identificación paramétrica
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Identificación Identificación ParamétricaParamétrica
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ContenidosContenidos
• Proceso de Identificación
• Algunas Nociones Teóricas
• Modelos Paramétricos
• Interfaz Gráfica Toolbox de Identificación
• Otros métodos
• Métodos Recursivos
• Los comandos de la Toolbox
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DefiniciónDefinición
• Se denomina identificación de sistema a laobtención de información relevante a partir deun conjunto de datos observados.
• Resultado: Modelo Modelo
• ¿Cómo?– Ajustando parámetros para un modelo dado.
• ¿Cómo saber si un modelo es bueno?– Comprobandolo con datos no utilizados para la
obtención del modelo
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Identificación de SistemasIdentificación de Sistemas
• Tanto el modelado como la identificación son necesariospara la interpretación y observación de las medidasobtenidas desde el sistema de estudio.
• Los modelos constituyen el enlace necesario entreexperimentos y la toma de decisiones.
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ModelosModelos•• CognitivosCognitivos: modelos conceptuales desde el
razonamiento humano y su percepción.•• NormativosNormativos: especifican funciones a propósito de
un sistema. Ingeniería y regulacionesgubernamentales.
•• DescriptivosDescriptivos: orientados al comportamiento delsistema.
•• FuncionalesFuncionales: orientados a la acción y control delsistema.– cuantitativos
– cualitativos
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Modelos cuantitativosModelos cuantitativos• Es natural comenzando con un conjunto de datos de
entrada - salida de un sistema en funcionamiento,mientras los experimentos se realizan mediantemanipulación de las entradas.
• Propósitos:–– PredicciónPredicción del comportamiento del sistema en el futuro
–– AprendizajeAprendizaje de nuevas reglas que resuman lasregularidades del sistema
–– Compresión de datosCompresión de datos: produce un modelo querepresenta los datos de forma compacta y con bajacomplejidad
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Sistemas y complejidad de losSistemas y complejidad de losmodelosmodelos
• La complejidad depende del propósito delmodelado y de la identificación:–– Modelos cualitativos y categóricosModelos cualitativos y categóricos: derivables desde
principios físicos.–– Modelos cuantitativos estáticosModelos cuantitativos estáticos: modelos basados en
modelos de estados estables descritos mediante ecuacionesalgebraicas.
–– Modelos a posterioriModelos a posteriori: se derivan de datos experimentales yutilizan parametrizaciones abstractas o dependientes deexperimentos como son: caja negra, basados en regresioneslineales o modelos de series temporales. También expresanrelaciones como la covarianza entre las variablesformuladas y nociones estadísticas.
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Proceso de la identificaciónProceso de la identificaciónFasesFases
• Considerar el contexto de la aplicación
• Propósito y formulación del problema
• Planificación experimental
• Conjunto de modelos
• Identificación y métodos de identificación
• Validación del modelo
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Modelos noModelos no paramétricos vs paramétricos vs..modelos modelos paramétricosparamétricos
•• Modelos no Modelos no paramétricosparamétricos: consisten en un registrode respuestas a un impulso o a un flanco en eldominio del tiempo, o una medida de la función detransferencia en el dominio de la frecuencia.
•• Modelos Modelos paramétricosparamétricos: concentran toda lainformación en la estructura del modelo con unnúmero limitado de parámetros. Áreas de dificultad:– Definición y estructura del modelo
– Desarrollo del algoritmo para estimar los parámetros delmodelo
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HerramientasHerramientas• Vamos a utilizar el Matlab 6.0 con la toolbox de
Identificación
• Información básica: Los modelos describen lasrelaciones entre señales medidas de entrada y desalida.
• En el contexto de la identificación se consideranmedidas discretas tanto de las entradas como de lassalidas
y(t)u(t)e(t)
entradas salidas
perturbaciones
Sistema
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Un modelo dinámico básicoUn modelo dinámico básico• Una relación básica es una ecuación en diferencias
lineal
• donde la salida actual se puede obtener como unacombinación lineal de entradas y salidas anteriores.Donde:– los coeficientes: -1.5, 0.7, 0.9....– Los retardos de tiempo es de 2T unidades de tiempo antes
que un cambio en u afecte a y– en muchos modelos los retardos de las entradas y salidas
son referidos como orden del modelo.
