ii. ラプラス変換snii/iic/3.pdfe stdt = zt 0 y(˝)d˝ 1 s e st 1 0 + 1 s z1 0 y(t)e stdt = 1 s...
TRANSCRIPT
II. ラ プ ラ ス変換微分方程式を 代数方程式に 直して 解く
II. ラ プ ラ ス変換 – p.1/26
1.定義 と 性質
II. ラ プ ラ ス変換 – p.2/26
1.定義 と 性質—1.1定義
II. ラ プ ラ ス変換 – p.3/26
1.定義 と 性質—1.1定義
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) に 対し
Y (s) =
Z
∞
0e−sty(t)dt
を y(t) の ラ プ ラ ス変換 と よ び , Y = L(y) と 書く .
逆 に ,与え ら れ た Y (s) に 対し Y = L(y) と なる y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換
と よ び , y = L−1(Y ) と 書く .
[例]
L(1) =1
s(s > 0) L(eat) =
1
s − a(s > a)
[注]
y(t) が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) が s ≥ 0全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .
II. ラ プ ラ ス変換 – p.4/26
1.定義 と 性質—1.1定義
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) に 対し
Y (s) =
Z
∞
0e−sty(t)dt
を y(t) の ラ プ ラ ス変換 と よ び , Y = L(y) と 書く .
逆 に ,与え ら れ た Y (s) に 対し Y = L(y) と なる y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換
と よ び , y = L−1(Y ) と 書く .
[例]
L(1) =1
s(s > 0) L(eat) =
1
s − a(s > a)
[注]
y(t) が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) が s ≥ 0全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .
II. ラ プ ラ ス変換 – p.4/26
1.定義 と 性質—1.1定義
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) に 対し
Y (s) =
Z
∞
0e−sty(t)dt
を y(t) の ラ プ ラ ス変換 と よ び , Y = L(y) と 書く .
逆 に ,与え ら れ た Y (s) に 対し Y = L(y) と なる y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換
と よ び , y = L−1(Y ) と 書く .
[例]
L(1) =1
s(s > 0) L(eat) =
1
s − a(s > a)
[注]
y(t) が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) が s ≥ 0全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .
II. ラ プ ラ ス変換 – p.4/26
1.定義 と 性質—1.1定義
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) に 対し
Y (s) =
Z
∞
0e−sty(t)dt
を y(t) の ラ プ ラ ス変換 と よ び , Y = L(y) と 書く .
逆 に ,与え ら れ た Y (s) に 対し Y = L(y) と なる y(t) を 求 め る こ と を ラ プ ラ ス逆 変換
と よ び , y = L−1(Y ) と 書く .
[例]
L(1) =1
s(s > 0) L(eat) =
1
s − a(s > a)
[注]
y(t) が t ≥ 0 で 定義 さ れ て い て も , Y (s) が s ≥ 0全体で 定義 さ れ て い る と は 限ら ない .
II. ラ プ ラ ス変換 – p.4/26
1.定義 と 性質—1.2性質
II. ラ プ ラ ス変換 – p.5/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′)
=
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt
= [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt
= sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ)
=
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt
=1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(i) L(αy1 + βy2) = αL(y1) + βL(y2) (但し α, β は 定数, y1 = y1(t), y2 = y2(t) )
(ii)L(y′) =
Z
∞
0y′(t)e−stdt = [y(t)e−st]∞0 +
Z
∞
0y(t)se−stdt = sY (s) − y(0) (Y = L(y))
(iii)L(
Z t
0y(τ)dτ) =
Z
∞
0
„Z t
0y(τ)dτ
«
e−stdt
=
»„Z t
0y(τ)dτ
«„
−1
se−st
«–∞
0
+1
s
Z
∞
0y(t)e−stdt =
1
sY (s)
よ っ て 「 微分↔ s を か け る 」 ,「 積分↔ s で 割 る 」 と 対応して い る の で ,微分方程式は ラ プラ ス変換 す る と 代数方程式に なる .
