I.E.S. Azorín Departamento de Matemáticas

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TEMA 0. El espacio vectorial . Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss.

1. Demostrar que en los vectores de la forma ( x , y , x ) forman un s.e.v. y encontrar una base del mismo.

2. Hallar la ecuación cartesiana del s.e.v. engendrado por los vectores ( 1 , 2 , 2 ) y

( 2 , 3 , 5 ). ( Sol. 4x-y-z=0 )

3. Encontrar las ecuaciones cartesianas de los siguientes conjuntos:

a) S = ( 0 , 0 , ) + < ( 4, 3 , 0 )> ( Sol. 3x-4y=0 , 4z=1)

b) <( 2 , 3 , 4 )> ( Sol. )

c) ( 1 , 0 , 1 , 0 ) + <( 1, -1 , 2 , 1 ) , (1, 2 , 1 , 1)> . 4. Encontrar el valor de para que el vector ( 3, 8 , ) sea del s.e.v. <(1,2,3),(1,3,- 1)> ( Sol. = 1 ) 5. Encontrar la relación existente entre los vectores (1,2) (2,3) y (3,4). 6. Minimizar los siguientes sistemas generadores:

a) (1,2) , (3,1) , (2 , -1) b) (1,0,1) , (0,1,1) , (1,1,2) , (1,-1,0) c) (1,-1) , (-2,2) , (-1,1)

7. Dados del mismo e.v., probar que si son l.i. entonces también lo son los vectores .

8. Probar que los vectores son l.d. y encontrar la relación que los liga.

9. Dados los siguientes subconjuntos de : probar que son s.e.v. a) mediante la definición de s.e.v. b)

viendo que sus ecuaciones cartesianas son homogéneas. Encontrar una base de cada uno e indicar sus dimensiones.

10. Sean dos bases del mismo e.v. tales que se verifica , . Encontrar las coordenadas del vector en

la base .

11. Sean a) Justificar que son bases de . b) Hallar las coordenadas de los vectores de la primera base en la segunda.12. Sean y vectores del mismo e.v. ligados mediante las siguientes

relaciones : . Expresar el vector como combinación lineal de los vectores . Sol.:

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13. Resolver el sistema (Sol.

14. Resolver el sistema Sol.

15. Resolver el sistema Sol. (2,0,1)+<(-1,1,0)>

16. Resolver el sistema Sol.

S.I.

17. Resolver el sistema Sol. (1,1,0)

18 Resolver el sistema

Sol. (2,0,2,0)+<(-2,1,0,0),(-1,0,-1,1)>

19. Hallar las soluciones comunes a los sistemas

Sol (5,-3,-1)

20. Demostrar que no existe ninguna terna de números reales positivos que

verifique el sistema

21. Encontrar un sistema cuya solución general sea la dada por las expresiones

Sol. 2x+3y=8

22. Hallar los valores de “a” “b” y “c” que hacen equivalentes a los sistemas

Sol. a=-1 b=0 c=3

23. Demostrar que son equivalentes los sistemas

24. Dados los subconjuntos de , y

Probar que pero

25. Dados los subconjuntos de , A = (1,-1,0) + < (1,0,2) >

3

B = (0,-1,-2) + < ( C = < (1,1,1) , (1,-1,1) > D = < (3,1,3) , (0,-2,0) > Probar que A = B y C = D.

26. Un capitán tiene tres compañías: una de suizos, otra de zuavos y una tercera de sajones. Al asaltar una fortaleza, el capitán promete una recompensa de 901 escudos que se repartirán de la siguiente forma: el soldado que primero suba y todos los de su compañía recibirán un escudo y el resto de la recompensa se repartirá a partes iguales entre los restantes soldados. Sabiendo que si el primero que sube es un suizo, los de las demás compañías reciben medio escudo; si el primero es zuavo, los restantes reciben un tercio de escudo; y si el primero es sajón, un cuarto de escudo, ¿ cuántos soldados hay en cada compañía ?

Sol. 265, 583 y 689.

27. Sea el triángulo de vértices A ( 1,a ) B ( 5,b ) C ( 3,c ). Se sabe que las ordenadas de sus tres vértices suman 9, que la ordenada b es la media aritmética de las otras dos, y que b y c son números naturales consecutivos con c>b. Calcular los valores de a,b y c. Sol. 2,3 y 4.

28. Tres amigos suben a una báscula de dos en dos. Andrés y Benjamín suman 173 kg, Andrés y Carlos 152 Kg mientras que al subir Benjamín y Carlos se rompe la báscula. Determinar de forma razonada toda la información que se puede extraer sobre los pesos de cada uno.

29. Juan ha comprado un lote de 6 entradas para un concierto, 2 de patio, 3 de anfiteatro y 1 de general por un importe de 19 euros. A Pedro 1 de patio, 5 de anfiteatro y 1 de general le ha costado 21 euros. Encontrar de forma razonada el importe de 8 de patio, 5 de anfiteatro y 3 de general. Analizar si es posible o no determinar el importe total de tres entradas, una entrada de cada clase.

TEMA 1. Matrices y determinantes.

1. Dadas las matrices calular:

a) b) c)

Sol. ,

4

2. Encontrar todas las matrices B, reales de orden 2 tales que A.B = B.A siendo

A =

3. Una matriz cuadrada A se dice ortogonal cuando . Hallar los valores

reales de “a” y “b” para que sea ortogonal la matriz

Sol.

4. Siendo , hallar para n>1

5. Sea la matriz real con

a) ¿ Para qué valores de “a” la matriz A tiene inversa ? b) Calcular en estos casos.

6. Sea

a) Comprobar que b) Calcular la matriz

7. Dada la matriz

a) Hallar los valores reales de “a” para los que Sol.-1

b) En estos casos calcular Sol.

8. Siendo y resolver la ecuación matricial

Sol.

9. Siendo justificar que la ecuación AX

+ B = C tiene solución y resolverla. Sol.

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10. Siendo justificar que la ecuación AX

= BX + C tiene solución y resolverla. Sol.

11. Dada la ecuación con x,y,z se pide:

a) Expresar la ecuación en la forma A.X = B y calcular . b) Hallar los valores de x,y,z utilizando la matriz . Sol. 12. Determinar el valor real de x para el que se cumple det ( 2B ) = 160, siendo

13. Dadas las matrices . Calcular la

matriz real X que verifica la ecuación A.X.B = 2C. Sol.:

14. Considerar las matrices reales

a) ¿ Para qué valores de m es A inversible ?. Calcular b) En la matriz A con m=0, obtener la matriz cuadrada X de orden 3 que

satisface la igualdad B – AX = AB

15. Se consideran las matrices cuadradas reales de orden 2, y

. Calcular:

a) La matriz b) La matriz real cuadrada X de orden 2, tal que c) La matriz

16. Calcular las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y que satisfacen el

sistema donde

Sin utilizar los resultados numéricos de X e Y anteriores calcular

17. Sea

a) Determinar el valor de para el que det ( A ) = – 9

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b) Para ese valor de , calcular y resolver la ecuación

18. Para cada número real , es la matriz

a) Obtener el determinante de la matriz M en función de y justificar que . b) Calcular la matriz c) Si A = M(8) B = M(4) y C = M(3), calcular el determinante de la matriz

producto de la manera más corta posible.

