“if the facts don’t fit the theory, change the facts.” albert einstein

06/07 SINKOVIĆ: INFORMACIJSKE MREŽE 1

Zavod za telekomunikacije

“If the facts don’t fit the theory, change the facts.”

Albert Einstein

TEORIJA REPOVA

“If you want to model networks

Or a complex data flow

A queue´s the key to help you see

All the things you need to know.”

Leonard Kleinrock



teorija repova i telekomunikacijski promet teorija repova, queueing theory

matematičko modeliranje sustava s podjelom resursa telekomunikacijski promet, teletraffic

telefonski promet, podatkovni promet, Internet, višemedijski,....

sustavi telekomunikacijskog prometa sadrže dimenzioniranje

•komunikaciju podacima, VoIP• poslužitelja za mrežne usluge

• mreža za fiksnu i mobilnu telefoniju

upravljanje prometom: zagušenja, kvaliteta usluge proračun prometa: usmjeravanje, virtualne mreže osnove teorije repova za mrežne inženjere

• performasa ovisi o zahtjevu za uslugom i kapacitetu u nelinearnoj funkciji


Zavod za telekomunikacijeprimjer (1)

prijenos paketa na izlaznom linku velikog IP rutera

Tw, Lw Ts

Tq, Lq

tehnički model

opis procesa ulazni proces: IP paketi se multipleksiraju na izlaznom spremniku proces posluživanja: prijenos paketa (vrijeme posluživanja=duljina paketa/brzina prijenosa linka) broj poslužitelja: 1 broj stupnjeva posluživanja: 1 kapacitet spremnika: max broj paketa u IP poruci redoslijed posluživanja: prvi dolazi – prvi poslužen (FIFO)

model posluživanja


Zavod za telekomunikacijeprimjer (2) pozivi u GSM ćeliji

kanali za paralelne pozive, svaki poziv zauzima jedan kanal ako su svi kanali zauzeti, poziv je izgubljen

tehnički model model posluživanja

prolazi

izgubljeno

opis procesa ulazni proces: zahtjev za pozivom u GSM ćeliji proces posluživanja: trajanje poziva = vrijeme posluživanja broj poslužitelja: broj paralelnih kanala broj stupnjeva posluživanja: 1 kapacitet spremnika: nema spremnika redoslijed posluživanja: prvi dolazi – prvi poslužen (FIFO)


Zavod za telekomunikacijeteorija repova i informacijske mreže

SKUP PROMETNIH JEDINICA - KORISNICI

ULAZAK ČEKANJE POSLUŽI

VANJE

t t t

t

L L i-1 i

a w s

q

ULAZ

IZLAZ

REP

BROJJEDINICA

VRIJEME

(t)

(t)

(t)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

0POSLUŽIVANJE

dt

tdFtfttPtFTt aaa

)()()(

ulaz• raspodjela međudolaznih vremenanezavisna, stacionarna• dolasci mogu biti usnopljeni• korisnici mogu biti nestrpljivi

posluživanje• raspodjela vremena posluživanja nezavisna od korisnika i ulaza, stacionarna• opterećenje posluživanja: srednje vrijeme posluživanja/srednje međudolazno vrijeme

dt

tdHthttPtHTt sss

)()()(

dt

tdWtwttPtWTt www

)()()(

sustav posluživanja

čekanje• srednje vrijeme čekanja interakcija procesa ulaza i posluživanja



M - eksponencijalna,D - deterministička Er - Erlangova r - tog stupnja, HR - hipereksponencijalna,G - općenita

Kendallove notacije: F/H/m/B

simulacijski primjer

10/20/M/E

:primjer

5

F – raspodjela međudolaznog vremena

H – raspodjela vremena posluživanja

m – broj poslužitelja

B – ograničenje repa



ulaz

repposluživanje

izlaz

ulaz izlaz

r

ep

vrijeme

brojjedinica

stabilan sustav posluživanja


Zavod za telekomunikacijenestabilan sustav posluživanja

ulaz

repposluživanje

izlaz

brojjedinica

vrijeme

ulaz izlaz

rep


Zavod za telekomunikacijenestabilan sustav posluživanja

ulaz

repposluživanje

izlazbrojjedinica

vrijeme

ulaz izlaz

rep



ulazak u sustav

0 h 2h 3h xh=t VRIJEME

SLIKA 5.2.1. PODJELA INTERVALA (0,t) NA x PODINTERVALA

h + o(h) vjerojatnost pojave jednog korisnika

o(h) vjerojatnost pojave dva ili više korisnika

1 - h + o(h) vjerojatnost pojave niti jednog korisnika

o(h)+o(h)=o(h), o(h)- o(h)= o(h).

