idő- költség- és erőforrás tervezési technikák...speciális ütemezési technikák prt, onte...

Mályusz Levente

Hagyományos ütemezési technikák

Hagyományos: CPM és MPM technika

Előny: egyszerűen kezelhető, számolható

Hátrány: nem kezeli a

- tevékenységi idők bizonytalanságait

- nincs elágazás

- sorrendszámolás nincs

- erőforrás kezelés nincs

- a rosszul struktúrált feladatok megoldását nemsegíti

Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,

Mályusz Levente Döntéstámogató modellek

Speciális ütemezési technikák PERT, Monte Carlo szimuláció

Idő- és költség együtt tervezése, költségtervezési feladat, „Time-cost trade-off”,

Erőforrás allokálás (időkorlátos, erőforráskorlátos)

Kritikus láncok CCPM 1997



PERT Program Evaluation and Review Technique

1958 Polaris rakétarendszer

A tevékenység idők béta eloszlást követnek



A béta eloszlás.


Mályusz Levente Döntéstámogató

modellek

PERT /kiinduló adatok Adott minden tevékenységre

Pesszimista érték „b”, optimista érték „a”, legvalószínűbb érték „m”

A tevékenység idő várható értéke t, és szórása s

6

4 bmat

2

2

6

abs



modellek

Feltételezések a tevékenység idők béta eloszlást követnek a tevékenység idők egymástól függetlenek várható értékük és szórásuk számítása egyszerűsített képlettel

történik az átfutási idő várható értéke a kritikus úton lévő tevékenységek

várható értékének összege az átfutási idő szórásnégyzete, a kritikus úton lévő tevékenységek

szórásnégyzeteinek összege a kritikus úton lévő tevékenységek száma „gyakorlati szempontból”

elég nagy ahhoz, hogy az átfutási idő eloszlásfüggvényére feltehessük, hogy normális eloszlást követ. (A centrális határeloszlást tételt használjuk, habár az elméleti feltételek nem állnak fenn.)



PERT /feltevések Egy darab kritikus utat kell csak vizsgálni

Az átfutási idő várható értéke az egy darab kritikus út hosszának várható értéke,

A kritikus út hossza normális eloszlású, a kritikus út hosszának várható értéke az úton lévő tevékenységek várható értékének összege. (Központi határeloszlás tétel)



„Központi határeloszlás tétel” N darab független, tetszőleges eloszlású – akár

különböző ! – valószínűségi változó összegének várható értéke normális eloszlású, ha n tart a végtelenhez. (Hahn Shapiro, 1967)



Példa a PERT hálóra Tevékenyég a m b t s2

A - acélszerkezetek előregyártása2 0 2 2 2 5 - 2 2 , 2 0 , 6 9

B - F e l v o n u l á s 5 1 0 1 5 - 1 0 , 0 2 , 7 8

C - A l a p o z á s 5 1 0 2 1 B 1 1 , 0 7 , 1 1

D - S z e r k e z e t é p í t é s 8 1 0 2 0 A , C 1 1 , 3 4 , 0 0

E - B e f e j e z ő m u n k á k 6 9 1 8 D 1 0 , 0 4 , 0 0



PERT háló

A 22,2; 0,69 D 10; 4 E 11,3; 4

B 10; 2,78 C 11; 7,11



Eredmények 1. Utak (az utak hossza normális eloszlású)

A-D-E ,

Hossz várható értéke: 43,5;

Szórásnégyzet 2,9

B-C-D-E

A hossz várható értéke: 42,3

Szórásnégyzet: 4,2



Eredmények 2. (A-D-E út, a kritikus út)

Átfutási időn a p o k s z á m a

z-score valósz.

35 vagy kevesebb 35 -2,883 0,2%

40,6 vagy kevesebb 40,6 -1,000 15,9%

41 vagy kevesebb 41,0 -0,848 19,8%

42 vagy kevesebb 42,0 -0,509 30,5%

43,5 vagy kevesebb 43,5 0,000 50,0%

49,4 vagy kevesebb 49,4 2,000 97,7%

50 vagy kevesebb 50,0 2,205 98,6%

55 vagy kevesebb 55,0 3,901 100,0%



Eredmények 3. (B-C-D-E út) Átfutási idő

n a p o k s z á m a

z-score valósz.