19. Para cada terna de números reales ( x , y , z ) se consideran las matrices

,

a) Calcular los determinantes de A y B. b) Para x=y=z=1, calcular el determinante de A.B c) Obtener, razonadamente, para qué valores de x, y , z, ninguna de las

matrices A y B tienen inversa.

20. Calcular el valor del determinante

21. Demostrar, sin desarrollarlos previamente que:

a)

b) es múltiplo de 13.

22. Haciendo uso del método de Gauss, discutir el rango de la matriz

según los valores del parámetro “a”.

23. Demostrar sin reducirlo a determinantes de menor orden que el determinante

vale 0.

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24. Resolver la ecuación f ( x ) = 0, siendo f (x ) =

25. Calcular las primeras potencias de la matriz y deducir una

fórmula general para ,

26. Hallar la matriz donde X e Y son las matrices solución del sistema

Sol.

27. Probar que cualquier matriz real cuadrada A que verifique es regular y hallar su inversa en función de A. Sol.

28. Hallar el rango del conjunto de vectores (1,0,-1,1) (2,1,1,0) (1,1,2,1) y (1,2,5,0)

Sol. 329. Si A y B son matrices cuadradas con det(A)=3 y det(B)=2, calcular el valor de

los siguientes determinantes: , , Sol.:

30. Calcular el valor del determinante por el método de los

ceros de Gauss. Sol. -9

31. Calcular en función de “a” el determinante Sol.

32. Sabiendo que y , calcular en función de “x” los

siguientes determinantes: a) b) c)

Sol.: -27x, 2x, -36x

33. Sean las matrices . Hallar los valores de

para los que a) La matriz A.B es inversible b) La matriz B.A es inversible Sol.: a) b) imposible.

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34. Hallar por el método de Gauss y por el método de los determinantes, el rango de

las matrices:

Sol.: 2, 2, 2.

35. Discutir el rango de la matriz según valores reales de “a”.

Sol.:

36. Razonar la validez o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) b) c) d)

37. Discutir el rango de la matriz según valores reales de

Sol:

38. Comprobar que el determinante es 0.

39. Se considera la función . Sabiendo que

y , determinar los valores de “a” y “b”. Sol.: a=0 b=-1.

40. Calcular el rango de la matriz según valores reales

del parámetro m. Sol.: Si m=1, rang(M)=1 Si m=-1, rang(M)=2 Si m

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TEMA 2. Teorema de Rouche-Frobenius. Regla de Cramer

1. Discutir y resolver cuando sea posible según valores reales del parámetro “a” el

sistema

Sol.: 2. Discutir y resolver cuando sea posible según valores reales del parámetro “k” el

sistema

Sol.:

3. Discutir, según los valores reales del parámetro el sistema

Sol.:

4. Discutir y resolver cuando sea posible según los valores del parámetro “a” el

sistema

Sol.:

5. Discutir y resolver cuando sea posible según los valores del parámetro “a” el

sistema

Sol.:

6. Discutir y resolver cuando sea posible según valores del parámetro “k” el

sistema Sol.:

7. Discutir y resolver cuando sea posible según valores del parámetro “m” el

sistema

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Sol.:

8. Dado l sistema de ecuaciones lineales con

parámetro real, se pide : a) Determinar razonadamente para qué valores de , el sistema es compatible

determinado, compatible indeterminado e incompatible. b) Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible

determinado. c) Hallar el conjunto de soluciones del sistema para el caso compatible

indeterminado.

9. Dado el sistema con “a” y “b” parámetros reales,

se pide: a) Discutir la compatibilidad del sistema según valores de “a” y “b”. b) Resolverlo para los valores a = 3 y b = 0. Sol.: a=1,b=2 S.C.I. a=1,b 2 S.I. a 1,b=2 S.C.D. 10. Estudiar la compatibilidad del sistema de ecuaciones lineales según los distintos

valores reales del parámetro “a”, y resolverlo cuando sea posible.

Sol.: a=10 SCD (11,6,4) a 10 SI

11. Averiguar para qué valores del parámetro real tiene una única solución el

sistema Sol.:

12. Discutir y resolver en el caso de S.C.I. el sistema según valores reales de los

parámetros y .

Sol.:

13. Dado el sistema hallar “m” para que el sistema:

a) no tenga solución b) tenga infinitas soluciones c) tenga solución única d) tenga una solución en la que x = 3. Sol.: -1, 1, , 1 o

14. Discutir y resolver el sistema

Sol.: Si

Si

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15. Determinar los valores reales del parámetro “k” para que sea compatible el sistema e indicar cuáles son las soluciones.

Sol.:

16. Discutir y resolver el sistema según valores reales del parámetro real “k”

Sol.: k=0, SCI (0,5,0)+<(0,-3,1)> k=5, SI

17. Discutir y resolver el sistema según valores reales del parámetro real “m”

Sol.: m = 5 SCD (1,1) m 5 SI18. Discutir y resolver el sistema según valores reales de

Sol.:

19. Discutir y resolver el sistema según valores reales de

Sol.: 21. Discutir y resolver el sistema según valores reales de “a” y “b”

Sol.:

21. Encontrar los valores reales de “a” y “b” que hacen SCD, SCI y SI al sistema

12

Sol.:

22. Discutir y resolver según los valores reales del parámetro “a” el sistema

Sol.:

23. Determinar los valores de “m” para que el sistema homogéneo admita solución no trivial e indicar cuáles son dichas soluciones.

Sol.: m=2 <(-1,0,2)> m=-4 <(-5,24,4)>24. Determinar los valores de “m” para que el sistema tenga infinitas soluciones y resolverlo en esos casos, encontrando la solución para la que z = 1.

Sol.: m=1 <(-7,11,13)>

m= <(-1,5,7)>

TEMA 3. Geometría del espacio afín tridimensional.

1. Sean O, A y B tres puntos no alineados. Sea C el punto del segmento AB tal que

(dado). Hallar el vector OC en función de u = OA , v = OB y h.

2. Sean dos puntos fijos y sea un punto variable del espacio. Se llama al punto simétrico de respecto de ; se llama al punto simétrico de respecto de . Comprobar que los vectores son equipolentes entre sí al variar . (Hallar el módulo, dirección y sentido de )

3. Respecto de una cierta base, se consideran los vectores y . Comprobar que BC y QR

son segmentos paralelos.

4. Sean los vértices consecutivos de una línea quebrada y cerrada en el espacio. Sean los puntos medios de

. Calcular el vector .

5. Hallar los valores de “a” y “b” par los cuales el punto está en a) el plano XY b) el plano XZ c) el eje Y d) el eje Z.

Sol.: a) b=0 b) a=-1 c) a=3/2 b=0 d) imposible

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6. Analizar razonadamente si los puntos a) Son coplanarios b)

Forman un paralelogramo.

