i numeri razionali - matemaga.files.wordpress.com filela scrittura ieratica, 4000 anni fa,...
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19 febbraio 2013
I numeri razionali:
le diverse scritture,
il significato e la rappresentazione
Fare esperienzadei numeri razionali
Il problema di spezzare l’intero
Tracce del problema sono state trovate in
documenti egizi risalenti al 1650 a. C.papiro di Ahmes, conosciuto anche come papiro di Rhind
Gli egiziani introdussero il concetto di unità
frazionaria:
1
4 I I I I
Scrittura dei numeri
Nel papiro di Ahmes si usa la scrittura ieratica ( sacra ) più adatta a scrivere con inchiostro su papiro, non il geroglifico
●
1 ‒
4
1 ●
8 ═
La scrittura ieratica, 4000 anni fa, rappresenta un contributo importante all’attuale sistema di numerazione posizionale
Gli egiziani operavano con le
frazioni unitarieTutte le altre frazioni si ricavavano come somma di frazioni
unitarie ma non nella combinazione non si ripetono mai due frazioni unitarie uguali.
Grande abilità, uso di tabelle di combinazioni
Esigenza di precisione perchè dovevano spartire cibo, terra, trovare le combinazione di ingredienti per produrre
birra o pane
5
1
5
1
5
2
15
1
3
1
5
2
L’attuale modo di scrivere le frazioni proviene dall’India
Brahamagupta (640 d.C.) e Bhashara (1114-1185 d.C) cominciarono ad usare il simbolo
2 per indicare 2
3 3
Gli arabi introdussero la linea, che però in un primo tempo - con l’invenzione della stampa - fu omessa
Frazioni decimali, scrittura decimale
• Rudolf nel 1530 fu il primo matematico che
usò le frazioni decimali.
• Stevino nel 1585 per indicare i numeri
decimali usò una notazione del tipo:
(0) (1) (2) (3)
2 7 3 5 8 per indicare 27, 358
Per eseguire
queste
divisioni
abbiamo
ancora bisogno
di carta e
matita…
ma possiamo
farci aiutare
dalla
tecnologia
Fare esperienza
dei numeri razionali
1,010
1
1,09
1
125,08
1
142857,07
1
61,06
1
2,05
1
25,04
1
3,03
1
5.02
1
473684210526315789,019
1
50,018
1
1176470588235294,017
1
0625,016
1
60,015
1
7142850,014
1
076923,013
1
308,012
1
09,011
1
Fare esperienza
dei numeri razionali
04,025
1
6041,024
1
1369565217390434782608,023
1
450,022
1
047619,021
1
05.020
1
Fare esperienza
dei numeri razionali
30,030
1
20689310344827586,029
1
571428503,028
1
037,027
1
3846150,026
1
Fare esperienza
dei numeri razionali
8936170425531914382978723444680851060212765957,047
1
03,033
1
03125,032
1
16129030322580645,031
1
Esperienza
• Dividere e così riscoprire l’importanza di
conoscere le tabelline
• Scrivere altre tabelline, oltre il 10
Abbiamo a disposizione un
elenco
di dati sui quali riflettere
Distinguiamo i diversi tipi di
numeri decimali che si generano
• Decimali finiti
• Periodici semplici
• Periodici misti
Possiamo sottolineare in colori diversi lavorando sulla tabella
che rappresenta il nostro strumento di lavoro
Frazioni equivalenti
decimali finiti-frazioni decimali
10
55.0
2
1
100
2525.0
4
1
1000
6250625.0
16
1
100
505.0
20
1
Frazioni che generano numeri
periodici semplici
..........09090909.011
1
.........0769230076923.013
1
...............176475882352941.017
1
....33333333.03
1
.........142857.07
1
......111111.09
1
.........05473684210526315789.019
1
Osserviamo le differenze tra le frazioni che
generano numeri periodici semplici
e numeri periodici misti
....33333333.03
1
......66666661.06
1
.........142857.07
1
......111111.09
1
..........09090909.011
1
...........33333308.012
1
.........0769230076923.013
1
.......71427142350.014
1
.......66666660.015
1
30,030
1
57142803,028
1
3846150,026
1
6041,024
1
450,022
1
50,018
1
60,015
1
7142850,014
1
308,012
1
61,06
1
Abbiamo scoperto che
tutto dipende dai fattori del
denominatore
Quali sono i fattori primi del denominatore?
• solo 2 vel 5 -- decimale finito
• (non 2) et (non 5) -- periodico semplice
• (2 vel 5) et almeno un altro numero -- periodico misto
Scriviamo un numero periodico in
forma polinomiale
Osservando che… deduciamo che…
990
124
10
31240,0
10
31243,1
99
151
99
152152,1
9
5
9
15
9
55,0
010,0990
1
10,090
1
001,0999
1
01,099
1
1,09
1
Trasformare
Deduciamo come trasformare un numero
periodico nella sua frazione generatrice
Arriviamo ragionando alla formula di
trasformazione
che generalmente si conosce a
memoria
osservazioneLa lunghezza del periodo di alcuni numeri
periodici semplici è legata al numero dei possibili resti della divisione
...............176475882352941.017
1
6 CIFRE.........142857.07
1
.........05473684210526315789.019
1
osservazione
CIFRE22
1369565217390434782608,023
1
CIFRE46
8936170425531914382978723444680851060212765957,047
1
Periodo
Questo garantisce che il
numero di cifre decimali che si
ottengono dalla divisione è
limitato, per questo si parla di
periodo
Per rappresentare le frazioni sulla retta
occorre scegliere una opportuna unità di
misura
Rafforzare il significato del concetto di
frazione
Lavorare con le frazioni equivalenti
Esercizio sulla rappresentazione di
frazioni ed il calcolo con i polinomi
• Senza fare uso dei quadretti
scegli in modo arbitrario due segmenti
lunghi a e b e disegna il rettangolo avente
altezza uguale 2 a + b/2,
base uguale a/2 + 5/4 b.
Calcola l’area del rettangolo e sul disegno
indica i monomi e le parti di area
corrispondenti.