repository.usd.ac.idrepository.usd.ac.id/35670/2/153114019_full.pdf · i peramalan banyaknya...
TRANSCRIPT
i
PERAMALAN BANYAKNYA PENABUNG DI CREDIT UNION SUMBER
KASIH TERAJU DENGAN METODE BOX-JENKINS
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh:
Vinsensia Laura K.
NIM: 153114019
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
FORECASTING THE NUMBER OF SAVERS IN CREDIT UNION
SUMBER KASIH TERAJU WITH THE BOX-JENKINS METHOD
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree of Sarjana Sains
in Mathematics
By:
Vinsensia Laura K.
NIM: 153114019
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF
MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak
memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan
atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 19 Juli 2019
Penulis,
Vinsensia Laura K.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN
AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Vinsensia Laura K.
Nomor Mahasiswa : 153114019
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan
Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
PERAMALAN BANYAKNYA PENABUNG DI CREDIT UNION SUMBER
KASIH TERAJU DENGAN METODE BOX-JENKINS
beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan
kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan,
mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data,
mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media
lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun
memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai
penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal: 19 Juli 2019
Yang menyatakan
Vinsensia Laura K.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
MOTTO
Tak perlu takut apabila tak ada satu orangpun yang mau melindungi
bahkan berteman pun tidak, karena ada Tuhan Yesus yang selalu ada
dimanapun kamu berada.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Kemuliaan Tuhan, kedua orangtua dan keluargaku, serta almamaterku.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRAK
Pada saat ini kesadaran masyarakat tentang pentingnya menabung semakin
membaik, sehingga banyak sekali masyarakat yang telah menabung. Semakin
banyak minat masyarakat menabung, semakin banyak juga perusahaan yang
berorientasi keuangan didirikan, contohnya ialah Credit Union (CU) dan Bank.
Semakin banyaknya CU dan Bank, semakin ketat juga persaingannya. Oleh karena
itu diperlukan metode peramalan untuk menduga perkembangan perusahaan
tersebut.
Salah satu metode yang digunakan untuk peramalan adalah metode Box-
Jenkins dengan menggunakan model Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA). Metode ini diterapkan untuk peramalan data penabung Pengari di CU
Sumber Kasih Teraju berdasarkan data yang diambil dari bulan Januari 2012
sampai dengan bulan Agustus 2018.
Berdasarkan hasil peramalan dengan metode Box-Jenkins, diperoleh
kesimpulan bahwa jumlah penabung pada buku tabungan Pengari untuk 8 bulan ke
depan cenderung tetap atau tidak mengalami kenaikan dan penurunan. Sehingga
dapat dikatakan bahwa jumlah penabung dari tabungan Pengari tidak ada
pertumbuhan baru.
Kata Kunci: peramalan, CU Sumber Kasih, ARIMA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
ABSTRACT
At present, public awareness about the importance of saving is getting better,
therefore many people have saved money. The more public interest in saving, the
more finance companies are set up, for example are Credit Union (CU) and Banks.
The increasing number of Cus and Banks, the tighter the competition. Therefore a
forecasting method is needed to predict the development of the company.
One method used for forecasting is the Box-Jenkins method using the
Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) model. This method is
applied to Pengari savers in taken from January 2012 to August 2018.
Based on the result of the Box-Jenkins forecasting method, the conclusion is
that the number of savers in the passbook for te next 8 months remain unchange.
So that it can be concluded that the number of Pengari savers has no new growth.
Keywords: forecasting, CU Sumber Kasih, ARIMA.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
KATA PENGANTAR
Ucapan puji syukur kepada Tuhan Yesus dan Bunda Maria tercinta yang
dengan murah hati mencurahkan segala kebaikan-Nya melalui orang-orang sekitar
dan dari setiap peristiwa yang penulis alami sehingga skripsi ini dapat selesai tepat
waktu. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,
Univesitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak yang bersedia
membantu dalam menghadapi berbagai macam kesulitan, tantangan dan hambatan.
Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing skripsi yang
telah sabar membimbing saya selama saya mengerjakan skripsi.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Sains
dan Teknologi dan selaku Dosen Pembimbing Akademik.
3. Bapak YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ., Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si.,
M.Si., Bapak Ricky Aditya M.Sc., dan Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si.,
selaku dosen-dosen Prodi Matematika yang telah memberikan banyak
pengetahuan kepada penulis selama proses perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
6. Kedua orang tua, Louis dan keluarga yang telah membantu serta mendukung
penulis selama proses pengerjaan skripsi.
7. Teman-teman Prodi Matematika Angkatan 2015 dan teman-teman baik yang
mendukung penulis dalam mengerjakan skripsi: Yion, Sasmi, Edi, Watik, Devi,
Brigit, Sarah, Acan, Nando, Nerry dan teman-teman statistika lovers.
8. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu per satu dalam proses penulisan
skripsi ini.
Semoga segala perhatian, dukungan, bantuan dan cinta yang telah diberikan
mendapatkan balasan dari Tuhan Yesus Kristus. Penulis menyadari bahwa masih
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik yang membangun dan saran demi penyempurnaan skripsi ini.
Harapan penulis, semoga skripsi ini bermanfaat bagi pembaca dan menjadi
referensi belajar yang baik.
Yogyakarta, 19 Juli 2019
Penulis,
Vinsensia Laura K.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv
LEMBAR PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................. v
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI................................. vi
MOTTO ................................................................................................................ vii
HALAMAN PERSEMBAHAN .......................................................................... viii
ABSTRAK ............................................................................................................. ix
ABSTRACT ............................................................................................................. x
KATA PENGANTAR ........................................................................................... xi
DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii
BAB I PENDAHULUAN ........................................................................................ 1
A. Latar Belakang ........................................................................................................ 1
B. Rumusan Masalah ................................................................................................... 4
C. Batasan Masalah ..................................................................................................... 4
D. Tujuan Penulisan ..................................................................................................... 4
E. Manfaat Penulisan ................................................................................................... 5
F. Metode Penulisan .................................................................................................... 5
G. Sistematika Penulisan ............................................................................................. 5
BAB II ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN METODE BOX-JENKINS ........... 7
A. Peramalan Data Runtun Waktu ............................................................................... 7
B. Analisis Runtun Waktu ........................................................................................... 8
C. Nilai Harapan, Variansi dan Kovarian Variabel Random ..................................... 11
D. Kestasioneran ........................................................................................................ 12
E. Transformasi Box-Cox dan Pembedaan (Differencing) ........................................ 15
F. Fungsi Autokovarian, Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi Autokorelasi Parsial
(PACF) ................................................................................................................. 21
G. Proses White Noise ............................................................................................... 37
H. Model ARMA ....................................................................................................... 42
I. Model ARIMA ...................................................................................................... 51
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
J. Sifat-sifat Model ARIMA Berdasarkan ACF dan PACF ...................................... 54
K. Estimasi Model AR, MA, dan ARMA .................................................................. 58
BAB III METODE BOX-JENKINS ...................................................................... 68
A. Pendahuluan .......................................................................................................... 68
B. Identifikasi Model ................................................................................................. 69
C. Estimasi Model ..................................................................................................... 70
D. Pemeriksaan Diagnostik ........................................................................................ 71
E. Memilih Model yang Terbaik ............................................................................... 74
F. Peramalan .............................................................................................................. 74
BAB IV PERAMALAN DATA PENABUNG DATA PENABUNG CU
SUMBER KASIH TERAJU .................................................................................. 82
A. CU Sumber Kasih Teraju ...................................................................................... 82
B. Penerapan Metode Box-Jenkins untuk Peramalan Penabung Pengari .................. 83
BAB V PENUTUP ................................................................................................. 95
A. Kesimpulan ........................................................................................................... 95
B. Saran ..................................................................................................................... 95
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 96
LAMPIRAN ........................................................................................................... 98
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pada saat ini kesadaran masyarakat tentang pentingnya menabung
semakin membaik, sehingga banyak sekali masyarakat yang telah menabung.
Semakin banyak minat masyarakat untuk menabung, semakin banyak juga
perusahaan yang didirikan untuk menabung, contohnya ialah Credit Union
(CU) dan Bank. Credit Union atau biasa disingkat CU adalah sebuah lembaga
keuangan yang bergerak di bidang simpan pinjam yang dimiliki dan dikelola
oleh anggotanya dan yang bertujuan untuk mensejahterakan anggotanya
sendiri. Bank adalah sebuah lembaga intermediasi keuangan yang bertugas
menghimpun dan menyalurkan dana di masyarakat untuk meningkatkan taraf
hidup rakyat. CU dan Bank merupakan perusahaan yang didirikan untuk
menabung, namun antara CU dan Bank ada perbedaan, yaitu CU membangun
komunitas, aset utama CU adalah manusia, anggota adalah pemilik,
keuntungan kembali ke anggota, peduli akan masa depan keuangan anggota,
dan tabungan yang dimobilisasi dari anggota kemudian diinvestasikan kembali
kepada anggota, sedangkan Bank membangun sektor keuangan, aset utama
Bank adalah uang, nasabah hanya pengguna, keuntungan kembali kepada
investor, mengutamakan keuntungan yang sebesar-besarnya bagi investor, dan
tabungan yang dimobilisasikan dari masyarakat kemudian diinvestasikan ke
perusahaan besar serta pasar keuangan. Semakin banyaknya CU dan Bank,
semakin ketat juga persaingannya. Oleh karena itu diperlukan metode
peramalan untuk menduga perkembangan perusahaan tersebut. Dengan
demikian dalam tugas akhir ini, akan diramalkan banyaknya penabung di CU
Sumber Kasih Teraju dengan metode Box-Jenkins.
CU Sumber Kasih Teraju memiliki 8 macam tabungan, yaitu Tabungan
Saham, Tabungan Tembawang, Tabungan Sempurai, Tabungan Pengari,
Tabungan Tronong, Tabungan Tanggor, Tabungan Hari Raya, dan Tabungan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Kendaraan. Tabungan Saham adalah tabungan yang membuktikan anggota
sebagai pemilik yang sah, yang terdiri dari tabungan pokok dan tabungan
wajib. Tabungan Tembawang adalah tabungan unggulan CU Sumber Kasih
yang memberikan bunga 15 % per tahun, sehingga dalam jangka waktu 5 tahun
tabungan tembawang tersebut akan menjadi 2 kali lipat dari saldo awalnya.
Tabungan Sempurai adalah produk tabungan masa depan. Tabungan Pengari
adalah tabungan yang digunakan untuk kebutuhan makan dan minum sehari-
hari anggota. Tabungan Tronong adalah tabungan untuk biaya pendidikan.
Tabungan Tanggor adalah tabungan untuk biaya pendidikan dalam jangka
panjang. Tabungan Hari Raya adalah tabungan yang digunakan untuk
kebutuhan anggota pada saat merayakan hari raya. Tabungan Kendaraan
adalah produk tabungan perencanaan anggota untuk memiliki kendaraan.
Peramalan (forecasting) adalah suatu teknik untuk menduga kejadian di
masa depan dengan menggunakan referensi data di masa lalu. Data diambil dari
data penabung Pengari. Jadi dalam peramalan ini akan diperoleh model
matematika. Jika hasil peramalan menunjukkan peminat yang menabung di
Tabungan Pengari tersebut hanya sedikit, maka akan dicari solusi dengan cara
memperbaiki kebijakan tabungan tersebut atau dengan cara menciptakan
terobosan baru untuk buku tabungan CU Sumber Kasih Teraju. Dengan
demikian masyarakat akan lebih tertarik untuk menabung di CU Sumber Kasih
Teraju dan sekaligus memberi masukan kepada CU Sumber Kasih Teraju
untuk evaluasi kinerja. Metode yang digunakan dalam peramalan ini ialah
metode Box-Jenkins. Adapun tahapannya adalah identifikasi model, estimasi
model, pemeriksaan diagnosa, dan penerapan model untuk peramalan.
Runtun waktu adalah himpunan observasi terurut dalam waktu (Wei
2005). Salah satu model yang dapat digunakan untuk peramalan (forecasting)
data runtun waktu adalah model Autoregressive Integrated Moving Average
(ARIMA). Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
merupakan model Autoregressive Moving Average (ARMA) nonstasioner
yang telah diubah (differencing) menjadi model stasioner, sehingga tidak
terdapat pertumbuhan atau penurunan pada data (data harus horizontal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
sepanjang sumbu waktu). Dengan kata lain fluktuasi data berada di sekitar
suatu nilai rata-rata yang konstan. Model Autoregressive atau AR adalah suatu
model yang menjelaskan pergerakan suatu variabel melalui variabel itu sendiri
di masa lalu dan dapat ditulis sebagai berikut:
tptpttt eYYYY ...2211
Model Moving Average atau MA adalah suatu model yang menyatakan
pergerakan variabelnya melalui residualnya di masa lalu dan dapat ditulis
sebagai berikut:
qtqtttt eeeeY ...2211
dengan
tY : variabel dependen pada waktu t,
: konstanta,
te : nilai residual pada saat t,
j : parameter autoregressive ke- ,,...,2,1, pjj
j : parameter moving average ke- ,,...,2,1, qjj
kte : nilai residual pada saat .,...,2,1, qkkt
Model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah gabungan antara
model Autoregressive atau AR dan model Moving Average atau MA, dan dapat
ditulis sebagai berikut:
qtqtttptpttt eeeeYYYY ...... 22112211.
Model ARIMA akan diterapkan untuk meramalkan jumlah penabung Pengari
di CU Sumber Kasih Teraju dengan menggunakan data dari bulan Januari 2012
sampai dengan bulan Agustus 2018.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, secara garis besar uraian rumusan
masalah yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana dasar-dasar teori model ARIMA?
2. Bagaimana model matematika data penabung Pengari di CU Sumber
Kasih Teraju?
3. Bagaimana hasil peramalan 8 bulan ke depan untuk data penabung pengari
di CU Sumber Kasih Teraju?
C. Batasan Masalah
Metode Box-Jenkins yang dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
1. Meramalkan data penabung Pengari di CU Sumber Kasih Teraju dengan
model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA).
2. Dasar teori yang digunakan adalah yang berkaitan langsung dengan topik
utama analisis runtun waktu, yaitu konsep, nilai harapan, dan kovarians
sedangkan teori probabilitas tidak dibahas.
3. Domain waktu yang digunakan adalah diskrit.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan tugas akhir ini adalah:
1. Untuk mengetahui dasar-dasar teori model ARIMA.
2. Untuk mengetahui model matematika data penabung Pengari di CU
Sumber Kasih Teraju.
3. Untuk mengetahui hasil peramalan 8 bulan ke depan untuk data penabung
Pengari di CU Sumber Kasih Teraju.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
E. Manfaat Penulisan
Manfaat penulisan dari tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Memperluas wawasan penulis mengenai peramalan dengan menggunakan
metode Box-Jenkins.
2. Menambah pengetahuan pembaca tentang peramalan dengan
menggunakan metode Box-Jenkins.
3. Hasil peramalan data penabung CU Sumber Kasih Teraju dalam 8 bulan ke
depan dapat digunakan sebagai masukan kepada CU Sumber Kasih Teraju
untuk evaluasi kinerja.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu studi
pustaka dengan membaca buku, jurnal-jurnal, makalah ilmiah yang
berhubungan dengan metode Box-Jenkins dan menggunakan program R.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II METODE BOX-JENKINS
A. Peramalan
B. Analisi Runtun Waktu
C. Nilai Harapan, Variansi dan Kovariansi Variabel Random
D. Kestasioneran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
E. Pembedaan dan Transformasi Box-Cox
F. Fungsi Autokovarian, ACF dan PACF
G. Model White Noise
H. Model ARMA
I. Model ARIMA Nonmusiman dan Musiman
J. Sifat-sifat Model ARIMA Berdasarkan ACF dan PACF
K. Estimasi Model AR, MA, dan ARMA
BAB III METODE BOX-JENKINS
A. Pendahuluan
B. Identifikasi Model
C. Estimasi Model
D. Pemeriksaan Diagnostik
E. Peramalan dengan Model ARIMA
BAB IV PERAMALAN DATA PENABUNG CU SUMBER KASIH
TERAJU
A. CU Sumber Kasih Teraju
B. Penerapan Metode Box-Jenkins untuk Peramalan Penabung Pengari
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
LAMPIRAN
DAFTAR PUSTAKA
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
ANALISIS RUNTUN WAKTU DAN
METODE BOX JENKINS
A. Peramalan Data Runtun Waktu
Peramalan (forecasting) adalah suatu teknik untuk menduga data di masa
depan dengan menggunakan referensi data di masa lalu. peramalan merupakan
alat bantu yang penting dalam perencanaan yang efektif dan efisien
(Makridakis, dkk. 1999).
Berdasakan sifat penyusunannya, peramalan dapat dibedakan menjadi
dua macam yaitu:
1. Peramalan subjektif
Peramalan subjektif adalah peramalan yang didasarkan atas perasaan atau
intuisi dari orang yang menyusunnya.
2. Peramalan objektif
Peramalan objektif adalah peramalan yang didasarkan atas data yang
relevan pada masa lalu, dengan menggunakan teknik-teknik dan metode-
metode dalam penganalisaan data tersebut.
Berdasarkan jangka waktunya, peramalan juga dapat dibagi menjadi dua
macam yaitu:
1. Peramalan jangka panjang
Peramalan jangka panjang adalah peramalan yang dilakukan untuk
menyusun hasil ramalan yang jangka waktunya lebih dari satu setengah
tahun.
2. Peramalan jangka pendek
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
Peramalan jangka pendek adalah peramalan yang digunakan untuk
penyusunan hasil ramalan yang jangka waktunya kurang dari satu setengah
tahun.