7. Los puntos son vértices consecutivos de paralelogramo; encontrar el cuarto vértice. Sol.: (1,2,2)

8. Dados los cuatro puntos encontrar los cuatro puntos restantes que forman un paralelepípedo en el que AB AC y AD son aristas. Sol.: (3,3,0) (4,2,2) (4,4,2) (2,4,2)

9. Probar que los puntos no están alineados independientemente del valor que tome .

10. a) Encontrar el punto S´ simétrico de S (1,3,1) respecto de Q (2,1 ,– 1) b) ¿ Cuál es punto simétrico de S´ respecto de Q ? Sol.: (3,-1,-3) S11. Sean . Se pide: a) Encontrar los puntos que dividen al segmento AB en 4 partes iguales b) Encontrar los puntos que dividen al segmento AC en tres partes iguales Sol: a) (-1,2,1) (1,3,2) (3,4,3) b) 12. Hallar las ecuaciones cartesianas de las rectas que pasan por el punto

y son paralelas a los ejes de coordenadas. Sol.: y=4 z=0 , x=-3 z=0 , x=-3 y=4

13. Hallar la ecuación continua de la recta que pasa por el punto A (1,1,1) y es

paralela a la recta r: x+1 = 2y = 6 – 3z. Sol.:

14. Hallar los puntos A, B y C en que la recta corta a los

planos coordenados y determinar cuál de ellos se encuentra entre los otros dos. Sol.: A(0,-30,-30) B(15,0,15) C(10,-10,0) C está entre A y B.15. Hallar el valor de “m” que hace que se corten las rectas

r : y s :

y determinar el punto de corte. Sol.: m=0 , (3,3,-2)16. Hallar el valor de “m” que hace que se corten las rectas

r : y s :

y determinar el punto de corte.

Sol.:

17. Estudiar, según los valores del parámetro “k”, la posición relativa de las rectas:

r : y s :

Sol.: se cruzan.

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18. Se sabe que los puntos son coplanarios. Determinar el valor de y la ecuación cartesiana del plano que los contiene.

Sol.: 19. Comprobar que las rectas r y s son secantes y hallar la ecuación cartesiana del

plano que las contiene.

Sol.:

20. Sea el plano ax+y+z+1=0 y las rectas . Sean A, B

y C los puntos de corte de las rectas con el plano. Determinar los valores de “a” que hacen estar alineados a los tres puntos.

Sol.: a = 1 21. Discutir, según valores reales del parámetro , la posición relativa de los

planos

Sol.: =0, forman una superficie prismática triangular

, 1º y 3º paralelos y el 2º los corta

forman un triedro (se cortan en un punto)

22. Hallar los valores reales de y para que los tres planos siguientes

a) Tengan un único punto común. ( formen un triedro) b) Se corten en una recta. ( sean del mismo haz ) Sol.: a) b) 23. La recta r contiene al punto A(1,3,3) y su dirección es < (1-a,a,1) >. El plano tiene como ecuación 2x+y-z=1. Estudiar la posición relativa de ambos según valores reales del parámetro “a”. Sol.: a=1 paralelos ; a 1 se cortan en un punto.

24. Calcular “m” y “k” para que la recta esté contenida en el

plano . Sol.: m= 4 , k = 225. Hallar la ecuación general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es

paralelo a las rectas: y

Sol.: x – 2y + z = 0 26. Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la

recta s : r : s : .

Sol.: x – y = 127. Dados los planos de ecuaciones 3x + 4y +5z = 0 y 2x + y + z = 0, y el punto

A ( – 1, 2, 1), hallar la ecuación del plano que pasa por el punto A y contiene a la recta intersección de los dos planos anteriores.

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Sol.: 17x + 6y + 5z = 0

28. Se consideran las rectas r: s:

. Hallar la ecuación del plano que contiene a “r” y al punto intersección de

“s” con el plano Sol.: 4x – 11y + 7z = 3

29. Dadas las rectas r: y s: . Estudiar si

determinan un plano y en caso afirmativo hallar la ecuación de ese plano.

30. Dadas las rectas r: y s: , hallar el

valor de para que sean paralelas y encontrar la ecuación del plano que las contiene. Sol.: 1 , 11x + y – 6z + 8 = 0.

31. Hallar el valor de “k” para que las rectas sean

coplanarias, y hallar la ecuación del plano que las contiene. Sol.: k=2/3 12x + 21y + 6z = 25.

32. Encontrar la recta que pasa por el punto y corta a las rectas r y s

siguientes: r: s: .

Sol.:

33. Dados los planos y la recta

r: , se pide:

a) Determinar razonadamente la posición relativa de la recta “r” y la recta “s” intersección de los planos .

b) Obtener razonadamente la ecuación del plano que contiene a la recta “s” y es paralelo a la recta “r”.

34. Se considera la recta r: (x,y,z) = (t+1,2t,3t) , el plano y el punto P (1,1,1). Se pide:

a) Determinar la ecuación del plano que pasa por P y es paralelo al plano . b) Determinar la ecuación del plano que contiene a “r” y pasa por P. c) Calcular la ecuación paramétrica de la recta intersección de los planos

.35. Hallar el punto donde se cortan las diagonales del paralelogramo de vértices los

puntos . Sol.: (2,2,3)

36. Dadas las rectas r: y s: . Se pide:

a) Probar que para cualquier valor de “a”, las rectas no son paralelas. b) Determinar los valores de “a” para que las rectas se crucen . c) Determinar los valores de “a” para que las rectas sean secantes. d) Hallar el punto donde se cortan (del apartado anterior). Sol.: .

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37. Dados los puntos A (1,0,2) B (0,1,3) C ( – 1,2,0) y D ( 2, – 1,3), hallar la ecuación del plano que contiene a la recta que pasa por A y B y es paralela a la recta que pasa por C y D.

Sol.: x + y = 138. Discutir la posición relativa de los planos

según valores

reales del parámetro . Sol.: , pertenecen al mismo haz. , forman superficie prismática

triangular. , forman un triedro.39. Determinar “a” y “b” para que los tres siguientes planos se corten en una recta

“r” y hallar la ecuación del plano que contiene a “r” y pasa por el punto (2,1,3). Los planos son : Sol.: a=-1, b=4, x+y-z=0

TEMA 4. Problemas métricos en el espacio euclideo tridimensional.

1. Hallar las coordenadas del vector en el sistema de referencia canónico sabiendo que y los lados del paralelepípedo miden 3, 4 y 3 respectivamente según las direcciones .

Sol.:

2. Sean y vectores del mismo e.v. Probar analíticamente:a. Si entonces b. Si entonces y son l.i.

c. Si y son l.i. y entonces

3. Sean y vectores del mismo e.v. tales que y . Razonar si son o no posibles las siguientes relaciones:a) b) c) d)

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4. Sean y vectores del mismo e.v. cuyos módulos son 1, 2 y 3

respectivamente y tales que , , .

Hallar el ángulo que determinan los vectores y .5. Dados los vectores de , . Hallar:

a) b) c) d) e) f) 6. La recta “r” pasa por los puntos A (– 1, 0, 1) y B (1, 2, 3). Hallar los puntos de

“r” que distan 3 unidades del punto C (2 ,– 1, 1).