)3(5.0)2(9.0)2(7.0)(5.1)( TtuTtuTtyTtyty −+−=−+−−
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Variantes en la descripción deVariantes en la descripción delos modeloslos modelos
• ARX del ejemplo anterior
• Otros:– Salida del error OE
– ARMAX
– FIR
– Box-Jenkins (BJ)
– Modelos del espacio de estado lineales
– Modelos lineales generales
– Modelos de función de transferencia........
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¿Cómo interpretar la fuente de¿Cómo interpretar la fuente deruido?ruido?
• Hay tres aspectos a tener en cuenta–– entender el ruido blancoentender el ruido blanco: es completamente
impredecible
– ¿cómo interpretar la fuente de ruidocómo interpretar la fuente de ruido? muchas vecesla fuente de ruido tiene significado físico.
– Utilizar la fuente de ruido cuando se trabaja con elmodelo:
• si el modelo es para simulación
• si el modelo es para predicción
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Términos que caracterizanTérminos que caracterizanpropiedades del modelopropiedades del modelo
• Respuesta a un impulso: es la salida obtenidacuando la entrada es un impulso.
• Respuesta a un escalón: es la salida resultado de unaentrada escalón.
AMBOS: son llamados El transitorio de la respuesta.
• Respuesta en frecuencia: Como responde el sistemafrente a una entrada senoidal. Dos gráficos uno delcambio de amplitud y otro del cambio de fase comofunción de la frecuencia. Diagrama de Bode.
• Ceros y Polos
∫ −=t
dtugty0
)()()( τττ )()( ttu δ=
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Algunas nociones teóricas.......Algunas nociones teóricas.......
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TransformacionesTransformaciones
• Transformada de Laplace
• don con s=σ+iw se llama frecuencia compleja. Latransformada de Fourier
{ }
{ } dsesXi
sXtx
dtetxtxsX
st
st
∫
∫∞+
∞−
−
∞
∞−
−
==
==
σ
σπ)(
2
1)()(
)()()(
1L
L
{ }
{ } dweiwXiwXtx
dtetxtxiwX
iwt
iwt
∫
∫∞+
∞−
−
∞
∞−
−
==
==
σ
σπ)(
2
1)()(
)()()(
1F
F
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Análisis de la respuesta enAnálisis de la respuesta enFrecuenciaFrecuencia
• Si el sistema a identificar es un sistemadinámico invariante en el tiempo y lineal
∫ −=t
dtugty0
)()()( τττ
)()()( sUsGsY =
{}.L
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Datos Datos discretizadosdiscretizados
• Una variable medida sólo esta disponible comoobservaciones periódicas de x(t) muestreado comoun intervalo de tiempo h.
• Se requiere que la duración del periodo de muestreo sea muycorta así la función de muestreo debe ser representada comouna secuencia de impulsos muy pequeños
{ } KK ,2,1,0,1,)( −==∞∞− kparakhxxx kk
∑
∑∞
−∞=
∆
∞
−∞=∆
−=Π
Π=−=
kh
hk
khtht
ttxkhthtxtx
)()(
)()()()()(
δ
δ
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Efectos producidos alEfectos producidos al discretizar discretizar
• Aplicando la transformada de Fourier
{ } { } { }
{ }
{ } { } ∑
∑
∞
−∞=∆
∞
−∞=
∆∆
−=Π=
Π=
−=Π
Π==
kh
hkh
h
kh
wiXttxiwX
wh
hwt
ttxtxiwX
π
ππ
δ π
2)(*)()(
)(2
2)(
)(*)()()(
2
FF
F
FFF
que tal
donde
Periodo=Frecuencia de muestreo
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Teorema del muestreo deTeorema del muestreo deShannonShannon
• La variable continua en el tiempo x(t)puede ser reconstruida desde losmuestreos {xk}∞
∞ sí y sólo si lafrecuencia de muestreo es al menos dosveces la frecuencia más alta para la queX(iw) no es cero.
