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上海 HPM 通讯

SHANGHAI HPM NEWSLETTER 2012 年第 1 卷第 5 期

D. E. Smith（1860-1944）

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《上海 HPM 通讯》第 1 卷第 5 期编委会名单

主编：汪晓勤

副主编：彭 刚 邹佳晨

编委（按姓氏字母序）：

高渊露 胡晓娟 黄友初 黄 婷 刘 攀 柳 笛 陆琳琰 彭 刚 蒲淑萍

沈春辉 汪晓勤 王 芳 王 科 王莹颖 吴 骏 吴晨昊 谢正敏 姚 瑾

张小明 赵东霞 邹佳晨

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目 录

卷首语 .................................................................................................................. 4

思想交流

寻找历史与教学的最佳融合 ................................................................... 蒲淑萍 5

实证研究

初中生对符号代数的理解：历史相似性初探 ........................................ 张连芳 12

数学文化

浪漫-数学-往事 ......................................................................................LIU PAN 18

文献研究

古巴比伦的数学遗产 ............................................................................. 汪晓勤 27

时空隧道

课堂中的若干数学文化案例 .................................................................. 汪晓勤 51

三角形内角和定理：从历史到课堂 ....................................................... 汪晓勤 58

教学实践

HPM 视角下的“导数应用”教学 ................................................... 王芳 汪晓勤 65

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卷首语

夏日炎炎，却未能摆脱三尺讲台。讲学、授课之余，未忘《上海 HPM 通讯》的编辑工

作。这是一份责任、一项工作、一种鞭策。

在“思想交流”栏目，刚刚参加过韩国 HPM-2012 的蒲淑萍老师为我们带来了这次学

术盛会的信息。在国际舞台上，HPM 学术共同体日益扩大，HPM 研究方兴未艾。HPM 学

者们的不懈追求催人奋进。

在“实证研究”栏目，张连芳老师为我们带来了她的关于符号代数历史相似性的研究。

历史相似性乃是 HPM 领域重要的研究方向之一，历史相似性的存在与否为我们的课堂教学

提供了重要参考。希望张老师的研究可以起到抛砖引玉的作用。

在“数学文化”栏目，刘攀老师以多彩、生动的笔调为我们演绎了 Ramsey 理论的浪漫

故事。作者热爱数学，作者笔下的数学家们迷恋于数学，数学的美丽、数学的魅力浸透在字

里行间！

在“文献研究”栏目，我们安排了一篇古代两河流域数学史的讲座，对富有教育价值

的古巴比伦数学成就作了总结。

在“时空隧道”栏目，我们展示了可以运用于课堂上的若干数学文化案例，并对三角

形内角和定理的历史和教学进行了链接。

最后，在“教学实践”栏目，我们展示了一个 HPM 最新案例——“导数的应用”。该

案例将 17 世纪数学家开普勒、费马的思想无声地运用于教学中，展现了数学史在数学教学

中的不可替代的价值。

感谢各位辛勤的作者，也感谢关心、支持本刊的所有朋友们，祝福你们！

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寻找历史与教学的最佳融合

——国际 HPM 2012 会议纪实

蒲淑萍 1,, 2

（1. 淄博师专, 山东淄博, 255100；2. 华东师范大学, 上海, 200241）

HPM 2012 是第 12 届国际数学教育大会 ICME-12 (International Congress on Mathematics

Education）的卫星会议，也是 HPM 组织举行的第八个四年一度的会议。会议于 2012 年 7

月 16-20 日在韩国大田国际会展中心（DCC（Daejoen Convention Center）, Daejoen Korea）

召开。会议由韩国数学教育协会 KSME（Korean Society of Mathematics Education）和韩国数

学史协会 KSHM（Korean Society for History of Mathematics）共同承办，其官方语言是英语

与韩语。

HPM 是关于数学史与数学教学关系的国际研究组织(International group for the Relations

Between the History and Pedagogy of Mathematics)的简称。连同其他五个与数学教育有关的国

际组织：国际数学教育心理学组织 PME(International group for the Psychology of Mathematics

Education)、数学建模与应用的国际教师团体 ICTMA(International Community of Teachers of

Mathematics Modeling and Applications)、女性与数学教育的国际组织 IOWME(International

Organization of Women and Mathematics Education)、数学创造力及资优教育国际组织

MCG(International group for Mathematical Creativity and Giftedness)、国家数学竞赛世界联盟

WFNMC(World Fedration of National Mathematics Competitions)一起，同是国际数学教育委员

会 ICMI（International Commission on Mathematical Instrction）的附属组织（ICMI, 2012）。

1972 年 HPM 组织于英国埃克塞特召开的第二届国际数学教育大会 ICME-2 上创立，并于

1976 年在德国卡尔斯鲁厄召开的第三届国际数学教育大会 ICME-3 上，与 PME 一起成为

ICMI 的附属组织。

HPM 2012 的口号及主题有两项：庆祝 HPM 组织成立 40 周年；聚焦东亚数学。主要议

题包括 7 项：1)将数学史融入数学教育的理论和（或）概念框架（Theoretical and/or conceptual

frameworks for integrating history in mathematics education）；2）历史与认识论在数学教育中

的实施：课堂实验及教学素材（History and epistemology implemented in mathematics education:

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classroom experiments & teaching materials）；3）课堂中的原始文献及其教育效果（Original

sources in the classroom, and their educational effects）；4）数学及与科学、技术和艺术的关系：

数学史问题及其教育启示（Mathematics and its relation to science, technology and the arts:

historical issues and educational implications）；5）文化与数学（Cultures and mathematics）；6）

数学教育史专题（Topics in the history of mathematics education）；7）东亚数学（Mathematics

from Eastern Asia）。

HPM 2012 开幕式于韩国当地时间 7 月 16 日上午 9 点开始。会议由本届会议组委会副

主席、韩国建国大学（Konkuk University）的 Sangki Choi 教授主持，国际 HPM 组织主席、

法国南特大学（University of Nantes）的 Evelyne Barbin 教授及 HPM 2012 组委会主席、韩国

崇实大学（Soongsil University）的 Sunwook Hwang 教授分别致欢迎词。其后，由韩国国立

大学研究生院音乐系的 Seo-eun Wang 和她的同伴表演了韩国传统音乐后，HPM 2012 的学术

盛宴正式开始。

1 大会报告

第一场大会报告的题目是：在高中课堂中使用数学史：来自台湾的经验。报告由香港中

文大学萧文强教授主持。报告者是台湾台南一中的林仓亿老师。他从 HPM 在台湾的发展开

始，介绍在台湾师范大学洪万生教授带领下开展的研究项目及台湾高中数学教师在数学课堂

教学中使用数学史的经验。可以看到，从 1996 年洪万生教授接受承办“HPM 2000”台北会

议的任务及为促进 HPM 在台湾的发展而随之发行的《HPM 台北通讯》开始，HPM 研究领

域及其影响已经在台湾取得了长足的进展：从 2001 年至 2011 年有 1 篇博士学位论文和 32

篇硕士学位论文以 HPM 为研究主题，而在 2000 前以前，此类论文仅有 2 篇。台湾 HPM 的

发展与洪万生教授领衔的 HPM 研究课题有着直接的关系：如，古代数学文本在课堂中的使

用；论 HPM 视角的教师专业发展，等。洪教授的团队成员大多为中学教师，因此研究由实

践经验和实际应用组成。报告中林仓亿介绍了苏意雯、苏俊宏和他本人开展 HPM 研究的主

要成果，使得人们对台湾 HPM 教学研究状况有了大致的了解。本报告属主题 2：历史与认

识论在数学教育中的实施：课堂实验及教学素材。

此外还有 6 场大会报告分属其它 6 个研究主题。

来自美国科罗拉多大学数理系的 Janet Barnett介绍了课堂教学中使用数学史原始文献的

个人经验，包括面临的挑战和收获等，该报告属主题 3；来自丹麦罗斯基勒大学(Roskilde

University)的 Tinne Hoff Kjeldsen 的报告题目为“为数学及数学学习而使用数学史：融历史

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于教育的理论框架”，主要针对两个问题：怎样融数学史于数学教学更有利于学生的学习；

怎样使用数学史元素帮助学生的数学学习，发展学生的历史意识。该报告呈现了一个分析、

评价和引导教学设计与实施的理论框架，并用两个具体例子介绍了该理论框架的使用。

（ICMI, 2012）Kjeldsen 的报告属于会议主题 1。该报告具有理论性与方向性的指引作用，

引起与会者的极大关注。

分属主题 4 的大会报告是来自法国留尼汪大学（University of La Reunion）的 Dominique

Tournè，她介绍法国“19 世纪工程师的数学：方法与工具”．她的报告从“不同的数学实践”

“不断增长的计算需要”“数学由工程师创造的一个例子：列线图解法（nomography）”“作

为新理论发展资源的工程数学”五个方面阐述，揭示 19 世纪专业工程师团体自身的结构及

对数学文化的深刻影响．

分属主题 5 的大会报告是法国巴黎狄德罗大学（University PARIS Denis Diderot）的 Anne

Michel-Pajus 的“进入人文数学宇宙的航程（A Voyage Into The Literary Mathematical

Universe”。该报告从现代视角勾勒了西方数学和文学的共同历史，在数学进步的过程中，

应评价文学的进程以及文学艺术如何增加探索、理解和记忆数学概念的动力。该报告用“剧

作”的形式展开，其新颖的报告形式及内容的全新视角引起与会者的广泛兴趣与阵阵掌声。

分属主题 6 的大会报告是瑞典学者 Johan Prytz 的“数学教育中的社会结构：以教育社会学

的理论与方法研究数学教育史”。最后一场大会报告是韩国西江大学（Sogang University）的

Sung Sa HONG 教授所作的“朝鲜数学史中的方程理论”，该报告属于本届会议主题 7：东亚

数学。

各主题除大会报告外，各有数篇来自不同国家 HPM 研究者的常规报告。另外，会议还

安排了数学教材展览及为数不少的海报展示、工作坊展示及大会讨论，内容亦丰富多彩。尤

以着意安排的两场大会讨论及工作坊展示最为引发与会者的关注、相关讨论与思考。

2 大会讨论

大会讨论共设两场，讨论主题分别是：主题 1“为什么职前数学教师需要‘数学史’课

程（这样的一门课程应该是什么样的）？”由土耳其、韩国、美国和法国的四位学者分别发

言，主持人美国佛罗里达州立大学的 Kathleen Clark 教授就讨论主题给参与讨论者分发了一

份问卷，包括四个问题：1）确认数学史课程的 1 或 2 个有价值的方面（无论你以前教过还

是学过这样一门课程）；2）实施数学史课程可能会遇到的 1-2 个障碍，并阐述可解决此类障

碍的方法；3）描述数学史课程对职前教师的益处（基于实际经验或你的认识）；4）对于这

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样一门课程潜在的内容与教学，所需的工作案例是什么？

主题 2“关于HPM的实证研究：当前和未来面临的挑战”，由丹麦罗斯基勒大学的Uffe

Thomas Jankvist主持。发言者分别为Uffe Thomas Jankvist，日本的Isoda Masanmi，美国的

David Pengelley及台湾的苏意雯。Uffe Thomas Jankvist作为主持人首先介绍HPM领域开展实

证研究的必要性：ICME或者PME等的许多与会者都将或已经是数学教师、课程设计者或教

材编写者，因此引发他们对数学教学中历史维度重要性的关注是非常必要的。实证研究是达

成此目的一种方式。而Jankvist本人于 2012 年所做的一项调查研究表明：迄今为止HPM领域

的实证研究却很少（ICMI, 2012）（只有 100 项左右 *）。其后，日本的Masami Isoda介绍了日

本课例研究（Lesson Studies）中的HPM成分以及在开展HPM研究中技术的使用；美国的David

Pengelley就数学史原始文献及其补充、改变和保留，发表了自身的见解；台湾的苏意雯就

HPM与教师培训之间关系阐述实践经验及认识；而Uffe Thomas Jankvist本人则就HPM领域

的数学教育研究框架与理论建构给出一些思考与建议。

在讨论环节，讨论组给所有与会者提出 5 个方面的问题，对与 HPM 实证研究相关的问

题，从不同侧面引起各国学者的讨论与思考。这五个问题是：1）支撑教师致力于将数学史

融入数学教学的合理的、实际可行的方式是什么？2）注入历史元素后，数学教师是失去了

时间，还是赢得了时间？当数学史在数学教育中的价值濒临危境（遭受质疑）时，主要的或

关键的因素是什么？应讨论谁的影响？3）以不同的方式融入数学史（原始数学史资源，历

史剧，基于历史的学习任务或者历史上的工具，等等）就学生的学习结果来说，其相同与不

同之处分别是什么？4）就学生的评估与评价而言，使用数学史的效果是怎样的？5）在数学

教育中介绍数学史维度的有效性怎样让不同目标群体（其他研究者，数学教师，课程开发者，

教材编写者等等）以信服的方式加以检验？

两个大会讨论的讨论环节，首先请与会者按照座位就近原则组成 3-5 人的讨论小组，随

后邀请部分志愿小组发言，最后汇集所有回答。会场气氛热烈，达到了“交流、讨论、思考”

的目的。

3 工作坊展示

HPM 2012 分别就主题 2 和 3 给出了工作坊展示。共有 7 场展示，其中涉及主题 2 的有

4 场：第一场报告是由科罗拉多州立大学的 Janet Heine Barnett 和新墨西哥州立大学的 Jerry

Lodder 和 David Pengelley 的研究。通过分析学生的研究项目：欧几里得最大公约数的运算

* 信息来自“大会讨论”中 Jankvist 给出的信息

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法则，让学生将数学史原始文献转化成现代数学公式，并验证其正确性，讨论了将原始文献

直接用于教学，怎样达到特定的教学目标；第二场是法国巴黎的 Renaud Chorlay 的报告，主

题是“证明的旅程：如果 f'为正数，则 f是一个递增函数”；第三场由法国勃艮第大学（University

of Burgundy）的 Frederic Metin 就“英语作为外语的数学教学中的文化路径和数学史原始文

献的使用”作了探讨；第四场由英格兰巴斯温泉大学（Bath Spa University）的 Peter Ransom

给出。该工作坊展示了在过去四年时间里一群 12-14 岁的学生的学习成果。工作坊通过开展

若干数学史相关主题的研究，向学生强调一个事实，即数学是一个综合学科，学生应明确各

主题之间的相互联系。

涉及主题 3 的工作坊展示有三场。第一场是由挪威的奥斯陆和阿克斯胡斯大学应用科学

学院（Oslo and Akershus University College of Applied Sciences）的 Bjφrn Smestad 给出的“向

