TEMA 7 FUNCIONES ELEMENTALES

7.1 Definición de función

Una función es una relación matemática entre dos conjuntos numéricos. A uno de

los conjuntos se le denomina variable independiente y se designa con la letra x; al

otro conjunto se le denomina variable dependiente y se designa con la letra y. A

cada valor de la variable independiente corresponde un solo valor de la variable

dependiente, pero no tiene por qué suceder al revés, es decir, pueden haber varios

valores de la variable x a los que corresponda el mismo valor de la variable y. En

general, esto se resume en la siguiente expresión: y=f(x).

Las funciones desempeñan un papel fundamental en matemáticas, en física,

tecnología y economía. Cuando decimos que una cosa depende de otra, solemos usar

el lenguaje matemático y decir “es función de”. Así, la presión atmosférica es

función de la altura, la velocidad es función del tiempo, el precio de un producto es

función de la demanda, etc...

7.2 Expresión de una función

Hay diversos modos de expresar una función. Uno de ellos es mediante una Tabla

de valores. Se trata de un listado de doble entrada, donde los valores de la variable x

e y van emparejados. Este tipo de organización de los datos para relacionar dos

variables es más propio de la Estadística, donde no suele haber una conexión

definida entre las variables. En el estudio de funciones (el Análisis matemático), un

listado con los datos es más bien un paso previo para hallar una ley o fórmula que

los relacione.

Podemos usar una gráfica para expresar una función. Estamos usando entonces un

sistema cartesiano de dos ejes coordenados X (abcisas) e Y (ordenadas). La función

viene representada por una serie de puntos en el plano que en general dan lugar a

curvas o rectas. Cada punto del plano representado (x, y) expresa la relación

funcional entre dos números reales, de modo que f(x)=y.

Consideremos la siguiente función definida a partir de su gráfica. Para encontrar el

valor que corresponde x=4 basta levantar una vertical desde la abcisa 4 hasta

encontrarnos con la gráfica y trasladar horizontalmente dicho punto hasta el eje

vertical, encontrándonos con y=6. Así pues f(4)=6. Y viceversa: si queremos

averiguar cual es el valor de x que

corresponde a y=3 trazamos una

horizontal desde la ordenada 3 hasta

la gráfica y desde ahí verticalmente

hasta encontrarnos con la abcisa 10,

por tanto f(10)=3.

Sin duda, la forma más interesante para expresar una función es mediante una

fórmula que relacione dos variables x e y. Además, es conveniente que en dicha

expresión la variable dependiente y esté despejada. Ejemplos de fórmulas de

funciones: f ( x )=3 x+1x−1

g (x )=x2+1

Cuando disponemos de una fórmula, es fácil a partir de la misma construir una tabla

de valores y a continuación trasladar dichos valores a una gráfica. De este modo, la

fórmula es un recurso más potente que los otros dos.

FORMULA →TABLA DEVALORES→ GRÁFICA

7.3 Propiedades de las funciones

Existen una serie de características que definen a una función. Vamos a analizarlas:

a) Dominio y Recorrido (o Imagen).

El dominio es el conjunto de valores de la variable x para los que existe y. De

modo análogo, la Imagen o Recorrido es el conjunto de valores de la variable y

que son función de alguna x. Así pues, el Dominio se circunscribe al eje X

mientras que la Imagen lo hace al eje Y.

b) Puntos de corte con los ejes .

Son aquellos puntos en los que la función se encuentra con los ejes coordenados.

Pueden haber varios puntos de corte con el eje X, pero sólo puede haber uno,

como mucho, con el eje Y. Para obtener dichos puntos debemos anular la

coordenada contraria en la expresión algebráica de la función.

Corte con X: y=0 Corte con Y: x=0

En general el corte con el eje X suele ser más complicado y conduce a la

resolución de ecuaciones algebráicas, a veces de difícil solución.

c) Continuidad .

La continuidad es una propiedad importante pues asegura la existencia de la

función en un entorno de un punto de la misma. En forma intuitiva podemos

decir que una función es continua si puede representarse “sin levantar el lápiz

del papel”. Cuando hay una ruptura en un punto se dice que hay una

discontinuidad. Las discontinuidades pueden deberse a varias razones y serán

analizadas pormenorizadamente en cursos posteriores.

d) Crecimiento y decrecimiento .

Una función se dice que es creciente cuando al aumentar la x, aumenta a su vez

la y. Una función se dice que es decreciente cuando al aumentar la x, la variable

y disminuye.

Puede ocurrir que la función no crezca ni decrezca: se dice entonces que se

mantiene constante (su gráfica es una recta horizontal).

Es habitual que haya zonas diferenciadas en una función con crecimiento de

diferente signo.

e) Extremos relativos .

Cuando en una función hay zonas con crecimiento y decrecimiento, es lógico

que se produzcan puntos de transición entre ellas; dichos puntos son los

extremos relativos. Un máximo relativo es una especie de “cúspide” y en él se

produce una transición de crecimiento a decrecimiento. Un mínimo relativo es

una especie de “hondonada” y marca el tránsito del decrecimiento al

crecimiento.

Vamos a analizar los puntos anteriores con un ejemplo.