[例題]dy
dx= ky + f(x) (k は 定数)
[解答]両辺を ラ プ ラ ス変換 す る と
sY (s) − y(0) = kY (s) + F (s) (F = L(f))
··· Y (s) =1
s − k(y(0) + F (s))
従っ て , ラ プ ラ ス変換 の 例よ り y(t) = y(0)ekt + L−1“
F (s)s−k
”
II. ラ プ ラ ス変換 – p.6/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2)
6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る .
す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
1.定義 と 性質—1.2性質
(iv) L(y1 · y2) 6= L(y1) · L(y2) 残念！
y1(t) と y2(t) の 新しい 積 y1 ∗ y2 (合成積) を
(y1 ∗ y2)(t) =
Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ で 定義 す る . す る と ,
L(y1 ∗ y2) =
Z
∞
0
„Z t
0y1(t − τ)y2(τ)dτ
«
e−stdt =
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−stdt
«
y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
τ
y1(t − τ)e−s(t−τ)dt
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
Z
∞
0
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdσ
«
e−sτ y2(τ)dτ
=
„Z
∞
0y1(σ)e−sσdt
«„Z
∞
0e−sτ y2(τ)dτ
«
= L(y1) · L(y2)
よ っ て L(y1 ∗ y2) = L(y1) · L(y2)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.7/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書
II. ラ プ ラ ス変換 – p.8/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
II. ラ プ ラ ス変換 – p.9/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1)
=
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt
=
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα)
=
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt
=
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx
=Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt
=
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt
=
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt)
= L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt)
= L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[公式集]
• L(1) =
Z
∞
0e−st · 1dt =
»
− e−st
s
–∞
0
=1
s
• L(tα) =
Z
∞
0e−st · tαdt =
Z
∞
0e−x ·
“x
s
”α dx
s(但し st=x と して dt= dx
s)
=1
sα+1
Z
∞
0xαe−xdx =
Γ(α + 1)
sα+1
(但し s>0)
特に α = n (自然数) なら ば , L(tn) =n!
sn+1
• L(ezt)z は 複素数
=
Z
∞
0e−st · eztdt =
Z
∞
0e(z−s)tdt =
"
e(z−s)t
z − s
#
∞
0
=1
s − z(但し s>Re z)
• L(cos ωt) = L„
eiωt + e−iωt
2
«
=1
2
„
1
s − iω+
1
s − (−iω)
«
=s
s2 + ω2
• L(sin ωt) = L„
eiωt − e−iωt
2i
«
=1
2i
„
1
s − iω− 1
s − (−iω)
«
=ω
s2 + ω2
• 同様に して L(cosh at) =s
s2 − a2, L(sinh at) =
a
s2 − a2
線形常微分方程式の 解と して 登場した 関 数が 未だ 出尽く して い ない ！
II. ラ プ ラ ス変換 – p.10/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt
=
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt
= Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn)
=n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt)
=s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt)
=ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4
= 2s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s))
= e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[定理] (s-軸上の 移 動)
L(y(t)) = Y (s) と す る と L(eaty(t)) = Y (s − a)
··· L(eaty(t)) =
Z
∞
0e−st
`
eaty(t)´
dt =
Z
∞
0e−(s−a)ty(t)dt = Y (s − a)
こ れ よ り
• L(eattn) =n!
(s − a)n+1
• L(eat cos ωt) =s − a
(s − a)2 + ω2
• L(eat sin ωt) =ω
(s − a)2 + ω2
[例題] y′′ + 2y′ + 5y = 0 y(0) = 2, y′(0) = −4
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
sL(y′) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s(sL(y) − y(0)) − y′(0) + 2(sL(y) − y(0)) + 5L(y)
= s2Y − 2s + 4 + 2(sY − 2) + 5Y = 0 ( 但し Y = L(y))
··· Y =2s
(s + 1)2 + 4= 2
s + 1
(s + 1)2 + 22− 2
(s + 1)2 + 22
··· y(t) = L−1(Y (s)) = e−t(2 cos 2t − sin 2t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.11/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[練習問題]
I.次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ .
1.1
s+
2
s2+
4
s3
2.1
1 + 2s
3.s + 3
s2 + 2s + 2
II.次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ − 3y′ + 2y = e3t y(0) = 1, y′(0) = 0
[解答]
I. 1. 1 + 2t + 2t2
2.1
2e−
t
2
3. e−t cos t + 2e−t sin t
II. y(t) =5
2et − 2e2t +
1
2e3t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.12/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.1 基 本的な関 数
[練習問題]
I.次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ .
1.1
s+
2
s2+
4
s3
2.1
1 + 2s
3.s + 3
s2 + 2s + 2
II.次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ − 3y′ + 2y = e3t y(0) = 1, y′(0) = 0
[解答]
I. 1. 1 + 2t + 2t2
2.1
2e−
t
2
3. e−t cos t + 2e−t sin t
II. y(t) =5
2et − 2e2t +
1
2e3t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.12/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
II. ラ プ ラ ス変換 – p.13/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt
= − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt
= − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt
=
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt
= − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt
= − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt
= − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt
= − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt
=
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt
=
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[定理] (ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分)
• L (ty(t)) = − d
dsY (s) 同様に L (tny(t)) = (−1)n dn
dsnY (s)
• L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
s
Y (σ)dσ (但し limt→+0
y(t)tが 存在す る と す る )
··· L (ty(t)) =
Z
∞
0e−stty(t)dt =
Z
∞
0− ∂
∂s
`
e−sty(t)´
dt = − d
ds
Z
∞
0e−sty(t)dt = − d
dsY (s)
L„
y(t)
t
«
=
Z
∞
0e−st y(t)
tdt =
Z
∞
0
»
− e−σt
t
–σ=∞
σ=s
y(t)dt =
Z
∞
0
„Z
∞
s
e−σtdσ
«
y(t)dt
=
Z
∞
s
„Z
∞
0e−σty(t)dt
«
dσ =
Z
∞
s
Y (σ)dσ
[例]
• L(t cos ωt) = − d
dsL(cos ωt) =
s2 − ω2
(s2 + ω2)2
L(t sin ωt) = − d
dsL(sin ωt) =
2ωs
(s2 + ω2)2
• L„
2
t(1 − cos ωt)
«
=
Z
∞
s
(2L(1) − 2L(cos ωt))dσ =
Z
∞
s
„
2
σ− 2
σ
σ2 + ω2
«
dσ
= log
„
1 +ω2
s2
«
···2
s− 2
s
s2 + ω2= − d
dslog
„
1 +ω2
s2
«
II. ラ プ ラ ス変換 – p.14/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2
=1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2
=1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で
L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3
=1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で
L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2
=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で
L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.2 ラ プ ラ ス変換 後の 微分と 積分
[練習問題]
I. 次の 関 数の ラ プ ラ ス逆 変換 を 求 め よ 。
1.s
(s + 1)22.
s2
(s − 2)33.
4s
(s + 1)(s − 1)2
II. 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y′ + y = e−t y(0) = 1, y′(0) = 3
[解答]
I.1.s
(s + 1)2=
s + 1
(s + 1)2− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)− 1
(s + 1)2=
1
(s + 1)−
− d
ds
„
1
(s + 1)
«ff
なの で L−1
„
s
(s + 1)2
«
= e−t − te−t
2.s2
(s−2)3=
1
(s−2)+
4
(s−2)2+
4
(s−2)3=
1
(s−2)+
− d
ds
„
4
(s−2)
«ff
+
(−1)2d2
ds2
„
2
(s−2)
«ff
なの で L−1
„
s2
(s − 2)3
«
= (1 + 4t + 2t2)e2t
3.4s
(s+1)(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
2
(s−1)2=− 1
s+1+
1
s−1+
− d
ds
„
2
(s−1)
«ff
なの で L−1
„
4s
(s + 1)(s − 1)2
«
= −e−t + (1 + 2t)et
II. y =
„
1
2t2 + 4t + 1
«
e−t
II. ラ プ ラ ス変換 – p.15/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
II. ラ プ ラ ス変換 – p.16/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t−a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t−a)Ha(t)
こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t− a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt
=
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t− a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t− a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t− a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ
= e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t− a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[定理] (t-軸上の 移 動)
t ≥ 0 で 定義 さ れ た 関 数 y(t) と a > 0 に 対して
y(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12y(0) (t = a)
y(t − a) (a < t)
と 定義 す る と L(y) = e−asL(y)
··· Ha(t) =
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < a)
12
(t = a)
1 (a < t)
(ヘ ビ サイ ド関 数) と す る と y(t) = y(t− a)Ha(t) こ の と き
L(y) = L(y(t − a)Ha(t)) =
Z
∞
0e−st (y(t − a)Ha(t)) dt =
Z
∞
a
e−sty(t − a)dt
=
Z
∞
0e−s(τ+a)y(τ)dτ
但し t−a=τ と す る
= e−as
Z
∞
0e−sτ y(τ)dτ = e−asL(y)
[例]
• L(Ha(t)) =e−as
sL((t − a)Ha(t)) =
e−as
s2L„
(t − a)2
2Ha(t)
«
=e−as
s3
II. ラ プ ラ ス変換 – p.17/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[例題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .
y′′ + 3y′ + 2y =1
ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 3sY + 2Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s
Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s(s + 1)(s + 2
=1
ε
„
1
2
1
s− 1
s + 1+
1
2
1
s + 2
«
“
e−s − e−(1+ε)s”
··· y =1
ε
„
1
2− e−(t−1) +
1
2e−2(t−1)
«
H1(t)
−1
ε
„
1
2− e−(t−(1+ε)) +
1
2e−2(t−(1+ε))
«
H1+ε(t)
=
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < 1)
1ε
`
12− e−(t−1) + 1
2e−2(t−1)
´
(1 ≤ t < 1 + ε)
1ε
˘
−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯
+ 12
1ε
˘
e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯
(1 + ε ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.18/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[例題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .
y′′ + 3y′ + 2y =1
ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 3sY + 2Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s
Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s(s + 1)(s + 2
=1
ε
„
1
2
1
s− 1
s + 1+
1
2
1
s + 2
«
“
e−s − e−(1+ε)s”
··· y =1
ε
„
1
2− e−(t−1) +
1
2e−2(t−1)
«
H1(t)
−1
ε
„
1
2− e−(t−(1+ε)) +
1
2e−2(t−(1+ε))
«
H1+ε(t)
=
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < 1)
1ε
`
12− e−(t−1) + 1
2e−2(t−1)
´
(1 ≤ t < 1 + ε)
1ε
˘
−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯
+ 12
1ε
˘
e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯
(1 + ε ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.18/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[例題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .
y′′ + 3y′ + 2y =1
ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 3sY + 2Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s
Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s(s + 1)(s + 2
=1
ε
„
1
2
1
s− 1
s + 1+
1
2
1
s + 2
«
“
e−s − e−(1+ε)s”
··· y =1
ε
„
1
2− e−(t−1) +
1
2e−2(t−1)
«
H1(t)
−1
ε
„
1
2− e−(t−(1+ε)) +
1
2e−2(t−(1+ε))
«
H1+ε(t)
=
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < 1)
1ε
`
12− e−(t−1) + 1
2e−2(t−1)
´
(1 ≤ t < 1 + ε)
1ε
˘
−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯
+ 12
1ε
˘
e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯
(1 + ε ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.18/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[例題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .
y′′ + 3y′ + 2y =1
ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 3sY + 2Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s
Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s(s + 1)(s + 2
=1
ε
„
1
2
1
s− 1
s + 1+
1
2
1
s + 2
«
“
e−s − e−(1+ε)s”
··· y =1
ε
„
1
2− e−(t−1) +
1
2e−2(t−1)
«
H1(t)
−1
ε
„
1
2− e−(t−(1+ε)) +
1
2e−2(t−(1+ε))
«
H1+ε(t)
=
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < 1)
1ε
`
12− e−(t−1) + 1
2e−2(t−1)
´
(1 ≤ t < 1 + ε)
1ε
˘
−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯
+ 12
1ε
˘
e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯
(1 + ε ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.18/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[例題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .
y′′ + 3y′ + 2y =1
ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 3sY + 2Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s
Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s(s + 1)(s + 2
=1
ε
„
1
2
1
s− 1
s + 1+
1
2
1
s + 2
«
“
e−s − e−(1+ε)s”
··· y =1
ε
„
1
2− e−(t−1) +
1
2e−2(t−1)
«
H1(t)
−1
ε
„
1
2− e−(t−(1+ε)) +
1
2e−2(t−(1+ε))
«
H1+ε(t)
=
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < 1)
1ε
`
12− e−(t−1) + 1
2e−2(t−1)
´
(1 ≤ t < 1 + ε)
1ε
˘
−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯
+ 12
1ε
˘
e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯
(1 + ε ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.18/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[例題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .
y′′ + 3y′ + 2y =1
ε(H1(t) − H1+ε(t)) (ε > 0) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 3sY + 2Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s
Y =1
ε
e−s − e−(1+ε)s
s(s + 1)(s + 2
=1
ε
„
1
2
1
s− 1
s + 1+
1
2
1
s + 2
«
“
e−s − e−(1+ε)s”
··· y =1
ε
„
1
2− e−(t−1) +
1
2e−2(t−1)
«
H1(t)
−1
ε
„
1
2− e−(t−(1+ε)) +
1
2e−2(t−(1+ε))
«
H1+ε(t)
=
8
>
>
<
>
>
:
0 (0 ≤ t < 1)
1ε
`
12− e−(t−1) + 1
2e−2(t−1)
´
(1 ≤ t < 1 + ε)
1ε
˘
−e−(t−1) + e−(t−(1+ε))¯
+ 12
1ε
˘
e−2(t−1) − e−2(t−(1+ε))¯
(1 + ε ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.18/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[練習問題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 2Y =1
s− e−s
s
Y =1
s(s2 + 2)− e−s
s(s2 + 2)
=1
2
„
1
s− s
s2 + 2
«
`
1 − e−s´
··· y =1
2
“
1 − cos√
2t”
− 1
2
“
1 − cos√
2(t − 1)”
H1(t)
=
8
<
:
12
“
1 − cos√
2t”
(0 ≤ t < 1)
12
“
cos√
2(t − 1) − cos√
2t”
(1 ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.19/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[練習問題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 2Y =1
s− e−s
s
Y =1
s(s2 + 2)− e−s
s(s2 + 2)
=1
2
„
1
s− s
s2 + 2
«
`
1 − e−s´
··· y =1
2
“
1 − cos√
2t”
− 1
2
“
1 − cos√
2(t − 1)”
H1(t)
=
8
<
:
12
“
1 − cos√
2t”
(0 ≤ t < 1)
12
“
cos√
2(t − 1) − cos√
2t”
(1 ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.19/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[練習問題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 2Y =1
s− e−s
s
Y =1
s(s2 + 2)− e−s
s(s2 + 2)
=1
2
„
1
s− s
s2 + 2
«
`
1 − e−s´
··· y =1
2
“
1 − cos√
2t”
− 1
2
“
1 − cos√
2(t − 1)”
H1(t)
=
8
<
:
12
“
1 − cos√
2t”
(0 ≤ t < 1)
12
“
cos√
2(t − 1) − cos√
2t”
(1 ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.19/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[練習問題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 2Y =1
s− e−s
s
Y =1
s(s2 + 2)− e−s
s(s2 + 2)
=1
2
„
1
s− s
s2 + 2
«
`
1 − e−s´
··· y =1
2
“
1 − cos√
2t”
− 1
2
“
1 − cos√
2(t − 1)”
H1(t)
=
8
<
:
12
“
1 − cos√
2t”
(0 ≤ t < 1)
12
“
cos√
2(t − 1) − cos√
2t”
(1 ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.19/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[練習問題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 2Y =1
s− e−s
s
Y =1
s(s2 + 2)− e−s
s(s2 + 2)
=1
2
„
1
s− s
s2 + 2
«
`
1 − e−s´
··· y =1
2
“
1 − cos√
2t”
− 1
2
“
1 − cos√
2(t − 1)”
H1(t)
=
8
<
:
12
“
1 − cos√
2t”
(0 ≤ t < 1)
12
“
cos√
2(t − 1) − cos√
2t”
(1 ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.19/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.3 t-軸上の 移 動
[練習問題] 次の 常微分方程式の 初期 値問題を 解け .y′′ + 2y = 1 − H1(t) y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 して 初期 値を 代入す る と
s2Y + 2Y =1
s− e−s
s
Y =1
s(s2 + 2)− e−s
s(s2 + 2)
=1
2
„
1
s− s
s2 + 2
«
`
1 − e−s´
··· y =1
2
“
1 − cos√
2t”
− 1
2
“
1 − cos√
2(t − 1)”
H1(t)
=
8
<
:
12
“
1 − cos√
2t”
(0 ≤ t < 1)
12
“
cos√
2(t − 1) − cos√
2t”
(1 ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.19/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
II. ラ プ ラ ス変換 – p.20/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[定義 ](デル タ関 数)
δa(t) = limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2εを デル タ関 数と よ ぶ .
[性質]
δa(t) =
8
<
:
0 t 6= a
+∞ t = a ,
Z
∞
0δa(t)dt = 1
[定理]
L(δa) = e−as
··· L(δa(t)) = L„
limε→+0
Ha−ε(t) − Ha+ε(t)
2ε
«
= limε→+0
L(Ha−ε(t)) −L(Ha+ε(t))
2ε
= limε→+0
e−(a−ε)s
s− e−(a+ε)s
s
2ε
=1
2lim
εs→+0
− e−(as−εs) − e−as
−εs− e−(as+εs) − e−as
εs
!
=1
2
„
− d
d(as){e−as} − d
d(as){e−as}
«
= e−as
II. ラ プ ラ ス変換 – p.21/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
2. ラ プ ラ ス変換 の 辞書—2.4デル タ関 数
[例題] y′′ + 3y′ + 2y = δ1 y(0) = 0, y′(0) = 0
[解答]方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y + 3sY + 2Y = e−s
Y =e−s
(s + 2)(s + 1)
=e−s
s + 1− e−s
s + 2
··· y(t) =
8
<
:
0 (0 ≤ t < 1)
e−(t−1) − e−2(t−1) (1 ≤ t)
[練習問題] y′′ + 16y = 4δπ y(0) = 2, y′(0) = 0
[解答] 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る とs2Y − 2s + 16Y = 4e−πs
··· Y = 2s
s2 + 16+ e−πs 4
s2 + 16
i .e. y(t) = 2 cos 4t + sin 4(t − π)Hπ(t)
=
8
<
:
2 cos 4t (0 ≤ t < π)
2 cos 4t + sin 4t (π ≤ t)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.22/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
II. ラ プ ラ ス変換 – p.23/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
[定理] y(t) が 周期 p > 0 の 周期 関 数、 即ち y(t + p) = y(t) が t ≥ 0 で 成り 立つ なら ば 、
y(t) の ラ プ ラ ス変換 は 以 下の 様に 表さ れ る 。
L(y) =1
1 − e−ps
Z p
0e−sty(t)dt
··· L(y) =
Z
∞
0e−sty(t)dt =
Z p
0e−sty(t)dt +
Z 2p
p
e−sty(t)dt + · · · +Z (n+1)p
np
e−sty(t)dt + · · ·
=
Z p
0e−sty(t)dt +
Z p
0e−s(t+p)y(t)dt + · · · +
Z p
0e−s(t+np)y(t)dt + · · ·
= (1+e−sp+e−2sp+ · · · +e−nsp+ · · · )Z p
0e−sty(t)dt
=1
1 − e−sp
Z p
0e−sty(t)dt
[例]
L(| sin ωt|) =1
1 − e−π
ωs
Z π
ω
0e−st sin ωtdt
=1
1 − e−π
ωs
Im
Z π
ω
0e−steiωtdt =
ω(1 + e−π
ωs)
(s2 + ω2)(1 − e−π
ωs)
II. ラ プ ラ ス変換 – p.24/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。
[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =
1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)
[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =
1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、
s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =
1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =
1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =
1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
以 下で は [定理] を 使わ ず 直接周期 関 数の ラ プ ラ ス変換 を 扱 う 例を 示す 。[例題]
次の 常微分方程式を 考察せ よ .
y′′ + 2y′ + 10y = r(t) r(t) =
8
>
>
<
>
>
:
1 2nπ < t < (2n + 1)π (n = 0, 1, 2, . . .)
0 t = nπ (n = 0, 1, 2, . . .)
−1 (2n − 1)π < t < 2nπ (n = 1, 2, 3, . . .)[解答]
r(t) = H0(t) − 2Hπ(t) + 2H2π(t) − 2H3π(t) + · · · よ り 方程式を ラ プ ラ ス変換 す る と 、s2Y − sy(0) − y′(0) + 2 (sY − y(0)) + 10Y =
1
s(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
··· Y =(s + 2)y(0) + y′(0)
s2 + 2s + 10+
1
s(s2 + 2s + 10)(1 − 2e−πs + 2e−2πs − 2e−3πs + · · · )
=(s+1)y(0)
(s+1)2+9+
y(0)+y′(0)
(s+1)2+9+
1
10
„
1
s− s + 1
(s+1)2+9− 1
3
3
(s+1)2+9
«
(1−2e−πs+ · · · )
··· y(t) = e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1 −e−t cos 3t− e−t
3sin 3t)
−2`
1−e−(t−π) cos 3(t−π)− e−(t−π)
3sin 3(t−π)
´
Hπ(t)
+2`
1−e−(t−2π) cos 3(t−2π)− e−(t−2π)
3sin 3(t−2π)
´
H2π(t)
−2`
1−e−(t−3π) cos 3(t−3π)− e−(t−3π)
3sin 3(t−3π)
´
H3π(t) + · · ·o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.25/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26
3. ラ プ ラ ス変換 の 運 用—周期 関 数
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1+e−t cos 3t+e−t
3sin 3t) − 2(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−2`
1+eπ(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
Hπ(t)
−2`
−1+e2π(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H2π(t)
−2`
1+e3πe−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
H3π(t) + · · ·o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(1−2Hπ(t)+2H2π(t)− · · · )+(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
−2(1+eπHπ(t)+e2πH2π(t)+e3πH3π(t) + · · · )(e−t cos 3t+e−t
3sin 3t)
´
o
= e−t“
y(0) cos 3t+y(0)+y′(0)
3sin 3t
”
+1
10
n
(−1)[t
π]+(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
−21 − e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
−→ 1
10
n
(−1)[t
π]+
2e([ t
π]+1)π
1 − eπ(e−t cos 3t+
e−t
3sin 3t)
´
o
II. ラ プ ラ ス変換 – p.26/26