ii-taller de arte y geometria -...

Badillo, E.; Edo, M. (2005). «Taller de arte y geometria I: Documentación para el taller», Desarrollo Curricular. Estrategias e Instrumentos. En: Tomás, C. y Casas, M. (coord.). Educación Primaria. Orientaciones y Recursos (6-12 años). Barcelona: CISSPRAXIS CD-Rom, 35 pàg.

II. TALLER DE ARTE Y GEOMETRÍA:DOCUMENTACIÓN PARA EL TALLER1

Edelmira Badillo y Mequè Edo i Basté

• Actividad 1. Familiarización e introducción al tema• Actividad 2. Definición de ángulo. Construcción• Actividad 3. Definición de ángulo. Aplicación• Actividad 4. Construcción y medida de ángulos• Actividad 5. Construcción de producciones artísticas• Actividad 6. Operación con ángulos: suplementarios• Actividad 7. Operación con ángulos: complementarios• Actividad 8. Resolución de problemas de operaciones con ángulos• Actividad 9. Resolución de problemas de aplicación• Actividad 10. Resolución de problemas: ampliación y evaluación

PRAXIS 1

1. Estos instrumentos que a continuación reproducimos están relacionados con la experiencia «Taller deArte y Geometría en el ciclo superior de Primaria: Ángulos» de esta obra.

Taller de arte y geometría

PRAXIS 2

ACTIVIDAD 1. Familiarización e introducción al tema

1.1. Comentamos la imagen de las figuras 1 y 2

a) ¿Cuando observamos esta imagen (v. figura 1), ¿qué palabras relacionadas con la Geo-metría te vienen a la cabeza?, es decir, ¿qué elementos geométricos identificas?

b) ¿Cómo son las líneas? ¿Ves diferentes tipos de líneas? ¿Cuáles? ¿Puedes definirlas o expli-carlas con tus palabras?

c) ¿Qué forman las líneas cuando se cortan o se tocan o se interceptan?

d) ¿Podéis explicarlo con vuestras palabras o definir lo que es un ángulo?

e) ¿Puedes identificarlos en el cuadro? ¿Qué partes crees que tiene un ángulo?

f) ¿Ves diferentes tipos de ángulos? ¿Cuáles? ¿Podrías enumerarlos? ¿Puedes explicar o defi-nir con tus palabras cada uno de ellos?

g) ¿Cómo podemos explicar, comprobar o demostrar que un ángulo es de un tipo o de otro,por ejemplo que uno es mayor que otro o más pequeño que otro o iguales?

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Figura 1

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1.2. Conoce a Paul Klee y su obra:

Título de la obra estudiada: Batalla armonizada (1937)Autor: Paul Klee (1879-1940)Técnica: Acuarela y tinta negra Lugar de exposición: Galery

1.3. Investigación:

a) Rasgos de la vida y obra del autor (Paul Klee).b) Otras obras de arte del mismo autor que permitan estudiar ángulos.c) Proponer y justificar a otros pintores y obras concretas que nos ayuden a estudiar este

tema: ángulos, tipos de ángulos, etc.

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ACTIVIDAD 2. Definición de ángulo

FASE I. Definición individual

1. En el cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, encuentra un ángulo agudo, un ángulo obtu-so, un ángulo recto, un ángulo plano, un ángulo completo, y justifica el procedimiento quehas utilizado para seleccionarlos.

2. Ahora responde a estas preguntas:

a) ¿Qué es para ti un ángulo?

b) ¿Qué partes tiene un ángulo?

c) ¿Cuántos tipos de ángulos conoces?

d) ¿Puedes enunciarlos y representarlos?

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OFASE II. Confrontación entre iguales

Sois editores de un libro y tenéis que redactar una página con la definición del concepto deángulo y tipos de ángulos que presentaréis en una transparencia. Sugerencia: partiendo devuestras definiciones, podéis incorporar nuevas ideas utilizando otras definiciones de libros detexto. Por ejemplo, las siguientes:

Libro 1: Editorial Edebe

Libro 2: Editorial VIcens Vives

Recuerda que las rectas que se cortan en unpunto se llaman secantes.Dos rectas secantes determinan en el plano 4regiones.

16. Colorea una de estas regiones.La parte del plano limitada por dos semi-rrectas que tienen el mismo origen sellama ángulo.