Langkah dalam metode peramalan secara umum adalah pengumpulan
data, menyeleksi dan memilih data, memilih model peramalan, menerapkan
model untuk peramalan, dan evaluasi hasil akhir.
B. Analisis Runtun Waktu
Runtun waktu adalah himpunan observasi terurut dalam waktu (Wei
2005). Analisis runtun waktu merupakan salah satu prosedur statistika yang
diterapkan untuk menduga struktur probabilitas keadaan yang akan datang
dalam rangka pengambilan keputusan. Dasar pemikiran runtun waktu adalah
pengamatan sekarang )( tZ dipengaruhi oleh satu atau beberapa pengamatan
sebelumnya )( ktZ . Dengan kata lain, model runtun waktu dibuat karena secara
statistik ada korelasi antar deret pengamatan. Tujuan analisis runtun waktu
antara lain memahami dan menjelaskan mekanisme tertentu, meramalkan suatu
nilai di masa depan, dan mengoptimalkan sistem kendali.
Langkah penting dalam memilih suatu metode runtun waktu (time series)
yang tepat adalah dengan mempertimbangkan jenis pola data, sehingga metode
yang paling tepat dengan pola tersebut dapat diuji. Pola data dapat dibedakan
menjadi empat jenis siklis dan trend (Makridakis, dkk, 1999).
1. Pola horizontal (H) terjadi apabila nilai data berfluktuasi di sekitar nilai
rata-rata yang konstan. (Deret seperti itu adalah “stasioner” terhadap
nilai rata-ratanya). Suatu produk yang penjualannya tidak meningkat
atau menurun selama waktu tertentu termasuk jenis ini. Demikian pula,
suatu keadaan pengendalian kualitas yang menyangkut pengambilan
contoh dari suatu proses produksi kontinyu yang secara teoritis tidak
mengalami perubahan juga termasuk jenis ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Penjualan perumahan (Makridakis, et.al 1999)
Gambar 2.2.1
Pola Data Horizontal
2. Pola musiman (S) terjadi apabila suatu deret dipengaruhi oleh faktor
musiman (misalnya kuartal tahun tertentu, bulanan, atau hari-hari pada
minggu tertentu). Penjualan dari produk seperti minuman ringan, es
krim, dan bahan bakar pemanas ruang, semuanya menunjukkan jenis
pola ini.
Produksi susu per ekor setiap bulan (Makridakis, et.al 1999)
Gambar 2.2.2
Pola Data Musiman
3. Pola siklis (C) terjadi apabila datanya dipengaruhi oleh fluktuasi
ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Penjualan produk seperti mobil, baja, dan peralatan utama lainnya
menunjukkan jenis pola ini.
Produksi batu bata tanah liat Australia (Makridakis, et.al 1999)
Gambar 2.2.3
Pola Data Siklis
4. Pola trend (T) terjadi apabila terdapat kenaikkan atau penurunan sekuler
jangka panjang dalam data. Penjualan banyak perusahaan, produk bruto
nasional (GNP) dan berbagai indikator bisnis atau ekonomi lainnya
mengikuti suatu pola trend selama perubahannya sepanjang waktu.
Produksi listrik bulanan di Australia (Makridakis, et.al 1999)
Gambar 2.2.4
Pola Data Trend
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
C. Nilai Harapan, Variansi dan Kovarian Variabel Random
Berikut akan didefinisikan beberapa konsep yang digunakan dalam
analisis runtun waktu.
Definisi 2.3.1 Nilai Harapan
Misalkan Y variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas ).(yp Maka nilai
harapan dari ,Y )(YE didefinisikan sebagai
y
yypYE ).()(
Sedangkan nilai harapan dari variabel acak kontinu Y adalah
.)()( dyyyfYE
Fungsi ini menyatakan nilai rata-rata dari proses Y pada keseluruhan data
runtun waktu.
Definisi 2.32 Variansi Sampel
Variansi dari pengukuran sampel nyyy ,...,, 21 adalah jumlah kuadrat dari
perbedaan antara pengukuran dan rata-ratanya, dibagi dengan .1n Secara
simbolis, sampel varians adalah
n
i
t yyn
s1
22 )(1
1, i=1,2,...,n
dengan
2s = variansi sampel
n = ukuran sampel
ty = nilai y ke-i
y = rata-rata.
Populasi varians yang sesuai dilambangkan dengan simbol .2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Definisi 2.33 Fungsi Kovariansi
Jika tY dan sY variabel random dengan rata-rata t dan ,s masing-masing
kovarian dari tY dan sY adalah
)],)([(),cov(),( ssttst YYEYYst t, s = 1,2,...,n
dengan
),( st = fungsi kovariansi antara data pengamatan tY dan sY
tY = data runtun waktu ke-t
sY = data runtun waktu ke-s
t = rata-rata dari data runtun waktu tY
s = rata-rata dari data runtun waktu .sY
Fungsi kovariansi menyatakan ukuran hubungan antar beberapa data runtun
waktu.
D. Kestasioneran
Sifat stasioner adalah tidak terdapat pertumbuhan atau penurunan pada
data (data horizontal sepanjang sumbu waktu). Dengan kata lain fluktuasi data
berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan. Sedangkan data yang tidak
stasioner adalah sebaliknya. Data runtun waktu stasioner memiliki rata-rata
dan variansi yang konstan terhadap waktu. Ada 3 kemungkinan suatu data
dikatakan tidak stasioner, yaitu tidak stasioner dalam variansi, tidak stasioner
dalam rata-rata, dan tidak stasioner dalam variansi dan rata-rata (Makridakis,
et.al, 1999). Untuk melihat data apakah stasioner atau tidak dapat dilihat dari
grafik asli dari data atau lebih jelasnya lagi dengan melihat grafik fungsi
autokorelasi (ACF) dan grafik fungsi autokorelasi parsial (PACF) yang
konsepnya akan dibahas kemudian. Selain itu, stasioner dapat ditentukan
berdasarkan pola data runtun waktu yang dapat dilihat dari plot grafiknya.
Secara visual, stasioneritas dan tidak stasioner dari data runtun waktu dapat
dibagi menjadi 3, yaitu:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
1. Kestasioneran dalam Variansi
Stasioner dalam variansi adalah kondisi di mana data deret waktu
tidak memperlihatkan adanya perubahan variansi dari waktu ke waktu.
Jika data tidak stasioner dalam variansi, maka data dapat diubah menjadi
data yang stasioner dengan cara transformasi Box-Cox. Berikut ini adalah
ilustrasi dari runtun waktu tidak stasioner dalam variansi (Makridakis, et.al
1999).
Gambar 2.4.1
Runtun Waktu Tidak Stasioner dalam Variansi
Dari gambar 2.4.1 terlihat bahwa data tidak stasioner dalam variansi
yang artinya data perlu dilakukan transformasi Box-Cox pada data.
2. Kestasioneran dalam Rata-rata
Stasioner dalam rata-rata adalah kondisi di mana tidak ada
perubahan rata-rata yang jelas dari waktu ke waktu. Jika data tidak
stasioner dalam rata-rata, maka data diubah menjadi data yang stasioner
dengan cara differencing data (mengurangi data di masa lalu). Berikut ini
adalah ilustrasi dari grafik runtun waktu stasioner dalam rata-rata dan tidak
stasioner dalam rata-rata (Shumway, et.al 2005).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Gambar 2.4.2
Runtun Waktu Stasioner dalam Rata-rata
Gambar 2.4.3
Runtun Waktu Tidak Stasioner dalam Rata-rata
Dari gambar 2.4.2 terlihat bahwa data stasioner dalam rata-rata yang
artinya data tidak perlu dilakukan differencing data (mengurangi data di
masa lalu). Sedangkan gambar 2.4.3 terlihat bahwa data tidak stasioner
dalam rata-rata sehingga diperlukan tindakan differencing data
(mengurangi data waktu kini dengan data di masa lalu).
3. Kestasioneran dalam variansi dan Rata-rata
Runtun waktu dikatakan stasioner dalam variansi dan rata-rata
adalah kondisi di mana deret waktu tidak memperlihatkan adanya
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
perubahan variansi dari waktu ke waktu dan tidak ada perubahan rata-rata.
Untuk membuat data stastioner pada data yang tidak stasioner dalam
variansi dan rata-rata, dapat dilakukan dengan transformasi data dan
differencing (pembedaan) data. Berikut ini adalah ilustrasi dari runtun
waktu tidak stasioner dalam rata-rata dan variansi (Makridakis, et.al 1999).
Gambar 2.3.4
Runtun Waktu Tidak Stasioner dalam Variansi dan Rata-rata
Penentuan stasioner ini sangatlah penting. Hal ini berkaitan dengan
metode identifikasi model yang digunakan. Seperti yang akan dijelaskan pada
bab 3 bahwa jenis data harus stasioner.
E. Transformasi Box-Cox dan Pembedaan (Differencing)
Proses transformasi Box-Cox dan proses pembedaan adalah proses
untuk mentransformasikan data yang tidak stasioner menjadi data yang
stasioner. Berikut ini adalah penjelasan mengenai transformasi Box-Cox dan
pembedaan.
1. Transformasi Box-Cox
Transformasi Box-Cox adalah transformasi pangkat pada variabel
respon. Box-Cox mempertimbangkan kelas transformasi berparameter
tunggal, yaitu yang dipangkatkan pada variabel respon Y, sehingga
transformasinya menjadi Y , adalah parameter yang perlu diduga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
untuk menstasionerkan data. Tabel dibawah adalah beberapa nilai
dengan transformasinya . Transformasi Box-Cox berdasarkan nilai λ
ditunjukkan pada Tabel 2.4.1. (Wei 2005).
Tabel 2.4.1
Transformasi Box-Cox
Bentuk Transformasi
-1
Y
1
-0,5
Y
1
0 )log(/)ln( YY
0,5 Y
1 Y
Berikut ini adalah persamaan transformasi Box-Cox.
0,)log(/ln
0,1
tt
t
t
YY
YY
Contoh 2.4.1
Selidiki apakah data pengiriman bulanan peralatan anti polusi
(Makridakis, et.al 1999) stasioner atau tidak. Apabila data tidak stasioner
transformasilah data agar model menjadi stasioner. Data pengiriman
bulanan peralatan anti polusi terdapat pada lampiran 1.
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Untuk mengetahui data stasioner atau tidak, penulis melihat grafik data
curah hujan dengan menggunakan program R.
> plot.ts(data,lag.max=130)
Gambar 2.4.1.1
Plot Grafik Data Pengiriman Bulanan
Peralatan Anti Polusi
Terlihat dari grafik di atas, bahwa data tidak stasioner dalam variansi dan
rata-rata, sehingga perlu dilakukan transformasi Box-Cox data dan
differencing data. Di sini penulis melakukan transformasi data
menggunakan program R.
Dipilih nilai .0
> Yt<-log(data)
> plot.ts(Yt,lag.max=130)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
Gambar 2.4.1.2
Plot Grafik Data Pengiriman Bulanan
Peralatan Anti Polusi Setelah Transformasi
Terlihat dari grafik di atas, bahwa data sudah stasioner dalam variansi
namun tidak stasioner dalam rata-rata. Agar data menjadi stasioner,
langkah selanjutnya adalah menstasionerkan rata-rata dengan cara
differencing data yang akan dibahas pada subbab selanjutnya.
2. Pembedaan (Differencing)
Notasi yang sangat bermanfaat adalah operator shift mundur
(backward shift) atau ditulis dengan B, yang penggunaannya adalah
sebagai berikut:
1)( tt YYB .
Dengan kata lain, notasi B yang dipasang pada tY , mempunyai pengaruh
menggeser data 1 periode ke belakang. Dua penerapan B untuk shift tY
akan menggeser data tersebut 2 periode ke belakang, sebagai berikut:
2
2)( ttt YYBBYB .
Untuk data bulanan, jika ingin mengalihkan perhatian ke keadaan pada
bulan yang sama pada tahun sebelumnya, maka digunakan 12B dan
notasinya adalah 12
12
tt YYB .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
Operator shift mundur tersebut sangat tepat untuk menggambarkan
proses pembedaan (differencing). Sebagai contoh, apabila suatu runtun
waktu tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih mendekati
stasioner dengan melakukan pembedaan pertama dari deret data.
Pembedaan (differencing) pertama
1
'
ttt YYY .
Menggunakan operator shift mundur, persamaan di atas dapat ditulis
menjadi sebagai berikut:
tttt YBBYYY )1(' .
Perhatikan bahwa pembedaan (differencing) pertama dinyatakan oleh
)1( B . Sama halnya jika perbedaan orde kedua (yaitu perbedaan pertama
dari perbedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka:
Pembedaan (difference) orde kedua
'
1
'"
ttt YYY
)()( 211 tttt YYYY
212 ttt YYY
tYBB )21( 2
tYB 2)1( .
Perhatikan bahwa pembedaan orde kedua diberi notasi 2)1( B . Ini
merupakan hal yang penting untuk memperlihatkan bahwa pembedaan
orde kedua tidak sama dengan pembedaan kedua, yang diberi notasi
.1 2B Demikian pula, pembedaan duabelas adalah 121 B , akan tetapi
pembedaan orde ke-12 adalah .)1( 12B
Tujuan menghitung pembedaan adalah untuk mecapai stasioneritas,
dan secara umum, pembedaan orde ke-d dapat ditulis sebagai berikut:
.)1( t
d YB
Pembedaan musiman diikuti dari pembedaan pertama dapat ditulis sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
.)1)(1( t
s YBB
Seluruh faktor dapat dikalikan menjadi sebagai berikut:
t
ss
t
s YBBBYBB )1()1)(1( 1
t
s
tt
s
t YBBYYBY 1
11 sttstt YYYY
untuk data bulanan, s = 12.
Contoh 2.4.2.
Berdasarkan contoh 2.4.1 data tidak stasioner dalam variansi dan rata-rata.
Berikut adalah cara menstasionerkan rata-rata dengan cara differencing
data dengan menggunakan program R.
Penyelesaian:
Data yang digunakan untuk differencing data adalah data yang sudah
ditransformasi.
> yt_diff<-diff(Y,n=1)
Gambar 2.4.2.1
Plot Grafik Data Pengiriman Bulanan
Peralatan Anti Polusi Setelah Differencing
data
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
Grafik di atas sudah menunjukkan bahwa data stasioner dalam variansi dan
rata-rata.
F. Fungsi Autokovarian, Fungsi Autokorelasi (ACF) dan Fungsi
Autokorelasi Parsial (PACF)
Pada subbab ini, akan dibahas beberapa fungsi yang berkaitan langsung
dengan analisis data runtun waktu model ARIMA yang akan akan dibahas
kemudian. Fungsi-fungsi tersebut adalah fungsi autokovarian, fungsi
autokorelasi (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial (PACF). Salah satu
kegunaan ACF dan PACF adalah untuk mendeteksi apakah suatu data runtun
waktu stasioner atau tidak. ACF dan PACF menyediakan informasi yang lebih
eksak melalui pengujian signifikansi dari pada penggunaan grafik yang
interpretasinya sangat tergantung pada pengamatan visual.
1. Fungsi Autokovariansi
Autokovariansi menunjukkan bagaimana elemen-elemen dari
suatu runtun waktu saling bergantung satu dengan yang lainnya.
Definisi 2.5.11
Fungsi autokovariansi st , didefinisikan sebagai
),,cov( kttk YY untuk t,k = 0, ,1 ,...2
dengan
2),()])([(),cov( kttkttktt YYEYYEYY
dengan
k = autokovariansi pada lag-k
tY = nilai variable Y pada waktu t
ktY = nilai variabel Y pada waktu t+k
= rata-rata.
Estimator untuk koefisien autokovariansi k dapat didefinisikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
))((1
ˆ1
n
kt
kttk YYYYn
nk 0
dengan
k = koefisien autokovarian lag-k
n = ukuran sampel
tY = pengamatan pada waktu ke-t
Y = rata-rata pengamatan tY
ktY = pengamatan pada waktu ke-t+k, dengan k = 0, 1, 2...
Contoh 2.5.1
Hitunglah nilai autokovarian dengan menggunakan sampel sebagai
berikut:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9
Penyelesaian:
Dik: n=10 dan Y 8,3
Ilustrasi perhitungan autokovarian sebagai berikut:
t tY 1tY
1 10 8
2 8 6
3 6 7
4 7 5
5 5 11
6 11 12
7 12 8
8 8 7
9 7 9
10 9
10
)3,89(...)3,88()3,810(ˆ
222
0 4,41
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
10
)3,89)(8,87(...)3,86)(3,88()3,88)(3,810(1 -4,841
2. Fungsi Autokorelasi (ACF)
Fungsi autokorelasi (ACF) menyatakan hubungan antara nilai-nilai
dari variabel yang sama tetapi pada periode waktu berbeda. Autokerelasi
(ACF) adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi
(hubungan linear) antara pengamatan pada waktu ke-t (dinotasikan dengan
tX ) dengan pengamatan pada waktu-waktu sebelumnya (dinotasikan
dengan 1tX , 2tX , ..., ktX ).
Definisi 2.5.21
Autokorelasi merupakan ukuran keeratan hubungan antar pengamatan
dalam suatu data runtun waktu. Koefisien autokorelasi untuk lag-k dari
data runtun waktu dinyatakan sebagai berikut:
,)(
),(
)()(
),(
0
k
t
ktt
ktt
kttk
YVar
YYCov
YVarYVar
YYCov
Koefisien fungsi autokorelasi k di atas dapat diduga dengan koefisien
autokorelasi sampel, yaitu:
n
t
t
n
kt
ktt
kk
YY
YYYY
r
1
2
1
0 )(
))((
dengan
kr = koefisien autokorelasi sampel dari lag ke-k, dimana k =1, 2,...,k
k = koefisien autokorelasi populasi
n = ukuran sampel
tY = nilai Y waktu ke-t
Y nilai rata-rata
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
ktY nilai Y waktu ke-t+k, k = 1, 2,..., n.