-Dominio de f(x): [−1 ,2 ]∪ [3 ,5 [∪ ]5 , 8 ](obsérvese que la función no está definida en el punto x=5)

Imagen de f(x): [ 0 , 5 ]

-Puntos de corte con los ejes coordenados: A(-1,0) B(0, 1)

-Continuidad: La función es discontinua en el intervalo (2, 3). En el resto de su

dominio es continua.

-Crecimiento.

La función crece en [−1 ,2 ]∪¿

Es constante en [ 3 , 6 ]

-No hay extremos relativos.

Recordemos que para que haya extremos ha de haber una transición entre zonas

de crecimiento y decrecimiento.

Veamos este otro ejemplo:

-Dominio de f(x): R

-Imagen de f(x): [−∞ ,8 ]

-Puntos de corte con los ejes coordenados: A(-2,0) B(0, -7)

-Continuidad: La función es discontinua en el punto x=-3. En el resto de su

dominio es continua.

-Crecimiento.

La función crece en [−∞ ,−3 ]∪ [ 1, 2 ]

Es constante en [ 2 ,+∞ ]

Decrece en [−3 , 1 ]

-Hay un extremo relativo en P(1, -8)

Nota.-Obsérvese la asimetría que hay en la consideración de las variables x e y. Ya vimos que

para una x sólo puede haber una y, pero no tiene porque pasar al revés. Por otro lado, las

propiedades de una función vienen referidas al eje X. Es en dicho eje donde leemos las

diferentes características: dominio, zonas de crecimiento, puntos singulares, etc…

f) Simetrías.

Puede darse el caso de que una función tenga algún tipo de simetría, lo cual

puede facilitar su estudio y representación. Podemos encontrar dos tipos

principales de simetría:

A. Simetría respecto al eje Y. La función se denomina par. Cumple en todos los

puntos de su dominio la siguiente condición:

F(x)=F(-x)

B. Simetría respecto del origen de coordenadas. La función se denomina impar.

Cumple lo siguiente:

F(x)= -F(-x)

g) Asíntotas.

La función puede tender a confundirse con una linea recta en el infinito. A dicha

recta se la denomina asíntota. Pueden haber asíntotas verticales, horizontales y

oblicuas. Estas últimas se estudiarán en los próximos cursos. Hay que tener en

cuenta que las asíntotas son lineas de referencia importantes en el estudio de una

función, pero NO son la función.

Consideremos el dibujo de la siguiente función:

Dicha función es impar, pues tiene una simetría respecto al origen. Además tiene

un par de asíntotas: Asíntota horizontal en el eje X y asíntota vertical en el eje Y.

Hay que tener en cuenta que en cada punto de asíntota vertical hay una

discontinuidad.

h) Periodicidad.

Algunas funciones se repiten cada cierto intervalo del dominio, de modo que

cumplen lo siguiente: f(x)=f(x+T)

Dichas funciones se denominan periódicas. Al valor T se le denomina periodo.

La función del dibujo tiene una periodicidad de T=3 f(x)= f(x+3)

7.4 La función lineal

Vamos a estudiar diversos tipos de funciones elementales.

El primer y más sencillo ejemplo de función es la función lineal. Se trata de una

función que tiene como expresión algebráica un polinomio de grado 1, es decir su

expresión es de la forma:

y=m x+b

La representación gráfica de una función lineal da lugar a una linea recta. La

posición de la misma en el plano y su inclinación dependen de dos factores

numéricos:

La pendiente m: indica el grado de inclinación de la recta. Si es positiva la recta

crece y si es negativa decrece. Cuanto mayor es su valor absoluto más vertical es la

posición de la recta.

La ordenada en el origen b: indica el punto donde la función corta al eje Y.

Existen multitud de ejemplos prácticos de funciones lineales. En general cuando en

una cantidad variable interviene una parte fija y otra variable de grado 1, estamos

ante una función lineal. Por ejemplo, lo que pagamos en un taxi, la factura de la

electricidad, los gastos de una empresa,

etc…

A continuación se representa la función

lineal f ( x )=0.5 x+3. Se trata de una

función creciente, cuyo dominio y

recorrido es R. Los puntos de corte se

obtienen anulando la coordenada

correspondiente y son (-6, 0) y (0, 3).

Uno de los problemas básicos relacionados con la función lineal es el de obtener la

expresión de la misma sabiendo que pasa por dos puntos conocidos. Supongamos

que estos son P ( x1, y1 ) yQ(x2 , y2). La pendiente m puede calcularse con la

expresión:

m=y2− y1

x2−x1

Una vez obtenida la pendiente, sustituimos la misma en la ecuación de la función así

como las coordenadas de cualquiera de los puntos P o Q. De este modo

despejaremos el coeficiente b.

En la expresión de la función lineal pueden anularse alguno de los coeficientes m o

b que caracterizan a la función, dando lugar a los siguientes casos particulares:

a) Recta que pasa por el origen (b=0) y=mx

b) Recta horizontal. Función lineal constante (m=0) y=b

7.5 La función cuadrática

La función cuadrática es una función polinómica de grado 2. Se trata del siguiente

escalón en complejidad tras la función lineal. Su expresión es del tipo:

y=a x2+b x+c

La representación gráfica de esta función da lugar a una curva denominada

parábola. Esta curva tiene un eje de simetría propio que divide la curva en dos

ramas. El punto donde la curva se encuentra con el eje de simetría se denomina

vértice, y es el punto más alto o más bajo de la curva.