35 vagy kevesebb 35 -1,734 4,1%

40,6 vagy kevesebb 40,6 -0,421 33,7%

41 vagy kevesebb 41,0 -0,315 37,6%

42 vagy kevesebb 42,0 -0,079 46,9%

43,5 vagy kevesebb 43,5 0,276 60,9%

49,4 vagy kevesebb 49,4 1,670 95,3%

50 vagy kevesebb 50,0 1,813 96,5%

55 vagy kevesebb 55,0 2,995 99,9%



Feltételezések vizsgálata 1. A tevékenység idő béta eloszlású A tevékenységidőre vonatkozó természetesnek tűnő

feltétel, hogy a pesszimista és az optimista idő is pozitív, az eloszlás unimodális. Technikai oldalról feltehetjük, hogy az eloszlás folytonos. Ebből a szempontból a béta eloszlás korrekt és ugyanezen szempontból például a normális eloszlás feltételezése nem helyénvaló. A béta eloszlás 4 paraméterrel rendelkezik, ezért a hármas időbecslés mellett negyedik feltételként általában az egyszerűsített számítást használjuk fel.



2. A tevékenységidők függetlenek egymástól (időjárás, a beszállító, a kivitelező)

Jelenleg csak kutatási eredmények léteznek a tevékenységek közötti függőségek feltárásáról



3. A centrális határeloszlás tétele alkalmazható (a kritikus úton a tevékenységek száma tart a végtelenhez)

A tapasztalat szerint 30 független béta eloszlású valószínűségi változó összegének eloszlása gyakorlati szempontból már nagyon közel van a normális eloszláshoz



Monte Carlo Szimuláció Felhasználói szempontból egyszerű

Minden utat számításba vesz, nem csak a leghosszabbat

A tevékenységek lehetnek függők is



Idő- és költségek együttes kezelése „Time-cost trade-off” Költségtervezési feladat

Kelley J.E. és Walker M.R. 1959

Fulkerson R.D. 1961



Time-cost trade-off (ez az eredeti modell)

költség

tevékenység idő

a b t

Ka

c c=-tg

Kb



Költségtervezési feladat (MPM)



Eredmény költség

átfutási idő pa pb

Kmax

Kmin



+ Közvetett költségek költség

átfutási idő pa pb

Kmax

Kmin

Közvetett költség

Közvetlen költség



Project direct cost

CPM least cost scheduling PDM least cost scheduling

project duration vs. project cost project duration vs. project cost

Ccrash max

Ccrash opt

Cnormal max

Cnormal opt

Least cost ie.

optimal curve

pmin pmax

pcrash pnormal

Project

Dur. (p)

Project direct cost

Project

Duration (p)

pcrash pnormal

Ccrash max

Ccrash opt

Cnormal max

Cnormal opt

Least cost ie.

optimal curve



Erőforrás allokálás/elrendezés Időkorlátos

Cél: egy előre meghatározott profilhoz illeszkedjen az erőforrás görbe (Az átfutási idő fix)

Erőforrás korlátos

Cél: az erőforrás egy előre meghatározott értéket nem haladhat meg. (Az átfutási idő nőhet)



Erőforrás allokálás / időkorlátos

BB1

A

3

B C

10 10

KK0

BK0 BK2 0 3 3 7 9 12

0 3 3 7 9 12

BB0

D

2

E F

2 2 BB1

KK1 0 2 1 3 14 16

13 15 14 16 14 16

Erőforrások (munkaerő)

A, 10 ; B, 8 ;C,9; D,9;E,9;F,10.



napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

tev. 5

A

3

B

4

C

4

D

4

E

4

F

14

13

12

11 E

10

9

8 D E

7

6

5

4

3 A

2 B C F

1 Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,


napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

tev. 5

A

3

B

4

C

4

D

4

E

4

F

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3 A D

2 B C E F

1



modellek

Erőforrás allokálás / erőforrás korlátos

A

2

B D

2 3

KK0

BK0 BK0 0 2 2 5 5 7

0 2 3 6 6 8

BK0

C

2E

2

BB0 2 4 8 10

4 6

8 10

KK0 BK0

BK0



napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

tev. 3

A

3

B

1

C

4

D

3

E

5

4 C

3

2 A B D E

1 Építéskivitelezési és Szervezési Tanszék,


modellek

napok

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

tev 3

A

3

B

2

C

4

D

3

E

5

4

3

2 A B D E

1 C



modellek

Kritikus láncok / Történeti háttér 1958 CPM, MPM

1997 Eliyahu M. Goldratt “Theory of Constraints” Critical Chain

Miért? Mi a cél ?