Contoh 2.5.2
Hitunglah nilai ACF dengan menggunakan sampel sebagai berikut:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9
Penyelesaian:
Dik: n =10 dan Y 8,3
Ilustrasi perhitungan sampel ACF sebagai berikut:
1)3,89(...)3,88()3,810(
)3,89)(3,89(...)3,88)(3,88()3,810)(3,810(2220
r
0,15668934)3,89(...)3,88(8,3)-(10
8,3)-8,3)(9-(7...8,3)-8,3)(6-(88,3)-8,3)(8-(102221
r
-0,396371,44
)3,89)(3,88(...)3,87)(3,88()3,86)(3,810(2
r
t tY 1tY 2tY 3tY ... 9tY
1 10 8 6 7 9
2 8 6 7 5
3 6 7 5 11
4 7 5 11 12
5 5 11 12 8
6 11 12 8 7
7 12 8 7 9
8 8 7 9
9 7 9
10 9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
-0,275961,44
)3,89)(3,812(...)3,85)(3,88()3,87)(3,810(3
r
0,0269841,44
)3,89)(3,810(9
r
Berikut adalah grafik ACF dengan menggunakan program R.
> acf(data)
Gambar 2.5.2.1
Plot Grafik ACF
Autokorelasi dapat digunakan untuk mengidentifikasi apakah data
bersifat acak, stasioner ataupun musiman. Fungsi autokorelasi (ACF)
dibentuk dengan himpunan ,...}2,1,0;{ kk dengan .10 Untuk itu
akan didefinisikan stasioner yang telah dideskripsikan sebelumnya dengan
definisi eksak berikut.
1. Wide-Sense stationary (Stasioner Lemah)
Proses TtYt , dengan },2,1,0{ T disebut proses
stasioner W-S jika
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
(i) )|(| 2
tYE t
(ii) )( tYE konstanta, tidak bergantung pada t, t
(iii) hsthshtst ,,),,(),( .
Jika TtYt , stasioner, maka ),0,(),( stst dengan fungsi
kovariansi hanya bergantung pada jarak waktu (t – s) (tetapi tidak
bergantung pada t atau s secara sendiri-sendiri). Fungsi kovariansi
untuk proses stasioner dapat didefinisikan ulang sebagai
),,cov()0,()( tht YYhh ht,
dibaca sebagai kovariansi pada lag-h. Secara ekuivalen, fungsi
korelasi dari proses TtYt , stasioner pada lag-h didefinisikan
sebagai
),cov()0(
)()( tht YY
hh
2. Strictly Stationary (Stasioner Kuat)
Proses TtYt , disebut bersifat stasioner kuat jika fungsi
distribusi kumulatif dari )',,( 1 tkt YY dan )',,( 1 htkht YY sama untuk
semua nilai k dan untuk semua .,,,1 htt k Dengan kata lain,
seluruh sifat statistik dari proses stokastik yang bersifat stasioner kuat
tidak berubah karena pergeseran waktu.
Grafik ACF yang mencirikan data tidak stasioner adalah penurunan
yang lambat dalam ukuran autokorelasi, sedangkan ciri grafik ACF data
yang stasioner adalah sebaliknya. Berikut adalah contoh grafik ACF data
stasioner dan tidak stasioner.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
Contoh 2.5.21
Diberikan data kuartalan yang ditampilkan pada lampiran 2, dapat
diperoleh plot grafik ACF, penulis menggunakan program R. Dengan
perintah sebagai berikut:
> acf(data,lag.max=25)
Gambar 2.5.2.2
Plot Grafik ACF Data Kuartalan
Grafik ACF di atas menurun secara lambat sehingga data runtun waktu
yang diwakilinya dikatakan tidak stasioner. Karena data tidak stasioner,
perlu dilakukan differencing data. Berikut adalah grafik data kuartalan
yang sudah di-differencing.
> acf(Yt_diff,lag.max=25)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
Gambar 2.5.2.3
Plot Grafik ACF Data Kuartalan Setelah
Differencing
Dari grafik ACF yang telah di-differencing di atas, terlihat bahwa data
sudah stasioner dan grafik menunjukkan pola musiman yakni dengan
periode 4 bulan, yang dapat dilihat dari ACF yang menonjol tiap 4 bulan.
Sifat 2.6 Distribusi Sampel yang Besar dari ACF
Dalam kondisi umum, jika tx adalah white noise, maka untuk n yang besar,
sampel ACF, ),(ˆ hx untuk h = 1, 2,..., H, biasanya berdistribusi dengan
rata-rata nol dan standar deviasi
.1
)(ˆn
hx
Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi signifikan atau
tidak, perlu dilakukan uji dengan langkah-langkah pengujian hipotesis
sebagai berikut:
a) 0:0 kH (koefisien autokorelasi tidak signifikan)
b) 0:1 kH (koefisien autokorelasi signifikan)
c) Tetapkan
d) Statistik uji:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
)( k
k
rSE
rt
dengan ,1
)(n
rSE k untuk k = 0,1,2,...,n.
e) 0H ditolak jika hitungt > df
t,
2
dengan derajat bebas df = n-1, n adalah
banyaknya data. Apabila 0H ditolak, koefisien autokorelasi signifikan.
f) Perhitungan t
g) Kesimpulan
Contoh 2.5.22
Diberikan nilai ACF dengan ,10 r ,15668934.01 r dan 39637.012 r
serta n = 10. Ujilah apakah ACF signifikan atau tidak.
Penyelesaian:
a) 0:0 kH (koefisien autokorelasi tidak signifikan)
b) 0:1 kH (koefisien autokorelasi signifikan)
c) 0,5
d) Statistik uji:
)( k
k
rSE
rt
dengan .1
)(n
rSE k
e) 0H ditolak jika hitungt > df
t,
2
.
262.29,25.0110,
2
5.01,
2
tttn
f) Perhitungan t
10
1)( krSE , untuk k = 0,1,2,...,n.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
1622.310101
1
)( 0
01
rSE
rt
4954.01015668934.0101
15668934.0
)( 1
12
rSE
rt
2534.1103937.0101
39637.0
)( 3
23
rSE
rt
g) Kesimpulan
0H ditolak karena 3.1622 > 2.262 yang artinya 0r signifikan.
0H diterima karena 0.4954 < 2.262 yang artinya 1r tidak signifikan.
0H diterima karena 1.2534- < 2.262 yang artinya 2r tidak signifikan.
Hasil uji hipotesis ini konsisten dengan grafik 2.5.1.1. Koefisien
otokorelasi yang tidak signifikan akan berada di dalam “pita”, sedangkan
yang signifikan (misal 0r ) melewati batas “pita”. Batas pita tersebut
sesungguhnya adalah selang kepercayaan bagi koefisien otokorelasi yaitu
).()()1(
2)1(
2
kn
kkkn
k rSEtrrSEtr
3. Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Definisi 2.5.31
Fungsi autokorelasi parsial (PACF) pada lag-k adalah hubungan diantara
tZ dan ktZ setelah dependensi linear antara tZ dan ktZ , variabel antara
,1tZ ,2tZ ..., 1ktZ diabaikan.
Fungsi PACF akan dijabarkan dalam proses berikut. Pertimbangkan
model regresi, dengan variabel terikat ktZ dari proses stasioner dengan
rata-rata nol pada variabel lag-k, ,1ktZ ,2ktZ ..., dan tZ yaitu:
kttkkktkktkkt eZZZZ ...2211
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
dengan ki adalah parameter ke-i dari persamaan regresi, dan kte adalah
komponen error yang tidak berkorelasi dengan ,jktZ untuk j = 1, 2,...,
k. Selanjutnya mengalikan jktZ pada kedua sisi persamaan regresi di atas
dan ambil nilai harapannya, diperoleh:
jktktjkttkkjktktkjktktkjktkt ZeZZZZZZZZ ...2211
...)()()( 2211 jktktkjktktkjktkt ZZEZZEZZE
)()( jktktjkttkk ZeEZZE
...)()( 2211 jktktkjktktk ZZEZZE
)()( jktktjkttkk ZeEZZE
Dimisalkan ,)( jjktkt ZZE kj ,...,2,1,0 dan karena ,0)( jktkt ZeE
sehingga diperoleh:
kjkkjkjkj ...2211
oleh karena itu,
....2211 kjkkjkjkj
Untuk ,,...,2,1,0 kj diperoleh:
112011 ... jkkkk
202111 ... jkkkk
.... 02211 kkkkkkk
Persamaan di atas dapat dibentuk dalam matriks, dengan 10 diperoleh:
kkk
k
k
kk
k
k
2
1
2
1
21
11
11
1
1
1
Dengan menggunakan aturan Cramer, ,...,2,1k diperoleh:
111
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
1
1det
1det
1
1
21
1
22
1
1
1
det
1
1
det
12
11
21
312
21
11
33
1
1
1
det
1
1
det
1321
2311
1221
1321
2311
1221
kkk
kk
kk
kkkk
k
k
kk
Sampel PACF kk diperoleh dengan mengganti j dengan j dalam
persamaan kk . Untuk sampel PACF dapat diduga dengan menggunakan
metode rekursif, yang dimulai dengan .ˆˆ111 Berikut ini adalah rumus
PACF atau kk .
k
j
jkj
k
j
jkkjk
kk
1
1
11
1,1
ˆˆ1
ˆˆˆ
ˆ
dan
,ˆˆˆˆ1,1,1,1 jkkkkkjjk .,...,1 kj
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
Contoh 2.5.3
Hitunglah nilai PACF dengan menggunakan sampel sebagai berikut:
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9
Penyelesaian:
Karena sampel ini sama dengan sampel pada contoh ACF dan kj r ,
sehingga untuk nilai .ˆ11 r
15668934,0ˆˆ111
43152,0)15668934,0(1
)15668934,0(39637,0
ˆ1
ˆˆˆ2
2
2
1
2
1222
224304,0)15668934,0)(43152,0(15668934,0ˆˆˆˆ11221121
222121
122221333
ˆˆˆˆ1
ˆˆˆˆˆˆ
)39637,0)(43152,0()15668934,0(22434,01
15668934,0)43152,0()39637,0(22434,027596,0
= -0,15044
Berikut adalah grafik PACF dengan menggunakan program R.
> pacf(data)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
Gambar 2.5.3.1
Plot Grafik PACF
Ciri grafik PACF dari data yang tidak stasioner adalah penurunan yang
lambat dalam ukuran korelasi parsial, sedangkan ciri grafik PACF data
stasioner adalah sebaliknya. Berikut ini adalah contoh grafik PACF data
stasioner dan tidak stasioner.
Contoh 2.5.31
Diberikan data kuartalan yang ditampilkan pada lampiran 2 dapat diperoleh
plot grafik PACF, penulis menggunakan program R. Dengan perintah sebagai
berikut:
> pacf(data,lag.max=25)
Gambar 2.5.3.2
Plot Grafik PACF Data Kuartalan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Grafik PACF di atas ada yang melewati pita pada lag-5 sehingga data rntun
waktu yang diwakilinya dikatakan tidak stasioner. Karena data tidak stasioner,
perlu dilakukan differencing data. Berikut adalah grafik data kuartalan yang
sudah di-differencing.
> pacf(Yt_diff,lag.max=25)
Gambar 2.5.3.3
Plot Grafik PACF Data Kuartalan Setelah
Differencing
Dari grafik PACF yang telah di-differencing di atas, terlihat bahwa data sudah
stasioner dan grafik menunjukkan pola musiman yakni dengan periode 4 bulan.
Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi parsial signifikan atau
tidak, perlu dilakukan uji dengan langkah-langkah pengujian hipotesis.
a) 0:0 kkH (koefisien autokorelasi parsial tidak signifikan)
b) 0:1 kkH (koefisien autokorelasi parsial signifikan)
c) Tetapkan
d) Statistik uji:
)ˆ(
ˆ
kk
kk
SEt
dengan ,1
)ˆ(n
SE kk untuk k = 0,1,2,...,n.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
0H ditolak jika hitungt > df
t,
2
, dengan derajat bebas df = n-1, n adalah
banyaknya data. Apabila 0H ditolak, koefisien autokorelasi parsial
signifikan.
e) Perhitungan t
f) Kesimpulan
Contoh 2.5.32
Diberikan nilai PACF dengan ,1566.0ˆ11 ,4315.0ˆ
22 dan
1504.0ˆ33 serta n = 10. Ujilah apakah PACF signifikan atau tidak.
Penyelesaian:
a) 0:0 kkH (koefisien autokorelasi parsial tidak signifikan)
b) 0:1 kkH (koefisien autokorelasi parsial signifikan)
c) 0,5
d) Statistik uji:
)ˆ(
ˆ
kk
kk
SEt
dengan .1
)ˆ(n
SE kk
e) 0H ditolak jika hitungt > df
t,
2
, dengan df = n-1.
262.29,25.0110,
2
5.0,
2
tttdf
f) Perhitungan t
10
11)ˆ(
nSE kk .
4952.0101566.0101
1566.0
)ˆ(
ˆ
11
111
SEt
3645.1104315.0101
4315.0
)ˆ(
ˆ
22
222
SEt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
4756.0101504.0101
1504.0
)ˆ(
ˆ
33
333
SEt
g) Kesimpulan
0H ditolak karena 0.4952 < 2.262 yang artinya 11 tidak signifikan.
0H diterima karena 1.3645- <2.262 yang artinya 22 tidak signifikan.
0H diterima karena 0.4756 < 2.262 yang artinya 33 tidak
signifikan.
Hasil uji hipotesis ini konsisten dengan grafik 2.5.2.1. Koefisien otokorelasi
yang tidak signifikan akan berada di dalam “pita”, sedangkan yang signifikan
melewati batas “pita”. Batas pita tersebut sesungguhnya adalah selang
kepercayaan bagi koefisien otokorelasi yaitu
).ˆ(ˆ)ˆ(ˆ)1(
2)1(
2
kkn
kkkkkkn
kk SEtSEt
G. Proses White Noise
Definisi 2.6.11
Proses ta disebut proses white noise jika ta adalah barisan variabel acak yang
independen dan berdistribusi identik dengan rata-rata konstan ataE )(
biasanya diasumsikan 0, variansi konstan 2)var( ata dan 0),cov( ktt aa
untuk semua .0k Sehingga suatu proses disebut white noise dengan
autokovarian
,0,0
,0,2
k
ka
k
fungsi autokorelasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
,0,0
,0,1
k
kk
dan fungsi autokorelasi parsial
.0,0
,0,1
k
kkk
Dengan demikian proses white noise bersifat stasioner. Bila ta berdistribusi
normal dengan mean 0 dan variansi 2
a , maka runtun waktu disebut white noise
Gaussian.
Contoh 2.6.1
Diberikan contoh sebanyak 300 data, dapat diperoleh plot grafik pada gambar
di bawah ini, grafik dibuat dengan menggunakan program R. Dengan perintah
sebagai berikut:
> white_noise<-arima.sim(list(order=c(0,0,0)),300)
> plot.ts(white_noise,main="white noise")
Gambar 2.6.1.1
White Noise
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Grafik white noise di atas memiliki rata-rata 0 dan variansi konstan yang
ditunjukkan dengan grafik yang cenderung mendatar dan fluktuasi yang relatif
konstan.
Untuk mengetahui apakah model white noise atau tidak, perlu
dilakukan uji dengan langkah-langkah pengujian hipotesis Ljung-Box sebagai
berikut:
1. 0...210 kH (residual white noise)
2. 1H = minimal ada satu ,0k untuk Kk ,...,2,1 (residual tidak white
noise)
3. Tetapkan
4. Statistik uji:
h
k
khitung rknnn1
212 )()2(
dengan:
n banyaknya data
h lag-n
2
kr ACF sampel.
5. Dengan daerah penolakannya yaitu 0H ditolak jika 2
hitung > 2
;df atau p-
value < . 2
;df .
6. Perhitungan 2
hitung
7. Kesimpulan
Contoh 2.6.2
Diketahui n = 36, 103,01 r , 099,02 r , 043,03 r , 031,04 r ,
183,05 r , 025,06 r , 275,07 r , 004,08 r , 011,09 r , 152,010 r .
Ujilah apakah data white noise atau tidak.
Jawab:
1. 0...210 kH (residual white noise)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
2. 1H = minimal ada satu ,0k untuk Kk ,...,2,1 (residual tidak white
noise)
3. 05,0
4. Statistik uji:
h
k
khitung rknnn1
212 )()2(
dengan:
n banyaknya data
h lag-n
2
kr ACF sampel.
5. Dengan daerah penolakannya yaitu 0H ditolak jika 2
hitung > 2
;df , atau p-
value < . 2
;df , dengan df banyaknya k. Diperoleh 2
10;05,0 = 18,3070
6. Perhitungan 2
hitung
h
k
khitung rknnn1
212 )()2(
10
1
2
36
1)38(36 kr
k
2
10
2
3
2
2
2
126
1...
33
1
34
1
35
1)38(36 rrrr
22,7
7. Kesimpulan
Diperoleh 2
hitung =7,22 dan 2
10;05,0 = 18,3070. 0H diterima karena 7,22 <
18,3070. Sehingga dapat disimpulkan bahwa residual white noise.