职前教师教授数学史的例子”，介绍他通过连续两年为职前教师开设的数学史课程，开发的

教学案例；第二场是香港中文大学萧文强教授和陈业祥老师的工作坊展示，介绍了“英国传

教士眼里的中国算术和中国数学家眼里的计算：伟烈亚力与李善兰的合作”的诸多发现与思

考；法国高中新课程突出算法的重要性，并明确要求在课堂上教学基本的、多样化的算法。

在第三场工作坊展示中，巴黎狄德罗大学（University PARIS Denis Diderot）的 Anne

Michel-Pajus 介绍了他们利用古代算法开展教学与教师培训的做法。展示中他们给出了具体

的例子和评论。

4 东亚数学及 HPM 研究状况

分别由中国、日本、韩国代表发言，介绍三个国家各自的现状。我国的情况介绍有中国

数学史学会理事长、西北大学的曲安京教授介绍。曲教授从我国数学史研究及数学教育中的

数学史研究两个方面介绍我国的基本情况。

除笔者外，另外与会的我国代表有：中国社会科学研究院郭书春研究员、辽宁师大王青

建教授、西北大学曲安京教授、陈镒文老师及北师大珠海分校的大二学生孙于婉君等。港、

澳、台地区的与会代表有：香港中文大学的萧文强教授夫妇、陈业祥老师，香港教育学院的

郑振初教授、香港特区政府教育局的邓美愉主任、澳门大学的孙旭花老师；台北市立教育大

学的苏意雯老师、台北台南一中的林仓亿老师。各位华人与会者分别就课堂实践中的数学史

融入、教材中的数学史、数学史料的发掘与阐释等多个层面开展 HPM 研究，为世界 HPM

研究领域东亚地区的研究状况给出了从面到点的描绘，使得与会者对东亚数学史及 HPM 研

究有了基本的认识与了解。

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5 会议其他相关信息

本届会议进行了国际HPM组织主席的换届，法国南特大学的Evelyne Barbin†教授，圆满

完成了 2008-2012 年期间HPM组织的主席任职，并在本届会议上将主席一职顺利移交加拿大

劳伦森大学教育科学学院的Luis Radford教授。Luis Radford教授获得了数学教育界 2011 年

度的弗赖登塔尔奖章（Hans Freudenthal Medal for 2011），并于刚结束的ICME-12 的开幕式

上被正式授予奖章与证书。他的研究兴趣包括数学教与学思维的理论和实践两个方面。他目

前的研究受Lev Vygotsky（1896-1934）关于文化-历史的思想以及Evald Ilyenkov（1924-1979）

的 认 识 论 思 想 学 派 影 响 ， 同 时 受 Emmanuel Levinas （ 1906-1995 ） 和 Mikhail

Bakhtin(1895-1975)的概念框架影响，引向一种非功利的以及非工具主义的课堂教学与教育

观念 ‡。Radford教授也是著名数学教育期刊“数学学习（For the learning of mathematics）”

的编辑。

自 2008 年起，国际HPM组织委员会决定每两年组织一次国际会议：HPM卫星会议以及

ESU大会，即数学教育的历史与认识论的欧洲暑期学校（European Summer University on

History and Epistemology in Mathematics Education）§。下一届国际HPM会议，即“ESU 7 Spain”

将于 2014 年西班牙的巴塞罗那举行。而继 2016 年德国第 13 届国际数学教育大会ICME-13

之后的HPM 2016 将于德国周边地区举行。

6 结语—HPM 2012 的启示

HPM 2012 已经结束了，但带给我们的思考与促动却还在继续。总结 HPM 2012，我们

至少可以在以下三个方面受到启发：

其一是关于如何为职前教师开设数学史课程的问题，不仅为增加职前教师的数学史

（HM，即 History of Mathematics）知识而开设，同时也应考量其将来的职业定位，在课程

中渗透将数学史融入数学教学（HPM）的成分，如何融历史于数学教学，如何从历史视角

设计教学等已成为世界各国师范院校或者以培养未来教师为目标的课程制定者与实施者普

遍予以重视的方面；

其二是关于数学史融入数学教学的视角对于数学教师专业发展的作用，应予以充分的重

视。比之逻辑的和心理的知识对于数学教师专业发展的重要性，数学史能从数学内部增强教

† 关于 Evelyne Barbin 教授更多的信息，可参看 http://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89velyne_Barbin

‡ 关于 Luis Radford 教授更多的信息，可参看 http://en.wikipedia.org/wiki/Luis_Radford

§ 信息来自 HPM 2012 之 Evelyne Barbin 所作报告．

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师的学科及科学素养，对教师的专业成长也是不可或缺的重要方面；

其三是有关数学史融入数学教学的实证研究，建构 HPM 研究的理论框架。前者能使

HPM 研究领域更加契合实践教学，更好地为教学服务，后者则能使为 HPM 研究提供实证

研究的方法论，使我们对 HPM 研究的认识与思考更加深刻。这需要更多的一线教师和研究

人员投入其中。

参考文献

[1] ICMI, 2012. Final Programme of The 12th International Congress on Mathematics Education.

310

[2] Kjeldsen, T. H., 2012. Uses of history for the learning of and about mathematics: towards a

theoretical framework for integrating history of mathematics in mathematics education. In

Proceding Book1 of HPM 2012.1-22

[3] Jankvist U T., 2009. On empirical research in the field of using history in mathematics

education. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa (RELIME),

12 (1): 67-101.

12

初中生对符号代数的理解：历史相似性初探 *

张连芳

（上海市中国中学, 上海, 200031）

关于历史相似性的研究对数学教育具有重要意义。如果某一概念的历史相似性得到检

验，那么，我们可以参照历史来预测学生的认知障碍，从而有针对性地制订相关教学策略，

最有效地让学生跨越学习障碍。因此，关于历史相似性的实证研究是 HPM 领域的重要工作

之一。

Harper (1987) 曾利用丢番图《算术》中的问题，对英国两所文法学校的 1-6 年级各选

12 名学生（共 144 人）进行测试，发现学生对符号代数的认知发展过程与符号代数的历史

发展过程具有相似性。四分之一世纪后的今天，这样的相似性是否仍然存在？作为对初中生

代数符号理解的研究的一部分，我们试图通过对初中生的测试来回答这个问题。

1 历史分析

19 世纪德国数学史家内塞尔曼（G. H. Nezzelmann）在《希腊代数》（1842）中将代数

学的发展过程分成三个阶段：修辞代数（rhetorical algebra）、缩略代数（syncopated algebra）

和符号代数（symbolic algebra）。

在修辞代数阶段，人们只用文字来表达问题的求解过程，并不用任何字母符号来表示

未知数或一类数。古代两河流域、中世纪阿拉伯的代数学均属于修辞代数。阿拉伯数学家将

未知数称为“物”。

公元 3 世纪，被誉为古希腊代数学鼻祖的丢番图（Diophantus）在其《算术》中首次用

字母“ς”来表示未知数，但未能用字母表示已知数。丢番图成为缩略代数最早的作者。

16 世纪法国数学家韦达（F. Viète, 1540～1603）在《分析引论》（1591）中使用字母来

表示未知数以及已知数。韦达写道：“本书将辅以某种技巧，通过符号来区分未知量和已知

量：用 A 或其他元音字母 I，O，V，Y 等来表示所求量，用 B，G，D 或其他辅音字母来表

示已知量，始终如一，一目了然。”（Viète, 1646）韦达将这种新的代数称为“类的算术”，

以别于旧的“数的算术”。这种“类的算术”就是我们所说的符号代数。

* 本文根据作者的教育硕士学位论文的一部分内容整理、修改而成。

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从修辞代数到符号代数，代数学经历了三千多年的漫长历程。美国数学家和数学史家

M·克莱因（M. Kline, 1908～1972）在批判“新数运动”时曾指出：“从古代埃及人和巴比

伦人开始直到韦达和笛卡儿之前，没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数。”（Kline,

1958）

2 研究方法

为了检验历史相似性，我们采用问卷调查的研究方法。选取上海市某中学 6-9 年级共 5

26 名学生作为样本，具体信息见表 2。

表 1 样本信息

年级 男 女 合 计

六年级 51 56 107

七年级 52 66 118

八年级 84 74 158

九年级 70 73 143

总 计 257 269 526

研究工具采自丢番图《算术》第 1 卷中的两个问题。其中一题为：“已知两数的和与

差，求这两个数。”该问题已为 Harper(1987)所采用，我们将其作为测试卷中的第 1 题。

另一题为：“从同一个数中分别减去两个已知数，使两个差数之比等于给定比。”我们将

该问题作了简化，并作为测试卷中的第 2题：“从同一个数中分别减去两个已知数，使一个

差数为另一个差数的若干倍。”两个问题对应于代数学三阶段的解法见表 2。

表 2 测试题的三种解法

代数三阶段 第 1 题 第 2 题

修辞代数 和的一半加上差的一半，得较大数；

和的一般减去差的一半，得较小数。

将第二个减数乘以已知倍数，所得

乘积减去第一个减数，将所得的差

除以已知倍数与 1 的差，商为所求

数。

缩略代数

(丢番图

的解法)

设和为 100，差为 40，较小数为 x，

则较大数为x + 40。这样就有2x + 40

=100，从而得 x=30。因此两数分别

为 30、70。

假设两个已知数分别为 100 和 20，

给定比为 3:1，所求数为 x，则 x-20

=3(x-100) ，故得 x =140 。

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符号代数

（韦达的

解法）

设 B 为两数之差，D 为两数之和，

较小数为 A，则较大数为 A+B ，故

两数之和为 2A+B 。于是 2A+B=D，

故得 A=D/2-B/2。

设被减数为 A，所减的第一个数为

B，第二个数为 D，第一个差数是第

二个差数的 R 倍，则(A-B):(A-D)=R，

即 RA-RD=A-B，故 A=(RD-B)/(R-1)。

3 测试结果

学生对测试题的解答可分成 4 类，表 3 和表 4 分别给出了两个问题各类解答的分布情

况。

表 3 第 1 题测试结果

类 别 六年级 七年级 八年级 九年级

修辞代数 6.5

2.5

8.2

3.5

缩略代数 7.5

3.4

5.1

9.1

符号代数 21.5

44.1

49.4

67.8

看不懂题意，不会做

64.5

50.0

37.3

19.6

表 4 第 2 题的测试结果

类 别 六年级 七年级 八年级 九年级

修辞代数 3.7

0.8

1.9

0.7

缩略代数 4.8

3.4

3.2

3.5

符号代数 21.5

24.6

40.5

65.0

看不懂题意，不会做

70.0

71.2

54.4

30.8

从表 3 和表 4 可以获得以下信息：

● 每一个年级都同时出现了三种方法，而随着年级的上升，采用修辞代数方法和缩略

代数方法的被试并没有呈现明显减少的趋势。对于第 1 题，八年级被试中，采用修辞代数

者的比率总体高于六年级和七年级；九年级被试中，采用缩略代数方法者的比率总体高于

前三个年级。这表明，尽管学生已经受过符号代数的教育，并经过符号代数方法的训练，

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但部分学生仍会依赖修辞方法和缩略方法，对于这些被试来说，从修辞代数过渡到符号代

数要经历一个缓慢过程，并非一蹴而就。

图 1-2 分别是被试给出的修辞代数和缩略代数方法。

图 1 第 1 题的修辞代数解法

图 2 第 1 题的缩略代数解法

● 随着年级的上升，运用符号代数方法的被试比率逐渐上升。在第 1 题上，六年级被

试中只有 21.5%采用了该方法，而九年级被试的比例高达 67.8%；在第 2 题上，六年级被试

中只有 21.5%采用了该方法，而九年级被试的比例高达 65.0%。这表明，随着年龄的增长，

初中生运用代数符号的能力逐渐提高。

● 由于测试题中没有给出具体的已知数，很多被试看不懂题意，未能解决问题。但随

着年级的上升，这样的被试逐渐减少。在第 1 题上，六年级被试中有 64.5%不会解，而九年

级被试中只有 19.6%不会解；在第 2 题上，六年级被试中有 70.0%不会解，而九年级被试中

只有 30.8%不会解。这表明，随着年龄的增长，用字母表达已知数的意识逐渐增强。

● 由于第 2 题涉及多个已知数，被试的解答率明显不如第 1 题。

● 一些被试在第 2 题的解答中，尽管用字母表示所求的未知数，也用字母表示已知的

倍数，按照我们的分类，他们达到了符号代数的水平，但两个减数仍用文字表示或用具体的

数值代替，而最后的答案也用文字来表达，如图 3 和 4 所示。

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图 3 修辞代数与符号代数的混合解法

图 4 缩略代数与符号代数的混合解法

当问题中涉及的已知数不止一个时，学生不易想到同时采用多个不同的字母来表示它

们，于是问题求解过程中出现了修辞代数方法与符号代数方法混合，或缩略代数方法与符号

代数方法混合的情形。这就进一步说明，初中生对符号代数的认知是一个逐渐递进的过程，

他们并不能在短期内快速摆脱对修辞代数方法和缩略代数方法的依赖。

4 结语

历史上，古代两河流域和埃及的代数均属于修辞代数，而中国、印度的代数最多只能算

缩略代数。（汪晓勤等, 2012）公元 3 世纪古希腊数学家丢番图采用缩略代数后，代数学并没

有我们所想象的那样一帆风顺地呈线性发展。相反，修辞代数继续主导着阿拉伯的代数学；

13 世纪初，斐波纳契在《计算之书》中与缩略代数失之交臂；即使到了 16 世纪，意大利代

数学家们依然未能享受代数符号所带来的巨大便利。代数学经历了三千多年缓慢、曲折、艰

辛的发展，最终才演进为成熟、完善的符号代数。

本研究表明，虽然今天的初中生已经接受过符号代数的教学与训练，但对应于代数学历

17

史三阶段的三种方法仍然出现于不同年级的学生中；学生从修辞代数到符号代数的过渡需要

经历缓慢的过程而非一蹴而就，只有随着年级的升高，才逐渐理解和接受符号代数。在一定

程度上，学生对符号代数的认识过程与符号代数的历史发展确实是相似的。这让我们联想到

清末数学家华蘅芳（1833-1902）对数学学习所做的比喻：“譬如傍晚之星，初见一点，旋见

数点，又见数十点、数百点，以致灿然布满天空。”（华蘅芳, 1897）

如果了解这样的历史相似性，那么我们还有什么理由去责怪学生在代数符号的理解与运

用上所表现出的缓慢进步呢？我们还有什么理由去埋怨学生在字母符号理解上所经常表现

出的含混不清呢？我们应该相信，学生所遇到的学习障碍是需要长时间来克服的，而并不能

在短时间内完成跨越。深入了解符号代数的历史发展过程，有助于教师借鉴历史上数学家们

克服困难的经验，预设性地为学生在学习过程中消除认知障碍，降低理解难度，也有助于教

师更加宽容地看待学生所犯的错误，给学生有更多的时间来跨越历史障碍。

参考文献

[1] Fauvel, J. & Gray, J., 1987. The History of Mathematics: A Reader. Hampshire: Macmillan

Education.