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La transformada en ZLa transformada en Z
Una aplicación directa de la variable discretizadaverifica que el espectro de x∆∆(t) esta relacionado conXz(z)
{ }
∞==∞<
=
==
−∞
−∞=
−
−∞
−∞=
∑
∫
∑
zzzx
dzzzXi
x
zxxzX
k
kk
kzk
k
kkz
y para excepto z de Plano
iaconvergenc de Región
pordada inversa rmaciónla transfo con
0
)(21
)(
1
π
Z
iwh
kz
iwkhkhz ehXexhttxFiwX −
∞
−∞=
−∑ ==Π= )}()({)(
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Tiempo de medida finitoTiempo de medida finito
• Sea
• El espectro de cualquier señal esta distorsionado parauna medida en un intervalo de tiempo finito
{ }
{ }1
2/
11
0
)(101
00
)(
)2/(2
0
)(01
00
)(
−
−
−−=
≥−≤≤
<=
=
>≤≤
<=
zz
Nt
tNkk
k
ewTwTsin
T
Tt
tTtt
t
N
NN
iwTTT
**
**
Z
F
F
F
discreto tiempoen
{ } { } { })(*)()().( ttxttx hh ++ FFF =
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Transformada de Transformada de FourierFourierDiscretaDiscreta
• Nótese que la transformada de Fourier {Xk}k=N-1 solo esta
definida en los puntos de frecuencia discreta
• la relación de la DFT con la transformada de la funcióncontinua en el tiempo
• de donde
{ } hiwz
N
l
iwlhlNhk
kehXexhkhxX === ∑−
=∆
1
0),( )(F
1,,1,02 −== NkkNh
wk K con π
{ } { }{ } { } { } hkiwhkiw
ezNezN
NhhNhNhk
kkhxhkkhxh
ktxkhxX
==
∆∆
==
Π==
)(*)()()(
)()()( ),(),(
**
*
ZZZ
FF
{ } hiw
hNiw
kNhk k
k
ee
hiwXkhxX−−
== ∆∆ 1
1*)()(),(F
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La Función de TransferenciaLa Función de Transferencia• Representación en el espacio de estados: La dependencia
de la salida para un sistema lineal viene caracterizadapor la ecuación de convolución
∫∞
+−=0
)()()()( tvdtugtY τττ
)()()()( sVsUsGsY +=
KK ,1,0,1,0
−=+=+= ∑∑−∞=
−−
∞
=
kvuhvuhy kl
k
llkklk
llk con
{ } k
kk zhkhhZzH −
∞
=∑==
0
)()(
)()(
)(zUzY
zHz
z=
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Sistema en el espacio de estadosSistema en el espacio de estados
• Con la función de transferencia de un impulso
• y la variable de salida
mk
pk
nk
kkk
kkk
RyRuRx
kDuCxy
uxx
∈∈∈
=+=
Γ+Φ=+
,,
,1,01
con
K
DzICzH +ΓΦ−= )()(
)()()( 00
zUzHxzCzYk
kk +Φ= ∑∞
=
−
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Potencia y Energía de la SeñalPotencia y Energía de la Señal
Las señales x e y se dicen no correlacionadas sino correlacionadas si:
)()()( * txtxtpxx = )()()( * tytxtpxy =
dttxtxT
tpTt
txx ∫+
=0
0
)()(1
)( *dttytx
Ttp
Tt
txy ∫+
=0
0
)()(1
)( *
dttxtxT
texx ∫∞
∞−= )()(
1)( * dttytx
Texy ∫
∞
∞−−= )()(
1)( * ττ
)()()(1
)( ** τττ −=−= ∫∞
∞− xyyx edttxtyT
e
0)( =τxye
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Funciones espectro yFunciones espectro ycovarianzacovarianza
La densidad espectral de energía o espectro de energía
La energía total del sistema es según las relaciones de Parseval
La energía es independiente de la elección de larepresentación en el tiempo o frecuencia
)()()( * iwXiwXiwExx =
)()()( * iwYiwXiwExy =
dwiwYiwXdttytxT
texy ∫∫∞
∞−
∞
∞−== )()(
21
)()(1
)( **
π
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Funciones espectro yFunciones espectro ycovarianzacovarianza
• De acuerdo con el teorema de Plancherel el producto dedos transformadas de Fourier es igual a la transformada deFourier de la convolución de dos señales en el dominio deltiempo. Teorema de Wiener-Khintchine.