Model dikatakan white noise apabila grafik ACF dan PACF tidak ada yang
melewati pita .0lag Berikut adalah contoh white noise dengan
menggunakan uji Ljung-Box, grafik ACF, dan grafik PACF dengan program
R. Contoh model ARIMA sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Data yang digunakan adalah data penjualan kuartalan yang dapat dilihat pada
lampiran 2.
Model ARIMA (1, 0, 0)(0, 0, 3)
> Box.test(residual8,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual8
X-squared = 15.736, df = 20, p-value = 0.7329
> acf(residual8)
Gambar 3.1
Grafik ACF Residual
> pacf(residual8)
Gambar 3.2
Grafik PACF Residual
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
p-value > α, 0H diterima sehingga dapat disimpulkan bahwa model ARIMA
(1, 0, 0)(0, 0, 3) memiliki residual white noise. Dapat dilihat juga dari grafik
ACF residual dan PACF residual, bahwa grafik tersebut tidak ada yang
melewati pita pada lag > 0.
H. Model ARMA
Model Autoregressive Moving Average (ARMA) adalah gabungan antara
model Autoregressive atau AR dan model Moving Average atau MA. Berikut
adalah model AR, model MA dan model ARMA.
1. Model AR
Model Autoregressive atau AR adalah suatu model yang
menjelaskan pergerakan suatu variabel dikaitkan degan nilai variabel itu
sendiri di masa lalu.
Definisi 2.7.1.1
Suatu model autoregressive dengan orde p, yang dinotasikan AR(p),
mempunyai bentuk sebagai berikut:
tptpttt eYYYY ...2211
dengan tY stasioner, dan p ,,, 21 adalah konstanta. Diasumsikan te
white noise dengan rata-rata 0 dan variansi .2
e Lebih lanjut, jika rata-rata
tY adalah , substitusikan tY akan diperoleh
,)(...)()( 2211 tptpttt eYYYY
atau dapat ditulis
tptpttt eYYYY ...2211
dengan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
: ),1( 21 p
tY : nilai pengamatan variabel dependen pada waktu t,
j : parameter autoregressive ke- ,,...,2,1, pjj
ktY : pengamatan variabel Y pada waktu ,,...2,1, pkkt
te : nilai residual pada saat t.
Lebih jauh, dapat juga ditulis dalam bentuk
P
P BBBB 2
211)(
Contoh 2.7.1.2
1. AR (1)
ttt eYY 11
atau
tt eYB )1( 1 .
2. AR (2)
tttt eYYY 2211
atau
tt eYBB )1( 2
21 .
Contoh 2.7.1.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Diberikan contoh model AR orde 2 dengan 11 dan 9.02 beserta
ACF dan PACFnya
tttt eYYY 21 9.0
untuk t=1,2,...,300.
Dari persamaan tersebut dibuat simulasi plot grafik dibawah ini yang
dibuat dengan menggunakan program R dengan perintah sebagai berikut:
> ar<-arima.sim(model=list(ar=c(1,-0.9)),n=300)
> plot.ts(ar,main="Autoregressive")
Gambar 2.7.1.1
Plot Grafik AR (2)
> ar.acf<-acf(ar,type="correlation",plot=T)
Gambar 2.7.1.2
Plot Grafik ACF Model AR (2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Grafik ACF di atas meluruh menuju nol seperti gelombang sinus teredam.
> ar.pacf<-acf(ar,type="partial",plot=T)
Gambar 2.7.1.3
Plot Grafik PACF Model AR (2)
Grafik PACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2), artinya orde
dari AR ditentukan oleh lag dimana PACF tersebut signifikan.
2. Model MA
Model Moving Average atau MA adalah suatu model yang
menyatakan pergerakan variabelnya melalui residualnya di masa lalu.
Definisi 2.7.21
Model Moving Average dengan orde q, atau model MA(q), didefinisikan
sebagai
qtqtttt eeeeY ...2211
dengan
tY : nilai pengamatan variabel dependen pada waktu t,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
: konstanta,
te : nilai residual pada saat t,
j : parameter moving average ke- ,,...,2,1, qjj
kte : nilai residual pada saat .,...,2,1, qkkt
Diasumsikan te white noise dengan rata-rata 0 dan variansi 2
er .
Jika B adalah operator shift mundur yang dirumuskan sebagai qtt
q eeB )(
maka model MA di atas dapat disederhanakan menjadi
qtqtttt eeeeY ...2211
t
q
qtttt eBeBeBeY )(...)()( 2
21
t
q
qt eBBBY )...1( 2
21 .
Contoh 2.7.2.1
1. MA (1)
11 ttt eeY
atau
tt eBY )1( 1 .
2. MA (2)
2211 tttt eeeY
atau
tt eBBY )1( 2
21 .
Contoh 2.7.2.2
Diberikan contoh MA orde 2 dengan 2.01 dan 4.02 beserta
dengan ACF dan PACFnya
21 4,02,0 tttt eeeY
untuk t=1,2,...,300.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
Dari persamaan tersebut dibuat simulasi plot grafik dibawah ini yang
dibuat dengan menggunakan program R dengan perintah sebagai berikut:
> ma<-arima.sim(model=list(ma=c(-0.2,0.4)),n=300)
> plot.ts(ma,main="Moving Average")
Gambar 2.7.2.1
Plot Grafik MA (2)
> ma.acf<-acf(ma,type="correlation",plot=T)
Gambar 2.7.2.2
Plot Grafik ACF Model MA (2)
Grafik ACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2), artinya orde
dari MA ditentukan oleh lag dimana ACF tersebut signifikan.
> ma.pacf<-acf(ma,type="partial",plot=T)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Gambar 2.7.2.3
Plot Grafik PACF Model MA (2)
Grafik PACF di atas meluruh menuju nol seperti gelombang sinus
teredam.
3. Model ARMA
Model ARMA adalah gabungan antara model AR dan model MA,
sehingga model ARMA dapat ditulis sebagai berikut:
qtqtttptpttt eeeeYYYY ...... 22112211
atau
t
q
qt
p
p eBBBYBBB )...1()...1( 2
21
2
21
tqtp eBYB )()(
dengan
)(Bp : operator AR
)(Bq : operator MA
Contoh 2.7.3
1. ARMA (1, 1)
1111 tttt eeYY
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
atau
tt eBYB )1()1( 11
AR (1) MA (1)
2. ARMA (2, 2)
22112211 tttttt eeeYYY
atau
tt eBBYBB )1()1( 2
21
2
21
AR (2) MA (2)
Contoh 2.7.3.2
Diberikan contoh ARMA (2,2) dengan ,8.01 ,2.02 ,6.01 dan
2.02 beserta ACF dan PACFnya menggunakan persamaan
2121 2,06,02,08,0 tttttt eeeYYY
untuk t=1,2,...,300.
Dari persamaan tersebut dibuat simulasi plot grafik dibawah ini yang
dibuat dengan menggunakan program R dengan perintah sebagai berikut:
>arma<-arima.sim(model=list(ar=c(0.8,-0.2),ma=c(-0.6,0.2)),n=300)
> plot.ts(arma,main="ARMA")
Gambar 2.7.3.1
Plot Grafik ARMA (2,2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
> arma.acf<-acf(arma,type="correlation",plot=T)
Gambar 2.7.3.2
Plot Grafik ACF Model ARMA (2,2)
Grafik ACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2).
> arma.pacf<-acf(arma,type="partial",plot=T)
Gambar 2.7.3.3
Plot Grafik PACF Model ARMA (2,2)
Grafik PACF di atas signifikan ke lag-2 (terpotong di lag-2).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
I. Model ARIMA
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan
model Autoregressive Moving Average (ARMA) nonstasioner yang telah
differencing menjadi model stasioner, sehingga tidak terdapat pertumbuhan
atau penurunan pada data (data harus horizontal sepanjang sumbu waktu).
Dengan kata lain fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang
konstan.
1. Model ARIMA Nonmusiman
Jika nonstasioneritas ditambahkan pada proses ARMA , maka model
umum ARIMA (p, d, q) terpenuhi. Di sini d adalah orde beda (difference).
Tujuan menghitung beda adalah untuk mencapai stasioneritas dan secara
umum apabila terdapat pembedaan orde ke-d, untuk mencapai
stasioneritas akan ditulis:
Pembedaan orde ke-d = t
d YB)1(
Contoh data yang telah stasioner setelah melakukan proses differencing
sebagai berikut:
1. ARIMA (0, 1, 0)
tt eYB )1(
2. ARIMA (0, d, 0)
tt
d eYB )1(
(pembedaanorde ke − 𝑑
) (nilai
𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑎𝑙)
Rumus umum untuk model ARIMA (p, d, q) sebagai berikut:
tqt
d
p eBYBB )()1)((
dengan
p : koefisien komponen AR dengan orde ke-p, ,1p 2,..., p,
B : operator backward,
d : pembedaan (differencing) orde ke-d, d =1, 2,..., d,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
tY : nilai variabel Y pada waktu t,
: konstanta,
q : koefisien komponen MA dengan orde ke-q, q =1, 2,..., q,
te : residual white noise.
Contoh ARIMA (1, 1, 1), adalah sebagai berikut:
tt eBYBB )1()1)(1( 11
(𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑛𝑔
pertama) (AR (1)) (MA (1))
Semua faktor dapat dikalikan dan model umum dapat ditulis sebagai
berikut:
1121111
1
2
11
1
2
11
1
2
11 )1(
tttttt
tttttt
tttttt
ttt
eeYYYY
BeeYBBYBYY
BeeYBBYBYY
BeeYBBB
2. Model ARIMA Musiman
Dengan cara yang persis sama, titik-titik data yang berurutan
mungkin memperlihatkan sifat-sifat AR, MA, campuran ARMA, atau
campuran ARIMA, sehingga data yang dipisahkan oleh satu musim penuh
(yaitu satu tahun) dapat memperlihatkan sifat-sifat yang sama. Sebagai
contoh, perhatikan suatu deret data yang dikumpulkan per kuartal. Maka
pembedaan (difference) musiman dapat dihitung sebagai berikut:
tttt YBYYY )1( 4
4
' .
Deret data yang baru dinyatakan oleh '
tY , sekarang untuk data yang
dikumpulkan bulanan, pembedaan (difference) musiman dalam satu tahun
dapat dihitung sebgai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
tttt YBYYY )1( 12
12
' .
Notasi ARIMA dapat diperluas untuk menangani aspek musiman, notasi
umum yang singkat adalah:
ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s
(bagian dari
model nonmusiman
) (bagian dari
model musiman
) (𝑠 =
periode musiman
)
Rumus model umum untuk model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s
t
s
Qqt
Dsds
Pp eBBYBBBB )()()1()1)(()(
dengan
p : koefisien komponen AR dengan orde ke-p,
B : operator backward non musiman,
P : koefisien komponen AR musiman dengan orde ke-P,
sB : operator backward musiman,
d : pembedaan (differencing) orde ke-d non musiman,
D : pembedaan (differencing) orde ke-D non musiman,
tY : nilai variabel Y pada waktu t,
q : koefisien komponen MA dengan orde ke-q,
Q : koefisien komponen MA musiman dengan orde ke-Q,
te : residual white noise.
Contoh model ARIMA (1, 1, 1)(1, 1, 1)4 sebagai berikut:
tt eBBYBBBB )1)(1()1)(1)(1)(1( 4
11
44
11
(nonmusiman
AR(1)) (
nonmusiman𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒
) (nonmusiman
MA(1))
(musiman
AR(1)) (
musiman𝑑𝑖𝑓𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑒
) (musiman
MA(1))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
Semua faktor dapat dikalikan dan model umum dapat ditulis sebagai
berikut:
tt eBBBYBBBBBB )1()1)(1( 5
111
4
1
545
111
4
1
tt eBBBYBBBB
BBBBBBBBBBB
)1()
1(
5
111
4
1
10
11
6
11
9
11
5
11
6
1
2
1
5
11
9
1
5
1
8
1
4
1
54
ttttttt
ttttttttt
YBYBYBYBYBYBYB
YBYBYBYBBYBYYBYBY
10
11
6
11
6
1
2
1
9
11
9
1
8
1
5
11
5
1
5
1
5
1
4
1
4
)()(
)()()(
tttt eBBeeBe 5
111
4
1
51141111011911181
611151111412111
)(
)()1()1()1(
ttttttt
tttttt
eeeeYYY
YYYYYY
Jika koefisien dari 1 , 1 , 1 , dan 1 telah diperoleh, maka persamaan
di atas dapat digunakan untuk peramalan (Makridakis, dkk. 1999).
J. Sifat-sifat Model ARIMA Berdasarkan ACF dan PACF
Untuk menentukan model ARIMA, grafik ACF dan grafik PACF dapat
dijadikan petunjuk. Perlu diingat bahwa untuk menentukan orde AR dapat
dilihat dari grafik PACF dan untuk menentukan orde MA dapat dilihat dari
grafik ACF. Berikut ini adalah rangkuman sifat-sifat sampel ACF, PACF, dan
ordenya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Tabel 2.9.11
Rangkuman Plot Sampel ACF dan PACF Berdasarkan Proses
Proses Pola ACF Pola PACF Model
ARIMA
AR (p) Meluruh menuju nol secara
eksponensial/ gelombang
sinus teredam.
Di atas batas interval
maksimum sampai lag ke p
dan di bawah batas pada
.plag
.
ARIMA
(p, 0, 0)
MA (q) Di atas batas interval
maksimum sampai lag ke q
dan di bawah batas pada
lag > q.
Meluruh menuju nol secara
eksponensial/ gelombang
sinus teredam.
ARIMA
(0, 0, q)
ARMA
(p,q)
Meluruh menuju nol secara
eksponensial/ gelombang
sinus teredam.
Meluruh menuju nol secara
eksponensial/ gelombang
sinus teredam.
ARIMA
(p, 0, q)
Tabel 2.9.12
Gambar Ilustrasi Sampel ACF dan PACF Berdasarkan Proses
Proses Pola ACF Pola PACF Model
ARIMA
AR (p)
AR (p) untuk p=2
AR (p) untuk p=2
ARIMA
(2, 0, 0)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
MA (q)
MA (q) untuk q=2
MA (q) untuk q=2
ARIMA
(0, 0, 2)
ARMA
(p,q)
ARMA (p, q) untuk p=2 dan
q=2
ARMA (p, q) untuk p=2 dan
q=2
ARIMA
(2, 0, 2)
Berdasarkan rangkuman tersebut, kita dapat memperkirakan model yang
kemungkinan sesuai untuk data runtun waktu yang diberikan.
Contoh 2.9.1
Diberikan data kuartalan yang dapat dilihat pada lampiran 2. Pada gambar
2.5.1.2 dan gambar 2.5.2.2 pada subbab sebelumnya jelas bahwa data tidak
stasioner dalam rata-rata, sehingga perlu dilakukan differencing data. Setelah
melalui proses differencing data, diperoleh plot grafik ACF dan PACF sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Gambar 2.9.1.1
Plot Grafik ACF Data Kuartalan Setelah
Differencing
Gambar 2.9.1.2
Plot Grafik PACF Data Kuartalan Setelah
Differencing
Berdasarkan grafik ACF dan grafik PACF di atas terdapat musiman. Grafik
PACF menunjukkan nilai yang signifikan pada lag 3 yang mengindikasikan
bahwa model AR(3) nonmusiman dan nilai PACF tunggal yang signifikan pada
lag 4 menunjukkan model AR(1) musiman. grafik ACF menunjukkan nilai
yang signifikan pada lag 0 yang mengindikasikan bahwa model MA(0)
nonmusiman dan nilai ACF yang signifikan pada lag 4, 8, dan 12 menunjukkan
model MA(3) musiman. Oleh karena itu, dapat diperkirakan model yang
kemungkinan sesuai untuk data runtun waktu yang diberikan adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4.
Namun perlu dilakukan pemeriksaan diagnostik pada model terlebih dahulu
dan model harus residual white noise, berdistribusi Normal, serta memiliki
nilai AIC terkecil yang akan dibahas pada bab III.
K. Estimasi Model AR, MA, dan ARMA
Salah satu langkah yang paling penting dalam peramalan yaitu estimasi
atau pendugaan. Estimasi adalah proses yang menggunakan sampel statistik
untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak
diketahui. Berikut ini akan dibahas estimasi model AR, MA, dan ARMA.
1. Estimasi Model AR
Pada persamaan ,...2211 tptpttt eYYYY model
umum AR(p) dinyatakan sebagai:
....332211 tptptttt eYYYYY (11-1)
Apabila kedua sisi persamaan (11-1) dikalikan ,ktY dengan k 1, 2, 3,...,
p, hasilnya adalah
....332211 tktptktptkttkttkttkt eYYYYYYYYYYY (11-2)
Bila memasukkan nilai harapan pada kedua sisi persamaan di atas dan
diasumsikan terdapat stasioneritas, persamaan tersebut akan menjadi
,...332211 pkpkkkk (11-3)
dengan k adalah kovarians antara tY dan .ktY Hal ini dapat berlaku
karena ),,( tkt YYE yaitu nilai harapan ruas kiri persamaan (11-2)
didefinisikan sebagai kovarian antara variabel ktY dan ,tY dengan
variabel-variabel tersebut terpisah sejauh k periode waktu. Demikian pula
),( 1 tkt YYE adalah ,1k karena ktY dan 1tY terpisah sejauh 1k
periode dan demikian seterusnya. Akhirnya )( tkt eYE adalah nol, karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
nilai-nilai kesalahan bersifat acak dan tidak berkorelasi dengan nilai-nilai
ktY sebelumnya. Kemudian, sistem persamaan Yule-Walker dari model
AR(p) dapat diberikan sebagai berikut:
,...332211 pkpkkkk (11-4)
Berdasarkan definisi 2.5.21
.0
k
k
Apabila pada (11-4) k 1, 2, 3,..., p, maka sistem persamaan berikut yang
dikenal sebagai persamaan Yule-Walker akan didapat:
ppppp
pp
pp
pp
...