Los coeficientes a, b, c determinan tanto la forma como la posición de la parábola en

el plano.

El coeficiente a es fundamental para determinar el grado de abertura de las ramas y

por tanto la forma en que crece la función. Cuanto mayor es el valor absoluto de a,

más cerradas son las ramas y por tanto más deprisa crece f(x). El signo también es

importante: si es positivo, las ramas se dirigen hacia arriba; si es negativo van hacia

abajo.

Cuando los coeficientes b y c son nulos la curva es Par, es decir su eje de simetría

coincide con el eje Y. La existencia de los coeficientes b y c, “descentra” la curva

respecto del eje Y, y traslada en el plano el eje de la parábola. Para encontrar el eje

de la parábola podemos calcular la posición del vértice:

V ( xv , y v) xv=−b2 a

yv=a x v2+b xv+c

Los puntos de corte con los ejes se calculan en la forma habitual:

Corte con Y: x=0 y=c

Corte con X: 0¿a x2+bx+c

La anterior ecuación puede proporcionar hasta dos soluciones:

a) Si hay dos soluciones, la parábola corta en dos puntos al eje X

b) Si hay una solución, la parábola corta en un punto al eje X, punto que además es

el vértice.

c) Si no hay solución la parábola está por encima o por debajo del eje X sin

cortarlo.

Tomemos como ejemplo la parábola de ecuación

y=x2−2 x−3

El vértice está en el punto V(1, -4)

Los puntos de corte están en (0, -3) (-1, 0) (3, 0).

El dominio es R y el recorrido ¿

Hay un mínimo relativo en x=1 que divide el dominio en dos zonas, una

decreciente y otra creciente.

7.6 Función de proporcionalidad inversa

Como su nombre indica, en este tipo de función al crecimiento de la x sigue el

decrecimiento de la y, y viceversa. Su expresión es del tipo:

y= kx

La representación gráfica de dicha función da lugar a una curva denominada

hipérbola. Dicha curva es simétrica respecto al origen y tiene dos ramas

independientes. La posición de dichas ramas dependerá del signo del coeficiente

“k”: si es positivo las ramas estarán en el primer y tercer cuadrante. Si es negativo

en el segundo y cuarto.

Otras características de este tipo de funciones son:

Tanto Dominio como Imagen: R−{0 }

No hay puntos de corte

El eje X y el eje Y son asíntotas.

Hay una discontinuidad en x=0

Hay simetría respecto al origen

La función crece siempre si k<0 y crece siempre si k>0

No hay extremos.

En el siguiente ejemplo se representa la hipérbola de ecuación y=5x

7.7 Función irracional

Las funciones irracionales son aquellas en las que la variable x aparece bajo el signo

de raíz. Estudiaremos aquellas más simples.

Consideremos la función f ( x )=√x

Su dominio está restringido a los positivos y el cero dado que no existen raíces con

radicando negativo. Como tomamos la solución positiva de la raíz, el recorrido será

también ¿ . El único punto de corte es el (0, 0).

No tiene simetrías ni asíntotas ni extremos. Es

creciente y continua en todo el dominio.

7.8 Funciones definidas por trozos

En las funciones definidas a trozos hay diversas fórmulas aplicables a distintas

zonas del dominio. No hay que confundir el hecho de que la gráfica resultante sea

un tanto heterogenea con que la función sea diversa: la función es única aunque esté

compuesta con fórmulas distintas.

Para una correcta representación de este tipo de funciones hay que tener en cuenta

que los valores de la función en los extremos de cada zona deben ser estudiados en

sus bordes exactamente, teniendo presente que si el intervalo es abierto se suprimira

el punto en la gráfica dejando un pequeño círculo en su lugar.

Lógicamente una de las cuestiones a considerar en este tipo de funciones es la

continuidad, pues suelen presentarse discontinuidades en los puntos del dominio

que están entre las distintas zonas. En los restantes aspectos, estas funciones tienen

las mismas propiedades y características que las funciones elementales vistas hasta

ahora: puntos de corte, simetrías, asíntotas, etc…

Consideremos la función f(x) definida del siguiente modo

f (x){ 2x si 0≤ x<12 si 1≤ x<3

−x2+9 x−16 si3≤ x≤ 6

Su representación es el siguiente

dibujo. Apreciamos que el dominio

es el intervalo [ 0 , 6 ] y su recorrido

[ 0 , 4.25 ]. La función es continua. Es

creciente en [ 0 , 1 ] ,constante en [ 1 ,3 ]

,decreciente en [ 3 ,4.5 ] y creciente de

nuevo en [ 4.5 , 6 ] .Hay un punto de

corte en (0, 0) y un máximo relativo

en (4.5, 4.25)

7.9 Función inversa

Dos funciones son inversas una de otra cuando en ambas las variables x e y

intercambian sus papeles respectivos. Para que esto sea factible se tienen que

cumplir ciertas condiciones, entre ellas que no haya distintos valores de la varible x

a los que corresponda un mismo valor de la variable y, pues entonces en la función

inversa a un valor de x le corresponderían varios valores de y, lo cual es

incompatible con la propia definición de función. La forma de definir una función

inversa sería la siguiente:

Dada una función y=f (x ) la función inversa de la misma y=f −1 ( x ) cumple lo

siguiente: f ( a )=b↔ f −1 (b )=a

Una forma práctica de obtener la función inversa de una dada, es la siguiente:

En primer lugar cambiamos el nombre a las variables. A continuación, despejamos

la variable y; el resultado obtenido será la expresión de la función inversa.