1

aa Tt

nxn hohhohn

x

)}(1{)}({

Vjerojatnost pojave n korisnika

u x podintervala:Vjerojatnost pojave n korisnika u vremenu t:

tn

nx

xnx

n

n en

t

x

t

nxx

x

n

ttP

!

)()1(lim

)!(

!lim

!

)()(

analitički opisi procesa u sustavu posluživanja (1)



0___,)(

)(

0___),(1}{

}{)(0

tedt

tdFtf

ttFettP

ttPetP

t

ta

at

funkcije vjerojatnosti međudolaznoga vremena:

grafički prikaz funkcija




posluživanje

INFORMACIJSKAJEDINICA

b

C (l )

l 1 2 m

C

2C

mC

q

q k

1

2

m

C

dt

tdHthttPtH

mCCllC

Cb

C

TC

bT

C

bt

s

qqk

sss

)()(}{)(

},min{)(

1

zauzimanje kapaciteta




,40,20,10,5,2,1

5

r

Ts

2

11

0 )!1(

)()()( ,

!

)(1)()(

:japosluživan vremenaraspodjela Erlangova

sT

s

trr

ri

r

i

itr

r

Tr

er

trrtetht

i

retEtH

r

r 1 eksponencijalna

deterministička

grafički prikaz




čekanje

SKUPPROMETNIH JEDINICA -KORISNICI

ULAZAK ČEKANJEPOSLUŽI

VANJE

t t t

t

L Li-1 i

a w s

q

repuu korisnika broj),(

sustavuu korisnika broj),(

tl

tl

w

q

dt

tdWtw

ttPtWTtt www

)()(

}{)()(

funkcije vjerojatnosti: srednja vrijednost i varijanca:

0

2

0

22

00

)()()()(

)()(

dttwTttdWTt

dtttwttdWT

wwT

w

w

repuu čekanja vrijeme),(

sustavuu azadržavanj vrijeme),(

tt

tt

w

q




PR

m

m1

2

m

C

A=

)____(, erlCT

TA

a

s

prometni intenzitet: opterećenje i propusnost:

)/____(},,min{

)___(},1,min{

serlmmPR

erlm

prometni intenzitet, opterećenje, propusnost




parametri i svojstva

ULAZ CEKANJE POSLUZIVANJE IZLAZ

i

1

n

1

2

mt t

t

w s

q

ll

l

w s

q

C

qwqw

swqswq

LLmtltl

TTTttt

,})(,0max{)(

sustav s čekanjem

Littleove formule:

.

,

,

?

wqq

wsq

ww

w

LTL

TTT

TL

T

sustav s gubicima

vjerojatnoat gubitaka:

),(}{ mAEmlPP qB

svojstva sustava posluživanja i difuzijska aproksimacija


Zavod za telekomunikacijedifuzijska aproksimacija (1)

ULAZ

IZLAZ

VRIJEME

REP

t

u

u() - količina nezavršena poslaFunkcija čekanjaW(t,)=P{u() < t}

)22( ,1

),(

2

1),(),(

:Planck-Fokker

22

2

22

sTsTtsTv

t

tW

t

tWv

tW

s



1),(__;0__0),( WttW

granični uvjeti:

opće rješenje:

stacionarni slučaj:

vttdxetW

vttx

02

0 2

2

1),(

.0_____,1)(

}{),(lim)(1

22

tetW

ttPtWtWvt

w

difuzijska aproksimacija (2)