...
...
...
332211
3312213
2132112
1231211
(11-5)
atau
ppppp
p
p
p
3
2
1
3
2
1
321
312
211
121
1
1
1
1
(11-6)
Jika elemen-elemen vektor dan matriks parameter disubstitusi dengan
penduganya, maka diperoleh penduga Yule-Walker yaitu
ppppp
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1ˆˆˆ
ˆ1ˆˆ
ˆˆ1ˆ
ˆˆˆ1
3
2
1
3
2
1
321
312
211
121
(11-7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
atau dapat ditulis sebagai berikut:
pppp
p
p
p
p
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1ˆˆˆ
ˆ1ˆˆ
ˆˆ1ˆ
ˆˆˆ1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
3
2
1
1
321
312
211
121
3
2
1
(11-8)
Solusi dari sistem persamaan di atas merupakan penduga dari model
AR(p). Berdasarkan sistem persamaan (11-8) dapat diperoleh penduga
untuk model AR(p). Karena model AR(1) memiliki nilai 1p maka
diperoleh
11
11ˆˆ1
,ˆˆ.1ˆ1ˆ111
1
1
dan karena model AR(2) memiliki nilai 2p maka diperoleh
1211
2112
2
1
2
1
1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
1ˆ
ˆ1
2
1
1
1
1
2
1
ˆ
ˆ
1ˆ
ˆ1
ˆ
ˆ
2
1
1
1
2 ˆ
ˆ
1ˆ
ˆ1
ˆ1
1
1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
2
1
22
1
2
1
1
2
ˆ
ˆ
ˆ1
1
ˆ1
ˆ
ˆ1
ˆ
ˆ1
1
11
11
2
2
2
11
2
21
2
1
11
11
ˆ1
ˆ
ˆ1
ˆˆ
ˆ1
ˆˆ
ˆ1
ˆ
2
21
2
21
2
11
111ˆ1
)ˆ1(ˆ
ˆ1
ˆˆ
ˆ1
ˆˆ
2 2
2
12
2
2
2
11
111ˆ1
ˆˆ
ˆ1
ˆ
ˆ1
ˆˆ
dengan .ˆ
ˆˆ
0
kk
h r
Contoh 11.1.1
Diketahui persamaan untuk model ARIMA (2,0,0) atau AR(2):
.2211 tttt eYYY Akan diduga parameter 1 dan 2 dengan
diketahui data seperti contoh 2.5.3.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9
Penyelesaian:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
Karena sampel ini sama dengan sampel pada contoh ACF dan .ˆkh r
22,01568934,01
)3967,01(1568934,0
1
)1(
ˆ1
)ˆ1(ˆ
ˆ1
ˆˆ
ˆ1
ˆˆ22
1
21
2
21
2
21
2
11
111
r
rr
43,01568934,01
1568934,039637,0
1ˆ1
ˆˆ
ˆ1
ˆ
ˆ1
ˆˆˆ2
2
2
1
2
12
2
2
12
2
2
2
112
111
r
rr
2. Estimasi Model MA
Model MA(q) ditulis sebagai berikut:
....332211 qtqttttt eeeeeY (11-9)
Dengan mengalikan kedua sisi persamaan (11-9) oleh ktY akan
menghasilkan
)...(
)...(
332211
332211
qktqktktktkt
qtqtttttkt
eeeee
eeeeeYY
(11-10)
Dengan memasukkan nilai harapan yang diharapkan pada dua sisi
persamaan (11-10), akan menghasilkan
].)...(
)...[()(
332211
332211
qktqktktktkt
qtqtttttkt
eeeee
eeeeeEYYE
)]....(
)...[(
332211
332211
qktqktktktkt
qtqttttk
eeeee
eeeeeE
(11-11)
)....
...
...
...[(
2
1
22122122
1111
2
111
2211
qktqtktqtqktqtq
qkttqkttktt
qkttqkttktt
qkttqkttkttkttk
eeeeee
eeeeee
eeeeee
eeeeeeeeE
q
(11-12)
dengan ).( tktk YYE Nilai harapan persamaan (11-12) akan tergantung
pada nilai k. Bila k = 0, persamaan (11-12) menjadi
).(...)()()( 0
2
202
2
211
2
100 qtqtqttotttt eeEeeEeeEeeE (11-13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
Seluruh suku yang lain pada persamaan (11-12) hilang karena adanya
definisi )( itteeE 0 untuk i 0 dan 2)( eitteeE untuk i 0. Jadi,
persamaan (11-13) menjadi
.... 2222
2
22
1
2
0 eqeee (11-14)
Bila faktor 2
e dipisahkan, maka persamaan (11-14) dapat ditulis ulang
sebagai
.)...1( 222
2
2
10 eq (11-15)
Persamaan (11-15) adalah varian dari proses MA(q). Bila k = 1,
persamaan (11-12) menjadi
),(...)()( 101122211111 qtqtqqtttt eeEeeEeeE
.... 2
1
2
21
2
11 eqqee
Nilai semua suku lainnya 0 karena )( itteeE 0 untuk i 0, secara umum
untuk k = k, persamaan (11-12) menjadi
,... 22
22
2
11
2
eqkqekekekk
atau
.)...( 2
2211 eqkqkkkk (11-16)
Bila persamaan (11-16) dibagi (11-15), akan menghasilkan
222
2
2
1
2
2211
0 )...1(
)...(
eq
eqkqkkkkk
(11-17)
apabila q = 1, persamaan (11-17) menjadi
2
11
k
k (11-18)
karena seluruh suku termasuk indeks lebih besar dari 1, yang tidak
terdapat pada model MA(1). Jadi
.1 2
1
11
(11-19)
Persamaan (11-19) dapat dipecahkan untuk ,1 untuk memperoleh
.01
2
111
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Bila 1 diganti oleh nilai taksirannya, ,1r akan diperoleh
.0ˆˆ11
2
11 rr (11-20)
Memecahkan persamaan (11-20) memperoleh dua nilai untuk .ˆ1 Yang
satu adalah nilai absolut yang lebih kecil dari 1, kemudian ini dipilih
sebagai nilai awal .1
Contoh 11.2.1
Diketahui persamaan untuk model ARIMA (0,0,1) atau MA(1):
.11 ttt eeY Akan diduga parameter 1 dengan diketahui data seperti
contoh 2.5.3.
t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
tY 10 8 6 7 5 11 12 8 7 9
Penyelesaian:
Karena sampel ini sama dengan sampel pada contoh ACF dan .kk r
0ˆˆ11
2
11 rr ,
Dik: 1r 0,15668934
a
acbb
2
4ˆ2
1
dengan a = 0,15668934, –b = 1, dan c = 0,15668934. Jadi
22,6)0,15668934(2
)0,15668934()0,15668934(411ˆ2
1
16,0)0,15668934(2
)0,15668934()0,15668934(411ˆ2
1
Nilai 1 = 0,16, dipilih karena nilai absolut dari -6,22 lebih besar dari 1.
Untuk proses MA(2), persamaan (11-17) menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
,1
)1(
1 2
2
2
1
21
2
2
2
1
2111
(11-21)
.1 2
2
2
1
22
(11-22)
Seluruh suku lain pada persamaan (11-17) adalah 0 karena melibatkan
parameter k untuk k > 2, yang tidak terdapat pada model MA(2). Pada
proses MA(3), persamaan yang relevan adalah
2
3
2
2
2
1
33
2
3
2
2
2
1
2112
2
3
2
2
2
1
322111
1
1
1
(11-23)
Persamaan (11-21) dan persamaan (11-22) membentuk suatu sistem
persamaan non linear yang simultan yang pemecahannya tidak mudah.
Demikian pula dengan (11-23) dimana untuk mendapatkan ,1 ,2 dan
3 adalah sukar dan harus dilakukan dengan menggunakan suatu
prosedur iteratif dengan bantuan perangkat lunak. Penaksiran yang
diperoleh dari persamaan-persamaan ini dalam beberapa hal tidak
seakurat model-model AR. Namun demikian, mereka tetap dapat dipakai
sebagai penaksiran awal untuk model-model MA.
3. Estimasi Model ARMA
Untuk memperoleh estimasi model ARMA, persamaan (11-4) dan
(11-11) harus dikombinasikan dan diambil nilai harapannya:
).(...)(
)()(...)(
11
1
ktqtqktt
kttktptpkttk
YeEYeE
YeEYYEYYE
(11-24)
Apabila k > q, maka ,0)( kttYeE sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
pkpkkk ...2211
ini tidak lain persamaan (11-4). Apabila k < q, residual sebelumnya dan
ktY akan berkorelasi dan autokovarians akan dipengaruhi oleh bagian
dari proses MA, yang perlu diikutsertakan. Model dari proses ARMA
(1,1) diperoleh sebagai berikut:
.1111 tttt eeYY (11-25)
Dengan mengalikan ktY pada kedua sisi (11-25) menghasilkan
.1111 tkttkttkttkt eYeYYYYY (11-26)
Bila dimasukkan nilai harapan pada persamaan (11-26) akan
menghasilkan
)()()()( 1111 tkttkttkttkt eYEeYEYYEYYE
Apabila k = 0, maka
)()()()( 1111 tttttttt eYEeYEYYEYYE
],)[(])[( 111111111110 tttttttkt eeeYEeeeYE
dengan ,)( 0
2 tYE karena
1111 tttt eeYY (11-27)
.)( 2
111
2
110 ee
Sama halnya, apabila k = 1,
.2
1011 e (11-28)
Pemecahan persamaan (11-27) dan (11-28) untuk 0 dan 1
menghasilkan
,1
212
1
11
2
10
(11-29)
.1
))(1(2
1
11111
(11-30)
Hasil pembagian (11-30) dan (11-29) adalah
.21
))(1(
11
2
1
11111
(11-31)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
Akhirnya, apabila k = 2, fungsi autokorelasi (11-4) menjadi
,112
atau
1
21
(11-32)
Dari persamaan (11-31) dan (11-32) nilai- nilai estimasi dapat
diperoleh. Akan tetapi, pemecahan (11-31) adalah bukan pekerjaan yang
mudah dan memerlukan prosedur iteratif yang banyak memakan waktu.
Sebagai gambaran, andaikan untuk suatu ARMA (1,1) kita
mempunyai 4,01 r dan .2,02 r maka 1 dan 1 dapat diperoleh
sebagai berikut:
.5,04,0
2,0
1
21
r
r
11
2
1
11111
21
))(1(
1
2
1
11
)5,0(21
)5,0)(5,01(4,0
1
2
1
2
111
1
5,025,05,04,0
2
111
2
1 5,025,15,04,04,04,0
01,085,01,0 1
2
1
)1,0(2
)1,0)(1,0(4)85,0(85,0 2
1
13,428,41
Diperoleh nilai 41,81 dan ,15,01 dipilih 15,01 karena model
AR dan MA orde pertama 1 dan 1 harus terletak diantara -1 dan +1.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
BAB III
METODE BOX-JENKINS
A. Pendahuluan
Model-model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)
telah dipelajari secara mendalam oleh George Box dan Gwilym Jenkins
(1976), dan nama mereka sering disinonimkan dengan proses ARIMA yang
diterapkan untuk analisis runtun waktu, peramalan dan pengendalian. Model
autoregressive (AR) pertama kali diperkenalkan oleh Yule (1926) dan
kemudian dikembangkan oleh Walker (1931), sedangkan model moving
average (MA) pertama kali digunakan oleh Slutzky (1937). Akan tetapi Wold
(1938) yang menghasilkan dasar-dasar teoritis dari proses kombinasi ARMA.
Wold membentuk model ARMA yang dikembangkan pada tiga arah-
identifikasi efisien dan prosedur penaksiran (untuk proses AR, MA, dan
ARMA campuran), perluasan dari hasil tesebut untuk mencakup runtun waktu
musiman (seasonal time series) dan pengembangan sederhana yang mencakup
proses-proses tidak stasioner (ARIMA).
Box dan Jenkins (1976) secara efektif telah berhasil mencapai
kesepakatan mengenai informasi relevan yang diperlukan untuk memahami
dan memakai model-model ARIMA untuk runtun waktu univariat. Dasar dari
pendekatan dirangkum di dalam Gambar 3.2 yang terdiri dari tiga tahap yaitu
identifikasi, penaksiran dan pengujian, serta penerapan. Selanjutnya pada bab
ini, masing-masing dari tiga tahap pada Gambar 3.2 akan diuji dan akan
diberikan contoh-contoh praktis untuk memperlihatkan penerapannya
(metodologi Box-Jenkins) untuk analisis runtun waktu univariat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
B. Identifikasi Model
Berikut ini adalah langkah-langkah atau tahapan analisis runtun waktu.
Tahap 1
Identifikasi
Tahap II
Penaksiran dan Pengujian
Tidak
Ya
Tahap III
Penarapan
Gambar 3.2 Skema Pendekatan Box-Jenkins
Membuat Plot
Data
Identifikasi
Model
Stasioner/ tidak
stasioner
Penaksiran
parameter pada
model
sementara
Pemeriksaan
diagnosa
(Apakah model
memadai?)
Gunakan
model untuk
peramalan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
Langkah-langkah untuk mengidentifikasi model ada 3 tahap sebagai
berikut:
1. Pada tahap ini, akan dilihat apakah data yang gunakan sudah stasioner
atau belum. Untuk melihat data tersebut stasioner atau tidak stasioner
bisa dilakukan dengan cara melihat grafik asli dari data tersebut atau
untuk lebih jelas, dapat dilihat dari grafik ACF dan grafik PACF.
Apabila data tidak stasioner dalam rata-rata, data perlu distasionerkan
dengan cara differencing 1 kali. Jika data yang telah differencing 1 kali
masih belum stasioner, maka perlu dilakukan differencing lagi, dengan
maksimal differencing 2 kali. Namun apabila data tidak stasioner dalam
variansi, data perlu distasionerkan dengan cara transformasi Box-Cox.
2. Setelah data stasioner, perlu dilihat apakah data ini mengandung unsur
musiman atau tidak. Untuk mengetahui apakah data mengandung unsur
musiman atau tidak bisa dilakukan dengan cara melihat grafik ACF dan
PACF.
3. Menentukan ordo AR yaitu p dan MA yaitu q dari grafik ACF dan PACF
yang stasioner. Untuk menetukan p, dilihat dari grafik PACF, sedangkan
q dilihat dari grafik ACF. Untuk menentukan nilai d, tergantung dari
data, apakah data sudah pernah melalui proses differencing atau belum.
Jika data yang tidak stasioner diubah menjadi stasioner melalui proses
differencing 1 kali, maka nilai d adalah 1. Setelah menemukan nilai AR
(p), MA (q), dan d, diperoleh model-model ARIMA sementara yang
akan digunakan untuk peramalan.
C. Estimasi Model
Setelah menentukan nilai p dan q yang sesuai, langkah berikutnya
adalah mengestimasi paramater AR dan MA dengan prosedur pada bab II.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
D. Pemeriksaan Diagnostik
Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari beberapa
kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada tahap
identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu:
1. Residual White Noise
Model ARIMA dikatakan white noise, apabila grafik ACF residual
dan PACF residual tidak ada yang signifikan (melewati batas interval)
pada lag > 0 atau bisa dengan menggunakan uji Ljung-Box dengan
. valuep
2. Residual Berdistribusi Normal
Uji Kolmogorov-Smirnov digunakan untuk mengetahui uji
normalitas pada data. Berikut adalah tahapan uji Kolmogorov-Smirnov:
a. Pengujian hipotesis.
0H : )()( 0 XFXF (residual berdistribusi Normal)
1H : )()( 0 XFXF (residual tidak berdistribusi Normal)
b. Menentukan nilai taraf signifikan (α) yang digunakan.
c. Menentukan statistik uji
)()( 0 XFXFmaksimumD nhitung
dengan,
)(XFn fungsi distribusi kumulatif berdasarkan data sampel
)(0 XF fungsi distributif kumulatif di bawah )(0 XF = )( iZZP ,
nilai Z diperoleh dari .S
xxZ i
d. Menentukan daerah kritik (daerah penolakan) 0H , yaitu:
0H ditolak jika nilai ),( nhitung DD , n= banyaknya pengamatan, atau
0H ditolak jika nilai p-value<α. ),( nD didapatkan dari tabel
Kolmogorov-Smirnov.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
e. Menarik keputusan dan kesimpulan.
Contoh 3.3.2.1
Contoh uji normalitas di bawah ini menggunakan uji Kolmogorov-
Smirnov yang diambil dari pembelajaran metode statistika sebagai
berikut:
Diberikan data sebagai berikut:
73.9 74.2 74.6 74.7 75.4 76.0 76.0 76.0 76.5 76.6 76.9
77.3 77.4 77.7
Uji apakah data tersebut normal dengan menggunakan uji Kolmogorov-
Smornov.
Penyelesaian:
a. Pengujian hipotesis
0H : )()( 0 XFXF (residual berdistribusi Normal)
1H : )()( 0 XFXF (residual tidak berdistribusi Normal)
b. Menentukan nilai taraf signifikan (α) yang digunakan.
c. Menentukan statistik uji
)()( 0 XFXFmaksimumD nhitung
d. Menentukan daerah kritis
0H ditolak jika nilai ),( nhitung DD , n= banyaknya pengamatan.
