i w i w trong kinh tẾ q k l i ' ( , ) w u w ( 1, ) · pdf file•xét mô...

7/5/2016

1

Bài giảng Toán Kinh tế Nguyễn Văn Tiến

ỨNG DỤNG CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ TRONG KINH TẾ


Đạo hàm riêng và giá trị cận biên

• Xét mô hình hàm kinh tế:

• trong đó xi là các biến số kinh tế.

• Đạo hàm riêng của hàm w theo biến xi tại điểm M được gọi là giá trị w – cận biên theo xi tại điểm đó.

• Biểu diễn lượng thay đổi giá trị của biến w khi giá trị xi thay đổi 1 đơn vị trong điều kiện giá trị các biến độc lập còn lại không thay đổi.

1 2, ,..., nw f x x x


Giá trị cận biên_hàm sx

• Xét hàm sản xuất: Q=f(K;L)

• Các đạo hàm riêng:

• được gọi tương ứng là hàm sản phẩm cận biên của tư bản (MPK) và hàm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) tại điểm (K, L)

' ( , ); ' ( , )K L

f fQ K L Q K L

K L


Giá trị cận biên_hàm sx

• Đạo hàm riêng:

• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị tư bản và giữ nguyên mức sử dụng lao động.


• Biểu diễn xấp xỉ lượng sản phẩm hiện vật gia tăng khi sử dụng thêm một đơn vị lao động và giữ nguyên mức sử dụng tư bản.

' ( , )K

fQ K L

K

' ( , )L

fQ K L

L


Ví dụ

• Giả sử hàm sản xuất của một doanh nghiệp là:

• trong đó K, L, Q là mức sử dụng tư bản, mức sử dụng lao động và sản lượng hàng ngày. Giả sử doanh nghiệp đó đang sử dụng 16 đơn vị sản phẩm và 81 đơn vị lao động trong một ngày tức là K=16; L=81. Xác định sản lượng cận biên của tư bản và lao động tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.

1 3

4 420Q K L


Giá trị cận biên_hàm lợi ích

• Cho hàm lợi ích:


• MUi gọi là hàm lợi ích cận biên của hàng hóa thứ i.

• Biểu diễn xấp xỉ lợi ích tăng thêm khi người tiêu dùng có thêm một đơn vị hàng hóa thứ i trong điều kiện số đơn vị các hàng hóa khác không thay đổi.

1 2( , ,..., )nU U x x x

( 1, )i

i

UMU i n

x

7/5/2016

2


Ví dụ • Giả sử hàm tiêu dùng hàng ngày của một người

tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa là.

• Trong đó x1, x2 là mức sử dụng hàng hóa 1 và hàng hóa 2, U là lợi ích của người tiêu dùng hàng ngày.

• Giả sử người tiêu dùng đang sử dụng 64 đơn vị hàng hóa 1 và 25 đơn vị hàng hóa 2 trong một ngày. Xác định lợi ích cận biên của các hàng hóa tại điểm đó và giải thích ý nghĩa.

3 1

2 21 22U x x


Hệ số co giãn riêng

• Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn).

• Hệ số co giãn của của hàm w theo biến xi tại điểm M là số đo lượng thay đổi tính bằng phần trăm của w khi xi thay đổi 1% trong điều kiện giá trị của các biến độc lập khác không đổi, được ký hiệu và xác định như sau:

0 0 0 01 2 0 0 0

1 20 0 0

1 2

, ,....,. , ,....,

, ,....,i

nf ix n

i n

f x x x xvoi M x x x

x f x x x


Ví dụ • Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai

hàng hóa có liên quan có dạng:

• p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2.

a) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giá của hàng hóa đó tại (p1,p2)

b) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giá của hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)

c) Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và cho biết ý nghĩa của tại điểm (20,30).

2 2

1 1 2

56300 2

3dQ p p


Giải

• Ta có:

• Tại điểm (20,30) ta có:

• Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa 2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá hàng hóa 2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự, nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăng thêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%.

1 1

1 2

1 21 2

2 2 2 2

1 2 1 2

104 . ; .

5 536300 2 6300 2

3 3

d dQ Q

p p

p pp p

p p p p

1 1

1 20,4; 0,75d dQ Q

p p


Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• Xét hàm kinh tế hai biến số z=f(x,y)

• là hàm cận biên của hàm kinh

tế trên theo biến x.