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[3] Harper, E., 1987. Ghosts of Diophantus. Educational Studies in Mathematics, 18: 75-90

[4] 华蘅芳, 1897. 学算笔谈(卷五). 光绪 23 年味经刊书处刊本

[5] Kline, M.,1958. The ancients versus the moderns : a new battle of the books. Mathematics

Teacher, 51 (6): 418- 427

[6] Viète, F., 1646. Opera Mathematica. Lugduni Batavorum: Officina Bonaventurae & Abrahami

Elzevioiorum

[7] 汪晓勤等, 2011. 用字母表示数的历史. 数学教学, (9): 24-27

18

浪漫-数学-往事

Liu Pan

（华东师范大学数学系）

Question 1. 设在平面上有 5 个点，其中每 3 点不在一条直线上.求证：这 5 点中必有

某四个点可构成一凸四边形。

Question 2. 在随意六个人的集会上，必有三个人以前彼此相识，或者以前彼此不相识。

Question 3. 试证明：若把自然数集任意拆分成 2-部分后，其中必有一部分含有任意长

度的等差数列。

这一期的文章或可经由上面的 3 个问题说起。对于我而言，它们装载着这些年的记忆。

1 数学往事

在上次的给我们系低年级同学布置的寒假作业中，曾把 Question 1 作为其中的一个问

题。在其后我们收到的 2011 年级同学的作业回答中，约有 60 人次回答了这个问题。这些回

答的措辞各有千秋，但呈现在其间的思路都差别不大：选择其中的三点作出一三角形，然后

对余下的两点就如下的三种情形分别讨论：（1）一个在三角形的外面，一个在里面；（2）两

个都在三角形的外面；（3）都在三角形内。其详情比较繁琐。

一则简洁的证明是，关注这 5 个点的凸包——覆盖这 5 点的最小凸集。其可以是如下的

三种情形：

前两种情形的结论是显然的。而后一种的情形…比如设此三点形为 HEIH ，其内有 2

点 D, E：则直线 DE 必相交于三点形 HEIH的两个边—比若直线 DE 与 HE，EI 有交点；则

HIDE 这四点可构成一个凸四边形。

这个问题背后有一个浪漫的数学故事； 正是它绘出数学家乔治·塞凯赖什和爱丝特·克

莱恩间的一曲爱的传奇。

19

让时间回归 1933 年，匈牙利数学家乔治·塞凯赖什（George Szekeres）还只有 22 岁。

那时，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学……这群人里面还有数学传奇人物

保尔·爱尔多希（Paul Erdős）大神。当是时，爱尔多希只有 20 岁。

话说在一次数学聚会上，一位叫爱丝特·克莱因（Esther Klein）的美女同学提出了这么

一个问题：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成

一个凸四边形（Question 1）。两位数学天才想了好一会儿，不知当如何证明。于是，美女同

学得意地宣布了她的证明:这五个点的凸包只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情形

显而易见，而对于第三种情形，若把三角形内的两个点连成一直线，则三角形的三个顶点中

一定有两个顶点在这条直线的同一侧，于是相应的这四个点便构成了一个凸四边形。

众人大呼精彩。之后爱尔多希和塞凯赖什仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进

行推广。其后他们于 1935 年发表一篇论文，证明了如下的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，

存在有一个正整数 m，使得对平面上的 m 个点（其中任意三点不共线），必可从中找到一个

凸 n 边形。爱尔多希天真的把之命名为“幸福结局问题”（Happy Ending problem）。

一个问题造就一段姻缘， 或许有几分传奇。Question 1 让乔治·塞凯赖什和爱丝特·克莱

恩之间迸出了爱的火花，两人越走越近，最终在 1937 年 6 月 13 日结了婚。在结婚后的

近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8

月 28 日，乔治和爱丝特相继离开人世，相差不到一个小时。

Question 2 有一个很响亮的雅名 – “ 6 人集会问题’，印象中这是一个非常经典的问

题， 经典到偶尔翻翻每一本课外的趣味数学读物或者竞赛书籍 都会不经意间碰到它。在

myself 的记忆里，撞见这个数学之问至少有数十次之多……然而直到前几天，才知道这个

问题原来颇有来头，它最早曾出现在 1958 年 6/7 月号的《美国数学月刊》上（Question

E1321）。

让我们暂且驻步，看看这个问题的证明的步履：如图，给这六个人标以代号 1，2，3，

4，5，6；我们不妨任选其中的一个——比如 1 号者作为题解

之“源”，然后关注其与其他 5 人的关系：他们之间要么认

识（图中以红线记），要么不认识（图中以蓝色记）。经由抽屉

原理，其间必有 3 个人和 1 号者要么认识，要么不认识。假

设有 3 人——比如 4，5，6 号和 1 号不认识。进而考察 4，

5，6 间的关系， 如若这 3 个人间都相互认识——456 是一

个三边都为红色的三角形，则我们得到所要的结论——其间有三人相互认识。否则，比如 4

号和 6 号相互不认识，则 146 是一个三边都为蓝色的三角形 – 他们间相互不认识。在上

20

假设中把“不认识”和“认识”互换，完全对称地可以证明所要的结论。

Question 3 步入 myself 记忆的天空，或许在许多年前……依稀记得在大学的二三年级，

无意间曾看到苏联著名数学家辛钦的一本经典的数学小书《数论中的三颗明珠》，如在海边

拾贝……范德瓦尔登定理是三颗明珠中的一颗，而 Question 3 恰是范氏定理的一个特例。

那时刻对数论故事有所偏爱，数学大师辛钦的开篇是这样的：

1928 年夏天，我在哥廷根度过了几个星期。象往常一样，许多获得奖学金的外国学生

到这里来学习。他们中有许多人我早已认识，有一些还成了我的朋友。我到那里时，那儿的

数学家们讨论的主题是年轻的荷兰人范德瓦尔登的绝妙的结果……

话说哥廷根的一个数学家在自己的研究工作中碰到一个问题:这问题看似简单，许多人认

为它的证明是不证自明的。但真的要去证明时，却突然发现其困难重重；这个困难而迷人的

问题，很快成为大家津津乐道的话题。从年高望重的数学大师到低年级的大学生，大家都在

研究它。经过几个星期的奋战之后，荷兰青年范德瓦尔登终于收获其证明……我认识他并亲

耳听到他从容不迫的解答。这个解答是初等的，但远不是简单的，问题的内容很深刻，表面

上的简单仅是惑人的外衣。（辛钦, 1952）

2 漫步 Ramsey 理论

开篇中的三个问题来自不同的数学领域：Question 1 是一个几何问题，Question 2 是一

个组合问题，Question 3 则是一个数论问题。然经由现代数学的语言，它们都汇聚在 Ramsey

理论的长河里。这一数学的长河源自弗朗克-拉姆塞在 1928 年所证明的一个定理。

拉姆塞定理：对于给定的正整数 , 2p q ≥ ， 则存在 ( , )r r p q= ∈， 使得在完全

r -边形 rK 的每一边任意染上红色或者蓝色后， 其中一定有如下的情形之一发生: (1) 含有

全是红边的 pK (2) 含有全是蓝边的 qK 。（Ramsey, 1930）

时至当今，这个定理已有许多种证明，下面的方法缘自爱尔多希和塞克尔斯在 1935 年

的一篇论文。

证明：我们把满足上述结论的最小的 r 记作 ( , )R p q （这个数被叫做拉姆塞数）。其证

明的关键在于证明如下的关于拉姆塞数的不等式：

( , ) ( 1, ) ( , 1)R p q R p q R p q≤ − + −

令 : ( 1, ) ( , 1)n R p q R p q= − + − ，任取 nK 中的一点 0V ，则在 nK 中共有 1n − 条

21

边与 0V 相连。经由抽屉原理，如下的结论(i) ，(ii) 中至少有一个成立：

(i) 这 n-1 条边中有 ( 1, )R p q− 条红边；

(ii) 这 n-1 条边中有 ( , 1)R p q − 条蓝边。

若情形 (i) 成立，则通过这 1 ( 1, )n R p q= − 条红边与 0V 相连的 1n 个点所构成的完全图

1nK 中， 由拉姆塞数的定义，或者有全是蓝边的 qK ；或者有全是红边的 1pK − -- 在此基

础上添加点 0V 以及与 0V 相连的 1p − 条红边即可得一全是红边的 pK 。情形(ii) 类似可证。

弗朗克-P-拉姆塞无疑是那个时代的天才，在其短暂的一生中做出了许多开创性的工作

— 其范围涉及数学，逻辑学，哲学，经济学等许多领域。拉姆塞于 1903 年 2 月 22 日出生

于剑桥；其父亲也是数学家，曾是麦格达伦学院的校长。话说在他很小的时候就对经济学发

生了浓厚的兴趣。后来进入剑桥大学三一学院学习数学……其一生只发表了三篇经济学论

文，但却对现代经济学产生了重大的影响， 他有着“经济学的伽罗华”的美誉。拉姆塞是

剑桥大学永恒的骄傲。

在数学上拉姆塞的热情或在于数学基础的研究上。罗素和维特根斯坦给予他早期研究形

而上学，逻辑学和数学哲学的原动力。在那个时代的浮雕里，数学家们身处第三次数学危机

的漩涡中：数学大厦的基石上悖论众生，这些悖论不仅影响着经典数学，还呈现着逻辑上的

矛盾。数学家们渴望回到在矛盾出现之前的那段短暂而幸福的时光—有如杜布依-雷蒙所言，

那是“我们仍住在天堂里”的时候（Kline, 1982）。于是时拉姆塞想拨开逻辑的迷雾，在 1928

年的一篇题目叫“论形式逻辑中的一个问题”的论文中，他证明了上面的定理。一个看似与逻

辑毫无关系的无所用的引理，却孕育有一个无比广阔的数学天地— Ramsey 理论。

这里有拉姆塞定理的更一般的模式：让我们先说说一个集合的 k -染色的概念。

集合 S 的 k -染色可理解为 S 到集合{1,2,..., }k 的一个映射 : {1,2,..., }S kχ → ，

若记 1( )iS iχ −= 为 i 在映射 χ 下的原像--- S 中的 i -色元的子集，则我们有集合 S 的 k -

染色的拆分 1 2 ... kS S S S= ∪ ∪ ∪ 。

记号 ( )lS 表示集合 S 中的所有 l -个元素构成的子集的集，而[ ] : {1,2,... }n n= 。则

我们有如下的断言：

对于任意给定的 ,r k∈和数 1 2, ,..., kq q q r≥ ， 存在有 0n ∈， 使得当

0n n≥ 以及 ( )[ ] rn 的任一 k -染色， 一定有 [ ]i k∈ 以及相应的 iq -元集[ ] [ ]in n⊆ ， 使

得 ( )[ ] rin 是 i -染色的。（李乔等, 2011; Graham et al., 1900）

22

注释：满足上定理中最小的那个 0n 记作 ( )1 2( , ,..., )r

kR q q q 。

让我们再回到爱尔多希的著名的

Happy Ending problem：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要

平面上的点有 m 个（其中任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。

这一定理的证明若借助于拉姆塞定理将变得很简单: 我们只需取 (4) ( ,5)m R n= 即

可。可证如下：构作 (4)[ ]m 到 [2]的一个映射 (4): [ ] [2]mχ → ， 其间1(1)χ − = 4 个点

是某一凸四边形的 4 个顶点，否则为 1(2)χ − 中的点。

经由拉姆塞数的定义，在这 m 个点中或者有 n 个点-它们的任意 4 个点都是某一凸 4

边形的顶点，或者有 5 个点–它们中的任何 4 个点都不是凸 4 边形的顶点。由爱丝特-克莱因

的解答：第 2 种情形不会发生。因而我们只需证如下的断言：

设在平面上有 n 点 – 其间任何 3 点都不共线，任何 4

点都可构作一凸的 4 边形， 则这 n 个点可构成一凸的 n 边形。

往证其上的断言：对 n 用数学归纳法。n = 4 的情形显然。

注意到这 n 个点必有三点 –比如 1 2 3, ,N N N 使得其余 n -3 点

都在 3 1 2N N N∠ 的内部。已知如是说，在三角形 3 1 2N N NH里没有其它的点，关注除点 1N 之

外的 n-1 点，由归纳假设，它们可构成一凸的 n -1 边形，把其中的边 2 3N N 代之以边 2 1N N

和边 3 1N N ，如此得到一凸的 n 边形。

舒尔定理的问世当比拉姆塞定理早十多年，somehow it is one Ramsey theory before

Ramsey. 这个定理是德国数学家舒尔（I. Schur, 1875-1944）在 1916 年发表的一篇研究有限

域上的费马大定理的论文–论同余式 (mod )n n nx y z p+ ≡ 中证明的，说的是

舒尔定理：对任意给定的 k∈，存在 n∈，使得对[ ]n 的任一 k -染色，均存

在 zyx =+ 的同色解。（Schur, 1995）

经由拉姆塞定理， 它的证明可以很简洁：在拉姆塞定理中取 3,3,...,3k

n R

=

，则对 nK

的任意 k - 染色，存在一个同色 3K 。设此 3K 中顶点的记号为 cba << ，则

( ) ( ) ( )acbcab −=−=− χχχ ， [ ]1,1,, −∈−−− nacbcab 且 ( ) ( ) acbcab −=−+− ，

得证。

23

其下呈现的是舒尔定理的无限形式–其联系着舒尔的一个很著名的猜想（Question3）

舒尔定理（无限形式） 对任一给定的 k∈以及 的任一 k -染色， 一定有同色

的 , ,x y z∈满足 x y z+ = 。

Question 3. 若把自然数集任意拆分成 2-部分后，其中必有一部分含有任意长度的等差

数列。

舒尔在 1920 年提出的这个猜想 6 年后（1926 年）被荷兰的天才数学家 范德瓦尔登

所证明。在辛钦的经典之作《数论中的三颗明珠》里如是说，范德瓦尔登证明了如下更一般

的结果：

对任意给定的 ,l k∈，存在 ( , )W W l k= ∈，使得把 [ ]W 任意拆分成 k-部分

后，其中必有一部分含有 k 项等差数列。

若你无意间阅读至此，不妨选择一个闲暇的时刻，相约同学几人去那里一游：闪烁在《数

论的三颗明珠》中的范德瓦尔登定理的初等证明，或许对今日的我们来说，依然是一个很不

错的娱乐数学的“登高处”。

3 注释与随想

有哲人如是说， 真理是时间的女儿。每一个好的数学真理，经由时间的步履，都会焕

发其生命的七彩……时间神奇的手让舒尔理论延续着诸多的数学传奇。

（1）爱尔多希和托兰 曾在 1936 年提出如下的猜想：

如果 的子集 T 具有正的“上密度”–此即 | [ ] | 0lim

n

T nn→∞

∩> ， 则 T 中含有

任一给定项数的等差数列。

爱尔多希-托兰猜想具有比范德瓦尔登定理更强大的力量–由前者可推出后者。经由数学

家罗斯， 塞梅雷迪（E. Szemeredi）等人的努力， 这一猜想在 1974 年梦想成真，这段数

学故事被誉为组合论证的一大杰作。（Szemeredi, 1975）然后又有新的遐想步入数学家们的

视野：

如果 的子集 T 具有性质 1

a T a∈

= ∞∑ ，则 T 中含有任一给定项数的等差数列。

格林和陶哲轩在 2008 年的一篇论文里证明了如下的非常漂亮的定理：素数集中含有任

24

意长度的算术级数。（Green & Tao, 2008）此或可理解为上面的这一猜想的冰山一角。陶哲

轩在 2006 年获得菲尔兹奖很大程度上缘于这一非凡的工作。

（2）在舒尔之后，他的一个博士生拉多（R.Rado）在 1933 年以及随后的一系列更进一

步的研究工作中，证明了一个深刻的定理，这个定理说的是

拉多定理：整系数方程 1 1 ... 0n na x a x+ + = 是正则的 ⇔ 其某些系数之和 = 0。

其中我们说某一方程组是正则的，如若对的任一有限 k -染色，这一方程组必有同色

的解。

舒尔定理是这一定理的一个特例： 1 2 33, 1, 1n a a a= = = = − 的情形。

（3）在舒尔理论的续篇中，还有哈尔斯-朱厄特定理 格雷厄姆-罗斯切特定理……

有数学家如是说，“从某种程度上，格雷厄姆–罗斯切特定理（这是关于参数的一个拉姆塞定

理）可以看成是现代拉姆塞理论的起点……”这里是数学的一阕“福地洞天”。

从另一个侧面看，伴随时间的步伐，现代拉姆塞理论的研究变得越来越精致。比如关于

拉姆塞数的研究是其中的一部分。无论是拉姆塞本人还是爱尔多希-塞克尔斯，都无法给出

拉姆塞数的确切值。

( , ) !R p p p≤ ---拉姆塞的一上界。

2( , )