]2^/2[1)(

:cekanja vremenaosti vjerojatnfunkcija

vtExptW

2

22

2]],2^/2[1[)(

:osti vjerojatngustoce funkcija derivacija

vEtvtExpDtw

tv

v

InfinitytvE

tIntegrateT

tv

W 2],0,,

2[

cekanja vrijemesrednje

:formula aKhinchinov-Pollaczek :M/G/1

2

2

22

0)22(

1

)22(

1

)22(

1

0 :uvjet

2

2

22

sTsTsT

sT

sTv

sTsTt

sTv

v

s

1

2 ,

:M/M/122

SW

S

TT

Tv

difuzijska aproksimacija (3)



ULAZ CEKANJE POSLUZIVANJE IZLAZ

i

1

n

1

2

mt t

t

w s

q

ll

l

w s

q

C

1

)(1

1

ntn

nt-n

ntn

ttt

n

nn

n

1 za ,

1

1

1

kntontlkttlP

tottntlnttlP

totntlnttlP

totntlnttlP

qq

nnqq

nqq

nqq

tPntlP nq

ttPttP

ttPttP

nnnnn

nnn

11

11

1

1111

nnnn

nnnnn

tPtP

tPt

tPttP

model rađanja i umiranja

stanja i prijelazi

vjerojatnosne jednadžbe



,...3,2,1 , ,0 1111 ntPtPtPdt

tdPt nnnnnnn

n

tPtPdt

tdPn 1100

0 :0 0 lim

dt

tdPtPP n

nt

n

,...3,2,1 ,1111

1100

nPPP

PP

nnnnnnn

0 1 n-1 n n+10

1 2 n1 n

,...3,2,1 ,,...,

,...,

, ,1

00121

0121

012

011

2

120

1

01

0

nPKPP

PPPPPP

nnn

nnn

nn

1

0

010

1

1

,11

nn

nn

nn

K

P

PKP

wsqw

w

qwn

nq

TTTL

T

LLnPL

,

, ,0

rješenje ravnotežne jednadžbe

diferencijalne jednadžbe

dijagram stanja



00

2

2012110 ,..., , ,... ,... PPPPPPn

n

0

00

00

1,1 1,

n

nn

n

nn PPP

1 za,1

1

1

1 sljedi ,

00

n

n

n

n

1 ,11

0

0n

n

n

n

PP

rješenje za stacionarno stanje: M/M/1



1

1100

n

n

n

nq nnL

karakteristične veličine za M/M/1

,11

22

qw LL

,1

sw

wTL

T

1

11 swsq

TTTT


Zavod za telekomunikacijekarakteristike M/G/1 sustava (1)

][

][ jet varijaciKoeficijen

)(])[(

])[(]])[[(][ Varijanca

)(][t vrijednosSrednja

)()( osti vjerojatngustoću Funkcija

}{)( osti vjerojatnFunkcija

2

2

1

2

1

xE

xVarc

dxxfxEx

xExpxExExVar

dxxxfxpxE

dx

xdFxf

xaPxF

x

i

i

n

ii

i

n

ii

a



2

224332

22

0

)1(4

)((

)1(3

][][][ Varijanca 6.

)1(2

)1(sustavu u jedinica broj Srednji 5.

1prazan sustav je dast Vjerojatno 4.

1 sustava Stabilnost 3.

][:opter. 2.

japosluživan vremenajet varijacikoeficijen

japosluživan vrijemesrednje][

[erl/s] dolazaka intenzitet

Parametri 1.

sssqq

sq

s

s

Ts

ss

tEtEtVarLLVar

cL

p

tE

T

σc

tET

s

karakteristike M/G/1 sustava (2)



)1(2

)1( čekanja vrijemeSrednje 11.

)1(4

)((

)1(3

][][][ Varijanca 10.

)1(2

)1( azadržavanj vrijemeSrednje 9.

][ ][ Varijanca 8.

)1(2

)1(repu u jedinica broj Srednji 7.

2

2

2223

2

2

22

ssw

sssq

sss

qq

qw

sw

cTT

tEtEtVarTVar

cTT

LT

LVarLVar

cL




2

2

3

2

2

22

)1()1(

][ perioda aktivnog Varijanca 17.

1 perioda aktivnog trajanjeSrednje 16.

)1()-(1periodu aktivnom

u posluženih jedinica broja Varijanca 15.

-1

1periodu aktivnom

u posluženih jedinica broj Srednji 14.

1)( ̇perioda praznog Raspodjela 13.