• là hàm cận biên của hàm kinh

tế trên theo biến y.

' ( , )x

z fz x y

x x

' ( , )y

z fz x y

y y



• Trong kinh tế học, quy luật lợi ích cận biên giảm dần nói rằng

• Giá trị z – cận biên của biến x giảm dần khi x tăng và y không đổi.

• Giá trị z – cận biên của biến y giảm dần khi y tăng và x không đổi

• Chú ý: chúng ta xét trong điều kiện giá trị của các biến x, y đủ lớn.

7/5/2016

3



• Cơ sở toán học:

• là hàm số giảm khi

• là hàm số giảm khi

2 2

2 2( , ) 0

z fx y

x x

( , )

z fx y

x x

( , )z f

x yy y

2 2

2 2( , ) 0

z fx y

y y


Ví dụ

• Hàm sản xuất của một doanh nghiệp có dạng Cobb – Douglas như sau:

• Tìm điều kiện của α, β để hàm số trên tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần.

( , , 0)Q aK L a


Hàm thuần nhất

• Hàm số z=f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất cấp k nếu với mọi t>0 ta có:

• Ví dụ: hàm Q=a.Kα.Lβ là hàm thuần nhất cấp (α+β) vì với mọi t>0 ta có:

( , ) ( , )kf tx ty t f x y

( , ) ( ) ( ) ( , )Q tK tL a tK tL t aK L t Q K L


Ví dụ

• Các hàm sau có là hàm thuần nhất không? Tìm cấp tương ứng.

0,5 0,5

2 2

1 4 4)

9 9 9

2)

a Q K K L L

xyb z

x y


Hiệu quả theo quy mô sản xuất

• Xét hàm sản xuất Q=f(K;L)

• trong đó K, L là yếu tố đầu vào, Q là yếu tố đầu ra.

• Bài toán đặt ra là: Nếu các yếu tố đầu vào K, L tăng gấp m lần thì đầu ra Q có tăng gấp m lần hay không ?

• Ta tiến hành so sánh:

( , ) ( , )Q mK mL vs mQ K L


Hiệu quả theo quy mô sản xuất

• Nếu Q(mK; mL)>m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.

• Nếu Q(mK; mL)<m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.

• Nếu Q(mK; mL)=m.Q(K;L) thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.

7/5/2016

4


Hiệu quả của quy mô với bậc thuần nhất

• Giả sử hàm sản xuất Q=f(K;L) là hàm thuần nhất cấp k.

• + Nếu k>1 thì hàm sản xuất có hiệu quả tăng theo quy mô.

• + Nếu k<1 thì hàm sản xuất có hiệu quả giảm theo quy mô.

• + Nếu k=1 thì hàm sản xuất có hiệu quả không đổi theo quy mô.


Ví dụ

• Xét vấn đề hiệu quả theo quy mô của các hàm sản xuất sau:

0,5 0,51 4 4)

9 9 9

)

a Q K K L L

b Q aK L


Hàng hóa thay thế

• Hàng hóa cùng thỏa mãn một nhu cầu

• Hàng hóa có cùng chức năng và công dụng

• Một sự tăng lên về giá cả của hàng hóa này sẽ làm tăng lượng cầu của hàng hóa thay thế


Hàng hóa bổ sung

• Là những hàng hóa được sử dụng song hành với nhau để bổ sung cho nhau nhằm thỏa mãn một nhu cầu nhất định nào đó.

• Một sự tăng lên về giá của hàng hóa này làm giảm lượng cầu đối với hàng hóa bổ sung.


Ví dụ

• Cho mô hình thị trường 2 hàng hoá:

• Hai mặt hàng trong mô hình là các mặt hàng thay thế hay bổ sung? vì sao?

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

48 2 0,5 0,5

12 2 20 2

d d

s s

Q p p Q m p p

Q p Q p


Đáp án

• Ta có:

• Có nghĩa là khi giá hàng thứ 1 không đổi giá hàng 2 tăng lên thì cầu hàng 1 tăng;

• Có nghĩa là khi giá hàng thứ 2 không đổi giá hàng 1 tăng lên thì cầu hàng 2 tăng;

• Như vậy 2 hàng hoá trong mô hình là các hàng hoá thay thế nhau.

1 2

2 1

0,5 0; 0,5 0d dQ Q

p p

7/5/2016

5


Hệ số thay thế hay bổ sung

• Cho hàm kinh tế w=f(x1,x2,…,xn) và điểm

• Đặt w0=f(M0)

• Bài toán: khi hai biến xi, xj thay đổi còn các biến khác giữ nguyên sao cho w không đổi (tức w=w0) thì sự thay đổi của hai biến này phải tuân theo tỷ lệ nào?

• Tùy thuộc vào thực tiễn của hai biến, tỷ lệ này có thể gọi là tỷ lệ (hệ số) thay thế, tỷ lệ bổ sung, tỷ lệ chuyển đổi.

• Ví dụ: tỷ lệ thay thế giữa vốn và lao động; bổ sung giữa hai mặt hàng; chuyển đổi giữa tiêu dùng hiện tại và tiêu dùng tương lai.

0 0 0

0 1 2; ;...; nM x x x



• Theo công thức vi phân toàn phần:

• Do các biến xi, xj thay đổi còn các biến khác không đổi nên:

1 2

1 2

w ... n

n

f f fd dx dx dx

x x x

'0

'

j

i

xjii j

i j j x

i

f

fxdxf fdx dx

fx x dx f

x



• Nếu 𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

< 0 ta nói xi có thể thay thế (chuyển đổi) cho xj tại M0

với tỷ lệ |𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗

|.


𝑑𝑥𝑗

> 0 ta nói xi có thể bổ sung cho xj tại M0 với tỷ lệ 𝑑𝑥𝑖

𝑑𝑥𝑗


𝑑𝑥𝑗

= 0 ta nói xi, xj không thể thay thế hoặc bổ sung cho

nhau tại M0.


Ví dụ • Ngân sách tiêu dùng là B=300$; giá một đơn vị hàng hóa 1,2

lần lượt là 3$; 5$. Biết hàm lợi ích như sau:

• A) Xác định hàm lợi ích tiêu dùng cận biên của hàng hóa 1,2. Hai hàng hóa này là thay thế hay bổ sung cho nhau?

• B) Hàm trên có tuân theo lợi ích cận biên giảm dần hay không?

• C) Tại điểm (32;32) viết phương trình đường bàng quan. Xác định độ dốc của đường đó.

• D) Tìm gói hàng hóa mà tại đó hộ gia đình có lợi ích tiêu dùng đạt giá trị lớn nhất.

• E) Nếu ngân sách tiêu dùng giảm 1$ thì mức lợi ích tối đa giảm bao nhiêu?

0,4 0,45 . 0; 0U x y x y


Đáp án

• A) Hai hàng hóa thay thế

• B) Tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• C) Hệ số góc là -1

• D) U(50;30) là lớn nhất

• E) Giảm 0,249 đơn vị.


Phương trình đường đồng lượng

• Cho hàm sản xuất Q=a.Kα.Lβ (a, α, β>0)

• Giả sử: K=K0; L=L0, khi đó sản lượng là:

• Phương trình: Q=Q0 hay a.Kα.Lβ = Q0 gọi là phương trình đường đồng lượng tại điểm (K0; L0).

0 0Q aK L

7/5/2016

6


Phương trình đường bàng quan • Cho hàm lợi ích U=a.xα.yβ (a, α, β>0)

• Giả sử: x=x0; y=y0, khi đó lợi ích là:

• Phương trình: U=U0 hay a.xα.yβ = U0 gọi là phương trình đường bàng quan tại điểm (x0; y0).

• Hệ số góc (hoặc độ dốc) của đường đó tại điểm (x0; y0).

0 0.U a x y

0 0

0 0

0 0

( , )

( , )

( , )

Ux y

dy xx yUdx

x yy


Ví dụ

• Một hộ gia đình có hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa như sau:

• (x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x>0; y>0)

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32) viết phương trình đường bàng quan, xác định hệ số góc của đường đó và nêu ý nghĩa.

0,4 0,45. .U x y


Giải

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32) thì U0=5.320,4.320,4

• Phương trình đường bàng quan tại (x0; y0)=(32;32) là:

• Hệ số góc của đường bàng quan :

0,4 0,4

0 . 16 0U U x y

'

x

Udy yxy

Udx x

y


Giải

• Tại điểm (x0; y0)=(32;32):

• Ý nghĩa : Tại (x0; y0) khi tăng số đơn vị hàng hóa 1 lên 1 đơn vị thì phải giảm số đơn vị hàng hóa 2 xuống 1 đơn vị để lợi ích tiêu dùng không đổi.

' 321

32xy


Ứng dụng đạo hàm của hàm ẩn


Khái niệm hàm ẩn

• Cho phương trình F(x,y)=0

• Nếu với mỗi giá trị của x ta chỉ tìm được duy nhất một giá trị của y thỏa mãn phương trình trên thì F(x,y)=0 xác định một hàm ẩn y theo x.

• Kí hiệu: y = 𝑦 𝑥 , 𝑥 ∈ (𝑎; 𝑏)

• Nếu giải được phương trình F(x,y)=0 để có thể biểu diễn y theo x bằng biểu thức thì ta có thể đưa y về dạng hàm tường minh.

7/5/2016

7


Ví dụ

• Cho phương trình:

• Giải phương trình này ta có được hàm của y theo x:

• Ta nói phương trình x+y3-1=0 xác định hàm ẩn y theo x trong R.

3, 1 0F x y x y

3 1y x

3 1y x


Ví dụ

• Cho phương trình:

• Với mỗi giá trị của x ta có:

• Ta nói phương trình x2+y2-1=0 không xác định hàm ẩn nào của y theo x.

2 2, 1 0F x y x y

21y x


Khái niệm hàm ẩn

• Trong nhiều trường hợp, mặc dù ta có thể chứng minh được rằng phương trình F(x,y)=0 xác định một hàm số y=y(x) nhưng ta không thể biểu diễn y theo x một cách trực tiếp. Trong trường hợp đó ta phải xét hàm số y gián tiếp dưới dạng phương trình F(x,y)=0.

• Kí hiệu y=y(x) chỉ mang ý nghĩa hình thức để nói y là hàm số của biến số x.


Đạo hàm của hàm ẩn

• Giả sử y=y(x) là hàm ẩn xác định bởi phương trình F(x,y)=0. Ta có:

( , )

( )

( , )

Fx y

xy xF

x yy

''

'

xx

y

Fy

F


Ví dụ

• Tính đạo hàm của hàm y là hàm ẩn của x xác định bởi phương trình:

• Đ/S:

2 22 1 0 0x y y

2'x

xy

y


Hệ số (nhịp) tăng trưởng

• Cho hàm số kinh tế w=f(x1,x2,…,xn,t), trong đó t là biến thời gian. Hệ số tăng trưởng (nhịp tăng trưởng) của f, ký hiệu và xác định bởi công thức sau:

• Thông thường hệ số tăng trưởng được tính theo tỉ lệ %.

'tf

fftr

f f

7/5/2016

8


Tính chất

• A) Cho U=U(t), V=V(t)

• Nếu Y=U.V thì

• Nếu Y=U/V thì

• Nếu Y=U+V thì

• Nếu Y=U-V thì

Y U Vr r r

Y U Vr r r

Y U V

U Vr r r

U V U V

Y U V

U Vr r r

U V U V


Tính chất

• B) Cho hàm

• Khi đó:

• Tính theo hệ số co dãn riêng của f với xi và hệ

số tăng trưởng của xi

1 2w , ,..., x ;n i if x x x x t

1

.i i

nf

f x x

i

r r


Ví dụ

• Cho hàm sản xuất Q=20K1/4L3/4 trong đó K là vốn, L là lao động, Q là sản lượng. Cho biết vốn và lao động phụ thuộc theo t (tháng):

• a) Xác định hệ số tăng trưởng của vốn và lao động.

• b) Xác định hệ số tăng trưởng của sản lượng tại t0=2.

1 12 ; 3

4 6K t L t


Giải

• A) Hệ số tăng trưởng của vốn:

• Hệ số tăng trưởng của lao động:

' 1 / 4 1

1 82

4

K

Kr

K tt

L' 1/ 6 1

1 183

6

LrL t

t


Giải

• B) Hệ số tăng trưởng của sản lượng:

• Tại t0=2, ta có:

1 1 3 1. . . .

4 8 4 18

Q Q

Q K K L Lr r rt t

1 1 3 1 1. .

4 8 2 4 18 2 16Qr


Cực trị không điều kiện – VD1

• Một xí nghiệp sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm. Biết hàm cầu về 2 loại sản phẩm của xí nghiệp trong một đơn vị thời gian là:

• và hàm tổng chi phí xét trong một đơn vị thời gian là

• Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa.

1 2 1 21 2

1230 5 1350 3,

14 14

P P P PQ Q

2 2

1 2 1 1 2 2( , )C Q Q Q QQ Q

7/5/2016

9


Cực trị không điều kiện – VD2

• Cho hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là:

• trong đó 𝜋 là lợi nhuận, R là doanh thu, C là chi phí, L là lượng lao động, w là tiền lương cho một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất của tiền vốn, P là đơn giá bán sản phẩm.

• Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng:

• Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = 3.

wR C PQ L rK

1/3 1/3.Q L K


Cực trị có điều kiện – VD1

• Cho hàm lợi ích tiêu dùng đối với 2 loại hàng hóa:

• (x là số đơn vị hàng hóa 1, y là số đơn vị hàng hóa 2; x>0, y>0).

• Giả sử giá các mặt hàng tương ứng là 2USD, 3USD và thu nhập dành cho người tiêu dùng là 130USD. Hãy xác định lượng cầu đối với mỗi mặt hàng để người tiêu dùng thu được lợi ích tối đa.

0,4 0,6, .U x y x y


Cực trị có điều kiện – VD2

• Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo trên đài phát thanh (x phút) và trên đài truyền hình (y phút). Hàm doanh thu:

• Chi phí cho mỗi phút quảng cáo trên đài phát thanh là 1 triệu đồng, trên đài truyền hình là 4 triệu đồng. Ngân sách chi cho quảng cáo là B=180 triệu đồng.

• a) Tìm x, y để cực đại doanh thu.

• b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng 1 triệu đồng thì doanh thu cực đại tăng lên bao nhiêu ?

2 2, 320 2 3 5 540 2000R x y x x xy y y


Bài tập 1

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 trong đó Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động. Doanh nghiệp thuê một đơn vị vốn là 3$; một đơn vị lao động là 1$. Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào là B=160$.

• A) Với hàm sản xuất trên khi tăng quy mô sản xuất thì hiệu quả thay đổi như thế nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng lên 3% thì sản lượng tăng lên bao nhiêu % tại mỗi mức (K,L)?


Bài tập 1 • B) Xác định mức sử dụng vốn và lao động để sản lượng tối đa. Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ thì sản lượng tối đa tăng lên bao nhiêu đơn vị?

• C) Hàm số trên có tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không?

• D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động?

• E) Xác định phương trình đường đồng lượng tại điểm K=625; L=16.

• F) Vốn và lao động là hai hàng hóa thay thế hay bổ sung cho nhau.


Đáp án

• A) Hiệu quả không đổi

• Sản lượng tăng 1,5%

• B) K=L=40; Qmax=1600

• Tăng yếu tố đầu vào thì Qmax tăng khoảng 10 đơn vị

• C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần

• D) E)

• F) Hai hàng hóa thay thế cho nhau.

7/5/2016

10


Bài tập 3

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K: vốn và L: lao động)

• A) Hãy đánh giá hiệu quả của việc tăng quy mô sản xuất.

• B) Giả sử thuê tư bản là 4$, giá thuê lai động là 3$ và doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định là 1050$. Hãy cho biết doanh nghiệp đó sử dụng bao nhiêu đơn vị tư bản và bao nhiêu đơn vị lao động thì thu được sản lượng tối đa.


Đáp án

• A) Hiệu quả theo quy mô

• B) Q(150;150) là lớn nhất.


Bài tập 4

• Cho biết hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp sản xuất 3 loại sản phẩm là:

• Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu được lợi nhuận tối đa.

• Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200

2 2 2

1 2 3 2 3 1 33 7 300 1200 4 20Q Q Q Q Q Q Q


Bài tập 5

• Một hãng độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm. Cho biết hàm cầu đối với hai loại sản phẩm đó như sau:

• Với hàm chi phí kết hợp là:

• Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 và giá bán tương ứng để doanh nghiệp đó thu lợi nhuận tối đa.

1 1 2 21300 675 0,5Q p Q p

2 2

1 1 2 23C Q Q Q Q


Đáp án

• Ta có:

1 1

2 2

250; 1050

100; 1150

Q p

Q p


Bài tập 6 • Một công ty độc quyền sản xuất một loại sản phẩm ở hai cơ sở với hàm chi phí tương ứng là:

• Q1, Q2 lần lượt là lượng sản xuất của cơ sở 1,2.

• Hàm cầu ngược về sản phẩm của công ty có dạng:

• A) Xác định lượng sản phẩm cần sx ở mỗi cơ sở đề tối đa hóa lợi nhuận.

• B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, hãy tính độ co giãn của cầu theo giá.

2 2

1 1 2 2128 0,2 ; 156 0,1TC Q TC Q

1 2600 0,1 ; trong do 600P Q Q Q Q

7/5/2016

11


Đáp án

• A) Q1=600; Q2=1200

• B) Hệ số co giãn của cầu theo giá: -13/6


Bài tập 7

• Một doanh nghiệp có hàm sản xuất:

• Giả sử giá thuê một đơn vị vốn là 6$, giá thuê một đơn vị lao động là 4$. Giá bán một sản phẩm là 2$.

• Tìm mức sử dụng vốn và lao động để lợi nhuận của doanh nghiệp tối đa.

• Đáp số: K=1/36; L=1/16

0,5 0,5 0; 0Q K L K L


Ứng dụng của pt vi phân

a) Biến động của giá trên thị trường

b) Dự đoán biến động giá


Biến động của giá trên thị trường

• Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho bởi:

• Điểm cân bằng thị trường:

• Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân bằng. Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau một quá trình điều chỉnh nào đó.

;D sQ p Q p

p

0p p



• Trong quá trình điều chỉnh, cáq Qs, Qd và p đều thay đổi theo t (biến thời gian).

• Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn tỷ lệ với độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời điểm đó. Nghĩa là:

• Với k>0 là hằng số.

' d sp t k Q t Q t



• Từ đó ta có:

• Do đó:

'p t k p p

k p k p p

0 0 ..

ln . ln

.k t k t

dpk dt p p k t C

p p

p p C p pe Ce

7/5/2016

12



• Từ đó ta có:

• Do đó:

'p t k p p

k p k p p

0 0 ..

ln . ln

.k t k t

dpk dt p p k t C

p p

p p C p pe Ce



• Vì:

• Ta có:

• Vậy theo thời gian, giá cả có xu hướng trở về giá trị cân bằng. Ta nói điểm cân bằng có tính chất ổn định động.

00 0k t

p p C p p p p e

0

0

0 0

lim 0

k t

t

p p C p p p p e

p t p do k



• Ví dụ: Cho:

• Tìm thời gian t sao cho:

1 2 ; 2 3 ; 0,2; 0 0,4d sQ p Q p k p

1%p p


Giải • Ta có:

• Vậy:

• Vậy sau 3 đơn vị thời gian thì giá thỏa mãn yêu cầu trên

0 0,2. 2 3 1; 0,6k k p

0 01

. 0 .5

k t k t tp p C e p p e e

10,01 0,05 ln 0,05

5

ln 20 3

t tp p e e t

t


Dự đoán biến động giá

• Xét hàm giá theo thời gian p=p(t).

• Nếu p’t>0 thì giá tăng; p’t<0 thì giá giảm.

• Nếu p”tt > 0 thì giá thay đổi ngày càng nhanh, p”tt < 0 thì giá thay đổi ngày càng chậm.

• Để bao quát hết tình hình đó, ta coi hàm cầu, hàm cung không chỉ phụ thuộc p mà còn phụ thuộc cả p’; p’’ , tức là

; '; " ; ; '; "d sQ D p p p Q S p p p


Dự đoán biến động giá

• Thông thường giá tăng thì cầu giảm, giá tăng thì cung tăng:

0; 0d sQ Q

p p

7/5/2016

13


Ví dụ 1

• Cho

• Và p(0)=6; p’(0)=4.

• Tìm sự biến động của giá p theo thời gian (giả thiết cung, cầu cân bằng tại mọi thời điểm).

15 2 4 ' '' , 3 4 3 'd sQ p p p Q p p


Ví dụ 2

• Cho

• Và p(0)=12; p’(0)=1.

• Tìm sự biến động của giá p theo thời gian (giả thiết cung, cầu cân bằng tại mọi thời điểm).

40 2 ' 2 '' , 5 4 ''d sQ p p p Q p p


Ứng dụng của pt sai phân (tham khảo)

a) Mô hình Cobweb

b) Mô hình Harrod

i w i w trong kinh tẾ q k l i ' ( , ) w u w ( 1, ) · pdf file•xét mô...

Documents