hydrologie und flussgebietsmanagement¤sentationen/vo101... · ln 1 ⎟ ⇒ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛...
TRANSCRIPT
13.11.2010
1
Hydrologie und Flussgebietsmanagement
o.Univ.Prof. DI Dr. H.P. Nachtnebel
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologie und konstruktiver Wasserbau
Extremwertstatistik Seite 2
Wiederholung Statistische Grundlagen
Definitionen der statistischen Grundlagen• Grundgesamtheit / Stichprobe / Wahrscheinlichkeit• Absolute / relative Häufigkeit• Histogramm / Dichte- / Verteilungsfunktion• Summenlinie / Dauerlinie
Verteilungen• Parameter zur
Beschreibung• Normalverteilung• Standardisierung
Begriffe• Jährlichkeit • Wiederkehrintervall
Empirische Verteilung Theoretische Verteilung
Stichprobe, endlich Grundgesamtheit, unendlich
Häufigkeitsverteilung (Histogramm) Dichtefunktion f(x)
Summenhäufigkeit Verteilungsfunktion F(x)
Relative Häufigkeit Wahrscheinlichkeit
Empirische Wahrscheinlichkeiten = Häufigkeiten
Mittelwert … x Mittelwert … μ
Standardabweichung … s Standardabweichung … δ
13.11.2010
2
Extremwertstatistik Seite 3
Generelle Vorgangsweise bei Extremwertanalyse
Auswahl der StichprobeAuswahl einer VerteilungAnpassung der Verteilung an StichprobeErmittlung von Schätzwerten (Bemessungsgrößen)Schätzung der Unsicherheit der Aussage
Extremwertstatistik Seite 4
Was ist ein Extremwert / QT
ExtremwertEtwas, das selten auftritt
• Hochwasser• Niederwasser• Lange niederschlagsfreie Perioden• Hagel, Schnee (saisonales Auftreten)
Ermittlung von QT (Bemessungsgröße)• Quantil QT ist gesuchtes Extremereignis mit
Wiederkehrintervall T bzw. Wahrscheinlichkeit 1/T• Ermittlung:
1. Berechnung 2. Grafisch
13.11.2010
3
Beispiele
Wiederkehrinterval T= 100 Jahre bedeutet, dass ein Ereignis im Durchschnitt (Mittel) alle hundert Jahre einmal auftrittDie Auftrittswahrscheinlichkeit WA für ein Jahr ist daher 1/T = 0.01
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein HQ100 in hundert Jahren ?
Extremwertstatistik Seite 5
Beispiele
Wiederkehrinterval T= 100 Jahre bedeutet, dass ein Ereignis im Durchschnitt (Mittel) alle hundert Jahre einmal auftrittDie Auftrittswahrscheinlichkeit WA für ein Jahr ist daher 1/T = 0.01
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für ein HQ100 in hundert Jahren ?
WA,1=1/100, WN,1=1-1/100WN,2=WN,1*WN,1= (1-1/100)*(1-1/100)WN,100=WN,1
100 =(1-1/100)100
WA,100=1-WN,100 = 1-(1-1/100)100= 63,4 %
Für derartige Fragen Anwendung des Binomialsatzes!!
Extremwertstatistik Seite 6
13.11.2010
4
Extremwertstatistik Seite 7
Jahresreihe
Der größte Wert eines Jahres wird ausgewählt
Extremwertstatistik Seite 8
Partielle Reihe
Alle Werte über einem Schwellenwert werden ausgewähltwobei auf Unabhängigkeit zu achten ist
z.B. 1991 zeitlicher Abstand und Minimum dazwischen
13.11.2010
5
Extremwertstatistik Seite 9
Hinweise
Frage: wo liegt Schwellenwert?
Faustformel: 3x soviel Werte als Beobachtungsjahre in der Stichprobe
Wann wählt man Jahresreihe oder partielle Reihe ?