Sol.: (0 , 1, 2) y

7. Un plano contiene a los puntos O (0,0,0) , A (0,0,2) y al punto B que está en

la recta r : y equidista de O y de A. Hallar la ecuación general

del plano . Sol.: x – y = 0.8. Dados los puntos A (1,1,2) y B (1 ,–1, 2). Hallar los puntos C de la recta

r: para los que el triángulo ABC es isósceles de lados iguales AC y BC. Sol.: C = (1,0,1).

9. Dado el tetraedro de vértices O(0,0,0) A(1,0,0) B(0,1,0) y C(0,0,1), deteminar el centro de la esfera que pasa por los cuatro vértices. Sol.: ( .

10. Encontrar todos los vectores ortogonales a y que determinen un

ángulo de 60º con el vector . Sol.: .

11. Hallar los puntos C de la recta tales que ABC es un triángulo

rectángulo con siendo A = ( 2 , –1, –2 ) y B = ( –1, –1, 2 ).

Sol.: .

12. Hallar el pie de la recta perpendicular a la recta r: trazada desde el punto A . Sol.:

13. Determinar “m” para que el plano 2mx – 3(m – 1)y – (m + 3)z + 2m + 4 = 0 sea ortogonal a la recta 2x = y = – 2z. Sol.: imposible.

14. Una partícula se mueve en el espacio ocupando en el instante “t” la posición dada por el punto ( 1+t , 3+t , 6+2t )

a. ¿ Qué trayectoria describe ?b. ¿ En qué instante y en qué posición se encuentra sobre el plano de

ecuación x + 2y + z – 28 = 0 ?c. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano en el punto de

contacto.Sol.: a) línea recta que pasa por (1,3,6) y dirección <(1,1,2)>

b) t = 3 c)

15. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto P (4,1,2) y es perpendicular a los planos 2x + 3y + z = 1 , 6x + 3y + 2z = 3.

Sol.: 3x + 2y – 12z + 10 = 0.

16. Hallar la ecuación general del plano que contiene a la recta “r” cuyos puntos son de la forma (x, -x, 1) y es perpendicular al plano x + y + z = 4.

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Sol.: x + y – 2z + 2 = 0.

17. Se consideran la recta r: y el plano .

a) Hallar “m” y “k” para que la recta sea perpendicular al plano. b) Hallar “m” y “k” para que la recta esté contenida en el plano. Sol.: a) m=-8 k=-1/2 b) m=4 k=-2.

18. Dado el tetraedro de vértices A(0,0,0) B(1,1,1) C(3,0,0) D(0,3,0) : a) Calcular la ecuación del plano que contiene a la cara BCD y la del plano que

contiene a la cara ACD. b) Calcular la ecuación de la recta que contiene a la altura del tetraedro que

pasa por A y de la que pasa por B. c) Comprobar que las dos alturas se cortan en un punto P.

d) Comprobar que la recta que pasa por P y por C no es perpendicular al plano determinado por la cara opuesta.

Sol: a) x+y+z-3=0 , z=0 b) x=y=z , c) P(1,1,1)

19. Hallar la proyección ortogonal del punto H ( 1, 3 ,– 2 ) sobre el plano de ecuación 2x – y + 2z = 4. Sol.: (3,2,0).

20. Hallar la proyección ortogonal del origen de coordenadas sobre la recta de

ecuación x = 2y + 4 = z +1. Sol.: ( ).

21. Hallar la proyección ortogonal del eje Y sobre el plano x + y + z = 1.

Sol.: la recta .

22. Obtener la ecuación continua de la recta proyección ortogonal de la recta

r: sobre el plano x – y + z = 0. Sol.: .

23. Encontrar el plano de la familia mx + y + z – (m + 1) = 0 que está situado a distancia 1 del origen de coordenadas. Sol.: x + 2y + 2z – 3 = 0.

24. Determinar el valor de “k” para que la distancia del punto (– 1,0,1) al plano de ecuación kx – (1 + k)y + 2z – 1 = 0 sea igual a 1. Sol.: k = – 2.

25. Calcular la distancia del punto (0, – 2,– 1) a la recta

Sol.: .26. Hallar la distancia entre los planos x – y + z = 4 , x – y + z = 2.

Sol.:

27. Hallar el punto simétrico de A(– 1,3,3) respecto del plano x + y – 2z = 5. Sol.: (2,6 ,– 3).28. Los puntos P(– 1,3,4) y Q(5,3 ,– 2) son simétricos respecto de un plano. Hallar

la ecuación de dicho plano. Sol.: x – z = 1.

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29. Hallar la recta simétrica, respecto del plano x – y + z = 0, de la recta

. Sol.: .

30. Hallar el punto simétrico de P(2,0,1) respecto de la recta “r”, que pasa por el

punto A(0,3,2) y es paralela a la recta s: Sol. .

31. Hallar el ángulo que forman las rectas Sol.: 45º.

32. Hallar el ángulo que forman los planos coordenados con el plano x+y+z=1. Sol.: 55º, 55º y 55º.33. Encontrar la ecuación o ecuaciones que identifican a los puntos (x,y,z) que

equidistan de los planos , . Sol.: el plano 2x – 19y – 5z + 5 = 0 o el plano 22x + y + 5z – 5 = 0.

34. Se considera la recta y el plano 2x – y + az + 2 = 0, donde

“a” es un parámetro real. a) Hallar los valores de “a” para los que la recta y el plano son paralelos y hallar

la distancia entre ellos. b) Averiguar si existe algún valor real de “a” para el que la recta y el plano sean

perpendiculares. c) Determinar los valores de “a” para los que la recta y el plano forman ángulo

de 30º. Sol.: a) a=3 d= b) no c) a= .

35. Hallar el ángulo que forman la recta y el plano

. Encontrar el punto donde se cortan. Sol.: 30º, (– 1, 1,– 2).36. Hallar todos los vectores de módulo tales que .

Sol.: .

37. Dados el plano x + 2y + 3z – 1 = 0, la recta , el punto P(2,1,1),

calcular la ecuación de: (a) la recta que pasa por P y es perpendicular al plano; (b) el plano que pasa por P y es perpendicular a la recta; (c) la recta que pasa por P y corta perpendicularmente a la recta; (d) la recta que pasa por P, es paralela al plano y es perpendicular a la recta.

Sol:

20

38. Hallar la ecuación paramétrica de la recta que corta perpendicularmente a las

rectas y .

Sol.:

39. Hallar la ecuación cartesiana de la recta que corta perpendicularmente a las

rectas r y s .

Sol.: .

40. Los puntos A(1,1,1) B(2,2,2) y C(1,3,3) son vértices consecutivos de un paralelogramo. Hallar las coordenadas del cuarto vértice D y el área del paralelogramo. Sol.: (0 ,– 2, 2) , .

41. Probar que para todo valor real de el área del triángulo de vértices es constante de valor 1.42. Un triángulo tiene dos vértices en los puntos O(0,0,0) y A(1,1,1), y el tercer

vértice B en la recta . Hallar B sabiendo que el área del triángulo es igual

a . Sol.: (5,5,1) y (– 3, – 3, 1).43. Los puntos P(0,1,0) y Q(– 1,1,1) son vértices de un triángulo. El tercer vértice S

es la proyección ortogonal de P sobre la recta . Hallar el área del

triángulo. Sol.: 5/2.