1p q

R p qp+ −

≤ − ---爱尔多希-塞克尔斯上界。

Indeed，即使是一些小拉姆塞数的确定，也和许多经典的数学难题一样：看似简单但

其内涵深不可测。以下的这段文字告诉我们说：于此我们知道得太少太少 ~

R(p, q) = R(q, p)

R(2,q) = q, ---抽屉原理的情形是拉姆塞理论的一个简单特例。

R(3,3) = 6, R(3,4) = 9, R(3,5) = 14, R(3,6) = 18, R(3,7) = 23, R(3,8) = 28,

R(4,4) = 25； R(5,5) = ? ； R(6,6) = ? …

这里有一个数学大神爱尔多希很喜欢讲的故事：

“如果有一个远比我们强大的外星人对我们说: “告诉我 (5,5)R 的值，否则我要毁灭人

类。“也许我们最好的策略是集中所有的计算机和数学家来求这个值。但如果外星人要问的

是 (6,6)R ，我们最好的选择 恐怕是和它拼命 … “

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保尔·爱尔多希（Paul Erdos, 1913-1996）是 20 世纪最具传奇色彩的数学家之一；他被

誉为 20 世纪的欧拉 --综其一生发表有一千多篇论文， 其中很多具有里程碑的意义。话说

在爱尔多希的论文中有不少是和其他人联合发表的，因而在数学界流传着一个很有趣的概

念：爱尔多希数。爱尔多希本人具有爱尔多希数 0；那些直接与爱尔多希合作者，人们称其

“爱尔多希数”为 1。与爱尔多希数为 1 的人合写论文的人爱尔多希数为 2，依此类推……

据说最大的爱尔多希数是 7，比如爱因斯坦的爱尔多希数是 7。象我们这种与爱尔多希挨不

上边的，也可以获得一个“爱尔多希数”：∞ 。

爱尔多希布可谓是制造数学定理的魔术师。恰如他的经典名

言： “数学家是将咖啡转换成定理的机器”。他以一种最最简单

的方式生活， 他把一生都奉献给了一项专一的事业，那就是发现

数学真理。数学是他的依靠。其生活的全部目的就在于证明和猜想。

他唯一牵挂的财产是他的数学笔记本。他一生写满了 10 本数

学笔记，并总是随身带着一本，以便随时记下他的数学灵感。在 60

多年的数学生涯中，他带着两件旧行囊，不停地奔波于各大洲的大学数学系和研究中心之

间……

爱尔多希大约是 20 世纪旅行最多的数学家。他没有固定住所，是一位巡回访问学者，

很多时间花在路上。在 60 多年的数学生涯中，不停地奔波在各大洲的大学数学系和研究中

心之间。在永无休止的寻求数学妙题和数学知已的过程中，爱尔多希以疯狂的速度一所大学

接着一个数学中心地走遍了各大洲。他通常会在一个数学同事的门阶上出现，宣布“我的大

脑敞开了”，然后就和这位数学家工作一两天，直到厌烦了或者他的东道主疲惫不堪为止。

这时，他又会去拜访另一家。他在 25 个以上的不同国家研究过数学。他的座右铭是“另一

个屋檐，另一个证明”。

爱尔多希可谓是教授中的教授……关于他有太多的故事传奇：他可以在一个知之甚少的

数学领域里魔术般的获得一个难题的解答；他或许会在一个演讲的大部分时间里打瞌睡，然

后在演讲结束的时刻宣布那个问题解决了；或在听别的教授上课时，他推门而入，侃侃而谈

26

他正在想的一个问题，然后再黑板上留下他特有的童真般的字体……

回眸间，让我们再次阅读“幸福结局问题”的数学画片：

Happy Ending problem：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要

平面上的点有 m 个（其中任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。

若对于一个给定的 n，把最少需要的点数记作 E(n)。则

The hope of mathematics：E(n) = ? 或许也是一个不小的挑战。回眸处，

（i） E(3) = 3 。

（ii）爱丝特·克莱恩的结论则可以简单地表示为 E(4) = 5 。

（iii）数学说，我们可以证明 E(5) = 9 。

2006 年，经由计算机的力量，我们有 E(6) = 17。

然对于更大的 n，E(n) 的值分别是多少？或者问 E(n) 有没有一个准确的表达式呢？这

是数学中悬而未解的难题之一。许多年过去了，幸福结局问题依旧活跃在数学的江湖中。

在 Ramsey 理论中我们可阅读到数学模式的魅力：不管你对一个集合如何拆分，你都在

不经意间邂逅数学有序的和谐与美。这样的 style 其实也掩映在数学的许多的庭落：无论是

哥德巴赫猜想，还是费马大定理，都或可理解为集合拆分和重组的一类模式。

参考文献

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[8] Green, B., Tao, T. 2008. The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions. Annals of

Mathematics, 167: 481-547

27

古巴比伦的数学遗产

汪 晓 勤 （华东师范大学数学系, 上海, 200241）

太阳底下无新事。

——《圣经·传道书》

作为数学教师，你或许很难对远古的数学历史产生兴趣：逝去的时代，失落的文明，荒

废的文字，陌生的语言，这一切与今天的数学教育有何关系？不懂数学历史，将来一样可以

做优秀的数学教师。表明上看，这似乎是不错的，因为，我们今天数学教育关注的往往只是

“技术”，而不是“文化”。但是，倘若学生问：为什么在角度制中，要将圆分成 360 等分，

以每一等分所对应圆心角的大小为 1 度？如果将圆分成 10 等分，50 等分，100 等分，200

等分，300 等分，并以每一等分所对应圆心角的大小作为 1 度，难道三角学就不存在了吗？

不知不觉，我们面对的就是一个用逻辑推理手段无法解决的“历史的为什么”。对于这样的

“为什么”，我们只能诉诸两河流域的数学和天文学。实际上，这只是数学教育不能割裂历

史的无数例子之一。

图 1 美索不达米亚地图

底格里斯河和幼发拉底河孕育了人类历史上最早的文明之一——美索不达米亚文明。古

希腊人所称的“美索不达米亚”指的就是“两河流域”之意（图 1）。肥沃的土地，温暖的

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气候，造就了发达的农业和商业；而农业和商业又促进了数学与天文学的发展，图 2 是两

河流域数学发展的历史年表[1]。

图 2 美索不达米亚数学史年表

在两河流域历史上，巴比伦文明发达程度最高。19 世纪上半叶以来，考古学家对巴比

伦古国进行系统发掘，发现了约 50 万块泥版，今藏巴黎、柏林、伦敦的博物馆以及美国的

耶鲁大学、哥伦比亚大学、宾西法尼亚大学等。其中，数学泥版约有 300 块，其上载有各

种数学表和数学问题。这些泥版主要集中在两个时期——古巴比伦时期（约公元前 2000-1600

年）和塞琉古帝国时期（约公元前 330-127 年）。

那么，古代巴比伦人为我们留下了哪些今天仍然有用的数学遗产？

1 原始的配方法

一元二次方程是古巴比伦泥版上常见的内容之一，巴比伦祭司对于我们今天的求根公式

可谓耳熟能详，尽管他们并没有我们今天的代数符号。泥版 BM 13901（图 3）上载有以下

问题：“正方形面积与边长之和为[0； 45]，求边长。”这里，[0； 45]是用 60 进制表达的数

29

图 3 数学泥版 BM 13901

字，在十进制中，它等于45 360 4

= 。用我们今天的字母符号来表达，这个问题相当于求解一

元二次方程

2 34

x x+ = （1）

祭司给出的解法是：“写下系数 1。将 1 折半。将[0；30]自乘，得[0；15]。将[0；15]与[0；

45]相加，得 1 的平方。从 1 中减去[0；30]，得[0；30]，即正方形边长。”（Fauvel & Gray,

1987）此即

21 3 1 12 4 2 2

x = + − =

（2）

那么，在修辞代数时代，祭司是如何获得解法（2）的？没有代数符号，岂能有纯粹代数意

义上的配方？从方程（1）的几何表达，我们可以推断，祭司在面对一元二次方程时，他的

头脑中一定有一个十分直观的几何模型。

如图 4 所示，边长未知的正方形与长为 1 的矩形合成一个大长方形，其面积为34；从

长为 1 的长方形中割去一半，并移置于正方形下方，得一矩尺形；补上一个边长为12的小

30

1

1/2

1/2

图 4 配方法的几何模型

正方形，矩尺形就变成了大正方形，其面积为

21 32 4

+

，边长为

21 32 4

+

。因此所求正

方形边长为

21 3 12 4 2

+ −

。这个配方过程用今天的代数符号表示，就是

2 34

x x+ =

2 1 322 4

x x⇒ + × =

2 22 1 1 1 32

2 2 2 4x x ⇒ + × + = +

2 21 1 32 2 4

x ⇒ + = +

21 1 32 2 4

x ⇒ + = +

21 3 12 4 2

x ⇒ = + −

。

祭司的配方法也可以从数学泥版 YBC 6967 中得到印证。该泥版上的问题是：“一个数

比它的倒数大 7，求该数。”对于古巴比伦祭司来说，若两数乘积为 60 的幂，则它们互为倒

数。本问题相当于已知 60xy = ， 7x y− = ，求 x 和 y。泥版上给出的解法是：“将所超过

的数 7 折半，得[3； 30]。[3； 30]自乘，得[12； 15]。加[1,0]，得[1, 12； 15]。[1, 12； 15]

的平方根是多少？[8； 30]。置[8； 30]，分别减去、加上[3； 30]，得 12 和 5。12 为所求

数，5 为它的倒数。”（Neugebauer & Sachs, 1945； Fauvel & Gray, 1987； Robson, 2001）此

31

图 5 数学泥版 YBC 6967

7

7/2

7/2

图 6 倒数问题的几何模型

32

即

27 760 122 2

x = + + =

，

27 760 52 2

y = + − =

。

根据丹麦学者 Høryup 的研究，祭司是根据图 6 所示的几何模型得到方程组的两个解的。

（Robson, 2001）

公元 9 世纪阿拉伯数学家花拉子米（al-Khwarizmi, 780?-850?)）利用同样的几何方法

来求解一元二次方程。莫道君行早，更有早行人！

2 巧妙的和差术

在古巴比伦数学泥版上，含有大量的二元问题

( ),

x y a

f x y b

± =

= （3）

其中 ( ),f x y 具有 px qy+ （ 2 2p q≠ ）， xy， 2 2x y+ 等形式。

数学泥版 VAT 8389 载有如下问题：“第一块地每 sar 产粮23

sila，第二块地每 sar 产粮

12

sila。已知第一块地的产量比第二块地多 500 sila，两块地共 1800 sar。问：两块地的面积

各为多少？”（1 sila ≈1 l；1 sar ≈ 36 m2）问题相当于求解二元一次方程组

1800

2 1 5003 2

x y

x y

+ =

− =

祭司给出的解法相当于

900 , 900x t y t= + = −

( ) ( )2 1900 900 5003 2

t t⇒ + − − =

2 1+ 3503 2

t ⇒ =

7 3506

t⇒ =

300t⇒ =

1200, 600x y⇒ = =

33

图 7 数学泥版 YBC 4663

可见，与我们今天的消元法不同，巴比伦祭司实际上采用了换元法：已知两数之和，那

么这两个数分别等于半和与一个未知数的和与差，这就是所谓的“和差术”（van der Waerden,

1983）。

那么，“和差术”在巴比伦数学里是否通法呢？我们来看更多的泥版数学问题。

数学泥版 YBC 4663 涉及以下方程组的求解（Neugebauer & Sachs, 1945）：

162

172

x y

xy

+ = =

祭司给出的解法是：

1[1] 32 4

x y+= ；

2 9[2] 102 16

x y+ =

；

2 1[3] 32 16

x y xy+ − =

；

34

2 3[4] 12 4

x y xy+ − =

；

3[5] 12 4

x y−= ；

[6] 52 2

x y x y+ −+ = ；

[7] 5x = ；

1[8] 12 2 2

x y x y+ −− = ；

1[9] 12

y = 。

数学泥版 BM 13901 上载有如下问题：“两正方形面积之和为[21,40]，边长之和为[50]，

求边长。”相当于解方程组

2 2

501300

x yx y+ =

+ =

泥版上给出的解法是：

[ ]2 2

1 6502

x y+= ；

[ ]2 252

x y+= ；

[ ]2

3 6252

x y+ =

；

22 2

[4] 252 2

x y x y+ + − =

；

22 2

[5] 52 2

x y x y+ + − =

；

[6] 52

x y−= ；

[7] 302 2

x y x y+ −+ = ；

[8] 30x = ；

[9] 202 2

x y x y+ −− = ；

[10] 20y = 。

35

数学泥版 BM 13901 上又有：“两正方形面积之和为[21,40]，边长之差为[10]，求边长。”