• Covarianza cruzada
• Espectro cruzado
Existen relaciones similares entre el autoespectro y laautocovarianza
{ } { } { } { })()()()()()( *** ττ xyxy edttytxyxiwYiwXiwE FFFF =−=== ∫∞
∞−
{ }∫∞
∞−∞→−= dttytxlimC
Txy )()()( * ττ
{ })()( τxyxy CiwS F=
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29
Correlación y coherenciaCorrelación y coherencia
• Coeficiente de correlación
• Espectro de coherencia cuadrática
Es un test de linealidad interesante
)()(*)()()()( tvtutgtvtxty +=+=1−==
vv
yy
vv
xx
e
e
ee
SNR
)()(
)()(
ττ
ττρ
yyxx
xy
CC
C=
)()(
)()(
2
2
iwSiwS
iwS
yyxx
xyxy =τγ
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Análisis EspectralAnálisis Espectral
• Estimación del espectro de potencia
• Perdidas espectrales y enmarcado
• Estimación de funciones de transferencia
• Alisado del espectro
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Estimación del espectro deEstimación del espectro depotenciapotencia
• El periodogramaperiodograma: o espectro de la muestra
• El correlogramacorrelograma: : Las funciones de covarianzaestimadas
kNh
wiwXNh
iwS kkNkxxπ2
)(1
)(ˆ 2 == para
1,,1,0,1
)(ˆ
,1
)(ˆ
1
1*
−=−
=
−=
∑
∑
=−
=−
Nkyx kN
hkC
xx kN
hkC
N-
kl
*kllxy
N-
klkllxx
K
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Estimación del espectro deEstimación del espectro depotenciapotencia
• El cálculo del espectro de potencia -energía-
con para
mhiwN
mxykxy
kmhiw
N
mxxkxx
k
k
emhChiwS
NkkNh
wemhChiwS
−−
=
−−
=
∑
∑
=
−===
)(ˆ)(ˆ
1,...,1,02
)(ˆ)(ˆ
1
0
1
0
π
Dominio en el tiempo
Espectrode Potencia
función decorrelación
Periodograma
correlograma
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MODELOSMODELOSPARAMÉTRICOSPARAMÉTRICOS
• Regresión lineal
• Identificación de modelos de series temporales– Modelos ARMAX y ecuaciones en diferencias
• Métodos Recursivos
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34
Modelos Modelos paramétricosparamétricos
• Definición:son aquellos modelos que permitenestablecer una relación conocida entre lasentradas y salidas salvo algunas constantes ocoeficientes: parámetros θ
• Caracterización– Modelos lineales con los parámetros
– Modelos no lineales con los parámetros
vuufy ji += );,.....( θ
2210 uuy θθθ ++=
uey 2
10θθθ +=
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35
Regresión linealRegresión lineal
• Modelo• Las observaciones {yk} se asumen recogidas con un
periodo de muestreo concreto, conjuntamente con loscorrespondientes vectores de regresión {φk}– Donde los errores añadidos se asumen que tienen la forma,
distribución normal
• Suponiendo que hay p parámetros θ1 ....... θp para Nobservaciones, el problema es encontrar un estimador delvector de parámetros θ para las variables observadas
)()()( tetty T += θφ
jieee ijejii ,},{0}{ 2 ∀== , δσEE
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36
Modelo para la regresión linealModelo para la regresión lineal
=
N
N
y
y
y
YM2
1
=Φ
N
N
φ
φφ
M2
1
=
Ne
e
e
eM2
1
θ
ε
εε
θε NN
N
Y Φ−=
=M2
1
)(
eY NN +Φ= θ
El vector deerrores o de errores depredicción
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37
Estimación por mínimosEstimación por mínimoscuadrados. Formulacióncuadrados. Formulación