44. Calcular la distancia del punto P(1, – 1,3) a la recta r: .

Sol.:

45. Determinar los puntos de la recta r: (x,y,z) = (t,1,1+t) que distan de la recta que pasa por A(1,1,0) y B(0,1,2).

Sol.: 46. Dado el punto P(1,1,2) y los planos , , calcular el

valor de “a” para que la recta que pasa por P y es perpendicular a , sea paralela a . Hallar la distancia de esa recta al origen de coordenadas.

Sol.: a=3 , d = .47. Hallar el área de un cuadrado con lados en las rectas:

r: y s:

Sol.: 10/3.

21

48. Se considera el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1) B(2,1,1) C(2,4,1) y E(1,2,7). Hallar la distancia entre las bases y el área de una de ellas. Determinar el volumen del paralelepípedo por dos métodos diferentes.

Sol.: 6, 3, 18.49. Hallar el volumen del tetraedro que tiene como vértices el punto P(1,1,1) y los

puntos de corte del plano 2x + 3y + z – 12 = 0 con los ejes coordenados. Sol.: 24.50. Determinar todos los puntos de la recta x = 2y = z que formen con los puntos

O(0,0,0) A(1,0,0) y B(0,1,– 1) un tetraedro de volumen unidad. Sol.: (4,2,4) y (– 4 ,– 2, – 4).51. Un cubo de volumen 4 tiene dos de sus caras sobre los planos 3x + 4y + 12z + a = 0 y 3x + 4y + 12z + 18 = 0. Hallar los posibles valores de

“a”. Sol.: a = .52. Determinar la posición relativa y la distancia entre las rectas:

r: y s: Sol.: se cruzan, d= .

53. Se considera el punto P(3,2,3) y la recta “r” intersección de los planos de ecuaciones x + 3y – 4z = 0 y x + 2y – 2z = 1. Se pide, determinar:

a) la distancia “d” del punto P a la recta “r”. b) Los puntos M y N de “r” que cumplen que su distancia al punto P es d. c) el área del triángulo de vértices P,M y N.54. Sean planos determinados del modo siguiente: el primer plano pasa por

los puntos (0,2,1) , (3 ,– 1, 1) y (1,– 1,5); el segundo pasa por los puntos (3,0,2) (2,1,1) y (5,4,– 2). Se pide: a) Ecuación paramétrica de la recta “r” intersección de los planos. b) El ángulo que forman los planos. c) La ecuación del plano que contiene a “r” y forma un ángulo de 90º con el

primer plano.55. Consideremos los planos (1): x + y – 6 = 0 y (2): 2x + 4y + kz + 2 = 0, donde

“k” es un parámetro real. Se pide: a) Determinar la ecuación paramétrica de la recta intersección de los dos planos

cuando k = 4. b) Calcular razonadamente “k” para que ambos planos se corten formando

ángulo de 45º.56. Dado el plano definido por la ecuación 8x – 4y + z = 3 , hallar: a) La ecuación de la recta perpendicular al plano que pasa por el punto P de

coordenadas (1,– 3,7), expresada como intersección de dos planos. b) La distancia del punto P al plano. c) La ecuación de los planos que distan 3 unidades del plano.

57. Dada la recta “r” de ecuaciones se pide:

a) Entre todos los planos del haz de “r”, determinar la ecuación general del plano que corta al segmento de extremos A(– 2,– 1 ,0) y B(0,1,4) en su punto medio

M. b) Hallar el valor del seno del ángulo que forman el plano y el segmento AB.

58. Sean los puntos A(a,2 ,– 3) B(2,a,1) y C(5,3 ,– 2).

22

a) Determinar el valor de “a” para que los tres puntos estén en una recta “r”. b) Hallar la ecuación paramétrica de la recta “r”. c) Hallar la distancia entre “r” y el eje X.59. Un rayo luminoso que está en el plano determinado por el punto A(1,1,1) y la

recta r: , parte del punto A y se refleja en la recta “r”,

incidiendo en ella en el punto P(2,3,1). Analizar razonadamente si el rayo reflejado iluminará el punto Q(2,2,3).

60. Calcular el área del triángulo de vértices A´ B´ C´ , proyecciones ortogonales de los vértices del triángulo A(1,1,1) B(1,1,2) C(1,2,1) sobre el plano x+y+z = 1.

Sol.:

61. Encontrar los puntos de la recta que forman con los puntos A(0,0,0)

B(1,0,0) y C(0,1,– 1) un tetraedro de volumen unidad. Sol.: (4,2,4) y (– 4,– 2,– 4)62. Un triángulo tiene como vértices A(0,0,0) B(1,1,1) y C situado en la recta

. Calcular las coordenadas de C sabiendo que el área del triángulo es

. Sol.: (0,0,1) y (2,1,1)

63. Sean las rectas

a) Probar que las tres rectas se cortan formando un triángulo rectángulo. b) Hallar el área del triángulo. Sol.: A(0,0,-1) B(1,-1,0) C(6,4,-3), A=90º , área = 64. Sea la recta r: (x,y,z) = (– t ,0, t) y el plano que contiene a la recta

s: – x = y – 2 = 1 – z y al punto A(3,1,6). Demostrar que la recta “r” corta al plano con un ángulo de 60º.65. Sean A, B y C tres puntos distintos y no alineados de un plano . Sea O el

origen de coordenadas y sean . Demostrar que el vector es perpendicular al plano .66. Hallar el punto del plano x + y + z = 1 que equidista de los puntos A(1,– 1,2)

B(3,1,2) y C(1,1,0). Sol.: (4, – 2, – 1)67. Determinar la distancia entre el plano 2x + y + 2z = 9 y el plano que contiene al

origen de coordenadas y a los puntos A(1,0,– 1) y B(– 2 ,2,1). Sol.: 3 u.

TABLAS DE LÍMITESSUMA + b

23

A a+b indeterminación indeterminación RESTA – b A a – b indeterminación indeterminaciónPRODUCTO .

indeterminación

indeterminación

indeterminación

indeterminación

Indeterminación

indeterminación

Indeterminación

indeterminación

COCIENTE :

indeterminación

indeterminación

Indeterminación

Indeterminación

+ + indeterminaci

ónindeterminación

indeterminación

indeterminación

POTENCIASSuponiendo Suponiendo 10 a

INDETERMINACIONES

TEMA 5. Funciones reales de variable real. Límites y continuidad.

1. Hallar el dominio y recorrido de la función Sol.

24

2. Hallar los valores de “a” y “b” para los que la función es impar

Sol.

3. Hallar el dominio de la función y comprobar que su gráfica es

simétrica respecto del punto de coordenadas ( 2 , 0 ).