相当于解方程组

2 2

101300

x yx y− =

+ =

泥版上给出的解法是：

[ ]2 2

1 6502

x y+= ；

[ ]2 52

x y−= ；

[ ]2

3 252

x y− =

；

22 2

[4] 6252 2

x y x y+ − − =

；

22 2

[5] 252 2

x y x y+ − − =

；

[6] 252

x y+= ；

[7] 302 2

x y x y+ −+ = ；

[8] 30x = ；

[9] 202 2

x y x y+ −− = ；

[10] 20y = 。

上述三题的解法表明，在处理方程组（3）时，祭司充分利用了以下恒等式

2 2x y x y x+ −

+ = （4）

2 2x y x y y+ −

− = （5）

进行换元。已知 x y a+ = ，xy b= 时，利用（4）和（5），将问题转换为求新的未知数2

x yt −= ，

再根据恒等式

2 2

2 2x y x y xy+ − − =

（6）

得

36

22

4a t b− =

从而得2

4at b= − 。于是

2

2 4a ax b= + − ，

2

2 4a ay b= − −

已知 x y a+ = ， 2 2x y b+ = 时，利用（4）和（5），将问题转换为求新的未知数2

x yt −= ，

再根据恒等式

2 2 2 2

2 2 2x y x y x y+ − + + =

（7）

得2

2

4 2a bt+ = ，从而得

2

4 2a bt = − + 。于是

2

2 4 2a a bx = + − + ，

2

2 4 2a a by = − − +

已知 x y a− = ， 2 2x y b+ = 时，利用（4）和（5），将问题转换为求新的未知数2

x yt += ，

再根据恒等式（7）求得 t。

公元 3 世纪，古希腊代数学鼻祖丢番图（Diophantus）在其《算术》中就是用上述和差

术来解二元二次方程组的。（van der Waerden, 1983； Fauvel & Gray, 1987； 汪晓勤等, 2010）

17 世纪末，法国数学家洛必达（M. de L’Hospital, 1661～1704）利用和差术来推导椭圆和双

曲线方程。（汪晓勤等，2011；王芳等，2012）巧妙的和差术，是数学学科无法割裂历史的

明证！

3 先进的开方术

数学泥版 VAT 6598 和 BM 96957 是同一块泥版的两个碎块（图 8）。反面有如下问题：

“[一扇门] 宽[0； 10] NINDAN，高[0；40] NINDAN。问对角线长几何？”解法如下：

将[0； 10]平方，得[0； 01 40]。取[0； 40]的倒数，乘以[0； 01 40]，得[0； 02 30]。

将[0； 02 30]折半，得[0； 01 15]。加上[0； 40]，得[0； 41 15]。故对角线长为[0； 41 15]。

（Robson, 1997）

设直角三角形三边为 a，b 和 c，则由解法可知，祭司运用了以下近似公式：

37

图 8 数学泥版 VAT 6598 + BM 96957（反面）

2

2ac bb

= +

但从同一块泥版上的其他问题的解法可知，祭司知道勾股定理；因此祭司实际上运用了近似

公式：

( )2 2 2

2 2 12 2a a ba b b b a bb b

++ = + = + <

（8）

从上述公式可以推知，巴比伦人已经发现了一种程序化的开平方方法：

要求 A 。

设第 1 个近似值为 1a ，则

38

第 2 个近似值为 2 11

12

Aa aa

= +

；

第 3 个近似值为 3 22

12

Aa aa

= +

；

………………………………………

第 n 个近似值为 11

12n n

n

Aa aa−

−

= +

。

数学泥版 YBC 7289（图 9）进一步证明，祭司对于上述程序确实是运用自如的。该泥

版上载有以下数学问题：“正方形边长为 30，求对角线。”泥版上给出 2 的六十进制近似

值为[1； 24, 51,10] ，化成十进制，就是

2 3

24 51 102 1 1.414215560 60 60

+ + + =5

图 9 数学泥版 YBC 7289

设 2 的第一个近似值为

1 1a = ，

则精度更高的近似值依次为

[ ]21 21 1;302 1

a = + =

；

[ ]31 21;30 1;252 1;30

a = + =

；

39

[ ]41 21;25 1; 24,51,102 1;25

a = + =

。

祭司给出的就是最后的第 4 个近似值。

古希腊数学家海伦（Heron, 公元 1 世纪）在《测量》一书中提出了同样的算法。（Heath,

1921）今称“海伦法”。14 世纪拜占庭数学家拉伯达（N. Rhabdas, ?～1350）和 15 世纪意大

利数学家帕西沃里（L. Pacioli, 1445?～1509）也都用该法来求平方根。

宋人陆九渊（1139-1193）云：“东海有圣人出焉，此心同也，此理同也；西海有圣人出

焉，此心同也，此理同也；南海北海有圣人出焉，此心同也，此理同也；千百世之上有圣人

出焉，此心同也，此理同也；千百世之下有圣人出焉，此心同也，此理同也。”此话用于评

价数学史，再也合适不过！

4 精彩的几何题

在数学泥版 BM 15285（残缺不全）上，我们看到很多圆弧或圆弧与线段所围图形的面

积问题，这些问题很可能是当时祭司编制的学校数学练习题。图 10 给出泥版的一小部分。

所有问题涉及的图形都是在一个由 16 个方格构成的正方形中作出的，许多图形都有自己的

名称。如图 11 所示的由一个等腰三角形和半圆面所构成的图形被称为“风筝”；可以想像，

“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”的情景在春日的美索不达米亚也是随处可见的。如图

12，两个四分之一圆弧所围图形称为“小舟”。我们同样可以想像，“君看一叶舟，出没风波

里”也是巴比伦人的母亲河——底格里斯河和幼发拉底河的写照。四个共点圆所形成的四叶

图 10 泥版 BM 15285 图 11 风筝

40

图 12 小舟形 图 13 花瓣形

小舟显然是祭司们很喜欢的图形，如图 13 所示。在两河流域，它有着十分悠久的历史，公

元前 7 世纪的皇宫觐见室门槛上，还装饰着花瓣形，有四瓣的情形，也有六瓣的情形（图

14）。

图 14 皇宫觐见室门槛上的图案（约 645 BC） 图 15 弓形之一

由两个 120 度弧及直径所在直线所围成的图形称为“弓形”，图 15 是由两个弓形所构成，

即两相交圆构成的图形。图 16 所示三个相交圆所构成的图形也出现在同一泥版上，形状像

花生。

在 BM 15285 上，有一个基本的图形，即每一个小方格中挖去四分之一圆后余下的部分，

被称为“楔形”。个数不等的楔形可构成许多不同的图案。如图 17，四个楔形构成的“凹

四边形”被称为“牛鼻子”，它由四个两两相切的四分之一圆弧所围成。

虽然在泥版 BM 15285 上，我们没有见到圆弧所围其它图形的面积问题，但毕竟这只是

一块偶然被发掘出来的孤立的泥版而已。对于一个失落的古代文明的数学，通过已发掘的三

百块泥版，我们到底了解多少呢？那些埋藏在地下数千年、至今尚未发掘的数学泥版上又会

有多少数学奇迹呢？无论如何，我们有理由相信，巴比伦祭司是决不会仅仅满足于上述图形

的。不同个数、不同位置的楔形，楔形与半圆或四分之一圆，都可以构成种种不同的图形，

41

图 16 弓形之二 图 17 牛鼻子形

图 18-22 乃是其中的一部分，这些图形几乎不会逃过祭司们的眼睛。（汪晓勤, 2009a）或许，

古巴比伦的学校数学比今天的学校数学更有趣，古巴比伦的学生也比今天的学生更喜欢数

学！

图 18 两个楔形与一个半圆 图 19 两个牛鼻与一个圆

图 20 一个牛鼻与两个圆 图 21 四个楔形、两个四分之一圆

42

图 22 两个楔形、两只船与一个半圆

5 普遍的相似比

在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多图形分割问题，祭司在解决这些问题时，惊人地

运用了相似三角形的性质。

数学泥版 YBC 4675 （图 23）如下问题：“梯形上底为 7，下底为 17，两腰分别为[5,10]

和[4,50]，面积为[60,0]。将梯形分成面积相等的两部分，问：中分线多长？”如图 24 所示，

设梯形上、下底分别为 1a 和 2a ，两腰分别为 1l 和 2l ，中分线长为 d， 1l 被分割成 p、q 两段，

2l 被分割成 u、v 两段。祭司所使用的梯形面积公式为

图 23 数学泥版 YBC 4675

43

vu

qp

l2

l1

da2

a1

图 24 梯形分割问题

1 2 1 2

2 2a a l lA + + =

（9）

显然，这是一个错误的公式。根据三角形的相似性，

2

1 2 2 1

a dp ul l a a

−= =

− （10）

1

1 2 2 1

d aq vl l a a

−= =

− （11）

于是

21

2 1

a dp la a

−= −

， 22

2 1

a du la a

−= −

； 11

2 1

d aq la a

−= −

， 12

2 1

d av la a

−= −

。

故有

( )21 2

2 1

a dp u l la a

−+ = + −

（12）

( )11 2

2 1

d aq v l la a

−+ = + −

（13）

又因两个梯形面积相等得

1 2

2 2 2 2a d a dq v p u+ ++ +

⋅ = ⋅

即

( ) ( ) ( ) ( )1 2a d q v a d p u+ ⋅ + = + ⋅ + （14）

将（12）和（13）代入（14）得

2 2 2 21 2d a a d− = −

44

因此所求梯形中分线为

( )2 21 2

12

d a a= + （15）

这就是泥版 YBC 4675 上给出的解法。

数学泥版 IM 55357（图 25）上载有如下直角三角形分割问题：“直角三角形 ABC 中，

图 25 数学泥版 IM 55357 图 26 直角三角形分割问题

BC = [1,0]，AC = 45，AB = [1,15]。小直角三角形面积分别为：∆ ADC = [8, 6]；∆ CED = [5, 11；

2, 24]；∆ DFE = [3, 19； 3, 56, 9, 36]；∆ EFB = [5, 53； 53, 39, 50, 24]。求 AD、CD、DB、

CE、DE。”如图 9 所示，祭司的解法是：

1

1

s bh a=

1 112

S s h=

( )21 2 bs S

a⇒ = ⋅

1 2 bs Sa

⇒ = ⋅

由上述解法可见，巴比伦祭司对相似直角三角形对应边成比例的性质确已了然于心。

另一块数学泥版 Strasbourg 364 上载有以下问题（Archibald, 1936）：

如图 27，（1）已知 A1 = [18,20]，A2 = [15,0]，b4 = [40]，b1-b2 = b2-b3 = [13；20]，求 l1，

l2，l3，b1，b2，b3；（2）已知 A1 = [18,20]，A2 = [15,0]，A6 = [1,40]，b4 = [40]，l4+l5 = [30]，

求 b1，b2，b3，b6 ，l1，l2，l3，l6；（3）已知 A1 = [18,20]，A2 = [15,0]，A4+A5 = [13,20]，b1-b2

= b2-b3 = [13；20]，求 b1，b2，b4，b6 ，l1，l2，l3，l4，l5，l6。

45

相似三角形性质再一次扮演着重要角色！

通常，我们都认为公元前 6 世纪古希腊数学家泰勒斯最先发现相似三角形的性质，并将

其运用于金字塔的测量。但实际上泰勒斯不过运用了前人已有的知识而已。

图 27 数学泥版 Strasbourg 364 上的直角三角形分割问题

6 神奇的勾股数

数学泥版 Plimpton 322（图 28）是古巴比伦数学泥版中最引人注目者之一，含有 15 组

勾股数——构成直角三角形三边长度的整数（西方称“毕达哥拉斯数”）。原表中含四处错误，

数学史家诺伊格鲍尔予以纠正（Neugebauer, 1969）。这五组勾股数用十进制写出来，见表 1

图 28 数学泥版 Plimpton 322

46

第 4-6 列，其中第 5 列为我们所加。我们无法想像，如果巴比伦人没有勾股数一般公式，又

怎能求出如此众多的勾股数组呢？更进一步，我们不禁要问：巴比伦祭司是如何获得勾股数

公式的呢？

表 1 Plimpton 322 号泥版上的勾股数

序号 p q 2 2a p q= − 2b pq= 2 2c p q= +

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

12

64

75

125

9

20

54

32

25

81

－

48

15

50

9

5

27

32

54

4

9

25

15

12

40

－

25

8

27

5

119

3367

4601

12709

65

319

2291

799

481

4961

45

1679

161

1771

56

120

3456

4800

13500

72

360

2700

960

600

6480

60

2400

240

2700

90

169

4825

6649

18541

97

481

3541

1249

769

8161

75

2929

289

3229

106

设直角三角形的勾、股、弦分别为 a、b 和 c，则利用平方差公式

2 2 ( )( )c a c a c a− = − +

若 22c a p+ = ， 22c a q− = ，其中 p，q 为互素的正整数， p q> ，则得勾股数公式

2 2a p q= − ， 2b pq= ， 2 2c p q= +

Plimpton 322 号泥版上除了第 11 组勾股数（45，60，75）由（3，4，5）的倍数得出外，其

他各组均可按上述公式获得。

古希腊毕达哥拉斯学派（前 6 世纪）已知勾股数公式（Heath, 1921）

47

ma = ，2

12 −=

mb ，2

12 +=

mc （其中 m 为奇数）

之后，柏拉图（Plato, 427-347 B.C.）得到另一组公式

2a m= ，2 1b m= − ，

2 1c m= + （其中 m 为正整数）

而欧几里得（Euclid，公元前 3 世纪）则获得了更一般的勾股数公式：

2 2

2p qa −

= ，b pq= ，2 2

2p qc +

=

其中 p、q 同为奇数或偶数， p q> 。古巴比伦人又一次捷足先登！

泥版上还有大量的勾股定理应用问题。胡晓娟等（2012）已经作了介绍，这里不再赘

述。

7 朴素的假设法

数学泥版 YBC 9856（图 29）载有如下财产分割问题：“五兄弟分银 1 迈纳（60 gin），

按年龄从小到大的次序，每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，老二至老五四人所得共占23。

问：各得多少？”

图 29 数学泥版 YBC 9856

由于泥版毁损，无法详知解法。Friberg 作了如下复原：假设最小的兄弟得 1，则后面依

次得1 d+ ，1 2d+ ，1 3d+ ，1 4d+ 。于是，

( )24 6 5 103

d d+ = + ，

解得 1d = 。故五份依次为 1、2、3、4、5，和为 15。但实际的和为 60，故各份乘以 4，即

得所求。（Frieberg, 2005； 2007）

48

中国汉代的《九章算术》也用假设法来处理某些数列问题，（汪晓勤, 1992）而斐波那

契在《计算之书》中更是频频使用它。

8 惊人的一般化

数学泥版 Strasbourg 362：十兄弟分银213

mana，每个兄弟均比相邻的弟弟多得若干，

已知老八分得 6 gin（1 mana = 60 gin）。问：各兄弟比相邻的弟弟多得几何？

祭司给出的解法是：取十兄弟所得平均数 10 斤，倍之，得 20 斤；减去老八所得的两

倍即 12 斤，得 8 斤。于是，公差为85斤。用今天的符号表示，上述解法就是

103

21 25 10

Sd a = −

如果不知道等差数列性质

1 2 1 3 2n n na a a a a a− −+ = + = + =

( )n ma a n m d− = −

以及求和公式

1

2n

na aS n+ = ×

祭司又怎么能得出上述解法？我们甚至完全可以想像，祭司已经知道一般公式（汪晓勤,

2009b）：

2 12

nm

S n ma dn

− +− =

或

( )1 2 12n mS na n n m d= + − + （16）

9 结 语

以上我们看到，古巴比伦人为我们留下了丰厚的数学遗产。许多数学思想方法或数学问

题都可以在巴比伦数学中找到源头。

配方法、开方术、和差术是今天教学中常用的方法；图形分割问题与圆弧构图问题丰富

了有关相似形与扇形知识的数学问题；作为古巴比伦数学代表性成就的勾股数与勾股定理的

49

应用，虽说颠覆了我们对勾股定理优先权的误解（如“中国人最早发现勾股定理”），却是

多元数学文化的典型例子，具有重要的教育价值；等差数列问题的假设法、等差数列求和公

式的一般化则拓宽了我们的思维，若运用于课堂，则为学生提供了探究的机会。可见，古代

数学在今天的数学课堂上依然可以大放异彩。荷兰 HPM 学者 van Maanen (1998) 说得好：

Old mathematics never dies！

参考文献

[1] Archibald, R. C., 1936. Babylonian mathematics. Isis, 26(1): 63-81

[2] Fauvel, J. & Gray, J., 1987. The History of Mathematics: A Reader. Hampshire: Macmillan

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World Scientific Publishing Co.