• Esta estimación requiere la minimización de lafunción de error según diferentes criterios
∑ − θφθ
Tiiymin
2
∑ − θφθ
Tiiymin
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38
Estimación por mínimosEstimación por mínimoscuadradoscuadrados
• El criterio de mínimos cuadrados consiste enminimizar la suma de los cuadrados del error entreel modelo de salida y las observaciones
• obteniendo para el estimado óptimo
• a partir del gradiente del criterio de optimización
( ) ( )
)ˆ()(
2
1
2
1
2
1)(
1
2
θθ
θθεεεθ
θVVmin
YYV NNT
NN
N
Kk
T
=
Φ−Φ−=== ∑=
mínimo el con
( ) NTNN
TN YΦΦΦ=
−1θ̂
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39
EjemploEjemplo
• Ejemplo1– Datos U=(1 2 3 4)T e Y=(6 17 34 57)
– Modelo
• Ejemplo 2 (Ejemp54)– donde u y e son datos artificiales generados como
variables a aleatorias con varianzas =1 y con unaperturbación media de cero.
2210 uuy θθθ ++=
kkkk ebuayy ++= −1
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40
CaracterísticasCaracterísticas• Los grandes errores son duramente penalizados
• Puede ser obtenido directamente a partir del álgebramatricial.
• Con las asunciones tomadas
– es un estimado imparcial de θ– La matriz de covarianzas es:
– El estimado imparcial
•• La sensibilidad del estimado por mínimosLa sensibilidad del estimado por mínimoscuadrados a las perturbaciones diferentes delcuadrados a las perturbaciones diferentes delruido blanco es una cuestión bastante seriaruido blanco es una cuestión bastante seria
θ̂( ) 12ˆ −
ΦΦ NTNeσθ es de
( )θσσ ˆ222 VpNee −
= es de
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41
Estimadores imparcialesEstimadores imparcialeslineales óptimoslineales óptimos
• Las condiciones impuestas son restrictivas yvaliosas para identificar la clase de todos losestimadores de la forma
• donde T es una matriz de las dimensionesadecuadas.
• El correspondiente vector de error de parámetros
YT T=θ̂
( ) eTITYT Tpp
TT +−Φ=−=−= × θθθθθ ˆ~
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42
Estimadores imparciales........Estimadores imparciales........
• Se deben añadir las siguientes condiciones paraque el estimador sea imparcial
• La determinación del mejor método posiblerequiere la minimización de la covarianza
• para
{ } 0==Φ eTIT TT E y
{ } { } θθθ =+Φ= eTT TT EE ˆ
( )( ){ } ( )( ){ } RTTYTYTC TTTTT=−−=−− θθθθθθ ˆˆˆˆ Eov
{ }eeR TE=
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43
Estimadores Imparciales......Estimadores Imparciales......
• Aplicando el método del Lagrangiano con estarestricción nos da las siguientes ecuaciones
• Que resolviendolo se obtiene el estimadorimparcial óptimo
• Que es conocido como estimador de Markov conla matriz de covarianzas
• o BLUE
ITL
RTTL
T −Φ=Λ∂
∂=
ΦΛ+=∂∂
=
0
~~20 θθ
( ) YRRYT TTT 111ˆ −−− ΦΦΦ==θ
( ) ( ) 11ˆ −− ΦΦ= RCov Tθ
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44
ConclusionesConclusiones
• Para la aplicación del método de mínimoscuadrados se deben cumplir dos prerequisitosimportantes:– (ΦN
TΦN) debe ser invertible• Por tanto el rango va a ser determinante .
• La selección de los datos de entrada con un excitaciónadecuada debe formar parte del procedimientoexperimental.