][][][ Varijanca 12.

ss

s

s

tp

sqw

TtE

T

T

etF

tVartVartVar

p




osnovni modeli sustava posluživanja (1)

.1

,1

1,

1

,1

,1

,12

,2__,1

2

2

22

qq

s

qswsq

ww

s

wsw

s

TL

T

TTTTT

TL

T

TT

vT

Tv

srednje vrijeme čekanja

srednji broj jedinica u repu

srednje vrijeme zadržavanja

22

2

22

2

222

2

22

)1()(

,)1(

)(

,)1(

)1()(

,)1(

)2()(

q

sq

w

sw

L

TT

L

TT

varijance:

model M/M/1

srednji broj jedinica u sustavu



grafički prikaz

srednje vrijeme čekanja i zadržavanja

srednji broj jedinica u repu i u sustavu




PrimjerMjerenjem je ustanovljeno da na komutaciju paketa dolaze paketi s intenzitetom 125 paketa/sek i da komutacija treba u prosjeku 2 ms za usmjeravanje. Koristeći se M/M/1 modelom analizirajte svojstva komutacije.

Tw, Lw Ts

Tq, Lq





ms 66.075.0

002.0*25.0

1 čekanja vrijemesrednje

083.075.0

25.0

1bufferu u jedinica broj srednji

ms 66.275.0

500/1

1 azadržavanj vrijemesrednje

33.075.0

25.0

1 komutacijiu paketa broj srednji

25.0/ komutacije opter.

erl/s 500002.0/1 japosluživan intenzitet

erl/s 120 ulazaka intenzitet

22

sw

w

sq

q

TT

L

TT

L

rješenje:




model M/Er/1

)}.1

1(2

1{1

)},1

1(2

1{1

1)},

11(

21{

1

),1

1()1(2

),1

1()1(2

),1

1()1(22

),1

1(__,1

2

2

22

rTL

rT

T

r

TTTT

rTL

rT

T

r

T

vT

rTv

qq

s

qswsq

ww

s

wsw

s








grafički prikaz


0.2 0.4 0.6 0.8RO

2

4

6

8

10

TqTs

1r

2r

1010r



model M/D/1

).2

1(1

,1

)2

1(),

21(

1

,)1(2

,)1(2

,)1(22

,__,1

2

2

22

qq

s

qswsq

ww

s

wsw

s

TL

T

TTTTT

TL

T

TT

vT

Tv








grafički prikaz




model M/M/m s čekanjem

[erl]

[erl]

m

Am

mC

A

.)1(!

)(}{}{

,)1(!

)(

!

)( ,

;!

;!

)(

}{

0

11

00

0

0

m

mPnlPmlPP

m

m

i

mP

mnm

mP

mnn

mP

nlP

m

mnqqm

m

i

mi

mn

n

q

Vjerojatnost čekanja (Erlang-C formula):

1

2

mlq, P{lq=n}

C

C(lq)

mC

m lq

n<m n>m

P{lq>m}

A =




11)1//()1(

)1()//(

00

0

ssww

mmw

TT

TMMTTmT

mPTPmMMT

)1

1

))1(

1(

)1(1)//(

mwq

mww

mwsq

msmw

PmLmL

PTm

L

m

P

C

mTmTT

C

PTPmMMTsrednje vrijeme čekanja







ovisnost relativnog srednjeg vremena zadržavanja o opterećenju (1)


raste

raste

m

Pm



ovisnost relativnog srednjeg vremena zadržavanja o opterećenju (2)




Primjer

Studenti na FER-u imaju pristup na mrežu preko 5 radnih stanica. Dolazak studenata u prosjeku 10 na sat s eksponencijalnim karakteristikama. Prosječno korištenje radne stanice je 20 minuta s eksponencijalnim karakteristikama. Mogu li studenti biti zadovoljni s takvim pristupom mreži?

1

2

5Tw, Lw Ts

Tq, Lq




rješenje

L = 1/6, B = 1/20, m = 5; RO=N[L/(mB)] = 0.666 erl

P0=1/((Sum[((mRO)^i)/i!, {i, 0, m-1}])+((mRO)^m)/(m!(1-RO))) = 0.0317

P=(((mRO)^m/(m!(1-RO)))/P0 = 0.326

Lw=(RO P)/(1-RO) = 0.653

Lq=mRO + (RO P)/(1-RO) = 3.986

Tq=(1/B) (1+(P/(m(1-RO)))) = 23.92




model M/M/m s gubicima

][erl

][erl

m

Am

mC

A

.