4. Representar gráficamente las funciones: 5. Hallar la función inversa de la función

6. Calcular los límites:

a) b)

c) d)

e) e)

f)

7. Hallar los siguientes límites laterales: y

8. Calcular el límite de “y” cuando en los siguientes casos:

a) b) c)

9. Calcular los siguientes límites:

a) b)

c) d)

Sol. a) b) 0 c) d)

10. Hallar

11. Hallar el valor de “a” para que sea finito ¿ cuál es su

valor ?.12. Hallar cuando x tiende a -1, 0 y 2 los límites de las siguientes funciones:

a) b) c) d) Sol.

a) b) c) d) -1,0,4

25

13. Calcular los límites en y en de las siguientes funciones a)

b) c) 32

324

4

xxxy d) Sol.:

a) b) 0 c) d)

14. Calcular el límite cuando de la siguientes funciones a)

b) c) d) e) f)

Sol.: a) b) 0 c) log3 d) e) f) 0

15. Calcular el límite cuando de las siguientes funciones

a) b) c) Sol.:

a) 0 b) 0 c) 116. Calcular el límite cuando de la siguientes funciones

a) b) c) Sol.: a) b) 0 c) 1

17. Calcular a) b) Sol.: ,

18. Hallar las asíntotas de las siguientes funciones

a) b) c)

19. Hallar el valor de “k” para que la función f(x) sea continua en x=1

f(x) = Sol.:

20. El volumen que ocupa un gas a tº C es ¿ Qué significado

tiene ?. Calcular el límite de esta función en t = – 273º y razonar por qué debe entenderse como límite lateral por la derecha.

21. Estudiar la continuidad de la función y representarla gráficamente.

22. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones

a) b) c) xx

xy45

3

d)

23. Sea la función Hallar el valor de “a”

para poder aplicar el teorema de Bolzano a dicha función en Sol:

a = 3

24. Probar que la función alcanza el valor 2 en el intervalo abierto

. Justificar la respuesta.

26

25. Determinar los valores de “a” y “b” para que la siguiente función sea continua

f(x) = Sol.:

26. Determinar los valores de “a” y “b” para que la siguiente función sea continua

f(x) = Sol.: a=1 , b=3

27. Estudiar la continuidad de la función

28. Estudiar la continuidad de la función en el intervalo

Sol.: En x=0 y x= , en x=

29. Demostrar que la ecuación tiene tres raíces reales.

30. Pon un ejemplo en cada caso: a) f(x) es continua en y no acotada b) f(x) es continua en y no acotada superiormente c) f(x) está acotada en pero no es continua.

31. Calcular a) b)

32. Si f(x) es un polinomio de grado “n”, calcular

Sol.: 033. Compruébese de forma razonada que la ecuación 2x.senx = 1 tiene alguna

solución real.34. Sea f(x) una función real continua en tal que f(x) .

Pruébese que tal que f(c) = c35. Justificar de forma razonada que la función se anula en

algún punto del intervalo . Sol.: aplicar el T. de Bolzano.

36. Hallar el límite de las siguientes sucesiones:

a) Sol.: 0

b) Sol.: 0

c) Sol.:

d) Sol.: -1

e) Sol.: 3/2 f) Sol.: 0

27

g) Sol.: no existe

h) Sol.: 1/e

i) Sol.: e

j) Sol.:

TABLAS DE DERIVADAS

Función Derivada Función Derivada K 0 senx cosx Kx k cosx – senx tagx

ó

cotx

ó

arcsenx

arccosx

Lnx arctgx

arccotx

28

Regla de la suma Regla del producto

Regla del cociente

Regla de la cadena ó

Función Derivada Función Derivada K 0 sen(u) k.u cos(u) tag(u)

cot(u)

arcsen(u)

arccos(u)

ln(u) arctg(u)

arccos(u)

Derivación logarítmica para potencias

TEMA 6. La derivada.

1. Utilizando la definición de derivada calcular la derivada de las funciones a) b) c) xxf ln)(

2. Sea )(xfy tal que . Demostrar que existe y determinar su valor.

3. Estudiar la derivabilidad de la función

4. Determinar, de ser posible, los valores de “a” y “b” para que la función

sea derivable en su dominio y hallar f’(x).

5. Hallar las tangentes horizontales y verticales de la curva 6. Hallar los valores de “a” y “b” para que la función

sea derivable en x = 1 y hallar f’(1).

29

7. Si f(x) es una función derivable en x = a , hallar

8. Se llama ángulo de dos curvas en un punto, en el que se cortan, al ángulo que forman sus tangentes en dicho punto. Hallar el ángulo bajo el que se cortan en x=0 las curvas e

9. Hallar las dos semitangentes a la curva en el punto de abscisa x=1.

10. Expresar el ritmo de variación del área A de un círculo respecto de: a) su radio r b) su diámetro d c) su perímetro p.

Sol: , ,

11. En un movimiento rectilíneo la posición de un móvil (distancia al origen) viene dada por la función (en metros) . Calcular la velocidad y aceleración del móvil en función del tiempo “t” (en segundos). ¿Cuál es la velocidad y aceleración a los 5 segundos de iniciar el movimiento?

12. Encontrar el punto o puntos de la curva donde la tangente tiene una

inclinación de 45º.13. Una función y = f (x) verifica la ecuación

a) Hallar su derivada mediante derivación implícita.b) ¿Cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de

abscisa x = 2? Sol.:

14. Calcular y simplificar las derivadas de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

i) j) k)

l) m)

Soluciones:

a) b) c) d)

e) f) g)

h) i) j) k)

l) m)

15. Hallar la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

30

a) b) c) d)

e) f) g)

16. Un globo de radio 1 metro sufre una pequeña dilatación. Hallar, utilizando la aproximación de la diferencial, el incremento de su volumen si su radio aumenta 2 centímetros.

Sol.: 0,251327

17. Las funciones hiperbólicas se definen como:

Seno hiperbólico :

Coseno hiperbólico :

Tangente hiperbólica:

Obtener la derivada de estas tres funciones.

TEMA 7. Aplicaciones de la derivada.

1. Sea Comprobar que f(x) satisface el Teorema de

Rolle en el intervalo y hallar el punto intermedio en el que se produce la anulación de la función.

2. Recurriendo al Teorema de los incrementos finitos comprobar que se verifica la desigualdad .

3. Utilizando la fórmula de los incrementos finitos comprobar que si

entonces

4. Probar que si entonces

5. Probar que si x>0 , k>1 entonces 6. Probar que si F’(x) = G’(x) entonces F(x) – G (x) es constante en

dicho intervalo.7. Un viajero conduce su automóvil de una ciudad a otra, que distan 207 km., e

invierte en ello 2h. 30min. El viajero asegura que en ningún momento sobrepasó los 80 Km/h. Demostrar que el viajero miente.

31

8. Sea la ecuación (x es la incógnita), donde Comprobar que dicha ecuación no puede tener dos

raíces reales.9. Calcular los siguientes límites

10. Estudiar la monotonía y extremos de las siguientes funciones:

en en .

11. Estudiar la curvatura e inflexiones de las siguientes funciones:

12. Hallar la relación que han de guardar los números a y b para que la curva tenga algún punto de inflexión.

13. Hallar el valor de “a” para que la función tenga un extremo en el punto de abscisa x = 0. ¿ Qué tipo de extremo es ?. Indicar los intervalos de monotonía de la función. Sol.: a = 0 , decreciente en creciente en .