– El ruido no debe ser correlativo con los regresoresΦN
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45
Identificación SistemaIdentificación SistemaMultivariableMultivariable
• Con
• Un problema característico: es que en general no hay unaúnica factorización AB correspondiente a una función detransferencia.
• Por tanto dada una función de transferencia multivariablese puede definir una clase de factorizaciones.
0)det()()()()(: 11 ≠= −− AzUzBzYzAS
pmn
nn
mmn
nnmm
RBBzBzBzB
RAAzAzAIzA×−−−
×−−×
−
∈++=
∈+++=
LL
LL
11
11
11
11
,)(
,)(
( ) ( ) )()()()()()()( 11111111 −−−−−−−− == zHzBzAzBzQzAzQ
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46
Sistemas Sistemas MultivariablesMultivariables
• Cualquier miembro de esta clase puede serutilizado para describir acoplamientos cruzados,retardos y otras propiedades de las funciones.
• Por razones practicas es deseable utilizar unnúmero finito de parámetros bien definidos, y es amenudo deseable escoger un conjunto deparámetros con la menor dos norma posible.
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47
Sistemas Sistemas Multivariables Multivariables LSLS• Para el propósito de identificación por mínimos
cuadrados
• sugiere el modelo de regresión lineal
• Solución mínimos cuadrados
( ) ( )
( ) ( ) mpmTnn
pmk
TTnk
Tk
Tnk
Tkk
mknknknknkk
RBBAA
Ruuyy
RyuBuByAyAy
×+
+−−−−
−−−−
∈=
∈−−=
∈+++−−=
θθ
φφ
LL
LL
LL
11
11
1111 ,
=Φ
=Φ=
TN
T
T
N
TN
T
T
NNN
y
y
y
φ
φφ
θMM2
1
2
1
, y con YYM
( ) NTNN
TNN YΦ+ΦΦ=θ̂
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48
Ejemplo Ejemplo multivariablemultivariable
• Sea el sistema
• se puede construir el sistema con n =1 y n=2.
• Con el Matlab ninguno de los dos se puedeestimar pues da error al obtener la inversa.
• Ejemplo 59
11 11
11
5.04.0
4.05.0−−
−
+
= kkk uyy
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49
Modelos Series TemporalesModelos Series Temporales
• La identificación de modelos de series temporalesofrece varias aproximaciones estadísticas parafijar el modelo además del criterio utilizado enmínimos cuadrados.
• Hay al menos tres categorías importantes de losmodelos de series temporales:– Ecuaciones en diferencias y modelo ARMAX
– Modelos de funciones de transferencia
– Modelos del espacio de estados
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50
Modelos ARMAXModelos ARMAX
• Autoregresive Moving Average with ExogenousInput: constituye una clase especial de lasecuaciones en diferencias de la forma
• donde d es un retardo y A, B, C son polinomios
• con los parámetros desconocidos
kkd
k wzCuzBzyzA )()()( 111 −−−− +=
C
C
B
B
A
A
nn
nn
nn
zczczC
zbzbbzB
zazazA
−−−
−−−
−−−
+++=
+++=
+++=
L
L
L
11
1
110
1
11
1
1)(
)(
1)(
Tnnn CBA
ccbbbaa )( 1101 LLL
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51
Algunos casosAlgunos casos
• Reformulación Regresión lineal
• Autoregresivo (AR)
• Moving Average (MA)
• Modelo ARMA
• Modelo ARX
kkd
k wuzBzyzA += −−− )()( 11
kk wyzA =− )( 1
kk wzCy )( 1−=
kk wzCyzA )()( 11 −− =
kd
k uzBzyzA )()( 11 −−− =
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52
Modelos ARXModelos ARX• Esta completamente definido por tres enteros:
– na: número de ceros– nb: número de polos– nk: el retardo d
• Se puede introducir el orden o estimarlo utilizando lanotación tipo na=1:10
• Para modelos de múltiples entradas se puedenintroducir como vectores
• Dos métodos:
– Mínimos cuadrados
– Variable Instrumental
kd
k uzBzyzA )()( 11 −−− =
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EjemplosEjemplos..........................