Ej.: f ( x )= 5 xx−1

y= 5 xx−1

→ x= 5 yy−1

→ xy−x=5 y → xy−5 y=x→ y= xx−5

Por tanto f (x)−1= xx−5

De la propia definición de función inversa se deduce la siguiente propiedad:

Una función y su inversa son simétricas respecto a la bisectriz del primer

cuadrante.

Nota.-Puede ocurrir que una función y su inversa coincidan. Eso se debe a que la función posee

un eje de simetría que es precisamente la bisectriz del primer cuadrante. Un ejemplo típico es la

función de proporcionalidad inversa y= kx

7.10 Composición de funciones

La composición de funciones es una operación algebráica que permite obtener una

nueva función a partir de otras dos, del siguiente modo: gof (x )=g (f ( x )) Es decir, al

valor de x le aplicamos la expresion de la función f, y el resultado obtenido lo

introducimos como variable independiente en la función g. El proceso se refleja en

el siguiente gráfico.

Vamos a verlo con un ejemplo. Consideremos las funciones

f ( x )=2x−3 g ( x )=4−5 x

Vamos a componer ambas funciones en distinto orden:

a) ( fog) ( x )=f ( g ( x ) )=f (4−5 x )=2 (4−5 x )−3=5−10x

b) ( gof ) (x )=g ( f ( x ) )=g (2x−3 )=4−5(2−3 x )=19−10 x

Ya hemos visto una primera cuestión importante: el orden en el que se realiza la

composición de funciones es fundamental, es decir, en general fog≠ gof .

Otra propiedad interesante es la siguiente:

-Si componemos una función con su inversa obtenemos la función identidad, es

decir:

f ( f −1 ( x ) )=x

ACTIVIDADES

CONCEPTO DE FUNCIÓN

1. Indica cuáles de las siguientes representaciones corresponden a la gráfica de una función. Razona tu respuesta:

d) e) f) g)

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES

2. Calcular el dominio de las siguientes funciones:

a) f ( x )=x2−4 x+3 b) f ( x )= 2 x+3

x2−4 x+3 c) f ( x )=3√ x2−4 x+3

d) f ( x )=√ x2−4 x+3 e) f ( x )=√1+2 x f) f ( x )= 1

x2−6

g) f ( x )= x

x2−4 h) f ( x )=√2 x i) f ( x )= 1

x2+4

j) f ( x )= 1

√x−2 k) f ( x )= 1

x2−2 x l) f ( x )=√6−3 x

m) f ( x )= 1

( x−5 )2 n) f ( x )=3√2 x−4 ñ)

f ( x )=√ x+2x−3

o) f ( x )=√x2−4 x+3

x+1 p) f ( x )= x+1

√x2−4 x+3 q)f ( x )=√ 2x+3

x2−4 x+3

3. Dada las gráficas de las siguientes funciones, estudia sus propiedades:

a) b)

c) d)

e) f)

g) h) i)

j) k) l) m)

4. Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:

Dom f =[–5, 6]

Crece en los intervalos (–5,–.3) y (0, 6); decrece en el intervalo (–3, 0)

Es contínua en su dominio.

Corta al eje X en los puntos (–5, 0) (–1, 0) y (4, 0)

Tiene un mínimo en (0 , –2) y máximo en (– 3, 3)

5. Representa gráficamente una función f, que cumple las siguientes condiciones:

El dominio de definición son todos los valores de x ¿

3.

Es continua en su dominio.

Crece en el intervalo (–2, 3)

Pasa por los puntos (0, 0) (–2, –3) y (3, 4)

Es constante para todos los valores de x ¿

–2

6. Representa gráficamente una función, f, que cumpla las siguientes condiciones:Está definida en todo REs continua.Corta al eje Y en (0, 6) pero no corta al eje X.Crece en (–3, 0) y (3, +) Decrece en (– , –3) y (0 , 3)Tiene un mínimo absoluto en (3, 1) y mínimo relativo en (– 3, 2)

7. Haz la gráfica de una función que cumpla:Dominio de definición: R – {–1}Corta al eje X en x = –2, x = 0 y x = 4.Crece en (– , – 1) y (0 ,2) y decrece en (– 1, 0) y (2, +)Tiene un máximo relativo en (2, 3) y un mínimo relativo en el (0, 0)

8. Desde su casa hasta la parada del autobús, María tarda 5 minutos la parada está a 200 m de su casa; espera durante 10 minutos, y al ver que el autobús tarda más de lo normal, de-cide ir andando a su lugar de trabajo, situado a 1 km de su casa. Al cuarto de hora de estar andando y a 300 m de su trabajo, se da cuenta de que el teléfono móvil se le ha olvidado en casa y regresa a buscarlo, tardando 10 minutos en llegar. Representa la gráfica tiempo-dis-tancia a su casa.