14. Se considera la función . Determinar el valor de k > 0 sabiendo

que para un cierto valor de “x” la función alcanza el valor mínimo Sol.: k

= ½ alcanzándose el valor mínimo en x = – 1.15. Calcular la ecuación de la recta tangente a la curva en su punto

de inflexión. Sol.: y = – 6x + 6.16. Un coche que circula por un tramo recto de una carretera nacional pasa por radar

a 80 Km/h y un minuto después lo hace por otro, situado a 2 Km del anterior.

32

a. Un guardia lo detiene y se dirige al coche. Si el límite de velocidad es de 90 Km/h, ¿ lo multará ?

b. ¿ Cuál es el tiempo mínimo que debe tardar entre ambos radares para que no lo multen?.

c. Si tarda m{as de ese tiempo, ¿ significa que no ha rebasado los 90 Km/h en ese tramo?

Sol.: a) sí porque en algún momento fue a 120 Km/h b) mayor de 1,33 min. c) no necesariamente.

17. Calcular los siguientes límites.

18. Comprobar que tiene una única solución real. Sol.: Aplicar primero T.B. y luego T.R. en el intervalo

19. Demostrar que cualquiera que sea el valor real de “k”, la ecuación , no admite dos soluciones reales.

20. Una empresa de material fotográfico vende una máquina capaz de revelar, cuando es nueva, 5 fotografías por minuto (f/m) y asegura que tarda un tiempo en alcanzar su máxima capacidad, de 12 fotografías por minuto, y que, con el paso de los años, nunca revelará menos que al principio. En el libro de instrucciones aparece la siguiente función, que da el número f/m en función de la antigüedad “x” de la máquina ( en años )

a. Hallar los intervalos de monotonía de f(x) y explicar cómo depende la capacidad de la máquina de su antigüedad. Justificar que, después de 2 años, la capacidad disminuye, aunque cada vez menos.

b. ¿En qué momento alcanza la máquina su máxima capacidad?, ¿cuál es esta?, ¿es cierta la publicidad de la empresa?

Sol.: a) En x = 2 hay un punto anguloso, f crece de forma constante de 0 a 2 y decrece a partir de 2 pero cada vez menos porque c. En x = 2 f alcanza su valor máximo f(2) = 10 f/m y no 12 como indica la

publicidad. Como para x>2 f es decreciente y se deduce que con el paso del tiempo la máquina revelará menos de las 5 f/m que asegura la publicidad ( concretamente a partir del noveno año ).

21. Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba desde un determinado punto. La altura en metros alcanzada al cabo de “t” segundos viene dad por la función

a. Calcular el tiempo transcurrido hasta alcanzar la altura máxima y el valor de esta.

b. Hallar la velocidad al cabo de 2 segundos

Sol.: a) t=(ln2)/2 s. h(max)=2,5(1 – ln2) m. b) 22. Sea , siendo .

33

a. Comprobar que la función tiene en x = 1 un extremo relativo, indicando de qué tipo es.

b. Suponiendo que n > 1, determinar según los valores de n los intervalos de monotonía de la función.

c. Utilizar el apartado anterior para probar que .

Sol.: a) Se trata de un máximo. b) Si n es par crece hasta el 1 y decrece a partir del 1 Si n es impar decrece hasta –1, crece entre –1 y 1 volviendo a decrecer a partir del 1

c) Como f(1) es máximo absoluto , entonces f(x) f(1).23. Sea tal que ( 0 , 1 ) es un punto de su gráfica, f’(0)=2 y

además tiene dos extremos relativos para x=1 y x=2. Determinar los valores de “a” , “b” , “c” y “d” y averiguar de qué tipo son los extremos relativos.

Sol.: 1/3 , - 3/2 , 2 , 1 Máx en x=1 y Min en x=224. Determinar los coeficientes de la curva para que sea tangente

a la recta en el punto de abscisa x = 1 y para que tenga un extremo local en el punto de abscisa x = 4.

Sol.: -8, 16, -8

25. Hallar los coeficientes de las curvas y sabiendo que se cortan en el punto ( 1, 2 ) teniendo ambas la misma tangente en ese punto. Sol.: 1, 0, 1

26. Hallar los coeficientes de la función para que tenga una inflexión en x = 3, pase por el punto (1, 0) y alcance un extremo en x = 1. Sol.: -9, 15, -7

27. Hallar los coeficientes de la función para que tenga una inflexión en el punto (– 2 , 6 ) con tangente paralela a la recta 8x + y + 10 = 0 y tome el valor – 2 para x = 0. Sol.: 1, 6, 4, -2

28. Hallar los coeficientes de la función para que tenga un extremo en el punto ( 1, 3 ) y una inflexión de tangente y = 2x. Sol.: -2/3 , 0 , 2 , 5/3

34

TEMA 8. Representación de curvas explícitas. Problemas de optimización

1. Estudiar y representar gráficamente las funciones:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

2. De las esquinas de un rectángulo de lados 4 y 8 dm, se recorta un cuadrado de lado “x” para hacer un caja sin tapa. Hallar “x” para que el volumen de la caja sea el máximo posible e indicar cuál es dicho volumen máximo.

Sol.:

3. Un cultivador de cítricos estima que, si se plantan 60 naranjos en un huerto, la producción media por árbol será de 400 naranjas, y disminuirá en un promedio de 5 naranjas por árbol, por cada árbol adicional plantado en el huerto.

a) Determinar la función de producción total de naranjas si se plantan “x” árboles.

b) ¿Cuántos árboles se deben plantar para maximizar la producción?, ¿cuál es dicha producción máxima?

Sol.: a) , con b) x=70, 24500 naranjas.4. Un triángulo isósceles tiene el lado desigual de 12 cm y la altura relativa a este

lado de 5 cm. Hallar un punto sobre esta altura tal que la suma de las distancias a los tres vértices sea mínima. Sol.: a del lado desigual.

35

5. El precio de cada bloque de cierta materia es proporcional al cuadrado de su

peso. Se tiene un bloque de 20 Kg que cuesta 500 euros. a) Si el bloque se rompe en dos trozos de 5 y 15 Kg, ¿cuál es ahora el precio

de los dos trozos?. b) Demostrar que, si el bloque se rompe en dos trozos cualesquiera, siempre

se deprecia. c) Calcular para qué partición se produce la máxima pérdida de su valor.

¿Cuál es esta?

Sol.: a) 312,50 euros b) con Kgc) en dos partes del mismo peso.

6. Para la construcción de una ventana se duda si darle forma de rectángulo, de círculo, o bien de la figura compuesta formada por la unión de un cuadrado con un semicírculo en su parte superior. Determinar la forma de la ventana, con 16 m de perímetro, si se desea que tenga la máxima luminosidad. Sol.: forma circular , Superficie máxima 20,37 .

7. Ana va desde un pueblo situado en A a otro situado en B, haciendo un alto en el camino para bañarse en un río de cauce recto que deja a los dos pueblos en el mismo semiplano. La distancia de los dos pueblos al rio es, respectivamente, de 3 y 2 km, y la distancia entre las proyecciones ortogonales de los pueblos sobre el rio es de 10 Km. ¿En qué punto del río se debe bañar para que su recorrido total sea el de menor longitud posible?. ¿Cuál es dicha longitud mínima? Sol.: a 6 Km de la proyección ortogonal de A, Recorrido

8. El coste de producción de “x” unidades de un producto viene dado por la expresión euros, y el precio de venta de una unidad es p=10 – 0,01x euros. ¿Cuántas unidades se deben vender para obtener el máximo beneficio?, ¿cuál es dicho beneficio? Sol.: 325 unidades, 2111,5 euros.