!

!),(}{

,!

)( ,;

!

)(}{

0

1

000

m

i

i

m

qB

m

i

in

q

i

Am

A

mAEmlPP

i

mPmn

n

mPnlP

Vjerojatnost gubitaka (Erlang-B formula):

1

2

m

C

C(lq)

mC

m lq

n<m n>m

P{lq>m}A

A(P{lq>m})

A(1-P{lq>m})




grafički prikazi vjerojatnosti gubitaka (Erlang-B formula):




Primjer

Na koncentratoru se integriraju tri vrste informacijskih tokova: govor, podaci i telefaks. Intenziteti su nailazaka pojedinih informacijski jedinica: govor, 0.003, podaci, 0.001 i telefaks 0.0001 erl/s, svi s Poissonovim karakteristikama .Broj priključaka za govornu komunikaciju je 700, za podatke 200 i telefaks 100.Prosječna duljina pojedinih vrsta komunikacije iznosi: govor 1 Mb, podaci 10 kb i telefaks 200 kb, sve s eksponencijalnim karakteristikama. Koliki je potreban broj kanala brzine 64 kb/s za prijenos ukupnog prometa, da gubici u koncentratoru ne prijeđu 1%.

200

100

A

m

PB*A

(1-PB)*A1

m





Ukupni prometni intenzitet

A = 700 * 0.003 * 15.625 +200 * 0.001 * 0.156 +100 * 0.0001 * 3.125

32.8749

rješenje

36S1 10*64/10T N

prosječno vrijeme zauzimanja:

.064000/10000TS2 N

125.364000/200000TS3 N




konačno rješenje:

01125.0),0,,!/)^(/()!/)^((

44m

miiiASummmAPB

0081.0),0,,!/)^(/()!/)^((

45m

miiiASummmAPB




Markovljeve mreže repova (1)

2

N

i

1

1

mi

ir11

NiN r

i

i

)(, ii lPl

1iir

iNir

)1(1

N

jiji r

Ni

Ni

,...,...,

tokoviUnutrašnji

,...,...,

tokoviVanjski

1

1

NNN

ij

N

rr

r

rrr

R

...

...

...

grananja Matrica

1

11211

R

rji

N

jjii

oblik Vektorski

tokovaJednadžba

1




.)1(!

)(}{

čekanjem s Sustav

0ii

mii

iiqimi m

mPmlPP

i

)

)1(1(

azadržavanj Vrijeme

ii

mi

i

iqi m

P

C

mT

.

!

!),(}{

gubicima s Sustav

0

i

i

m

j

ji

i

mi

iiiqiBi

j

A

m

A

mAEmlPP

)()...()...()(

teoremJacksonov

221121 NNiiNi lplplplp),...,l,...,l,lp(l


Markovljeve mreže repova (2)



sustavi posluživanja s prioritetima, statički prioritet

t VRIJEME

P R I O R I T E T

1

2

3

4

REDOSLIJED PRIORITETA: {1,2,3,4}

UNUTAR PRIORITETA: prvi došao - prvi poslužen




sustavi posluživanja s prioritetima, dinamički prioritet

A B C D E F G H I VRIJEME

D I N A M I Č K I

P R I O R I T E T

1

2

3

4

T1 T2

T1: B-D-A-C-F-E

T2: B-D-G-H-A-F-C-I-E




analiza sustava s prioritetima

VRIJEME VRIJEME

D I N A M I Č K I

P R I O R I T E T

P R I O R I T E T

Č V R S T I

PROMJENA PRIORITETA

ULAZAK JEDINICE VIĆEG PRIORITETA

BEZUVJETNI PREKID

VRIJEME VRIJEME

D I N A M I Č K I

P R I O R I T E T

P R I O R I T E T

Č V R S T I

PROMJENA PRIORITETA

ULAZAK JEDINICE VIŠEG PRIORITETA

UVJETNI PREKID




statički prioritet, uvjetni prekid (1)

opter ukupno

tog-k doopter sumarno

prioriteta tog-iopter

1

1

1

n

ii

k

iik

siii

ii

n

ii

ρρ

R

T

čekanja vrijemeza prispjele

jedinica prispjelih prije jeposluživan

jedinice odabrane prije jeposluživan

1

1

´

1

0

1

1

´

10

k

jj

k

jj

k

jj

k

jjwl

t

t

t

ttttk

k

0t

k

jjt

1

1

1

´k

jjt

ULAZAK

CEKANJE

POSLUŽIVANJE

kwlt

k-1

n




1

1

´

10

11 ),()(

k

jj

k

jjwk

si

n

i

isi

n

i

i

TTTT

TTtHtH

1

1

10

1

110

´

1

,

,

,

,

:relacije Littleove vrijede

k

jj

k

jwjj

wk

wk

k

jj

k

jwjjwk

wkjj

wjjj

jwj

j

wjj

wjjwj

TT

T

TTTT

TT

TTL

T

TL

)1)(1()1)(1(

.....................

,)1)(1(

:3k

,)1)(1(

:2k

,1

:1k

1

01

1 1

0

32121

03

211

02

1

01

kkk

i

k

iii

wk

w

w

w

RR

TTT

TT

TT

TT





n

iwi

iwwkkwkkwkqk

kwkqk TTTLLLTT

1 , , ,

1

)1)(1(2

.2

1)(

2

1

)(1

2)(

2

1

1

2

1

2

0

2

1

0 1

2

0

20

kk

n

isii

wk

n

isiii

n

ii

n

iii

RR

tT

ttdHt

tdHttdHtT

preostali parametri sustava:





Primjer

Sustav za obradu podataka procesira tri različite vrste zahtjeva. Sve vrste zahtjeva nailaze u skladu s nezavisnom Poissonovom statistikom, prva s intenzitetom 0.5 erl/s uz D raspodjelu vremena obrade srednje vrijednosti 0.5 s, druga vrsta intenziteta 0.1 erl/s uz M raspodjelu vremena obrade srednje vrijednosti 2.0 s, a treća vrsta zahtjeva dolazi s intenzitetom 0.03 erl/s i E5 raspodjelom vremena posluživanja srednje vrijednosti 5.0 s. Zahtjevi se poslužuju po redoslijedu prvi dolazi-prvi poslužen. Treba izračunati:(1) opterećenje procesora, (2) srednje vrijeme čekanja za svaku vrstu zahtjeva, (3) srednje vrijeme zadržavanja za svaku vrstu zahtjeva(4) srednji broj zahtjeva u sustavu.(5) ponoviti (1) do (4) uz redoslijed prioriteta: najviši - prva vrsta, srednji - druga vrsta, najniži - treća vrsta.Primjer ćemo riješiti ovim postupkom:




s. 28.2)6.01(2

)5/11(0.5*03.00.2*2*1.05.0*5.0

)1(2

razliciti momemtisu

drugi ja,posluživan vremenaraspodjele funkcija

razlictih zbog 3 za ali ,1 prioriteta nema Kada (2)

erl. 6.0951.0*63.0 iznosi

procesora eOpterecenj s. 951.0

japosluživan vrijemesrednje ukupno i

erl/s 63.0 iznosi nailazaka intenzitet Ukupni(1)

222

3

1

2

3

1

321

isii

w

sii

is

tT

nk

TT

postupak (1)




.55.1sustavu u zahtjeva broj Srednji 4)-(5

s. 46.2 azadrzavanj vrijemeSrednje 3)-(5

s. 51.1 s, 15.4 s, 21.2 s, 22.1

;)1)(1(2

cekanja vrijemeSrednje 2)-(5

15.00.5*03.0,2.00.2*1.0,25.05.0*5.0 1)-(5

.03.2sustavu u zahtjeva broj Srednji (4)

s. 23.328.2951.0 azadržavanj vrijemeSrednje (3)

321

1

3

1

2

321

qq

q

wwww

kk

isii

wk

qq

swq

TL

T

TTTT

RR

tT

TL

TTT

postupak (2)


“if the facts don’t fit the theory, change the facts.” albert einstein

Documents