17. Repasa las dos semirrectas que limitan este Ángulo.

Cada una de las semirrectas que limitan unángulo se llama lado.El punto común de las dos semirrectas se llamavértice.

Así diremos que los elementos del ángulo son los lados y el vértice.

Ángulo

Lado

Ángulo

LadoVértice

Ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas (lados) que tienenel mismo origen (vértice).

Notación: â o bien Â o bien BAC

Lado

Vértice

Lado

B

â

C


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Libro 3: Editorial Barcanova

Libro 4: Editorial Ketres

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¿La amplitud de un ángulo depende de la longitud de sus lados?Ciertamente, no: los ángulos que forman las agujas del reloj deldespertador y de la pulsera a la misma hora (fig. 157) son iguales.

Los lados de un ángulo son de longitud infinita: son semirrectas.El ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo origen(Fig. 158)

Este arquero quiere clavar las flechas una en cada objetivo; cada vez tendrá que cambiarde dirección.

La diferencia de dirección se llama ángulo.

Muñoz, M. (6to.)

FASE III. Compartimos la definición

1. Pondremos en común las definiciones presentadas en las transparencias y escogeremos entretodos las que utilizaremos en clase:

Ángulo

Partes de un ángulo

Tipos de ángulo

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ACTIVIDAD 3. Definición de ángulo. Aplicación

1. Une los diferentes componentes de las columnas como creas necesario:

2. Realiza un mapa conceptual sobre ángulos aplicando los conceptos que creas necesario. Terecomendamos seguir los siguientes pasos:

a) Listado de palabras claves:

ÁnguloLado...

b) Listado de conectadores:

Puede serTiene...

c) Construcción del mapa conceptual

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Partes de un ángulo Definición Representación

Lados

Medida

Vértice

Cada una de las semi-rrectas que limitan alángulo

Una de las unidadesde medida de ánguloses el grado sexagesimal

Es el punto común delas dos semirrectas

BA

C

BA

C

AB

AC

BA

Câ =

ACTIVIDAD 4. Construcción y Medida de ángulos

1. Escoge de la figura 1, un ángulo de cada tipo referenciado en la tabla, nómbralos y llena elsiguiente cuadro:

2. Con ayuda del transportador, reproduce, construye y nombra un ángulo de cada tipo.

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Agudo Recto Obtuso Llano Completo

Medida 1(sin el transportador)

Medida 2(con el transportador)

Tipo de ángulo

Medida


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3. Utiliza alguna parte de tu cuerpo que te ayude a representar cada uno de los tipos de ángu-los. ¿Puedes hacer una representación gráfica en esta hoja de la situación realizada?

4. ¿Puedes utilizar algún objeto, de la clase o de casa, que tenga que hacer algún tipo de giropara funcionar, para explicar cada uno de los tipos de ángulos? Intenta hacer la representa-ción de la situación, especificando el tipo de ángulo al que haces referencia.

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5. Clasifica los siguientes ángulos y con la ayuda del transportador verifica la medida de cadauno de ellos.

6. Observa las figuras a y b y reflexiona sobre las siguientes preguntas:

6.1. ¿Cuantos ángulos identificas en cada figura?

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a b c d e Tipo de ángulo

Medida

â

b

ê

cd


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6.2. ¿Cuál crees que es la medida de cada uno de ellos?

6.3. ¿Qué ángulos crees que son mayores, los ángulos de la figura a o los ángulos de la figurab? Justifica tu respuesta.

6.4. Utiliza el transportador para comprobar tus afirmaciones. ¿Qué conclusión podemos sacarde todo lo anterior?

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ACTIVIDAD 5. Construcción de Producciones artísticas

Inspirándote en la estructura del cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, ¿crees que puedeshacer una composición propia donde sólo emplees un solo tipo de ángulo, por ejemplo ángu-los rectos?

Justifica el procedimiento que aplicas y el tipo de ángulo que has escogido para hacertu composición.

Justifica las técnicas artísticas que utilizas.

Redacta en una página los sentimientos y emociones que quieres transmitir con tucomposición.

No olvides los elementos que debe contener el cuadro: título, nombre, autor, año,etc.

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ACTIVIDAD 6. Operaciones con ángulos: Suplementarios

Tomando como referencia la figura siguiente, comenta:

1. ¿Cuántos ángulos la forman? Sugerencia: puedes guiarte por los colores.

a.) ¿Crees que se pueden hacer operaciones entre estos ángulos? ¿Cuáles operaciones?¿Puedes representarlas de alguna forma?

b) ¿Qué procedimientos utilizarías para comprobar esta operación?

c) ¿Puedes escribirla mediante signos matemáticos?

