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I Sistemi Positivi Realizzazione: esistenza a tempo continuo e minimalità
Lorenzo FarinaDipartimento di informatica e sistemistica “A.
Ruberti”Università di Roma “La Sapienza”, Italy
X Scuola Nazionale CIRA di dottorato “Antonio Ruberti”
Bertinoro, 10-12 Luglio 2006
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2
The positive realization problem for continuous-time systems
Im
Re
a
l*1
l*2
l*F
lF alal
alla
A
IA
pAI
IAIp
det
det
Spectrum translation property
if is Metzler, then there exists
0 such that is nonnegative
A
A Ia a
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3
Existence conditions
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4
Examples - I
2
3 2
4 14
6 11 6
sH s
s s s
1 2 31, 2, 3 p p p
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
log 5 3 0.51
… not to be!
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5
Examples - II
2
2
2 3 3
1 2 2
s sH s
s s s
1 2 31, 1 , 1 p p j p j
2 sin 0th t e t
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
… not to be!
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6
Minimality of Positive Realizations
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7
Does positive factorization suffice?
For general systems, the minimal inner dimension of a factorization of the Hankel matrix coincides with the minimal order of a realization.
Is that true also for positive systems?
2
2 3
2 3
22
cb cAb cA b
cAb cA b cA bH
cA b cA b
c
cAb Ab A b RS
cA
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8
Does positive factorization suffice?
1 0 0 8 1
0 0 1 1 1
0 1 0 1 1
TA b c
1 4 10h k
2 4 8h k 3 4 6h k 4 4 8h k
0
60120
180
240 300
No rotational simmetry, no 3rd order positive
realization...
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9
Does positive factorization suffice? No!
11 12
12
5 3 32 1 0 1
4 2 60 1 1 0
3 5 50 0 1 1
4 6 2
ij
H H
H H H
A positive factorization of the Hankel matrix!
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10
A prologue via examples (I)
2
1, 1
( 1)( 1)qH z q q
z z
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11
The spectrum must remain unchanged under a rotation
of /2(q+1) radians
A prologue via examples (I)
(contd.)
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12
The spectrum must remain unchanged under a rotation
of /4 radians
A prologue via examples (I)
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13
The Karpelevich theorem
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14
The Karpelevich regions
n = 3
n = 4
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15
hidden pole
A prologue via examples (II)
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16
Example 3
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17
= 0
2= 0
2 O
= 0
3= 0 3
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18
Minimality of Positive SystemsNSC for 3rd order systems
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19
{1{1
(contd.)
2
3
Minimality of Positive SystemsNSC for 3rd order systems
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20
(contd.)
Minimality of Positive SystemsNSC for 3rd order systems
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21
(contd.)
Minimality of Positive SystemsNSC for 3rd order systems
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22
(contd.)
Minimality of Positive SystemsNSC for 3rd order systems
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Minimality for continuous-time positive systems
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Generation of all positive realizations
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25
Example 1