Diambil nilai 05.0 dan n = 14
)05.0,14(D 0.2257
e. Menghitung statistik uji
Dari perhitungan diperoleh x = 75.943 dan S = 1.227. perhitungan
statistik uji Kolmogorov-Smirnov diberikan pada tabel di bawah
ini:
ix kumF )(XFn s
xxZ i
)()(0 iZZPXF )()( 0 XFXFn
73,9 1 0,0714 -1,66 0,0485 0,023
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
74,2 2 0,1429 -1,42 0,0778 0,065
74,6 3 0,2143 -1,09 0,1379 0,076
74,7 4 0,2857 -1,01 0,1562 0,130
75,4 5 0,3571 -0,44 0,3300 0,027
76 8 0,5714 0,05 0,4801 0,091
76,5 9 0,6429 0,45 0,3264 0,316
76,6 10 0,7143 0,54 0,2946 0,420
76,9 11 0,7857 0,78 0,2177 0,568
77,3 12 0,8571 1,11 0,1335 0,724
77,4 13 0,9286 1,19 0,1170 0,812
77,7 14 1 1,43 0,0764 0,924
Dari perhitungan D, diperoleh nilai paling maksimum adalah 0.924.
f. Menentukan kesimpulan
Karena nilai D=0.924 > 0.2257, 0H ditolak. Dapat dikatakan bahwa
data tersebut tidak berdistribusi Normal.
Dengan menggunakan program R, residual berdistribusi Normal
apabila valuep dengan menggunakan uji One-sample Kolmogorov-
Smirnov test.
Contoh 3.3.2.2
Dengan menggunakan data pada contoh 3.3.2.2, diberikan contoh uji
normalitas dengan menggunakan program R. Dengan perintah sebagai
berikut:
> help(ks.test)
> ks.test(data,"pnorm")
Hasil:
One-sample Kolmogorov-Smirnov test
data: data
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
D = 1, p-value = 1.383e-12
alternative hypothesis: two-sided
kesimpulannya diperoleh valuep , sehingga dapat dikatakan bahwa
residual tersebut tidak berdistribusi Normal.
3. AIC (Akaike’s Information Criterion) Terkecil
AIC (Akaike’s Information Criterion) adalah suatu kriteria
pemilihan model terbaik dengan mempertimbangkan banyaknya
parameter dalam model referensi. Semakin kecil nilai AIC, model semakin
baik dan layak untuk digunakan.
mLAIC 2log2
2log))2log(1(log2 nnL
mnnAIC 2log))2log(1( 2
dengan,
m = ,QPqp
2 = variansi,
n = jumlah pengamatan (data).
E. Memilih Model yang Terbaik
Untuk memilih model yang terbaik adalah dengan cara memilih model
yang memiliki nilai AIC terkecil, residual white noise, dan berdistribusi
Normal.
F. Peramalan
Peramalan merupakan suatu cara yang digunakan untuk mengetahui
nilai atau keadaan yang akan terjadi di masa yang akan datang dalam rangka
pengambilan keputusan. Jika seluruh asumsi residual terpenuhi, peramalan
akan dilakukan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
Dengan menggunakan metode Box-Jenkins, berikut adalah contoh
meramalkan data dengan menggunakan program R.
Contoh 3.11
Diberikan data kuartalan yang ditampilkan pada lampiran 2.
1. Identifikasi Model
Identifikasi data yang akan kita proses apakah mengandung trend atau
musiman. Pertama–tama kita harus melihat grafik dari data asli, supaya kita
dapat mengetahui apakah data stasioner atau tidak.
Gambar 3.11.1
Plot Grafik Data Kuartalan
Terlihat dari grafik di atas bahwa data belum stasioner terhadap rata-rata,
sehingga data perlu distasionerkan, dengan cara differencing data asli 1 kali.
Gambar 3.11.2
Plot Grafik Data Kuartalan Setelah
Differencing
Untuk memastikan bahwa data tersebut stasioner kita membuat grafik ACF dan
PACF data yang telah differencing.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Gambar 3.11.3
Plot Grafik ACF Data Kuartalan Setelah
Diferencing
Gambar 3.11.4
Plot Grafik PACF Data Kuartalan Setelah
Diferencing
Dari grafik ACF dan grafik PACF di atas, data telah stasioner dan grafik
menunjukkan pola musiman yaitu periode 4. Berdasarkan grafik ACF
diketahui bahwa model MA(q)=0 dan grafik PACF diketahui bahwa model
AR(p)=3. Untuk d non musiman bernilai 1 dan D musiman bernilai 0. Grafik
ACF dan grafik PACF juga menunjukan adanya musiman yakni dengan
periode 4 bulanan (sesuai dengan data) dan orde P=0 serta Q=3. Dengan
kombinasi p=3, d=1, q=0, P=0, D=0, Q=3, diperoleh model ARIMA sebagai
berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
Tabel 3.111
Model (p,d,q)
Model
(p,d,q)
Q
0
p
0 (0,1,0)
1 (1,1,0)
2 (2,1,0)
3 (3,1,0)
Tabel 3.112
Model (P,D,Q)
Model
(P,D,Q)
Q
0 1 2 3
P 0 (0,0,0) (0,0,1) (0,0,2) (0,0,3)
Tabel 3.113
Model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)
Model
),,(),,( QDPqdp
(P,D,Q)
(0,0,0) (0,0,1) (0,0,2) (0,0,3)
(p,d,q)
(0,1,0) (0,1,0)(0,0,0) (0,1,0)
(0,0,1)
(0,1,0)
(0,0,2)
(0,1,0) (0,0,3)
(1,1,0) (1,1,0)(0,0,0) (1,1,0)
(0,0,1)
(1,1,0)
(0,0,2)
(1,1,0) (0,0,3)
(2,1,0) (2,1,0)(0,0,0) (2,1,0)
(0,0,1)
(2,1,0)
(0,0,2)
(2,1,0) (0,0,3)
(3,1,0) (3,1,0)(0,0,0) (3,1,0)
(0,0,1)
(3,1,0)
(0,0,2)
(3,1,0) (0,0,3)
Kemungkinan-kemungkinan model ARIMA (p, d, q)(P, D, Q)s yang dapat
diusulkan adalah sebagai berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
1. ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4
2. ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4
3. ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4
4. ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4
5. ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4
6. ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4
7. ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4
8. ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4
9. ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4
10. ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4
11. ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4
12. ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4
13. ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4
14. ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4
15. ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4
16. ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4
2. Estimasi Model
Setelah menentukan nilai p, d, q dan P, D, Q, langkah berikutnya adalah
mengestimasi parameter AR dan MA yang dimasukkan dalam model dengan
menggunakan program R. Hasil dugaan parameter dari setiap model tersebut
dapat dilihat pada lampiran 4.
3. Pemeriksaan Diagnostik
Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari beberapa
kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada tahap
identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu residual white noise,
berdistribusi normal, dan AIC terkecil. Berikut ini adalah tabel hasil uji
diagnostik data kuartalan dari kemungkinan-kemungkinan model ARIMA
yang diperoleh pada tahap identifikasi. Dipilih 05.0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
Tabel 3.3.11
Hasil Uji Diagnostik Data Kuartalan
Model
p-value uji
White Noise
p-value uji
Berdistribusi
Normal
AIC
ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4 1,162e-07
(Tidak W.N)
0,001627
(Tidak B.N)
276,32
ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4 5,441e-05
(Tidak W.N)
0,2329
(B.N)
261,53
ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4 0,0006535
(Tidak W.N)
0,5078
(B.N)
251,41
ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4 0,03812
(Tidak W.N)
0,997
(B.N)
248,74
ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4 2,648e-07
(Tidak W.N)
0,1952
(B.N)
275,63
ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4 0,000456
(Tidak W.N)
0,4253
(B.N)
261,9
ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4 0,001774
(Tidak W.N)
0,9082
(B.N)
252,3
ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4 0,05162 (W.N) 0,9895
(B.N)
250,12
ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4 3.934e-07
(Tidak W.N)
0,754
(B.N)
275,32
ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4 0,0006481
(Tidak W.N)
0,7986
(B.N)
262,15
ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4 0,001609
(Tidak W.N)
0,9979
(B.N)
252,16
ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4 0,03727
(Tidak W.N)
0,9975
(B.N)
250,09
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4 0,0194
(Tidak W.N)
0,2371
(B.N)
265,08
ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4 0,4579 (W.N) 0,9348 (B.N) 255,02
ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4 0,5193 (W.N) 0,7706 (B.N) 246,78
ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4 0,6964 (W.N) 0,8092 (B.N) 246,12
Keterangan:
W.N: White Noise
B.N: Berdistribusi Normal
4. Memilih Model yang Terbaik
Untuk memilih model yang terbaik adalah dengan cara memilih nilai
AIC terkecil, residual white noise dan berdistribusi Normal. Dari tabel di atas,
model yang terbaik adalah model ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4.
12382414332321211 )()()1(ˆ ttttttttt eeeeYYYYY
4321 5308,0)4616,05308,0()3772,04616,0()13772,0(ˆ ttttt YYYYY
1284 5049,02061,19132,0 tttt eeee
844321 2061,19132,05308,09924,08388,06228,0ˆ tttttttt eeeYYYYY
125049,0 te
Dapat dilihat bahwa identifikasi awal model ini terkonfirmasi dengan
simulasi beberapa model di atas.
5. Peramalan dengan Model ARIMA
Setelah memperoleh model yang terbaik, penulis dapat memprediksi
data kuartalan dalam waktu 12 bulan ke depan dengan menggunakan model
ARIMA terbaik yaitu ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
Tabel 3.5.11
Hasil Peramalan
t 1 2 3 4 5 6
tY 638,9223 719,5191 857,5270 706,0912 658,1084 692,7139
t 7 8 9 10 11 12
tY 823,0381 753,4810 698,1081 680,9790 765,5963 768,6675
Keterangan:
t = minggu ke-
tY = hasil peramalan.
Grafik di bawah ini adalah hasil peramalan tersebut.
Hasil Peramalan
Gambar 3.5.1
Grafik tY
Gambar 3.5.1 menunjukkan bahwa tidak ada kenaikan dan penurunan yang
signifikan, sehingga disimpulkan bahwa hasil prediksi konstan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
BAB IV
PERAMALAN DATA PENABUNG
CU SUMBER KASIH TERAJU
A. CU Sumber Kasih Teraju
Credit Union atau biasa disingkat CU adalah sebuah lembaga keuangan
yang bergerak di bidang simpan pinjam yang dimiliki dan dikelola oleh
anggotanya dan yang bertujuan untuk mensejahterakan anggotanya sendiri.
CU Sumber Kasih Teraju berdiri pada tanggal 1 Mei 1994 yang
berlokasi di desa Teraju, Kab. Sanggau, Kec. Toba, Prov. Kalimantan Barat.
CU Sumber Kasih memiliki 8 macam tabungan, yaitu Tabungan Saham dan
Tembawang, Tabungan Sempurai, Tabungan Pengari, Tabungan Tronong,
Tabungan Tanggor, Tabungan Hari Raya, dan Tabungan Kendaraan. Tabungan
Saham adalah tabungan yang membuktikan anggota sebagai pemilik yang sah,
yang terdiri dari tabungan pokok dan tabungan wajib. Apabila sudah masuk
menjadi anggota, otomatis sudah masuk bagian Tabungan Tembawang.
Tabungan Sempurai adalah produk tabungan masa depan. Tabungan Pengari
adalah tabungan yang digunakan untuk kebutuhan makan dan minum sehari-
hari anggota. Tabungan Tronong adalah tabungan untuk biaya pendidikan.
Tabungan Tanggor adalah tabungan untuk biaya pendidikan dalam jangka
panjang. Tabungan Hari Raya adalah tabungan yang digunakan untuk
kebutuhan anggota pada saat merayakan hari raya. Tabungan Kendaraan
adalah produk tabungan perencanaan anggota untuk memiliki kendaraan.
Pada tugas akhir ini, akan dianalisis tabungan pengari dengan alasan
Tabungan Pengari adalah tabungan yang paling banyak diminati oleh
masyarakat. Data yang digunakan untuk penelitian ini diambil dari bulan
Januari 2012 sampai dengan bulan Agustus 2018 yang berupa jumlah
penabung Pengari setiap bulan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
B. Penerapan Metode Box-Jenkins untuk Peramalan Penabung Pengari
Peramalan ini dilakukan dengan cara menjalankan program melalui
program R. Data penabung Pengari dapat dilihat pada lampiran 3. Berikut
adalah penerapan metode Box-Jenkins untuk peramalan penabung Pengari.
1. Identifikasi Model
Data penabung Pengari dapat dilihat pada lampiran. Tahap pertama
dilakukan dengan memanggil data penabung Pengari (data asli), untuk
selanjutnya membuat plot grafik dari data tersebut. Plot grafik data asli
dapat dilihat pada gambar 4.1
Gambar 4.1
Grafik Data Asli Penabung Pengari
Secara visual, berdasarkan plot grafiknya, data terlihat stasioner dalam
rata-rata maupun variansi. Lebih lanjut, untuk memastikan data sudah
stasioner, dapat dilihat dari plot grafik ACF dan grafik PACF dari data asli
pada gambar 4.2 dan gambar 4.3.
Gambar 4.2
Grafik ACF Data Asli Penabung Pengari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
Gambar 4.3
Grafik PACF Data Asli Penabung Pengari
Berdasarkan plot grafik ACF dan grafik PACF di atas, data terlihat
stasioner. Setelah melihat grafik ACF dan grafik PACF yang stasioner dari
data penabung pengari, terlihat bahwa data tidak mengandung musiman,
sehingga peramalan ini menggunakan model ARIMA nonmusiman.
Dengan melihat grafik ACF dan PACF, penulis dapat menentukan
nilai p dan q. Lebih lanjut, grafik ACF signifikan pada lag-3 (MA(q)=3),
d bernilai 0 karena tidak melalui proses differencing, dan grafik PACF
signifikan pada lag-1 (AR(p)=1). Pemilihan model dilakukan menurut
prinsip parsimony. Prinsip parsimony menyatakan bahwa semakin
sederhana sebuah model statistik dengan jumlah variabel dependen yang
cukup informatif, semakin baik pula model statistik tersebut. Sehingga
penulis memperoleh kemungkinan-kemungkinan model ARIMA yang
dapat diusulkan sebagai berikut:
1) ARIMA (0, 0, 1)
2) ARIMA (0, 0, 2)
3) ARIMA (0, 0, 3)
4) ARIMA (1, 0, 0)
5) ARIMA (1, 0, 1)
6) ARIMA (1, 0, 2)
7) ARIMA (1, 0, 3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
2. Estimasi Model
Setelah menentukan nilai p dan q, langkah berikutnya adalah
mengestimasi parameter AR dan MA yang dimasukkan dalam model
dengan menggunakan program R. Berikut ini adalah tabel parameter AR
dan MA.
Tabel 4.2.1
Hasil Estimasi Model
ARIMA
(0, 0, 1)
ARIMA
(0, 0, 2)
ARIMA
(0, 0, 3)
ARIMA
(1, 0, 0)
ARIMA
(1, 0, 1)
ARIMA
(1, 0, 2)
ARIMA
(1, 0, 3)
33,6949 33,3203 33,2351 33,6951 33,3117 33,4172 36,2473
1 0,6378 0,4187 0,5165 0,9695
1 0,6491 0,8263 0,7981 0,3931 0,2807 -0,2122
2 0,2569 0,3359 -0,0769 -0,4783
3 0,1252 -0,1144
AIC 695,22 691,5 692,94 691,62 690,64 692,6 692,87
3. Pemeriksaan Diagnostik
Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari
beberapa kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada
tahap identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu residual white
noise, berdistribusi normal, dan AIC terkecil. Berikut ini adalah tabel hasil
uji diagnostik data penabung pengari dari kemungkinan-kemungkinan
model ARIMA yang diperoleh pada tahap identifikasi. Dipilih 005,0
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
Tabel 4.2.2
Hasil Uji Diagnostik Penabung Pengari
Model
p-value
dengan Uji
White Noise
p-value
dengan Uji
Distribusi
Normal
Nilai
AIC
ARIMA (0, 0, 1) 0,1368 (W.N) 5,019e-10
(Tidak B.N)
695,22
ARIMA (0, 0, 2) 0,6749 (W.N) 3,444e-10
(Tidak B.N)
691,5
ARIMA (1, 0, 0) 0,8389 (W.N) 5,277e-11
(Tidak B.N)
692,94
ARIMA (1, 0, 1) 0,9196 (W.N) 6,037e-12
(Tidak B.N)
691,62
ARIMA (1, 0, 2) 0,8987 (W.N) 4,99e-11
(Tidak B.N)
690,64
Keterangan:
W.N: White Noise
B.N: Berdistribusi Normal
Karena tidak ada model ARIMA yang berdistriusi Normal, mungkin
residual asli yang digunakan untuk peramalan tidak berdistribusi normal.
Lebih lanjut, lakukan uji distribusi normal pada data asli dengan
menggunakan uji Shapiro-Wilk.
> shapiro.test(data$jumlah)
Shapiro-Wilk normality test
data: data$jumlah
W = 0.67112, p-value = 4.269e-12
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
005,0 valuep , data tidak berdistribusi Normal. Karena data asli
tidak berdistribusi Normal, perlu dilakukan transformasi data asli dengan
menggunakan program R.