9. Eduardo se va de vacaciones a una localidad situada a 400 km de su casa; para ello decide hacer el recorrido en coche. La primera parada, de 30 minutos, la hace al cabo de hora y me-dia para desayunar, habiendo realizado la mitad del recorrido. Continúa su viaje sin proble-mas durante 1 hora, pero a 100 km del final sufre una parada de 15 minutos. En total tarda 4 horas en llegar a su destino. Representa la gráfica tiempo-distancia recorrida.

10. Construye una gráfica que corresponda a los ingresos anuales que obtienen unos grandes al-macenes, sabiendo que: Durante los dos primeros meses del año, aumentan paulatinamente debido a las ofertas; desde marzo hasta junio los ingresos van disminuyendo alcanzando, en ese momento, el mínimo anual. En julio y agosto vuelven a crecer los ingresos, alcanzando el máximo del año en agosto. A partir de entonces se produce un decrecimiento que llega a coincidir, en diciembre, con los ingresos realizados al comienzo del año.

11. Construye una gráfica que se ajuste al siguiente enunciado: A las 0 horas, la temperatura de una casa es de 15 ºC y, por la acción de un aparato que controla la temperatura, permanece así hasta las 8 de la mañana. En ese momento se enciende la calefacción y la temperatura de la casa va creciendo hasta que, a las 14:00 h, alcanza la temperatura máxima de 25ºC. Pau-

latinamente, la temperatura disminuye hasta el momento en que se apaga la calefacción a las 10 de la noche volviendo a coincidir con la que había hasta las 8:00 horas.

12. Estudia la simetría de las siguientes funciones:

a) f ( x )=x2−4 x+3 b) f ( x )=x4−3 x2c) f ( x )=x3−4 x

d) f ( x )= x

x2−4 f) f ( x )= 1

x2−6 g) f ( x )= 1

x2−2 x

13. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a) f ( x )=x2−4 x+3 b) f ( x )=x4−3 x2c) f ( x )=x3−4 x

d) f ( x )= x

x2−4 f) f ( x )= 1

x2−6 g) f ( x )= 1

x2−2 x−1

FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO

14. ¿Cuánto vale la pendiente y la ordenada en el origen de las siguientes rectas?a) y = 5x +3 b) y = 0,5x – 1 c) y = x – 1 d) y = – 3x +4

e) 3 x−2 y=5 f) y =

23 x g) y = – x +

78 h) y = 5

i) y = 3 – x j) y = 6 – 5x k) y= 3 x+5

2 l) y= 1−x

4

15. Representa gráficamente las siguientes funciones lineales:a) y = x – 4 b) y = – 3x – 1 c) y = x d) y = 3

e) y = 0,4x – 2 f) y = –

12 x – 1 g) y = 2 – 3x h)

y= 3 x−24

16. Halla la ecuación de la recta que tiene por pendiente 4 y cuya ordenada en el origen vale –7.

17. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(–1, 5) y cuya pendiente es 1.

18. Halla la función lineal que pasa por los puntos A(2, –2) y B(8, 1).

19. Halla las ecuaciones de las rectas que cumplen las siguientes condiciones:a) Pasa por los puntos A(1, 2) y B(2, –1).b) Tiene pendiente –2 y ordenada en el origen 10.c) Pasa por el punto A(0, 6) y tiene pendiente 0.d) Es paralela a y = 3x – 4 y pasa por el punto A(–3, 7)

20. Dadas las funciones f ( x )= 3 x+6

2 , g( x )=2xa) Indica cuáles son sus pendientes y sus ordenadas en el origen.b) Dibuja sus gráficas.

c) Averigua si el punto P(4, 9) pertenece a alguna de ellas.

21. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, – 3) y es paralela:a) Al eje OX.b) Al eje OY.c) A la recta y = 4x – 1.d) A la bisectriz del primer cuadrante.

22. Calcula la expresión algebraica de cada una de éstas rectas:

23. Relaciona cada expresión algebraica con su gráfica y explica cómo lo haces.

y=15 x+4

12

y=−15 x+2812

y=15 x−412

y=−15 x−2812

24. Se sabe que la fundición de producción P(x) de un artículo es lineal, donde x es el dinero in-vertido. Si se invierten 10000€, se producen 92 artículos; si se invierte 50500 €, se producen 497 artículos.a) Escribe la función de producción P(x)b) ¿Si se invierten 8000 €, cuántos artículos se producirían?c) Representa gráficamente la función P(x).

25. Tres kilos de peras nos han costado 4,5€; y , por siete kilos, habríamos pagado10,5€. a) Encuentra la ecuación de la recta que nos da el precio total, y, en función de los kilos que compremos, x. b Represéntala gráficamente. c¿Cuánto costarían 5kg de peras?

26. Un determinado día, Ana ha pagado 3,6€ por 3 dólares, y Álvaro ha pagado 8,4€ por 7 dóla-res.a Halla la ecuación de la recta que nos da el precio en euros, y, de x dólares. b Represéntala gráficamente.c¿Cuánto habríamos pagado por 15dólares?

27. Un técnico de reparaciones de electrodomésticos cobra 25€ por la visita, más 20€ por cada hora de trabajo.a Escribe la ecuación de la recta que nos da el dinero que debemos pagar en total, y, en función del tiempo que esté trabajando, x.b Represéntala gráficamente.c¿Cuánto tendríamos que pagar si hubiera estado 3 horas?

28. Rocío sale en bici desde la plaza hacia un pueblo cercano a una velocidad constante de 3m/s. Sabiendo que la plaza está a 6m de su casa:a Halla la ecuación de la recta que nos da la distancia, y, en metros, a la que está Rocío de su casa al cabo de un tiempo x en segundos.b Represéntala gráficamente.c¿Cuál sería la distancia al cabo de10 segundos?

29. En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, su crecimiento es directamente pro-porcional al tiempo transcurrido. Se ha observado que una planta que medía 2 cm, en la pri-mera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función que dé la altura de la planta en función del tiempo y representarla gráficamente.

30. Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represénta-la. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

31. Se ha realizado una campaña de vacunación en una comunidad autónoma. Los gastos de distribución son 600 euros y los gastos de vacunación son 5 euros por cada vacuna puesta.a) Determina la expresión algebraica de esta función.b) Representa la función

32. La tarifa de un taxi es 1,75 € por la bajada de bandera y 1,35 € por cada kilómetro recorrido.a) ¿Cual es el precio de un viaje de 10 km?b) Elabora una tabla con los precios que hay que pagar según los kilómetros que se recorren.c) Si se representa la grafica asociada a la situación, .tiene sentido unir todos los puntos obtenidos?

33. Un contrato de conexión a internet cuesta 20 € mensuales mas 0,60 € por cada hora de cone-xión.

a) Que cantidad debe pagar un usuario que ha utilizado el servicio 15 horas en el último mes?b) Y si ha usado la conexión durante 10 h 35 min?c) Representa la grafica de la función asociada.

FUNCIONES POLINÓMICAS DE SEGUNDO GRADO

34. Ordena las siguientes parábolas según la mayor o menor abertura de sus ramas, y averigua si tienen máximos o mínimos.y = 9x2 y = – 4x2 y = 5x2 y = – 0,8x2

35. Contesta a las siguientes preguntas relativas a la parábola y = ax2 + bx – c.a) ¿Cuándo tiene un mínimo?b) ¿Cuándo es tangente al eje OX?c) ¿Cuándo corta el eje OY?

36. Halla los puntos de corte con los ejes de coordenadas y las coordenadas del vértice de cada una de las siguientes parábolas.

a) y = x2 + 5x +6 b) y =

29 x2 – 2 c) y = – x2 +8x

37. Halla los posibles valores de m para que se cumpla la condición pedida:a) f(x) = x2 + mx + 3 corta al eje X en dos puntosb) g(x) = 2x2 – x – m no corta el eje Xc) h(x) = – x2 – mx – 5 corta al eje X en un solo punto

38. Indica cuáles de las siguientes parábolas están abiertas hacia arriba o hacia abajo:a) y = x2 – 4x +2 b) y = – x2 + 5 c) y = – x2

d) y = – x2 + 2x – 3 e) y = x2 – 4x +7 f) y = −1

2 x2 – 4x – 4 g) y = – 2x2 + 5x – 3 h) y = x2 + 2x +1 i) y = 0,2x2 – 2x + 5

j) y = 13 x2 + 3x + 6 k) y = x2 +2 l) y = x2 – 2x – 3

39. Representa las funciones del ejercicio anterior.

40. La parábola y = x2 + bx + c pasa por los puntos A(2, 3) y B(– 1, 1). Halla b y c.

41. Halla la ecuación de la parábola que tenga su vértice en el punto V(1, –2) y pase por el pun-to P(0, –3).

42. Una función cuadrática de la forma y = ax2+ bx+ 1 toma el valor 7 para x = −1 y para x = 2. Determina esta función.

43. Sea la función f(x) = x2 +mx +m. Determina m sabiendo que la gráfica pasa por el punto (2, 7).

44. Sea la función f(x) = x2 +mx + n. Determina m y n sabiendo que la gráfica pasa por los puntos (1, 0) y (− 3, 4).

45. Sea la función f(x) = ax2 + bx + c . Determina a, b, c sabiendo que la gráfica pasa por los puntos (1, 0), (0, 0), (−1, 2).

46. Dadas las funciones f (x) = x2 y g(x) = x.a) Halla las coordenadas de sus puntos de intersección.b) Dibuja en unos mismos ejes de coordenadas las gráficas de las dos funciones.c) A la vista de lo anterior, razona cuándo un número es mayor que su cuadrado

47. Relaciona cada parábola con su expresión algebraica:

y = 0,5x2 – 2

y = – x2 – 2x – 1

y = 3x2 – 6x + 4

y = – x2 +2x

y = 0,5x2 – x + 1,5

48. El beneficio (en miles de dólares) de una empresa viene dado por:

P( x )=5000+1000 x−5 x2 donde x es la cantidad (en miles de dólares) que la empresa

gasta en publicidad. Encuentre la cantidad, x, que la empresa tiene que pasar para maximi-zar su beneficio. Encuentra el máximo beneficio

49. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de k pies/seg. Su distancia S (t), en pies, por encima del suelo está dada por S (t) = – 16t2 + k t Buscar k de manera que el punto más alto que el objeto puede alcanzar es de 300 pies sobre el suelo.