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[6] Hoyrup, H. 1994. Babylonian mathematics. In I. Grattan-Guinness (Ed.). Companion

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[7] Høyrup, J., 1999. Pythagorean ‘Rule’ and ‘Theorem’-Mirror of the relation between

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Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne. Saarbrücken: Saarbrücker

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[13] Robson, E., 2000. The uses of mathematics in ancient Iraq, 6000-600 BC. In: H. Selin (Ed.),

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[14] Robson, E., 2001. Neither Sherlock Holmes nor Babylon: A Reassessment of Plimpton 322.

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[15] Robson, E., 2007. The long career of a favourite figure: the apsamikku in Neo-Babylonian

mathematics', in M. Ross (ed.), From the Banks of the Euphrates: Studies in Honor of Alice

Louise Slotsky, Winona Lake: Eisenbrauns. 209-224

[16] van der Waerden, B. L., 1983. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. Berlin:

Springer-Verlag, 62-63

[17] 王芳, 汪晓勤, 2012. 和差术: 从历史到课堂. 上海 HPM 通讯, 1(2): 16-26

[18] 汪晓勤, 1995. 《九章算术》等差数列问题研究. 浙江师范大学学报(自然科学版)‚ 18 (1):

19-23

[19] 汪晓勤, 2009a. 从巴比伦祭司到达·芬奇. 中学数学教学参考, (1-2): 131-133

[20] 汪晓勤, 2009b. 泥版上的数列问题. 数学教学, (12): 0-2； 445

[21] 汪晓勤, 2010. 平方差公式的历史. 中学数学教学参考(初中版), (11): 64-66

[22] 汪晓勤, 王苗, 邹佳晨, 2010. HPM 视角下的数学教学: 以椭圆为例. 数学教育学报, 20

(5): 20-23

附录 本文所涉及的巴比伦泥版目录

编 号 收藏者

BM British Museum

IM Iraq Museum, Baghdad

Plimpton George A. Plimpton Collection, Columbia University

Strassburg Bibliothèque Nationale et Universitaire de Strasbourg

VAT Vorderasiatische Abteilung, Tontafeln, Staatliche Museen, Berlin

YBC Yale Babylonian Collection

51

课堂中的若干数学文化案例

汪晓勤

（华东师范大学数学系, 上海, 200241）

早在半个多世纪以前，数学家克莱因（M. Kline, 1908-1992）即提出数学课程的文化原

理：“知识是一个整体，数学是这个整体的一部分。每一个时代的数学都是这个时代更广阔

的文化运动的一部分。我们必须将数学与历史、科学、哲学、社会科学、艺术、音乐、文学、

逻辑学以及与所讲主题相关的别的学科联系起来。我们必须尽可能地组织材料，使数学的发

展与我们的文明和文化的发展联系起来。”[1]今天，我国《普通高中数学课程标准》将“体

现数学的文化价值”作为课程的基本理念之一，数学文化日益受到人们的关注。师范院校数

学文化课程建设如火如荼，中学数学文化校本课程悄然诞生。然而，数学文化的主要载体是

数学课程，而非数学文化课程；数学文化传播的主阵地是数学课堂，而非数学文化课堂。因

此，人们最关注的还是如何在数学课堂教学中融入数学文化知识的问题。

图 1 给出了“数学文化融入数学教学的一般过程”[2]，从中可见，数学文化材料的搜

集是数学文化传播的基础，没有足够的素材，就会陷入“巧妇难为无米之炊”的境地，数学

文化融入数学教学也就成了一句空话。本文通过几个具体的案例，展示数学文化素材的来源。

设计教学活动

评价课堂活动

实施课堂教学

分析课堂需要

选择合适话题

搜集文化素材

图 1 数学文化融入数学教学的一般过程

1 跨越鸿沟

数学和文学之间有着千丝万缕的联系。历史上，许多文学作品中包含了数学主题，卡

洛儿的《爱丽丝漫游奇境记》是其中之一。美国 Prentice Hall 数学教材《几何》“推理与证

明”一章利用该书中爱丽丝和帽子匠、兔子之间的对话[3]来引导学生思考原命题与逆命题之

间的关系。

52

爱丽丝：“至少——至少我说的就是我心里想的——反正是一码事，你知道了吧！”

帽子匠：“你还不如说：‘凡我吃的，我都看得见’跟‘凡我看得见的，我都吃’也是

一码事呢！”

兔子：“你也不如说：‘凡我得到的，我都喜欢’和‘凡我喜欢的，我都得到’也是一码

事！”

这里，为什么帽子匠和兔子说得不对呢？如果我们把帽子匠和兔子的说法表达成命题，

那么帽子匠将原命题“如果我吃一样东西，那么我就看得见它”和逆命题“如果我看得见一

样东西，那么我就会吃它”等价起来；兔子则将原命题“如果我得到一样东西，那么我就喜

欢它”和逆命题“如果我喜欢一样东西，那么我就得到它”等价起来。原命题和逆命题不一

定同时成立，帽子匠和兔子的话成了有趣的反例。

在斯威夫特的《格列佛游记》中，也有许多数学例子。勒皮他的仆人们把面包切成圆锥

体、圆柱体、平行四边形和其他几何图形；勒皮他人的思想永远跟线和圆相联系，他们赞美

女性，总爱使用菱形、圆、平行四边形、椭圆以及其他几何术语[4]，我们可以让学生思考：

作者的图形分类是否合理呢？

科幻小说之父凡尔纳（J. Verne, 1828-1905）在《神秘岛》中则巧妙地使用了等比数列，

当哈伯在衣服夹层里找到一颗麦粒时，工程师史密斯如是说：“如果我们种下这粒麦子，那

么第一次我们将收获八百粒麦子；种下这八百粒麦子，第二次将收获六十四万粒；第三次是

五亿一千二百万粒；第四次将是四千多亿了。比例就是这样。……这就是大自然繁殖力的算

术级数。……算他十三万粒一斗，就是三百万斗以上。”[5]这里，作者误将几何级数说成算

数级数。无疑，这是数列课堂上很好的素材。

历史上许多文学家曾为数学教育做出过贡献。19 世纪苏格兰文学家和历史学家卡莱尔

（Thomas Carlyle, 1795-1881）在数学上因翻译勒让德《几何基础》而著称，学生时代的他

酷爱数学，“多年来，几何学作为所有科学中最崇高的学科在我面前熠熠生辉，在所有最佳

时光里和最佳心情下，我学的都是这门学科。”[6]卡莱尔大学时代所给出的一元二次方程的

图 2 一元二次方程的几何解法

53

新颖解法是我们今天解析几何教学的理想素材：已知一元二次方程 x2-bx+c=0，在直角坐标

系中作出点 A(b, c)和点 B(0, 1)，连接 AB，以 AB 为直径作圆 C（图 2），则 C 与 x 轴的交点

横坐标即为方程的根。我们可以设计如下问题：(1) 求圆 C 的方程；(2) 当 x2-bx+c=0 有两

个不同实根、两个重根、没有实根时，分别判定圆 C 和 x 轴的位置关系；(3) 若 C 和 x 轴相

交，求交点坐标。这样，卡莱尔的方法在初、高中数学知识之间架起了桥梁。

2 海岛奇迹

数学与人类文明进步息息相关，科学史家萨顿（G. Sarton, 1884-1956）甚至断言，数学

史乃是整个人类文化史的核心。古希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 前 5 世纪）描述了毕

达哥拉斯的故乡、萨莫斯岛上的一条约建于公元前 530 年、用于从爱琴海引水的穿山隧道，

设计者为工程师欧帕里诺斯（Eupalinos）。这个隧道后来被人遗忘，直到 19 世纪末，它才被

考古工作者重新发现。20 世纪 70 年代，考古工作者对隧道进行了全面的发掘。隧道全长 1036

米，宽 1.8 米，高 1.8 米。两个工程队从山的南北两侧同时往里挖掘，最后在山底某处会合，

考古发现，会合处误差极小。欧帕里诺斯到底是用什么方法来确保两个工程队在彼此看不见

的情况下沿同一条直线向里挖的？

图 3 海伦所介绍的隧道挖掘法

在欧帕里诺斯 600 年后，希腊数学家海伦在一本介绍测量方法的小书《Dioptra》中给

出一种在山两侧的两个已知出口之间挖掘直线隧道的方法，人们相信：这正是欧帕里诺斯当

年用过的方法[7]。

如图 3 所示，要在两侧山脚的两个入口 A 和 B 之间挖一条直线隧道。从 B 处出发任作

一直线段 BC，过 C 作 BC 的垂线 CD，然后，依次作垂线 DE、EF、FG、GH，直到接近 A

点。在每一条线段的一个端点处能看到另一个端点。在最后一条垂线段 GH 上选取点 J，使

得 JA 垂直于 GH。设 AK 为 CB 的垂线，K 为垂足，则 AK = CD - EF- GJ；BK = DE + FG –BC

N

J

P

H

G

F

E

D

C

L

M

K

B

A

54

- AJ。现在 BC 和 AJ 上分别取点 L 和 N，过点 L 和 N 分别作 BC 和 AJ 之垂线，在两垂线上

分别取点 M 和 P，使得LM PN AKBL AN BK

= = ，于是，RTΔBLM、RTΔBKA、RTΔANP 为相似

三角形。因此，点 P、A、B、M 共线。故只需保证在隧道挖掘过程中，工人始终能看见 P、

M 处的标志即可。在古希腊水利工程奇迹的背后，几何学扮演了关键的角色。

3 古堡探幽

建筑与数学的关系可以上溯到古埃及时代，建筑需要美，美需要和谐，而和谐需要通过

数学来实现。意大利南部 Apulia 山城（约建于 1240 年，图 4）被建筑史家誉为中世纪“建

筑上无与伦比的纪念碑”[8]，其内外墙均为正八棱柱，外墙边长是内墙边长的 2 倍。各角上

图 4 阿皮里亚山城

分别建有一个小正八棱柱。内八边形相应八角星的每个顶点恰好位于角八边形的中心；而角

八边形朝内的顶点恰为外八边形的一个顶点（图 5）。美国 Prentice Hall 数学教材《几何》“面

积”一章中，即用该建筑来设题。我们可以设计如下问题：

（1）给出城堡设计方法；

（2）求内八边形和角八边形边长之比；

（3）已知内八边形半径为 16 米，求内八边形面积、角八边形的边长和面积 。

（4）按同样的方法在角八边形外作更小的八边形，记内八边形面积为 S0，以后每次所

作的每一个八边形面积分别为 S1，S2，…，求 ( )0 1 1lim nnS S S −→∞+ + + 。

这些问题涉及几何、三角、数列与极限知识，建筑中的数学真切地展现在我们面前。

4 天外来客

仰望星空，时有流星划过天际，令我们感叹生命的短暂；而那璀璨夺目的流星雨，又深

深震撼着我们凡俗的心灵。流星是什么？从古到今，人们作过无数种猜测。古希腊哲学家亚

里士多德说，那是地球上的蒸发物；近代有人进一步认为，那是地球上的磷火升空后的燃烧

现象。10 世纪阿拉伯著名数学家阿尔·库希（al-Kuhi）设计出一种方案，通过两个观测者

异地同时观测同一颗流星，来测定其发射点的高度。18-19 世纪之交，德国天文学家本森伯

55

图 5 阿皮拉山城的设计 图 6 流星高度的测量

格（J. Benzenberg, 1777-1846）和布兰蒂斯（H. W. Brandes, 1777-1834）独立采用了同样的

方法。[9][10]

如图 6，设有两个观测者在地球上 A、B 两地同时观察到一颗流星， 500AB km= ，因

地球半径 6371R km= ，故得1 500 360 2.248 ,2 2 R

θπ

= × × ° ≈ ° 从而得 499.872 .AB km=

设两个观测者的仰角分别为 23.2SAD α∠ = = °， 44.3SBD β∠ = = °，则

( ) ( )180 108.004ASB γ α θ β θ∠ = = °− + − + = ° .