e
Interfaz Toolbox Identificación
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54
M. de Función de TransferenciaM. de Función de Transferencia
• Un modelo de función de transferencia quepermite el modelado tanto determinístico comoestocástico es
• En el contexto de la identificación hay dos modosde función de transferencia muy populares
{ } ∑=+=v ijjikvkuk vvEvzHuzHy δ*)()( con
Jenkins-Box de modelo
salidala deerror del modelo
kkk
kkk
wzDzC
uzFzB
y
vuzFzB
y
)()(
)()(
)()(
1
1
1
1
1
1
−
−
−
−
−
−
+=
+=
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55
M. de Función deM. de Función deTransferenciaTransferencia
• Otra opción es tratarlos como ecuaciones endiferencias
• donde A, B, C, D, F son polinomios en z-1 deorden nA, nB, nC, nD, nF,
• El modelo del error de la salida es un casoespecial con A=B=D=1
kkk wzDzC
uzFzB
yzA)()(
)()(
)( 1
1
1
11
−
−
−
−− +=
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56
ARMAX, Error de la salida yARMAX, Error de la salida yBoxBox--JenkinsJenkins
• Hay varias modificaciones sobre el modelo básicoARX donde se introducen diferentes modelos deperturbaciones: ARMAX, OE, BJ
– Entrando la Estructura
– Método de Estimación• Error de predicción/máxima probabilidad: minimizando
el término e
SOLO DISPONIBLES SISTEMA SISO
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57
Identificación de MáximaIdentificación de MáximaProbabilidadProbabilidad
• seleccionamos el estimador que proporciona lasobservaciones más probables de Y.
• que obtiene el estimado
• que maximiza
)/( θθ Ypmax
θθ ˆ=)/( θYp
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58
Filtro de Filtro de KalmanKalman
• Se considera un problema de estimación y filtrado.
• con E{vk}=0, E{ek}=0, E{vvT}=R1, E{eeT}=R2, y• P(0)= E{x0 x0
T}=R0,• El problema de la estimación puede ser resuelto
minimizando
kkkk
kkkk
eDuCxy
vuxx
++=
+Γ+Φ=+1
( ) ( ){ } 3,..... 2, 1,para k =−= ++ ,ˆˆˆ2
11 kkkk xxxJ E
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59
Filtro deFiltro de Kalman Kalman
• Resultado
• que es la ecuación recursiva donde losestimados se actualizan tan pronto como unaentrad-salida esta disponible
( )( )
( ) Tk
Tk
Tk
Tkk
Tk
Tkk
kkkkkkkkk
CPCCPRCPRPP
CCPRCPK
CxyKuxx
Φ+Φ−+ΦΦ=
+Φ=
−+Γ+Φ=
−
+
−
−−+
1
211
1
2
111
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60
Método de la variableMétodo de la variableinstrumentalinstrumental
• Sea el método de regresión lineal
• la correlación entre el regresor y el error depredicción conduce al vector de parámetrosestimados obtenido mediante las soluciones demínimos cuadrados.
• Son métodos que reemplazan el regresor Φ por lavariable Z y el estimado toma la forma
vY +Φ= θ
( ) YZZ TTZ 1ˆ −Φ=θ
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61
Método de la variableMétodo de la variableinstrumentalinstrumental
• Condiciones
– 1- Las variables instrumentales deben ser nocorrelacionadas con las perturbaciones
– 2- La matriz ZTΦΦ debe ser invertible. Ademásdebe ser grande para el estimador obtenido seaeficiente
{ } 0=vZ TE
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62
Examinando los ModelosExaminando los Modelos• Respuesta en frecuencia y Espectro de perturbaciones
• Respuesta del transitorio
• Polos y ceros
• Comparando medidas y salida del modelo
• Análisis residual
• Visualizador LTI: este visualizador contiene unconjunto de modelos pero que requieren el mismonúmero de entradas que salidas.
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Métodos Métodos RecursivosRecursivos