50. Supongamos que un jugador de fútbol patea un tiro libre de modo tal que la trayectoria de la pelota, mientras se encuentra en el aire, es la parábola correspondiente a la función

y=−0 ,05 x2+0,7 x ; donde y es la altura en metros de la pelota cuando ésta se encuentra a x metros de distancia horizontal desde el punto en el que fue lanzada. ¿Cuál será el alcance del tiro libre?.

51. Si se lanza una piedra verticalmente hacia arriba, ésta sube hasta un cierto punto y luego empieza a caer. La relación que existe entre el tiempo t que la piedra lleva en el aire cuando

se encuentra a una altura y, está dada por la fórmula y=−5t 2+20 t +10 . ¿Cuándo alcan-zará el punto más alto?. ¿A qué altura está ese punto?

52. Un proyectil es lanzado hacia arriba desde el suelo. La trayectoria del proyectil está dada

por la función s( t )=−4,5 t 2+24 t , donde “s” es la altura en metros y “t” es el tiempo en segundos. a) Calcule la altura del proyectil a los 3 segundos de lanzado. R/ 31,5 m. b) Calcule la altura del proyectil a los 5 segundos de lanzado R/ 7,5 m.c) Cuánto tiempo tarda el proyectil en caer al suelo? R/ 5,33 seg.d) Cuánto tiempo tarda el proyectil en alcanzar su altura máxima? R/ 2,66 s.e) Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil? R/ 32 m.

53. El coste en euros para producir un cierto artículo viene dado por la fórmula

C ( x )=36−18 x+3 x2, donde “x” es el número de unidades de dicho artículo.

a) ¿Cuál es el coste de producir 15 unidades de este artículo? R/ 441 millones b) ¿Cuál es el coste de producir 25 unidades de este artículo? R/ 1461 millonesc) ¿Cuántas unidades de este artículo habría que producir para que el coste sea mínimo? R/

3 unidades.d) ¿Cuál es el coste mínimo? R/ 9 millones

54. La función s( t )=−3 t2+36 t , describe el salto de un grillo de manera que “s” indica la al-tura en centímetros que alcanza el grillo a los “t” segundos.a) Que altura alcanza el grillo a los 2 segundos? b) Que altura alcanza el grillo a los 5 segundos?c) Cuánto tiempo dura el grillo en volver a tocar el suelo?d) Cuánto tiempo dura el grillo en alcanzar su altura máxima?e) Cuál es la altura máxima que alcanza el grillo?

55. Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba con una velocidad “v”. La altura alcanzada

“h” en metros a los “t” segundos está dada por h( t )=−4,9 t2+vt . Si el cohete alcanza una altura de 3m a los 5 seg. Entonces cuál es su velocidad?

56. Sea f la función dada por f(t) = 20 t – 4,9 t2+ 50 que describe la trayectoria a los “t” segun-dos de una piedra lanzada hacia arriba desde el techo de un edificio.a) Cuál es la altura de la piedra a los 4 seg? b) Cuánto dura la piedra en tocar el suelo?c) Cuánto dura la piedra en alcanzar su altura máxima?d) Cuál es la altura máxima que alcanza la piedra?

57. El precio P en miles de colones para producir “x” unidades de pantalones está dado por P (x) = x2– 410x + 42390.a) Cuánto cuesta producir 10 pantalones? b) Cuántos pantalones se deben producir para alcanzar un precio mínimo?

c) Cuál es el precio mínimo que alcanza dicha producción?

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA

58. Representa gráficamente las siguientes funciones:

a) y=2

x b) y=−2

x c) y=1

x+3

d) y=1

x−3

e) y= 2

x+4 f) y= 2

x−4 g) y= 1

x+2−4

h) y= 1

x+3

i) y= −1

x+3 j) y= x+1

x−1 k) y= 2 x

x−3 l) y=2 x−1

2x

59. Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica:

a) y=−2

x+1

b) y= 1

x−3−2

c)y= 1

x−1+2

d) y= −1

x+2−2

60. El producto de x e y es 12. Escribe la expresión algebraica que nos relaciona la y en función de x. Represéntala gráficamente.

61. La siguiente tabla corresponde a un función de proporcionalidad inversa:

x 1 2 3 4 5 …

1 2

34

y 1/4

a) Completa la tablab) Escribe la expresión algebraica de la función.c) Represéntala gráficamente.

62. Observa la relación entre dos magnitudes a y b:

a 0.1 0.2 0.5 1 …b 60 30 12 6

a) ¿Cuál es su expresión algebraica?b) Represéntala gráficamente.

63. La intensidad del sonido que nos llega procedente de un foco sonoro viene dado por la si-

guiente función: I=25

d2, donde I es la intensidad del sonido y d es la distancia en metros.

Calcula el dominio de definición y represéntala gráficamente. ¿A qué distancia ha de poner-se una persona con deficiencia auditiva si sólo oye sonidos superiores a 100 u.?

64. Queremos construir un depósito con forma de prisma de base rectangular, 2 metros de altura y cuya capacidad sea 500 litros.

Estudia los diferentes valores que puede tomar la base de este prisma y escríbelos mediante una función.

FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

65. Representa gráficamente las siguientes funciones definidas a trozos y di cuál es el dominio de definición en cada una de ellas.

a) y=¿ {−2 si x<0 ¿ {x−2 si 0≤x<4 ¿ ¿¿¿

b) y=¿ {x+4 si −1≤x≤3 ¿¿¿¿

c)

y=¿{−2x−15

si x<2 ¿ ¿¿¿d)

y=¿ {− x−2 si x<0 ¿ {−2 x2+5x−2 si 0≤x<3 ¿¿¿¿

e) y=¿ {−x2+1 si −2≤x≤1 ¿ ¿¿¿

f) y=¿ {2 x+5 si −4≤x≤1 ¿ { x+5 si 0≤x<3 ¿ ¿¿¿

g)

y=¿ {− x+3 si x<2¿ {1 si 2<x≤4 ¿ ¿¿¿h)

y=¿{ −1x−1

si x≤0 ¿ ¿¿¿

66. Escribe las funciones que corresponden a las siguientes gráficas que has representado en los ejercicios 8, 9 y 11.

67. Escribe las funciones que corresponden a las siguientes gráficas:

FUNCIONES RADICALES

68. Calcula el dominio de definición de las siguientes funciones y represéntalas gráficamente:

a) y=√x−2 b) y=−√x−2 c) y=3 √2−x

d) y=2√ x+4 e) y=2√ x−4 f) y=2√4−x

FUNCIÓN COMPUESTA E INVERSA

69. Dadas y , determine:

a) b) c) d)

70. Dadas y determine:

a) b)

71. Dadas y , determine:

32)( 2 xxxf 5)( xxg

)4(f )(af )3(gf )(xgf

4)( 2 xxf 1)( xxg

)(xgf )(xfg

3)( xxf 7)( xxg

a) b) c) d)

72. Para cada par de funciones, determine y

a) y

b) y

c) y

d) y

e) y

f) y

g) y

h) y

i) y

j) y

k) y

73. Sabiendo que y determine como se pueden obtener (a partir

de ellas) las siguientes funciones

74. Sabiendo que y determine como se pueden obtener (a partir

de ellas) las siguientes funciones

75. Dadas y , determine:

a) b)

76. Determine la función inversa de y representa gráficamente y en los mismos ejes.

77. Determine la función inversa de

78. Calcula y de los dos ejercicios anteriores.

)2(gf )(xgf )2(fg )(xfg

)(xgf )(xfg

1)( 2 xxf 2)( xxg

3)( 2 xxf 6)( xxg

3)( xxf 4)( 2 xxxg

13)( xxf 24)( 2 xxxg

3)( xxf 4)( 2 xxxg

xxf 1)( 32)( xxg

xxf 2)( 1)( 2 xxg

4)( 2 xxf 3)( 2 xxg

4)( xxf 5)( xxg

6)( xxf 7)( xxg

423)(

xxf 1)( 2 xxg

23)( xxf 21)(

x

xg

223)(

x

xp23

1)( 2

xxq

31)(

xxf xxg )(

31)(

xxp

31)(

xxq

3)(

2xxf 1)( xxg

)(xgf )(xfgg

24)( xxf )(xf )(1 xf

2)( 3 xxf

)(1 xff )(1 xff

79. Determina la función inversa de las siguientes funciones:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

72)( xxf

63)( xxf

xxf 1)(

132)(

x

xf

32)(

x

xxf

11)(

xxxf

0 4)( 2 xxxf

2 2)( xxxf3 3)( xxf

xxxf

2

12)(

MATEMATICAS 4ºESO opción B

80. ¿ = para todos los valores de x? Explica y proporciona ejemplos que apoyen tu respuesta.

81. Sean las funciones y .Demuestra que =

. ¿Entra en contradicción con la respuesta dada en el ejercicio anterior? ¿Por qué?

82. La función convierte millas por hora, x, en pies por segundo. Determine la función inversa para convertir pies por segundo en millas por hora.

83. La función convierte grados Fahrenheit, x, en grados Celsius. Determine la función para convertir grados Celsius en grados Fahrenheit.

84. Cuando se arroja una piedra a un estanque, el círculo (onda) que se forma en el agua se ex-pande conforme pasa el tiempo. El área del círculo en expansión puede determinarse me-

diante la fórmula . El radio del cír-culo, r, en pies, es una función del tiempo, t, en segundos. Supongamos que la función es

a) Expresa el área como función del tiempo. ( )b) Determina el radio del círculo a los 3 segundos después de arrojar la piedra.c) Determina el área del círculo 3 segundos después de arrojar la piedra.

85. El área de la superficie, S, de un globo esférico de radio r, en pulgadas, se determina con

. Si el globo se está inflando con una máquina a una velocidad constante, el

radio del globo es una función del tiempo. Supongamos que esta función es , donde t son segundos.a) Expresa el área de la superficie como una función del tiempo.

b) Utilizando la función anterior, determinar el área de la superficie a los 2 segundos.

I.E.S. A. NAVARRO SANTAFÉ 28

)(xgf )(xfg

2)( 3 xxf 3 2)( xxg )(xgf

)(xfg

xxf1522)(

3295)( xxf

2 rA

ttr 2)( rA

2 4)( rrS

ttr 2,1)(