由正弦定理得( )sin sin

AB ASγ β θ=

+，故得 381.566AS km= 。再由余弦定理得

( ) ( )2 2 2 cos 90 6530.74 ,OS AS R AS R kmα= + − × °+ =

最后得到流星发射点的高度为 159.74h km= 。须知，云层最高不超过 15km，因此可以断

定，流星不是地球蒸发物，它一定是天外来客！正是三角学上的两个定理帮助人类迈出正确

认识流星的第一步！

5 牛刀小试

公元 1 世纪左右，古希腊数学家海伦已经发现光的反射定律。当光从一种介质进入另一

种介质发生折射，入射角和折射角之间的关系又如何？天文学家托勒密（C. Ptolemy, 85-165）

56

分别就空气和水、水和玻璃、玻璃和空气，对光的入射角和折射角进行测量，得出入射角与

折射角成正比的错误结论。阿拉伯数学家阿尔·海赛姆（Al-Haitham, 965-1038）制作仪器，

测量入射角和折射角，发现托勒密的结论是错误的，但他自己未能发现折射定律。之后，波

兰物理学家、自然哲学家和数学家维特罗维特罗（Witelo, 1230?-1300?）在阿尔·海森的基础

上进一步研究折射现象，同样未能发现折射定律。

1611 年，德国天文学家开普勒（J. Kepler, 1571-1630）在《折光》中给出：对于两种固

定的媒质，当入射角（i）较小时，入射角和折射角（r）之间的关系是 i = nr（n 为常数）。

当光线从空气进入玻璃时，n = 3/2。英国数学家哈里奥特哈里奥特（T. Harriot, 1560-1621）

和荷兰数学家斯内尔（W. Snell, 1591-1626）相继通过实验得出折射定律，但未能给出理论

推导。

1637 年，法国哲学家和数学家笛卡儿（R. Descartes, 1596-1650）在《折光》（《方法论》

之附录）中发表了折射定律，但遗憾的是，他的证明却是错误的！同时代数学家费马（P. Fermat,

1601-1665）因此对笛卡儿的折射定律进行了攻击。直到 24 年后的 1661 年，费马才利用他

的最小时间原理才导出了折射定律。

图 7 折射定律的推导

1684 年，微积分发明者莱布尼茨（G. W. Leibniz, 1646-1716）在他的第一篇微积分论文

中，小试牛刀，给出了微分的一个应用：在两种媒质中分别有点 P 和 Q，光从 P 出发到达 Q，

界面上入射点 O 位于何处，光用时最短？

如图 7，建立直角坐标系，设光在两种媒质中的传播速度分别为 v1和 v2，光从 P 到 Q

所需时间为 ( ) ( )222 2

1 2

b d xa xf xv v

+ −+= + ，令

( )( )2 2 221 2

1 1 0x d xf xv va x b d x

−′ = − =+ + −

即得

57

( )

2 21

222

sinsin

xvia x

d x r vb d x

+ = =−

+ −

有了微积分，一个具有 1500 年漫长历史的古老光学问题，轻而易举得到了解决。莱布

尼茨获此结果后惊叹道：“熟悉微积分的人能够如此魔术般地处理的一些问题，曾使其他高

明的学者百思而不得其解！”[11]

以上数学文化案例分别来自文学史和科学史（水利工程史、建筑史、天文学史和物理学

史），它们都揭示了数学与人类其他知识领域之间的密切联系，将数学从“孤岛”中解放出

来，充分体现了新课程的理念。我们有理由相信，文学史和科学史是数学文化的宝藏，其中

更多适合于课堂教学的案例有待于我们去挖掘、整理和改造。

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[11] 爱德华, C. H. 微积分发展史（张鸿林译）. 北京: 北京出版社, 1987

58

三角形内角和定理：从历史到课堂

汪晓勤

（华东师范大学数学系, 上海, 200241）

HPM 视角下的数学教学设计正在引起越来越多中学数学教师的兴趣，但这种教学设计

是建立在有关历史研究基础之上的。最近，一位初中数学教师希望开发一个有关三角形的

HPM 案例，希望笔者能够提供有关的历史材料，这促成了本文的撰写。

三角形内角和定理是平面几何学中最重要的三个定理之一（另两个定理是勾股定理和相

似三角形性质定理）。[1]和其他许多几何定理一样，它有着十分悠久的历史。

古希腊七贤之一、哲学家泰勒斯（Thales, 公元前 6 世纪）很可能已经知道这个定理。

公元 3 世纪初，古希腊哲学家的传记作者 Diogenes Laertius 曾引用古希腊学者 Pamphile（公

元 1 世纪）的话说：“他（泰勒斯）从埃及人那里学习几何知识，第一个作出圆内接直角三

角形，并宰杀一头牛作为祭品。”[2]由此可知，泰勒斯最早发现“半圆上的圆周角为直角”

这个定理。但众所周知，该定理的证明需要用到三角形内角和定理：如图 1，AB 为半圆直

径，C 为圆上一点。因 A ACO∠ = ∠ ， B BCO∠ = ∠ ，故 2 180A B C ACB∠ +∠ +∠ = ∠ = 。

于是得 90ACB∠ = 。

C

BA O

泰勒斯 图 1 半圆上的周角

那么，泰勒斯是如何知道三角形内角和的？公元 6 世纪，数学家欧多修斯（Eutocius）

在关于阿波罗尼斯《论圆锥曲线》的评注中告诉我们，古希腊学者 Geminus（公元前 1 世纪）

如是说：

“古人针对各类三角形，对两直角定理作了研究，先是等边三角形，再是等腰三角形 ，

最后是不等边三角形。但后世几何学家证明了一般定理——任意三角形三个内角和等于两直

59

角。”[1][2]

这里的“古人”指的应该就是泰勒斯和他的同代人，“两直角定理”就是三角形内角和

定理。英国数学史家希思（T. L. Heath, 1861-1940）曾作过这样的推测：如图 2，泰勒斯作

等边三角形或等腰三角形顶角的平分线，将正三角形或等腰三角形分成两个同样的直角三角

图 2 直角三角形内角和等于相应矩形内角和之半

形，将它们拼成矩形。由于矩形的四个内角均为直角，故一个直角三角形的内角和等于两直

角。因此，原来的等边或等腰三角形的内角和等于四个直角减去两个直角，仍为两直角。对

于一般三角形，只要作底边上的高线，将三角形分成两个直角三角形，即得同样结论。但上

述方法中，不等边三角形的情形并不比等边三角形、等腰三角形情形难，泰勒斯似乎没有必

要对每一种情形分别作出探究。希思本人也觉得这种推测不太可能符合史实。

我们认为，泰勒斯是通过拼图方法发现三角形内角和定理的。毕达哥拉斯学派已经知道，

只有三种正多边形（正三角形、正方形和正六边形）能镶嵌整个平面。可以推测，他们的前

辈泰勒斯已经利用正三角形拼图进行数学探究。泰勒斯已经知道等腰三角形底角相等，因而

知道等边三角形三个内角相等。他先是发现，将六个同样的正三角形顶点置于同一点，恰好

填满该点周围区域，因而六个内角之和等于四直角，三个内角之和等于二直角，如图 3 所示。

1 2

3

3

21

3 2

1

图 3 等边三角形的拼图

60

接下来，将六个同样的等腰三角形的不同顶点置于同一点，其中的每一个顶点出现两次，结

果也恰好填满该点周围区域，没有缝隙。因而六个内角之和等于四直角，三个内角之和等于

二直角，如图 4 所示。最后，用三个同样的不等边三角形来拼图，发现同样的结论，如图 5

所示。

1

23

21

3

3 21

1

12 3

1

2323

图 4 等腰三角形的拼图 图 5 不等边三角形的拼图

美国数学史家和数学教育家史密斯（D. E. Smith, 1860-1944）认为，从等边三角形到等

腰三角形，再到不等边三角形，这是三角形内角和定理的自然发现顺序。[1] 美国数学史家

和数学教育家 M·克莱因（M. Kline, 1908-1992）曾经指出：数学史是数学教学的指南。上述

历史顺序为我们今天的教学提供了重要借鉴。

Geminus 所说的“后世几何学家”指的就是泰勒斯之后的毕达哥拉斯学派。泰勒斯从拼

图的实践中发现了三角形内角和，但这种发现完全是经验性的，实际上，他并未证明该定理。

显然，毕达哥拉斯学派在泰勒斯的基础上发现了更多的几何定理，如：“两直线平行，内错

角相等”及其逆定理。知道了平行线的上述性质，再根据泰勒斯的拼图 3-5，毕达哥拉斯证

明内角和定理，已是水到渠成的事了。如图 6 所示，过三角形 ABC 的顶点 A 作 BC 的平行

2

2

1

1CB

A

E

DCB

A

图 6 毕达哥拉斯的证明 图 7 欧几里得的证明

61

线，利用两对内错角相等，即得 1 2 180BAC B C BAC∠ +∠ +∠ = ∠ +∠ +∠ = 。今天的教

材即采用了这个方法。

公元前 3 世纪，欧几里得在《几何原本》中用图 7 所示方法证明了内角和定理：过点 C

作 BA 的平行线 CE，则∠ACE = ∠A，∠ECD = ∠B。故得∠A+∠B+∠ACB 为一平角。图 8 是

希腊文《几何原本》的书影。

图 8 希腊文《几何原本》（海伯格注释版）书影

古希腊评注家普罗克拉斯（Proclus, 410-485）试图用下面的方法来证明三角形内角和定

理：如图 9，设 AD 和 BE 是 AB 的两条垂线。让 AD 和 BE 分别绕点 A 和 B 旋转，使得端点

A B

D

E

A

D'

B

E'

A B

C

图 9 普罗克拉斯的方案

62

D 和 E 重合于点 C，即 AD、BE 和 AB 构成三角形。原来的两个直角 A 和 B 所减小的部分相

加，恰为顶角 C 的大小。因此，三角形 ABC 的三个内角之和仍为两直角。

普罗克拉斯试图避开毕达哥拉斯和欧几里得所用过的平行线方法，但实际上并非如此。

他的方法可以用另一种形式来表达。如图 10，过三角形 ABC 的三个顶点 A、B 和 C，分别

作底边 BC 的垂线。则∠BAD = ∠EBA，∠CAD = ∠ACF。因此，∠BAC = ∠ABE + ∠ACF。

因此∠ A + ∠B + ∠C = ∠EBC + ∠FCB = 180°。上述方法无需局限于垂线情形。如图 11，在

BC 上任取一点 D，连接 AD，分别作 BE、CF 与 AD 平行，于是三角形内角和即可转化为一

对同旁内角之和了。

F

D

E

CB

A

B D C

FE A

图 10 普罗克拉斯方案的改进 图 11 普罗克拉斯方案的一般情形

或许受古人的启发，18 世纪法国数学家克莱罗（A. C. Clairaut , 1713-1765）在其《几何

基础》（图 12）中给出三角形内角和的一种发现方法[3]。

图 12 克莱罗《几何基础》书影

63

如图 13，设三角形 ABC 的顶点 C 沿 AC 运动到 C’，C’’，C’’’，等等。在这个过程中，

∠A 保持不变，而∠C 越来越小，∠B 越来越大。猜想：∠C 减少部分与∠B 增大部分相等， 也

就是说∠C 和∠B 之和保持不变。由此可以猜测：任何一个三角形的三个内角之和是恒定不

变的。当 C 运动到无限远处，BC 与 AC 平行，三角形 ABC 三内角变成了两个同旁内角，

C'''

C''C'

C

BA

D

A B

C

图 13 克莱罗的方案

其和为 180 度。欧几里得的证明宛若从天而降，而克莱罗则为其提供了一种自然的思考过程，

正如他在《几何基础》前言中所说的那样，他要用定理的最初发现者的方法来引入几何定理。

法国数学家帕斯卡（B. Pascal, 1623-1662）12 岁时，独立发现了三角形内角和定理，他

所用的方法即是今天课本上所给出的折纸法。

1809 年，德国数学家提波特（Thibaut, 1775-1832）利用旋转的方法证明了三角形内角

和定理。[1]如图 14，将BC所在的直线XY 绕B沿逆时针方向旋转角度B，到AB所在直线X’Y’；

将 X’Y’绕点 A 沿逆时针方向旋转角度 A，到 AC 所在直线 X’’Y’’。最后 X’’Y’’绕 C 沿逆时针

X'''Y'''

Y''

X''

Y'

X'

YX CB

A

3

21

32 1

图 14 提波特的证明 图 15 直线绕同一点旋转

方向旋转角度 C，到直 BC 所在直线 Y’’’X’’’。从 XY 到 Y’’’X’’’，总共转过 180 度。这是许多

试图绕开平行线的证明之一。如果考虑顺时针方向旋转，即可证明三角形外角和定理。19

64

世纪西方平面几何教材大多采用毕达哥拉斯或欧几里得的方法来证明三角形内角和定理，但

也有少数教材将毕氏和欧氏的方法推广到一般情形：不在某一顶点处作某一边的平行线，而

在三角形内任一点处同时作三条边的平行线。（图 15）这也可看作是将提波特的三点旋转改

成了一点旋转。用这种方法易于证明三角形外角和定理，并可用于任意多边形。

三角形内角和定理的历史为今天的教学提供了丰富的素材。运用不同的历史材料，我们

可以作出不同的重构式教学设计。

● 设计一

采用帕斯卡的方案，引导学生发现内角和，再用毕达哥拉斯学派的方法加以证明。这实

际上是课本上给出的方案，其缺点是证明方法与折纸活动完全脱节，显得不够自然。

● 设计二

采用普罗克拉斯的方案。该设计的缺点是需要作三角形底边上的高线。

● 设计三

采用希思的方案。先让学生发现直角三角形内角和与相应矩形内角和之间的关系，从而

得出直角三角形内角和；然后通过分割，解决任意三角形的情形。这种设计的缺点与普罗克

拉斯方案同。

● 设计四

采用克莱罗的方案，引导学生发现内角和，并用欧几里得的证明方法。

● 设计五

采用泰勒斯的方案。设计等边三角形（将三内角看作不同的角）、等腰三角形以及不等

边三角形的拼图活动，引导学生作出发现。然后从拼图中引出平行线证明。

设计四和五中，内角和定理的发现过程与定理的证明衔接自然，比前三种更理想；而设

计五还能凸显三角形内角和在现实生活中的运用（铺地砖），从而也可以有效地创造学生的

学习动机。教师可以告诉学生：古希腊几何学鼻祖泰勒斯也通过类似的活动，发现了同样的

结论；毕达哥拉斯就是用该方法证明同一定理的。这样，既让学生获得数学发现的成功体验，

又大大地拉近了学生与古代数学家之间的“心理距离”，学生仿佛可以跨越时空，与先哲对

话。这种散发人文气息、使数学充满亲和力的课堂，难道不值得我们去营造吗？

参考文献

[1] Smith, D. E. The Teaching of Geometry. Boston: Ginn and Company, 1911.184-188

[2] Heath, T. L. A History of Greek Mathematics. London: Oxford University Press, 1921.131-135

[3] Clairaut, A.C. The Elements of Geometry. Dublin: M. Goodwin & Co., 1836. 56-58