9. Un jardinero dispone de 120 metros de valla y desea delimitar un terreno rectangular y dividirlo en 5 parcelas con vallas paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener el terreno para que el área sea la mayor posible?. Sol.: 30 x 10 metros.

10. Una página de un libro debe contener 60 de texto, márgenes superior e inferior de 1,5 cm y laterales de 1 cm. ¿Qué dimensiones debe tener la página para que el gasto de papel sea mínimo?

36

Sol.: base altura .

11. Se quiere colocar una escalera de 5 metros de longitud apoyada sobre la pared. Si se quiere dejar debajo un triángulo de área máxima, ¿dónde habrá que colocarla, a qué altura llegará?

Sol.: formando un triángulo isósceles de lados iguales .

12. Una viga de madera tiene sección rectangular de altura “h” y anchura “x”. Su resistencia es directamente proporcional al producto de la anchura por el cuadrado de la altura. Si se tiene un tronco se sección circular de 24 cm de diámetro y se desea construir una viga, cuáles serán las dimensiones de su sección para que tenga la máxima resistencia. Sol.: .

13. Un proyectil que se lanza desde el origen de coordenadas formando un ángulo

, , con el eje de abscisas, sigue la trayectoria dada por la gráfica de la

función , donde “y” es la altura del proyectil sobre la

abscisa “x”, ambas expresadas en metros. a) Hallar la función que da el alcance del proyectil (distancia del origen al

punto en que cae sobre el eje de abscisas) en función del ángulo . b) Calcular el ángulo para el que el alcance sea máximo y el valor de dicho

alcance máximo.

Sol.: a) b)

14. Hallar los puntos de la parábola para los que la distancia al punto (4,0) es mínima.

15. Hallar de entre todos los rectángulos de área 12 las dimensiones de aquel que tiene mínimo el producto de sus diagonales.

16. A un alambre de 4 m de longitud se le da forma de sector circular ( dos radios y el arco ). Hallar la longitud que hay que dar al radio para que el área encerrada por el alambre sea máxima.

17. Un depósito abierto de base cuadrada, debe tener capacidad para 13500 litros. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que precise la menor cantidad de chapa?. Sol.: h = 15 dm l = 30 dm.

18. Hallar los lados del rectángulo de máximo perímetro, inscrito en una semicircunferencia de radio R = 10, que tiene uno de sus lados sobre el diámetro de la circunferencia. Sol.: .

19. Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio R en cada uno de los casos siguientes:

a) El volumen del cilindro es máximo. b) El área lateral del cilindro es máxima.

Sol.: a) radio altura b) radio altura

37

20. La cerca de un solar vale a 75 cts el metro lineal. Se desea adquirir una parcela de forma rectangular de superficie 2500 , con la condición de que el coste de la cerca sea mínimo. ¿Cuánto costará en ese caso la cerca?. Sol.: 150 euros.

21. Una estatua de 2 metros de altura descansa sobre un pedestal de 5 metros. Averiguar a qué distancia del eje de la estatua se ha de situar una persona de 1,70 m de altura para que vea la estatua bajo el mayo ángulo posible. Sol.:

22. Un alambre de longitud 3 m. se divide en dos partes “x” e “y” (x y). Con la primera se construye un cuadrado y con la otra una circunferencia. Hallar las longitudes “x” e “y” para que la suma de las áreas del cuadrado y círculo sea

mínima. Sol.: .

23. De todos los conos de revolución que tienen la misma generatriz ,

hallar el volumen del que lo tiene máximo. Sol.: .

24. Una ventana está formada por un rectángulo cuyo lado superior se ha sustituido

por un triángulo isósceles cuya altura vale los de su base. Sabiendo que el

perímetro de la ventana es de 90 dm. , determinar sus dimensiones para que el flujo de luz sea máximo.

Sol.: base del rectángulo 24 dm. altura 18 dm. altura triángulo 9 dm. 25. En un terreno con forma de triángulo rectángulo, los catetos miden 60 (el

horizontal)y 45(el vertical) metros. En este terreno se puede construir una casa de planta rectangular. Se quiere vender el terreno y nos pagan 50 euros por cada metro cuadrado no edificable y 250 euros por cada metro cuadrado edificable.

a) Determinar la relación que hay entre la anchura “x” y la profundidad “y” del rectángulo que determina la parte edificable.

b) Determinar la expresión que da el valor del terreno en función de “x”. c) ¿Cuáles son las dimensiones de la parte edificable que dan valor máximo (en

euros) al terreno?. d) ¿Cuál es ese valor máximo?.

Sol.: a) b)

c) x = 30 m y = 22,5 m d) V = 202 500 euros.

26. Entre todos los rectángulos de área 3 , hallar las dimensiones del que tenga mínimo el producto de sus diagonales. Sol.: cuadrado de lado .

27. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en una circunferencia de radio r > 0. Sol.: cuadrado de lado .

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28. De todos los cilindros inscritos en una esfera de radio 1 m , hallar el volumen

del que lo tenga máximo. Sol.: .

TEMA 9. La integral. Cálculo de áreas planas.

1. Integrales seudo-inmediatas

2. Integración por cambio de variable

3. Integración “por partes”

4. Integrales racionales

5. Integrales varias

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6. Obtener de forma razonada: a) Área del círculo de radio r. Sol.: b) Área encerrada por una elipse de semiejes a y b. Sol.:

7. Calcular el área del recinto plano limitado por la parábola y la recta

. Sol.:

8. Calcular el área del recinto plano limitado por las parábolas , . Sol.: .

9. Calcular el área del recinto plano limitado por la parábola , y las rectas

, y = 0. Sol.: .

10. Calcular el área del recinto plano limitado por las parábolas ,

. Sol.: .

11. Calcular el área del recinto plano limitado por las curvas e .

Sol.:

12. Calcular el área del recinto plano limitado por las curva , la recta , y el

eje OY. Sol.:

13. Determinar el valor real de “a” para que el área encerrada por la gráfica de

, la recta y el eje X sea . Sol.:

14. Dibuja las gráficas de la recta y la curva . Obtén el área encerrada

por ambas. Sol.:

15. Obtener el área encerrada por la curva , su tangente en x=1 y la recta . Sol.: 16. Calcular el área del recinto limitado por las curvas , , Sol.: 17. Hallar el área encerrada por la curva y el eje de abscisas.

Sol.:

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18. Calcular el área encerrada por la parábola , la circunferencia , y

el eje X. Sol.:

19. Hallar el área encerrada por la curva de Agnesi (curva cerrada formada por las

funciones , ). Sol.:

20. Calcular el área limitada por la curva ( ) y el OX.

Sol.:

21. Determinar el valor del parámetro real “a” para que el área encerrada por los dos semiejes positivos de coordenadas, la curva , y la recta sea .

Sol.:

22. Hallar de forma razonada la derivada de :

a) Sol.:

b) Sol.:

c) Sol.:

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