Felhasznált elvek

a tevékenység idő becslése a hagyományos PERT eljárásban biztonsággal terhelt (átlag idő+- 2 szórás= 95%)

A tevékenység idő becslése legyen az átlag (50%)

hallgató szindróma, Parkinson törvénye

M(x+z)=M(x)+M(y)

D2(x+z)=D2(x)+D2(y) (ha függetlenek)



Várható érték Valószínűségi változók várható értékének az összege a

változók összegének várható értéke

M(út a hálóban)=

=M(tev1+tev2)=M(tev1)+M(tev2)



Szórás (kockázat) Független valószínűségi változók szórásnégyzetének

az összege a változók összegének szórásnégyzete

D2(út a hálóban)=D2(tev1)+D2(tev2)

72=52+52



Standard normális eloszlás Várható érték és

szórás

-3szórás -2szórás -1szórás +1szórás +2szórás +3szórás

2.28% 13.59% 34.13% 34.13% 13.59% 2.28%

~ 68%

~ 95%

~ 99.7%



modellek

Mályusz Levente

Matematikai előzmények 1800-es évek lineáris egyenletrendszerek megoldása

1900-as évek eleje lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldhatósága

1943 lineáris egyenlőtlenségrendszerek megoldása, lineáris programozás

1960-as évek nemlineáris programozási feladatok …



Farkas Gyula

1847 - 1930

Farkas Lemma

There is a solution to

Ax = b; x ≥ 0

if and only if

for every y ≥ 0

with yT b ≥ 0, we have yTA ≥ 0.



A szállítási feladat Adott n darab termelő és termelési mennyiségük

egyenként illetve m darab fogyasztó és fogyasztási mennyiségük egyenként.

Adott cij fajlagos szállítási költség, amelybe az egységnyi termék szállítása kerül, ha azt az i-edik termelőtől a j-edik fogyasztóhoz szállítjuk. A cél a fogyasztók igényét úgy kielégíteni, hogy a szállítás összes költsége minimális legyen.



Kantorovich “I want to emphasize again that the

greater part of the problems of which I shall

speak, relating to the organization and

planning of production, are connected

specifically with the Soviet system of economy

and in the majority of cases do not arise in the

economy of a capitalist society.”



Lineáris programozás előzménye Leonid Kantorovich 1912-1984

1939 funérlemezek gyártásával kapcsolatos optimalizálási feladatok

munkák elosztása az egyes munkagépek között

rendelések elosztása gyárak között

Szállítási feladatok

1975-ben közgazdasági Nobel díjat kapott „Mathematical Methods in the Organization and Planning of Production” 1939 oroszul

(1960 Management Science)



Lineáris programozás/szimplex

George Bernard Dantzig 1914-2005

operációkutatás

1946 szimplex algoritmus (1947)



Consider the problem of assigning 70 men to 70 jobs. Suppose a value or benefit vij would result if the ith man is assigned to the jth job. An activity consists in assigning the ith man to the jth job.

The restriction are: (i) each man must be assigned a job (there are 70 such), and (ii) each job must be filled (also 70). The level of an activity is either 1, meaning it will be used, or 0, meaning it will not. Thus there are 2×70 or 140 restrictions, 70×70 or 4900 activities with 4900 corresponding 0-1 decision variables xij .

Unfortunately there are 70! Different possible solutions or ways to make the assignments xij .



The major influences of the pre-1947 era were Leontief’s work on the Input-Output Model of the Economy (1933),

an important paper by von Neumann on Game Theory (1928),

and another by him on steady economic growth (1937).



Gráfelmélet Leonhard Euler 1707-1783

Königsbergi hidak 1736



Shortest Path (legrövidebb út probléma)

Algoritmus

Ford 1956

Bellman 1958

Dantzig 1958

Dijkstra 1959



Gráf, hálózat, tervütemháló 1847 Kirchoff gráfelmélet és alkalmazása elektromos

hálózatokban.

1852 F. Guthrie: Négy szín probléma.

1930 Kuratowski síkba teríthetőség.

1956-61 Ford-Fulkerson maximális folyam, minimális költségű folyam

1956-tól Polaris projekt, DuPont, Rand Corporation, CPM, PERT, MPM, PDM



Time-cost trade-off Kelley 1959

Walker 1961



Felhasznált irodalom Mályusz, Hajdu:

How would you like it: cheaper or shorter.

ORGANIZATION TECHNOLOGY & MANAGEMENT IN CONSTRUCTION

1:(2) pp. 59-63. (2009)



modellek

idő- költség- és erőforrás tervezési technikák...speciális ütemezési technikák prt, onte...

Documents