Bei kurzen Beobachtungsreihen partielle ReiheBei saisonaler Auswertung auch
Vergleich Jahresreihe mit partieller Reihe
Extremwertstatistik Seite 10
13.11.2010
6
Extremwertstatistik Seite 11
Auswahl einer Verteilung
Log-NormalverteilungGumbelverteilungLog-GumbelverteilungPearson III-VerteilungLog-Pearson III VerteilungWeibull VerteilungWakeby VerteilungGamma Verteilung….
Extremwertstatistik Seite 12
Quantil und Verteilung
Zusammenhang zwischen Q und P(Q>QT)
• F(Q) ist gewählte Verteilungsfunktion• f(Q) ist die Dichtefunktion
f(Q)
Q
Q0
1F(Q)
13.11.2010
7
Extremwertstatistik Seite 13
Gumbelverteilung• Gewählte Verteilungsfunktion: Gumbel
2parametrig (Schätzung)Doppelt exponentiellLinksseitig mit 0 begrenzt, rechtsseitig unbegrenzt
Geradengleichung bei 2x logarithmieren der Gumbelverteilung
narithmiereT
exF cTxa
eT log11)( ⇒−==
+−
−
)1(*log11ln −⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−
+−
narithmiereT
e cxa T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
+−Tc
xa T 11lnlnTx
cca
=+⇒1
Grafische Ermittlung von QT
Beachten:2 gleiche WertePartielle ReihenPlotting Positions
Korrektur mittels Weibull
Extremwertstatistik Seite 14
Jahr Qmax Rang T Weib.1950 342 6 1,7 1,81951 415 4 2,5 2,81952 199 10 1 1,11953 278 8 1,3 1,41954 512 2 5 5,51955 333 7 1,4 1,61956 395 5 2 2,21957 607 1 10 111958 212 9 1,1 1,21959 437 3 3,3 3,7
Festlegung der Jährlichkeit T (Wiederkehrintervall)
13.11.2010
8
Extremwertstatistik Seite 15
Grafische Ermittlung von QT
Wahrscheinlichkeitspapier für Gumbel-Verteilung
0
20
40
60
80
100
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
reduzierte Variable yT
X
1.001 1.01 1.1 1.2 31.5 2 4 5 10 25 50 100 200 300 400 500 1000Wiederkehrintervall
0.1 1 50 75 80 90 96 98 99 99.8 99.9Unterschreitungswahrscheinlichkeit [%]
Mod
us
Mitt
el
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
925
??Q(m3/s)
Extremwertstatistik Seite 16
Allgemeine Aussagen
1. T soll nicht größer sein als die 3-fache Beobachtungsdauer
2. Erwartungswert und Unsicherheit angeben
13.11.2010
9
Extremwertstatistik Seite 17
Rechnerische Ermittlung von QT bzw. xT
Schätzwerte
• Parameter a (Maßstabsparameter)c (Lageparameter)
• Hydrologische Grundgleichung
• Entsprechung bei NV
TexF c
Txa
eT
11)( −==+−
−
xsc
6π
=
cxa *5772,0−=
xT sTuxx *)(+=
xT sTKxx *)(+=
Extremwertstatistik Seite 18
Rechnerische Ermittlung von QT
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−=
1lnln
TT
yT
yT sTKyy *)(+=
sm /³9283,128*323,4373
=+=
=+= xsTKxx *)(100
Häufigkeitsfaktor KT
n Wiederholungszeitspanne in Jahren T
1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100
5101520253035404550556065707580859095100
-1.963-1.677-1.578-1.525-1.492-1.468-1.451-1.438-1.427-1.418-1.41-1.404-1.398-1.394-1.389-1.386-1.382-1.379-1.376-1.374
-1.631-1.4-1.32-1.277-1.251-1.232-1.218-1.207-1.198-1.191-1.185-1.18-1.176-1.172-1.168-1.165-1.162-1.16-1.158-1.155
-1.179-1.023-0.969-0.94-0.922-0.91-0.901-0.893-0.887-0.883-0.879-0.875-0.872-0.869-0.867-0.865-0.863-0.862-0.86-0.859
-0.116-0.136-0.143-0.148-0.151-0.153-0.154-0.155-0.156-0.157-0.157-0.158-0.158-0.159-0.159-0.159-0.16-0.16-0.16-0.16
1.3131.0580.9670.9190.8880.8660.850.8380.8280.820.8130.8070.8020.7970.7930.790.7870.7840.7810.779
2.261.8481.7031.6251.5751.5411.5151.4951.4791.4661.4551.4461.4381.431.4241.4191.4131.4091.4051.401
3.1682.6062.4082.3022.2352.1882.1532.1262.1042.0862.0712.0592.0472.0382.0292.0212.0152.0082.0031.998
4.3433.5873.3213.1793.0893.0262.9792.9432.9132.8892.8692.8522.8372.8242.8122.8022.7932.7842.7772.77
5.2244.3234.0053.8363.7283.6533.5983.5543.5193.4913.4673.4463.4283.4133.3993.3873.3763.3663.3573.349
13.11.2010
10
Extremwertstatistik Seite 19
Bemessungswert und Schätzfehler
Annahme: die Messungen sind perfektaber man weiß nicht die Jährlichkeit der Beobachtungen
Annahme: das Modell ist korrektSchätzfehler: nimmt ab mit Beobachtungslänge
nimmt zu mit Extrapolation T
(aus Yevjevich, 1973)
Extremwertstatistik Seite 20
Berücksichtigung des Schätzfehlers
Annahme: die Messungen sind perfektaber man weiß nicht die Jährlichkeit der Beobachtungen
Annahme: das Modell ist korrektSchätzfehler: nimmt ab mit Beobachtungslänge
nimmt zu mit Extrapolation Tist NV verteilt
nsuxsux x
TTTT δαα *)(*)( ±=±
2*1,1*14,11 TTT KK ++=δ
KT, δT und u(α) aus Tabellen
smsm /³409/³92810/3,128146,5960,1928 ±=⋅⋅±
146,5323,4*1,1323,4*14,11 2 =++=Tδ
u(α)
n Wiederholungszeitspanne in Jahren
1.053 1.111 1.25 2 5 10 20 50 100
5101520253035404550556065707580859095100
1.7321.4771.3931.3491.3221.3031.2891.2791.271.2631.2571.2521.2481.2441.2411.2381.2351.2331.2311.229
1.4381.2491.1881.1571.1381.1251.1151.1081.1021.0971.0931.0891.0861.0841.0821.081.0781.0761.0751.073
1.0890.9920.9640.9490.9410.9350.930.9270.9250.9230.9210.9190.9180.9170.9160.9150.9140.9140.9130.912
0.9390.930.9270.9250.9240.9230.9220.9220.9210.9210.9210.9210.920.920.920.920.920.920.920.92
2.0961.8541.771.7251.6971.6771.6631.6511.6421.6351.6291.6241.6191.6151.6111.6081.6051.6031.6011.599
3.0322.622.4762.3992.3512.3172.2922.2722.2572.2442.2332.2242.2162.2092.2032.1982.1932.1882.1842.181
3.9563.3833.1813.0753.0072.962.9252.8972.8762.8582.8432.832.8192.8092.82.7932.7862.782.7742.769
5.1674.3874.1133.9673.8753.813.7623.7253.6953.6713.653.6333.6173.6043.5923.5823.5723.5643.5563.549
6.085.1464.8174.6434.5324.4554.3974.3534.3174.2874.2634.2424.2234.2074.1934.1814.1694.1594.154.141
Tabelle δT
13.11.2010
11
Extremwertstatistik Seite 21
δT – Wert / Red. Zufallsvariable der Gumbel VT
δT - Wert der Gumbel-Verteilung in Abhängigkeit von Jährlichkeit und Stichprobenumfang
Reduzierte Zufallsvariable yT = -ln ln (TR/TR-1) als Funktion des Wiederkehrintervalls(Gumbelverteilung)
Extremwertstatistik Seite 22
Schätzwert und Schätzfehler
http://www.uni-konstanz.de
Abflussgeschehen MaximaBad SchallerbachWiederkehrintervall (Jahre) 2 5 10 25 50 100
Verteilung
Gumbel 23,46 43,74 57,44 74,57 87,19 99,81
Vertrauensbereich +/- 4,32 7,85 11,20 14,90 18,45 21,62
Log Pearson III 20,87 35,95 48,95 64,14 87,56 108,90
HQ m³/s
(Nachtnebel und Vollhofer, 1980)
13.11.2010
12
Vergleich verschiedener Verteilungen
Extremwertstatistik Seite 23
HQ Statistik Ill - VandansJährliche Reihe
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
50048.8 68.8 88.8 108.8 128.8 148.8 168.8 188.8 208.8 228.8 248.8 268.8 288.8 308.8 328.8
Q sortiert nach WEIBULLP III95% Konfidenzintervall P IIIGumbel95% Konfidenzintervall GumbelLP III95% Konfidenzintervall LP IIIAEV95% Konfidenzintervall AEV
500200100503010521.51.05 T0.9980.9950.990.980.9660.90.80.50.330.05 Pu
HQ[m³/s]
3000.997
(((Nachtnebel und Stanzel, 2007)
Ausreisser ?