65

HPM 视角下的“导数应用”教学

王 芳 1, 2 汪晓勤 2

（1. 浙江省萧山中学, 杭州, 311201; 2. 华东师范大学数学系, 上海, 200241）

生活中的点点滴滴往往在不经意间激起智者思维的浪花，17 世纪那散发着红酒醇香的

橡木桶，成为了开普勒思想的源泉，引发了他对几何体体积与最佳比例的探索。探寻古人的

思想轨迹，再现他们的思想历程，我们在传授知识技能的同时，也使课堂闪烁着思维的火花，

沐浴着人文的光芒。

1 开普勒与费马的思想

开普勒（J. Kepler, 1571～1630）于 1615 年发表了《新空间几何》，这本著作可能源于

一个平凡的问题——求一个酒桶的最佳比例，他在著作中将锥和柱看作由无穷多个薄圆片组

成，或看作由无限多个从轴引出的无限小楔形体所组成，或看作由具有其它形状的垂直截面

或斜截面所组成，并应用这种观点计算其体积。酒桶的测量，对开普勒提出了决定最佳比例

问题。该课题启发思考很多有关极大与极小值的问题。在《立体体积》一书中，他指出球内

所有以正方形为底的内接平行六面体中，以立方体的体积最大，所有有公共对角线的正圆柱

中，以直径和高的比等于 2 比 1 的圆柱体积最大。

费马（P. de Fermat, 1601～1665）是 17 世纪最伟大的数学家之一，他在 1638 年的一封

信中详述了这样的事实，在一个一般有两解的问题中，极大或极小仅有一个解，从这个事实，

费马得出了求极大、极小的十分巧妙和富有成效的公式。他将求极值的方法运用于求曲线切

线、求抛物线的重心以及折射定律的证明。虽然费马在求极值问题中考虑的是方程和无限小，

而不是函数与极限，理论上并不足够严密，但他提供了一种处理极值问题的通用方法。

2 导数应用的教学设计与反馈

2.1 导数应用课时一：几何体的最佳比例问题

第一环节：创设情境：在我们的生活中，易拉罐可谓无处不在，大部分的易拉罐，无论

装载的是可乐还是啤酒，只要容量相同，其设计尺寸往往相同，这是巧合吗？

第二环节：探究原因

66

设计易拉罐的尺寸时，首先要考虑成本，即材料最省，材料与易拉罐的表面积相关，故

可以提炼问题：体积相同的圆柱体，高与半径的比为何值时，表面积最小？

解：2V r hπ=

2 2 22

22 2 2 2 2V VS rh r r r rr r

π π π π ππ

= + = ⋅ + = +

3 22

2 4 0 2 2VS r V r r h h rr

π π π′ = − + = ⇒ = = ⇒ =

测量结果：高约为半径的 4 倍，显然与计算结果不符？问题出在什么地方？易拉罐的侧

面与底的厚度是不同的：侧面厚 0.011cm 顶厚 0.028cm 底厚 0.021cm。为了计算方便，可

以将侧面厚近似为 0.01cm，底厚近似为 0.02cm，请学生计算高与半径的比为何值时，材料

最省？此时计算结果与测量结果一致。

第三环节：拓展深化

例 1：如果圆柱的轴截面的对角线长度为定值，则高

与半径的比为何值时，圆柱的体积最大？

例 2：高与半径的比为何值时，球内接圆柱的体积最

大？

计算结果发现例 1 例 2 结果一致，请学生思考为什

么？如图 1，球内接圆柱的轴截面为球的大圆的内接矩形，

因此矩形的对角线为球的直径，长度为定值，例 2 便转化

为例 1 的问题。

例 3：高与底面边长的比为何值时，球内接正四棱柱

的体积最大？思考：例 2 与例 3 之间有什么联系？其本质

又是什么？

圆柱与其内接正四棱柱的体积比2

V SV S

π= =圆柱圆柱

棱柱棱柱

（ S 表示底面积）为定值（图 2），因此球内接圆柱体积最

大时，其内接正四棱柱的体积也最大。

第四环节：提炼思想

刀工很好的厨师能够将菜切得其薄如纸，所以无论什么几何体到了这些师傅的手中，都

能切成一个个柱体，故原几何体的体积可以看作这些柱体的体积和，如果两个几何体，它们

切出来的每个相对应的柱体的体积都相等，毫无疑问这两个几何体的体积相等，这里就蕴含

图 1 球内接圆柱

图 2 球内接正四棱柱

67

了祖暅原理的思想。祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平

面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。其后

再简单介绍卡瓦列利原理。正是借助于祖暅原理，我们得到所有等底等高的柱体体积相等，

所有等底等高的锥体体积相等，等高的柱体体积比为底面积的比，同理，等高的锥体的体积

比也为底面积的比。

例 4：高与底面半径的比为何值时，球内接圆锥体积最大？

例 5：高与底面边长的比为何值时，球内接正三棱锥体积最大？

圆锥与其内接正三棱锥的体积比V S

V S=圆锥圆锥

正三棱锥正三棱锥

为定值，所以当球内接圆锥体积最

大时，圆锥的内接正三棱锥为球的体积最大的内接正三

棱锥。

一般化：高与底面边长的比为何值时，球的内接正 n

棱柱、正n 棱锥体积最大？

221

2sin2sin

hr hr

aann

ππ

= ⇒ ==

第五环节：小结与作业

作业：1、查阅有关开普勒、祖暅与卡瓦列利的资料，了解他们对数学的发展所作出的

巨大的贡献。2、思考球外切正n 棱柱、外切正n 棱锥的最佳比例。

分析：开普勒从对酒桶最佳比例的思考开始，研究了几何体的计算方法，思考了许多求

几何体最佳比例的问题，他对于几何体的体积与最佳比例的思考值得我们借鉴。本课时从研

究易拉罐尺寸开始，探讨了共对角线圆柱、球内接圆柱、球内接正四棱柱、球内接圆锥、球

内接正三棱锥的最佳比例问题，并拓展到球内接正n 棱柱、棱锥的最佳比例问题，并在课后

让学生思考球外切正n 棱柱、棱锥的最佳比例问题，层层递进，既让学生熟悉了导数知识，

学以致用，又引导学生关注问题间的联系，从特殊中归纳出一般性的结论。此外对祖暅原理

的介绍，让学生对微积分求几何体体积有了初步的了解，为今后进一步的学习奠定基础。

2.2 导数应用课时二：最佳线路铺设问题

第一环节：情境引入

情境一：现代化的交通：现代化的交通密如蛛网，为我们的生活带来了便利，从杭州到

图 3 圆锥内接正n 棱锥的底面

68

北京乘坐高铁只需要 6 个半小时，交通网络的设计涉及到大量的优化问题，我们需要科学有

效地处理这些优化问题。

情境二：发达的通信网络：我国的航天事业蓬勃发展，嫦娥奔月，天宫神舟对接，我们

离那浩渺的太空越来越近，而发达的通信技术是我们航天事业一项强有力的保障，怎样才能

保证通信网络的稳定、快速与低成本，同样离不开优化问题！

第二环节：生活中的优化问题

例 1：如图， A、C 位于宽度为 40 3 m

的河的两岸，点 B 位于点C 的正对岸， AB 长

为 100m，陆路 AB 上的运输速度为水路运输速

度的两倍，为使从 A到C 的运输时间最短，在

D 点设立水陆转换码头，求 BDC∠ 与 AD ．

解：设水运速度为 1，则陆运速度为 2， CDB θ∠ =

40 3 40 3100 2 costan sin 50 20 32 1 sin

t θθ θθ

− −= + = + ⋅

一般化： A、C 位于宽度为40 3 m 的河的两岸，点 B 位于点C 的正对岸， AB 长为

100m，陆路 AB 上的运输速度为水路运输速度的 n （1116

n > ）倍，为使从 A到C 的运

输时间最短，在 D 点设立水陆转换码头，求cos BDC∠ ．

例 2：如图，已知点 (0,0)O 、 (3,3)A 、 (3,3)B 为某公司的三个办公地点，现要在三个

办公地点间构建通信网络，决定将交换器构建在 x 轴上的点C 处，试确定C 点使通信线路

最短．

解：方法一：设点 ( ,0)C x ，2( ) 2 ( 3) 9f x x x= + − +

方法二：设 ACD θ∠ = ，3 6 2 cos( ) 3 3 3

tan sin sinf θθ

θ θ θ−

= − + = + ⋅

例 3：如图，设有一条直线段的河道位于 x 轴上的区间 0,3 3 上，两家工厂位于点

( )0,2A ， ( )3 3,3B ，为了净化这两家工厂所排出的污水，要在 ( , )H x y 处建造一座污水

处理厂， 0,3 3x ∈ ， 0y ≥ ，从 H 点把净化的水用管道通往河道 ( ),0C x 处，问如何铺

图 4 课时二例 1

θ

C

BA D

69

设管道及污水处理厂应建造在哪里可以使得铺设管道的长度最小？

解： ( ) ( )2 22 3 2 27 2 5 27d y y y y= + − − + = + − +

第三环节：探索例题间的联系

思考：三个例题中涉及取到最值的角不是3π

就

是23π

，这是偶然吗？还是必然？这三个例题间又

存在怎么样的联系？展示例 3 的几何方法。

如图 7，当23

AHC BHC AHB π∠ = ∠ = ∠ =

时，过点 A、B 分别作直线于 AH 、BH 垂直，与

x 轴交得正三角形 DEF ， | | | | | |AH BH CH+ +

等于正三角形 DEF 的高h ，在正三角形 DEF 内任取一点 H ′，分别作 DE 、DF 、EF 的

垂线段 A H′ ′、 B H′ ′、C H′ ′，则 | | | | | | | | | | | |A H B H C H h AH BH CH′ ′ ′ ′ ′ ′+ + = = + + ，

因此 | | | | | | | | | | | |AH BH C H AH BH CH′ ′ ′ ′+ + ≥ + + .

例 3 的几何方法可以用来证明费马点，费马点就是到三角形三个顶点距离和最小的点，

当 ABC∆ 的最大角小于23π

时，费马点 H 使

23

AHB BHC CHA π∠ = ∠ = = ，

例 2 其实就是费马点的特例。

费马点在通信领域中具有极其广泛的运用，运

用费马点的知识铺设通信网络不仅能使通信线路达

图 5 课时二例 2

D

B

A

O x

y

C

C

H

B'

B

A

O x

y

图 6 课时二例 3

图 7 课时二例 2 的几何证明

O

B'

C'

A'

E F

D

C

A

H

B

H'

x

y

图 8 折射定律的证明

β

a

d

h1

h2

l-dB'

A'

A

B

C

70

到最短，铺设成本最低，更为重要的是以此方式铺设的通信网络信号更加稳定。费马一生为

我们留下了许多重要的定理与猜想，为数学与自然科学的发展作出了重要的贡献，光学领域

中的费马原理也是费马的一项重要成就。费马原理（最小光程原理）：光波在两点之间传递

时，自动选取费时最少的路径。根据费马原理，通过导数，我们可以很容易地得到折射定律。

光在 A、 B 两种介质中传播速度之比为n ，则有

2 2 2 21 2 ( )

1h d h l d

tn+ + −

= +

2 21

2 2 2 21 2

2 22

sin0sin( )

( )

dh dd l dt n nl dn h d h l d

h l d

αβ

+−′ = − = ⇒ = ⇒ =−⋅ + + −+ −

折射定律的证明经历了曲折的过程，折射定律最早是由斯涅尔（W. Snell, 1591～1626）

发现的，但未发表，笛卡尔（R. Descartes, 1596～1650）于 1637 年在他的《折光》一书中

给出了同样的定律，但他的证明是错误的，费马立即对定律及其证明进行攻击，两人开始了

长达十年之久的争论，直到费马根据最小光程原理，借助于求极值的方法导出此定律，才承

认它是正确的。当然费马的证明还不是现在我们所进行的证明，我们所进行的证明则是由莱

布尼兹（G. W. Leibniz, 1646～1716）给出的。

当入射角α 为2π

时，我们根据折射定理sinsin

nαβ= 可得

1sinn

β = ，与例 1 一般化中的

结论恰好吻合，分析例 1 的本质，同样也是物体在两种介质中的两点间运动，保证用时最少

的问题与最小光程原理一致，因此由最小光程原理得到的折射定律，在这一类问题中同样适

用。

例 1 与例 2 的方法二涉及到的是同一个函数模型，它们之间又存在着什么样的联系？

例 2 中铺设的通信线路的长度| | | || | 2 | | 11

2

OA ACd OA AC= + = + ，可以看作物体在

| |OA 上的运动速度为 | |AC 的 2 倍，确定 A点使费时最短的问题，这样问题 2 就转化为了

问题 1，也就是我们很巧妙地实现了一次费马点与费马光学原理间的转化。

第四环节：小结与作业

作业：1、查阅与费马有关的资料，走入费马的世界！2、尝试用我们所学的数学知识去

处理生活中的一个优化问题，个人或小组都可，寻找问题，给出数学模型，并解决问题。

71

分析：费马思考费马点与证明折射定律时是否有关联，我们已经不可考，但这两类问题

都涉及到求最值与极值，将它们放在一起进行探究是很自然的，更为惊讶的是它们之间可以

相互转化。虽然我们现在所用的方法与当初费马求极值的方法已经有些区别，但寻找一种通

用的方法解决极值问题这一点是共通的，本课时中利用折射定律模型，将交通与通信等领域

中不同的问题联结成一个有机的整体，这样的教学设计有助于提高学生分析问题解决问题的

能力，培养学生提炼问题背后数学模型的能力。

2.3 教学反馈

笔者于 2010 年 12 月 21 日至 2011 年 1 月 6 日实施了导数章节的教学，于 2011 年 1 月

7 日对任教的 104 位学生进行了关于导数教学效果的问卷调查，问卷涉及章节教学的六个教

学案例，其中之一即为导数应用第一课时的易拉罐尺寸设计案例。问卷结果显示，有 91

（81.7%）位学生认为这一案例能够让他们感受到数学知识在现实生活中的价值；问题 7 让

学生选择给出的六个教学案例中哪些案例比较有意思，有 77（74.0%）位学生认为易拉罐案

例有意思，位居六个案例之首；问题 8 让学生选择给出的六个教学案例中哪些案例给他们比

较深刻的印象，有 68（65.4%）位学生对易拉罐案例印象比较深刻，同样位居六个案例第一。

此外，笔者于 2012 年 6 月 11 日召集任教的 21 位学生进行座谈，请学生回忆在导数教学中

有哪些案例给他们留下了比较深刻的印象，易拉罐案例就是其中之一，学生喜欢这些能够将

知识直接运用于生活中的教学案例。问卷调查与访谈的结果说明导数应用课时的教学设计学

生是认同的，并且能给学生留下深刻的印象。

3 余论

新课程标准非常注重知识的运用与文化的渗透，标准中明确给定了数学建模与数学文化

的教学建议与教学要求，相配套的人教 A 版的教材在每一章节的最后部分都安排了知识应

用的课时，这些知识应用课时虽然给予了丰富的案例，但案例间缺乏相互关联，使得课时的

教学比较松散，往往仅限于知识的运用而缺少了思想的提炼。时间是最苛刻的筛选者，经历

了时间的筛选而留存下来的必然是精华，数学史中的许多案例往往蕴含着深刻的思想，包含

着通用的方法，以这些思想方法为纽带串联知识应用的教学，为知识应用教学设计增添了新

的视角。在导数应用的教学设计中，以开普勒与费马的思想为核心，选取编制教学案例，使

得课时的教学呈现出形散而神不散的特点，教学的知识性、技能性、思想性都有所增强，对

学生数学素养的培养更为全面，这是数学史为实现教学目标所作的贡献，笔者将之定义为数

学史的教学功能。

72

微积分的发展经历了一个世纪的酝酿，开普勒与费马都是这一阶段作出杰出贡献的人

物，开普勒求几何体体积的方法蕴含着深刻的极限思想，而费马寻找到一种通用的方法求函

数的极值、曲线的切线及证明折射定律，他们的思想中所涉及到的极限思想与通用方法正是

微积分的灵魂与价值，在教学中渗透开普勒与费马的思想，介绍祖暅原理与卡瓦列利原理，

介绍折射定律的证明过程，让学生感受极限思想，体会微积分的意义在于为解决数学与自然

科学中大量的问题提供了一种有效而通用的方法，同时也让学生明白科学定律发现证明过程

的曲折与艰辛，激发他们克服困难探索真理的勇气，这是数学史在数学教学中不可替代的功

能，笔者将之定义为数学史的史学功能。充分发挥数学史材料在教学中的教学功能与史学功

能，使数学史成为教学中不可或缺的部分，对学生更全面深刻地理解数学具有重要的意义。

一位教师的教学生涯短短几十年，一个教师团队也只有区区几十人，数学的发展却经历

几十个世纪，有千千万万的学者为之付出了毕生的心力，触摸数学发展的历程，感悟数学文

化的恢宏，让数学课堂闪耀几十个世纪的精华，无数智者的智慧，那该是一位数学教师毕生

的荣幸与追求吧！