2. ¿Qué conclusión puedes sacar de la figura 3? En general, ¿cuándo dos ángulos son suple-mentarios?

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Figura 3

ACTIVIDAD 7. Operaciones con ángulos: Complementarios

Une la recta X con el vértice del ángulo recto de la figura 4 y responde a los siguientes inte-rrogantes:

1. ¿Cuántos ángulos se forman?

a) ¿Cómo son los ángulos que se forman después de unir la recta X con el vértice de la figu-ra 4?

b) ¿Crees que se pueden hacer operaciones entre estos ángulos? ¿Cuál operación? ¿Puedesrepresentarla de alguna forma?

c) ¿Qué procedimientos utilizarías para comprobar esta operación?d) ¿Puedes escribirlamediante signos matemáticos?

2. ¿Qué conclusión puedes sacar de esta figura? ¿Sabes cuándo dos ángulos son complemen-tarios?

3. ¿Qué nombre recibe la recta X? ¿Por qué?

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Figura 4


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ACTIVIDAD 8. Resolución de problemas de operaciones con ángulos

1. Encuentra en el cuadro Batalla armonizada de Paul Klee los ángulos suplementarios cuyasmedidas son 95º y 85º. Propón procedimientos gráficos y algebraicos que permitan com-probar que estos ángulos son suplementarios.

2. A partir del cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, plantea una composición de líneas yángulos que formen ángulos complementarios. Igual que en el problema anterior, propónprocedimientos gráficos y algebraicos que permitan comprobar que estos ángulos son com-plementarios.

3. Redacta problemas en los que apliques los conceptos de ángulos suplementarios, comple-mentarios y bisectriz para resolverlos.

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ACTIVIDAD 9. Resolución de problemas de aplicación

1. Escoge las figuras que corresponden a cada ángulo y justifica el procedimiento utilizado:

=150º =200º =35º =98º =350º =270º

2. Calcula cuánto miden los ángulos señalados en cada figura, utilizando procedimientos gráfi-cos y algebraicos:

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â b c d e f


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3. A partir de esta imagen, podrías utilizar algunos de los conceptos dados para hallar la incli-nación de la torre de Pisa (Italia).

4. Sin utilizar el transportador o procedimientos gráficos, calcula los ángulos señalados en cadafigura:

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x

60º 90º x36º

x 20º

50ºx

45º

5 ¿Pueden ser complementarios un ángulo agudo y un ángulo obtuso? Justifica tu respuestaproporcionando un ejemplo.

6 Observa los ángulos que forma la moto con el suelo y con la perpendicular al suelo desdeun mismo punto de referencia. a. ¿Cómo son estos ángulos?b ¿Podrías utilizar procedimientos gráficos y algebraicos para comprobar tu planteamiento?

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7. Con un ejemplo, obtenido de la pintura Batalla armonizada de Paul Klee, representa alge-bráicamente y gráficamente la siguiente situación:

«Los ángulos â y b son suplementarios. Si es un ángulo agudo, ¿qué clase de ánguloserá ? ¿Y si fuera un ángulo recto?»

8. Sin utilizar transportador ni procedimiento algebraico, calcula la medida de los siguientesángulos:

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9. Dadas las operaciones siguientes con ángulos suplementarios y complementarios, encuentralos valores de los ángulos y represéntalos gráficamente.

a) c + 30º = 180º b) 57º + b = 90º c) 30º + b + 45º = 180º

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ACTIVIDAD 10. Resolución de problemas de ampliación y de evaluación

1. Éste puede ser el plano de tu barrio o de tu pueblo. ¿Crees que puedes encontrar ángulossuplementarios y complementarios entre los ángulos que forman las calles al interceptarseentre ellas?

a) ¿Cuáles? ¿Y cómo puedes demostrar que son suplementarios o complementarios?

b) ¿Qué giro tendrías que hacer si estás en una de las esquinas del Paseo las Américas yquieres ir a la esquina que forman las calles Salvador y Argentina?

c) ¿Donde deberías situarte en el plano y hacia dónde te dirigirías si quieres hacer el mayorgiro posible? ¿A qué tipo de ángulo se corresponde el anterior giro? ¿Podrías dar su medi-da aproximada y su medida exacta?

d) ¿Donde deberías situarte en el plano y hacia dónde te dirigirías si quieres hacer el menorgiro posible? ¿A qué tipo de ángulo se corresponde el anterior giro? ¿Podrías dar su medi-da aproximada y su medida exacta?

e) ¿Qué camino tendrías que recorrer para hacer un giro completo? ¿A qué ángulo secorresponde? ¿Y para hacer un giro que se corresponda con un ángulo plano, donde tesituarías y hacia donde te dirigirías?

f) ¿Puedes formular otro problema con los elementos geométricos que hay en este plano?

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2. Las siguientes torres se encuentran en la ciudad de Madrid (España); se llaman las Torres Kioy popularmente se les conoce como La puerta de Europa. Te invitamos a dar una mirada geo-métrica a las torres y, a partir de los conceptos que hemos desarrollado, resolver las situa-ciones propuestas y también te invitamos a plantear otras situaciones/problemas.

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a) ¿Podrías hacer una representación gráfica de los ángulos que forman las Torres Kio con lahorizontal?

b) ¿Tienen la misma inclinación las torres? Justifica el procedimiento que has utilizado parademostrarlo.

c) Identifica ángulos suplementarios y complementarios en cada una de las torres. Sugerencia:dibuja la línea de la carretera como la horizontal y la línea vertical que aparece en cada unade las caras de las torres.

d) Se dice que el ángulo de inclinación de las torres con la horizontal es de 15º. Utiliza proce-dimiento algebraico para encontrar la medida del ángulo complementario y del suplemen-tario. Haz la representación gráfica de las dos situaciones y compruébalo con la imagen dela foto para verificar si hay posibles errores. ¿Qué crees que puede pasar?

e) Como puedes observar las torres se encuentraninclinadas. Encuentra el ángulo de inclinación delas torres mediante procedimiento geométrico.

f) En la cara de la figura que acompaña este enun-ciado encuentra ejemplos de ángulos. ¿De quétipos son?

g) ¿Encuentra ejemplos que no son ángulos? Justifi-ca tu respuesta y haz una representación del noejemplo de ángulo. ¿Qué tendrías que cambiarpara que fuera un ángulo?

h) ¿Encuentras ángulos de igual medida? ¿de quétipo son?

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i) ¿Cómo son las líneas que forman la cara lateral dela torre?

j) ¿Qué tipo de ángulos forman al interceptarse?

k) ¿Encuentras ángulos con igual medida? ¿Qué tipode procedimiento utilizas para comprobarlo?

l) ¿Qué grupo de ángulos forman un ángulo com-pleto? ¿Qué procedimiento utilizas para compro-barlo?

m) ¿Encuentras ángulos que sean complementarios?¿Y suplementarios? Justifica tu respuesta.

n) ¿Sabes a qué cuerpo geométrico o forma geométrica se parecen las Torres Kio?

3. Imagina el reloj de una iglesia, de una torre grande o de un edificio, como por ejemplo elBig Ben de Londres, que marque la misma hora de los relojes que aparecen a continuacióny responde a los siguientes interrogantes:

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a) ¿Qué hora marcarían los tres relojes?

b) ¿Cómo son los ángulos que forman las agujas de los tres relojes?

c) ¿Cuál ángulo es mayor? Justifica tu respuesta.

d) ¿Qué tipo de ángulos forman las agujas de los tres relojes? ¿Crees que las agujas de los tresrelojes forman más de un ángulo?

e) ¿Podrías representar algebraicamente una operación entre los ángulos que forman las dosagujas del reloj? Sugerencia: utiliza el concepto de ángulo completo o de giro completo.

4. Inspirándote en la estructura del cuadro Batalla armonizada de Paul Klee, ¿crees que puedeshacer una composición propia donde emplees cualquiera de los conceptos desarrollados enesta unidad? Recuerda que has de tener en cuenta los siguientes aspectos:

Justificar el procedimiento que aplicas y el concepto geométrico que has escogidopara hacer tu composición.

Justificar las técnicas artísticas que utilizas.

Redactar en una página los sentimientos y emociones que quieres transmitir con tucomposición.

No olvides los elementos que debe contener el cuadro: título, nombre, autor, año,etc.

5. Recuerda que de cara al proceso de evaluación puedes proponer, justificadamente, proble-mas del tema desarrollado que tendremos en cuenta a la hora de diseñar el examen.

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