Extremwertstatistik Seite 24
HQ Statistik Lutz - GarsellaJährliche Reihe
0
40
80
120
160
200
240
2808.6 28.6 48.6 68.6 88.6 108.6 128.6 148.6 168.6 188.6
Q sortiert nach WEIBULLP III95% Konfidenzintervall P IIIGumbel95% Konfidenzintervall GumbelLP III95% Konfidenzintervall LP IIIAEV95% Konfidenzintervall AEVUG AEV
500200100503010521.51.05 T0.9980.9950.990.980.9660.90.80.50.330.05 Pu
HQ[m³/s]
3000.997
(((Nachtnebel und Stanzel, 2007)
13.11.2010
13
Extremwertstatistik Seite 25
Verteilungen Übersicht 1
Normalverteilung• 2-parametrig• Symmetrisch• Beidseitig unbegrenzt
Gumbel-Verteilung• 2parametrig• Doppelt exponentiell• Asymmetrisch mit fester Schiefe
• Parameter a – Lageparameter, Modalwert
• Parameter c - Maßstabsparameter• Rechtsseitig unbegrenzt
JahresniederschlagJahrestemperatur
1396,1=sc
cxa
eexF+
−−=)(
cxa *5772,0−=
xsc 28255,1=
Extremwerte:HochwasserNiederwasserStarkregen
Extremwertstatistik Seite 26
Verteilungen Übersicht 2
Weibull-Verteilung• Sonderfall der Kritsky-Menkel
Verteilung• 3-parametrig• Asymmetrisch ohne fester Schiefe• Rechtsseitig unbegrenzt
Extremereignisse
Welche Verteilung ist nun die beste zur Berechnung eines Hochwasserereignisses?
• Keine eindeutige Aussage – aber Empfehlung:GumbelWeibullPearsonGammaVerteilung
13.11.2010
14
Extremwertstatistik Seite 27
Ergebnisinterpretation
Verschiedene Verteilungen – verschiedene Ergebnisse
x
f(x)
IMMER:Angabe des Ergebnisses mit • Erwartungswert• und Konfidenzintervall
• 2parametrig vs. 3parametrig
• Auswirkung der Verteilungswahl auf Kriterium:
Gumbel liefert für kleine Jährlichkeiten höhere WertePearson liefert dies für große Jährlichkeiten
2parametrig
3parametrig
Extremwertstatistik Seite 28
Niederwasserstatistik
Anwendung:• Wasserentnahme• Einleitung in Vorfluter – Beispiel: thermische Belastung
T
α
• KEIN negativer Abfluss
• Für Österreich:Log PearsonLog Gumbel
xT sgTKxx *),(+=
13.11.2010
15
Extremwertstatistik Seite 29
Zusammenfassung Extremwertstatistik
Jahresreihe vs. partielle ReiheGrafische und rechnerische Ermittlung eines Extremereignisses
Grafisch – WahrscheinlichkeitspapierRechnerisch
Hydrologische GrundgleichungAngabe des Ergebnisses mit
Erwartungswertund Konfidenzintervall
Überblick über VerteilungenAnwendung der Verteilungen