> library(car)
> powerTransform(data$jumlah)
Estimated transformation parameter
data$jumlah
-0.08214592
Diperoleh nilai lambda sehingga dapat menggunakan rumus transformasi
Box-Cox Y dengan perintah pada program R sebagai berikut:
> yt<-data^-0.08214592
Setalah data ditransformasi, selanjutnya dilihat apakah data sudah
berdistribusi Normal atau belum dengan menggunakan uji Shapiro-Wilk
pada program R.
> shapiro.test(yt)
Shapiro-Wilk normality test
data: yt
W = 0.95548, p-value = 0.007195
Dari hasil uji Shapiro di atas, dapat dilihat bahwa data sudah berdistribusi
Normal. Karena data sudah berdistribusi Normal, lakukan proses
peramalan dengan metode Box-Jenkins dari awal.
a. Identifikasi Model
Data penabung Pengari yang telah ditransformasi dapat dilihat
pada lampiran. Tahap pertama dilakukan dengan memanggil data
penabung Pengari (data yang telah ditransformasi), untuk selanjutnya
membuat plot grafik dari data tersebut. Plot grafik data asli dapat
dilihat pada gambar 4.1.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
Gambar 4.1.1
Plot Grafik Data Penabung Pengari
Setelah Transformasi
Secara visual, berdasarkan plot grafiknya, data terlihat tidak stasioner
dalam rata-rata. Lebih lanjut, untuk memastikan apakah data stasioner
atau tidak, dapat dilihat dari plot grafik ACF dan grafik PACF dari
data yang telah ditransformasi pada gambar 4.1.2 dan gambar 4.1.3.
Gambar 4.1.2
Plot Grafik ACF Data Penabung Pengari
Setelah Transformasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
Gambar 4.1.3
Plot Grafik PACF Data Penabung Pengari
Setelah Transformasi
Berdasarkan grafik ACF dan grafik PACF, data terlihat tidak
stasioner, sehingga perlu dilakukan differencing pada data. Setelah
dilakukan proses differencing, kemudian dibuat plot grafik
berdasarkan data tersebut. Plot data setelah mengalami proses
differencing dapat dilihat pada gambar 4.1.4.
Gambar 4.1.4
Plot Grafik Data Penabung Pengari
Setelah Differencing
Berdasarkan plot grafik di atas, data terihat stasioner, baik stasioner
dalam rata-rata maupun stasioner dalam variansi. Lebih lanjut, untuk
memastikan apakah data stasioner atau tidak, dapat dilihat dari plot
ACF dan PACF dari data asli pada gambar 4.1.5 dan gambar 4.1.6.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
Gambar 4.1.5
Plot Grafik ACF Data Penabung Pengari
Setelah Differencing
Gambar 4.1.6
Plot Grafik PACF Data Penabung Pengari
Setelah Differencing
Berdasarkan grafik ACF dan grafik PACF di atas, data terlihat
stasioner. Setelah melihat grafik ACF dan grafik PACF yang stasioner
dari data penabung Pengari, terlihat bahwa data tidak mengandung
musiman, sehingga peramalan ini menggunakan model ARIMA
nonmusiman.
Dengan melihat grafik ACF dan grafik PACF, penulis dapat
menentukan nilai p dan q. Lebih lanjut, grafik ACF signifikan pada
lag-1 (MA(q)=1), d bernilai 1 karena melalui proses differencing, dan
grafik PACF signifikan pada lag-1 (AR(p)=1). Pemilihan model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
dilakukan menurut prinsip parsimony. Prinsip parsimony menyatakan
bahwa semakin sederhana sebuah model statistik dengan jumlah
variabel dependen yang cukup informatif, semakin baik pula model
statistik tersebut. Sehingga penulis memperoleh kemungkinan-
kemungkinan model ARIMA yang dapat diusulkan sebagai berikut:
1) ARIMA (0,1,1)
2) ARIMA (1,1,0)
3) ARIMA (1,1,1)
b. Estimasi Model
Setelah menentukan nilai p dan q, langkah berikutnya adalah
mengestimasi parameter AR dan MA yang dimasukkan dalam model
dengan menggunakan program R. Berikut ini adalah tabel parameter
AR dan MA.
Tabel 4.2.11
Hasil Estimasi Model
ARIMA
(0, 1, 1)
ARIMA
(1, 1, 0)
ARIMA
(1, 1, 1)
1 - -0,1105 0,2464
1 -0,7293 - -0,8555
AIC -349,81 -340,54 -350,06
c. Pemeriksaan Diagnostik
Pada tahap ini, untuk mengetahui model ARIMA terbaik dari
beberapa kemungkinan-kemungkinan model yang telah diperoleh pada
tahap identifikasi, ada 3 langkah yang harus dipenuhi yaitu residual
white noise, berdistribusi normal, dan AIC terkecil. Berikut ini adalah
tabel hasil uji diagnostik data penabung pengari dari kemungkinan-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
kemungkinan model ARIMA yang diperoleh pada tahap identifikasi.
Dipilih 005,0
Tabel 4.2.12
Hasil Uji Diagnostik Penabung Pengari
Model
p-value
dengan Uji
White Noise
p-value
dengan Uji
Distribusi
Normal
Nilai
AIC
ARIMA (0, 1, 1) 0,4001 (W.N) 0,1413 (B.N) -349,81
ARIMA (1, 1, 0) 0,3305 (W.N) 0,2216 (B.N) -340,54
ARIMA (1, 1, 1) 0,7702 (W.N) 0,04565 (B.N) -350,06
Keterangan:
W.N: White Noise
B.N: Berdistribusi Normal
d. Memilih Model yang Terbaik
Model ARIMA (0,1,1), ARIMA(1,1,0), dan ARIMA (1,1,1)
memenuhi uji white noise dan uji distribusi Normal. Namun, pada
model ARIMA (1,1,1) memiliki nilai AIC terkecil dibandingkan
model ARIMA (0,1,1) dan ARIMA (1,1,0). Sehingga dapat
disimpulkan bahwa model ARIMA (1,1,1) merupakan model terbaik.
Karena *
tY merupakan data yang sudah mengalami transformasi,
sehingga .2-0,0821459*
tt YY Jadi, diperoleh model terbaik sebagai
berikut:
112111
* )1(( ttttt eeYYY
atau
08214592,0
1
112111 ))1(( ttttt eeYYY
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
08214592,0
1
121 )8555,02464,0)12464,0(( ttttt eeYYY
e. Peramalan dengan Model ARIMA
Langkah terakhir adalah proses peramalan dengan
menggunakan model ARIMA yang terbaik. Data yang digunakan
dalam peramalan adalah data asli tY , bukan menggunakan data yang
sudah mengalami transformasi pangkat .*
tY Oleh karena itu, hasil
peramalan perlu di pangkat 8214592,0
1
agar sesuai dengan data asli.
Jadi, hasil peramalan penabung pengari untuk 8 bulan ke depan dengan
menggunakan ARIMA (1,1,1) disajikan dalam tabel berikut:
Tabel 4.2.13
Hasil Peramalan
t 1 2 3 4 5
tY 22,076 22,350 22,418 22,435 22,439
Se 1,352 1,344 1,342 1,340 1,338
Batas Atas 17,345 17,647 17,722 17,746 17,757
Batas Bawah 26,806 27,052 27,113 27,123 27,120
t 6 7 8
tY 22,440 22,440 22,440
Se 1,337 1,335 1,334
Batas Atas 17,761 17.768 17,839
Batas Bawah 27,118 27,111 27,040
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
Untuk menentukan batas atas dan batas atas, menggunakan rumus
sebagai berikut:
setYsetYn
tn
t)1(
2)1(
2
ˆˆ
Plot grafik data tY dan peramalannya dapat dilihat pada gambar 4.5.1
Hasil Peramalan
Gambar 4.5.1
Grafik Yt
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan hasil peramalan dengan metode Box-Jenkins pada bab IV,
jumlah penabung pada buku Tabungan Pengari untuk 8 bulan ke depan tidak
mengalami kenaikan dan penurunan. Sehingga dapat dikatakan bahwa jumlah
penabung dari buku Tabungan Pengari masih tergolong normal dan tidak ada
pertumbuhan baru. Di tengah persaingan sengit produk perbankan hal ini perlu
diantisipasi. CU perlu melakukan terobosan untuk menaikkan jumlah nasabah
baru. Tidak adanya pertumbuhan jumlah nasabah dapat mengancam eksistensi
CU dalam jangka panjang.
B. Saran
Berdasarkan hasil penelitian dengan menggunakan metode Box-Jenkins,
saran-saran yang dapat diberikan peneliti sebagai berikut:
1. Untuk CU Sumber Kasih Teraju diharapkan dapat menerapkan sistem
peramalan, sehingga CU Sumber Kasih dapat mengetahui perkembangan
kantor kedepannya.
2. Dari hasil analisis perlu strategi pemasaran supaya ada pertumbuhan dari
jumlah penabung.
3. Sebelum melakukan tahap peramalan dengan menggunakan metode Box-
Jenkins, perlu dilakukan tes normalitas terlebih dahulu. Hal tersebut
dikarenakan data yang akan digunakan untuk peramalan bisa saja tidak
normal.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
DAFTAR PUSTAKA
Brockwell, P.J. and Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series Forecasting
(2th ed.). New York: Springer. [online],
(http://economics-pr.weebly.com/uploads/4/8/6/0/48608947/brockwell-
davis-introduction_to_time_series_and_forecasting.pdf, diakses pada
tanggal 2 Maret 2018).
Chan, Ngai Hang. (2002). Time Series Applications to Finance. New York: Wiley-
Interscience
Ispriyanti, Dwi. (2004). Pemodelan Statistik dengan Transformasi Box Cox. Jurnal
Matematika dan Komputer. 7(3): 8-17. [online],
(https://ejournal.undip.ac.id/index.php/matematika/article/view/154/1115,
diakses tanggal 11 Maret 2019).
Makridakis, S, et.al. (1998). Forecasting Methods and Applications (3nd ed). USA:
John Wiley and Sons, Inc.
Makridakis, S. dkk. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Jakarta: Erlangga.
Perdana, Antonius Andika Rian. (2017). Penerapan Metode ARIMA untuk
Peramalan Suplai Suku Cadang Kendaraan Bermotor. Matematika.
Fakultas Sains dan Teknologi. Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Pramujo, B. dkk. (2014). Pemodelan Debit Menggunakan Metode ARIMA Guna
Menentukan Pola Operasi Waduk Selorejo. Jurnal Teknik Pengairan. 5(2):
141-148. [online],
(http://jurnalpengairan.ub.ac.id/index.php/jtp/article/view/213/207,
diakses tanggal 27 Juli 2018).
Shumway, R.H. and Stoffer, D.S. (2005). Time Series Analysis and Its Applications
with R Examples (2rd ed.). New York: Springer. [online],
(https://web.njit.edu/~wguo/Math447/Time%20Series%20Analysis%20and
%20Its%20Application%20with%20R%20examples.pdf, diakses pada
tanggal 2 Maret 2018).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Sitorus, V.B. dkk. (2017). Peramalan dengan Metode Seasonal Autoregressive
Integrated Moving Average (SARIMA) di Bidang Ekonomi. Jurnal
Eksponensial. 8(1). [online],
(http://jurnal.fmipa.unmul.ac.id/index.php/exponensial/article/view/71/41,
diakses tanggal 27 Juli 2018).
Wackerly. D. D. et.al. (2008). Mathematical Statistics with Applications (7nd ed.).
USA:Thomson Brooks/ Cole.
Wahyuningsih, N. dkk. (2017). Model Penjualan Plywoo PT. Linggarjati
Mahardika Mulia. Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai Islami.
1(1): 52-57.
Wahyuningtyas. (2011). Forecasting Hasil Produksi Rokok Sukun di Kabupaten
Kudus Tahun 2011 dengan Metode Analisis Runtun Waktu. Matematika.
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Negeri
Semarang.
Wei, W.W.S. (2005). Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods
(2nd ed.). New York: Pearson.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
LAMPIRAN
Berikut adalah lampiran program dan data yang digunakan pada Tugas Akhir ini.
Lampiran 1: Data pengiriman bulanan peralatan polusi
Periode Observasi
1 122.64
2 120.888
3 164.688
4 147.168
5 171.696
6 228.636
7 124.392
8 155.928
9 217.248
10 176.076
11 142.788
12 196.224
13 228.636
14 234.768
15 319.74
16 241.776
17 151.548
18 352.152
19 239.148
20 233.892
21 471.288
22 290.832
23 284.7
24 291.708
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Periode Observasi
25 287.328
26 315.36
27 417.852
28 288.204
29 225.132
30 430.992
31 229.512
32 296.964
33 355.656
34 367.92
35 317.112
36 359.16
37 249.66
38 455.52
39 607.068
40 425.736
41 494.064
42 486.18
43 494.064
44 459.024
45 543.12
46 567.648
47 613.2
48 791.904
49 305.724
50 713.064
51 1156.32
52 829.572
53 865.488
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Periode Observasi
54 1318.38
55 971.484
56 817.308
57 1079.232
58 1013.532
59 986.376
60 1264.068
61 997.764
62 1415.616
63 1709.952
64 1443.648
65 1619.724
66 2120.796
67 923.304
68 860.232
69 1639.872
70 1106.388
71 1161.576
72 1034.556
73 960.972
74 1214.136
75 1492.704
76 991.632
77 1025.796
78 1399.848
79 818.184
80 865.488
81 1547.892
82 1003.02
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Periode Observasi
83 960.972
84 1568.04
85 1065.216
86 1107.264
87 2411.628
88 1510.224
89 1876.392
90 1792.296
91 1307.868
92 1705.572
93 1945.596
94 2219.784
95 2528.136
96 3534.66
97 1546.14
98 2246.064
99 2930.22
100 2462.436
101 2551.788
102 3140.46
103 2437.032
104 2109.408
105 3853.523
106 2840.868
107 3164.112
108 3946.38
109 3044.976
110 3957.768
111 4552.571
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Periode Observasi
112 3651.167
113 3861.408
114 5048.388
115 2990.664
116 2677.056
117 5566.103
118 3661.68
119 2435.28
120 3550.428
121 2215.404
122 3312.156
123 4289.771
124 3218.424
125 3193.02
126 3542.544
127 2169.852
128 1536.504
129 3454.944
130 2351.184
Lampiran 2: Data kuartalan
Tahun Kuartal Periode Penjualan
1970
1
2
3
4
1
2
3
4
362
385
432
341
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1971
1972
1973
1974
1975
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
382
409
498
387
473
513
582
474
544
582
681
557
628
707
773
592
627
725
854
661
Lampiran 3: Data banyaknya penabung pengari
t ( bulan) banyaknya penabung
1 28
2 147
3 150
4 89
5 66
6 43
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
t ( bulan) banyaknya penabung
7 32
8 46
9 41
10 51
11 31
12 23
13 37
14 48
15 35
16 68
17 54
18 36
19 59
20 46
21 33
22 22
23 39
24 22
25 33
26 31
27 37
28 23
29 25
30 30
31 43
32 36
33 39
34 42
35 16
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
t ( bulan) banyaknya penabung
36 23
37 25
38 29
39 25
40 30
41 27
42 24
43 44
44 36
45 33
46 56
47 20
48 17
49 32
50 27
51 26
52 29
53 28
54 28
55 21
56 35
57 30
58 26
59 16
60 15
61 29
62 22
63 18
64 11
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
t ( bulan) banyaknya penabung
65 16
66 11
67 20
68 18
69 30
70 17
71 17
72 5
73 24
74 16
75 22
76 25
77 27
78 43
79 33
80 21
Lampiran 4: Analisis data dengan program R pada contoh 3.11 bab III
1. Identifikasi model
- Memanggil data asli dan membuat plot grafiknya
> data<-read.csv(file.choose(),header=T)
> attach(data)
> par(mfrow=c(2,1))
> plot.ts(data,lag.max=24)
> acf(data,lag.max=24)
> pacf(data,lag.max=24)
2. Estimasi model
- Hasil estimasi model
1) ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> l1=arima(data,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,0),period=4))
> l1
Call:
arima(x = data, order = c(0, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 0), period
= 4))
sigma^2 estimated as 8858: log likelihood = -137.16, aic = 276.32
2) ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4
> l2=arima(data,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,1),period=4))
> l2
Call:
arima(x = data, order = c(0, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 1),period
= 4))
Coefficients:
sma1
1.0000
s.e. 0.4261
sigma^2 estimated as 3064: log likelihood = -128.77, aic = 261.53
3) ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4
> l3=arima(data,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,2),period=4))
> l3
Call:
arima(x = data, order = c(0, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 2), period
= 4))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Coefficients:
sma1 sma2
1.2064 0.9999
s.e. 0.2861 0.3452
sigma^2 estimated as 1459: log likelihood = -122.71, aic = 251.41
4) ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4
> l4=arima(data,order=c(0,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,3),period=4))
> l4
Call:
arima(x = data, order = c(0, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 3), period
= 4))
Coefficients:
sma1 sma2 sma3
1.2504 1.3900 0.6021
s.e. 0.2408 0.4559 0.3393
sigma^2 estimated as 1139: log likelihood = -120.37, aic = 248.74
5) ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4
> l5=arima(data,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,0),period=4))
> l5
Call:
arima(x = data, order = c(1, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 0), period
= 4))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Coefficients:
ar1
-0.3578
s.e. 0.2102
sigma^2 estimated as 7834: log likelihood = -135.82, aic = 275.63
6) ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4
> l6=arima(data,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,1),period=4))
> l6
Call:
arima(x = data, order = c(1, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 1), period
= 4))
Coefficients:
ar1 sma1
-0.2692 0.9998
s.e. 0.2042 0.5467
sigma^2 estimated as 2844: log likelihood = -127.95, aic = 261.9
7) ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4
> l7=arima(data,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,2),period=4))
> l7
Call:
arima(x = data, order = c(1, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 2), period
= 4))
Coefficients:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ar1 sma1 sma2
-0.2192 1.1824 1.0000
s.e. 0.2035 0.2897 0.3573
sigma^2 estimated as 1393: log likelihood = -122.15, aic = 252.3
8) ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4
> l8=arima(data,order=c(1,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,3),period=4))
> l8
Call:
arima(x = data, order = c(1, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 3), period
= 4))
Coefficients:
ar1 sma1 sma2 sma3
-0.1633 1.2275 1.3758 0.5850
s.e. 0.2051 0.2459 0.4700 0.3448
sigma^2 estimated as 1112: log likelihood = -120.06, aic = 250.12
9) ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4
> l9=arima(data,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,0),period=4))
> l9
Call:
arima(x = data, order = c(2, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 0), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
-0.4431 -0.333
s.e. 0.2090 0.211
sigma^2 estimated as 7020: log likelihood = -134.66, aic = 275.32
10) ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4
> l10=arima(data,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,1),period=4))
> l10
Call:
arima(x = data, order = c(2, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 1), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 sma1
-0.3275 -0.282 0.9972
s.e. 0.2100 0.208 1.0716
sigma^2 estimated as 2615: log likelihood = -127.08, aic = 262.15
11) ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4
> l11=arima(data,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,2),period=4))
> l11
Call:
arima(x = data, order = c(2, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 2), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 sma1 sma2
-0.2940 -0.2988 1.1383 1.0000
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
s.e. 0.2102 0.1974 0.2905 0.3568
sigma^2 estimated as 1259: log likelihood = -121.08, aic = 252.16
12) ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4
> l12=arima(data,order=c(2,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,3),period=4))
> l12
Call:
arima(x = data, order = c(2, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 3), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 sma1 sma2 sma3
-0.2272 -0.2931 1.1628 1.3379 0.5716
s.e. 0.2123 0.1995 0.2505 0.4542 0.3342
sigma^2 estimated as 1015: log likelihood = -119.05, aic = 250.09
13) ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4
> l13=arima(data,order=c(3,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,0),period=4))
> l13
Call:
arima(x = data, order = c(3, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 0), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3
-0.5949 -0.5963 -0.6938
s.e. 0.1541 0.1572 0.1495
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sigma^2 estimated as 3787: log likelihood = -128.54, aic = 265.08
14) ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4
> l14=arima(data,order=c(3,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,1),period=4))
> l14
Call:
arima(x = data, order = c(3, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 1), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 sma1
-0.4698 -0.4957 -0.6273 0.7518
s.e. 0.1704 0.1729 0.1646 0.3124
sigma^2 estimated as 1846: log likelihood = -122.51, aic = 255.02
15) ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4
> l15=arima(data,order=c(3,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,2),period=4))
> l15
Call:
arima(x = data, order = c(3, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 2), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 sma1 sma2
-0.4466 -0.4918 -0.5595 0.9501 1.000
s.e. 0.1765 0.1715 0.1696 0.3029 0.401
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sigma^2 estimated as 817.2: log likelihood = -117.39, aic = 246.78
16) ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4
> l16=arima(data,order=c(3,1,0),seasonal=list(order=c(0,0,3),period=4))
> l16
Call:
arima(x = data, order = c(3, 1, 0), seasonal = list(order = c(0, 0, 3), period
= 4))
Coefficients:
ar1 ar2 ar3 sma1 sma2 sma3
-0.3772 -0.4616 -0.5308 0.9132 1.2061 0.5049
s.e. 0.1910 0.1732 0.1809 0.2826 0.4808 0.3535
sigma^2 estimated as 730.1: log likelihood = -116.06, aic = 246.12
3. Pemeriksaan diagnostik
- Uji white noise, dan uji distribusi normal
1) ARIMA (0,1,0)(0,0,0)4
> residual1<-resid(l1)
> Box.test(residual1,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual1
X-squared = 71.193, df = 20, p-value = 1.162e-07
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Shapiro-Wilk normality test
data: residual1
W = 0.84302, p-value = 0.001627
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
2) ARIMA (0,1,0)(0,0,1)4
> residual2<-resid(l2)
> Box.test(residual2,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual2
X-squared = 54.179, df = 20, p-value = 5.441e-05
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual2)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual2
W = 0.94699, p-value = 0.2329
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
3) ARIMA (0,1,0)(0,0,2)4
> residual3<-resid(l3)
> Box.test(residual3,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual3
X-squared = 46.661, df = 20, p-value = 0.0006535
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual3)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual3
W = 0.96328, p-value = 0.5078
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
4) ARIMA (0,1,0)(0,0,3)4
> residual4<-resid(l4)
> Box.test(residual4,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual4
X-squared = 32.514, df = 20, p-value = 0.03812
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual4)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual4
W = 0.99036, p-value = 0.997
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
5) ARIMA (1,1,0)(0,0,0)4
> residual5<-resid(l5)
> Box.test(residual5,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
data: residual5
X-squared = 69.002, df = 20, p-value = 2.648e-07
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual5)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual5
W = 0.94351, p-value = 0.1952
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
6) ARIMA (1,1,0)(0,0,1)4
> residual6<-resid(l6)
> Box.test(residual6,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual6
X-squared = 47.724, df = 20, p-value = 0.000465
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual6)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual6
W = 0.95934, p-value = 0.4253
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
7) ARIMA (1,1,0)(0,0,2)4
> residual7<-resid(l7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
> Box.test(residual7,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual7
X-squared = 43.465, df = 20, p-value = 0.001774
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual7)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual7
W = 0.98069, p-value = 0.9082
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
8) ARIMA (1,1,0)(0,0,3)4
> residual8<-resid(l8)
> Box.test(residual8,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual8
X-squared = 31.278, df = 20, p-value = 0.05162
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual8)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual8
W = 0.98805, p-value = 0.9895
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9) ARIMA (2,1,0)(0,0,0)4
> residual9<-resid(l9)
> Box.test(residual9,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual9
X-squared = 67.942, df = 20, p-value = 3.934e-07
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual9)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual9
W = 0.97353, p-value = 0.754
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
10) ARIMA (2,1,0)(0,0,1)4
> residual10<-resid(l10)
> Box.test(residual10,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual10
X-squared = 46.688, df = 20, p-value = 0.0006481
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual10)
Shapiro-Wilk normality test
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
data: residual10
W = 0.9754, p-value = 0.7986
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
11) ARIMA (2,1,0)(0,0,2)4
> residual11<-resid(l11)
> Box.test(residual11,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual11
X-squared = 43.782, df = 20, p-value = 0.001609
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual11)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual11
W = 0.9909, p-value = 0.9979
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
12) ARIMA (2,1,0)(0,0,3)4
> residual12<-resid(l12)
> Box.test(residual12,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual12
X-squared = 32.605, df = 20, p-value = 0.03727
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Shapiro-Wilk normality test
data: residual12
W = 0.99065, p-value = 0.9975
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
13) ARIMA (3,1,0)(0,0,0)4
> residual13<-resid(l13)
> Box.test(residual13,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual13
X-squared = 35.134, df = 20, p-value = 0.0194
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual13)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual13
W = 0.94734, p-value = 0.2371
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
14) ARIMA (3,1,0)(0,0,1)4
> residual14<-resid(l14)
> Box.test(residual14,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual14
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
X-squared = 20.001, df = 20, p-value = 0.4579
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual14)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual14
W = 0.98234, p-value = 0.9348
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
15) ARIMA (3,1,0)(0,0,2)4
> residual15<-resid(l15)
> Box.test(residual1,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual1
X-squared = 71.193, df = 20, p-value = 1.162e-07
RESIDUAL TIDAK WHITE NOISE
> shapiro.test(residual15)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual15
W = 0.97422, p-value = 0.7706
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
16) ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4
> residual16<-resid(l16)
> Box.test(residual16,lag=20,type="Ljung-Box")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Box-Ljung test
data: residual16
X-squared = 16.323, df = 20, p-value = 0.6964
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual16)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual16
W = 0.97586, p-value = 0.8092
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
4. Peramalan dengan model ARIMA
- Peramalan dengan model ARIMA (3,1,0)(0,0,3)4 untuk waktu 12 bulan ke
depan:
> pred.data=predict(l16,n.ahead=12)
> pred.data.low=pred.data$pred-1.96*pred.data$se
> pred.data.up=pred.data$pred+1.96*pred.data$se
> pred.data
$pred
Time Series:
Start = 25
End = 36
Frequency = 1
[1] 638.9223 719.5191 857.5270 706.0912 658.1084 692.7139 823.0381
753.4810
[9] 698.1081 680.9790 765.5963 768.6675
$se
Time Series:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Start = 25
End = 36
Frequency = 1
[1] 30.60581 35.98521 37.16417 37.09419 56.33797 66.46408
70.40760
[8] 70.84176 88.62197 101.43023 108.28204 110.19177
- Plot gambar 3.5.1
> data<-read.csv(file.choose(),header=T)
> plot.ts(data)
Lampiran 5: Analisis data dengan program R pada bab IV
1. Identifikasi model
- Memanggil data asli dan membuat plot grafiknya
> data<-read.csv(file.choose(),header=T)
> attach(data)
> par(mfrow=c(2,1))
> plot.ts(data,lag.max=80)
> acf(data,lag.max=80)
> pacf(data,lag.max=80)
2. Estimasi model
- Hasil estimasi model
1) ARIMA(0,0,1)
> L1<-arima(data,order=c(0,0,1))
> L1
Call:
arima(x = data, order = c(0, 0, 1))
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Coefficients:
ma1 intercept
0.6491 33.6949
s.e. 0.0720 3.2862
sigma^2 estimated as 320.7: log likelihood = -344.61, aic = 695.22
2) ARIMA(0,0,2)
> L2<-arima(data,order=c(0,0,2))
> L2
Call:
arima(x = data, order = c(0, 0, 2))
Coefficients:
ma1 ma2 intercept
0.8263 0.2569 33.3203
s.e. 0.1202 0.1053 3.9941
sigma^2 estimated as 298: log likelihood = -341.75, aic = 691.5
3) ARIMA(0,0,3)
> L3<-arima(data,order=c(0,0,3))
> L3
Call:
arima(x = data, order = c(0, 0, 3))
Coefficients:
ma1 ma2 ma3 intercept
0.7981 0.3359 0.1252 33.2351
s.e. 0.1367 0.1542 0.1731 4.3140
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
sigma^2 estimated as 296.1: log likelihood = -341.47, aic = 692.94
4) ARIMA(1,0,0)
> L4<-arima(data,order=c(1,0,0))
> L4
Call:
arima(x = data, order = c(1, 0, 0))
Coefficients:
ar1 intercept
0.6378 33.6951
s.e. 0.0845 5.2932
sigma^2 estimated as 306.7: log likelihood = -342.81, aic = 691.62
5) ARIMA(1,0,1)
> L5<-arima(data,order=c(1,0,1))
> L5
Call:
arima(x = data, order = c(1, 0, 1))
Coefficients:
ar1 ma1 intercept
0.4187 0.3931 33.3117
s.e. 0.1529 0.1700 4.5515
sigma^2 estimated as 295: log likelihood = -341.32, aic = 690.64
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6) ARIMA(1,0,2)
> L6<-arima(data,order=c(1,0,2))
> L6
Call:
arima(x = data, order = c(1, 0, 2))
Coefficients:
ar1 ma1 ma2 intercept
0.5165 0.2807 -0.0796 33.4172
s.e. 0.5358 0.6249 0.4299 4.7605
sigma^2 estimated as 294.8: log likelihood = -341.3, aic = 692.6
7) ARIMA(1,0,3)
> L7<-arima(data,order=c(1,0,3))
> L7
Call:
arima(x = data, order = c(1, 0, 3))
Coefficients:
ar1 ma1 ma2 ma3 intercept
0.9695 -0.2122 -0.4783 -0.1144 36.2473
s.e. 0.0465 0.1455 0.1082 0.1341 10.0363
sigma^2 estimated as 287.4: log likelihood = -340.44, aic = 692.87
3. Pemeriksaan diagnostik
- Uji white noise, dan uji distribusi normal
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1) ARIMA(0,0,1)
> residual1<-resid(L1)
> Box.test(residual1,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual1
X-squared = 26.945, df = 20, p-value = 0.1368
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual1)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual1
W = 0.76328, p-value = 5.019e-10
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI TIDAK NORMAL
2) ARIMA(0,0,2)
> residual2<-resid(L2)
> Box.test(residual2,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual2
X-squared = 16.66, df = 20, p-value = 0.6749
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual2)
Shapiro-Wilk normality test
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
data: residual2
W = 0.75672, p-value = 3.444e-10
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
3) ARIMA(0,0,3)
> residual3<-resid(L3)
> Box.test(residual3,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual3
X-squared = 13.831, df = 20, p-value = 0.8389
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual3)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual3
W = 0.72227, p-value = 5.277e-11
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
4) ARIMA(1,0,0)
> residual4<-resid(L4)
> Box.test(residual4,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual4
X-squared = 11.898, df = 20, p-value = 0.9196
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual4)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual4
W = 0.67853, p-value = 6.037e-12
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
5) ARIMA(1,0,1)
> residual5<-resid(L5)
> Box.test(residual5,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual5
X-squared = 12.477, df = 20, p-value = 0.8987
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual5)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual5
W = 0.72123, p-value = 4.996e-11
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
6) ARIMA(1,0,2)
> residual6<-resid(L6)
> Box.test(residual6,lag=20,type="Ljung-Box")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Box-Ljung test
data: residual6
X-squared = 11.436, df = 20, p-value = 0.9341
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual6)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual6
W = 0.71632, p-value = 3.877e-11
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
7) ARIMA(1,0,3)
> residual7<-resid(L7)
> Box.test(residual7,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual7
X-squared = 10.943, df = 20, p-value = 0.9477
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual7)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual7
W = 0.71832, p-value = 4.298e-11
RESIDUAL MODEL TIDAK BERDISTRIBUSI NORMAL
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4. Identifikasi model
- Memanggil data yang telah ditransformasikan dan membuat plot grafiknya
> plot.ts(yt,lag.max=80)
> acf(yt,lag.max=80)
> pacf(yt,lag.max=80)
- Differencing data
> yt_diff<-diff(yt,n=1)
- Membuat plot grafik setelah di-differencing
> plot.ts(yt_diff,lag.max=80)
> acf(yt_diff,lag.max=80)
> pacf(yt_diff,lag.max=80)
5. Estimasi model
- Hasil estimasi model
1) ARIMA(0,1,1)
> L2<-arima(yt,order=c(0,1,1))
> L2
Call:
arima(x = yt, order = c(0, 1, 1))
Coefficients:
ma1
-0.7293
s.e. 0.1005
sigma^2 estimated as 0.0006582: log likelihood = 176.9, aic = -349.81
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2) ARIMA(1,1,0)
> L1<-arima(yt,order=c(1,1,0))
> L1
Call:
arima(x = yt, order = c(1, 1, 0))
Coefficients:
ar1
-0.4238
s.e. 0.1105
sigma^2 estimated as 0.0007454: log likelihood = 172.27, aic = -
340.54
3) ARIMA(1,1,1)
> L3<-arima(yt,order=c(1,1,1))
> L3
Call:
arima(x = yt, order = c(1, 1, 1))
Coefficients:
ar1 ma1
0.2464 -0.8555
s.e. 0.1507 0.0795
sigma^2 estimated as 0.0006385: log likelihood = 178.03, aic = -
350.06
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6. Pemetiksaan diagnostik
- Uji white noise, dan uji distribusi normal
1) ARIMA(0,1,1)
> residual2<-resid(L2)
> Box.test(residual2,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual2
X-squared = 20.95, df = 20, p-value = 0.4001
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual2)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual2
W = 0.97621, p-value = 0.1413
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
2) ARIMA(1,1,0)
> residual1<-resid(L1)
> Box.test(residual1,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual1
X-squared = 22.187, df = 20, p-value = 0.3305
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Shapiro-Wilk normality test
data: residual1
W = 0.97933, p-value = 0.2216
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
3) ARIMA(1,1,1)
> residual3<-resid(L3)
> Box.test(residual3,lag=20,type="Ljung-Box")
Box-Ljung test
data: residual3
X-squared = 15.108, df = 20, p-value = 0.7702
RESIDUAL WHITE NOISE
> shapiro.test(residual3)
Shapiro-Wilk normality test
data: residual3
W = 0.96851, p-value = 0.0456
RESIDUAL MODEL BERDISTRIBUSI NORMAL
7. Peramalan dengan model ARIMA
- Peramalan dengan model ARIMA (1,1,1) untuk waktu 8 bulan ke depan:
> pred.data=predict(L3,n.ahead=8)
> pred.data.low=pred.data$pred-1.96*pred.data$se
> pred.data.up=pred.data$pred+1.96*pred.data$se
> pred.data
$pred
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Time Series:
Start = 81
End = 88
Frequency = 1
[1] 0.7755361 0.7747500 0.7745563 0.7745086 0.7744968 0.7744939
0.7744932
[8] 0.7744930
$se
Time Series:
Start = 81
End = 88
Frequency = 1
[1] 0.02526797 0.02712980 0.02780385 0.02827694 0.02870188
0.02911110 0.02951234
[8] 0.02990764
- Plot gambar 4.5.1
> data<-read.csv(file.choose(),header=T)
> plot.ts(data)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI