalitéis greater than > est plus grand queis less than < est plus petit que

§ III.7. Calculation / Le calcul.¤• 8+ 6 = 14 eight and (or plus) six are (or make) fourteen • 8+ 6 = 14 huit et (ou plus) 6 font (ou égalent) quatorze• 15 − 3 = 12 fifteen taken away (or fifteen minus) threeequals twelve, three from fifteen leaves twelve

• 15−3 = 12 trois ôté de quinze égale douze, quinze moinstrois égale douze

• 3× 3 = 9 three threes are nine, three times three is nine • 3 × 3 = 9 trois fois trois égale neuf, trois multiplié partrois égale neuf

• 32÷ 8 = 4 thirty-two divided by eight is (or equals) four • 32÷ 8 = 4 trente-deux divisé par huit égale quatre• 32 = 9 three squared is nine • 32 = 9 trois au carré égale neuf• 25 = 32 two to the power of five (or two to the fifth) is(or equals) thirty-two

• 25 = 32 deux à la puissance cinq égale trente-deux

•√16 = 4 the square root of sixteen is four •

√16 = 4 la racine carrée de seize est quatre

§ III.8. Time / L’heure.¤2 hours 33 minutes and 14 seconds deux heures trente-trois minutes et quatorze secondeshalf an hour une demi-heurea quarter of an hour un quart d’heurethree quarters of an hour trois quarts d’heurewhat’s the time ? quelle heure est-il ?what time do you make it ? quelle heure avez-vous ?have you the right time ? avez-vous l’heure exacte ?I make it 2.20 d’après ma montre il est 2 h 20my watch says 3.37 il est 3 h 37 à ma montreit’s 1 o’clock il est une heureit’s 2 o’clock il est deux heuresit’s 5 past 4 il est quatre heures cinqit’s 10 to 6 il est six heures moins dixit’s half past 8 il est huit heures et demieit’s a quarter past 9 il est neuf heures et quartit’s a quarter to 2 il est deux heures moins le quartat 10 a.m. à dix heures du matinat 4 p.m. à quatre heures de l’après-midiat 11 p.m. à onze heures du soirat exactly 3 o’clock, at 3 sharp, at 3 on the dot à trois heures exactement, à trois heures précisesthe train leaves at 19.32 le train part à dix-neuf heures trente-deux(at) what time does it start ? à quelle heure est-ce que cela commence ?it is just after 3 il est trois heures passéesit is nearly 9 il est presque neuf heuresabout 8 o’clock aux environs de huit heuresat (or by) 6 o’clock at the latest à six heures au plus tardhave it ready for 5 o’clock tiens-le prêt pour 5 heures



..

0.

داحلقعب وس

فرق

.


لهغالاست

منعي

123 Français / English .III باب

it is full each night from 7 to 9 c’est plein chaque soir de 7 à 9“ closed from 1.30 to 4.30 ” fermé de 13 h 30 à 16 h 30 until 8 o’clock jusqu’à huit heuresit would be about 11 il était environ 11 heures, il devrait être environ 11 heuresit would have been about 10 at midnight il devait être environ dix heures à minuitbefore midday, before noon avant midi

§ III.9. Dates / Les dates.¤NB The days of the week and the months start with asmall letter in French : lundi, mardi, février, mars.

N.B. Les jours de la semaine et les mois prennent unemajuscule en anglais : Monday, Tuesday, February, March.

the 1st of July, 1 July le 1er juilletthe 2nd of May, 2 May le 2 maion 21 June, on the 21st (of) June le 21 juinon Monday lundihe comes on Mondays il vient le lundi“ closed on Fridays ” fermé le vendredi he lends it to me from Monday to Friday il me le prête du lundi au vendredifrom the 14th to the 18th du 14 au 18what’s the date ? what date is it today ? quelle est la date d’aujourd’hui ? quel jour sommes-nous

aujourd’hui ?today’s the 12th (aujourd’hui) nous sommes le 12one Thursday in October un jeudi en octobreabout the 4th of July, about 4 July aux environs du 4 juillet1978 nineteen (hundred and) seventy-eight mille neuf cent soixante-dix-huit, dix-neuf cent soixante-

dix-huit4 BC, BC 4 4 av. J.-C.70 AD, AD 70 70 apr. J.-C.in the 13th century au XIIIe sièclein (or during) the 1930s dans (ou pendant) les années 30in 1940 something en 1940 et quelques

f • • •

