®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2007/08 mez, 2007/08 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)

Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn

III. Campo elIII. Campo elééctrico y ctrico y conductoresconductores

MMéétodo de las imtodo de las imáágenesgenes

2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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el C

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Góó m

ez,

07/0

8m

ez,

07/0

8

Π0φ (z≤0)=0

P1

q1=−q

: z=0

n=uzE+(PN)

E(r)

σe(r')

P(x,y,z>0)Z

O

a

ε0

SoluciSolucióón al problema n al problema (en (en z z >> 0)0)principio de superposición:•suma de potenciales creados por todas las cargas eléctricas

Planteamiento del problemaPlanteamiento del problemacarga puntual (q1 < 0), sobre plano

conductor Π0 (indefinido) • Π0 es conductor de referencia

formulación del problema en z > 0:

• condiciones de contorno:

Fuentes escalares del campoFuentes escalares del campocarga puntual q1=−q en P1:• su campo E radial no satisface por sísolo las condiciones de contorno en Π0

distribución σe(r') inducida en Π0: z=0+

•desconocida hasta obtener φ(r)

( )21

0

) ( - );( qδ

−= −

ε∇ φ r rr

( )0 0; lim ) 0(z→∞

= = =φ φr

r

1 za=r u

( )0 0( )P

P n +

′′ε = −ε ∂φ ∂⋅ +n E( )e P′σ =

PN0

=−Lφ(r)

Sistema carga Sistema carga puntualpuntual——planoplano conductorconductor

( )0 1

)4 -

(q−

=πε

φr r

r0

0

( )-

14

e dSσ

Π

′ ′

′πε ∫ rr r

+¿¿ ?

3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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ez,

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8

Planteamiento del problemaPlanteamiento del problemados cargas puntuales opuestas•simétricas respecto de Π0: z=0

formulación del problema:

•condición de contorno:

SoluciSolucióón para el potencialn para el potenciallas cargas son las fuentes del campo:

superficies equipotenciales:• casi−esféricas, excéntricas:• puntos equidistantes a las cargas:

0 2 1

1 1

- -4) ;( q

−πε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ϕ

r r r rr

3

,

OPP=

∀ ∈r

( )

( )0

0

12

2

( - ); 0

( - ); 0)(

q z

q z

δ

δ

ε >

− ε <

⎧⎪= ⎨⎪⎩

∇ ϕr r

r rr

)lim ( 0→∞

=ϕr

r PN∈Π0

a

a

d

d

P1

q1=−q

P2q2=q

Σj:ϕ (r)=−V

Σk:ϕ (r)=V

Σ0:ϕ(rN)=0

Z

O

ε02 1 2 1 1 2; 2 zq q q P P a= − = − == r r u

Σi: ϕ(r)=Vi , cte.

Sistema de dos cargas puntuales opuestasSistema de dos cargas puntuales opuestas

Π0 ≡Σ0: ϕ(z=0)=0

4Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Σ0:ϕ(rN)=0

Σj:ϕ(r)=−V

Σk:ϕ(r)=V

PN0OXY

φ(z≤0)=0

a

Σj:φ(r)=−V

Z

O

ε0

P1

Problemas equivalentesProblemas equivalentesambos problemas tienen idéntica

ecuación diferencial en z > 0…

•…e idénticas cond. de contorno en elplano Π0: z=0 y en el infinito:

Teorema de unicidadTeorema de unicidad¡¡soluciones idénticas en z > 0!!

•potencial creado por distribución σe(Π0):

2 211

0) ) ( - ); ( ( z

q aδ == = ε∇ ∇φ ϕ r ur rr r

( ) ) )0 ( (0; lim , 0 z z→∞

= = 0= ϕ( ) = =φ φ ϕr

r r

σe(r')P(x,y,z>0)

¿φ(r)?

PN0 Π0: z=0

Z

a

a

P1

P2

O

ε0

q2=q

q1=−q

=−q1

Equivalencia de los sistemas en Equivalencia de los sistemas en zz≥≥00

0 2 1

1 14 - -

) ;( q−

πε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ϕ

r r r rr

2 1 0( , , 0); OP x y z= > = − ⊥ Πr r r

)( =φ r

0 0

( )14 -

e dSσ

Π

′ ′

′πε ∫ rr r 0 24 -

qπε

=r r

q1=−q

5Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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ρeim(r'im)

τim

Problema generalProblema generaldistribución de carga ρe(r') en región τf

y plano conductor Π0 a potencial cero• σe(r') distribución de carga inducida en Π0

MMéétodo de las imtodo de las imáágenesgenesρe

im(τim) es imagen eléctrica de ρe(τf ):

la contribución de σe(Π0) al potencial en z > 0 es idéntica a la de ρe

im(τim)

( , , ) ( , , )ime ex y z x y z′ ′ ′ ′ ′ ′− = −ρ ρ

0 00

( ) ( )- -

1 1( )4 4

e e

f

d dS

τ

τ σ

Π

′ ′ ′ ′ρ′ ′

= +πε πε

φ ∫ ∫r rr r r r

r ¿¿ ?

( , , 0)OP x y z= >r

ε0

ρe(r')

τf Z

n=uz

OΠ0: z=0φ (z≤0)=0

P(x,y,z>0)φ(r)

σe(r')

P'(x',y',z')

dq

P'im(x',y',−z')−dq

Π0:φ(r)=0 ¿ ?

MMéétodo de las imtodo de las imáágenes para plano conductorgenes para plano conductor

0

( )( )

- -1( )

4e

f im

ime dd

τ τ

ττ ′′ ′′ ρρ′ ′

⎧ ⎫⎪= +⎨ ⎬πε ⎪ ⎭⎩φ ∫ ∫ rr

r r r rr

( , , 0)OP x y z= >r

6Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Problema Problema ““exteriorexterior””carga puntual (q2> 0) en exterior de

sup. esférica conductora Σ0: r=R0 a potencial ceroformulación del problema en |r|> R0:

ε0

R0

τ0 ¿φ (r >R0)?

d2

P2 q2O

φ(r <R0)=02 2

20

) ( - );( q δ= −ε

∇ φ r rr

2 2 2 0; ;OP OP d R= = >2r

0( ) 0r R+= =φ

φ(r >R0)=0

τ0

O

Mτ0 =Σ0:φ (r=R0)=0

P1

q1

R0

ε0

d1

¿φ (r <R0)?

Problema Problema ““interiorinterior””carga puntual (q1< 0) en interior de

sup. esférica conductora Σ0: r=R0 a potencial ceroformulación del problema en |r|< R0:

2 11

0

) ( - );( q δ= −ε

∇ φ r rr 0( ) 0r R−= =φ

1 1 1 0;OP OP d R= = <1r

lim ) 0(→∞

=φr

r

¿σe(Σ 0−)?

¿σe(Σ 0+)?

M. imM. imáágenes para superficie esfgenes para superficie esféérica conductora (I) rica conductora (I)

7Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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Góó m

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07/0

8m

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07/0

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a

a

O

ε0

PN0OXY

P1

q1

P2q2 Σk:ϕ (r)=Vk

P0(0,0,z0)

Σ0:ϕ (r)=0

Z

Sistema de cargas asimSistema de cargas asiméétricastricasdos cargas puntuales de distinto signo

y magnitud:

formulación del problema…

SoluciSolucióón para el potencialn para el potenciallas cargas son las fuentes del campo…

superficies equipotenciales…• NO esféricas, en general:• sup. esférica para potencial nulo…

2 1 1 2 2 zP P a− == r r u0< λ = −(q1/q2) <1;

2 1 1 2 2

0

( - ) ( - )) ;( q qδ δ+= −

ε∇ ϕ r r r rr lim ) 0(

→∞=ϕ

rr

0 2 1

14 - -

) ;( q λπε

−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ϕr r r r

r3 P

OP∀ ∈

=r

Σk: ϕ(r)=Vk≠0

Σ0: ϕ(r)=0 2 2 2 20 0 0 : ( ) ;x y z z RΣ + + − = 2

2

0 02

21

(1 ) ; =(1 )

az a R λλ

λλ −

+=

−

M. imM. imáágenes para superficie esfgenes para superficie esféérica conductora (II)rica conductora (II)

8Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) III. Campo en) III. Campo ellééctrico y conductoresctrico y conductores

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8m

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07/0

8

φ(r)=0τ0

P0=O

Mτ0 =Σ0:φ (r)=0

R0

ε0

τ0

P2

q2

+

d2

Σj:φ (r)=Vj

d2P2

q2

P1

q1

R0

ε0

d1

Σj:φ (r)=Vj

P0=O

φ(r)=0

Equivalencia de sistemasEquivalencia de sistemaslos sistemas “carga puntual+sup.

esférica” equivalen al de “cargas asimétricas” sustituyendo Mτ0 por una carga imagen tal que…

201 11 2 0

2 0 2

= ; Rq d d d Rq R d

λ − = = =

SoluciSolucióón mn méétodo de imtodo de imáágenesgenespara problema “interior”…

para problema “exterior”…

0

2

2 14 - -

1) ;( q λ

πε−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

φr r r r

r( )

0

2 21 0 2 2

R

R d

>

=

⎧⎪⎨⎪⎩

r

r r

0

1

1 24 - -

1 1) ;( q

πε

λ−=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

φr r r r

r( )

0

2 22 0 1 1

R

R d

<

=

⎧⎪⎨⎪⎩

r

r r

σe(Σ 0−)

σe(Σ 0+)

d1 P1

q1-

M. imM. imáágenes para superficie esfgenes para superficie esféérica conductora (III)rica conductora (III)